Progression and Sequence Questions in Hindi

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a_{12} = -13$,इसलिए $a + 11d = -13$ --- $(1)$.
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
दिया गया है $S_4 = 24$,इसलिए $\frac{4}{2}[2a + 3d] = 24$,जो सरल होकर $2a + 3d = 12$ बनता है --- $(2)$.
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर $2a + 22d = -26$ प्राप्त होता है --- $(3)$.
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(2a + 22d) - (2a + 3d) = -26 - 12$
$19d = -38$,इसलिए $d = -2$.
$d = -2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 11(-2) = -13$
$a - 22 = -13$,इसलिए $a = 9$.
अब,प्रथम $10$ पदों का योग $(S_{10})$ ज्ञात करते हैं:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(9) + (10 - 1)(-2)]$
$S_{10} = 5[18 + 9(-2)]$
$S_{10} = 5[18 - 18] = 5(0) = 0$.

(A) माना $n$ पदों की संख्या है,$a$ प्रथम पद है,$l$ अंतिम पद है,और $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया है: $S_n = 525$,$a = 3$,$l = 39$.
$A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
मान रखने पर: $525 = \frac{n}{2}(3 + 39)$.
$525 = \frac{n}{2}(42) \Rightarrow 525 = 21n$.
$n = \frac{525}{21} = 25$.
अब,$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $l = a + (n - 1)d$.
$39 = 3 + (25 - 1)d$.
$39 - 3 = 24d$.
$36 = 24d$.
$d = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$.

(B) माना प्रथम पद $a = 100$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रथम छह पदों का योग $S_6 = \frac{6}{2}[2(100) + 5d] = 3(200 + 5d) = 600 + 15d$ है।
अगले छह पदों का योग पहले $12$ पदों के योग में से पहले $6$ पदों का योग घटाने पर प्राप्त होता है: $S_{12} - S_6$.
$S_{12} = \frac{12}{2}[2(100) + 11d] = 6(200 + 11d) = 1200 + 66d$ है।
अगले छह पदों का योग $= (1200 + 66d) - (600 + 15d) = 600 + 51d$ है।
प्रश्न के अनुसार,$S_6 = 5 \times (\text{अगले छह पदों का योग})$.
$600 + 15d = 5(600 + 51d)$.
$600 + 15d = 3000 + 255d$.
$15d - 255d = 3000 - 600$.
$-240d = 2400$.
$d = \frac{2400}{-240} = -10$.

(C) दिया गया है: प्रथम पद $a = -14$ और पाँचवाँ पद $a_5 = 2$ है।
मान लीजिए $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करते हुए,$a_5 = a + 4d = 2$ प्राप्त होता है।
$a = -14$ प्रतिस्थापित करने पर: $-14 + 4d = 2 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4$।
मान लीजिए पदों की संख्या $n$ है ताकि योग $S_n = 40$ हो।
योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करते हुए:
$40 = \frac{n}{2}[2(-14) + (n-1)4]$
$80 = n[-28 + 4n - 4]$
$80 = n[4n - 32]$
$80 = 4n^2 - 32n$
$4$ से भाग देने पर: $n^2 - 8n - 20 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 10)(n + 2) = 0$।
अतः,$n = 10$ या $n = -2$।
चूँकि पदों की संख्या $n$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $n = 10$।

(A) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 51$,सार्व अंतर $d = -1$,और अंतिम पद $a_n = 21$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $21 = 51 + (n - 1)(-1)$.
$21 = 51 - n + 1$.
$21 = 52 - n$.
$n = 52 - 21 = 31$.
अब,योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ का उपयोग करने पर:
$S_{31} = \frac{31}{2}(51 + 21)$.
$S_{31} = \frac{31}{2}(72)$.
$S_{31} = 31 \times 36 = 1116$.

(B) दिया गया है कि $p$ पदों का योग $S_p = 3p^2 + 4p$ है।
$n$ वें पद $(a_n)$ को ज्ञात करने के लिए,हम $a_n = S_n - S_{n-1}$ संबंध का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$p = n$ प्रतिस्थापित करने पर $S_n = 3n^2 + 4n$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$p = n-1$ प्रतिस्थापित करने पर $S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 4(n-1)$ प्राप्त होता है।
$S_{n-1}$ का विस्तार करने पर: $S_{n-1} = 3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4 = 3n^2 - 6n + 3 + 4n - 4 = 3n^2 - 2n - 1$.
अब,$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 4n) - (3n^2 - 2n - 1)$ की गणना करने पर।
$a_n = 3n^2 + 4n - 3n^2 + 2n + 1 = 6n + 1$.

(B) यहाँ $A.P.$ $1, 4, 7, \ldots$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 4 - 1 = 3$ है।
माना $n$ पदों का योग $S_n = 715$ है।
$n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $715 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)3]$.
$1430 = n[2 + 3n - 3]$.
$1430 = n[3n - 1]$.
$3n^2 - n - 1430 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-1430)}}{2(3)}$.
$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 17160}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{17161}}{6} = \frac{1 \pm 131}{6}$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{1 + 131}{6} = \frac{132}{6} = 22$।

(C) $5$ से विभाज्य सम प्राकृतिक संख्याएँ $10$ के गुणज हैं,जो $10, 20, 30, 40, \ldots$ हैं।
यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है जहाँ प्रथम पद $a = 10$ और सार्व अंतर $d = 10$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$n = 100$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$S_{100} = \frac{100}{2}[2 \times 10 + (100 - 1) \times 10]$
$S_{100} = 50[20 + 99 \times 10]$
$S_{100} = 50[20 + 990]$
$S_{100} = 50[1010]$
$S_{100} = 50500$.

(D) $50$ के बाद $7$ से विभाज्य पहला पूर्णांक $56$ है और $500$ से पहले $7$ से विभाज्य अंतिम पूर्णांक $497$ है।
$50$ और $500$ के बीच $7$ से विभाज्य पूर्णांकों की श्रृंखला $56, 63, 70, \ldots, 497$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 56$ और सार्व अंतर $d = 7$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d.$
मान रखने पर: $497 = 56 + (n - 1) \times 7.$
$497 - 56 = (n - 1) \times 7 \implies 441 = (n - 1) \times 7.$
$n - 1 = 441 / 7 = 63 \implies n = 64.$
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{64} = \frac{64}{2}(56 + 497) = 32 \times 553 = 17696.$

(C) $7$ से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्याएँ क्रमशः $105$ और $994$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी बनाती है: $105, 112, 119, \ldots, 994$।
यहाँ,प्रथम पद $a = 105$,सार्व अंतर $d = 7$ और अंतिम पद $a_n = 994$ है।
$n$-वें पद का सूत्र: $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$994 = 105 + (n - 1) \times 7$
$994 - 105 = 7(n - 1)$
$889 = 7(n - 1)$
$n - 1 = 127 \Rightarrow n = 128$।
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994)$
$S_{128} = 64 \times 1099 = 70336$।

(A) $9$ से विभाज्य चार अंकों की विषम संख्याएँ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाती हैं।
$9$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे छोटी विषम संख्या $1017$ है (क्योंकि $1008$ सम है और $1017$ विषम है)।
$9$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी विषम संख्या $9999$ है।
चूंकि संख्याएँ विषम होनी चाहिए और $9$ से विभाज्य होनी चाहिए,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $d = 18$ होगा (क्योंकि $9 \times 2 = 18$)।
समांतर श्रेणी के $n$-वें पद के सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$9999 = 1017 + (n - 1) \times 18$
$8982 = (n - 1) \times 18$
$n - 1 = 8982 / 18 = 499$
$n = 500$
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है:
$S_{500} = \frac{500}{2}(1017 + 9999)$
$S_{500} = 250 \times 11016 = 2754000$.

(A) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \frac{1}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$ है।
माना कि $n$-वाँ पद $a_n = \frac{1}{19683}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$-वें पद का सूत्र $a_n = a \cdot r^{n-1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{19683} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{19683} = (\frac{1}{3})^n$ प्राप्त होता है।
चूँकि $3^9 = 19683$,इसलिए $(\frac{1}{3})^9 = \frac{1}{19683}$ होता है।
घातों की तुलना करने पर,हमें $n = 9$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई गुणोत्तर श्रेणी $5+25+125+\cdots$ है।
प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = \frac{25}{5} = 5$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a \cdot r^{n-1}$ है।
$10$ वें पद के लिए,$n = 10$ लें।
मान रखने पर,हमें $a_{10} = 5 \cdot 5^{10-1}$ प्राप्त होता है।
$a_{10} = 5 \cdot 5^9 = 5^{1+9} = 5^{10}$.

(B) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{-1}{1} = -1$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a \cdot r^{n-1}$ होता है।
$20$ वाँ पद $(n = 20)$ ज्ञात करने के लिए:
$a_{20} = 1 \cdot (-1)^{20-1}$
$a_{20} = 1 \cdot (-1)^{19}$
चूँकि $19$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{19} = -1$ होगा।
अतः,$a_{20} = 1 \cdot (-1) = -1$।

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{-1/2}{1/4} = -2$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$वें पद का सूत्र $a_n = a \cdot r^{n-1}$ होता है।
$5$वाँ पद $(n = 5)$ ज्ञात करने के लिए:
$a_5 = \frac{1}{4} \times (-2)^{5-1}$
$a_5 = \frac{1}{4} \times (-2)^4$
$a_5 = \frac{1}{4} \times 16$
$a_5 = 4$.

(B) माना $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
$G.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $5$ वां पद $2$ है, इसलिए:
$a_5 = a r^{5-1} = a r^4 = 2$ $...(1)$
हमें प्रथम $9$ पदों का गुणनफल ज्ञात करना है:
$P = a \times (a r) \times (a r^2) \times \dots \times (a r^8)$
$P = a^9 \times r^{(1 + 2 + 3 + \dots + 8)}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$n=8$ के लिए, योग $\frac{8 \times 9}{2} = 36$ है।
अतः, $P = a^9 \times r^{36} = (a r^4)^9$.
समीकरण $(1)$ से मान रखने पर:
$P = (2)^9 = 512$.

(C) दिया गया अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression) है जहाँ प्रथम पद $a = 18$ और सार्व अनुपात $r = \frac{-12}{18} = \frac{-2}{3}$ है।
माना कि $n$ वाँ पद $a_n = \frac{512}{729}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a r^{n-1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{512}{729} = 18 \left( \frac{-2}{3} \right)^{n-1}$।
दोनों पक्षों को $18$ से विभाजित करने पर,$\left( \frac{-2}{3} \right)^{n-1} = \frac{512}{729 \times 18} = \frac{256}{729 \times 9} = \frac{2^8}{3^6 \times 3^2} = \frac{2^8}{3^8} = \left( \frac{2}{3} \right)^8$।
चूँकि आधार ऋणात्मक है और घात सम संख्या है,इसलिए $\left( \frac{-2}{3} \right)^8 = \left( \frac{2}{3} \right)^8$।
अतः,$\left( \frac{-2}{3} \right)^{n-1} = \left( \frac{-2}{3} \right)^8$।
घातों की तुलना करने पर,$n - 1 = 8$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{512}{729}$ अनुक्रम का $9$ वाँ पद है।

(C) माना कि $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
$G.P.$ का $n^{th}$ पद $a_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $3^{rd}$ पद प्रथम पद का वर्ग है:
$a_3 = (a_1)^2$
$ar^2 = a^2$
चूंकि $a \neq 0$,$a$ से विभाजित करने पर हमें $r^2 = a$ प्राप्त होता है $....(1)$
दिया गया है कि $2^{nd}$ पद $8$ है:
$a_2 = ar = 8$ $....(2)$
समीकरण $(1)$ से $a = r^2$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$(r^2)r = 8$
$r^3 = 8$
$r = 2$
अब,$a = r^2$ का उपयोग करके $a$ ज्ञात करें:
$a = (2)^2 = 4$
हमें $6^{th}$ पद $(a_6)$ ज्ञात करना है:
$a_6 = ar^5$
$a_6 = 4 \times (2)^5$
$a_6 = 4 \times 32 = 128$
अतः,$6^{th}$ पद $128$ है।

(C) माना कि $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
$G.P.$ का $n^{th}$ पद $a_n = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $4^{th}$ पद $24$ है,इसलिए:
$a r^{4-1} = 24 \Rightarrow a r^3 = 24$ $...(1)$
दिया गया है कि $8^{th}$ पद $384$ है,इसलिए:
$a r^{8-1} = 384 \Rightarrow a r^7 = 384$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a r^7}{a r^3} = \frac{384}{24}$
$r^4 = 16$
$r^4 = 2^4 \Rightarrow r = 2$ (सार्व अनुपात के लिए धनात्मक वास्तविक मूल लेने पर)।
$r = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a(2)^3 = 24$
$a(8) = 24$
$a = \frac{24}{8} = 3$
अतः,प्रथम पद $3$ है और सार्व अनुपात $2$ है।

(B) माना $G.P.$ का सार्व अनुपात $r$ है।
प्रथम पद $a = 1$ है।
$G.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a r^{n-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,तीसरा पद $a_3 = a r^{3-1} = 1 \cdot r^2 = r^2$ है।
पांचवां पद $a_5 = a r^{5-1} = 1 \cdot r^4 = r^4$ है।
दिया गया है कि तीसरे और पांचवें पद का योग $90$ है,इसलिए:
$r^2 + r^4 = 90$
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r^4 + r^2 - 90 = 0$
माना $x = r^2$ है। तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$x^2 + x - 90 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x + 10)(x - 9) = 0$
इससे $x = -10$ या $x = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = r^2$ है,वास्तविक संख्याओं के लिए $r^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए,$r^2 = 9$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $r = \pm 3$ प्राप्त होता है।

(A) यदि तीन संख्याएँ $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,तो $b^2 = ac$ होता है।
यहाँ,$a = -\frac{2}{7},$ $b = x,$ और $c = -\frac{7}{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = \left(-\frac{2}{7}\right) \times \left(-\frac{7}{2}\right)$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
अतः,$x$ के मान $1$ और $-1$ हैं।

(C) प्रत्येक पीढ़ी में पूर्वजों की संख्या एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाती है: $2, 4, 8, \ldots$ $10$ पदों तक।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र: $S_n = a(r^n - 1) / (r - 1)$ है।
$10$ पीढ़ियों के लिए,पूर्वजों की कुल संख्या:
$S_{10} = 2(2^{10} - 1) / (2 - 1)$
$S_{10} = 2(1024 - 1) / 1$
$S_{10} = 2 \times 1023 = 2046$.
अतः,$10$ वीं पीढ़ी तक पूर्वजों की कुल संख्या $2046$ है।

(D) दिया गया है: प्रथम पद $a = 7$,अंतिम पद $l = a_n = 448$,और योग $S_n = 889$.
माना $r$ सार्व अनुपात है।
$G.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{a - lr}{1 - r}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $889 = \frac{7 - 448r}{1 - r}$.
दोनों पक्षों को $(1 - r)$ से गुणा करने पर: $889(1 - r) = 7 - 448r$.
$889 - 889r = 7 - 448r$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $889 - 7 = 889r - 448r$.
$882 = 441r$.
$r = \frac{882}{441} = 2$.
अतः,सार्व अनुपात $2$ है।

(C) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{a(r^3 - 1) / (r - 1)}{a(r^6 - 1) / (r - 1)} = \frac{125}{152}$.
यह सरल होकर $\frac{r^3 - 1}{r^6 - 1} = \frac{125}{152}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)$ का उपयोग करने पर,$\frac{r^3 - 1}{(r^3 - 1)(r^3 + 1)} = \frac{125}{152}$.
$\frac{1}{r^3 + 1} = \frac{125}{152}$.
$125(r^3 + 1) = 152$.
$125r^3 + 125 = 152$.
$125r^3 = 152 - 125 = 27$.
$r^3 = \frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$.
अतः,$r = 3/5$.

(A) दी गई व्यंजक $\sum_{j=1}^{11} (2 + 3^j)$ है।
हम योग को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\sum_{j=1}^{11} 2 + \sum_{j=1}^{11} 3^j$.
पहला भाग $2$ के $11$ पदों का योग है,जो $11 \times 2 = 22$ है।
दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 3$,सार्व अनुपात $r = 3$ और पदों की संख्या $n = 11$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{3(3^{11} - 1)}{3 - 1} = \frac{3}{2}(3^{11} - 1)$ प्राप्त होता है।
दोनों भागों को जोड़ने पर,कुल योग $22 + \frac{3}{2}(3^{11} - 1)$ है।

(B) माना $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया है: $a_1 + a_2 = 36 \Rightarrow a + ar = 36$
$\Rightarrow a(1 + r) = 36$ $...(1)$
साथ ही,$a_1 \cdot a_3 = 9 \cdot a_2 \Rightarrow a \cdot ar^2 = 9 \cdot ar$
$\Rightarrow ar = 9$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ में $a + ar = 36$ का उपयोग करने पर,$a + 9 = 36 \Rightarrow a = 27$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(2)$ से,$27r = 9 \Rightarrow r = \frac{1}{3}$।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ होता है।
$S_8 = \frac{27(1 - (1/3)^8)}{1 - 1/3} = \frac{27(1 - 1/6561)}{2/3} = \frac{81}{2} \cdot \frac{6560}{6561} = \frac{3280}{81}$।

(B) $G.P.$ के अनंत पदों के योग का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दिया गया है,$r = -\frac{4}{5}$ और $S_{\infty} = \frac{80}{9}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{80}{9} = \frac{a}{1 - (-\frac{4}{5})}$
$\frac{80}{9} = \frac{a}{1 + \frac{4}{5}}$
$\frac{80}{9} = \frac{a}{\frac{9}{5}}$
$a = \frac{80}{9} \times \frac{9}{5}$
$a = 16$.
अतः,प्रथम पद $16$ है।

(C) दी गई श्रेणी $S = \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{4^3} + \frac{3}{4^5} + \dots \right) - \left( \frac{5}{4^2} + \frac{5}{4^4} + \frac{5}{4^6} + \dots \right)$ है।
यह दो अनंत गुणोत्तर श्रेणियों का योग है।
पहली श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_1 = \frac{3}{4}$ और सार्व अनुपात $r_1 = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$ है।
योग $S_1 = \frac{a_1}{1 - r_1} = \frac{3/4}{1 - 1/16} = \frac{3/4}{15/16} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{15} = \frac{4}{5}$ है।
दूसरी श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_2 = \frac{5}{4^2} = \frac{5}{16}$ और सार्व अनुपात $r_2 = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$ है।
योग $S_2 = \frac{a_2}{1 - r_2} = \frac{5/16}{1 - 1/16} = \frac{5/16}{15/16} = \frac{5}{16} \times \frac{16}{15} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,कुल योग $S = S_1 - S_2 = \frac{4}{5} - \frac{1}{3} = \frac{12 - 5}{15} = \frac{7}{15}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति समान आधार $32$ वाली घातों का गुणनफल है।
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए, हम गुणनफल को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(32)^{1 + 1/6 + 1/36 + \ldots + \infty} = (32)^x$
जहाँ $x = 1 + 1/6 + 1/36 + \ldots + \infty$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी (infinite geometric series) है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/6$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर, $x = \frac{1}{1 - 1/6} = \frac{1}{5/6} = 6/5$ प्राप्त होता है।
अतः, गुणनफल $(32)^{6/5}$ है।
चूंकि $32 = 2^5$, इसलिए $(2^5)^{6/5} = 2^{5 \cdot (6/5)} = 2^6$ होगा।
$2^6 = 64$।

(B) दी गई श्रेणी $6, 4, 3, \ldots$ एक $H.P.$ (हरात्मक श्रेणी) है।
इसके पदों के व्युत्क्रमों की श्रेणी $\frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \ldots$ है,जो एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) बनाती है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{6}$ और सार्व अंतर $d = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$A.P.$ के $9$ वें पद के लिए:
$a_9 = \frac{1}{6} + (9-1) \times \frac{1}{12}$
$a_9 = \frac{1}{6} + 8 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{6} + \frac{8}{12} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1+4}{6} = \frac{5}{6}$.
चूंकि $H.P.$,$A.P.$ का व्युत्क्रम होता है,इसलिए $H.P.$ का $9$ वाँ पद $a_9$ का व्युत्क्रम होगा।
अतः,$H.P.$ का $9$ वाँ पद $\frac{6}{5}$ है।

(A) $H.P.$ का पहला पद $6$ है और दूसरा पद $3$ है।
इसलिए,संगत $A.P.$ (समांतर श्रेणी) के पहले दो पद $\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{3}$ हैं।
इस $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = \frac{1}{6}$ और सार्व अंतर $d = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$a_n = \frac{1}{6} + (n-1)\frac{1}{6} = \frac{1 + n - 1}{6} = \frac{n}{6}$ है।
चूंकि $H.P.$ का $n$ वां पद संगत $A.P.$ के $n$ वें पद का व्युत्क्रम होता है,इसलिए $H.P.$ का $n$ वां पद $\frac{6}{n}$ होगा।

(B) चूंकि $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (log) लेने पर,हमें $2 \log y = \log x + \log z$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$2 + 2 \log y = 2 + \log x + \log z$ प्राप्त होता है।
इसे $2(1 + \log y) = (1 + \log x) + (1 + \log z)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दर्शाता है कि $(1 + \log x), (1 + \log y), (1 + \log z)$ एक $A.P.$ में हैं।
चूंकि $A.P.$ में पदों के व्युत्क्रम $H.P.$ में होते हैं,इसलिए $\frac{1}{1 + \log x}, \frac{1}{1 + \log y}, \frac{1}{1 + \log z}$ एक $H.P.$ में हैं।

(C) दी गई श्रेणी $\frac{2}{5} + \frac{3}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \dots \infty$ है।
हम इसे दो अलग-अलग अनंत गुणोत्तर श्रेणियों में विभाजित कर सकते हैं:
$S = \left( \frac{2}{5} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{2}{5^{5}} + \dots \right) + \left( \frac{3}{5^{2}} + \frac{3}{5^{4}} + \frac{3}{5^{6}} + \dots \right)$.
पहली श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_1 = \frac{2}{5}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25}$ है।
योग $S_1 = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} = \frac{5}{12}$ है।
दूसरी श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_2 = \frac{3}{5^{2}} = \frac{3}{25}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{25}$ है।
योग $S_2 = \frac{a_2}{1 - r} = \frac{3/25}{1 - 1/25} = \frac{3/25}{24/25} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ है।
कुल योग $S = S_1 + S_2 = \frac{5}{12} + \frac{1}{8} = \frac{10 + 3}{24} = \frac{13}{24}$ है।

(C) दिया गया है कि प्रथम पद $a = 729$ और $7$ वाँ पद $a_{7} = 64$ है।
माना $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a r^{n-1}$ है।
$n = 7$ के लिए,$a_{7} = a r^{6} = 64$.
$a = 729$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $729 r^{6} = 64$ प्राप्त होता है।
$r^{6} = \frac{64}{729} = \left(\frac{2}{3}\right)^{6}$.
अतः,$r = \frac{2}{3}$.
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 7$ के लिए,$S_{7} = \frac{729(1 - (2/3)^{7})}{1 - 2/3}$.
$S_{7} = \frac{729(1 - 128/2187)}{1/3} = 3 \times 729 \times \left(\frac{2187 - 128}{2187}\right)$.
$S_{7} = 2187 \times \frac{2059}{2187} = 2059$.

(A) माना $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
$n$ वां पद $l = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है $\dots (1)$
$G.P.$ के प्रथम $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।
गुणनफल $P = a \times (ar) \times (ar^2) \times \dots \times (ar^{n-1})$ है।
$P = a^n \times r^{1+2+3+\dots+(n-1)}$.
प्रथम $(n-1)$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$.
$P = a^n \times r^{\frac{n(n-1)}{2}} = (a^2 \times r^{n-1})^{n/2}$.
चूंकि $l = ar^{n-1}$,हम $a^2 r^{n-1} = a(ar^{n-1}) = al$ लिख सकते हैं।
अतः,$P = (al)^{n/2}$.

(D) मान लीजिए कि $n$ संख्याएँ $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं। दिया गया है कि उनका औसत $a$ है,इसलिए $\frac{\sum x_i}{n} = a$,जिसका अर्थ है $\sum x_i = na$.
संख्याओं में $2, 4, 8, \dots, 2^n$ की वृद्धि की जाती है। यह अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) है जहाँ प्रथम पद $A = 2$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
इन वृद्धियों का योग $S_n = \frac{A(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$ है।
नई संख्याओं का योग $\sum x_i + S_n = na + 2(2^n - 1)$ है।
नया औसत $\frac{na + 2(2^n - 1)}{n} = a + \frac{2(2^n - 1)}{n}$ होगा।

(C) $50$ से कम $3$ के धनात्मक गुणज $3, 6, 9, \dots, 48$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 3$,सार्व अंतर $d = 3$ और अंतिम पद $l = 48$ है।
पदों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं:
$48 = 3 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n$ ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है:
$S_{16} = \frac{16}{2}(3 + 48)$
$S_{16} = 8 \times 51 = 408$.

(B) दी गई व्यंजक $\sum_{k=1}^{n} \left(1-\frac{k}{n+1}\right)$ है।
इसे $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\left(1-\frac{n}{n+1}\right)$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।
इस श्रेणी में $n$ पद हैं,इसलिए हम इसे $n - \left(\frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} + \cdots + \frac{n}{n+1}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हर को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $n - \frac{1}{n+1} (1+2+3+\cdots+n)$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$n - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
अंश और हर से $(n+1)$ को काटने पर,हमें $n - \frac{n}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\frac{n}{2}$ है।

(B) एक घड़ी प्रत्येक घंटे पर उतने ही बार बजती है जितने बजे होते हैं (जैसे,$1$ बजे $1$ बार,$2$ बजे $2$ बार,...,$12$ बजे $12$ बार)।
$12$ घंटों में कुल बार बजने की संख्या प्रथम $12$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
योग $= 1 + 2 + 3 + \dots + 12 = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 78$.
चूंकि एक दिन में $24$ घंटे होते हैं,इसलिए घड़ी $12$ घंटों के दो चक्र पूरे करती है।
एक दिन में कुल बार बजने की संख्या $= 2 \times 78 = 156$।

(D) दिया गया है कि $a, 1, b$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
इसलिए,$1 = \frac{a+b}{2}$,जिसका अर्थ है $a+b = 2$ $......(1)$.
दिया गया है कि $1, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
इसलिए,$a^2 = 1 \times b$,जिसका अर्थ है $b = a^2$ $......(2)$.
समीकरण $(2)$ से $b$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + a^2 = 2$
$a^2 + a - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(a+2)(a-1) = 0$
अतः,$a = -2$ या $a = 1$.
यदि $a = 1$ है,तो $b = (1)^2 = 1$. लेकिन,प्रश्न में दिया गया है कि $a \neq b$,इसलिए यह स्थिति संभव नहीं है।
यदि $a = -2$ है,तो $b = (-2)^2 = 4$.
अतः,$a = -2$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र: $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
$11^{2} + 12^{2} + \cdots + 21^{2}$ का योगफल ज्ञात करने के लिए,हम इसे $21$ तक के वर्गों के योगफल और $10$ तक के वर्गों के योगफल के अंतर के रूप में लिख सकते हैं:
योगफल $= \sum_{k=1}^{21} k^{2} - \sum_{k=1}^{10} k^{2}$.
$n = 21$ के लिए: $\frac{21(21+1)(2 \times 21 + 1)}{6} = \frac{21 \times 22 \times 43}{6} = 7 \times 11 \times 43 = 3311$.
$n = 10$ के लिए: $\frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 5 \times 11 \times 7 = 385$.
अतः,अभीष्ट योगफल $3311 - 385 = 2926$ है।

(C) दिया गया है कि $\log 2, \log (2^{x}-1)$ और $\log (2^{x}+3)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए शर्त $2b = a + c$ होती है।
अतः,$2 \log (2^{x}-1) = \log 2 + \log (2^{x}+3)$.
$\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^{n})$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log (2^{x}-1)^{2} = \log [2(2^{x}+3)]$.
दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर:
$(2^{x}-1)^{2} = 2(2^{x}+3)$.
माना $2^{x} = y$ है। तो समीकरण इस प्रकार होगा:
$(y-1)^{2} = 2(y+3)$.
$y^{2} - 2y + 1 = 2y + 6$.
$y^{2} - 4y - 5 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(y-5)(y+1) = 0$.
अतः,$y = 5$ या $y = -1$.
चूंकि $2^{x} = y$ है और $2^{x}$ हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $y = -1$ संभव नहीं है।
अतः,$2^{x} = 5$.
दोनों पक्षों में आधार $2$ के साथ लघुगणक लेने पर:
$x = \log _{2} 5$.

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करने का सूत्र है: $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
यहाँ $n = 10$ रखने पर,सूत्र में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+10^{2} = \frac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{6}$।
$= \frac{10 \times 11 \times 21}{6}$।
$= \frac{2310}{6} = 385$।

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots$ है।
हम इसे $S = 1 + (0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots)$ के रूप में लिख सकते हैं।
कोष्ठक के अंदर का भाग एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G.P.$) है, जहाँ प्रथम पद $a = 0.6$ और सार्व अनुपात $r = \frac{0.06}{0.6} = 0.1 = \frac{1}{10}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योगफल ज्ञात करने का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है।
मान रखने पर, हमें $S_{\infty} = \frac{0.6}{1 - 0.1} = \frac{0.6}{0.9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, कुल योगफल $S = 1 + \frac{2}{3} = 1 \frac{2}{3}$ है।

(C) दिया गया अनुक्रम $0, 3, 8, 15, 24, 35, \dots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर देखें:
$3 - 0 = 3$
$8 - 3 = 5$
$15 - 8 = 7$
$24 - 15 = 9$
$35 - 24 = 11$
अंतर क्रमागत विषम संख्याएँ हैं: $3, 5, 7, 9, 11, \dots$
$9$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम इस पैटर्न को जारी रखते हैं:
$7$ वाँ पद $= 35 + 13 = 48$
$8$ वाँ पद $= 48 + 15 = 63$
$9$ वाँ पद $= 63 + 17 = 80$
वैकल्पिक रूप से,अनुक्रम का $n$ वाँ पद $a_n = n^2 - 1$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 9$ के लिए,$a_9 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $\frac{1}{n(n+1)}$ द्वारा दिया गया है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर:
$\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
...
$\frac{1}{99 \times 100} = \frac{1}{99} - \frac{1}{100}$
इन पदों का योग करने पर:
$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,केवल पहला और अंतिम पद शेष रहेगा:
$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{100-1}{100} = \frac{99}{100}$।

(C) $1$ से $100$ तक की संख्याओं के सभी अंकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $00$ से $99$ तक की संख्याओं पर विचार करते हैं (क्योंकि $00$ से $09$ का मान $0$ से $9$ के समान है और $100$ में अंकों का योग $1+0+0=1$ होता है)।
यहाँ कुल $100$ संख्याएँ हैं,जिनमें प्रत्येक के $2$ अंक हैं,अर्थात कुल $200$ अंकों के स्थान हैं।
प्रत्येक अंक ($0$ से $9$) इकाई और दहाई के स्थान पर समान बार आता है।
प्रत्येक अंक कितनी बार आता है $= \frac{200}{10} = 20$ बार।
$0$ से $9$ तक के अंकों का योग $= 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$।
$00$ से $99$ तक की संख्याओं के अंकों का कुल योग $= 20 \times 45 = 900$।
अंत में,$100$ के अंकों का योग $(1+0+0 = 1)$ जोड़ने पर:
कुल योग $= 900 + 1 = 901$।