Progression and Sequence Questions in Hindi

(D) माना $G.P.$ के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $27$ है,अतः $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 27$,जिसका अर्थ है $a^3 = 27$,इसलिए $a = 3$.
इन पदों का योग $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3(\frac{1}{r} + r + 1)$ है।
स्थिति $1$: यदि $r > 0$ है,तो $AM \geq GM$ के अनुसार,$\frac{r + \frac{1}{r}}{2} \geq \sqrt{r \cdot \frac{1}{r}} = 1$,इसलिए $r + \frac{1}{r} \geq 2$.
अतः,$S = 3(r + \frac{1}{r} + 1) \geq 3(2 + 1) = 9$.
स्थिति $2$: यदि $r < 0$ है,तो माना $r = -k$ जहाँ $k > 0$. तो $r + \frac{1}{r} = -(k + \frac{1}{k}) \leq -2$.
अतः,$S = 3(r + \frac{1}{r} + 1) \leq 3(-2 + 1) = -3$.
इसलिए,$S \in (-\infty, -3] \cup [9, \infty)$.

(B) दिया गया है कि $A.P.$ के प्रथम $11$ पदों का योग $0$ है:
$S_{11} = \frac{11}{2} (2a_{1} + 10d) = 0$
$11(a_{1} + 5d) = 0 \Rightarrow a_{1} + 5d = 0 \Rightarrow d = -\frac{a_{1}}{5}$.
हमें श्रेणी $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ का योग ज्ञात करना है।
यह $12$ पदों वाली एक $A.P.$ है,जिसका प्रथम पद $A = a_{1}$ और सार्व अंतर $D = 2d$ है।
योग $S'$ इस प्रकार है:
$S' = \frac{12}{2} [2A + (12-1)D] = 6 [2a_{1} + 11(2d)] = 6 [2a_{1} + 22d]$.
$d = -\frac{a_{1}}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S' = 6 [2a_{1} + 22(-\frac{a_{1}}{5})] = 6 [2a_{1} - \frac{22a_{1}}{5}] = 6 [\frac{10a_{1} - 22a_{1}}{5}] = 6 [-\frac{12a_{1}}{5}] = -\frac{72}{5} a_{1}$.
अतः,$k = -\frac{72}{5}$.

(C) दी गई श्रेणी $S = (x+ka) + (x^2+(k+2)a) + (x^3+(k+4)a) + \dots$ है,जो $9$ पदों तक है।
हम योग को तीन भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$S = (x + x^2 + x^3 + \dots + x^9) + (ka + ka + \dots + ka \text{ [9 बार]}) + (0 + 2a + 4a + \dots + 16a)$.
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) है: $x \frac{x^9-1}{x-1} = \frac{x^{10}-x}{x-1}$.
दूसरा भाग $9ka$ है।
तीसरा भाग एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) है जिसमें $n=9$,प्रथम पद $0$,और सार्व अंतर $2a$ है: $\frac{9}{2} [2(0) + (9-1)2a] = \frac{9}{2} [16a] = 72a$.
अतः,$S = \frac{x^{10}-x}{x-1} + 9ka + 72a = \frac{x^{10}-x + (9k+72)a(x-1)}{x-1}$.
इसे दिए गए समीकरण $S = \frac{x^{10}-x+45a(x-1)}{x-1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $9k + 72 = 45$ प्राप्त होता है।
$9k = 45 - 72 = -27$.
$k = -3$.

(A) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ दी गई $A.P.$ का सार्व अंतर है,जहाँ $d > 0$ है।
पद $a, a+d, a+2d, \ldots, a+10d$ हैं।
माध्य $\bar{X} = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id) = a + \frac{d}{11} \times \frac{10 \times 11}{2} = a + 5d$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{X})^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id - (a + 5d))^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (i-5)^2 d^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{d^2}{11} [(-5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2]$ है।
$\sigma^2 = \frac{d^2}{11} [25 + 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25] = \frac{d^2}{11} [110] = 10d^2$ है।
दिया गया प्रसरण $90$ है,इसलिए $10d^2 = 90 \Rightarrow d^2 = 9$ है।
चूंकि श्रेणी वर्धमान है,इसलिए $d > 0$,अतः $d = 3$ है।

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = 19 \frac{3}{5} - 20 = \frac{98}{5} - \frac{100}{5} = -\frac{2}{5}$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 488$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2} [2(20) + (n - 1)(-\frac{2}{5})] = 488$.
$\frac{n}{2} [40 - \frac{2n}{5} + \frac{2}{5}] = 488$.
$n [20 - \frac{n}{5} + \frac{1}{5}] = 488$.
$n [\frac{101 - n}{5}] = 488$.
$n(101 - n) = 2440$.
$n^2 - 101n + 2440 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n - 40)(n - 61) = 0$.
अतः,$n = 40$ या $n = 61$ है।
यदि $n = 61$ है,तो $n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d = 20 + (60)(-\frac{2}{5}) = 20 - 24 = -4$ है।
यदि $n = 40$ है,तो $n$ वां पद $T_n = 20 + (39)(-\frac{2}{5}) = 20 - 15.6 = 4.4$ (जो ऋणात्मक नहीं है)।
अतः,$n$ वें पद के ऋणात्मक होने के लिए,$n = 61$ और $n$ वां पद $-4$ है।

(A) माना $3$ और $243$ के बीच $m$ समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_m$ हैं।
सार्व अंतर $d = \frac{243 - 3}{m + 1} = \frac{240}{m + 1}$ है।
$4^{\text{th}}$ समांतर माध्य $A_4 = a + 4d = 3 + 4\left(\frac{240}{m + 1}\right)$ है।
माना $3$ और $243$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, G_3$ हैं।
सार्व अनुपात $r = \left(\frac{243}{3}\right)^{\frac{1}{3 + 1}} = (81)^{1/4} = 3$ है।
$2^{\text{nd}}$ गुणोत्तर माध्य $G_2 = ar^2 = 3(3)^2 = 27$ है।
दिया गया है कि $A_4 = G_2$,इसलिए:
$3 + \frac{960}{m + 1} = 27$
$\frac{960}{m + 1} = 24$
$m + 1 = \frac{960}{24} = 40$
$m = 39$.

(D) माना कि प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $25$ पदों का योगफल $S_{25} = \frac{25}{2}[2(3) + 24d] = \frac{25}{2}[6 + 24d] = 25(3 + 12d) = 75 + 300d$ है।
अगले $15$ पदों का योगफल $S_{26-40} = S_{40} - S_{25}$ है।
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(3) + 39d] = 20[6 + 39d] = 120 + 780d$ है।
दिया गया है कि $S_{25} = S_{40} - S_{25}$,जिसका अर्थ है कि $2S_{25} = S_{40}$।
$2(75 + 300d) = 120 + 780d$.
$150 + 600d = 120 + 780d$.
$150 - 120 = 780d - 600d$.
$30 = 180d$.
$d = \frac{30}{180} = \frac{1}{6}$।

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $S = S_1 + S_2$ है,जहाँ $S_1 = (2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots$ $\text{51 पदों तक}$) और $S_2 = (1! - 2! + 3! - \dots$ $\text{51 पदों तक}$) है।
हम जानते हैं कि ${}^{n}P_{n-1} = n!$.
अतः,$S_1 = (2 \cdot 1! - 3 \cdot 2! + 4 \cdot 3! - \dots + 52 \cdot 51!)$.
चूँकि $(n+1) \cdot n! = (n+1)!$,इसलिए $S_1 = (2! - 3! + 4! - \dots + 52!)$.
अब,$S_2 = (1! - 2! + 3! - 4! + \dots + 51!)$.
$S_1$ और $S_2$ को जोड़ने पर:
$S = (2! - 3! + 4! - \dots + 52!) + (1! - 2! + 3! - 4! + \dots + 51!)$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S = 1! + 52! = 1 + 52!$.

(C) $A.P.$ का $n$-वाँ पद $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a_{1} = 1$ और $a_{n} = 300$,इसलिए $300 = 1 + (n-1)d$,जिसका अर्थ है $(n-1)d = 299$.
$299$ का अभाज्य गुणनखंड $13 \times 23$ है।
चूंकि $15 \leq n \leq 50$,इसलिए $14 \leq n-1 \leq 49$ है।
$(n-1)$ के लिए संभावित मान $23$ या $13$ हैं (चूंकि $n-1 \geq 14$,इसलिए $13$ संभव नहीं है)।
अतः,$n-1 = 23 \Rightarrow n = 24$ और $d = 13$.
हमें $(S_{n-4}, a_{n-4}) = (S_{20}, a_{20})$ ज्ञात करना है।
$a_{20} = a_{1} + 19d = 1 + 19(13) = 1 + 247 = 248$.
$S_{20} = \frac{20}{2}(a_{1} + a_{20}) = 10(1 + 248) = 10(249) = 2490$.
इसलिए,क्रमित युग्म $(2490, 248)$ है।

(A) दो धनात्मक संख्याओं $2^{\sin x}$ और $2^{\cos x}$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$
हम जानते हैं कि $\sin x + \cos x$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\min(2^{\sin x} + 2^{\cos x}) = 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

(C) मान लीजिए कि मूल गुणोत्तर श्रेणी में $\alpha, \alpha r, \alpha r^2, \alpha r^3$ हैं।
प्रथम समीकरण $x^2 - 3x + p = 0$ से,मूलों का योग $\alpha + \alpha r = 3 \implies \alpha(1+r) = 3$ (समीकरण $1$)।
मूलों का गुणनफल $p = \alpha^2 r$ है।
दूसरे समीकरण $x^2 - 6x + q = 0$ से,मूलों का योग $\alpha r^2 + \alpha r^3 = 6 \implies \alpha r^2(1+r) = 6$ (समीकरण $2$)।
मूलों का गुणनफल $q = \alpha^2 r^5$ है।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $\frac{\alpha r^2(1+r)}{\alpha(1+r)} = \frac{6}{3} \implies r^2 = 2$।
अब,$p$ और $q$ को $\alpha$ और $r$ के पदों में ज्ञात करने पर: $p = \alpha^2 r$ और $q = \alpha^2 r^5 = p r^4$।
चूंकि $r^2 = 2$,इसलिए $r^4 = 4$।
अतः,$q = p(4) = 4p$।
अनुपात $\frac{2q+p}{2q-p} = \frac{2(4p)+p}{2(4p)-p} = \frac{8p+p}{8p-p} = \frac{9p}{7p} = \frac{9}{7}$।

(B) दी गई व्यंजक $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ है।
योगफल में $10$ पद हैं और प्रारंभिक $1$ को जोड़ने पर कुल $11$ पद होते हैं।
$S = 11 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1) = 11 - 4 \sum_{n=1}^{10} (2n^3 - n^2)$।
$n=10$ के लिए योगफल सूत्रों $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = (55)^2 = 3025$।
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = 11 - 4 [2(3025) - 385] = 11 - 4 [6050 - 385] = 11 - 4(5665) = 11 - 22660$।
हमें $\alpha - 220 \beta$ का रूप चाहिए। चूँकि $22660 = 220 \times 103$ है,इसलिए $S = 11 - 220(103)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha, \beta) = (11, 103)$।

(D) दी गई श्रेणी $\log_{(7^{1/2})} x + \log_{(7^{1/3})} x + \log_{(7^{1/4})} x + \dots + \log_{(7^{1/21})} x = 460$ है।
गुणधर्म $\log_{(a^n)} x = \frac{1}{n} \log_a x$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2 \log_7 x + 3 \log_7 x + 4 \log_7 x + \dots + 21 \log_7 x = 460$.
$\log_7 x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\log_7 x \cdot (2 + 3 + 4 + \dots + 21) = 460$.
समांतर श्रेणी $2 + 3 + \dots + 21$ का योग $\frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $n = 20$,$a = 2$,और $l = 21$ है।
योग $= \frac{20}{2}(2 + 21) = 10 \times 23 = 230$.
अतः,$230 \cdot \log_7 x = 460$.
$\log_7 x = \frac{460}{230} = 2$.
इसलिए,$x = 7^2 = 49$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $n = 11$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2^{10}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{3}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ है।
मान रखने पर: $S' = 2^{10} \cdot \frac{(\frac{3}{2})^{11} - 1}{\frac{3}{2} - 1}$.
$S' = 2^{10} \cdot \frac{\frac{3^{11}}{2^{11}} - 1}{\frac{1}{2}} = 2^{11} \cdot (\frac{3^{11} - 2^{11}}{2^{11}})$.
$S' = 3^{11} - 2^{11}$.
दिया गया है कि $S' = S - 2^{11}$,इसलिए $3^{11} - 2^{11} = S - 2^{11}$.
अतः,$S = 3^{11}$.

(B) माना $A.P.$ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ का सार्व अंतर $d$ है। तब $A.P.$ $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ का सार्व अंतर $d + 2$ होगा।
प्रथम $A.P.$ के लिए:
$a_{40} = a_{1} + 39d = -159$ $(1)$
$a_{100} = a_{1} + 99d = -399$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$60d = -240 \Rightarrow d = -4.$
$d = -4$ को $(1)$ में रखने पर:
$a_{1} + 39(-4) = -159 \Rightarrow a_{1} - 156 = -159 \Rightarrow a_{1} = -3.$
अब,$a_{70}$ ज्ञात कीजिए:
$a_{70} = a_{1} + 69d = -3 + 69(-4) = -3 - 276 = -279.$
दिया है कि $b_{100} = a_{70} = -279.$
दूसरे $A.P.$ के लिए:
$b_{100} = b_{1} + 99(d + 2) = -279.$
चूंकि $d = -4,$ इसलिए $d + 2 = -2.$
$b_{1} + 99(-2) = -279$
$b_{1} - 198 = -279$
$b_{1} = -279 + 198 = -81.$

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x)f(y)$ है।
$x=1, y=1$ रखने पर,हमें $f(2) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है।
$x=2, y=1$ रखने पर,हमें $f(3) = f(2)f(1) = 3^2 \cdot 3 = 3^3 = 27$ प्राप्त होता है।
गणितीय आगमन द्वारा,यह सिद्ध होता है कि $f(x) = 3^x$ है।
हमें योग $\sum_{i=1}^{n} f(i) = 363$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\sum_{i=1}^{n} 3^i = 363$।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अनुपात $r = 3$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 363$।
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 363$।
$3(3^n - 1) = 726$।
$3^n - 1 = 242$।
$3^n = 243$।
चूंकि $243 = 3^5$,इसलिए $n = 5$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2})=0$ है।
इसे $(a^{2}p^{2}-2abp+b^{2})+(b^{2}p^{2}-2bcp+c^{2})+(c^{2}p^{2}-2cdp+d^{2})=0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
यह सरल होकर $(ap-b)^{2}+(bp-c)^{2}+(cp-d)^{2}=0$ बन जाता है।
चूंकि $a, b, c, d, p$ वास्तविक संख्याएँ हैं,वर्गों का योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0$।
इसका अर्थ है $p = b/a = c/b = d/c$।
अतः,क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है,जिसका अर्थ है कि $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

(B) माना श्रेणी $a_n = 1, 7, 17, 31, 49, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर इस प्रकार है:
$7 - 1 = 6$
$17 - 7 = 10$
$31 - 17 = 14$
$49 - 31 = 18$
अंतरों की श्रृंखला $6, 10, 14, 18, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 6$ और सार्व अंतर $d = 4$ है।
मूल श्रेणी का $n^{th}$ पद द्विघात रूप $a_n = An^2 + Bn + C$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$n=1$ के लिए: $A + B + C = 1$
$n=2$ के लिए: $4A + 2B + C = 7$
$n=3$ के लिए: $9A + 3B + C = 17$
पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर: $3A + B = 6$
दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाने पर: $5A + B = 10$
इन परिणामों को घटाने पर: $2A = 4 \implies A = 2$।
$A=2$ को $3A + B = 6$ में रखने पर,हमें $6 + B = 6 \implies B = 0$ प्राप्त होता है।
$A=2, B=0$ को $A + B + C = 1$ में रखने पर,हमें $2 + 0 + C = 1 \implies C = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$n^{th}$ पद $a_n = 2n^2 - 1$ है।

(B) दी गई श्रेणी $12, 72, 432, 2592, \dots$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 12$ और सार्व अनुपात $r = \frac{72}{12} = 6$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$-वें पद का सूत्र $T_n = a \times r^{n-1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $T_n = 12 \times 6^{n-1}$ प्राप्त होता है।
हम $12$ को $2 \times 6$ के रूप में लिख सकते हैं,इसलिए $T_n = (2 \times 6) \times 6^{n-1} = 2 \times 6^{1 + n - 1} = 2 \times 6^{n}$।
अतः,$n$-वाँ पद $2 \times 6^{n}$ है।

(C) माना कि श्रेणी $a_n = 5, 14, 29, 50, 77, \ldots$ है।
प्रथम अंतर की गणना करें: $14-5=9, 29-14=15, 50-29=21, 77-50=27$।
अंतर $9, 15, 21, 27, \ldots$ हैं,जो $6$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
चूंकि दूसरा अंतर स्थिर $(6)$ है,इसलिए $n^{th}$ पद $a_n = An^2 + Bn + C$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है।
$n=1$ के लिए: $A + B + C = 5$
$n=2$ के लिए: $4A + 2B + C = 14$
$n=3$ के लिए: $9A + 3B + C = 29$
समीकरणों को घटाने पर: $(4A+2B+C) - (A+B+C) = 14-5 \implies 3A + B = 9$।
$(9A+3B+C) - (4A+2B+C) = 29-14 \implies 5A + B = 15$।
इन परिणामों को घटाने पर: $(5A+B) - (3A+B) = 15-9 \implies 2A = 6 \implies A = 3$।
$A=3$ को $3A+B=9$ में रखने पर: $3(3) + B = 9 \implies B = 0$।
$A=3, B=0$ को $A+B+C=5$ में रखने पर: $3 + 0 + C = 5 \implies C = 2$।
अतः,$n^{th}$ पद $a_n = 3n^2 + 2$ है।

(C) मान लीजिए कि $20$ और $76$ के बीच छह समांतर माध्य $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ हैं।
तब,अनुक्रम $20, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, 76$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है जिसमें $n = 8$ पद हैं।
प्रथम पद $a = 20$ और अंतिम पद $a_8 = 76$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,$76 = 20 + (8 - 1)d$.
$76 - 20 = 7d \Rightarrow 56 = 7d \Rightarrow d = 8$.
समांतर माध्य इस प्रकार हैं:
$A_1 = 20 + 8 = 28$
$A_2 = 28 + 8 = 36$
$A_3 = 36 + 8 = 44$
$A_4 = 44 + 8 = 52$
$A_5 = 52 + 8 = 60$
$A_6 = 60 + 8 = 68$
अतः,समांतर माध्य $28, 36, 44, 52, 60, 68$ हैं।

(B) माना पदों की संख्या $n$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है,प्रथम पद $a = 75$ और अंतिम पद $l = a_n = 375$ है।
$AP$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ होता है।
मान रखने पर: $3600 = \frac{n}{2}(75 + 375)$.
$3600 = \frac{n}{2}(450)$.
$3600 = 225n$.
$n = \frac{3600}{225} = 16$.
अब,$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
$375 = 75 + (16 - 1)d$.
$375 - 75 = 15d$.
$300 = 15d$.
$d = \frac{300}{15} = 20$.
अतः,पदों की संख्या $16$ है और सार्व अंतर $20$ है।

(C) समांतर श्रेणी $(AP)$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ है,जहाँ $n$ पदों की संख्या है,$a_1$ प्रथम पद है और $a_n$ अंतिम पद है।
दिया गया है:
पदों की संख्या $n = 40$
प्रथम पद $a_1 = 80$
अंतिम पद $a_{40} = 275$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_{40} = \frac{40}{2}(80 + 275)$
$S_{40} = 20(355)$
$S_{40} = 7100$
अतः,$40$ पदों का योग $7100$ है।

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 6$ है।
सार्व अनुपात $r$ की गणना $r = \frac{12}{6} = 2$ के रूप में की जाती है।
$GP$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a \times r^{n-1}$ है।
सातवां पद $(n = 7)$ ज्ञात करने के लिए:
$T_7 = 6 \times 2^{7-1} = 6 \times 2^6$.
चूंकि $2^6 = 64$,इसलिए:
$T_7 = 6 \times 64 = 384$.

(B) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है।
प्रथम पद $(a)$ = $39366$.
सार्व अनुपात $(r)$ = $\frac{13122}{39366} = \frac{1}{3}$.
$GP$ का $n$ वां पद ज्ञात करने का सूत्र $a_n = a \cdot r^{n-1}$ है।
सातवां पद $(a_7)$ ज्ञात करने के लिए,हम $n = 7$,$a = 39366$,और $r = \frac{1}{3}$ रखते हैं:
$a_7 = 39366 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{7-1}$
$a_7 = 39366 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^6$
$a_7 = 39366 \cdot \frac{1}{729}$
$a_7 = 54$.

(A) दी गई श्रेणी एक $GP$ है जहाँ प्रथम पद $a_1 = 21a$ है।
सार्व अनुपात $r$ ज्ञात करने के लिए,हम दूसरे पद को पहले पद से विभाजित करते हैं: $r = \frac{84a^3}{21a} = 4a^2$.
$GP$ का $n$ वां पद ज्ञात करने का सूत्र $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ है।
सातवें पद $(n = 7)$ के लिए:
$a_7 = (21a) \cdot (4a^2)^{7-1}$
$a_7 = 21a \cdot (4a^2)^6$
$a_7 = 21a \cdot 4^6 \cdot a^{12}$
$a_7 = 21 \cdot 4096 \cdot a^{13}$
$a_7 = 86016a^{13}$.

(C) दिया गया है: प्रथम पद $a = 1024$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
$GP$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ होता है,जहाँ $r < 1$ है।
$n = 7$ के लिए मान रखने पर:
$S_7 = \frac{1024(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_7 = \frac{1024(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}}$
$S_7 = 1024 \times (\frac{127}{128}) \times 2$
$S_7 = 8 \times 127 \times 2 = 16 \times 127 = 2032$.

(B) माना $GP$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $8000$ है,इसलिए $\frac{a}{r} \times a \times ar = 8000$.
इसे सरल करने पर $a^3 = 8000$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 20$ मिलता है।
दिया गया है कि उनका योग $105$ है,इसलिए $\frac{a}{r} + a + ar = 105$.
$a = 20$ रखने पर,हमें $\frac{20}{r} + 20 + 20r = 105$ प्राप्त होता है।
$5$ से भाग देने पर,$\frac{4}{r} + 4 + 4r = 21$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4r^2 - 17r + 4 = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण $4r^2 - 16r - r + 4 = 0$ को हल करने पर,हमें $4r(r - 4) - 1(r - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(4r - 1)(r - 4) = 0$,जिससे $r = 4$ या $r = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि $r = 4$ है,तो संख्याएँ $\frac{20}{4}, 20, 20 \times 4$ अर्थात $5, 20, 80$ हैं।
यदि $r = \frac{1}{4}$ है,तो संख्याएँ $\frac{20}{1/4}, 20, 20 \times \frac{1}{4}$ अर्थात $80, 20, 5$ हैं।
दोनों स्थितियों में,संख्याओं का समूह ${5, 20, 80}$ है।

(C) दिया गया है कि $AM = 17$ और $GM = 8$ है।
माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हम जानते हैं कि $AM = \frac{a+b}{2} = 17 \implies a+b = 34$ $(1)$.
हम जानते हैं कि $GM = \sqrt{ab} = 8 \implies ab = 64$ $(2)$.
संबंध $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ का उपयोग करने पर:
$(a-b)^2 = (34)^2 - 4(64) = 1156 - 256 = 900$.
अतः,$a-b = 30$ $(3)$.
$(1)$ और $(3)$ को हल करने पर,हमें $2a = 64 \implies a = 32$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
हरात्मक माध्य $(HM)$ का सूत्र $HM = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2(64)}{34} = \frac{128}{34} = \frac{64}{17}$ है।
$AP$ है $2, 17, 32$।
$GP$ है $2, 8, 32$।
$HP$ है $2, \frac{64}{17}, 32$।

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = \frac{n-1}{n}$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{1}{n}$ लेते हुए (श्रेणी के पदों को सही मानते हुए): $d = \frac{n}{n} - \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}$।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ सूत्र का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2} [2(\frac{n-1}{n}) + (n-1)(\frac{1}{n})]$।
$S_n = \frac{n}{2} [\frac{2n-2+n-1}{n}] = \frac{n}{2} [\frac{3n-3}{n}] = \frac{3(n-1)}{2}$।

(C) प्रथम समांतर श्रेणी $(AP_1)$ के लिए: $3, 7, 11, 15, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a_1 = 3$ और सार्व अंतर $d_1 = 7 - 3 = 4$ है।
$n$ पदों का योग $S_{n_1} = \frac{n}{2} \{2a_1 + (n - 1)d_1\} = \frac{n}{2} \{2(3) + (n - 1)4\} = \frac{n}{2} \{6 + 4n - 4\} = \frac{n}{2} \{4n + 2\} = n(2n + 1)$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $(AP_2)$ के लिए: $30, 33, 36, 39, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a_2 = 30$ और सार्व अंतर $d_2 = 33 - 30 = 3$ है।
$n$ पदों का योग $S_{n_2} = \frac{n}{2} \{2a_2 + (n - 1)d_2\} = \frac{n}{2} \{2(30) + (n - 1)3\} = \frac{n}{2} \{60 + 3n - 3\} = \frac{n}{2} \{57 + 3n\} = \frac{3n(19 + n)}{2}$ है।
दिया गया है कि $S_{n_1} = S_{n_2}$:
$n(2n + 1) = \frac{3n(19 + n)}{2}$
चूंकि $n \neq 0$,$n$ से विभाजित करने पर:
$2n + 1 = \frac{3(19 + n)}{2}$
$2(2n + 1) = 3(19 + n)$
$4n + 2 = 57 + 3n$
$4n - 3n = 57 - 2$
$n = 55$.

(B) $GP$ के पहले $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$S_{20} = 1025 \times S_{10}$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{a(r^{20} - 1)}{r - 1} = 1025 \times \frac{a(r^{10} - 1)}{r - 1}$.
मान लीजिए $r \neq 1$ और $a \neq 0$,तो सरल करने पर: $r^{20} - 1 = 1025(r^{10} - 1)$.
चूंकि $r^{20} - 1 = (r^{10})^2 - 1^2 = (r^{10} - 1)(r^{10} + 1)$,इसलिए:
$(r^{10} - 1)(r^{10} + 1) = 1025(r^{10} - 1)$.
यदि $r^{10} - 1 \neq 0$ है,तो $r^{10} + 1 = 1025$.
$r^{10} = 1024$.
$r^{10} = 2^{10}$.
अतः,$r = \pm 2$.

(C) दी गई श्रेणी $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \cdots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ है,बशर्ते $|r| < 1$ हो।
यहाँ,$|r| = |\frac{1}{2}| < 1$ है,इसलिए योग का अस्तित्व है।
मान रखने पर,हमें $S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{5}{3^4} + \cdots$ है।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $S = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ है,जहाँ $x = \frac{1}{3}$ है।
इस श्रेणी का योग $|x| < 1$ के लिए सूत्र $S = \frac{1}{(1-x)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$S = \frac{1}{(1 - \frac{1}{3})^2}$
$S = \frac{1}{(\frac{2}{3})^2}$
$S = \frac{1}{\frac{4}{9}}$
$S = \frac{9}{4}$

(B) दो संख्याओं $a$ और $b$ के बीच गुणोत्तर माध्य $(GM)$ ज्ञात करने का सूत्र $GM = \sqrt{a \times b}$ है।
यहाँ $a = \frac{3}{2}$ और $b = \frac{27}{2}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$GM = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{27}{2}}$
$GM = \sqrt{\frac{81}{4}}$
$GM = \frac{9}{2}$.

(C) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
दिया गया है कि $9$ वाँ पद $a_9 = -6$ और सार्व अंतर $d = \frac{5}{4}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a_9 = a + (9 - 1)d$
$-6 = a + 8 \times \left(\frac{5}{4}\right)$
$-6 = a + 2 \times 5$
$-6 = a + 10$
$a = -6 - 10 = -16$.
अब,हमें $25$ वाँ पद $(a_{25})$ ज्ञात करना है:
$a_{25} = a + (25 - 1)d$
$a_{25} = -16 + 24 \times \left(\frac{5}{4}\right)$
$a_{25} = -16 + 6 \times 5$
$a_{25} = -16 + 30 = 14$.
अतः,$25$ वाँ पद $14$ है।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $(AP)$ $5, 13, 21, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ है।
सार्व अंतर $d = 13 - 5 = 8$ है।
माना कि $AP$ का $n$ वाँ पद $181$ है,अर्थात $a_n = 181$ है।
$AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
मान रखने पर: $181 = 5 + (n - 1)8$।
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर: $176 = (n - 1)8$।
$8$ से भाग देने पर: $n - 1 = 176 / 8 = 22$।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $n = 23$।
अतः,$181$ इस $AP$ का $23$ वाँ पद है।

(B) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = \frac{1}{n}$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$d = \frac{n+1}{n} - \frac{1}{n} = \frac{n+1-1}{n} = \frac{n}{n} = 1$.
समांतर श्रेणी के $n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ है।
मान रखने पर:
$a_n = \frac{1}{n} + (n-1)(1)$
$a_n = \frac{1}{n} + n - 1$
$a_n = \frac{1 + n(n-1)}{n}$
$a_n = \frac{1 + n^2 - n}{n}$.

(A) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
$A.P.$ का $n$-वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a_p = q$,अतः $a + (p-1)d = q$ $....(1)$
दिया गया है $a_q = p$,अतः $a + (q-1)d = p$ $....(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से घटाने पर:
$(a + (p-1)d) - (a + (q-1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = -(p - q)$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + (p-1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
अब,$r$-वाँ पद $a_r = a + (r-1)d$ है।
$a_r = (p + q - 1) + (r - 1)(-1)$
$a_r = p + q - 1 - r + 1$
$a_r = p + q - r$

(A) चूंकि $\frac{2}{3}, k, \frac{5}{8} k$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर समान होना चाहिए।
अतः,$k - \frac{2}{3} = \frac{5}{8} k - k$.
$k$ को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$k - \frac{5}{8} k + k = \frac{2}{3}$
$2k - \frac{5}{8} k = \frac{2}{3}$
बाएं पक्ष का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{16k - 5k}{8} = \frac{2}{3}$
$\frac{11k}{8} = \frac{2}{3}$
$k$ का मान ज्ञात करने पर:
$k = \frac{2}{3} \times \frac{8}{11} = \frac{16}{33}$.

(D) चूंकि $k+2, 4k-6$ और $3k-2$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर समान होना चाहिए।
अतः,$(4k-6) - (k+2) = (3k-2) - (4k-6)$.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $4k - 6 - k - 2 = 3k - 8$.
दाएँ पक्ष को सरल करने पर: $3k - 2 - 4k + 6 = -k + 4$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $3k - 8 = -k + 4$.
दोनों पक्षों में $k$ जोड़ने पर: $4k - 8 = 4$.
दोनों पक्षों में $8$ जोड़ने पर: $4k = 12$.
$4$ से भाग देने पर: $k = 3$.

(D) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $7$ वें पद और $3$ रे पद का अनुपात $12:5$ है:
$\frac{a + 6d}{a + 2d} = \frac{12}{5}$
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$5(a + 6d) = 12(a + 2d)$
$5a + 30d = 12a + 24d$
$30d - 24d = 12a - 5a$
$6d = 7a$
$a = \frac{6}{7}d$
अब,हमें $13$ वें पद और $4$ थे पद का अनुपात ज्ञात करना है:
$\frac{a_{13}}{a_4} = \frac{a + 12d}{a + 3d}$
$a = \frac{6}{7}d$ का मान रखने पर:
$\frac{\frac{6}{7}d + 12d}{\frac{6}{7}d + 3d} = \frac{\frac{6d + 84d}{7}}{\frac{6d + 21d}{7}} = \frac{90d}{27d} = \frac{90}{27}$
अंश और हर को $9$ से विभाजित करने पर:
$\frac{90}{27} = \frac{10}{3}$
अतः,अनुपात $10:3$ है।

(C) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$a_7 = a + 6d$ और $a_{11} = a + 10d$ है।
प्रश्न के अनुसार,$7a_7 = 11a_{11}$ है।
मान रखने पर,$7(a + 6d) = 11(a + 10d)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $7a + 42d = 11a + 110d$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7a - 11a = 110d - 42d$।
$-4a = 68d$,जिसे सरल करने पर $a = -17d$ (समीकरण $1$) प्राप्त होता है।
हमें $18$ वां पद ज्ञात करना है,$a_{18} = a + 17d$।
समीकरण $1$ से $a = -17d$ का मान $a_{18}$ के व्यंजक में रखने पर:
$a_{18} = -17d + 17d = 0$।
अतः,$A.P.$ का $18$ वां पद $0$ है।

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$4$था पद $a_4 = a + 3d$ है। प्रश्न के अनुसार,$a_4 = 3a$.
अतः,$a + 3d = 3a \Rightarrow 3d = 2a \Rightarrow a = \frac{3}{2}d$ $...(1)$
$7$वां पद $a_7 = a + 6d$ है और $3$रा पद $a_3 = a + 2d$ है।
प्रश्न के अनुसार,$a_7 = 2a_3 + 1$.
अतः,$a + 6d = 2(a + 2d) + 1$
$a + 6d = 2a + 4d + 1$
$2d - a = 1$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से $a = \frac{3}{2}d$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2d - \frac{3}{2}d = 1$
$\frac{4d - 3d}{2} = 1$
$\frac{d}{2} = 1 \Rightarrow d = 2$
अब,$d = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a = \frac{3}{2} \times 2 = 3$
अतः,प्रथम पद $3$ है और सार्व अंतर $2$ है।

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
दिया गया है कि $9$ वां पद $99$ है:
$a + 8d = 99$ $...(1)$
दिया गया है कि $99$ वां पद $9$ है:
$a + 98d = 9$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 98d) - (a + 8d) = 9 - 99$
$90d = -90$
$d = -1$
$d = -1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 8(-1) = 99$
$a - 8 = 99$
$a = 107$
अब,$108$ वां पद $(a_{108})$ ज्ञात कीजिए:
$a_{108} = a + (108 - 1)d$
$a_{108} = 107 + 107(-1)$
$a_{108} = 107 - 107 = 0$
अतः,$108$ वां पद $0$ है।

(C) माना $A$ एक $A.P.$ का प्रथम पद है और $D$ सार्व अंतर है।
$p$ वाँ पद $a = A + (p-1)D$ $...(1)$
$q$ वाँ पद $b = A + (q-1)D$ $...(2)$
$r$ वाँ पद $c = A + (r-1)D$ $...(3)$
अब,इन मानों को व्यंजक $a(q-r) + b(r-p) + c(p-q)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= [A + (p-1)D](q-r) + [A + (q-1)D](r-p) + [A + (r-1)D](p-q)$
$= A(q-r + r-p + p-q) + D[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$
$= A(0) + D[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$= 0 + D[0] = 0$
अतः,व्यंजक का मान $0$ है।

(D) पिंड द्वारा पहले,दूसरे,तीसरे,चौथे,... सेकंड में तय की गई दूरियाँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती हैं: $16, 48, 80, 112, \dots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 16$ और सार्व अंतर $d = 48 - 16 = 32$ है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी समांतर श्रेणी के $n^{th}$ पद द्वारा दी जाती है: $T_n = a + (n - 1)d$.
$11^{th}$ सेकंड के लिए,$n = 11$ रखने पर।
$T_{11} = 16 + (11 - 1) \times 32$
$T_{11} = 16 + 10 \times 32$
$T_{11} = 16 + 320 = 336\, m$.

(A) गेंद द्वारा क्रमिक सेकंडों में तय की गई दूरियाँ $36\, m, 32\, m, 28\, m, \dots$ हैं।
यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है जहाँ प्रथम पद $a = 36$ और सार्व अंतर $d = 32 - 36 = -4$ है।
$n^{th}$ सेकंड के दौरान तय की गई दूरी समांतर श्रेणी के $n^{th}$ पद के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$T_n = a + (n - 1)d$
$8^{th}$ सेकंड के लिए,$n = 8$ रखने पर:
$T_8 = 36 + (8 - 1)(-4)$
$T_8 = 36 + 7(-4)$
$T_8 = 36 - 28$
$T_8 = 8\, m$
अतः,गेंद $8^{th}$ सेकंड के दौरान $8\, m$ की दूरी तय करेगी।

(B) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ समांतर श्रेणी का सार्व अंतर है।
हम जानते हैं कि $n$ वां पद $t_{n} = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{2} = 2$,अतः $a + d = 2$ $...(1)$.
दिया गया है $t_{7} = 22$,अतः $a + 6d = 22$ $...(2)$.
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 6d) - (a + d) = 22 - 2$
$5d = 20$,जिससे $d = 4$ प्राप्त होता है।
$d = 4$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 4 = 2$,अतः $a = -2$.
प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
$n = 35$ के लिए:
$S_{35} = \frac{35}{2}[2(-2) + (35 - 1)4]$
$S_{35} = \frac{35}{2}[-4 + 34 \times 4]$
$S_{35} = \frac{35}{2}[-4 + 136]$
$S_{35} = \frac{35}{2} \times 132$
$S_{35} = 35 \times 66 = 2310$.

(C) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a_5 = 30$,इसलिए $a + 4d = 30$ --- $(1)$
दिया गया है $a_{12} = 65$,इसलिए $a + 11d = 65$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 11d) - (a + 4d) = 65 - 30$
$7d = 35$
$d = 5$
$d = 5$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 4(5) = 30$
$a + 20 = 30$
$a = 10$
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 20$ के लिए:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(10) + (20-1)5]$
$S_{20} = 10[20 + 19 \times 5]$
$S_{20} = 10[20 + 95]$
$S_{20} = 10 \times 115 = 1150$.