यदि a + 2b + 3c = 6 है,तो abc^2 का अधिकतम मान | vedclass

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Question

(A) दी गई शर्त $a + 2b + 3c = 6$ है,जहाँ $a, b, c > 0$ है।हमें $abc^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है। हम व्यंजक को $a(2b)(\frac{3c}{2})(\frac{3c}{2}) =

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$\frac{9}{8}$

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(A) दी गई शर्त $a + 2b + 3c = 6$ है,जहाँ $a, b, c > 0$ है।हमें $abc^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है। हम व्यंजक को $a(2b)(\frac{3c}{2})(\frac{3c}{2}) = \frac{9}{4}abc^2$ के रूप में लिख सकते हैं।चार पदों $a, 2b, \frac{3c}{2}, \frac{3c}{2}$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:$\frac{a + 2b + \frac{3c}{2} + \frac{3c}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{3c}{2} \cdot \frac{3c}{2}}$योग $a + 2b + 3c = 6$ रखने पर:$\frac{6}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{9c^2}{4}}$$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{18}{4} abc^2}$$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{9}{2} abc^2}$दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:$(\frac{3}{2})^4 \geq \frac{9}{2} abc^2$$\frac{81}{16} \geq \frac{9}{2} abc^2$$abc^2 \leq \frac{81}{16} \cdot \frac{2}{9} = \frac{9}{8}$.अतः,अधिकतम मान $\frac{9}{8}$ है।

यदि $a + 2b + 3c = 6$ है,तो $abc^2$ का अधिकतम मान क्या होगा? (जहाँ $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं)।

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