Simplification Questions in Gujarati

(D) પગલું $1$: પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \frac{1}{7} - 2 \frac{1}{2} = \frac{15}{7} - \frac{5}{2} = \frac{30-35}{14} = \frac{-5}{14}$.
પગલું $2$: પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{7} = \frac{9}{4} + \frac{8}{7} = \frac{63+32}{28} = \frac{95}{28}$.
પગલું $3$: પરિણામોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{-5}{14} \div \frac{95}{28} = \frac{-5}{14} \times \frac{28}{95} = \frac{-1}{1} \times \frac{2}{19} = \frac{-2}{19}$.
પગલું $4$: બીજા ભાગનું સાદું રૂપ આપતા: $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
ત્યારબાદ,$2 + \frac{1}{3/2} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
ત્યારબાદ,$2 + \frac{1}{8/3} = 2 + \frac{3}{8} = \frac{19}{8}$.
તેથી,બીજો ભાગ $\frac{1}{19/8} = \frac{8}{19}$ થાય.
પગલું $5$: અંતિમ ભાગાકાર કરતા: $\frac{-2}{19} \div \frac{8}{19} = \frac{-2}{19} \times \frac{19}{8} = \frac{-2}{8} = \frac{-1}{4}$.

(B) ધારો કે $a = 2.75$ અને $b = 2.25$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ થાય છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2}$ મળે છે.
સામાન્ય પદ $(a^2 + ab + b^2)$ ને દૂર કરતા,પદાવલિ $a - b$ માં સરળ બને છે.
કિંમતો પાછી મૂકતા: $2.75 - 2.25 = 0.50$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{\frac{1}{2} \div 4 + 20}{\frac{1}{2} \times 4 + 20}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અંશ ઉકેલો: $\frac{1}{2} \div 4 + 20 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + 20 = \frac{1}{8} + 20 = \frac{1 + 160}{8} = \frac{161}{8}$.
ત્યારબાદ,છેદ ઉકેલો: $\frac{1}{2} \times 4 + 20 = 2 + 20 = 22$.
હવે,અંશને છેદ વડે ભાગતા: $\frac{161/8}{22} = \frac{161}{8} \times \frac{1}{22} = \frac{161}{176}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 0.53$ અને $b = 0.41$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $(0.53 - 0.41)^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{(0.53 - 0.41)^2}{0.53 - 0.41}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(0.53 - 0.41) = 0.12$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $0.12$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{9^{2} \times 18^{4}}{3^{16}}$ છે.
આધારને અવિભાજ્ય અવયવોના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$9 = 3^{2}$ અને $18 = 2 \times 3^{2}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{(3^{2})^{2} \times (2 \times 3^{2})^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{4} \times 2^{4} \times (3^{2})^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{4} \times 2^{4} \times 3^{8}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{4+8} \times 2^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{12} \times 2^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{2^{4}}{3^{16-12}}$
$= \frac{16}{3^{4}}$
$= \frac{16}{81}$.

(C) $1+\frac{1}{2+\frac{1}{1-\frac{1}{3}}}$ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે નીચેથી ઉપર તરફ ઉકેલીશું.
સૌ પ્રથમ,સૌથી નીચેના અપૂર્ણાંકનો છેદ ઉકેલો: $1-\frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$.
હવે,પદાવલિ $1+\frac{1}{2+\frac{1}{2/3}}$ બને છે.
ત્યારબાદ,$\frac{1}{2/3}$ પદનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{2}$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $1+\frac{1}{2+\frac{3}{2}}$ બને છે.
છેદ $2+\frac{3}{2} = \frac{4+3}{2} = \frac{7}{2}$ નું સાદું રૂપ આપો.
અંતે,પદાવલિ $1+\frac{1}{7/2} = 1+\frac{2}{7} = \frac{7+2}{7} = \frac{9}{7}$ થાય છે.

(D) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $108 \div (x \text{ ના } \frac{1}{3}) + \frac{2}{5} \times 3 \frac{3}{4} = 10 \frac{1}{2}$ છે.
પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો: $3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ અને $10 \frac{1}{2} = \frac{21}{2}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $108 \div (x \times \frac{1}{3}) + \frac{2}{5} \times \frac{15}{4} = \frac{21}{2}$.
ગુણાકારના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{5} \times \frac{15}{4} = \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
હવે સમીકરણ: $108 \div \frac{x}{3} + \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$ છે.
ભાગાકારને વ્યસ્ત વડે ગુણાકારમાં ફેરવતા: $108 \times \frac{3}{x} + \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$.
બંને બાજુથી $\frac{3}{2}$ બાદ કરતા: $\frac{324}{x} = \frac{21}{2} - \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $9x = 324$,તેથી $x = \frac{324}{9} = 36$.

(D) આપેલ પદાવલિ $1 + 1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{4 \times 9} + \frac{1}{4 \times 27}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $2 + \frac{1}{12} + \frac{1}{36} + \frac{1}{108}$ થાય છે.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,$12, 36,$ અને $108$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $108$ છે.
તેથી પદાવલિ $2 + \frac{9}{108} + \frac{3}{108} + \frac{1}{108}$ બને છે.
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા $2 + \frac{9 + 3 + 1}{108} = 2 + \frac{13}{108}$ મળે છે.
દશાંશ કિંમતની ગણતરી કરતા: $2 + 0.12037... = 2.12037...$.
દશાંશના ચાર સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.1204$ મળે છે.

(D) ધારો કે જરૂરી ભાગ $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{1}{12}$ નો $x$ ભાગ $= \frac{3}{48}$ થાય.
સૌ પ્રથમ,$\frac{3}{48}$ ને અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા $\frac{1}{16}$ મળે છે.
તેથી,$x \times \frac{1}{12} = \frac{1}{16}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{1}{16} \times 12$ મળે.
$x = \frac{12}{16}$.
બંનેને $4$ વડે ભાગતા,$x = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે નીચેથી ઉપરની તરફ ઉકેલીશું:
$1$. સૌ પ્રથમ,સૌથી અંદરના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપો: $1 - \frac{2}{3} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$.
$2$. આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/3}} = 1 + \frac{1}{1 + 3}$.
$3$. છેદનું સાદું રૂપ આપો: $1 + 3 = 4$.
$4$. પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $1 + \frac{1}{4}$.
$5$. અંતે,પદોનો સરવાળો કરતા: $1 + \frac{1}{4} = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલા અપૂર્ણાંકોને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{1}{3} \approx 0.333$
$\frac{7}{8} = 0.875$
આપણે એવો અપૂર્ણાંક $x$ શોધવાનો છે કે જેથી $0.333 < x < 0.875$ થાય.
વિકલ્પો તપાસો:
$A) \frac{1}{4} = 0.25$. કારણ કે $0.25 < 0.333$,આ ખોટું છે.
$B) \frac{23}{24} \approx 0.958$. કારણ કે $0.958 > 0.875$,આ ખોટું છે.
$C) \frac{11}{12} \approx 0.916$. કારણ કે $0.916 > 0.875$,આ ખોટું છે.
$D) \frac{17}{24} \approx 0.708$. કારણ કે $0.333 < 0.708 < 0.875$,તેથી આ સાચો અપૂર્ણાંક છે.

(A) $37 \frac{1}{2}$ માં કેટલા $\frac{1}{8}$ છે તે શોધવા માટે,આપણે $37 \frac{1}{2}$ ને $\frac{1}{8}$ વડે ભાગવા પડશે.
સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંક $37 \frac{1}{2}$ ને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો: $37 \frac{1}{2} = \frac{37 \times 2 + 1}{2} = \frac{75}{2}$.
હવે,ભાગાકાર કરો: $\frac{75}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{75}{2} \times 8$.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $\frac{75 \times 8}{2} = 75 \times 4 = 300$.

(D) ધારો કે છોકરીઓની સંખ્યા $G$ છે અને છોકરાઓની સંખ્યા $B$ છે.
શિબિરમાં ભાગ લેનાર છોકરીઓની સંખ્યા = $\frac{1}{5}G$.
શિબિરમાં ભાગ લેનાર છોકરાઓની સંખ્યા = $\frac{1}{8}B$.
શિબિરમાં ભાગ લેનાર કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $\frac{1}{5}G + \frac{1}{8}B$.
કોલેજમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $G + B$.
શિબિરમાં ભાગ લેનાર વિદ્યાર્થીઓનો અપૂર્ણાંક $\frac{\frac{1}{5}G + \frac{1}{8}B}{G + B}$ છે.
અહીં છોકરીઓ અને છોકરાઓનો ગુણોત્તર આપેલો ન હોવાથી,ચોક્કસ અપૂર્ણાંક નક્કી કરી શકાતો નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(C) $BODMAS$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉકેલીએ:
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોને સરળ બનાવો: $(1 \frac{2}{5} - 1 \frac{1}{3}) = (\frac{7}{5} - \frac{4}{3}) = \frac{21-20}{15} = \frac{1}{15}$.
ત્યારબાદ,'of' (ગુણાકાર) વાળા ઓપરેશન ઉકેલો:
$\frac{1}{2} \text{ of } \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
$1 \frac{7}{8} \text{ of } \frac{1}{15} = \frac{15}{8} \times \frac{1}{15} = \frac{1}{8}$.
હવે આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$= \{\frac{15}{2} + \frac{1}{2} \div \frac{1}{8} - \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} \div \frac{1}{8}\}$.
ભાગાકારની પ્રક્રિયા કરો:
$= \{\frac{15}{2} + (\frac{1}{2} \times 8) - (\frac{2}{5} \times \frac{7}{3} \times 8)\}$.
$= \{\frac{15}{2} + 4 - \frac{112}{15}\}$.
$= \{\frac{23}{2} - \frac{112}{15}\}$.
$= \frac{345 - 224}{30} = \frac{121}{30} = 4 \frac{1}{30}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\left(2-\frac{1}{3}\right)\left(2-\frac{3}{5}\right)\left(2-\frac{5}{7}\right) \ldots \left(2-\frac{999}{1001}\right)$ છે.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left(\frac{6-1}{3}\right) \times \left(\frac{10-3}{5}\right) \times \left(\frac{14-5}{7}\right) \times \ldots \times \left(\frac{2002-999}{1001}\right)$
$= \frac{5}{3} \times \frac{7}{5} \times \frac{9}{7} \times \ldots \times \frac{1003}{1001}$.
ભાત (pattern) જોતા,દરેક અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના પછીના અપૂર્ણાંકના છેદ સાથે ઉડી જાય છે:
$= \frac{{5}}{3} \times \frac{{7}}{{5}} \times \frac{{9}}{{7}} \times \ldots \times \frac{1003}{{1001}}$
$= \frac{1003}{3}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \frac{1}{4 \cdot 5 \cdot 6}$ છે.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + \frac{1}{120}$.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,$6, 24, 60, 120$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $120$ છે.
$S = \frac{20}{120} + \frac{5}{120} + \frac{2}{120} + \frac{1}{120}$.
$S = \frac{20 + 5 + 2 + 1}{120} = \frac{28}{120}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{7}{30}$ મળે છે.

(D) મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$15 \frac{2}{3} = \frac{47}{3}$,$3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6}$,$6 \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$,$11 \frac{7}{18} = \frac{205}{18}$.
ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{47}{3} \times \frac{19}{6} + \frac{19}{3} = \frac{205}{18} + x$.
ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\frac{47 \times 19}{3 \times 6} = \frac{893}{18}$.
હવે,$\frac{893}{18} + \frac{19}{3} = \frac{205}{18} + x$.
$\frac{19}{3}$ ને $18$ છેદવાળા અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો: $\frac{19 \times 6}{3 \times 6} = \frac{114}{18}$.
તેથી,$\frac{893}{18} + \frac{114}{18} = \frac{205}{18} + x$.
$\frac{1007}{18} = \frac{205}{18} + x$.
$x = \frac{1007}{18} - \frac{205}{18} = \frac{802}{18}$.
$\frac{802}{18}$ ને $2$ વડે ભાગતા: $\frac{401}{9}$.
$\frac{401}{9}$ ને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $44 \frac{5}{9}$.

(A) ગણિતના ક્રમના નિયમ $(BODMAS)$ મુજબ:
સૌ પ્રથમ,સૌથી અંદરના કૌંસને ઉકેલો: $(2 + \frac{8}{13}) = \frac{26+8}{13} = \frac{34}{13}$.
ત્યારબાદ,છગડિયા કૌંસને ઉકેલો: $(4 - 2) \div \frac{34}{13} = 2 \div \frac{34}{13} = 2 \times \frac{13}{34} = \frac{13}{17}$.
પછી,ચોરસ કૌંસને ઉકેલો: $(8 - 5) \div \frac{13}{17} = 3 \div \frac{13}{17} = 3 \times \frac{17}{13} = \frac{51}{13}$.
અંતે,આખી પદાવલિને ઉકેલો: $3 \div \frac{51}{13} = 3 \times \frac{13}{51} = \frac{13}{17}$.

(C) અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટે,તેમને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{3}{5} = 0.60$
$\frac{2}{3} \approx 0.666...$
$\frac{3}{4} = 0.75$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.75 > 0.666... > 0.60$.
તેથી,$\frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{(272-32)(124+176)}{17 \times 15-15}$ છે.
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોને ઉકેલો:
$272 - 32 = 240$
$124 + 176 = 300$
ત્યારબાદ,છેદને ઉકેલો:
$17 \times 15 - 15 = 15(17 - 1) = 15 \times 16 = 240$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{240 \times 300}{240} = 300$.

(NONE) આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}.$
$\frac{3a + 2b}{3a - 2b}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $b$ વડે ભાગતા:
$\frac{3a + 2b}{3a - 2b} = \frac{3(\frac{a}{b}) + 2}{3(\frac{a}{b}) - 2}.$
હવે $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{3(\frac{1}{2}) + 2}{3(\frac{1}{2}) - 2} = \frac{\frac{3}{2} + 2}{\frac{3}{2} - 2}.$
$= \frac{\frac{3 + 4}{2}}{\frac{3 - 4}{2}} = \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}}.$
$= \frac{7}{2} \times (-\frac{2}{1}) = -7.$

(A) આપેલ પદાવલિ $(20 \div 5) \div 2 + (16 \div 8) \times 2 + (10 \div 5) \times (3 \div 2)$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીશું:
પગલું $1$: કૌંસની અંદરની ક્રિયાઓ ઉકેલો:
$(20 \div 5) = 4$
$(16 \div 8) = 2$
$(10 \div 5) = 2$
$(3 \div 2) = 1.5$
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$4 \div 2 + 2 \times 2 + 2 \times 1.5$
પગલું $3$: ભાગાકાર અને ગુણાકારની ક્રિયા કરો:
$2 + 4 + 3$
પગલું $4$: સરવાળો કરો:
$2 + 4 + 3 = 9$
તેથી,સાચો જવાબ $9$ છે.

(B) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે. સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{5}{6} \div \frac{6}{7} \times x - \frac{8}{9} \div \frac{8}{5} + \frac{3}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{25}{9}$.
$BODMAS$ ના નિયમ મુજબ,આપણે પહેલા ભાગાકાર અને ગુણાકાર ઉકેલીશું:
$\frac{5}{6} \times \frac{7}{6} \times x - \frac{8}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{3}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{25}{9}$.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{35}{36} x - \frac{5}{9} + \frac{5}{2} = \frac{25}{9}$.
$x$ માટે ઉકેલવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{35}{36} x = \frac{25}{9} + \frac{5}{9} - \frac{5}{2}$.
$\frac{35}{36} x = \frac{30}{9} - \frac{5}{2} = \frac{10}{3} - \frac{5}{2}$.
$\frac{35}{36} x = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6}$.
$x = \frac{5}{6} \times \frac{36}{35} = \frac{6}{7}$.

(NONE) મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$,$3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6}$,$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$,અને $13 \frac{2}{3} = \frac{41}{3}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{9}{2} + \frac{19}{6} + x + \frac{7}{3} = \frac{41}{3}$.
ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $6$ લો:
$\frac{27}{6} + \frac{19}{6} + \frac{14}{6} + x = \frac{41}{3}$.
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો: $\frac{27 + 19 + 14}{6} + x = \frac{41}{3}$.
$\frac{60}{6} + x = \frac{41}{3}$.
$10 + x = \frac{41}{3}$.
$x = \frac{41}{3} - 10$.
$x = \frac{41 - 30}{3} = \frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે $a = 0.67$ અને $b = 0.1$ છે.
તેથી $a^3 = 0.67 \times 0.67 \times 0.67$ અને $b^3 = 0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001$ થાય.
વળી,$ab = 0.67 \times 0.1 = 0.067$ અને $b^2 = 0.1 \times 0.1 = 0.01$ થાય.
આ પદાવલિ $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $0.67 - 0.1 = 0.57$ મળે છે.

(A) ધારો કે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $x$ છે.
છોકરીઓની સંખ્યા છોકરાઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોવાથી,ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $b$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $2b$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $x = b + 2b = 3b$,તેથી $b = \frac{x}{3}$ અને છોકરીઓ $= \frac{2x}{3}$ થાય.
શિબિરમાં ભાગ લેનાર છોકરીઓની સંખ્યા $= \frac{1}{5} \times \frac{2x}{3} = \frac{2x}{15}$ થાય.
શિબિરમાં ભાગ લેનાર છોકરાઓની સંખ્યા $= \frac{1}{8} \times \frac{x}{3} = \frac{x}{24}$ થાય.
શિબિરમાં ભાગ લેનાર કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= \frac{2x}{15} + \frac{x}{24}$ થાય.
આનો સરવાળો કરવા માટે,$15$ અને $24$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $120$ છે.
કુલ $= \frac{16x + 5x}{120} = \frac{21x}{120} = \frac{7x}{40}$ થાય.
આમ,શિબિરમાં ભાગ લેનાર કુલ વિદ્યાર્થીઓનો ભાગ $\frac{7}{40}$ છે.

(B) ધારો કે અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણે અપૂર્ણાંકનો તેની સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેને તેના વ્યસ્ત વડે ભાગીએ છીએ:
$x^2 \div (1/x) = 18 \frac{26}{27}$
$x^2 \times x = \frac{18 \times 27 + 26}{27}$
$x^3 = \frac{486 + 26}{27} = \frac{512}{27}$
$x^3 = (\frac{8}{3})^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$

(B) સૌથી મોટી સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,ચાલો દરેક વિકલ્પની કિંમતની ગણતરી કરીએ:
$A) (0.3)^{2} = 0.3 \times 0.3 = 0.09$
$B) 1 \div 0.3 = 10 \div 3 \approx 3.33$
$C) 1/8 = 0.125$
$D) \sqrt{0.49} = 0.7$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.09, 3.33, 0.125, 0.7$.
સૌથી મોટી કિંમત $3.33$ છે,જે વિકલ્પ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ધારો કે બાદ કરવાનો અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ત્રણેય અપૂર્ણાંકોની સરેરાશ $\frac{1}{12}$ છે.
ત્રણ અપૂર્ણાંકો $\frac{1}{4}$,$\frac{1}{6}$ અને $-x$ છે.
આ ત્રણેય અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - x$ છે.
સરેરાશનું સૂત્ર $\frac{\text{સરવાળો}}{3} = \frac{1}{12}$ છે.
તેથી,$\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - x}{3} = \frac{1}{12}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $\frac{1}{4}$ બાદ કરતા,$\frac{1}{6} - x = 0$ મળે છે.
આમ,$x = \frac{1}{6}$.

(B) ધારો કે અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વ્યક્તિએ $\frac{6}{7}$ વડે ગુણાકાર કરવાને બદલે $\frac{6}{7}$ વડે ભાગાકાર કર્યો.
આનો અર્થ એ છે કે ગણતરી કરેલ કિંમત $x \div \frac{6}{7} = \frac{7}{6}x$ છે.
સાચો જવાબ $\frac{6}{7}x$ હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે ગણતરી કરેલ કિંમત સાચા જવાબ કરતા $\frac{1}{7}$ વધારે છે,તેથી:
$\frac{7}{6}x - \frac{6}{7}x = \frac{1}{7}$
$x$ માટે ઉકેલવા માટે,ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $42$ લો:
$\frac{49x - 36x}{42} = \frac{1}{7}$
$\frac{13x}{42} = \frac{1}{7}$
$x = \frac{1}{7} \times \frac{42}{13} = \frac{6}{13}$
હવે,સાચો જવાબ શોધો:
સાચો જવાબ $= \frac{6}{7}x = \frac{6}{7} \times \frac{6}{13} = \frac{36}{91}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $2+\sqrt{2}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-2}$
છેલ્લે આપેલા બે પદોનો સામાન્ય છેદ શોધીને સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-2} = \frac{(\sqrt{2}-2) + (2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-2)}$
અંશ અને છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
અંશ: $\sqrt{2}-2+2+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
છેદ: $(\sqrt{2})^2 - (2)^2 = 2 - 4 = -2$
તેથી,છેલ્લા બે પદોનો સરવાળો $\frac{2\sqrt{2}}{-2} = -\sqrt{2}$ થાય.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 + \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) દરેક પદની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{2} = 0.50000$
$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \approx 0.16667$
$\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{24} \approx 0.04167$
$\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{120} \approx 0.00833$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $0.50000 + 0.16667 + 0.04167 + 0.00833 = 0.71667$
દશાંશના ત્રણ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.717$ મળે છે.

(C) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x \div 12}{0.2 \times 3.6} = 2$ છે.
બંને બાજુ છેદ $(0.2 \times 3.6)$ વડે ગુણતા:
$x \div 12 = 2 \times 0.2 \times 3.6$
$x \div 12 = 0.4 \times 3.6$
$x \div 12 = 1.44$
હવે,$x$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા:
$x = 1.44 \times 12$
$x = 17.28$

(A) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે.
$\sqrt{x \times 7} \times 18 = 84$
બંને બાજુ $18$ વડે ભાગતા:
$\sqrt{x \times 7} = \frac{84}{18} = \frac{14}{3}$
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x \times 7 = \left(\frac{14}{3}\right)^2$
$x \times 7 = \frac{196}{9}$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{196}{9 \times 7}$
$x = \frac{196}{63}$
$x = \frac{28}{9} \approx 3.111...$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $x = 3.11$ મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$,$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$,$3 \frac{5}{12} = \frac{41}{12}$,$5 \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$,$2 \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$.
સરવાળો $= \frac{7}{4} + \frac{7}{3} + \frac{41}{12} + \frac{26}{5} + \frac{13}{6}$.
$4, 3, 12, 5, 6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ છે.
સરવાળો $= \frac{105 + 140 + 205 + 312 + 130}{60} = \frac{892}{60}$.
સાદું રૂપ આપતા $\frac{892}{60} = \frac{223}{15} = 14 \frac{13}{15}$.
$14 \frac{13}{15}$ ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા $15$ છે.
તફાવત $= 15 - 14 \frac{13}{15} = \frac{2}{15}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(2 + \frac{3}{x}) \times (y + \frac{1}{2}) = \frac{31}{4}$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(\frac{2x+3}{x}) \times (\frac{2y+1}{2}) = \frac{31}{4}$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(2x+3)(2y+1)}{2x} = \frac{31}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(2x+3)(2y+1) = 62x$,જેનું સાદું રૂપ $2(2x+3)(2y+1) = 31x$ થાય છે.
જો $x=14$ લઈએ તો: $2(2(14)+3)(2y+1) = 31(14) \Rightarrow 2(31)(2y+1) = 31(14)$.
બંને બાજુ $62$ વડે ભાગતા: $2y+1 = 7 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
આમ,$x=14$ અને $y=3$ મળે છે.

(C) ધારો કે અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણે અપૂર્ણાંકનો તેની સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેને તેના વ્યસ્તના વર્ગ વડે ભાગીએ છીએ:
$x \times x \div \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 3 \frac{13}{81}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$3 \frac{13}{81} = \frac{3 \times 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$
હવે,સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 \div \frac{1}{x^2} = \frac{256}{81}$
$x^2 \times x^2 = \frac{256}{81}$
$x^4 = \frac{256}{81}$
જમણી બાજુને $4$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવતા:
$x^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4$
તેથી,$x = \frac{4}{3}$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા $x \times y = (x + 2)^2 (y - 2)$ છે.
આ સમીકરણમાં $x = 7$ અને $y = 5$ મૂકતા:
$7 \times 5 = (7 + 2)^2 (5 - 2)$
$= (9)^2 \times (3)$
$= 81 \times 3$
$= 243$

(C) આપેલ છે કે $m^{n} = 121$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $121 = 11^{2}$.
$m^{n} = 11^{2}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $m = 11$ અને $n = 2$ મળે છે.
હવે,આપણે $(m-1)^{n+1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$m$ અને $n$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(11-1)^{2+1} = 10^{3}$.
આમ,જવાબ $10^{3}$ છે.

(D) આપેલ અપૂર્ણાંકો $\frac{1}{8} = 0.125$ અને $\frac{1}{2} = 0.5$ છે.
ગણિતમાં,કોઈપણ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ હોય છે.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી $\frac{1}{8}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે અસંખ્ય અપૂર્ણાંકો આવેલા છે.
ઉદાહરણ તરીકે,આપણે $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}$ જેવા અનેક અપૂર્ણાંકો મેળવી શકીએ છીએ.

(D) ધારો કે આપેલી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,છોકરાએ સંખ્યાને $\frac{8}{17}$ વડે ગુણવાને બદલે $\frac{8}{17}$ વડે ભાગ્યું.
$\frac{8}{17}$ વડે ભાગવું એટલે $\frac{17}{8}$ વડે ગુણવા બરાબર છે.
મેળવેલ પરિણામ અને અપેક્ષિત પરિણામ વચ્ચેનો તફાવત $225$ છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $x \times \frac{17}{8} - x \times \frac{8}{17} = 225$.
$x$ ને સામાન્ય લેતા: $x \times (\frac{17}{8} - \frac{8}{17}) = 225$.
કૌંસની અંદરનો તફાવત ગણતા: $\frac{17^2 - 8^2}{8 \times 17} = \frac{289 - 64}{136} = \frac{225}{136}$.
આમ,$x \times \frac{225}{136} = 225$.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{x}{136} = 1$.
તેથી,$x = 136$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n(n+1)}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
આ કિંમત શ્રેણીમાં મૂકતા:
$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના તમામ પદો ઉડી જાય છે.
$= 1 - \frac{1}{10} = \frac{10 - 1}{10} = \frac{9}{10}$.

(C) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\sqrt{1296}}{x} = \frac{x}{2.25}$ છે.
પદોનો ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા,આપણને $x^2 = \sqrt{1296} \times 2.25$ મળે છે.
કારણ કે $\sqrt{1296} = 36$ છે,તેથી સમીકરણ $x^2 = 36 \times 2.25$ બને છે.
ગુણાકાર કરતા,$x^2 = 81$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = \sqrt{81} = 9$ મળે છે.
તેથી,ખૂટતી કિંમત $9$ છે.

(B) ધારો કે અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણે અપૂર્ણાંકનો તેની સાથે ગુણાકાર કરીએ $(x \times x = x^2)$ અને તે ગુણાકારને તેના વ્યસ્ત $(\frac{1}{x})$ વડે ભાગીએ.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $x^2 \div \frac{1}{x} = 18 \frac{26}{27}$.
$x^2 \times x = \frac{18 \times 27 + 26}{27}$.
$x^3 = \frac{486 + 26}{27} = \frac{512}{27}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $x = \sqrt[3]{\frac{512}{27}} = \frac{8}{3}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $x = 2 \frac{2}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a}{a+b} = \frac{17}{23}$.
જો આપણે $a = 17$ લઈએ,તો $a + b = 23$ થાય.
$a + b = 23$ માં $a = 17$ મૂકતા,આપણને $b$ ની કિંમત મળે છે:
$17 + b = 23 \implies b = 23 - 17 = 6$.
હવે,$a - b$ ની ગણતરી કરતા:
$a - b = 17 - 6 = 11$.
તેથી,$\frac{a+b}{a-b}$ ની કિંમત:
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{23}{11}$ થાય.

(D) ધારો કે ડબ્બાની કુલ ક્ષમતા $x$ બોટલ છે.
શરૂઆતમાં,ડબ્બો $\frac{4}{5}$ ભરેલો હતો,તેથી તેલમાં રહેલી માત્રા $\frac{4}{5}x$ હતી.
જ્યારે $6$ બોટલ કાઢી લેવામાં આવી,ત્યારે તેલની માત્રા $\frac{4}{5}x - 6$ થઈ.
ત્યારબાદ,$4$ બોટલ ઉમેરવામાં આવી,જેથી તેલની માત્રા $\frac{4}{5}x - 6 + 4 = \frac{4}{5}x - 2$ થઈ.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતિમ માત્રા કુલ ક્ષમતાના $\frac{3}{4}$ છે,તેથી $\frac{4}{5}x - 2 = \frac{3}{4}x$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{4}{5}x - \frac{3}{4}x = 2$.
છેદ સમાન કરતા $(20)$: $\frac{16x - 15x}{20} = 2$.
$\frac{x}{20} = 2$.
$x = 40$.
તેથી,ડબ્બામાં કુલ $40$ બોટલ તેલ સમાઈ શકે છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વિદ્યાર્થીએ $\frac{3}{14}x$ ને બદલે $\frac{3}{4}x$ ની ગણતરી કરી.
આપેલ છે કે ખોટો જવાબ સાચા જવાબ કરતા $150$ વધારે છે,તેથી આપણી પાસે સમીકરણ છે:
$\frac{3}{4}x - \frac{3}{14}x = 150$
આને ઉકેલવા માટે,$4$ અને $14$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $28$ છે.
$\frac{3 \times 7}{28}x - \frac{3 \times 2}{28}x = 150$
$\frac{21}{28}x - \frac{6}{28}x = 150$
$\frac{15}{28}x = 150$
$x = \frac{150 \times 28}{15}$
$x = 10 \times 28 = 280$
આમ,તે સંખ્યા $280$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\left(2-\frac{1}{3}\right)\left(2-\frac{3}{5}\right)\left(2-\frac{5}{7}\right) \ldots \left(2-\frac{999}{1001}\right)$ છે.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left(\frac{6-1}{3}\right)\left(\frac{10-3}{5}\right)\left(\frac{14-5}{7}\right) \ldots \left(\frac{2002-999}{1001}\right)$
$= \frac{5}{3} \times \frac{7}{5} \times \frac{9}{7} \times \ldots \times \frac{1003}{1001}$.
આ ભાત (pattern) જોતા,દરેક અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના પછીના અપૂર્ણાંકના છેદ સાથે ઉડી જાય છે:
$= \frac{{5}}{3} \times \frac{{7}}{{5}} \times \frac{{9}}{{7}} \times \ldots \times \frac{1003}{{1001}}$.
છેદ ઉડાડ્યા પછી,આપણી પાસે છેલ્લા પદનો અંશ અને પ્રથમ પદનો છેદ બાકી રહે છે:
$= \frac{1003}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{2^{n}} = 64$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64$ ને $2^{6}$ તરીકે લખી શકાય છે.
વળી,$\sqrt{2^{n}}$ ને $(2^{n})^{1/2} = 2^{n/2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
સમાન આધાર $2$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $\frac{n}{2} = 6$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $n = 12$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $10^{2y} = 25$.
$10^{y}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગમૂળ લઈશું.
$\sqrt{10^{2y}} = \sqrt{25}$.
ઘાતાંકના નિયમ $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$10^{y} = 5$.