Binary System Questions in Gujarati

(B) દશાંશ સંખ્યાને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે સંખ્યાને વારંવાર $2$ વડે ભાગીએ છીએ અને શેષ નોંધીએ છીએ.
$\begin{array}{l|ll} 2 & 117 & \text{શેષ} \\ \hline 2 & 58 & 1 \\ \hline 2 & 29 & 0 \\ \hline 2 & 14 & 1 \\ \hline 2 & 7 & 0 \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 1 & 1 \\ \hline & 0 & 1 \end{array}$
નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $1110101$ મળે છે.
$\therefore$ દશાંશ $117$ નો બાઈનરી સમકક્ષ $1110101$ છે.

(A) દશાંશ સંખ્યાને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે સંખ્યાને વારંવાર $2$ વડે ભાગીએ છીએ અને શેષ નોંધીએ છીએ.
$\begin{array}{l|cc} 2 & 52 & \text{શેષ} \\ \hline 2 & 26 & 0 \\ \hline 2 & 13 & 0 \\ \hline 2 & 6 & 1 \\ \hline 2 & 3 & 0 \\ \hline 2 & 1 & 1 \\ \hline & 0 & 1 \end{array}$
નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $110100$ મળે છે.
$\therefore$ દશાંશ $52$ નો બાઈનરી સમકક્ષ $110100$ છે.

(C) બાઈનરી સંખ્યાને તેના દશાંશ સમકક્ષમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે દરેક બીટને તેના સ્થાનના આધારે $2$ ની સંબંધિત ઘાત સાથે ગુણીએ છીએ (જમણી બાજુથી $0$ થી શરૂ કરીને).
બાઈનરી સંખ્યા $1110101_2$ છે.
ગણતરી:
$(1 \times 2^6) + (1 \times 2^5) + (1 \times 2^4) + (0 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0)$
$= 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1$
$= 117_{10}$
તેથી,દશાંશ સમકક્ષ $117_{10}$ છે.

(C) દશાંશ સંખ્યાને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે સંખ્યાને વારંવાર $2$ વડે ભાગીએ છીએ અને શેષ નોંધીએ છીએ.
$235 \div 2 = 117$,શેષ $1$
$117 \div 2 = 58$,શેષ $1$
$58 \div 2 = 29$,શેષ $0$
$29 \div 2 = 14$,શેષ $1$
$14 \div 2 = 7$,શેષ $0$
$7 \div 2 = 3$,શેષ $1$
$3 \div 2 = 1$,શેષ $1$
$1 \div 2 = 0$,શેષ $1$
નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $11101011_{2}$ મળે છે.
તેથી,$235_{10} = 11101011_{2}$.

(A) દશાંશ સંખ્યાને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે સંખ્યાને વારંવાર $2$ વડે ભાગીએ છીએ અને શેષ નોંધીએ છીએ.
$\begin{array}{l|cc} 2 & 701 & \text{શેષ} \\ \hline 2 & 350 & 1 \\ \hline 2 & 175 & 0 \\ \hline 2 & 87 & 1 \\ \hline 2 & 43 & 1 \\ \hline 2 & 21 & 1 \\ \hline 2 & 10 & 1 \\ \hline 2 & 5 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 1 \\ \hline 2 & 1 & 0 \\ \hline 2 & 0 & 1 \end{array}$
નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $(701)_{10} = 1010111101_{2}$ મળે છે.

(B) બાઈનરી સંખ્યાને તેના દશાંશ સમકક્ષમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે દરેક અંકને તેના સ્થાનના ઘાતાંક ($2$ ની ઘાત) સાથે ગુણીએ છીએ (જમણી બાજુથી $0$ થી શરૂ કરીને).
બાઈનરી સંખ્યા $101001_2$ માટે:
સ્થાન $5$: $1 \times 2^5 = 32$
સ્થાન $4$: $0 \times 2^4 = 0$
સ્થાન $3$: $1 \times 2^3 = 8$
સ્થાન $2$: $0 \times 2^2 = 0$
સ્થાન $1$: $0 \times 2^1 = 0$
સ્થાન $0$: $1 \times 2^0 = 1$
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા: $32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 41$.
તેથી,દશાંશ સમકક્ષ $41$ છે.

(A) બાઈનરી સંખ્યાને તેના દશાંશ સમકક્ષમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે દરેક બીટને તેના સ્થાનના ઘાત ($2$ ના ઘાત) સાથે ગુણીએ છીએ (જમણી બાજુથી $0$ થી શરૂ કરીને).
બાઈનરી સંખ્યા $10000010011_2$ છે.
સ્થાન કિંમતો:
$1 \times 2^{10} + 0 \times 2^9 + 0 \times 2^8 + 0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$
$2$ ના ઘાતની ગણતરી:
$2^{10} = 1024$
$2^4 = 16$
$2^1 = 2$
$2^0 = 1$
આ કિંમતોનો સરવાળો:
$1024 + 16 + 2 + 1 = 1043$
તેથી,દશાંશ સમકક્ષ $1043$ છે.

(C) બાઈનરી સંખ્યાને તેના દશાંશ સમકક્ષમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે દરેક અંકને તેના સ્થાનના ઘાત (જમણી બાજુથી $0$ થી શરૂ કરીને) સાથે $2$ વડે ગુણીએ છીએ.
બાઈનરી સંખ્યા $111011_2$ માટે:
$1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$
$= 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1$
$= 59$
તેથી,દશાંશ સમકક્ષ $59$ છે.

(B) બાઈનરી સંખ્યાઓ $1001$ અને $0101$ નો સરવાળો કરવા માટે, આપણે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ તરફ સ્તંભ મુજબ સરવાળો કરીએ છીએ:
$\begin{array}{r} 0101 \\ +1001 \\ \hline 1110 \end{array}$
પગલાવાર ગણતરી:
$1 + 1 = 10$ ($0$ લખો, $1$ વદી)
$0 + 0 + 1 (\text{વદી}) = 1$
$1 + 0 = 1$
$0 + 1 = 1$
આમ, સરવાળો $1110$ છે.

(A) બાઈનરી સંખ્યાઓ $11100$ અને $11010$ નો સરવાળો કરવા માટે,આપણે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુએ સ્તંભ મુજબ સરવાળો કરીએ છીએ:
$0 + 0 = 0$
$0 + 1 = 1$
$1 + 0 = 1$
$1 + 1 = 10$ ($0$ લખો,$1$ વદી લો)
$1 + 1 + 1$ (વદી) $= 11$
આ બધાને જોડતા,આપણને $110110$ મળે છે.
$\begin{array}{r} 11100 \\ +11010 \\ \hline 110110 \end{array}$

(C) બાઈનરી સંખ્યાઓનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે સ્તંભ મુજબ સરવાળો કરીએ છીએ:
$11111_{2} = 31_{10}$
$10001_{2} = 17_{10}$
$1011_{2} = 11_{10}$
દશાંશ પદ્ધતિમાં સરવાળો: $31 + 17 + 11 = 59_{10}$
હવે,$59_{10}$ ને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
$59 \div 2 = 29$ શેષ $1$
$29 \div 2 = 14$ શેષ $1$
$14 \div 2 = 7$ શેષ $0$
$7 \div 2 = 3$ શેષ $1$
$3 \div 2 = 1$ શેષ $1$
$1 \div 2 = 0$ શેષ $1$
નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $111011_{2}$ મળે છે.

(A) બાઈનરી સંખ્યાઓ $11001_{2}$, $11011_{2}$ અને $11111_{2}$ નો સરવાળો કરવા માટે, આપણે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ સ્તંભ મુજબ સરવાળો કરીએ છીએ:
$11001_{2}$
$11011_{2}$
$11111_{2}$
----------
$1$. પ્રથમ સ્તંભ (જમણી બાજુ): $1 + 1 + 1 = 3_{10}$. બાઈનરીમાં, $3_{10} = 11_{2}$. $1$ લખો, $1$ વદી લો.
$2$. બીજો સ્તંભ: $0 + 1 + 1 + 1 (\text{વદી}) = 3_{10} = 11_{2}$. $1$ લખો, $1$ વદી લો.
$3$. ત્રીજો સ્તંભ: $0 + 0 + 1 + 1 (\text{વદી}) = 2_{10} = 10_{2}$. $0$ લખો, $1$ વદી લો.
$4$. ચોથો સ્તંભ: $1 + 1 + 1 + 1 (\text{વદી}) = 4_{10} = 100_{2}$. $0$ લખો, $10_{2}$ વદી લો.
$5$. પાંચમો સ્તંભ: $1 + 1 + 1 + 2 (\text{વદી}) = 5_{10} = 101_{2}$.
આમ, પરિણામ $1010011_{2}$ મળે છે.

(B) બાઈનરી સંખ્યાઓના સરવાળા માટે,આપણે બાઈનરી અંકગણિતના નિયમો $(0+0=0, 0+1=1, 1+1=10_{2})$ મુજબ સ્તંભ-વાર સરવાળો કરીએ છીએ:
$11_{2} = 3_{10}$
$111_{2} = 7_{10}$
$1111_{2} = 15_{10}$
$11111_{2} = 31_{10}$
દશાંશ પદ્ધતિમાં સરવાળો: $3 + 7 + 15 + 31 = 56_{10}$.
હવે,$56_{10}$ ને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
$56 \div 2 = 28$ શેષ $0$
$28 \div 2 = 14$ શેષ $0$
$14 \div 2 = 7$ શેષ $0$
$7 \div 2 = 3$ શેષ $1$
$3 \div 2 = 1$ શેષ $1$
$1 \div 2 = 0$ શેષ $1$
નીચેથી ઉપર શેષ વાંચતા,આપણને $111000_{2}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સ્તંભ સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને:
$\begin{array}{r} 11 \\ 111 \\ 1111 \\ + 11111 \\ \hline 111000 \\ \hline \end{array}$

(C) બાઈનરી સંખ્યાઓ $111_{2}$ અને $101_{2}$ નો સરવાળો કરવા માટે,આપણે જમણેથી ડાબે દરેક સ્તંભનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$1$. $1 + 1 = 10_{2}$ ($0$ લખો,$1$ વદી લો)
$2$. $1 + 0 + 1$ (વદી) $= 10_{2}$ ($0$ લખો,$1$ વદી લો)
$3$. $1 + 1 + 1$ (વદી) $= 11_{2}$ ($11$ લખો)
આમ,$111_{2} + 101_{2} = 1100_{2}$ થાય છે.

(A) બાઈનરી સંખ્યાઓ $1000_{2}$, $1101_{2}$, અને $1111_{2}$ નો સરવાળો કરવા માટે, આપણે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુએ સ્તંભ મુજબ સરવાળો કરીએ છીએ:
$1$. સૌથી જમણો સ્તંભ: $0 + 1 + 1 = 2_{10} = 10_{2}$. $0$ લખો, $1$ વદી લો.
$2$. બીજો સ્તંભ: $0 + 0 + 1 + 1 (\text{વદી}) = 2_{10} = 10_{2}$. $0$ લખો, $1$ વદી લો.
$3$. ત્રીજો સ્તંભ: $0 + 1 + 1 + 1 (\text{વદી}) = 3_{10} = 11_{2}$. $1$ લખો, $1$ વદી લો.
$4$. ચોથો સ્તંભ: $1 + 1 + 1 + 1 (\text{વદી}) = 4_{10} = 100_{2}$. $100$ લખો.
આમ, પરિણામ $100100_{2}$ મળે છે.

(B) બાઈનરી સંખ્યાઓ $111_{2}$, $101_{2}$, અને $011_{2}$ નો સરવાળો કરવા માટે, આપણે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ સ્તંભ મુજબ સરવાળો કરીએ છીએ:
$1$. સૌથી જમણી બાજુનો સ્તંભ: $1 + 1 + 1 = 3_{10}$. બાઈનરીમાં, $3_{10} = 11_{2}$ થાય. $1$ લખો અને $1$ વદી તરીકે લો.
$2$. વચ્ચેનો સ્તંભ: $1 + 0 + 1 + (\text{વદી } 1) = 3_{10} = 11_{2}$. $1$ લખો અને $1$ વદી તરીકે લો.
$3$. સૌથી ડાબી બાજુનો સ્તંભ: $1 + 1 + 0 + (\text{વદી } 1) = 3_{10} = 11_{2}$.
આમ, સરવાળો $1111_{2}$ થાય છે.

(A) બાઈનરી સંખ્યાઓની બાદબાકી કરવા માટે,આપણે તેમને દશાંશ (decimal) પદ્ધતિમાં ફેરવી શકીએ છીએ,બાદબાકી કરી શકીએ છીએ અને ફરીથી બાઈનરીમાં ફેરવી શકીએ છીએ.
$111000_{2} = (1 \times 2^5) + (1 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (0 \times 2^0) = 32 + 16 + 8 = 56_{10}$.
$11001_{2} = (1 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 16 + 8 + 1 = 25_{10}$.
દશાંશ મૂલ્યોની બાદબાકી કરતા: $56 - 25 = 31_{10}$.
હવે,$31_{10}$ ને ફરીથી બાઈનરીમાં ફેરવતા:
$31 \div 2 = 15$ શેષ $1$
$15 \div 2 = 7$ શેષ $1$
$7 \div 2 = 3$ શેષ $1$
$3 \div 2 = 1$ શેષ $1$
$1 \div 2 = 0$ શેષ $1$
નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $11111_{2}$ મળે છે.

(C) $10001_{2}$ માંથી $1111_{2}$ બાદ કરવા માટે,આપણે સીધી બાઈનરી બાદબાકી કરી શકીએ છીએ:
$10001_{2} - 1111_{2}$
પગલાવાર બાદબાકી:
$1 - 1 = 0$
$0 - 1$ (દશકો લેતા) $\rightarrow 10 - 1 = 1$
$0 - 1$ (દશકો લીધા પછી) $\rightarrow 10 - 1 = 1$
$0 - 1$ (દશકો લીધા પછી) $\rightarrow 10 - 1 = 1$
$1 - 1$ (દશકો લીધા પછી) $\rightarrow 0$
પરિણામ: $00010_{2} = 10_{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,દશાંશ પદ્ધતિમાં રૂપાંતર કરતા:
$10001_{2} = 2^{4} + 2^{0} = 16 + 1 = 17_{10}$
$1111_{2} = 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} + 2^{0} = 8 + 4 + 2 + 1 = 15_{10}$
$17 - 15 = 2_{10}$
$2_{10}$ ને બાઈનરીમાં $10_{2}$ લખાય છે.

(B) $111101_{2}$ માંથી $10111_{2}$ બાદ કરવા માટે,આપણે $2$'s કોમ્પ્લીમેન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પગલું $1$: બાદબાકી કરવાના અંક $10111_{2}$ નું $2$'s કોમ્પ્લીમેન્ટ શોધો.
પ્રથમ,$010111_{2}$ નું $1$'s કોમ્પ્લીમેન્ટ શોધો (જે $6$ બીટની લંબાઈ મેળવવા માટે આગળ શૂન્ય ઉમેરીને મળે છે),જે $101000_{2}$ છે.
ત્યારબાદ,$1$'s કોમ્પ્લીમેન્ટમાં $1$ ઉમેરો: $101000_{2} + 1_{2} = 101001_{2}$.
પગલું $2$: મુખ્ય સંખ્યામાં $2$'s કોમ્પ્લીમેન્ટ ઉમેરો:
$\begin{array}{r} 111101_{2} \\ + 101001_{2} \\ \hline 1100110_{2} \end{array}$
પગલું $3$: અંતિમ પરિણામ મેળવવા માટે કેરી બીટ (સૌથી ડાબી બાજુનો $1$) દૂર કરો:
$100110_{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સીધી બાઈનરી બાદબાકી કરતા:
$\begin{array}{r} 111101_{2} \\ - 010111_{2} \\ \hline 100110_{2} \end{array}$
આમ,$111101_{2} - 10111_{2} = 100110_{2}$.

(C) $11111_{2}$ માંથી $10001_{2}$ બાદ કરવા માટે,આપણે બાઈનરી બાદબાકી કરીએ છીએ:
$11111_{2} = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31_{10}$
$10001_{2} = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17_{10}$
દશાંશ મૂલ્યોની બાદબાકી કરતા:
$31 - 17 = 14_{10}$
હવે,$14_{10}$ ને ફરીથી બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
$14 \div 2 = 7$ શેષ $0$
$7 \div 2 = 3$ શેષ $1$
$3 \div 2 = 1$ શેષ $1$
$1 \div 2 = 0$ શેષ $1$
નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $1110_{2}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સીધી બાઈનરી બાદબાકીનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{array}{r} 11111 \\ -10001 \\ \hline 01110 \end{array}$
આમ,$11111_{2} - 10001_{2} = 1110_{2}$.

(A) $100001_{2}$ માંથી $11110_{2}$ બાદ કરવા માટે,આપણે સીધી બાઈનરી બાદબાકી કરી શકીએ છીએ:
$100001_{2} - 11110_{2} = ?$
પગલાવાર બાદબાકી:
$1 - 0 = 1$
$0 - 1$ (દશકો લેતા): $10 - 1 = 1$
$0 - 1$ (દશકો લીધા પછી): $1 - 1 = 0$
$0 - 1$ (દશકો લીધા પછી): $1 - 1 = 0$
$0 - 1$ (દશકો લીધા પછી): $1 - 1 = 0$
પરિણામ: $000011_{2} = 11_{2}$.

(B) બાઈનરી સિસ્ટમમાં $1111_2$ નો $11_2$ સાથે ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચે મુજબ ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\begin{array}{r@{\quad}l} & 1111_2 \\ \times & 0011_2 \\ \hline & 1111_2 \\ 11110_2 & \\ \hline 101101_2 \end{array}$
પગલું $1$: $1111_2$ ને $11_2$ ના એકમના અંક $1$ સાથે ગુણો,જે $1111_2$ આપે છે.
પગલું $2$: $1111_2$ ને બીજા અંક $1$ (જે $2^1$ અથવા $10_2$ દર્શાવે છે) સાથે ગુણો,જે $11110_2$ આપે છે.
પગલું $3$: બંને પરિણામોનો સરવાળો કરો: $1111_2 + 11110_2 = 101101_2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બાઈનરી સિસ્ટમમાં $101_2$ નો $11_2$ સાથે ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચે મુજબ ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\begin{array}{r@{\quad}l} & 101_2 \\ \times & 11_2 \\ \hline & 101_2 \\ 1010_2 & \\ \hline 1111_2 \end{array}$
પગલું $1$: $101_2$ ને $11_2$ ના એકમના અંક $1$ સાથે ગુણતા $101_2$ મળે છે.
પગલું $2$: $101_2$ ને $11_2$ ના બીજા અંક $1$ સાથે ગુણતા (એક સ્થાન ડાબી બાજુ ખસેડીને) $1010_2$ મળે છે.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $101_2 + 1010_2 = 1111_2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $101101_2$ નો $1101_2$ સાથે ગુણાકાર કરવા માટે:
$101101 \times 1 = 101101$
$101101 \times 00 = 0000000$
$101101 \times 100 = 10110100$
$101101 \times 1000 = 101101000$
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$101101 + 0000000 + 10110100 + 101101000 = 1001001001_2$

(A) બાઈનરીમાં $11001$ નો $101$ સાથે ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચે મુજબ ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$11001 \times 1 = 11001$
$11001 \times 0 = 00000$
$11001 \times 1 = 11001$
આંશિક ગુણાકારોને ગોઠવતા:
$11001$
$000000$
$1100100$
----------
$1111101$
આમ,$11001_2 \times 101_2 = 1111101_2$ થાય છે.