Simplification Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $(a+\frac{1}{a})^{2}=3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}$ મળે છે.
$a^{3}+\frac{1}{a^{3}}$ શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x+y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$x=a$ અને $y=\frac{1}{a}$ મૂકતા,આપણને $(a+\frac{1}{a})^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3(a)(\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(a+\frac{1}{a})^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3(a+\frac{1}{a})$ થાય છે.
સમીકરણમાં $a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\sqrt{3})^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3(\sqrt{3})$.
$3\sqrt{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3\sqrt{3}$.
બંને બાજુથી $3\sqrt{3}$ બાદ કરતા,આપણને $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $a = 7 - 4 \sqrt{3}$.
પ્રથમ,છેદનું સંમેયીકરણ કરીને $\frac{1}{a}$ શોધો:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} \times \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{7 + 4 \sqrt{3}} = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{49 - 16(3)} = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4 \sqrt{3}$.
આપણે $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}$ શોધવાનું છે,જે $\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$ છે.
ધારો કે $x = \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$.
તેથી $x^2 = (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})^2 = a + \frac{1}{a} + 2$.
$a$ અને $\frac{1}{a}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x^2 = (7 - 4 \sqrt{3}) + (7 + 4 \sqrt{3}) + 2 = 14 + 2 = 16$.
કારણ કે $a > 0$,$\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x = \sqrt{16} = 4$.

(B) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ છીએ:
$21 + 39 \times 2.9 + 8.99 \approx 21 + 39 \times 3 + 9$
ગણિતના ક્રમ $(BODMAS)$ મુજબ:
$= 21 + (39 \times 3) + 9$
$= 21 + 117 + 9$
$= 147$
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,કિંમત આશરે $148$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $22.9889 \div ? = 23$
અહીં $22.9889$ એ આશરે $23$ ની બરાબર છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$23 \div ? = 23$
બંને બાજુ $23$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$? = \frac{23}{23} = 1$
તેથી,પ્રશ્નાર્થ ચિહ્નની જગ્યાએ $1$ આવશે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $10^{3} \times 100^{3} + 999999999 = 10^{?} + 10^{?}$
પગલું $1$: ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપો.
$100^{3} = (10^{2})^{3} = 10^{6}$.
તેથી,$10^{3} \times 10^{6} = 10^{3+6} = 10^{9}$.
પગલું $2$: અચળ સંખ્યાનું આશરે મૂલ્ય લો.
$999999999$ એ આશરે $1000000000$ છે,જે $10^{9}$ છે.
પગલું $3$: સમીકરણમાં કિંમતો મૂકો.
$10^{9} + 10^{9} = 10^{?} + 10^{?}$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને મળે છે $? = 9$.

(B) દરેક પદનું સંમેયીકરણ (Rationalization) કરતા:
$1$. $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{6-3} = \frac{3(\sqrt{12}+\sqrt{6})}{3} = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$
$2$. $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{18}+\sqrt{6})}{4} = 3 \sqrt{2}+\sqrt{6}$
$3$. $\frac{6}{\sqrt{8}+\sqrt{12}} = \frac{6(\sqrt{12}-\sqrt{8})}{12-8} = \frac{6(2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{4} = \frac{3(2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{2} = 3 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(2 \sqrt{3}+\sqrt{6}) - (3 \sqrt{2}+\sqrt{6}) - (3 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$
$= 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$
$= (2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (-3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2})$
$= -\sqrt{3}$

(D) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $(x+y+z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ શોધીશું.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 2(-1) \Rightarrow 1 = x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2} = 3$.
હવે,બધી કિંમતો મુખ્ય નિત્યસમમાં મૂકતા:
$x^{3}+y^{3}+z^{3} - 3(-1) = (1)(3 - (-1))$.
$x^{3}+y^{3}+z^{3} + 3 = 1(3+1) = 4$.
$x^{3}+y^{3}+z^{3} = 4 - 3 = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0$
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$x-y=0 \Rightarrow x=y$
$y-z=0 \Rightarrow y=z$
$z-x=0 \Rightarrow z=x$
આમ,$x=y=z$.
હવે $y=x$ અને $z=x$ ને $\frac{4x+2y-3z}{2x}$ માં મૂકતા:
$\frac{4x+2(x)-3(x)}{2x} = \frac{4x+2x-3x}{2x} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x(3 - \frac{2}{x}) = \frac{3}{x}$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x - 2 = \frac{3}{x}$
પદોને ગોઠવતા: $3x - \frac{3}{x} = 2$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા: $x - \frac{1}{x} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - \frac{1}{x})^2 = (\frac{2}{3})^2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = \frac{4}{9}$
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા: $x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{4}{9} + 2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{4 + 18}{9} = \frac{22}{9}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $\frac{22}{9} = 2 \frac{4}{9}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=2(y-x)$
પદોને ગોઠવતા: $x^{2}+2x+y^{2}-2y+z^{2}+2=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^{2}+2x+1)+(y^{2}-2y+1)+z^{2}=0$
આનું સાદું રૂપ: $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=0$
કારણ કે વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$x+1=0 \Rightarrow x=-1$
$y-1=0 \Rightarrow y=1$
$z=0$
તેથી,$x^{3}+y^{3}+z^{3} = (-1)^{3} + (1)^{3} + (0)^{3} = -1 + 1 + 0 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણો $a^{3} b = 180$ અને $a b c = 180$ છે.
$a, b, c$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,આપણે બંને પદોને સરખાવીએ: $a^{3} b = a b c$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા ($a, b > 0$ હોવાથી),આપણને $a^{2} = c$ મળે છે.
હવે,$180$ ના અવયવો પાડીએ: $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 4 \times 9 \times 5$.
આપણે $a$ ની એવી કિંમત શોધવી છે કે જેથી $a^{2}$ એ $180$ નો અવયવ હોય અને $a^{3} b = 180$ થાય.
જો $a = 1$ લઈએ,તો $c = a^{2} = 1^{2} = 1$. ત્યારે $1^{3} \times b = 180$,તેથી $b = 180$. આ શરતનું પાલન કરે છે.
જો $a = 2$ લઈએ,તો $c = a^{2} = 2^{2} = 4$. ત્યારે $2^{3} \times b = 180$,જે $8b = 180$ આપે છે,તેથી $b = 22.5$ (જે પૂર્ણાંક નથી).
જો $a = 3$ લઈએ,તો $c = a^{2} = 3^{2} = 9$. ત્યારે $3^{3} \times b = 180$,જે $27b = 180$ આપે છે,તેથી $b = 20/3$ (જે પૂર્ણાંક નથી).
આમ,એકમાત્ર પૂર્ણાંક ઉકેલ $a = 1, b = 180, c = 1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(x+\frac{1}{x})^{2}=3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $(x+\frac{1}{x})^{3}=(\sqrt{3})^{3}$ મળે છે.
નિત્યસમ $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(x+\frac{1}{x})=3\sqrt{3}$ મળે.
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મૂકતા,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=0$.
$x^{3}$ વડે ગુણતા,$x^{6}+1=0$ મળે,તેથી $x^{6}=-1$.
હવે,$(x^{72}+x^{66}+x^{54}+x^{36}+x^{24}+x^{6}+1)$ પદાવલિમાં $x^{6}=-1$ મૂકતા:
$= (x^{6})^{12} + (x^{6})^{11} + (x^{6})^{9} + (x^{6})^{6} + (x^{6})^{4} + x^{6} + 1$
$= (-1)^{12} + (-1)^{11} + (-1)^{9} + (-1)^{6} + (-1)^{4} + (-1) + 1$
$= 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 1$.

(C) આપેલ છે કે $a+b+c=0.$
$\Rightarrow b+c=-a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\Rightarrow (b+c)^{2}=(-a)^{2}$
$\Rightarrow b^{2}+c^{2}+2bc=a^{2}$
હવે,અંશ સાથે મેળ કરવા માટે બંને બાજુ $a^{2}$ ઉમેરતા:
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc=2a^{2}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2a^{2}-2bc$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a^{2}-bc)$
બંને બાજુ $(a^{2}-bc)$ વડે ભાગતા:
$\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}-bc}=2$

(B) આપેલ છે કે $n = 7 + 4 \sqrt{3}$.
આપણે $n$ ને $n = 4 + 3 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3})$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = (2 + \sqrt{3})^2$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{n} = 2 + \sqrt{3}$.
હવે,$\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ શોધો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
અંતે,$\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $6^{2} = 14 + 2(ab+bc+ca)$.
$36 = 14 + 2(ab+bc+ca) \Rightarrow 2(ab+bc+ca) = 22 \Rightarrow ab+bc+ca = 11$.
હવે,આપણે નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca))$ નો ઉપયોગ કરીએ.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $36 - 3abc = 6(14 - 11)$.
$36 - 3abc = 6(3) = 18$.
$3abc = 36 - 18 = 18$.
$abc = 6$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(a-1) \sqrt{2} + 3 = b \sqrt{2} + a$.
અહીં $a$ અને $b$ સંમેય સંખ્યાઓ હોવાથી,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંમેય અને અસંમેય ભાગોને સરખાવી શકીએ છીએ.
ડાબી બાજુનો સંમેય ભાગ $3$ છે અને જમણી બાજુનો સંમેય ભાગ $a$ છે. તેથી,$a = 3$.
અસંમેય ભાગ $\sqrt{2}$ નો સહગુણક ડાબી બાજુ $(a-1)$ છે અને જમણી બાજુ $b$ છે. તેથી,$a - 1 = b$.
$a = 3$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $3 - 1 = b$,જે આપણને $b = 2$ આપે છે.
આમ,$(a+b) = 3 + 2 = 5$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3} = (\sqrt{3})^{3}$ મળે છે.
નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\left(x+\frac{1}{x}\right) = 3\sqrt{3}$ મળે.
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મૂકતા,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$ થાય.
આથી $x^{3}+\frac{1}{x^{3}} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^{6}+1 = 0$.
હવે,આપેલ પદાવલિ $x^{206}+x^{200}+x^{90}+x^{84}+x^{18}+x^{12}+x^{6}+1$ છે.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા,$x^{200}(x^{6}+1)+x^{84}(x^{6}+1)+x^{12}(x^{6}+1)+1(x^{6}+1)$ મળે.
કારણ કે $x^{6}+1=0$,તેથી આખી પદાવલિ $x^{200}(0)+x^{84}(0)+x^{12}(0)+1(0) = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4003 \times 77 - 21015 = ? \times 116$
પગલું $1$: ગુણાકાર $4003 \times 77$ ની ગણતરી કરો.
$4003 \times 77 = 308231$
પગલું $2$: પરિણામમાંથી $21015$ બાદ કરો.
$308231 - 21015 = 287216$
પગલું $3$: $?$ માટે ઉકેલો.
$? \times 116 = 287216$
$? = \frac{287216}{116}$
$? = 2476$

(B) પદની કિંમત શોધવા માટે, આપણે દરેક પદનો ભાગાકાર કરીશું:
$1. (4444 \div 40) = 111.1$
$2. (645 \div 25) = 25.8$
$3. (3991 \div 26) = 153.5$
હવે, આ પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$? = 111.1 + 25.8 + 153.5$
$? = 290.4$

(B) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$5 \frac{17}{37} = \frac{202}{37}$
$4 \frac{51}{52} = \frac{259}{52}$
$11 \frac{1}{7} = \frac{78}{7}$
$2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$
હવે,આ કિંમતોને પદમાં મૂકો:
$? = \frac{202}{37} \times \frac{259}{52} \times \frac{78}{7} + \frac{11}{4}$
ગુણાકારનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{202}{37} \times \frac{259}{7} \times \frac{78}{52} + \frac{11}{4}$
$= \frac{202}{37} \times 37 \times \frac{3}{2} + \frac{11}{4}$
$= 202 \times \frac{3}{2} + \frac{11}{4}$
$= 101 \times 3 + 2.75$
$= 303 + 2.75 = 305.75$

(C) $\frac{5}{8} \times 4011.33 + \frac{7}{10} \times 3411.22$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
પગલું $1$: $\frac{5}{8} \times 4011.33 = 0.625 \times 4011.33 = 2507.08125$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $\frac{7}{10} \times 3411.22 = 0.7 \times 3411.22 = 2387.854$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: બંને પરિણામોનો સરવાળો કરો: $2507.08125 + 2387.854 = 4894.93525$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $4895 \approx 4890$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $335.01 \times 244.99 \div 55 = ?$
કિંમતોને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને મળે છે:
$335 \times 245 \div 55 = ?$
ભાગાકાર અને ગુણાકારના ક્રમ $(BODMAS)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 335 \times (245 \div 55)$
$= 335 \times 4.4545...$
$= 1492.27...$
પરિણામને નજીકના વિકલ્પમાં ફેરવતા,આપણને $1490$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક પદના છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું.
પ્રથમ પદ: $\frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})} = \frac{3 \sqrt{6}-3 \sqrt{12}}{3-6} = \frac{3 \sqrt{6}-6 \sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{6}+2 \sqrt{3}$.
બીજું પદ: $\frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4 \sqrt{18}-4 \sqrt{6}}{6-2} = \frac{12 \sqrt{2}-4 \sqrt{6}}{4} = 3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$.
ત્રીજું પદ: $\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{3-2} = 3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}$.
આ પદોને જોડતા: $(-\sqrt{6}+2 \sqrt{3}) - (3 \sqrt{2}-\sqrt{6}) + (3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})$.
$= -\sqrt{6}+2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}+\sqrt{6}+3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3} = 0$.

(A) સૌ પ્રથમ,અંશનું સાદુંરૂપ આપો: $2 \frac{1}{3} - 1 \frac{2}{11} = \frac{7}{3} - \frac{13}{11} = \frac{77 - 39}{33} = \frac{38}{33}$.
ત્યારબાદ,છેદનું સાદુંરૂપ આપો: $3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}} = 3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{10}{3}}} = 3 + \frac{1}{3 + \frac{3}{10}} = 3 + \frac{1}{\frac{33}{10}} = 3 + \frac{10}{33} = \frac{99 + 10}{33} = \frac{109}{33}$.
અંતે,અંશને છેદ વડે ભાગતા: $\frac{38/33}{109/33} = \frac{38}{33} \times \frac{33}{109} = \frac{38}{109}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $3+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-3}$
છેલ્લા પદને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{1}{\sqrt{3}-3} = -\frac{1}{3-\sqrt{3}}$
તેથી પદાવલિ આ મુજબ થશે: $3+\frac{1}{\sqrt{3}}+\left(\frac{1}{3+\sqrt{3}}-\frac{1}{3-\sqrt{3}}\right)$
હવે,કૌંસમાં રહેલા પદને સામાન્ય છેદ $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9-3 = 6$ લઈને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(3-\sqrt{3}) - (3+\sqrt{3})}{6} = \frac{3-\sqrt{3}-3-\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$3 + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$

(A) આપેલ સમીકરણ: $x+\frac{2}{3+\frac{4}{5+\frac{7}{6}}}=10$
સૌ પ્રથમ,સૌથી અંદરના અપૂર્ણાંકનું સાદુંરૂપ આપો: $5+\frac{7}{6} = \frac{30+7}{6} = \frac{37}{6}$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $x+\frac{2}{3+\frac{4}{\frac{37}{6}}} = 10$
જટિલ અપૂર્ણાંકનું સાદુંરૂપ આપતા: $x+\frac{2}{3+\frac{4 \times 6}{37}} = 10$
$x+\frac{2}{3+\frac{24}{37}} = 10$
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $3+\frac{24}{37} = \frac{111+24}{37} = \frac{135}{37}$
કિંમત મૂકતા: $x+\frac{2}{\frac{135}{37}} = 10$
$x+\frac{2 \times 37}{135} = 10$
$x+\frac{74}{135} = 10$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 10 - \frac{74}{135}$
$x = \frac{1350 - 74}{135} = \frac{1276}{135}$

(B) $3+\frac{3}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદથી શરૂઆત કરીશું.
પગલું $1$: સૌથી નીચેનો ભાગ ઉકેલો,$3+\frac{1}{3} = \frac{9+1}{3} = \frac{10}{3}$.
પગલું $2$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $3+\frac{3}{3+\frac{1}{10/3}} = 3+\frac{3}{3+\frac{3}{10}}$.
પગલું $3$: છેદનું સાદું રૂપ આપતા $3+\frac{3}{10} = \frac{30+3}{10} = \frac{33}{10}$.
પગલું $4$: આ કિંમતને ફરીથી મૂકતા: $3+\frac{3}{33/10} = 3+3 \times \frac{10}{33} = 3+\frac{10}{11}$.
પગલું $5$: અંતિમ ગણતરી: $3+\frac{10}{11} = \frac{33+10}{11} = \frac{43}{11}$.

(C) આપેલ છે કે $x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{5-1}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
હવે,$x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ની કિંમત $5x^{2}-5x-1$ માં મૂકતા:
$5\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{2} - 5\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) - 1$
$= 5\left(\frac{5+1+2\sqrt{5}}{4}\right) - \frac{5\sqrt{5}+5}{2} - 1$
$= 5\left(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\right) - \frac{5\sqrt{5}+5}{2} - 1$
$= 5\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) - \frac{5\sqrt{5}+5}{2} - 1$
$= \frac{15+5\sqrt{5}-5\sqrt{5}-5-2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

(C) પદાવલિ $67.99 \%$ ના $1401 - 13.99 \%$ ના $1299$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે ગણતરી સરળ બનાવવા માટે કિંમતોનું આશરે મૂલ્ય લઈ શકીએ છીએ.
$67.99 \% \approx 68 \%$
$1401 \approx 1400$
$13.99 \% \approx 14 \%$
$1299 \approx 1300$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$? = (1400 \text{ ના } 68 \%) - (1300 \text{ ના } 14 \%)$
દરેક ભાગની ગણતરી કરો:
$1400 \text{ ના } 68 \% = \frac{68}{100} \times 1400 = 68 \times 14 = 952$
$1300 \text{ ના } 14 \% = \frac{14}{100} \times 1300 = 14 \times 13 = 182$
પરિણામોની બાદબાકી કરો:
$? = 952 - 182 = 770$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $? = \left(\frac{24}{9}\right)^{2} \times \frac{399}{39} \div \frac{41}{899}$
પગલું $1$: અપૂર્ણાંક $\frac{24}{9}$ ને સાદું રૂપ આપીને $\frac{8}{3}$ કરો.
પગલું $2$: વર્ગની ગણતરી કરો: $\left(\frac{8}{3}\right)^{2} = \frac{64}{9}$.
પગલું $3$: $\frac{399}{39} \approx 10.23$ અને $\frac{41}{899} \approx 0.0456$ નું સાદું રૂપ આપો.
પગલું $4$: ભાગાકારને ગુણાકારમાં ફેરવો: $? = \frac{64}{9} \times \frac{399}{39} \times \frac{899}{41}$.
પગલું $5$: કિંમતોની ગણતરી કરો: $\frac{64}{9} \approx 7.111$,$\frac{399}{39} \approx 10.2307$,$\frac{899}{41} \approx 21.9268$.
પગલું $6$: આ કિંમતોનો ગુણાકાર કરો: $7.111 \times 10.2307 \times 21.9268 \approx 1594.36$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,કિંમત આશરે $1600$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(15 \times 0.40)^{4} \div (1080 \div 30)^{4} \times (27 \times 8)^{4} = (3 \times 2)^{?+5}$
પગલું $1$: કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો.
$(15 \times 0.40) = 6$
$(1080 \div 30) = 36$
$(27 \times 8) = 216$
પગલું $2$: આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો.
$(6)^{4} \div (36)^{4} \times (216)^{4} = (6)^{?+5}$
પગલું $3$: બધા પાયાને $6$ ના ઘાતાંક તરીકે દર્શાવો.
$36 = 6^{2}$ અને $216 = 6^{3}$
તેથી,$(6)^{4} \div (6^{2})^{4} \times (6^{3})^{4} = (6)^{?+5}$
$(6)^{4} \div (6)^{8} \times (6)^{12} = (6)^{?+5}$
પગલું $4$: ઘાતાંકના નિયમો $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ અને $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરો.
$(6)^{4-8+12} = (6)^{?+5}$
$(6)^{8} = (6)^{?+5}$
પગલું $5$: ઘાતાંકોને સરખાવો.
$8 = ? + 5$
$? = 8 - 5 = 3$

(D) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે. સમીકરણ $\frac{x^2}{10} + 1 \frac{5}{12} = 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{2} - 1 \frac{5}{6}$ છે.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$\frac{x^2}{10} + \frac{17}{12} = \frac{13}{4} + \frac{5}{2} - \frac{11}{6}$.
જમણી બાજુ માટે સામાન્ય છેદ $(12)$ લેતા:
$\frac{x^2}{10} + \frac{17}{12} = \frac{39}{12} + \frac{30}{12} - \frac{22}{12} = \frac{47}{12}$.
$x$ વાળા પદને અલગ કરતા:
$\frac{x^2}{10} = \frac{47}{12} - \frac{17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$.
$x^2$ માટે ઉકેલતા:
$x^2 = \frac{5}{2} \times 10 = 25$.
તેથી,$x = \sqrt{25} = 5$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(?)^{3} + \sqrt{49} = 92 \times 576 \div 2 \sqrt{1296}$
પગલું $1$: વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપો.
$\sqrt{1296} = 36$ અને $\sqrt{49} = 7$.
પગલું $2$: આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો.
$(?)^{3} + 7 = 92 \times 576 \div (2 \times 36)$
પગલું $3$: ભાગાકાર કરો.
$(?)^{3} + 7 = 92 \times 576 \div 72$
$(?)^{3} + 7 = 92 \times 8$
પગલું $4$: ગુણાકાર કરો.
$(?)^{3} + 7 = 736$
પગલું $5$: $(?)^{3}$ માટે ઉકેલો.
$(?)^{3} = 736 - 7 = 729$
પગલું $6$: ઘનમૂળ શોધો.
$? = \sqrt[3]{729} = 9$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $85 + x = \frac{1}{6} \times \frac{92}{100} \times \frac{24}{23} \times 650$
પગલું $1$: અપૂર્ણાંક $1 \frac{1}{23}$ ને $\frac{24}{23}$ તરીકે લખો.
પગલું $2$: જમણી બાજુની ગણતરી કરો:
$\frac{1}{6} \times \frac{92}{100} \times \frac{24}{23} \times 650$
$= (\frac{1}{6} \times 24) \times (\frac{92}{23}) \times (\frac{650}{100})$
$= 4 \times 4 \times 6.5$
$= 16 \times 6.5 = 104$
પગલું $3$: $x$ માટે ઉકેલો:
$85 + x = 104$
$x = 104 - 85$
$x = 19$

(C) એક પેનની કિંમત $= Rs. 7$
મીણના રંગના એક પેકેટની કિંમત $= Rs. 22$
એક કેલ્ક્યુલેટરની કિંમત $= Rs. 175$
એક પેન્સિલ બોક્સની કિંમત $= (7 + 22) + 14 = 29 + 14 = Rs. 43$
ચૂકવેલી કુલ રકમ $= (20 \times 7) + (8 \times 22) + (6 \times 175) + (7 \times 43)$
ચૂકવેલી કુલ રકમ $= 140 + 176 + 1050 + 301 = Rs. 1667$

(C) આપેલ પદાવલિ $= \frac{(81)^{3.6} \times (9)^{2.7}}{(81)^{4.2} \times 3}$
બધા પદોને આધાર $3$ માં ફેરવતા:
$= \frac{(3^4)^{3.6} \times (3^2)^{2.7}}{(3^4)^{4.2} \times 3^1}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{3^{14.4} \times 3^{5.4}}{3^{16.8} \times 3^1}$
નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{3^{14.4 + 5.4}}{3^{16.8 + 1}} = \frac{3^{19.8}}{3^{17.8}}$
નિયમ $a^m \div a^n = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3^{19.8 - 17.8} = 3^2 = 9$

(C) ધારો કે વસ્તુની છાપેલી કિંમત $Rs. x$ છે અને મૂળ કિંમત $(CP)$ $Rs. 100$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$40 \%$ વળતર પછી વેચાણ કિંમત $(SP)$:
$SP = x - 0.40x = 0.60x$
આપેલ છે કે $30 \%$ નુકસાન થાય છે,તેથી $SP$ એ મૂળ કિંમતના $70 \%$ જેટલી થાય:
$SP = 100 - 30 = 70$
$SP$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$0.60x = 70$
$x = \frac{70}{0.60} = \frac{700}{6} = \frac{350}{3}$
જો વસ્તુ છાપેલી કિંમતે $(x)$ વેચવામાં આવે,તો નફો:
$Profit = SP - CP = \frac{350}{3} - 100 = \frac{350 - 300}{3} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$
મૂળ કિંમત $100$ હોવાથી,નફાની ટકાવારી $16 \frac{2}{3} \%$ થશે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a-b-c)-3$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2a-2b-2c-3$
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા: $a^{2}-2a+b^{2}+2b+c^{2}+2c+3=0$
$3$ ને $1+1+1$ તરીકે લખતા: $(a^{2}-2a+1)+(b^{2}+2b+1)+(c^{2}+2c+1)=0$
પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $(a-1)^{2}+(b+1)^{2}+(c+1)^{2}=0$
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $a-1=0, b+1=0, c+1=0$
તેથી: $a=1, b=-1, c=-1$
$(a-b+c)$ ની કિંમત: $1-(-1)+(-1) = 1+1-1 = 1$

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+3x+1=0$
આખા સમીકરણને $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$x+3+\frac{1}{x}=0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x+\frac{1}{x}=-3$
હવે,સમીકરણની બંને બાજુનો ઘન કરતા:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}=(-3)^{3}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\left(x\cdot\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=-27$
$(x+\frac{1}{x})=-3$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(1)(-3)=-27$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}-9=-27$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=-27+9$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=-18$

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{a} \cdot x^{b} \cdot x^{c} = 1$ છે.
ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$x^{a+b+c} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = x^{0}$,તેથી $x^{a+b+c} = x^{0}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $a + b + c = 0$ મળે છે.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$.
આ નિત્યસમમાં $a + b + c = 0$ મૂકતા:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (0)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca) = 0$.
તેથી,$a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a+\frac{1}{a}+2=0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $a$ વડે ગુણતા:
$a^2 + 1 + 2a = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$a^2 + 2a + 1 = 0$
$(a+1)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$a+1 = 0 \Rightarrow a = -1$
હવે,$a = -1$ ને $\left(a^{37}-\frac{1}{a^{100}}\right)$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (-1)^{37} - \frac{1}{(-1)^{100}}$
કારણ કે $-1$ ની એકી ઘાત $-1$ થાય અને $-1$ ની બેકી ઘાત $1$ થાય:
$= -1 - \frac{1}{1}$
$= -1 - 1 = -2$

(B) આપેલ છે કે $a+b+c=0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(a+c) = -b$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(a+c)^{2} = (-b)^{2}$ મળે છે.
$a^{2} + c^{2} + 2ac = b^{2}$.
તેથી,$a^{2} + c^{2} = b^{2} - 2ac$.
હવે,આ કિંમતને $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b^{2}-ca}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(a^{2}+c^{2}) + b^{2}}{b^{2}-ca} = \frac{(b^{2}-2ac) + b^{2}}{b^{2}-ca}$.
$= \frac{2b^{2}-2ac}{b^{2}-ca} = \frac{2(b^{2}-ac)}{b^{2}-ac}$.
કારણ કે $b^{2} \neq ca$,આપણે $(b^{2}-ac)$ પદને છેદ ઉડાડી શકીએ છીએ,જેનાથી પરિણામ $2$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4} = (a^{2}+a b+b^{2})(a^{2}-a b+b^{2})$.
આપેલ છે કે $a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4} = 8$ અને $a^{2}+a b+b^{2} = 4$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$8 = 4(a^{2}-a b+b^{2})$
$a^{2}-a b+b^{2} = 2$ ........$(1)$
આપણને $a^{2}+a b+b^{2} = 4$ પણ આપેલ છે ........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a^{2}+a b+b^{2}) - (a^{2}-a b+b^{2}) = 4 - 2$
$a^{2}+a b+b^{2}-a^{2}+a b-b^{2} = 2$
$2ab = 2$
$ab = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
આને આ રીતે પણ લખી શકાય: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$.
આ કિંમત આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}} = \frac{1}{2}(a+b+c)$.
અહીં $a=25, b=15, c=-10$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{2}(25+15-10) = \frac{1}{2}(30) = 15$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3463 \times 295 - 18611 = ? + 5883$
પગલું $1$: ગુણાકાર $3463 \times 295$ ની ગણતરી કરો.
$3463 \times 295 = 1021585$
પગલું $2$: આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકો.
$1021585 - 18611 = ? + 5883$
પગલું $3$: $1021585$ માંથી $18611$ બાદ કરો.
$1021585 - 18611 = 1002974$
પગલું $4$: $?$ માટે ઉકેલો.
$? = 1002974 - 5883$
$? = 997091$

(C) સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓના વર્ગની ગણતરી કરો:
$(23.1)^{2} = 533.61$
$(48.6)^{2} = 2361.96$
$(39.8)^{2} = 1584.04$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$533.61 + 2361.96 - 1584.04 = ? + 1147.69$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપો:
$2895.57 - 1584.04 = ? + 1147.69$
$1311.53 = ? + 1147.69$
$?$ માટે ઉકેલો:
$? = 1311.53 - 1147.69$
$? = 163.84$

(D) પદ $\frac{28}{65} \times \frac{195}{308} \div \frac{39}{44} + \frac{5}{26}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,ભાગાકારને ગુણાકારમાં ફેરવવા માટે અપૂર્ણાંકનો વ્યસ્ત લો: $\frac{28}{65} \times \frac{195}{308} \times \frac{44}{39} + \frac{5}{26}$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{28}{308} = \frac{1}{11}$,$\frac{195}{65} = 3$,અને $\frac{44}{39}$ બાકી રહે છે.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(\frac{1}{11} \times 3 \times \frac{44}{39}) = (3 \times \frac{4}{39}) = \frac{4}{13}$.
હવે,બાકી રહેલા અપૂર્ણાંકનો સરવાળો કરો: $\frac{4}{13} + \frac{5}{26} = \frac{8}{26} + \frac{5}{26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$.

(A) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને તેમના નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ છીએ:
$43931.03 \approx 43931$
$2111.02 \approx 2111$
$401.04 \approx 401$
હવે,પદ આ મુજબ બનશે:
$43931 \div 2111 \times 401 = ?$
પ્રથમ,ભાગાકાર કરો:
$43931 \div 2111 \approx 20.81$
ત્યારબાદ,$401$ વડે ગુણાકાર કરો:
$20.81 \times 401 \approx 8344.81$
વૈકલ્પિક રીતે,ઝડપી ગણતરી માટે અંદાજિત કિંમતનો ઉપયોગ કરતા:
$44000 \div 2000 \times 400 = 22 \times 400 = 8800$
આપેલા વિકલ્પો સાથે પરિણામની સરખામણી કરતા,સૌથી નજીકની કિંમત $8800$ છે.

(C) $59.88 \div 12.21 \times 6.35$ પદને ઉકેલવા માટે,આપણે ઝડપી અંદાજ મેળવવા માટે કિંમતોને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવી શકીએ છીએ:
$59.88 \approx 60$
$12.21 \approx 12$
$6.35 \approx 6$
હવે,આ કિંમતોને પદમાં મૂકો:
$60 \div 12 \times 6$
ગણિતના ક્રમ $(BODMAS)$ મુજબ,પહેલા ભાગાકાર કરો:
$60 \div 12 = 5$
ત્યારબાદ,ગુણાકાર કરો:
$5 \times 6 = 30$
આમ,જવાબ આશરે $30$ છે.

(B) કિંમત શોધવા માટે,આપણે નીચે મુજબ ગુણાકાર કરીશું:
$\frac{1}{8} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times 1715$
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપો:
$= \frac{1 \times 2 \times 3}{8 \times 3 \times 5} \times 1715$
$= \frac{6}{120} \times 1715$
$= \frac{1}{20} \times 1715$
$= \frac{1715}{20} = 85.75$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $85$ મળે છે.