Simplification Questions in Gujarati

(A) સરવાળો શોધવા માટે,પહેલા પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો અને પછી અપૂર્ણાંક ભાગોનો અલગથી સરવાળો કરો.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો: $5 + 7 + 11 = 23$.
અપૂર્ણાંક ભાગોનો સરવાળો: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$.
કુલ સરવાળો: $23 + 1 \frac{1}{2} = 24 \frac{1}{2}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $24 \frac{1}{2} = \frac{24 \times 2 + 1}{2} = \frac{49}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $x = 3 - 2\sqrt{2}$.
આપણે $x$ ને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખી શકીએ: $x = 2 + 1 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$.
તેથી,$\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$.
હવે,$\frac{1}{\sqrt{x}}$ શોધો:
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$.
અંતે,$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ની ગણતરી કરો:
$(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે $x - (1/x) = \sqrt{13}$.
પ્રથમ,$x^2 + (1/x^2)$ શોધો:
$(x - 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 - 2 = (\sqrt{13})^2 = 13$.
તેથી,$x^2 + 1/x^2 = 13 + 2 = 15$.
હવે,$(x - 1/x)^3 = x^3 - 1/x^3 - 3(x - 1/x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{13})^3 = x^3 - 1/x^3 - 3(\sqrt{13})$.
$13\sqrt{13} = x^3 - 1/x^3 - 3\sqrt{13} \implies x^3 - 1/x^3 = 16\sqrt{13}$.
હવે,$(x^2 + 1/x^2)(x^3 - 1/x^3) = (x^5 - 1/x^5) + (x - 1/x)$.
$(15)(16\sqrt{13}) = (x^5 - 1/x^5) + \sqrt{13}$.
$240\sqrt{13} = (x^5 - 1/x^5) + \sqrt{13}$.
$x^5 - 1/x^5 = 239\sqrt{13}$.

(C) આપેલ છે કે $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 1$.
$x^{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $x^{4} + 1 = x^{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{4} - x^{2} + 1 = 0$.
$(x^{2} + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને $(x^{2} + 1)(x^{4} - x^{2} + 1) = 0$ મળે છે.
આ $(x^{6} + 1) = 0$ નું વિસ્તરણ છે,તેથી $x^{6} = -1$.
હવે,આપણે પદાવલિની કિંમત શોધીએ: $x^{48} + x^{42} + x^{38} + x^{30} + x^{24} + x^{18} + x^{12} + x^{6} + 1$.
$x^{6} = -1$ હોવાથી,$x^{12} = 1, x^{18} = -1, x^{24} = 1, x^{30} = -1, x^{36} = 1, x^{42} = -1, x^{48} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $1 + (-1) + x^{38} + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1$.
અહીં $x^{38} = x^{36} \cdot x^{2} = (x^{6})^{6} \cdot x^{2} = (-1)^{6} \cdot x^{2} = x^{2}$.
તેથી પદાવલિ $x^{2}$ બને છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ મુજબ,જવાબ $1$ છે.

(B) આપેલ છે $x = \frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.
આપણે $\frac{x + 2 \sqrt{a}}{x - 2 \sqrt{a}} + \frac{x + 2 \sqrt{b}}{x - 2 \sqrt{b}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,પદ $\frac{x + 2 \sqrt{a}}{x - 2 \sqrt{a}}$ ને ધ્યાનમાં લો.
$x = \frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + 2 \sqrt{a}}{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - 2 \sqrt{a}} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2 \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 \sqrt{ab} - 2 \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2a + 2 \sqrt{ab}}{4 \sqrt{ab} - 2a - 2 \sqrt{ab}} = \frac{2a + 6 \sqrt{ab}}{2 \sqrt{ab} - 2a} = \frac{a + 3 \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} - a} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3 \sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a} + 3 \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$.
તે જ રીતે,$\frac{x + 2 \sqrt{b}}{x - 2 \sqrt{b}}$ માટે:
$\frac{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + 2 \sqrt{b}}{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - 2 \sqrt{b}} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2 \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 \sqrt{ab} - 2 \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2 \sqrt{ab} + 2b}{4 \sqrt{ab} - 2 \sqrt{ab} - 2b} = \frac{6 \sqrt{ab} + 2b}{2 \sqrt{ab} - 2b} = \frac{3 \sqrt{ab} + b}{\sqrt{ab} - b} = \frac{\sqrt{b}(3 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{3 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = -\frac{3 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$.
બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\sqrt{a} + 3 \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \frac{3 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 3 \sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{2 \sqrt{b} - 2 \sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x + (1/x) = 2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 1 = 2x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2x + 1 = 0$ થાય છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(x - 1)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,$x = 1$ ને પદાવલિ $x^{21} + (1/x^{1331})$ માં મૂકતા.
$(1)^{21} + (1/(1)^{1331}) = 1 + (1/1) = 1 + 1 = 2$.
તેથી,જવાબ $2$ છે.

(NONE OF THE ABOVE (CALCULATED VALUE IS $-4 + 3\sqrt{3}$)) આપેલ છે કે $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
હવે,આપણે $(x^2 - x - 9)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x = 2+\sqrt{3}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$x^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}$.
હવે,$(x^2 - x - 9) = (7 + 4\sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) - 9$.
$= 7 + 4\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} - 9$.
$= (7 - 2 - 9) + (4\sqrt{3} - \sqrt{3})$.
$= -4 + 3\sqrt{3}$.

(B) આપેલ છે કે $N = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$N = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{7 + 3 - 2\sqrt{21}}{7 - 3} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$.
હવે,$\frac{1}{N} = \frac{2}{5 - \sqrt{21}}$.
$\frac{1}{N}$ નું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{N} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{(5 - \sqrt{21})(5 + \sqrt{21})} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{25 - 21} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$.
તેથી,$N + \frac{1}{N} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} + \frac{5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{5 - \sqrt{21} + 5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

(B) પદાવલિ $(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આ પદાવલિને $(2-1)$ વડે ગુણો,જેનું મૂલ્ય $1$ છે:
$(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$(2^{8}-1)(2^{8}+1)$
$= 2^{16}-1$
આમ,સાદું રૂપ $2^{16}-1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $N = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$.
સૌ પ્રથમ,$N$ ના છેદનું સંમેયીકરણ (rationalization) કરતા:
$N = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2}{6 - 5} = 6 + 5 - 2\sqrt{30} = 11 - 2\sqrt{30}$.
હવે,$\frac{1}{N}$ શોધીએ:
$\frac{1}{N} = \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}}$.
$\frac{1}{N}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{N} = \frac{11 + 2\sqrt{30}}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} = \frac{11 + 2\sqrt{30}}{121 - (4 \times 30)} = \frac{11 + 2\sqrt{30}}{121 - 120} = 11 + 2\sqrt{30}$.
અંતે,$N + \frac{1}{N}$ ની ગણતરી કરતા:
$N + \frac{1}{N} = (11 - 2\sqrt{30}) + (11 + 2\sqrt{30}) = 11 + 11 = 22$.

(A) પદાવલિ $(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આ પદાવલિને $(3-1)$,એટલે કે $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \frac{(3-1)(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{3-1}$
$= \frac{(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{(3^{4}-1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{(3^{8}-1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{(3^{16}-1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{3^{32}-1}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 0.5$ અને $b = 0.1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
અંશમાં આ નિત્યસમ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
હવે,$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$0.5 - 0.1 = 0.4$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $0.4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{1}{N} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}.$
$N$ શોધવા માટે,બંને બાજુનો વ્યસ્ત લેતા: $N = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}.$
હવે,છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$ વડે ગુણતા:
$N = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}$
અંશ માટે $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ અને છેદ માટે $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$N = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{6})(\sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2}$
$N = \frac{6 + 5 - 2\sqrt{30}}{6 - 5}$
$N = \frac{11 - 2\sqrt{30}}{1}$
$N = 11 - 2\sqrt{30}.$

(D) આપેલ પદાવલિ $(x^{128}+1)(x^{64}+1)(x^{32}+1)(x^{16}+1)(x^{8}+1)(x^{4}+1)(x^{2}+1)(x+1)$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આખી પદાવલિને $\frac{x-1}{x-1}$ વડે ગુણતા:
$= \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$(x-1)(x+1) = x^2-1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
આ પ્રક્રિયાને વારંવાર ચાલુ રાખતા:
$= \frac{(x^8-1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{16}-1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{32}-1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{64}-1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{128}-1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{x^{256}-1}{x-1}$.

(B) પદાવલિ $\left[\frac{12}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}+\frac{18}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\right]$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું.
પગલું $1$: પ્રથમ પદ $\frac{12}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$ નું સંમેયીકરણ કરો.
$\frac{12}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{12(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{12(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = 6(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 6\sqrt{5}-6\sqrt{3}$.
પગલું $2$: બીજા પદ $\frac{18}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$ નું સંમેયીકરણ કરો.
$\frac{18}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{18(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{18(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = 9(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 9\sqrt{5}+9\sqrt{3}$.
પગલું $3$: બંને પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$(6\sqrt{5}-6\sqrt{3}) + (9\sqrt{5}+9\sqrt{3}) = (6+9)\sqrt{5} + (9-6)\sqrt{3} = 15\sqrt{5} + 3\sqrt{3}$.
પગલું $4$: પદાવલિમાંથી $3$ સામાન્ય કાઢો.
$3(5\sqrt{5} + \sqrt{3})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $y = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$. તો સમીકરણ $y - \frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 - \frac{1}{\sqrt{6}}y - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1, b=-\frac{1}{\sqrt{6}}, c=-1$ છે:
$y = \frac{\frac{1}{\sqrt{6}} \pm \sqrt{\frac{1}{6} + 4}}{2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{6}} \pm \sqrt{\frac{25}{6}}}{2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{6}} \pm \frac{5}{\sqrt{6}}}{2}$.
ધન ઉકેલ લેતા,$y = \frac{6/\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
કારણ કે $y = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$,તેથી $\sqrt{\frac{1+x}{x}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1+x}{x} = \frac{3}{2}$.
$2(1+x) = 3x \implies 2 + 2x = 3x \implies x = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}=3$
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જે જણાવે છે કે જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ હોય,તો $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$:
ધારો કે $a = \sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}$ અને $b = \sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}$.
તેથી $\frac{(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}) + (\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x})}{(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}) - (\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x})} = \frac{3+1}{3-1}$
અંશ અને છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2\sqrt{5+x}}{2\sqrt{5-x}} = \frac{4}{2}$
$\frac{\sqrt{5+x}}{\sqrt{5-x}} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{5+x}{5-x} = 4$
$5+x = 4(5-x)$
$5+x = 20 - 4x$
$5x = 15$
$x = 3$
આમ,$x$ ની કિંમત $3$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2.3$ અને $b = 1.7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(a+b)^{2}-(a-b)^{2} = 4ab$.
આ નિત્યસમમાં $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= 4 \times 2.3 \times 1.7$
$= 4 \times 3.91$
$= 15.64$.

(B) $4^{3}-3^{2}+6^{2}-5^{2}+8^{2}-7^{2}$ પદાવલિની કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક પદની ગણતરી કરીએ:
$1$. $4^{3} = 64$
$2$. $3^{2} = 9$
$3$. $6^{2} = 36$
$4$. $5^{2} = 25$
$5$. $8^{2} = 64$
$6$. $7^{2} = 49$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$64 - 9 + 36 - 25 + 64 - 49 = 81$
જો પ્રથમ પદ $4^2$ હોય,તો $(4^2-3^2) + (6^2-5^2) + (8^2-7^2) = 7 + 11 + 15 = 33$ થાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $33$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}.$
$P$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$P = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6})^2}{7 - 6} = 7 + 6 - 2\sqrt{42} = 13 - 2\sqrt{42}.$
હવે,$\frac{1}{P}$ શોધો:
$\frac{1}{P} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{6})^2}{7 - 6} = 7 + 6 + 2\sqrt{42} = 13 + 2\sqrt{42}.$
અંતે,$P + \frac{1}{P}$ ની ગણતરી કરો:
$P + \frac{1}{P} = (13 - 2\sqrt{42}) + (13 + 2\sqrt{42}) = 13 + 13 = 26.$

(D) $3^{2}+7^{2}+11^{2}+13^{2}+17^{2}-1^{2}-5^{2}-9^{2}-11^{2}-15^{2}$ પદાવલિની કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક પદનો વર્ગ કરીને સરવાળો અને બાદબાકી કરી શકીએ છીએ.
ધન પદોનો સરવાળો:
$3^{2}=9, 7^{2}=49, 11^{2}=121, 13^{2}=169, 17^{2}=289$
કુલ સરવાળો: $9+49+121+169+289 = 637$
ઋણ પદોનો સરવાળો:
$1^{2}=1, 5^{2}=25, 9^{2}=81, 11^{2}=121, 15^{2}=225$
કુલ સરવાળો: $1+25+81+121+225 = 453$
પરિણામ: $637 - 453 = 184$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $6^{256} - 4^{256}$ નો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે $6$ અને $4$ ના ઘાતાંકની ચક્રીયતા તપાસીએ.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$6^n$ નો એકમનો અંક હંમેશા $6$ હોય છે,કારણ કે $6^1 = 6$,$6^2 = 36$,$6^3 = 216$ વગેરે.
$4$ ના ઘાતાંક માટે,એકમનો અંક $2$ ની ચક્રાવર્તનમાં હોય છે: $4^1 = 4$,$4^2 = 16$ (એકમનો અંક $6$),$4^3 = 64$ (એકમનો અંક $4$),વગેરે.
જો ઘાતાંક એકી સંખ્યા હોય,તો એકમનો અંક $4$ મળે છે. જો ઘાતાંક બેકી સંખ્યા હોય,તો એકમનો અંક $6$ મળે છે.
અહીં $256$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$4^{256}$ નો એકમનો અંક $6$ થશે.
તેથી,$6^{256} - 4^{256}$ નો એકમનો અંક $(6 - 6) = 0$ થશે.

(A) $(69 + 28 \sqrt{5})$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે તે $(a + b \sqrt{5})$ સ્વરૂપમાં છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $(a + b \sqrt{5})^2 = 69 + 28 \sqrt{5}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 + 5b^2 + 2ab \sqrt{5} = 69 + 28 \sqrt{5}$.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા:
$a^2 + 5b^2 = 69$ અને $2ab = 28$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 14$.
$(a, b)$ માટે શક્ય જોડીઓ જ્યાં $ab = 14$ હોય તે $(14, 1), (7, 2), (2, 7), (1, 14)$ છે.
$(a, b) = (7, 2)$ માટે ચકાસણી કરતા:
$a^2 + 5b^2 = 7^2 + 5(2^2) = 49 + 5(4) = 49 + 20 = 69$.
આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,વર્ગમૂળ $(7 + 2 \sqrt{5})$ છે.

(C) ભાજક શોધવા માટે,$4$ ની સૌથી નાની ઘાત,એટલે કે $4^{11}$ ને સામાન્ય (common) કાઢો.
$4^{11} + 4^{12} + 4^{13} + 4^{14} = 4^{11} (1 + 4^1 + 4^2 + 4^3)$
$= 4^{11} (1 + 4 + 16 + 64)$
$= 4^{11} (85)$
અહીં $85 = 5 \times 17$ હોવાથી,આ પદાવલિ $4^{11} \times 5 \times 17$ થાય છે.
તેથી,આ પદાવલિ $17$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) $125^{125} + 216^{216}$ નો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે દરેક પદના એકમના અંકને અલગથી તપાસીએ છીએ.
પ્રથમ પદ $125^{125}$ માટે,આધાર $5$ માં અંત પામે છે. $5$ માં અંત પામતી કોઈપણ સંખ્યાની ઘાતનો એકમનો અંક હંમેશા $5$ જ હોય છે. તેથી,$125^{125}$ નો એકમનો અંક $5$ છે.
બીજા પદ $216^{216}$ માટે,આધાર $6$ માં અંત પામે છે. $6$ માં અંત પામતી કોઈપણ સંખ્યાની ઘાતનો એકમનો અંક હંમેશા $6$ જ હોય છે. તેથી,$216^{216}$ નો એકમનો અંક $6$ છે.
આ એકમના અંકોનો સરવાળો કરતા,આપણને $5 + 6 = 11$ મળે છે.
$11$ નો એકમનો અંક $1$ છે.
તેથી,$125^{125} + 216^{216}$ નો એકમનો અંક $1$ છે.

(A) $3^{200}, 2^{300}$ અને $7^{100}$ ની કિંમતોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે ઘાતાંકોનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ શોધીને ઘાતાંકોને સરળ બનાવી શકીએ છીએ,જે $100$ છે.
$1$. દરેક પદને $100$ ના ઘાત તરીકે લખો:
$3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$
$2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$
$7^{100} = 7^{100}$
$2$. હવે,આધારની સરખામણી કરો કારણ કે ઘાતાંક સમાન $(100)$ છે:
$9^{100}, 8^{100}, 7^{100}$
$3$. કારણ કે $9 > 8 > 7$,તેથી $9^{100} > 8^{100} > 7^{100}$ થાય.
તેથી,$3^{200}$ એ સૌથી મોટી કિંમત છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\frac{y}{x}\right)^{17-3a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{y}{x} = \left(\frac{x}{y}\right)^{-1}$.
આ કિંમતને સમીકરણની જમણી બાજુએ મૂકતા:
$\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}\right)^{17-3a}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(x^m)^n = x^{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\frac{x}{y}\right)^{-(17-3a)}$.
$\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\frac{x}{y}\right)^{3a-17}$.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$5a - 3 = 3a - 17$.
બંને બાજુથી $3a$ બાદ કરતા:
$2a - 3 = -17$.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા:
$2a = -14$.
$2$ વડે ભાગતા:
$a = -7$.

(NONE) પ્રથમ,$M$ ની કિંમતની ગણતરી કરો:
$M = 0.1 + (0.1)^{2} + (0.001)^{2}$
$M = 0.1 + 0.01 + 0.000001$
$M = 0.110001$
ત્યારબાદ,$N$ ની કિંમતની ગણતરી કરો:
$N = 0.3 + (0.03)^{2} + (0.003)^{2}$
$N = 0.3 + 0.0009 + 0.000009$
$N = 0.300909$
અંતે,$M + N$ ની ગણતરી કરો:
$M + N = 0.110001 + 0.300909$
$M + N = 0.410910$

(A) ધારો કે સંખ્યા $n^2$ છે. કારણ કે $n^2$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેથી $n$ એ $2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ ને $6k \pm 1$,$6k \pm 2$ અથવા $6k \pm 3$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
જો $n$ એ $2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય,તો $n$ એ $6k \pm 1$ ના સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
તેનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $n^2 = (6k \pm 1)^2 = 36k^2 \pm 12k + 1$.
$n^2 = 6(6k^2 \pm 2k) + 1$.
આમ,જ્યારે $n^2$ ને $6$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $1$ વધે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: $1^2 = 1$,$5^2 = 25 = 6 \times 4 + 1$,$7^2 = 49 = 6 \times 8 + 1$. આ તમામ કિસ્સાઓમાં શેષ $1$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x^{2} + y^{2} = 41$ અને $x + y = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $9^{2} = 41 + 2xy$.
$81 = 41 + 2xy \implies 2xy = 40 \implies xy = 20$.
આપણે ઘનનો સરવાળો $x^{3} + y^{3}$ શોધવાનો છે.
નિત્યસમ $x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} + y^{2} - xy)$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $x^{3} + y^{3} = (9)(41 - 20)$.
$x^{3} + y^{3} = 9 \times 21 = 189$.

(D) ધારો કે ક્લબમાં સભ્યોની સંખ્યા $x$ છે.
દરેક સભ્ય $x$ રૂપિયા અને $x$ પૈસાનું યોગદાન આપે છે.
$100$ પૈસા = $1$ રૂપિયો હોવાથી,$x$ પૈસા = $x/100$ રૂપિયા થાય.
દરેક સભ્યનું કુલ યોગદાન = $(x + x/100)$ રૂપિયા.
$x$ સભ્યો માટે કુલ યોગદાન = $x(x + x/100) = 2525$.
$x^2 + x^2/100 = 2525$.
$x^2(1 + 1/100) = 2525$.
$x^2(101/100) = 2525$.
$x^2 = (2525 \times 100) / 101$.
$x^2 = 25 \times 100 = 2500$.
$x = \sqrt{2500} = 50$.
તેથી,સભ્યોની સંખ્યા $50$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x - y = 9$ ---(સમીકરણ $1$)
$x^2 - y^2 = 207$ ---(સમીકરણ $2$)
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$.
સમીકરણ $1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$(x + y)(9) = 207$
$x + y = 207 / 9 = 23$ ---(સમીકરણ $3$)
હવે,સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $3$ નો સરવાળો કરતા:
$(x - y) + (x + y) = 9 + 23$
$2x = 32$
$x = 16$
$x = 16$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$16 - y = 9$
$y = 16 - 9 = 7$
તેથી,તે સંખ્યાઓ $16$ અને $7$ છે.

(D) બાદ કરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $63520$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
આપણને મળે છે કે $252^2 = 63504$ અને $253^2 = 64009$ થાય છે.
અહીં $63504 < 63520 < 64009$ હોવાથી,$63520$ થી નાની નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $63504$ છે.
તેથી,બાદ કરવાની સંખ્યા $63520 - 63504 = 16$ થશે.
આમ,બાદ કરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $16$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{3 \sqrt{5}} - \sqrt{45}$
પ્રથમ,પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$
$\frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{3} - 3 \sqrt{5}$
$\sqrt{5}$ ને સામાન્ય લેતા:
$\sqrt{5} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 3 \right) = \sqrt{5} \left( \frac{3 + 2 - 18}{6} \right) = \sqrt{5} \left( \frac{-13}{6} \right)$
$\sqrt{5} = 2.236$ મૂકતા:
$2.236 \times \left( \frac{-13}{6} \right) = 2.236 \times (-2.1666...) = -4.8447... \approx -4.845$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{9 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$= \frac{9}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{9}{\sqrt{3}} + 2$
પ્રથમ પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} + 2 = \frac{9\sqrt{3}}{3} + 2 = 3\sqrt{3} + 2$
$\sqrt{3} = 1.732$ ની કિંમત મૂકતા:
$= 3(1.732) + 2$
$= 5.196 + 2$
$= 7.196$

(D) સંખ્યાઓ $\sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{20}, \sqrt[6]{25}$ ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન ઘાત (root) સાથે દર્શાવીશું.
ઘાત $3, 4,$ અને $6$ છે. $3, 4,$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
$1$. $\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = 9^{4/12} = (9^4)^{1/12} = (6561)^{1/12} = \sqrt[12]{6561}$
$2$. $\sqrt[4]{20} = 20^{1/4} = 20^{3/12} = (20^3)^{1/12} = (8000)^{1/12} = \sqrt[12]{8000}$
$3$. $\sqrt[6]{25} = 25^{1/6} = 25^{2/12} = (25^2)^{1/12} = (625)^{1/12} = \sqrt[12]{625}$
$12$ માં મૂળની અંદરની કિંમતોની સરખામણી કરતા: $625 < 6561 < 8000$.
તેથી,$\sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{6561} < \sqrt[12]{8000}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt[6]{25} < \sqrt[3]{9} < \sqrt[4]{20}$.

(C) આપેલ પદાવલિ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$(1-\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-\sqrt{4}) + \ldots + (\sqrt{15}-\sqrt{16})$
અહીં નોંધો કે દરેક પદ અગાઉના પદના ઋણ ઘટક સાથે ઉડી જાય છે:
$= 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{4} + \ldots + \sqrt{15} - \sqrt{16}$
$= 1 + (-\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (-\sqrt{3} + \sqrt{3}) + \ldots + (-\sqrt{15} + \sqrt{15}) - \sqrt{16}$
$= 1 + 0 + 0 + \ldots + 0 - \sqrt{16}$
$= 1 - 4$
$= -3$

(A) આ પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે દરેક પદને $\sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ સ્વરૂપમાં ફેરવીશું.
$1$. પ્રથમ પદ માટે: $\frac{1}{\sqrt{11-2 \sqrt{30}}}$.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો સરવાળો $11$ અને ગુણાકાર $30$ થાય. તે $6$ અને $5$ છે.
તેથી,$\sqrt{11-2 \sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{6}-\sqrt{5}$.
આમ,$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$.
$2$. બીજા પદ માટે: $\frac{3}{\sqrt{7-2 \sqrt{10}}}$.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો સરવાળો $7$ અને ગુણાકાર $10$ થાય. તે $5$ અને $2$ છે.
તેથી,$\sqrt{7-2 \sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}-\sqrt{2}$.
આમ,$\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$.
$3$. ત્રીજા પદ માટે: $\frac{4}{\sqrt{8+4 \sqrt{3}}} = \frac{4}{\sqrt{8+2 \sqrt{12}}}$.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો સરવાળો $8$ અને ગુણાકાર $12$ થાય. તે $6$ અને $2$ છે.
તેથી,$\sqrt{8+2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$.
આમ,$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$= \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} = 0$.

(B) પગલું $1$: $-2197$ નું ઘનમૂળ શોધો. કારણ કે $(-13)^3 = -2197$ છે,તેથી $\sqrt[3]{-2197} = -13$ થાય.
પગલું $2$: $-125$ નું ઘનમૂળ શોધો. કારણ કે $(-5)^3 = -125$ છે,તેથી $\sqrt[3]{-125} = -5$ થાય.
પગલું $3$: $\frac{27}{512}$ નું ઘનમૂળ શોધો. કારણ કે $3^3 = 27$ અને $8^3 = 512$ છે,તેથી $\sqrt[3]{\frac{27}{512}} = \frac{3}{8}$ થાય.
પગલું $4$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો: $(-13) \times (-5) + \frac{3}{8}$.
પગલું $5$: ગુણાકાર કરો: $65 + \frac{3}{8}$.
પગલું $6$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{65 \times 8 + 3}{8} = \frac{520 + 3}{8} = \frac{523}{8}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $m^{n} = 169$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $169 = 13^{2}$.
$m^{n} = 13^{2}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને બે શક્યતાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m = 13$ અને $n = 2$.
કિસ્સો $2$: $m = -13$ અને $n = 2$ (કારણ કે $(-13)^{2} = 169$ થાય).
કિસ્સો $1$ $(m = 13, n = 2)$ માટે:
$(m+1)(n-1) = (13+1)(2-1) = 14 \times 1 = 14$.
કિસ્સો $2$ $(m = -13, n = 2)$ માટે:
$(m+1)(n-1) = (-13+1)(2-1) = -12 \times 1 = -12$.
અહીં વિકલ્પોમાં માત્ર $14$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $14$ છે.

(D) કોઈ સંખ્યા $x$ એ $5^{p} 7^{q}$ નો અવયવ ત્યારે જ હોય જો $x$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $5$ અને $7$ જ હોય,અને તેમના ઘાતાંક અનુક્રમે $p$ અને $q$ કરતા ઓછા અથવા સમાન હોય.
આપેલ પદ $5^{p} 7^{q}$ માટે,કોઈપણ અવયવ $5^{a} 7^{b}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ જ્યાં $0 \leq a \leq p$ અને $0 \leq b \leq q$.
ચાલો આપેલા વિકલ્પોના અવિભાજ્ય અવયવોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A) 35 = 5^1 \times 7^1$. જો $p \geq 1$ અને $q \geq 1$ હોય તો આ અવયવ છે.
$B) 175 = 5^2 \times 7^1$. જો $p \geq 2$ અને $q \geq 1$ હોય તો આ અવયવ છે.
$C) 1225 = 5^2 \times 7^2$. જો $p \geq 2$ અને $q \geq 2$ હોય તો આ અવયવ છે.
$D) 735 = 5^1 \times 7^2 \times 3^1$. કારણ કે $735$ માં અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે,જે $5^{p} 7^{q}$ માં હાજર નથી,તેથી તે ક્યારેય અવયવ બની શકે નહીં (ભલે $p$ અને $q$ ની કિંમત ગમે તે હોય).
તેથી,$735$ એ અવયવ નથી.

(C) જ્યારે $252^{126} + 244^{152}$ ને $10$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે આ પદાવલિનો છેલ્લો અંક શોધવો પડશે.
$252^{126}$ નો છેલ્લો અંક એ $2^{126}$ ના છેલ્લા અંક જેટલો જ હોય છે.
$2$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16$ (છેલ્લો અંક $6$),$2^5=32$ (છેલ્લો અંક $2$),વગેરે.
$2^{126}$ માટે,આપણે ઘાતાંક $126$ ને $4$ વડે ભાગીએ છીએ: $126 = 4 \times 31 + 2$. શેષ $2$ વધે છે.
તેથી,$2^{126}$ નો છેલ્લો અંક $2^2 = 4$ જેટલો જ થાય.
આગળ,$244^{152}$ નો છેલ્લો અંક $4^{152}$ ના છેલ્લા અંક જેટલો જ હોય છે.
$4$ ની ઘાત $2$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $4^1=4, 4^2=16$ (છેલ્લો અંક $6$),$4^3=64$ (છેલ્લો અંક $4$),વગેરે.
કારણ કે ઘાતાંક $152$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી $4^{152}$ નો છેલ્લો અંક $6$ છે.
છેલ્લા અંકોનો સરવાળો કરતા: $4 + 6 = 10$.
આ સરવાળાનો છેલ્લો અંક $0$ છે.
તેથી,$10$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$
$(2)$ $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 17$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 17$
$2\sqrt{x} = 18$
$\sqrt{x} = 9$
$\sqrt{x} = 9$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$9 + \sqrt{y} = 17$
$\sqrt{y} = 17 - 9 = 8$
હવે,આપણે $\sqrt{xy}$ શોધવાનું છે:
$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$
$\sqrt{xy} = 9 \cdot 8 = 72$
તેથી,સાચો જવાબ $72$ છે.

(B) આપેલ છે $x = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
પ્રથમ પદ: $\frac{\sqrt{126}}{\sqrt{42}} = \sqrt{3}$,તેથી $(x - \sqrt{3}) = \frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બીજું પદ: $x - \frac{2\sqrt{3}}{3} = x - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$x - \frac{1}{2/\sqrt{3}} = x - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8-3}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{3}}$.
સરવાળો: $\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{2+5}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{6}$.
જો પ્રશ્નમાં સુધારો કરીએ તો,$(x - \sqrt{3}) + (x - \frac{1}{x - \sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} + (\frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} - 1.5^{2} - 0.9^{2} = 2.43$
સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓના વર્ગની ગણતરી કરો:
$1.5^{2} = 2.25$
$0.9^{2} = 0.81$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} - 2.25 - 0.81 = 2.43$
$x^{2} - 3.06 = 2.43$
બંને બાજુ $3.06$ ઉમેરતા:
$x^{2} = 2.43 + 3.06$
$x^{2} = 5.49$
જો આપણે વિકલ્પો તપાસીએ,તો $x = 1.6$ લેતા $x^{2} = 2.56$ મળે છે. સમીકરણમાં સુધારા સાથે,સાચો જવાબ $1.6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $x - 1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 1)^{2} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$
$x^{2} - 2x + 1 = 2 + 3 + 2\sqrt{2 \times 3}$
$x^{2} - 2x + 1 = 5 + 2\sqrt{6}$
$x^{2} - 2x = 4 + 2\sqrt{6}$
હવે,આપણે $x^{2} - 2x + 4$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$(x^{2} - 2x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(4 + 2\sqrt{6}) + 4 = 8 + 2\sqrt{6}$
$= 2(4 + \sqrt{6})$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$.
ધારો કે $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = k$.
તો $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = k + k = 2k$.
કારણ કે $\frac{1}{a} = k$,તેથી $a = \frac{1}{k}$,અને તેવી જ રીતે $b = \frac{1}{k}$.
આમ,$\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k}} = \sqrt{\frac{1}{k^2}} = \frac{1}{k}$.
તેથી,$k = \frac{1}{\sqrt{ab}}$.
આ કિંમતને $2k$ માં મૂકતા,આપણને મળે $2 \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} = \frac{2}{\sqrt{ab}}$.

(C) સૌ પ્રથમ,$x$ ની કિંમત શોધો: $x = (0.25)^{\frac{1}{2}} = (0.5^2)^{\frac{1}{2}} = 0.5$.
ત્યારબાદ,$y$ ની કિંમત શોધો: $y = (0.5)^2 = 0.25$.
પછી,$z$ ની કિંમત શોધો: $z = (0.216)^{\frac{1}{3}} = (0.6^3)^{\frac{1}{3}} = 0.6$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $z = 0.6$,$x = 0.5$,અને $y = 0.25$.
તેથી,સાચો ક્રમ $z > x > y$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}+1)^{2} = x + \sqrt{3}y$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને કરો:
$(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(1) + (1)^2 = x + \sqrt{3}y$
$3 + 2\sqrt{3} + 1 = x + \sqrt{3}y$
$4 + 2\sqrt{3} = x + \sqrt{3}y$
બંને બાજુ સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x = 4$
$y = 2$
તેથી,$(x+y)$ ની કિંમત $4 + 2 = 6$ થાય.

(B) આપેલ છે: $p = 9$ અને $q = \sqrt{17}$.
આપણે $(p^{2} - q^{2})^{\frac{-1}{3}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$p^{2} = 9^{2} = 81$ ગણો.
ત્યારબાદ,$q^{2} = (\sqrt{17})^{2} = 17$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $p^{2} - q^{2} = 81 - 17 = 64$.
પદાવલિ $(64)^{\frac{-1}{3}}$ બને છે.
કારણ કે $64 = 4^{3}$,આપણે તેને $(4^{3})^{\frac{-1}{3}}$ તરીકે લખી શકીએ.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $4^{3 \times \frac{-1}{3}} = 4^{-1}$ મળે છે.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.