Simplification Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $11 \frac{1}{3} \times 4 \frac{8}{10} \div x = 22 \frac{2}{3}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$11 \frac{1}{3} = \frac{34}{3}$
$4 \frac{8}{10} = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$
$22 \frac{2}{3} = \frac{68}{3}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{34}{3} \times \frac{24}{5} \div x = \frac{68}{3}$
$\frac{34}{3} \times \frac{24}{5} \times \frac{1}{x} = \frac{68}{3}$
$\frac{34 \times 8}{5} \times \frac{1}{x} = \frac{68}{3}$
$\frac{272}{5x} = \frac{68}{3}$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$68 \times 5x = 272 \times 3$
$340x = 816$
$x = \frac{816}{340} = 2.4$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{a^{1 / 2}+a^{-1 / 2}}{1-a}+\frac{1-a^{-1 / 2}}{1+a^{1 / 2}}$
પગલું $1$: છેદ $(1-a)$ ને $(1-a^{1/2})(1+a^{1/2})$ તરીકે અવયવ પાડો.
પગલું $2$: સામાન્ય છેદ શોધો,જે $(1-a^{1/2})(1+a^{1/2}) = 1-a$ છે.
પગલું $3$: અપૂર્ણાંકોને ભેગા કરો:
$= \frac{a^{1/2} + a^{-1/2} + (1 - a^{-1/2})(1 - a^{1/2})}{1 - a}$
પગલું $4$: અંશના પદ $(1 - a^{-1/2})(1 - a^{1/2})$ નું વિસ્તરણ કરો:
$= 1 - a^{1/2} - a^{-1/2} + a^{(-1/2 + 1/2)} = 1 - a^{1/2} - a^{-1/2} + 1 = 2 - a^{1/2} - a^{-1/2}$.
પગલું $5$: પદાવલિમાં કિંમત મૂકો:
$= \frac{a^{1/2} + a^{-1/2} + 2 - a^{1/2} - a^{-1/2}}{1 - a}$
પગલું $6$: અંશનું સાદું રૂપ આપો:
$= \frac{2}{1 - a}$.

(C) આપણે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(a+b)^{2} = 45 + 2(18) = 45 + 36 = 81$.
તેથી,$a+b = \pm\sqrt{81} = \pm 9$.
હવે,$a+b = \pm 9$ અને $ab = 18$ ને $\frac{a+b}{ab}$ માં મૂકતા:
$\frac{a+b}{ab} = \frac{\pm 9}{18} = \pm \frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{1}{2}$ એ શક્ય કિંમતોમાંની એક છે અને વિકલ્પોમાં આપેલી છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે: $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}=\frac{a b}{c d}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}=\frac{2 a b}{2 c d}$
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a^{2}+b^{2}+2 a b}{a^{2}+b^{2}-2 a b}=\frac{c^{2}+d^{2}+2 c d}{c^{2}+d^{2}-2 c d}$
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}=\frac{(c+d)^{2}}{(c-d)^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

(A) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(1.06+0.04)^{2}-x=4 \times 1.06 \times 0.04$ છે.
ધારો કે $a = 1.06$ અને $b = 0.04$.
સમીકરણ $(a+b)^{2}-x=4ab$ બને છે.
$x$ માટે ગોઠવતા,આપણને $x = (a+b)^{2}-4ab$ મળે છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{2}-4ab = (a-b)^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = (a-b)^{2} = (1.06-0.04)^{2}$.
$x = (1.02)^{2} = 1.0404$.

(A) ધારો કે કુલ સ્કોર $x$ છે.
સૌથી વધુ સ્કોર $\frac{2}{9}x$ છે.
સૌથી વધુ સ્કોર પછી બાકી રહેલો સ્કોર $x - \frac{2}{9}x = \frac{7}{9}x$ છે.
બીજો સૌથી વધુ સ્કોર બાકીના સ્કોરના $\frac{2}{9}$ છે,એટલે કે $\frac{2}{9} \times \frac{7}{9}x = \frac{14}{81}x$ છે.
આ બે સ્કોર્સ વચ્ચેનો તફાવત $8$ રન છે:
$\frac{2}{9}x - \frac{14}{81}x = 8$.
બાદબાકી કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $(81)$ શોધો:
$\frac{18}{81}x - \frac{14}{81}x = 8$.
$\frac{4}{81}x = 8$.
$x = 8 \times \frac{81}{4} = 2 \times 81 = 162$.
આમ,કુલ સ્કોર $162$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left(\frac{1}{64}\right)^{0}+(64)^{-1 / 2}+(-32)^{4 / 5}$
પગલું $1$: કોઈપણ શૂન્યતર સંખ્યાની $0$ ઘાત $1$ થાય છે. તેથી,$\left(\frac{1}{64}\right)^{0} = 1$.
પગલું $2$: $(64)^{-1/2}$ ની કિંમત શોધો. $64 = 8^2$ હોવાથી,$(8^2)^{-1/2} = 8^{2 \times (-1/2)} = 8^{-1} = \frac{1}{8}$ થાય.
પગલું $3$: $(-32)^{4/5}$ ની કિંમત શોધો. આપણે જાણીએ છીએ કે $32 = 2^5$. તેથી,$(-32)^{4/5} = ((-1) \times 2^5)^{4/5} = (-1)^{4/5} \times (2^5)^{4/5}$. ઘાતાંક $4/5$ માં અંશ બેકી અને છેદ એકી હોવાથી,$(-1)^{4/5} = ((-1)^4)^{1/5} = 1^{1/5} = 1$ થાય. ત્યારબાદ,$(2^5)^{4/5} = 2^{5 \times 4/5} = 2^4 = 16$ થાય.
પગલું $4$: પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1 + \frac{1}{8} + 16 = 17 + \frac{1}{8} = 17 \frac{1}{8}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\frac{64}{121} - \frac{9}{64}}{\frac{8}{11} + \frac{3}{8}}$
અંશ: $\frac{64}{121} - \frac{9}{64} = \frac{64^2 - 9 \times 121}{121 \times 64} = \frac{4096 - 1089}{7744} = \frac{3007}{7744}$
છેદ: $\frac{8}{11} + \frac{3}{8} = \frac{8 \times 8 + 3 \times 11}{11 \times 8} = \frac{64 + 33}{88} = \frac{97}{88}$
હવે,અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{3007}{7744} \div \frac{97}{88} = \frac{3007}{7744} \times \frac{88}{97}$
કારણ કે $3007 = 31 \times 97$ અને $7744 = 88 \times 88$:
$= \frac{31 \times 97}{88 \times 88} \times \frac{88}{97} = \frac{31}{88}$

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાના $\frac{1}{3}$ ભાગમાંથી સંખ્યાનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બાદ કરતા $12$ મળે છે.
$\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 12$
અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $12$ લો:
$\frac{4x}{12} - \frac{3x}{12} = 12$
$\frac{x}{12} = 12$
બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા:
$x = 12 \times 12 = 144$
તેથી,તે સંખ્યા $144$ છે.

(A) અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે છેદ $8, 35, 16$ અને $7$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધીએ.
$L.C.M. (8, 35, 16, 7) = 560$.
હવે,દરેક અપૂર્ણાંકને $560$ છેદવાળા સમતુલ્ય અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 70}{8 \times 70} = \frac{350}{560}$
$\frac{21}{35} = \frac{21 \times 16}{35 \times 16} = \frac{336}{560}$
$\frac{9}{16} = \frac{9 \times 35}{16 \times 35} = \frac{315}{560}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 80}{7 \times 80} = \frac{480}{560}$
અંશની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટી અપૂર્ણાંક $\frac{480}{560} = \frac{6}{7}$ છે અને સૌથી નાની અપૂર્ણાંક $\frac{315}{560} = \frac{9}{16}$ છે.
તફાવત = $\frac{480}{560} - \frac{315}{560} = \frac{165}{560}$.
$\frac{165}{560}$ ને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{33}{112}$ મળે છે.

(B) ધારો કે માણસ પાસે શરૂઆતમાં $1$ રૂપિયો છે.
$\therefore$ ખર્ચાયેલ રકમ $= 1$ ના $\frac{5}{6} = \frac{5}{6}$.
$\therefore$ બાકી રહેલી રકમ $= 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
તે બાકી રહેલી રકમનો $\frac{1}{2}$ ભાગ કમાય છે,તેથી કમાયેલી રકમ $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
$\therefore$ હવે તેની પાસે રહેલી કુલ રકમ $= \text{બાકી રહેલી રકમ} + \text{કમાયેલી રકમ} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$.
આનો સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $12$ લેતા: $\frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
આમ,હવે તેની પાસે તેના પૈસાનો $\frac{1}{4}$ ભાગ છે.

(D) ધારો કે મનમોહનની કુલ માસિક આવક $x$ છે.
પગલું $1$: પોકેટ મની તરીકે ખર્ચાયેલ રકમ $\frac{1}{5}x$ છે.
પગલું $2$: પોકેટ મની પછી બાકી રહેતી રકમ $x - \frac{1}{5}x = \frac{4}{5}x$ છે.
પગલું $3$: તે બાકી રહેલી રકમના $\frac{4}{5}$ અન્ય બાબતોમાં ખર્ચે છે,તેથી અન્ય ખર્ચ = $\frac{4}{5} \times \frac{4}{5}x = \frac{16}{25}x$ થાય.
પગલું $4$: અંતિમ બચત એ બાકી રહેલી રકમમાંથી અન્ય ખર્ચ બાદ કરતાં મળે છે: $\frac{4}{5}x - \frac{16}{25}x = \frac{20x - 16x}{25} = \frac{4}{25}x$.
પગલું $5$: આપેલ છે કે બચત $Rs.\, 48$ છે,તેથી $\frac{4}{25}x = 48$.
પગલું $6$: $x$ માટે ઉકેલતા: $x = 48 \times \frac{25}{4} = 12 \times 25 = 300$.
તેથી,તેની માસિક આવક $Rs.\, 300$ છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાના $\frac{4}{5}$ ભાગ અને $\frac{3}{4}$ ભાગ વચ્ચેનો તફાવત $4$ છે.
તેથી,$\frac{4}{5}x - \frac{3}{4}x = 4.$
આ અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરવા માટે,$5$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $20$ છે.
$\frac{16x - 15x}{20} = 4.$
$\frac{x}{20} = 4.$
$x = 4 \times 20 = 80.$
આમ,તે સંખ્યા $80$ છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{2}{3}x = 96$.
$x$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $\frac{3}{2}$ વડે ગુણો:
$x = 96 \times \frac{3}{2} = 48 \times 3 = 144$.
હવે,આપણે આ સંખ્યાનો $\frac{3}{4}$ ભાગ શોધવાનો છે:
$\frac{3}{4} \times 144 = 3 \times 36 = 108$.

(B) કુલ મુસાફરીને $1$ ગણવામાં આવે છે.
વિમાન અને ટ્રેન દ્વારા પૂર્ણ કરેલી મુસાફરી $= \frac{2}{15} + \frac{2}{5}$.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,$15$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $15$ છે.
$= \frac{2}{15} + \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{15} + \frac{6}{15} = \frac{8}{15}$.
તેથી,ટેક્સી દ્વારા પૂર્ણ કરેલી બાકીની મુસાફરી $= 1 - \frac{8}{15}$.
$= \frac{15 - 8}{15} = \frac{7}{15}$.
આમ,તેણે તેની મુસાફરીનો $\frac{7}{15}$ ભાગ ટેક્સી દ્વારા પૂર્ણ કર્યો.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{70}\right)=\frac{x}{70}$
ગુણાકારમાં દરેક પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\left(\frac{2-1}{2}\right)\left(\frac{3-1}{3}\right)\left(\frac{4-1}{4}\right) \cdots\left(\frac{70-1}{70}\right)=\frac{x}{70}$
આનાથી આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{69}{70}=\frac{x}{70}$
અહીં ટેલિસ્કોપિંગ પેટર્ન જોવા મળે છે જ્યાં દરેક અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના પછીના અપૂર્ણાંકના છેદ સાથે ઉડી જાય છે:
$\frac{1}{{2}} \times \frac{{2}}{{3}} \times \frac{{3}}{{4}} \times \cdots \times \frac{{69}}{70} = \frac{1}{70}$
આને આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{70} = \frac{x}{70}$
તેથી,$x = 1$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{1.073 \times 1.073 - 0.927 \times 0.927}{1.073 - 0.927} + \frac{(3^4)^4 \times (9)^6}{(27)^7 \times (3)^9}$ છે.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ ભાગ:
$\frac{(1.073)^2 - (0.927)^2}{1.073 - 0.927} = \frac{(1.073 + 0.927)(1.073 - 0.927)}{1.073 - 0.927} = 1.073 + 0.927 = 2.000 = 2$.
બીજા ભાગ માટે,તમામ પદોને આધાર $3$ માં ફેરવતા:
$\frac{(3^4)^4 \times (3^2)^6}{(3^3)^7 \times 3^9} = \frac{3^{16} \times 3^{12}}{3^{21} \times 3^9} = \frac{3^{16+12}}{3^{21+9}} = \frac{3^{28}}{3^{30}} = \frac{1}{3^{30-28}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $2 + \frac{1}{9} = 2\frac{1}{9}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{2^{1 / 2} \cdot 3^{1 / 3} \cdot 4^{1 / 4}}{10^{-1 / 5} \cdot 5^{3 / 5}} \div \frac{3^{4 / 3} \cdot 5^{-7 / 5}}{4^{-3 / 5} \cdot 6}$
$= \left( \frac{2^{1 / 2} \cdot 3^{1 / 3} \cdot (2^2)^{1 / 4}}{10^{-1 / 5} \cdot 5^{3 / 5}} \right) \cdot \left( \frac{4^{-3 / 5} \cdot 6}{3^{4 / 3} \cdot 5^{-7 / 5}} \right)$
$= \left( \frac{2^{1 / 2} \cdot 3^{1 / 3} \cdot 2^{1 / 2} \cdot 10^{1 / 5}}{5^{3 / 5}} \right) \cdot \left( \frac{(2^2)^{-3 / 5} \cdot (2 \cdot 3)}{3^{4 / 3} \cdot 5^{-7 / 5}} \right)$
$= \left( \frac{2^{1} \cdot 3^{1 / 3} \cdot 2^{1 / 5} \cdot 5^{1 / 5}}{5^{3 / 5}} \right) \cdot \left( \frac{2^{-6 / 5} \cdot 2^1 \cdot 3^1}{3^{4 / 3} \cdot 5^{-7 / 5}} \right)$
$= 2^{(1 + 1/5 - 6/5 + 1)} \cdot 3^{(1/3 + 1 - 4/3)} \cdot 5^{(1/5 - 3/5 + 7/5)}$
$= 2^{(1 + 1/5 - 6/5 + 1)} \cdot 3^{(4/3 - 4/3)} \cdot 5^{(5/5)}$
$= 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 2 \cdot 1 \cdot 5 = 10$

(A) આપેલ છે: $P = \frac{96}{9597}$,$Q = \frac{97}{96 \times 98}$,$R = \frac{1}{97}$.
પ્રથમ,છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{96}{9597} \approx 0.010003$.
$Q = \frac{97}{9408} \approx 0.010310$.
$R = \frac{1}{97} \approx 0.010309$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.010003 < 0.010309 < 0.010310$.
આમ,$P < R < Q$.
સૌથી નાની કિંમત $P$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,$BODMAS$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $M$ ની ગણતરી કરો:
$M = \left(\frac{3}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{5} \times \frac{3}{2}\right)$
$M = \left(\frac{5}{21}\right) + \left(\frac{3}{10}\right) = \frac{50 + 63}{210} = \frac{113}{210}$
ત્યારબાદ,$BODMAS$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $N$ ની ગણતરી કરો:
$N = \left(\frac{2}{5} \times \frac{5}{6} \times 3\right) + \left(\frac{3}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{5}{3}\right)$
$N = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
અંતે,$\frac{M}{N}$ ની કિંમત શોધો:
$\frac{M}{N} = \frac{113}{210} \div \frac{5}{3} = \frac{113}{210} \times \frac{3}{5} = \frac{113}{70 \times 5} = \frac{113}{350}$

(A) આ પદાવલિની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા અંશ અને છેદમાં ગુણાકાર કરીશું.
અંશ: $(5.6 \times 0.36) + (0.42 \times 3.2) = 2.016 + 1.344 = 3.36$
છેદ: $0.8 \times 2.1 = 1.68$
હવે,અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{3.36}{1.68} = 2$

(A) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4ab$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,ધારો કે $a = 943$ અને $b = 864$ છે.
તેથી અંશ $4 \times 943 \times 864$ બને છે.
છેદ $1886 \times 1728$ છે.
નોંધો કે $1886 = 2 \times 943$ અને $1728 = 2 \times 864$ થાય છે.
આ કિંમતોને $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = \frac{4 \times 943 \times 864}{(2 \times 943) \times (2 \times 864)}$
$x = \frac{4 \times 943 \times 864}{4 \times 943 \times 864}$
$x = 1$.

(C) $\frac{15}{\sqrt{5}+2}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{5}-2)$ વડે ગુણીશું.
$\frac{15}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{15(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2 - (2)^2}$
$= \frac{15(\sqrt{5}-2)}{5-4}$
$= \frac{15(\sqrt{5}-2)}{1}$
$= 15 \sqrt{5} - 30$.

(D) વિધાન $I$ ચકાસવા માટે: $33^{3} > 3^{33}$.
આપણે $33^{3} = (3 \times 11)^{3} = 3^{3} \times 11^{3}$ લખી શકીએ છીએ.
$3^{3} \times 11^{3}$ ની સરખામણી $3^{33}$ સાથે કરવા માટે,બંને બાજુને $3^{3}$ વડે ભાગતા:
$11^{3}$ વિરુદ્ધ $3^{30}$.
કારણ કે $11^{3} = 1331$ અને $3^{30} = (3^{3})^{10} = 27^{10}$,તે સ્પષ્ટ છે કે $1331 < 27^{10}$.
તેથી,$33^{3} < 3^{33}$,તેથી વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ ચકાસવા માટે: $333 > (3^{3})^{3}$.
$(3^{3})^{3} = 3^{9} = 19683$.
કારણ કે $333 < 19683$,વિધાન $II$ ખોટું છે.
આમ,$I$ કે $II$ બંનેમાંથી એક પણ વિધાન સાચું નથી.

(A) વિધાનોની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે કિંમતોનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવીએ:
$I$ માટે:
$\frac{2}{3 \sqrt{5}} \approx \frac{2}{3 \times 2.236} = \frac{2}{6.708} \approx 0.298$
$\frac{3}{2 \sqrt{5}} \approx \frac{3}{2 \times 2.236} = \frac{3}{4.472} \approx 0.671$
$\frac{5}{4 \sqrt{3}} \approx \frac{5}{4 \times 1.732} = \frac{5}{6.928} \approx 0.722$
અહીં $0.298 < 0.671 < 0.722$ હોવાથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$ માટે:
$\frac{3}{2 \sqrt{5}} \approx 0.671$
$\frac{2}{3 \sqrt{3}} \approx \frac{2}{3 \times 1.732} = \frac{2}{5.196} \approx 0.385$
$\frac{7}{4 \sqrt{5}} \approx \frac{7}{4 \times 2.236} = \frac{7}{8.944} \approx 0.783$
અહીં $0.671$ એ $0.385$ કરતા નાનું નથી,તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર વિધાન $I$ સાચું છે.

(A) $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ સ્વરૂપના પદોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમનો વર્ગ કરીએ છીએ.
$I$ માટે: ધારો કે $x = \sqrt{11} + \sqrt{7}$ અને $y = \sqrt{10} + \sqrt{8}$.
$x^2 = 11 + 7 + 2\sqrt{77} = 18 + 2\sqrt{77}$.
$y^2 = 10 + 8 + 2\sqrt{80} = 18 + 2\sqrt{80}$.
કારણ કે $2\sqrt{77} < 2\sqrt{80}$,તેથી $x^2 < y^2$,એટલે કે $x < y$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$ માટે: ધારો કે $p = \sqrt{17} + \sqrt{11}$ અને $q = \sqrt{15} + \sqrt{13}$.
$p^2 = 17 + 11 + 2\sqrt{187} = 28 + 2\sqrt{187}$.
$q^2 = 15 + 13 + 2\sqrt{195} = 28 + 2\sqrt{195}$.
કારણ કે $2\sqrt{187} < 2\sqrt{195}$,તેથી $p^2 < q^2$,એટલે કે $p < q$. આમ,વિધાન $II$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $I$ સાચું છે.

(A) કરણીઓની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમના ઘાતાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ લઈને તેમને સમાન ઘાતાંકમાં ફેરવીએ છીએ.
$I.$ ઘાતાંકો $2, 3, 4$ છે. $LCM(2, 3, 4) = 12$.
$\sqrt{12} = 12^{1/2} = 12^{6/12} = (12^6)^{1/12} = (2,985,984)^{1/12}$
$\sqrt[3]{16} = 16^{1/3} = 16^{4/12} = (16^4)^{1/12} = (65,536)^{1/12}$
$\sqrt[4]{24} = 24^{1/4} = 24^{3/12} = (24^3)^{1/12} = (13,824)^{1/12}$
કારણ કે $2,985,984 > 65,536 > 13,824$,તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
$II.$ ઘાતાંકો $3, 4, 6$ છે. $LCM(3, 4, 6) = 12$.
$\sqrt[3]{25} = 25^{4/12} = (25^4)^{1/12} = (390,625)^{1/12}$
$\sqrt[4]{32} = 32^{3/12} = (32^3)^{1/12} = (32,768)^{1/12}$
$\sqrt[6]{48} = 48^{2/12} = (48^2)^{1/12} = (2,304)^{1/12}$
કારણ કે $390,625 > 32,768 > 2,304$,તેથી વિધાન $II$ સાચું છે.
$III.$ ઘાતાંકો $4, 3, 6$ છે. $LCM(4, 3, 6) = 12$.
$\sqrt[4]{9} = 9^{3/12} = (9^3)^{1/12} = (729)^{1/12}$
$\sqrt[3]{15} = 15^{4/12} = (15^4)^{1/12} = (50,625)^{1/12}$
$\sqrt[6]{24} = 24^{2/12} = (24^2)^{1/12} = (576)^{1/12}$
કારણ કે $50,625 > 729 > 576$,તેથી સાચો ક્રમ $\sqrt[3]{15} > \sqrt[4]{9} > \sqrt[6]{24}$ હોવો જોઈએ. આમ,વિધાન $III$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $I$ અને $II$ સાચા છે.

(C) અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમના છેદ $\sqrt[3]{12}$,$\sqrt[4]{29}$,અને $\sqrt{5}$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
પ્રથમ,તેમને સમાન મૂળ ઘાતાંક (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $3, 4, 2$ નો $12$ છે) સાથે દર્શાવો:
$1. \sqrt[3]{12} = 12^{1/3} = 12^{4/12} = \sqrt[12]{12^4} = \sqrt[12]{20736}$
$2. \sqrt[4]{29} = 29^{1/4} = 29^{3/12} = \sqrt[12]{29^3} = \sqrt[12]{24389}$
$3. \sqrt{5} = 5^{1/2} = 5^{6/12} = \sqrt[12]{5^6} = \sqrt[12]{15625}$
$12$ માં મૂળની અંદરની કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$15625 < 20736 < 24389$
તેથી,$\sqrt{5} < \sqrt[3]{12} < \sqrt[4]{29}$.
છેદનો ક્રમ $\sqrt{5} < \sqrt[3]{12} < \sqrt[4]{29}$ હોવાથી,તેમના વ્યસ્તનો ક્રમ ઉલટો થશે:
$\frac{1}{\sqrt{5}} > \frac{1}{\sqrt[3]{12}} > \frac{1}{\sqrt[4]{29}}$.
આ વિધાન $III$ ને અનુરૂપ છે.

(C) કિંમતોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન મૂળ ઘાતાંક (root index) સાથે દર્શાવીએ છીએ. ઘાતાંકો $2, 3,$ અને $4$ છે. $2, 3,$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
$1$. $\sqrt{7} = 7^{1/2} = 7^{6/12} = \sqrt[12]{7^6} = \sqrt[12]{117649}$
$2$. $\sqrt[3]{11} = 11^{1/3} = 11^{4/12} = \sqrt[12]{11^4} = \sqrt[12]{14641}$
$3$. $\sqrt[4]{45} = 45^{1/4} = 45^{3/12} = \sqrt[12]{45^3} = \sqrt[12]{91125}$
$12$ માં મૂળની અંદરની કિંમતોની સરખામણી કરતા: $117649 > 91125 > 14641$.
તેથી,$\sqrt{7} > \sqrt[4]{45} > \sqrt[3]{11}$.
આ વિધાન $III$ ને અનુરૂપ છે.

(A) વિધાન $I$ માટે:
$\sqrt{144} = 12$,$\sqrt{36} = 6$,$\sqrt[3]{125} = 5$,$\sqrt{121} = 11$.
ગુણાકાર કરતા: $12 \times 6 \times 5 \times 11 = 72 \times 55 = 3960$.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે:
$\sqrt{324} = 18$,$\sqrt{49} = 7$.
ડાબી બાજુ: $18 + 7 = 25$.
$\sqrt[3]{216} = 6$,$\sqrt{9} = 3$.
જમણી બાજુ: $6 \times 3 = 18$.
સરખામણી કરતા: $25 < 18$ એ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $I$ સાચું છે.

(B) આ પદાવલિ $\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 1.2$,$b = 0.8$,અને $c = 0.7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$.
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે: $\frac{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)}{(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)}$.
સમાન પદને છેદતા,આપણને $a + b + c$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 + 0.8 + 0.7 = 2.7$.

(D) $\sqrt{729} + \sqrt{72.9} + \sqrt{7.29}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક વર્ગમૂળની અલગથી ગણતરી કરીએ:
$1$. $\sqrt{729} = 27$
$2$. $\sqrt{72.9} = \sqrt{729 / 10} = 27 / \sqrt{10} \approx 27 / 3.162 = 8.54$
$3$. $\sqrt{7.29} = \sqrt{729 / 100} = 27 / 10 = 2.7$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $27 + 8.54 + 2.7 = 38.24$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $38.23$ છે.

(A) $n$-અંકી ધન પૂર્ણાંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓની શ્રેણી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$100$-અંકી સંખ્યા માટે,સૌથી નાની સંખ્યા $1$ ની પાછળ $99$ શૂન્ય છે,જે $10^{99}$ છે.
સૌથી મોટી $100$-અંકી સંખ્યા $10^{100} - 1$ છે (જેમાં $100$ નવડા આવે છે).
આવી સંખ્યાઓની કુલ ગણતરી આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $(\text{સૌથી મોટી } n\text{-અંકી સંખ્યા}) - (\text{સૌથી નાની } n\text{-અંકી સંખ્યા}) + 1$.
$n = 100$ મૂકતા:
કુલ સંખ્યા $= (10^{100} - 1) - (10^{99}) + 1$.
કુલ સંખ્યા $= 10^{100} - 10^{99}$.
$10^{99}$ સામાન્ય કાઢતા:
કુલ સંખ્યા $= 10^{99} \times (10 - 1) = 9 \times 10^{99}$.

(D) ગુણાકારનો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે દરેક પદનો એકમનો અંક અલગથી શોધીશું.
$1$. $(217)^{413}$ માટે,એકમનો અંક $7$ છે. $7$ ની ઘાતનું ચક્ર $(7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1)$ છે. ઘાતાંક $413$ ને $4$ વડે ભાગતા શેષ $1$ વધે છે. તેથી,એકમનો અંક $7^1 = 7$ છે.
$2$. $(819)^{547}$ માટે,એકમનો અંક $9$ છે. $9$ ની ઘાતનું ચક્ર $(9^1=9, 9^2=1)$ છે. $547$ એકી સંખ્યા હોવાથી,એકમનો અંક $9$ છે.
$3$. $(414)^{624}$ માટે,એકમનો અંક $4$ છે. $4$ ની ઘાતનું ચક્ર $(4^1=4, 4^2=6)$ છે. $624$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,એકમનો અંક $6$ છે.
$4$. $(342)^{812}$ માટે,એકમનો અંક $2$ છે. $2$ ની ઘાતનું ચક્ર $(2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=6)$ છે. ઘાતાંક $812$ એ $4$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે (શેષ $0$),તેથી એકમનો અંક $6$ છે.
હવે,એકમના અંકોનો ગુણાકાર કરો: $7 \times 9 \times 6 \times 6 = 63 \times 36$.
એકમના અંકોનો ગુણાકાર $3 \times 6 = 18$ થાય છે.
તેથી,સમગ્ર પદાવલિનો એકમનો અંક $8$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\{(49)^{\frac{3}{2}} + (49)^{\frac{3}{2}}\}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $49 = 7^2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \{(7^2)^{\frac{3}{2}} + (7^2)^{\frac{3}{2}}\}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \{7^{2 \times \frac{3}{2}} + 7^{2 \times \frac{3}{2}}\}$
$= \{7^3 + 7^3\}$
$= \{343 + 343\}$
$= 686$

(B) અવિભાજ્ય અવયવોની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા બધા પાયાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ તરીકે દર્શાવીશું.
આપેલ પદાવલિ: $(4)^{11} \times (5)^{5} \times (3)^{2} \times (13)^{2}$.
કારણ કે $4 = 2^2$,આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$(2^2)^{11} \times (5)^{5} \times (3)^{2} \times (13)^{2} = (2)^{22} \times (5)^{5} \times (3)^{2} \times (13)^{2}$.
અવિભાજ્ય અવયવોની કુલ સંખ્યા એ આ અવિભાજ્ય પાયાના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે:
અવિભાજ્ય અવયવોની કુલ સંખ્યા $= 22 + 5 + 2 + 2 = 31$.

(A) ધારો કે તે ધન સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તે સંખ્યાનો વર્ગ તેના $21$ ગણા કરતાં $100$ જેટલો વધારે છે.
આને સમીકરણ તરીકે આ રીતે લખી શકાય: $x^2 - 21x = 100$.
સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2 - 21x - 100 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 25)(x + 4) = 0$.
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = 25$ અથવા $x = -4$.
પ્રશ્નમાં ધન સંખ્યાનો ઉલ્લેખ હોવાથી,આપણે $x = -4$ ને અવગણીશું.
તેથી,તે ધન સંખ્યાનું મૂલ્ય $25$ છે.

(C) $16800$ માંથી કઈ ન્યૂનતમ સંખ્યા બાદ કરવાથી તે પૂર્ણવર્ગ બને તે શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $16800$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $129^2 = 16641$ અને $130^2 = 16900$ થાય છે.
અહીં $16641 < 16800 < 16900$ હોવાથી,$16800$ થી નાની સૌથી નજીકની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $16641$ છે.
તેથી,બાદ કરવાની સંખ્યા $16800 - 16641 = 159$ છે.

(C) $708$ માં કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા ઉમેરવાથી તે પૂર્ણ વર્ગ બને તે શોધવા માટે,આપણે પહેલા $708$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $26^{2} = 676$ અને $27^{2} = 729$.
$708$ એ $26^{2}$ અને $27^{2}$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી તેના પછીની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $729$ છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા $729 - 708 = 21$ થાય.
જો પ્રશ્નમાં $709$ હોય,તો $729 - 709 = 20$ થાય. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $20$ છે.

(NONE) સૌ પ્રથમ,$270$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો: $270 = 27 \times 10 = 3^3 \times 2 \times 5 = 2^1 \times 3^3 \times 5^1$.
કોઈપણ સંખ્યાને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક બેકી સંખ્યા (even) હોવો જોઈએ.
તેથી,$N$ માં ઓછામાં ઓછા $2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30$ હોવા જોઈએ જેથી ઘાતાંક બેકી બને $(2^2 \times 3^4 \times 5^2)$.
જો $N = 30$ હોય,તો $270 \times 30 = 8100 = 90^2$,જે $4$-અંકની સંખ્યા છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
જો $N = 1$ હોય,તો $270 \times 1 = 270$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
જો $N = 6$ હોય,તો $270 \times 6 = 1620$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
જો $N = 4$ હોય,તો $270 \times 4 = 1080$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
જો $N = 9$ હોય,તો $270 \times 9 = 2430$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
આમ,$N=30$ એ સૌથી નાની કિંમત છે જે તેને પૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે,જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી. તાર્કિક રીતે $N$ એ $30 \times k^2$ ના સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.

(D) $2505$ ને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે તેમાં ઉમેરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા ભાગાકારની રીત દ્વારા $2505$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
$50^2 = 2500$,જે $2505$ કરતા નાની સંખ્યા છે.
તેના પછીની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $51^2$ છે.
$51^2 = 2601$.
ઉમેરવાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપેલી સંખ્યાને પછીની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યામાંથી બાદ કરો:
$2601 - 2505 = 96$.
તેથી,ઉમેરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $96$ છે.

(A) $5000$ ને કઈ નાની સંખ્યા વડે ભાગવાથી તે પૂર્ણ વર્ગ બને તે શોધવા માટે,આપણે પહેલા $5000$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$5000 = 5 \times 1000 = 5 \times 10 \times 100 = 5 \times 2 \times 5 \times 10 \times 10 = 2^3 \times 5^4$.
આને આપણે $5000 = 2^2 \times 2^1 \times 5^4$ તરીકે લખી શકીએ.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ હોય તે માટે તેના દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક બેકી સંખ્યા હોવો જોઈએ.
અહીં,$2$ નો ઘાતાંક $3$ (એકી) છે અને $5$ નો ઘાતાંક $4$ (બેકી) છે.
$2$ ના ઘાતાંકને બેકી બનાવવા માટે,આપણે $5000$ ને $2^1 = 2$ વડે ભાગવા પડશે.
આમ,$5000 / 2 = 2500$,જે $50^2$ છે.
ભાગવા માટેની સૌથી નાની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(x-1)$,$x$,અને $(x+1)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના સરવાળાનો વર્ગ તેમના વર્ગોના સરવાળા કરતાં $292$ વધારે છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $(x-1) + x + (x+1) = 3x$ થાય.
સરવાળાનો વર્ગ $(3x)^2 = 9x^2$ થાય.
તેમના વર્ગોનો સરવાળો $(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = (x^2 - 2x + 1) + x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 2$ થાય.
આપેલ છે કે $9x^2 - (3x^2 + 2) = 292$.
$6x^2 - 2 = 292$.
$6x^2 = 294$.
$x^2 = 49$.
$x = 7$.
તેથી ત્રણ સંખ્યાઓ $(7-1)$,$7$,અને $(7+1)$ એટલે કે $6$,$7$,અને $8$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓમાંથી સૌથી મોટી સંખ્યા $8$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{6}x - (\frac{7}{2} \times \frac{3}{7}) = -\frac{7}{4}$
$\frac{7}{2} \times \frac{3}{7}$ પદને સાદું રૂપ આપતા,અંશ અને છેદમાંથી $7$ ઉડી જશે:
$\frac{1}{6}x - \frac{3}{2} = -\frac{7}{4}$
બંને બાજુ $\frac{3}{2}$ ઉમેરતા:
$\frac{x}{6} = -\frac{7}{4} + \frac{3}{2}$
જમણી બાજુ માટે સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{x}{6} = -\frac{7}{4} + \frac{6}{4} = -\frac{1}{4}$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$x = -\frac{1}{4} \times 6 = -\frac{6}{4} = -1.5$

(A) ધારો કે અજ્ઞાત કિંમત $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $6088 \times x = 7610$.
$x$ શોધવા માટે,$7610$ ને $6088$ વડે ભાગો:
$x = \frac{7610}{6088}$.
અંશ અને છેદ બંનેને $1522$ વડે ભાગતા:
$7610 \div 1522 = 5$.
$6088 \div 1522 = 4$.
તેથી,$x = \frac{5}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\frac{5}{9} \times x) - (\frac{2}{5} \times \frac{9}{4}) = -\frac{4}{5}$
બીજા પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{2}{5} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{5}{9}x - \frac{9}{10} = -\frac{4}{5}$
બંને બાજુ $\frac{9}{10}$ ઉમેરતા: $\frac{5}{9}x = -\frac{4}{5} + \frac{9}{10}$
જમણી બાજુ માટે સામાન્ય છેદ લેતા: $\frac{5}{9}x = -\frac{8}{10} + \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{1}{10} \times \frac{9}{5} = \frac{9}{50}$
દશાંશમાં ફેરવતા: $x = 0.18$

(D) આપેલ પદાવલિ $999 \frac{1}{2} + 999 \frac{1}{6} + 999 \frac{1}{12} + 999 \frac{1}{20} + 999 \frac{1}{30}$ છે.
આને $(999 + \frac{1}{2}) + (999 + \frac{1}{6}) + (999 + \frac{1}{12}) + (999 + \frac{1}{20}) + (999 + \frac{1}{30})$ તરીકે લખી શકાય.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરતા: $(999 \times 5) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30})$.
$999 \times 5 = 4995$.
હવે,અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરીએ: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6}$.
સૂત્ર $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})$.
આનું સાદું રૂપ $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ થાય છે.
તેથી,કુલ કિંમત $4995 + \frac{5}{6} = 4995 \frac{5}{6}$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $111 \frac{1}{2} + 111 \frac{1}{6} + 111 \frac{1}{12} + 111 \frac{1}{20} + 111 \frac{1}{30}$ છે.
અહીં $5$ પદો હોવાથી,આપણે તેને $(111 \times 5) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30})$ તરીકે લખી શકીએ.
$111 \times 5 = 555$.
હવે,અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6}$.
સૂત્ર $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})$.
આનું સાદુંરૂપ $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ થાય છે.
પૂર્ણાંક ભાગ ઉમેરતા,આપણને $555 + \frac{5}{6} = 555 \frac{5}{6}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\left(-\frac{1}{2}\right) \times (x - 5) + 3 = -\frac{5}{2}$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$\left(-\frac{1}{2}\right) \times (x - 5) = -\frac{5}{2} - 3$
$\left(-\frac{1}{2}\right) \times (x - 5) = -\frac{5}{2} - \frac{6}{2}$
$\left(-\frac{1}{2}\right) \times (x - 5) = -\frac{11}{2}$
બંને બાજુ $-2$ વડે ગુણતા:
$x - 5 = \left(-\frac{11}{2}\right) \times (-2)$
$x - 5 = 11$
બંને બાજુ $5$ ઉમેરતા:
$x = 11 + 5$
$x = 16$

(D) $9 \frac{1}{3} + 19 \frac{2}{3} + 20 \frac{3}{4} + 19 \frac{1}{4}$ પદાવલિની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ-અલગ જૂથમાં વહેંચી શકીએ છીએ.
પગલું $1$: પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનું જૂથ બનાવો:
$(9 + 19 + 20 + 19) = 67$
પગલું $2$: અપૂર્ણાંકોનું જૂથ બનાવો:
$(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$
$= (\frac{1+2}{3}) + (\frac{3+1}{4})$
$= (\frac{3}{3}) + (\frac{4}{4})$
$= 1 + 1 = 2$
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ ના પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$67 + 2 = 69$
તેથી,સાચો જવાબ $69$ છે.