Progression and Sequence Questions in Hindi

(C) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
समांतर श्रेणी के पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया समीकरण: $a_4 - a_7 + a_{10} = m$.
सामान्य रूप प्रतिस्थापित करने पर:
$(a + 3d) - (a + 6d) + (a + 9d) = m$
$a + 3d - a - 6d + a + 9d = m$
$a + 6d = m$
ध्यान दें कि $a_7 = a + (7-1)d = a + 6d$,इसलिए $a_7 = m$ है।
प्रथम $13$ पदों का योग $(S_{13})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_{13} = \frac{13}{2} [2a + (13-1)d]$
$S_{13} = \frac{13}{2} [2a + 12d]$
$S_{13} = 13(a + 6d)$
चूंकि $a + 6d = m$,इसलिए:
$S_{13} = 13m$.

(B) माना अनुक्रम $a, b, c, d$ है।
चूँकि पहले तीन पद $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ होगा।
चूँकि अंतिम तीन पद $b, c, d$ $6$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं,इसलिए $c - b = 6$ और $d - c = 6$ होगा।
दिया गया है कि पहला और अंतिम पद समान है,इसलिए $a = d$ है।
$d - c = 6$ से,हमें $d = c + 6$ प्राप्त होता है। चूँकि $a = d$,इसलिए $a = c + 6$,जिसका अर्थ है $c = a - 6$।
$c - b = 6$ से,हमें $b = c - 6 = (a - 6) - 6 = a - 12$ प्राप्त होता है।
अब $b = a - 12$ और $c = a - 6$ को $G.P.$ की शर्त $b^2 = ac$ में रखने पर:
$(a - 12)^2 = a(a - 6)$
$a^2 - 24a + 144 = a^2 - 6a$
$144 = 18a$
$a = 8$।
चूँकि $a = d$,इसलिए अंतिम पद $d = 8$ है।

(A) दी गई श्रेणी $1^2 + 3^2 + 5^2 + ....... + 25^2$ है।
$n$-वाँ पद $T_n = (2n - 1)^2$ है। अंतिम पद $25$ के लिए,$2n - 1 = 25$,जिससे $n = 13$ प्राप्त होता है।
योग $S_{13} = \sum_{n=1}^{13} (2n - 1)^2 = \sum_{n=1}^{13} (4n^2 - 4n + 1)$।
योग के सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_{13} = 4 \sum_{n=1}^{13} n^2 - 4 \sum_{n=1}^{13} n + \sum_{n=1}^{13} 1$
$S_{13} = 4 \left[ \frac{13(13+1)(2 \times 13 + 1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{13(13+1)}{2} \right] + 13$
$S_{13} = 4 \left[ \frac{13 \times 14 \times 27}{6} \right] - 2(13 \times 14) + 13$
$S_{13} = 4 \times (13 \times 7 \times 9) - 2(182) + 13$
$S_{13} = 4 \times 819 - 364 + 13$
$S_{13} = 3276 - 364 + 13 = 2925$.

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5$ हैं,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$1$) चौथे पद और पहले पद के बीच का अंतर $52$ है: $ar^3 - a = 52 \Rightarrow a(r^3 - 1) = 52$ ... $(1)$
$2$) पहले तीन पदों का योग $26$ है: $a + ar + ar^2 = 26 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 26$ ... $(2)$
हम जानते हैं कि $r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a(r^3 - 1)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{52}{26}$
$\frac{(r - 1)(r^2 + r + 1)}{(r^2 + r + 1)} = 2$
$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$a(1 + 3 + 3^2) = 26 \Rightarrow a(1 + 3 + 9) = 26 \Rightarrow 13a = 26 \Rightarrow a = 2$.
पहले छह पदों का योग $S_6 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = a(1 + r + r^2)(1 + r^3)$ है।
$S_6 = 2(1 + 3 + 9)(1 + 3^3) = 2(13)(1 + 27) = 26 \times 28 = 728$.

(A) दी गई श्रेणी $S = 1^2 + 2(2^2) + 3^2 + 2(4^2) + 5^2 + 2(6^2) + \dots + 2(2m)^2$ है।
विषम और सम पदों को अलग करने पर:
$S = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2m)^2)$.
$S = \sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + 2 \sum_{k=1}^{m} (2k)^2$.
$S = \sum_{k=1}^{m} (4k^2 - 4k + 1) + 8 \sum_{k=1}^{m} k^2$.
$S = 12 \sum_{k=1}^{m} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S = 12 \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 4 \frac{m(m+1)}{2} + m$.
$S = 2m(m+1)(2m+1) - 2m(m+1) + m$.
$S = m [2(m+1)(2m+1) - 2(m+1) + 1]$.
$S = m [4m^2 + 4m + 1] = m(2m+1)^2$.

(C) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots$ है।
$n$-वाँ पद $T_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$T_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
$15$ पदों का योग $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
योग का विस्तार करने पर:
$S_{15} = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{16} - \sqrt{15})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_{15} = -\sqrt{1} + \sqrt{16} = -1 + 4 = 3$.
अतः,अभीष्ट योग $3$ है।

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots$ $n$ पदों तक है।
प्रत्येक पद को $1 + \frac{1}{3^k}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।
अतः,$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (1 + \frac{1}{3^k}) = \sum_{k=0}^{n-1} 1 + \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k$ है।
पहला भाग $n$ बार $1$ का योग है,जो $n$ है।
दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (1/3)^n)}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$ है।
अतः,कुल योग $S_n = n + \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$ है।

(D) मान लीजिए कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$p$ वां पद $a_p = a + (p - 1)d$ है।
$q$ वां पद $a_q = a + (q - 1)d$ है।
$r$ वां पद $a_r = a + (r - 1)d$ है।
$s$ वां पद $a_s = a + (s - 1)d$ है।
दिया गया है कि $a_p$ और $a_q$ का $A.M.$,$a_r$ और $a_s$ के $A.M.$ के बराबर है:
$\frac{a_p + a_q}{2} = \frac{a_r + a_s}{2}$
$\Rightarrow a_p + a_q = a_r + a_s$
मान रखने पर:
$[a + (p - 1)d] + [a + (q - 1)d] = [a + (r - 1)d] + [a + (s - 1)d]$
$2a + (p + q - 2)d = 2a + (r + s - 2)d$
दोनों पक्षों से $2a$ घटाने पर:
$(p + q - 2)d = (r + s - 2)d$
यदि $d \neq 0$ है,तो $d$ से भाग देने पर:
$p + q - 2 = r + s - 2$
अतः,$p + q = r + s$.

(C) श्रेणी $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + \dots$ है।
जब $n$ विषम है,तो $n$ पदों तक का योग $S_n = (1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + \dots + 2 \cdot (n-1)^2) + n^2$ है।
चूंकि $(n-1)$ सम है,हम प्रथम $(n-1)$ पदों के योग के लिए दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$।
अतः,$n$ पदों के लिए योग $S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2$ है।
$S_n = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$।

(D) माना $G.P.$ में तीन भिन्न संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं जहाँ $r \neq 1$ और $r \neq 0$ है।
दिया गया है $a + b + c = xb$,पदों को प्रतिस्थापित करने पर: $a + ar + ar^2 = x(ar)$।
चूँकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं: $1 + r + r^2 = xr$।
$r$ से विभाजित करने पर: $r + 1 + \frac{1}{r} = x$,जो सरल होकर $x = r + \frac{1}{r} + 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $r > 0$ के लिए,$r + \frac{1}{r} \geq 2$,और $r < 0$ के लिए,$r + \frac{1}{r} \leq -2$ होता है।
चूँकि संख्याएँ भिन्न हैं,$r \neq 1$ और $r \neq -1$ है।
यदि $r > 0$ और $r \neq 1$ है,तो $r + \frac{1}{r} > 2$,इसलिए $x > 3$ होगा।
यदि $r < 0$ और $r \neq -1$ है,तो $r + \frac{1}{r} < -2$,इसलिए $x < -1$ होगा।
अतः,$x$ अंतराल $(-1, 3)$ में नहीं हो सकता है।
दिए गए विकल्पों में से,$2$ अंतराल $(-1, 3)$ में स्थित है,इसलिए $x$ का मान $2$ नहीं हो सकता है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, ......., a_{30}$ एक $A.P.$ है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $D$ है।
$S = a_1 + a_2 + a_3 + ....... + a_{30} = \frac{30}{2} [2a + 29D] = 15(2a + 29D) = 30a + 435D$.
$T = a_1 + a_3 + a_5 + ....... + a_{29}$ एक $A.P.$ है जिसमें $15$ पद हैं,प्रथम पद $a_1 = a$ और सार्व अंतर $2D$ है।
$T = \frac{15}{2} [2a + (15-1)(2D)] = \frac{15}{2} [2a + 28D] = 15(a + 14D) = 15a + 210D$.
अब,$S - 2T = (30a + 435D) - 2(15a + 210D) = 30a + 435D - 30a - 420D = 15D$.
दिया गया है कि $S - 2T = 75$,इसलिए $15D = 75$,जिसका अर्थ है $D = 5$.
दिया गया है कि $a_5 = 27$,इसलिए $a + 4D = 27$.
$D = 5$ रखने पर,$a + 4(5) = 27 \Rightarrow a + 20 = 27 \Rightarrow a = 7$.
हमें $a_{10} = a + 9D$ ज्ञात करना है।
$a_{10} = 7 + 9(5) = 7 + 45 = 52$.

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{(3 + (n-1) \times 3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)}{(2n + 1)}$ द्वारा दिया गया है।
वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,हमें प्राप्त होता है:
$T_n = \frac{3n \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n+1} = \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3 + n^2}{2}$.
$15$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} T_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} (n^3 + n^2)$ की गणना करते हैं।
योग के सूत्रों $\sum_{n=1}^N n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2$ और $\sum_{n=1}^N n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$S_{15} = \frac{1}{2} [(\frac{15 \times 16}{2})^2 + \frac{15 \times 16 \times 31}{6}]$
$S_{15} = \frac{1}{2} [120^2 + 1240] = \frac{1}{2} [14400 + 1240] = \frac{15640}{2} = 7820$.

(B) मान लीजिए $A.P.$ का प्रथम पद $A$ है और सार्व अंतर $d$ है। चूँकि $A.P.$ अचर नहीं है,इसलिए $d \neq 0$ है।
दिए गए पद हैं:
$a = A + 6d$
$b = A + 10d$
$c = A + 12d$
चूँकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ होगा।
$(A + 10d)^2 = (A + 6d)(A + 12d)$
$A^2 + 20Ad + 100d^2 = A^2 + 18Ad + 72d^2$
$2Ad = -28d^2$
चूँकि $d \neq 0$,$2d$ से भाग देने पर $A = -14d$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{A}{d} = -14$ है।
अब,$\frac{a}{c}$ की गणना करते हैं:
$\frac{a}{c} = \frac{A + 6d}{A + 12d}$
अंश और हर को $d$ से भाग देने पर:
$\frac{a}{c} = \frac{\frac{A}{d} + 6}{\frac{A}{d} + 12} = \frac{-14 + 6}{-14 + 12} = \frac{-8}{-2} = 4$.

(D) हम द्विपद गुणांकों के लिए सर्वसमिका जानते हैं: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.
हर में इसे लागू करने पर: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.
अतः,योग के अंदर का पद $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ हो जाता है।
सूत्र ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ का उपयोग करते हुए,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ प्राप्त होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.
योग $\sum\limits_{i=1}^{20} \left( \frac{i}{21} \right)^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i=1}^{20} i^3$ हो जाता है।
घनों के योग का सूत्र $\sum i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ का उपयोग करते हुए,$n=20$ के लिए $\left( \frac{20 \times 21}{2} \right)^2 = (10 \times 21)^2 = 100 \times 21^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$S = \frac{100 \times 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.
दिया गया है $S = \frac{k}{21}$,अतः $k = 100$ प्राप्त होता है।

(D) $7n + 2$ के रूप वाली दो अंकों की संख्याएँ $16, 23, \dots, 93$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 16$, अंतिम पद $l = 93$ और सार्व अंतर $d = 7$ है। पदों की संख्या $n_1$ के लिए $93 = 16 + (n_1 - 1)7$, जिससे $77 = (n_1 - 1)7$, अर्थात $n_1 = 12$ प्राप्त होता है। योग $S_1 = \frac{12}{2}(16 + 93) = 6 \times 109 = 654$ है।
$7n + 5$ के रूप वाली दो अंकों की संख्याएँ $12, 19, \dots, 96$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 12$, अंतिम पद $l = 96$ और सार्व अंतर $d = 7$ है। पदों की संख्या $n_2$ के लिए $96 = 12 + (n_2 - 1)7$, जिससे $84 = (n_2 - 1)7$, अर्थात $n_2 = 13$ प्राप्त होता है। योग $S_2 = \frac{13}{2}(12 + 96) = \frac{13}{2} \times 108 = 13 \times 54 = 702$ है।
कुल योग $S_1 + S_2 = 654 + 702 = 1356$ है।

(A) हम जानते हैं कि $^{n}{C_r} \cdot ^{n-r}{C_k} = ^{n}{C_k} \cdot ^{n-k}{C_{r}}$ होता है।
इस सर्वसमिका का उपयोग दिए गए व्यंजक में करने पर:
$^{50}{C_r} \cdot ^{50-r}{C_{25-r}} = ^{50}{C_{25}} \cdot ^{50-25}{C_{r}} = ^{50}{C_{25}} \cdot ^{25}{C_r}$.
अब,इस मान को योगफल में रखने पर:
$\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_r} \cdot ^{50 - r}{C_{25 - r}}} \right)} = \sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_{25}} \cdot ^{25}{C_r}} \right)}$.
चूंकि $^{50}{C_{25}}$,$r$ से स्वतंत्र है,इसलिए इसे योगफल से बाहर लिया जा सकता है:
$= ^{50}{C_{25}} \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}{C_r}}$.
हम जानते हैं कि $\sum\limits_{r = 0}^{n} {^{n}{C_r} = 2^n}$ होता है। अतः,$\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}{C_r} = 2^{25}}$.
इस प्रकार,व्यंजक $^{50}{C_{25}} \cdot 2^{25}$ हो जाता है।
इसे $K \cdot ^{50}{C_{25}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 2^{25}$ प्राप्त होता है।

(B) माना अनंत गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $|r| < 1$ है।
श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3 \implies a = 3(1-r)$ है।
पदों के घन $a^3, (ar)^3, (ar^2)^3, \dots$ एक नई गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं,जिसका प्रथम पद $a^3$ और सार्व अनुपात $r^3$ है।
घनों का योग $S' = \frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19}$ दिया गया है।
दूसरे समीकरण में $a = 3(1-r)$ रखने पर:
$\frac{[3(1-r)]^3}{1-r^3} = \frac{27}{19}$
$\frac{27(1-r)^3}{(1-r)(1+r+r^2)} = \frac{27}{19}$
$\frac{(1-r)^2}{1+r+r^2} = \frac{1}{19}$
$19(1 - 2r + r^2) = 1 + r + r^2$
$19 - 38r + 19r^2 = 1 + r + r^2$
$18r^2 - 39r + 18 = 0$
$3$ से भाग देने पर: $6r^2 - 13r + 6 = 0$
$6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$
$3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$
चूँकि $|r| < 1$ है,इसलिए $r = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) $G.P.$ में,$n$-वां पद $a_n = a_1 r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{a_3}{a_1} = 25$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{a_1 r^2}{a_1} = r^2 = 25$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{a_9}{a_5}$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{a_9}{a_5} = \frac{a_1 r^8}{a_1 r^4} = r^4$ होता है।
चूंकि $r^2 = 25$,इसलिए $r^4 = (r^2)^2 = (25)^2 = (5^2)^2 = 5^4$ होगा।
अतः,सही उत्तर $5^4$ है।

(D) दिया गया है $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$। व्यंजक $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ है।
$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \frac{q^r-1}{q-1} = \frac{1}{q-1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r = (1+q)^{101} - 1$ और $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} = 2^{101} - 1$ है।
अतः,व्यंजक $\frac{1}{q-1} ((1+q)^{101} - 1 - (2^{101} - 1)) = \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1}$ बन जाता है।
अब,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2((q+1)^{101} - 2^{101})}{2^{101}(q-1)} = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$ है।
$\frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1} = \alpha \cdot \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$ की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2^{100}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $t_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $19$ वाँ पद शून्य है,इसलिए $t_{19} = a + 18d = 0$,जिसका अर्थ है $a = -18d$।
हमें $49$ वें पद और $29$ वें पद का अनुपात ज्ञात करना है:
$\frac{t_{49}}{t_{29}} = \frac{a + 48d}{a + 28d}$।
$a = -18d$ का मान रखने पर:
$\frac{t_{49}}{t_{29}} = \frac{-18d + 48d}{-18d + 28d} = \frac{30d}{10d} = 3$।
अतः,अनुपात $3 : 1$ है।

(D) माना कि $G.P.$ के तीन क्रमागत पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि पदों का गुणनफल $512$ है:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512 \Rightarrow a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.
प्रश्न के अनुसार,यदि पहले और दूसरे पद में $4$ जोड़ा जाता है,तो नए पद $\frac{8}{r} + 4, 8 + 4, 8r$ (अर्थात $\frac{8}{r} + 4, 12, 8r$) एक $A.P.$ बनाते हैं।
$A.P.$ में,मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य होता है:
$2 \times 12 = (\frac{8}{r} + 4) + 8r$
$24 = \frac{8}{r} + 4 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ से भाग देने पर: $5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
अतः,$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.
यदि $r = 2$ है,तो पद $4, 8, 16$ हैं।
यदि $r = \frac{1}{2}$ है,तो पद $16, 8, 4$ हैं।
दोनों स्थितियों में,पदों का योग $4 + 8 + 16 = 28$ है।

(C) प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{k(k+1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$S_k = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
हमें समीकरण $\sum_{k=1}^{10} S_k^2 = \frac{5}{12}A$ दिया गया है।
$S_k$ का मान रखने पर,हमें $\sum_{k=1}^{10} \left(\frac{k+1}{2}\right)^2 = \frac{5}{12}A$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर $\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} (k+1)^2 = \frac{5}{12}A$ होता है।
मान लीजिए $n = k+1$. जब $k=1, n=2$; जब $k=10, n=11$. अतः,$\frac{1}{4} \sum_{n=2}^{11} n^2 = \frac{5}{12}A$.
हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{11} n^2 = \frac{11(11+1)(2 \times 11 + 1)}{6} = \frac{11 \times 12 \times 23}{6} = 11 \times 2 \times 23 = 506$.
इसलिए,$\sum_{n=2}^{11} n^2 = 506 - 1^2 = 505$.
इस मान को वापस रखने पर: $\frac{1}{4} \times 505 = \frac{5}{12}A$.
$A = 505 \times \frac{12}{4 \times 5} = 505 \times \frac{3}{5} = 101 \times 3 = 303$.

(B) दिया गया है कि $^nC_4, ^nC_5,$ और $^nC_6$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ होगा।
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने और $6!(n-4)!$ से गुणा करने पर:
$2 \cdot \frac{6 \cdot (n-4)}{5} = 6 \cdot 5 + (n-4)(n-5)$
$12(n-4) = 30 + n^2 - 9n + 20$
$12n - 48 = n^2 - 9n + 50$
$n^2 - 21n + 98 = 0$
$(n-7)(n-14) = 0$
इस प्रकार,$n = 7$ या $n = 14$ प्राप्त होता है। विकल्पों में $14$ दिया गया है,अतः सही उत्तर $14$ है।

(B) दी गई श्रेणी ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{6}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{9}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{12}{4}} \right)^3} + \dots$ है,जो $15$ पदों तक है।
इसे $\sum_{r=1}^{15} {\left( \frac{3r}{4} \right)^3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अचर पद को बाहर निकालने पर,$\left( \frac{3}{4} \right)^3 \sum_{r=1}^{15} r^3 = \frac{27}{64} \sum_{r=1}^{15} r^3$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ है।
$n=15$ के लिए,$\sum_{r=1}^{15} r^3 = \left[ \frac{15 \times 16}{2} \right]^2 = (15 \times 8)^2 = 120^2 = 14400$ है।
अतः,योग $S = \frac{27}{64} \times 14400$ है।
$S = 27 \times \frac{14400}{64} = 27 \times 225$ है।
दिया गया है कि $S = 225k$,इसलिए $225k = 27 \times 225$ है।
अतः,$k = 27$ है।

(D) हमें उन सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ का योग ज्ञात करना है जहाँ $100 < n < 200$ और $H.C.F. (91, n) > 1$ हो।
चूंकि $91 = 7 \times 13$,इसलिए $H.C.F. (91, n) > 1$ का अर्थ है कि $n$ को $7$ या $13$ से विभाज्य होना चाहिए।
मान लीजिए $S_A$,$100$ और $200$ के बीच $7$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।
ये संख्याएँ $105, 112, \dots, 196$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 105$,$l = 196$,और $d = 7$ है।
पदों की संख्या $n_A = \frac{196 - 105}{7} + 1 = 14$ है।
$S_A = \frac{14}{2} (105 + 196) = 7 \times 301 = 2107$।
मान लीजिए $S_B$,$100$ और $200$ के बीच $13$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।
ये संख्याएँ $104, 117, \dots, 195$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 104$,$l = 195$,और $d = 13$ है।
पदों की संख्या $n_B = \frac{195 - 104}{13} + 1 = 8$ है।
$S_B = \frac{8}{2} (104 + 195) = 4 \times 299 = 1196$।
मान लीजिए $S_C$,$100$ और $200$ के बीच $7$ और $13$ दोनों से विभाज्य संख्याओं का योग है (अर्थात $91$ से विभाज्य)।
ऐसी एकमात्र संख्या $182$ है।
इसलिए,$S_C = 182$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,अभीष्ट योग $S = S_A + S_B - S_C$ है।
$S = 2107 + 1196 - 182 = 3121$।

(A) माना $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{{20}}{{{2^{20}}}}$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{{19}}{{{2^{20}}}} + \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \left( \frac{2-1}{{{2^2}}} \right) + \left( \frac{3-2}{{{2^3}}} \right) + \dots + \left( \frac{20-19}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$
$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{1}{2}$,$r = \frac{1}{2}$,और $n = 20$ है:
योग $= \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^{20})}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}$
अतः,$\frac{1}{2}S = 1 - \frac{1}{{{2^{20}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$
$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

(A) चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ है।
अतः,इस समीकरण का मूल $x = -\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}} = -\frac{b}{a}$ है।
चूंकि यह $dx^2 + 2ex + f = 0$ के लिए एक उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए हम $x = -\frac{b}{a}$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$d(-\frac{b}{a})^2 + 2e(-\frac{b}{a}) + f = 0$
$d(\frac{b^2}{a^2}) - \frac{2eb}{a} + f = 0$
$a^2$ से गुणा करने पर,हमें $db^2 - 2eab + fa^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 = ac$ है,हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
$dac - 2eab + fa^2 = 0$।
पूरे समीकरण को $ac$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{a} - \frac{2e}{b} + \frac{f}{c} = 0$,जो यह दर्शाता है कि $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2(\frac{e}{b})$ है।
यह स्थिति इंगित करती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(A) प्रथम $n$ पदों का योग दिया गया है: $S_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A$.
$n$-वाँ पद $a_n$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $a_n = S_n - S_{n-1}$।
$a_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A - [50(n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 8)}{2}A]$
$a_n = 50n + \frac{A}{2}(n^2 - 7n) - 50n + 50 - \frac{A}{2}(n^2 - 9n + 8)$
$a_n = 50 + \frac{A}{2}(n^2 - 7n - n^2 + 9n - 8)$
$a_n = 50 + \frac{A}{2}(2n - 8) = 50 + A(n - 4)$।
सार्व अंतर $d = a_n - a_{n-1} = [50 + A(n - 4)] - [50 + A(n - 5)] = A(n - 4 - n + 5) = A$।
$a_{50}$ ज्ञात करने के लिए,$a_n$ के व्यंजक में $n = 50$ रखने पर:
$a_{50} = 50 + A(50 - 4) = 50 + 46A$।
अतः,क्रमित युग्म $(d, a_{50})$ का मान $(A, 50 + 46A)$ है।

(A) मान लीजिए समबाहु त्रिभुज में पंक्तियों की संख्या $n$ है। त्रिभुज में गेंदों की कुल संख्या पहली $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग द्वारा दी जाती है: $S = \frac{n(n+1)}{2}$।
प्रश्न के अनुसार,यदि $99$ और गेंदें जोड़ी जाती हैं,तो गेंदों की कुल संख्या $S + 99 = \frac{n(n+1)}{2} + 99$ हो जाती है।
ये गेंदें $(n-2)$ भुजा की लंबाई वाला एक वर्ग बनाती हैं। अतः,गेंदों की कुल संख्या $(n-2)^2$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{n(n+1)}{2} + 99 = (n-2)^2$।
$2$ से गुणा करने पर: $n^2 + n + 198 = 2(n^2 - 4n + 4)$।
$n^2 + n + 198 = 2n^2 - 8n + 8$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 9n - 190 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 19)(n + 10) = 0$।
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 19$।
त्रिभुज बनाने के लिए उपयोग की गई गेंदों की संख्या $\frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ है।

(A) माना कि $A.P.$ के तीन पद $a-d, a, a+d$ हैं।
दिया गया है कि योग $(a-d) + a + (a+d) = 33$ है।
$3a = 33 \Rightarrow a = 11$.
दिया गया है कि गुणनफल $(a-d)(a)(a+d) = 1155$ है।
$a(a^2 - d^2) = 1155$.
$11(121 - d^2) = 1155$.
$121 - d^2 = 105$.
$d^2 = 16 \Rightarrow d = \pm 4$.
स्थिति $1$: यदि $d = 4$ है,तो प्रथम पद $A = a-d = 11-4 = 7$ है। $11$ वां पद $T_{11} = A + 10d = 7 + 10(4) = 47$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $d = -4$ है,तो प्रथम पद $A = a-d = 11 - (-4) = 15$ है। $11$ वां पद $T_{11} = A + 10d = 15 + 10(-4) = 15 - 40 = -25$ होगा।
अतः,$11$ वें पद का एक संभावित मान $-25$ है।

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(2n - 1) = 2n^2 - n$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$.
$n = 11$ के लिए:
$S_{11} = \frac{11(12)(23)}{3} - \frac{11(12)}{2}$.
$S_{11} = 11 \times 4 \times 23 - 11 \times 6$.
$S_{11} = 1012 - 66 = 946$.

(B) श्रेणी का $n$ वां पद इस प्रकार है:
$T_n = \frac{(2n + 1) \sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k^2}$
सूत्रों $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ और $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{(2n + 1) \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$T_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \cdot \frac{6}{n(n+1)} = \frac{3}{2} n(n+1)$
अब,प्रथम $10$ पदों का योग:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \frac{3}{2} (n^2 + n) = \frac{3}{2} \left[ \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} n \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} + \frac{10(11)}{2} \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} [385 + 55] = \frac{3}{2} [440] = 3 \times 220 = 660$.

(A) दी गई श्रेणी $6$ पदों वाली एक $A.P.$ है: $a_1, a_4, a_7, a_{10}, a_{13}, a_{16}$।
$A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद})$ होता है।
यहाँ, $n = 6$ है, इसलिए $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = \frac{6}{2}(a_1 + a_{16}) = 114$।
$3(a_1 + a_{16}) = 114 \Rightarrow a_1 + a_{16} = 38$।
अब, हमें $a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ का योग ज्ञात करना है।
यह $4$ पदों की एक $A.P.$ है, जिसका योग $\frac{4}{2}(a_1 + a_{16})$ होगा।
मान रखने पर: $2 \times 38 = 76$।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं जिनका सार्व अनुपात $r$ है,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2.$
चूंकि $3a, 7b, 15c$ एक $A.P.$ में हैं,$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार $2(7b) = 3a + 15c.$
$b$ और $c$ का मान रखने पर,$14(ar) = 3a + 15(ar^2).$
चूंकि $a \ne 0,$ $a$ से विभाजित करने पर $15r^2 - 14r + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3r - 1)(5r - 1) = 0,$ जिससे $r = \frac{1}{3}$ या $r = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
शर्त $0 < r \le \frac{1}{2}$ के अनुसार दोनों मान मान्य हैं। विकल्पों की जाँच करने पर,$r = \frac{1}{3}$ लेने पर,
सार्व अंतर $d = 7b - 3a = 7ar - 3a = a(7r - 3).$
$r = \frac{1}{3}$ के लिए,$d = a(7/3 - 3) = -\frac{2}{3}a.$
चौथा पद $= 15c + d = 15ar^2 - \frac{2}{3}a = 15a(1/9) - \frac{2}{3}a = \frac{5}{3}a - \frac{2}{3}a = a.$

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k}$ है।
सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{[n(n+1)/2]^2}{n(n+1)/2} = \frac{n(n+1)}{2}$ प्राप्त होता है।
कुल योग $S = \sum_{n=1}^{15} T_n - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} n$ है।
$S = \sum_{n=1}^{15} \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 \cdot 16}{2}$.
$S = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^{15} n^2 + \sum_{n=1}^{15} n \right] - 60$.
$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{15(16)(31)}{6} + \frac{15(16)}{2} \right] - 60$.
$S = \frac{1}{2} [1240 + 120] - 60 = \frac{1360}{2} - 60 = 680 - 60 = 620$.

(C) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$S_4 = 16$ के लिए,$\frac{4}{2} [2a + 3d] = 16$,जो सरल होकर $2a + 3d = 8$ बनता है (समीकरण $1$)।
$S_6 = -48$ के लिए,$\frac{6}{2} [2a + 5d] = -48$,जो सरल होकर $3(2a + 5d) = -48$ या $2a + 5d = -16$ बनता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(2a + 5d) - (2a + 3d) = -16 - 8$,जिससे $2d = -24$ प्राप्त होता है,अतः $d = -12$ है।
$d = -12$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $2a + 3(-12) = 8$,अतः $2a - 36 = 8$,जिसका अर्थ है $2a = 44$,इसलिए $a = 22$ है।
अब,$S_{10} = \frac{10}{2} [2a + 9d] = 5 [2(22) + 9(-12)]$.
$S_{10} = 5 [44 - 108] = 5 [-64] = -320$.

(C) मान लीजिए श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$ है।
$0 \le k \le 66$ के लिए,$-\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \ge -\frac{1}{3} - \frac{66}{100} = -0.9966$ है। चूँकि $-1 < -0.9966 < 0$,महत्तम पूर्णांक मान $-1$ होगा। ऐसे कुल $67$ पद हैं ($k=0$ से $k=66$ तक)।
इन पदों का योग $= 67 \times (-1) = -67$ है।
$67 \le k \le 99$ के लिए,$-\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \le -\frac{1}{3} - \frac{67}{100} = -1.0033$ है। साथ ही,$-\frac{1}{3} - \frac{99}{100} = -1.3233$ है। चूँकि $-2 < -1.3233 \le -1.0033 < -1$,महत्तम पूर्णांक मान $-2$ होगा। ऐसे कुल $99 - 67 + 1 = 33$ पद हैं।
इन पदों का योग $= 33 \times (-2) = -66$ है।
कुल योग $S = -67 + (-66) = -133$ है।

(A) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
पदों को $a_n = a + (n-1)d$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया समीकरण: $a_1 + a_7 + a_{16} = 40$.
सामान्य रूप प्रतिस्थापित करने पर: $a + (a + 6d) + (a + 15d) = 40$.
इसे सरल करने पर: $3a + 21d = 40$.
$3$ से भाग देने पर: $a + 7d = \frac{40}{3}$.
प्रथम $15$ पदों का योग $(S_{15})$ ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$n = 15$ के लिए: $S_{15} = \frac{15}{2}[2a + 14d]$.
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $S_{15} = 15(a + 7d)$.
$(a + 7d)$ का मान रखने पर: $S_{15} = 15 \times \frac{40}{3} = 5 \times 40 = 200$.

(A) दी गई श्रेणी $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ के $40$ पद हैं।
इसे दो समांतर श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें प्रत्येक के $20$ पद हैं:
श्रेणी $1$: $3, 8, 13, 18, \ldots$ ($20$ पद)
श्रेणी $2$: $4, 9, 14, 19, \ldots$ ($20$ पद)
श्रेणी $1$ का योग $(S_1)$ = $\frac{20}{2} [2(3) + (20-1)5] = 10 [6 + 95] = 10 \times 101 = 1010$.
श्रेणी $2$ का योग $(S_2)$ = $\frac{20}{2} [2(4) + (20-1)5] = 10 [8 + 95] = 10 \times 103 = 1030$.
कुल योग = $S_1 + S_2 = 1010 + 1030 = 2040$.
दिया गया है कि कुल योग $(102)m$ है,इसलिए $2040 = 102m$.
अतः,$m = \frac{2040}{102} = 20$.

(A) दिया गया है कि $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
हमें $a_{1} + a_{2} = 4$ और $a_{3} + a_{4} = 16$ दिया गया है।
चूंकि $a_{3} = a_{1}r^{2}$ और $a_{4} = a_{2}r^{2}$,हम लिख सकते हैं कि $a_{3} + a_{4} = r^{2}(a_{1} + a_{2}) = 16$.
$a_{1} + a_{2} = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r^{2}(4) = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^{2} = 4$,अतः $r = 2$ या $r = -2$.
$a_{1} + a_{2} = 4$ होने के कारण,$a_{1}(1 + r) = 4$ होता है।
यदि $r = 2$ है,तो $a_{1}(3) = 4 \Rightarrow a_{1} = 4/3$ (जो संभव नहीं है क्योंकि $a_{1} < 0$).
यदि $r = -2$ है,तो $a_{1}(1 - 2) = 4 \Rightarrow -a_{1} = 4 \Rightarrow a_{1} = -4$.
अब,प्रथम $9$ पदों का योग $S_{9} = a_{1} \frac{r^{9} - 1}{r - 1} = (-4) \frac{(-2)^{9} - 1}{-2 - 1} = (-4) \frac{-512 - 1}{-3} = (-4) \frac{-513}{-3} = -4 \times 171 = -684$.
चूंकि $S_{9} = 4 \lambda$ दिया गया है,इसलिए $4 \lambda = -684$,अतः $\lambda = -171$.

(C) मान लीजिए $A.P.$ में पाँच संख्याएँ $(a-2d, a-d, a, a+d, a+2d)$ हैं।
योग $= (a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5a = 25$,इसलिए $a = 5$ है।
संख्याएँ $(5-2d, 5-d, 5, 5+d, 5+2d)$ हैं।
गुणनफल $(5-2d)(5+2d)(5-d)(5+d)(5) = 2520$ है।
$(25-4d^2)(25-d^2) = 504$.
$625 - 25d^2 - 100d^2 + 4d^4 = 504$.
$4d^4 - 125d^2 + 121 = 0$.
मान लीजिए $x = d^2$,तो $4x^2 - 125x + 121 = 0$ है।
$(4x - 121)(x - 1) = 0$,इसलिए $d^2 = 1$ या $d^2 = \frac{121}{4}$ है।
यदि $d^2 = 1$,$d = \pm 1$,तो पद $(3, 4, 5, 6, 7)$ या $(7, 6, 5, 4, 3)$ हैं,जिनमें से कोई भी $-\frac{1}{2}$ नहीं है।
यदि $d^2 = \frac{121}{4}$,$d = \pm \frac{11}{2}$ है।
$d = \frac{11}{2}$ के लिए,पद $(5-11, 5-5.5, 5, 5+5.5, 5+11) = (-6, -0.5, 5, 10.5, 16)$ हैं।
चूँकि $-\frac{1}{2}$ मौजूद है,यह सही अनुक्रम है।
सबसे बड़ी संख्या $16$ है।

(B) समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $T_{10} = a + 9d = \frac{1}{20} \quad \dots(i)$
दिया है $T_{20} = a + 19d = \frac{1}{10} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 19d) - (a + 9d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$10d = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$
$d = \frac{1}{200}$
$d$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 9(\frac{1}{200}) = \frac{1}{20}$
$a = \frac{10}{200} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$
अब,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$n = 200$ के लिए:
$S_{200} = \frac{200}{2} [2(\frac{1}{200}) + (200-1)(\frac{1}{200})]$
$S_{200} = 100 [\frac{2}{200} + \frac{199}{200}]$
$S_{200} = 100 [\frac{201}{200}] = \frac{201}{2} = 100 \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया योगफल $S = \sum_{n=1}^{7} \frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$ है।
हम जानते हैं कि प्रथम $n$ वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।
इसलिए,$n(n+1)(2n+1) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$S = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{7} (6 \sum_{k=1}^{n} k^2) = \frac{6}{4} \sum_{n=1}^{7} \sum_{k=1}^{n} k^2$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,अंश का विस्तार करने पर: $n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n$।
अतः,$S = \frac{1}{4} \left( 2 \sum_{n=1}^{7} n^3 + 3 \sum_{n=1}^{7} n^2 + \sum_{n=1}^{7} n \right)$।
मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{7} n^3 = \left( \frac{7 \times 8}{2} \right)^2 = 28^2 = 784$।
$\sum_{n=1}^{7} n^2 = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$।
$\sum_{n=1}^{7} n = \frac{7 \times 8}{2} = 28$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S = \frac{1}{4} (2(784) + 3(140) + 28) = \frac{1}{4} (1568 + 420 + 28) = \frac{2016}{4} = 504$।

(B) दिया गया है कि $(2^{1+x}+2^{1-x})$,$f(x)$,और $(3^x+3^{-x})$ $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ की परिभाषा के अनुसार,$2f(x) = (2^{1+x}+2^{1-x}) + (3^x+3^{-x})$ है।
$f(x) = \frac{2(2^x+2^{-x}) + (3^x+3^{-x})}{2} = (2^x+2^{-x}) + \frac{1}{2}(3^x+3^{-x})$ है।
$A.M. \geq G.M.$ असमिका का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि किसी भी $a > 0$ के लिए,$a^x + a^{-x} \geq 2\sqrt{a^x \cdot a^{-x}} = 2$ होता है।
अतः,$2^x+2^{-x} \geq 2$ और $3^x+3^{-x} \geq 2$ है।
इन न्यूनतम मानों को $f(x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f(x) \geq 2 + \frac{1}{2}(2) = 2 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x)$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(C) प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{k(k+1)}{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
हमें $\sum_{k=1}^{20} \frac{k(k+1)}{2}$ की गणना करनी है।
इसे $\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} (k^2 + k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n=20$ के लिए योग के सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(21)}{2} = 210$.
अतः,कुल योग $\frac{1}{2} (2870 + 210) = \frac{1}{2} (3080) = 1540$ है।

(C) $x$ के लिए दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=-\tan^2 \theta$ है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \tan^2 \theta < 1$ है,अतः श्रेणी $x = \frac{1}{1 - (-\tan^2 \theta)} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \cos^2 \theta$ पर अभिसरित होती है।
$y$ के लिए दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\cos^2 \theta$ है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\frac{1}{2} < \cos^2 \theta < 1$ है,अतः श्रेणी $y = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ पर अभिसरित होती है।
$x$ के व्यंजक से,हमारे पास $\cos^2 \theta = x$ है,जिसका अर्थ है कि $\sin^2 \theta = 1 - x$ है।
इस मान को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \frac{1}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $y(1 - x) = 1$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $a_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r$ है। पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं।
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = ar^2 + ar^4 + \dots + ar^{200} = ar^2 \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 200$.
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = ar + ar^3 + \dots + ar^{199} = ar \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 100$.
पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करने पर: $\frac{ar^2}{ar} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$.
अब,$\sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200} = a \frac{(r^{200}-1)}{(r-1)}$.
दूसरे समीकरण से,$ar \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 100$। $r=2$ रखने पर,$2a \frac{(r^{200}-1)}{(2^2-1)} = 100 \Rightarrow 2a \frac{(r^{200}-1)}{3} = 100 \Rightarrow a \frac{(r^{200}-1)}{3} = 50 \Rightarrow a(r^{200}-1) = 150$.
इस मान को योग के सूत्र में रखने पर: $\sum_{n=1}^{200} a_n = \frac{150}{2-1} = 150$।

(D) पहली समांतर श्रेणी के लिए: $a_1 = 3$,$d_1 = 4$. सामान्य पद $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी के लिए: $a_2 = 2$,$d_2 = 7$. सामान्य पद $T_m = 2 + (m-1)7 = 7m - 5$ है।
पदों की तुलना करने पर: $4n - 1 = 7m - 5 \Rightarrow 4n = 7m - 4$।
इसका अर्थ है कि $7m$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $7$,$4$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $m$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $m = 4k$।
अतः $4n = 7(4k) - 4 \Rightarrow n = 7k - 1$।
पहली श्रेणी के लिए,$T_n \leq 407 \Rightarrow 4n - 1 \leq 407 \Rightarrow 4n \leq 408 \Rightarrow n \leq 102$।
$n = 7k - 1$ रखने पर: $7k - 1 \leq 102 \Rightarrow 7k \leq 103 \Rightarrow k \leq 14.71$।
चूंकि $k$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k$ के संभावित मान $1, 2, \ldots, 14$ हैं।
अतः,कुल $14$ उभयनिष्ठ पद हैं।

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots \infty$ है।
सभी आधारों को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करने पर:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots \infty$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \ldots \infty$
घातों को सरल करने पर:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \ldots \infty$
गुणधर्म $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करके,घातों को जोड़ने पर:
$P = 2^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots \infty\right)}$
घात एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

(A) दी गई श्रेणी $S = (x+y) + (x^2+xy+y^2) + (x^3+x^2y+xy^2+y^3) + \dots$
$(x-y)$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{(x-y)(x+y) + (x-y)(x^2+xy+y^2) + (x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3) + \dots}{x-y}$
सर्वसमिका $(x-y)(x^n + x^{n-1}y + \dots + y^n) = x^{n+1} - y^{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{(x^2-y^2) + (x^3-y^3) + (x^4-y^4) + \dots}{x-y}$
$S = \frac{(x^2+x^3+x^4+\dots) - (y^2+y^3+y^4+\dots)}{x-y}$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\frac{x^2}{1-x} - \frac{y^2}{1-y}}{x-y} = \frac{x^2(1-y) - y^2(1-x)}{(1-x)(1-y)(x-y)}$
$S = \frac{x^2 - x^2y - y^2 + xy^2}{(1-x)(1-y)(x-y)} = \frac{(x^2-y^2) - xy(x-y)}{(1-x)(1-y)(x-y)}$
$S = \frac{(x-y)(x+y) - xy(x-y)}{(1-x)(1-y)(x-y)} = \frac{(x-y)(x+y-xy)}{(1-x)(1-y)(x-y)}$
$S = \frac{x+y-xy}{(1-x)(1-y)}$