Simplification Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+\frac{x}{144}} = \frac{13}{12}$
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરતા:
$1 + \frac{x}{144} = \left(\frac{13}{12}\right)^2$
$1 + \frac{x}{144} = \frac{169}{144}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$\frac{x}{144} = \frac{169}{144} - 1$
$\frac{x}{144} = \frac{169 - 144}{144}$
$\frac{x}{144} = \frac{25}{144}$
બંને બાજુ $144$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x = 25$

(B) આપેલ છે: $a = \sqrt{2} + 1$ અને $b = \sqrt{2} - 1.$
આપણે $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{(\sqrt{2} + 1) + 1} + \frac{1}{(\sqrt{2} - 1) + 1} = \frac{1}{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{2}}.$
સરળ બનાવવા માટે,પ્રથમ પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{2} + 2} \times \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}.$
હવે બીજું પદ ઉમેરતા:
$(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.$
આમ,કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x + \frac{1}{x} = \sqrt{13}$.
પદાવલિ $\frac{3x}{x^2 - 1}$ ના અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\frac{3x/x}{(x^2 - 1)/x} = \frac{3}{x - \frac{1}{x}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{13})^2 - 4 = 13 - 4 = 9$.
તેથી,$x - \frac{1}{x} = \pm 3$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{3}{\pm 3} = \pm 1$.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{575} \div x \times 14.98^{2} = 450$
પગલું $1$: કિંમતોનું આશરે મૂલ્ય લો. $\sqrt{575} \approx \sqrt{576} = 24$ અને $14.98 \approx 15$.
પગલું $2$: આશરે કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો: $24 \div x \times 15^{2} = 450$.
પગલું $3$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{24}{x} \times 225 = 450$.
પગલું $4$: $x$ માટે ઉકેલો: $\frac{24}{x} = \frac{450}{225}$.
પગલું $5$: $\frac{24}{x} = 2$.
પગલું $6$: $x = \frac{24}{2} = 12$.
તેથી,સાચો જવાબ $12$ છે.

(C) સમીકરણ $30.01^{2} - 19.98^{2} - ? = 21.81^{2}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે કિંમતોને નજીકના પૂર્ણાંકમાં આશરે ગણી શકીએ છીએ:
$30.01 \approx 30$
$19.98 \approx 20$
$21.81 \approx 22$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$30^{2} - 20^{2} - x = 22^{2}$
વર્ગોની ગણતરી કરતા:
$900 - 400 - x = 484$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$500 - x = 484$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 500 - 484$
$x = 16$

(B) $820.15 + 2379.85 + 140.01 \times 4.99$ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,આપણે અંદાજિત કિંમત મેળવવા માટે સંખ્યાઓને તેમની નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવીએ છીએ:
$820.15 \approx 820$
$2379.85 \approx 2380$
$140.01 \approx 140$
$4.99 \approx 5$
હવે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$820 + 2380 + (140 \times 5)$
$= 3200 + 700$
$= 3900$
તેથી,પ્રશ્નાર્થ ચિહ્નની જગ્યાએ $3900$ આવવું જોઈએ.

(C) સમીકરણ ઉકેલવા માટે,આપણે કિંમતોને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ છીએ:
$39.97 \% \approx 40 \% = 0.40$
$649.8 \approx 650$
$13.05 \approx 13$
$45.12 \approx 45$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.40 \times 650 \div 13 = 45 - ?$
$260 \div 13 = 45 - ?$
$20 = 45 - ?$
$? = 45 - 20 = 25$
તેથી,સાચો જવાબ $25$ છે.

(D) સમીકરણ $(674.87 + 59.98) \div 35.02$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે આસન્નમૂલ્ય (approximation) નો ઉપયોગ કરીશું.
$674.87 \approx 675$
$59.98 \approx 60$
$35.02 \approx 35$
હવે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$(675 + 60) \div 35$
$= 735 \div 35$
$= 21$
તેથી,પ્રશ્નાર્થ ચિહ્નની જગ્યાએ $21$ આવવું જોઈએ.

(C) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવીએ છીએ:
$\frac{1810}{24} \times 8 + 11 \times 19 = x - 306$
પ્રથમ,ભાગાકાર અને ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\frac{1810}{24} \approx 75.416$
$75.416 \times 8 \approx 603.33$
$11 \times 19 = 209$
હવે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$603 + 209 = x - 306$
$812 = x - 306$
$x$ માટે ઉકેલો:
$x = 812 + 306$
$x = 1118$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2775 \times \frac{160}{\sqrt{x}} = 5550$
$\sqrt{x}$ માટે ઉકેલવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\sqrt{x} = \frac{2775 \times 160}{5550}$
કારણ કે $2775 \times 2 = 5550$,આપણે અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\sqrt{x} = \frac{160}{2}$
$\sqrt{x} = 80$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = 80^2 = 6400$

(D) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને નજીકના પૂર્ણાંકોમાં ફેરવીએ છીએ:
$24.98 \approx 25$,$16.02 \approx 16$,$7.98 \approx 8$,$15.04 \approx 15$,$38.93 \approx 39$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$25^{2} \times \frac{16^{2}}{8 \times 15} \times 39 = 130 \times x^{2}$
$\frac{625 \times 256}{120} \times 39 = 130 \times x^{2}$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{625 \times 256 \times 39}{120} = 130 \times x^{2}$
$x^{2} = \frac{625 \times 256 \times 39}{120 \times 130}$
$x^{2} = \frac{625 \times 256 \times 39}{15600} = \frac{6240000}{15600} = 400$
$x = \sqrt{400} = 20$.

(D) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે ટકાવારી અને સંખ્યાઓને રાઉન્ડ ઓફ કરીએ છીએ:
$71.98 \% \approx 72 \%$
$35.06 \% \approx 35 \%$
સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$1200$ ના $72 \% + 270$ ના $35 \% = 600$ ના $x \%$
કિંમતોની ગણતરી કરો:
$1200$ ના $72 \% = 0.72 \times 1200 = 864$
$270$ ના $35 \% = 0.35 \times 270 = 94.5$
આ કિંમતોનો સરવાળો:
$864 + 94.5 = 958.5$
હવે,$x$ માટે ઉકેલો:
$958.5 = \frac{x}{100} \times 600$
$958.5 = 6x$
$x = \frac{958.5}{6} = 159.75$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $x \approx 160$ મળે છે.

(A) આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ફેરવીએ છીએ:
$\frac{7702}{44} + 25 \times 46 = x \times 15$
પ્રથમ,ભાગાકારની ગણતરી કરો:
$7702 \div 44 \approx 175.045 \approx 175$
ત્યારબાદ,ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$25 \times 46 = 1150$
હવે,પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$175 + 1150 = 1325$
અંતે,$x$ માટે ઉકેલો:
$1325 = x \times 15$
$x = \frac{1325}{15} \approx 88.33$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $x \approx 88$ મળે છે.

(D) કિંમતોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદાજિત કિંમતોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sqrt{2} \approx 1.414$
$\sqrt{3} \approx 1.732$
$\sqrt{5} \approx 2.236$
$\sqrt{6} \approx 2.449$
હવે,સરવાળો ગણીએ:
$\sqrt{6} + \sqrt{2} \approx 2.449 + 1.414 = 3.863$
$\sqrt{5} + \sqrt{3} \approx 2.236 + 1.732 = 3.968$
બંને સરવાળાની સરખામણી કરતા:
$3.863 < 3.968$
તેથી,$\sqrt{6} + \sqrt{2} < \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે વિધાન $(ii)$ સાચું છે,જ્યારે વિધાન $(i)$ અને $(iii)$ ખોટા છે.

(B) ધારો કે $a = 0.67$ અને $b = 0.33$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપી શકીએ છીએ:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
હવે $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$a - b = 0.67 - 0.33 = 0.34$.

(B) પ્રથમ,છેદનું સાદું રૂપ આપો:
$\sqrt{7+4 \sqrt{3}} = \sqrt{7+2 \times 2 \times \sqrt{3}} = \sqrt{4+3+2 \times 2 \times \sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}} = 2+\sqrt{3}$
$\sqrt{4+2 \sqrt{3}} = \sqrt{3+1+2 \times \sqrt{3} \times 1} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}} = \sqrt{3}+1$
છેદ $= (2+\sqrt{3}) - (\sqrt{3}+1) = 2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1 = 1$
હવે,અંશની કિંમત શોધવા માટે વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરો:
$1$ થી $10$ સુધીના વર્ગોનો સરવાળો $= \frac{10(11)(21)}{6} = 385$
$1$ થી $5$ સુધીના વર્ગોનો સરવાળો $= \frac{5(6)(11)}{6} = 55$
અંશ $= 6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+10^{2} = 385 - 55 = 330$
પરિણામ $= \frac{330}{1} = 330$

(D) આપેલ છે કે $\sqrt[3]{79507} = 43$.
આપણે નીચેની પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે: $\sqrt[3]{79.507} + \sqrt[3]{0.079507} + \sqrt[3]{0.000079507}$.
$1$. $\sqrt[3]{79.507} = \sqrt[3]{\frac{79507}{1000}} = \frac{43}{10} = 4.3$.
$2$. $\sqrt[3]{0.079507} = \sqrt[3]{\frac{79507}{1000000}} = \frac{43}{100} = 0.43$.
$3$. $\sqrt[3]{0.000079507} = \sqrt[3]{\frac{79507}{1000000000}} = \frac{43}{1000} = 0.043$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$4.3 + 0.43 + 0.043 = 4.773$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(0.064-0.008)(0.16-0.04)}{(0.16+0.08+0.04)(0.4+0.2)^{3}}$
પદોને $0.4$ અને $0.2$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવો:
$0.064 = 0.4^{3}$,$0.008 = 0.2^{3}$,$0.16 = 0.4^{2}$,$0.04 = 0.2^{2}$,$0.08 = 0.4 \times 0.2$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
અંશ: $(0.4^{3}-0.2^{3})(0.4^{2}-0.2^{2})$
છેદ: $(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})(0.4+0.2)^{3}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ અને $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $(0.4-0.2)(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2}) \times (0.4-0.2)(0.4+0.2)$
હવે પદાવલિ આ મુજબ બનશે:
$\frac{(0.4-0.2)(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})(0.4-0.2)(0.4+0.2)}{(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})(0.4+0.2)^{3}}$
સામાન્ય પદો $(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})$ અને એક $(0.4+0.2)$ ને છેદતા:
$= \frac{(0.4-0.2)^{2}}{(0.4+0.2)^{2}} = \frac{(0.2)^{2}}{(0.6)^{2}} = \frac{0.04}{0.36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

(A) આપેલ પદાવલિ $x = \sqrt{a \sqrt[3]{b \sqrt{a \sqrt[3]{b \dots \infty}}}}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = a \sqrt[3]{b \sqrt{a \sqrt[3]{b \dots \infty}}}$ મળે છે.
હવે,આ સમીકરણની બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $(x^2)^3 = a^3 \cdot b \sqrt{a \sqrt[3]{b \dots \infty}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^6 = a^3 b x$ મળે છે.
$x \neq 0$ હોવાથી,$x$ વડે ભાગતા $x^5 = a^3 b$ મળે છે.
તેથી,$x = \sqrt[5]{a^3 b}.$

(B) આપેલ છે કે $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}.$ ધારો કે $x = 3k$ અને $y = 4k$ જ્યાં $k \neq 0$ એક અચળાંક છે.
આપણે $\frac{2x + 3y}{3y - 2x}$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2(3k) + 3(4k)}{3(4k) - 2(3k)} = \frac{6k + 12k}{12k - 6k}$
$= \frac{18k}{6k} = \frac{18}{6} = \frac{3}{1}.$
તેથી,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(B) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,અંશ અને છેદમાં $10$ ની ઘાતને વ્યવસ્થિત કરીને દશાંશ ચિહ્નો દૂર કરો.
$\sqrt{\frac{0.324 \times 0.081 \times 4.624}{1.5625 \times 0.0289 \times 72.9 \times 64}} = \sqrt{\frac{324 \times 10^{-3} \times 81 \times 10^{-3} \times 4624 \times 10^{-3}}{15625 \times 10^{-4} \times 289 \times 10^{-4} \times 729 \times 10^{-1} \times 64}}$
$= \sqrt{\frac{324 \times 81 \times 4624 \times 10^{-9}}{15625 \times 289 \times 729 \times 64 \times 10^{-9}}}$
$= \sqrt{\frac{324 \times 81 \times 4624}{15625 \times 289 \times 729 \times 64}}$
$= \sqrt{\frac{18^2 \times 9^2 \times 68^2}{125^2 \times 17^2 \times 27^2 \times 8^2}}$
$= \frac{18 \times 9 \times 68}{125 \times 17 \times 27 \times 8}$
$= \frac{11016}{459000} = 0.024$

(D) આપેલ છે: $\frac{x^{24}+1}{x^{12}}=7$
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{x^{24}}{x^{12}}+\frac{1}{x^{12}}=7$
$x^{12}+\frac{1}{x^{12}}=7$ ..... $(1)$
આપણે $\frac{x^{72}+1}{x^{36}}$ ની કિંમત શોધવાની છે,જે $x^{36}+\frac{1}{x^{36}}$ છે.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=x^{12}$ અને $b=\frac{1}{x^{12}}$:
$\left(x^{12}+\frac{1}{x^{12}}\right)^3 = (x^{12})^3 + \left(\frac{1}{x^{12}}\right)^3 + 3(x^{12})\left(\frac{1}{x^{12}}\right)\left(x^{12}+\frac{1}{x^{12}}\right)$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત મૂકતા:
$7^3 = x^{36} + \frac{1}{x^{36}} + 3(1)(7)$
$343 = x^{36} + \frac{1}{x^{36}} + 21$
$x^{36} + \frac{1}{x^{36}} = 343 - 21$
$x^{36} + \frac{1}{x^{36}} = 322$
આમ,$\frac{x^{72}+1}{x^{36}} = 322$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $x^{3}+27x^{2}+243x+631$.
$x=2$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (2)^{3} + 27(2)^{2} + 243(2) + 631$
$= 8 + 27(4) + 486 + 631$
$= 8 + 108 + 486 + 631$
$= 1233$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $p(p^{2} + 3p + 3) = p^{3} + 3p^{2} + 3p$.
આને સરળ બનાવવા માટે,આપણે ઘનનું સૂત્ર પૂર્ણ કરવા માટે $1$ ઉમેરીશું અને બાદ કરીશું: $(p+1)^{3} = p^{3} + 3p^{2} + 3p + 1$.
તેથી,$p^{3} + 3p^{2} + 3p = (p+1)^{3} - 1$.
હવે $p = 99$ મૂકતા:
$(99 + 1)^{3} - 1 = 100^{3} - 1$.
$100^{3} = 1000000$.
$1000000 - 1 = 999999$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})=0$.
જેનું સાદું રૂપ: $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$a-b=0 \Rightarrow a=b$,
$b-c=0 \Rightarrow b=c$,
$c-a=0 \Rightarrow c=a$.
આમ,$a=b=c$.
હવે આ કિંમતોને $\frac{a+c}{b}$ માં મૂકતા:
$\frac{a+c}{b} = \frac{a+a}{a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(A) આપેલ છે કે $ab + bc + ca = 0$.
આથી,$bc = -ab - ca$ મળે.
પ્રથમ પદના છેદમાં આ કિંમત મૂકતા: $a^2 - bc = a^2 - (-ab - ca) = a^2 + ab + ca = a(a + b + c)$.
તે જ રીતે,અન્ય છેદ માટે:
$b^2 - ca = b^2 - (-ab - bc) = b^2 + ab + bc = b(a + b + c)$.
$c^2 - ab = c^2 - (-bc - ca) = c^2 + bc + ca = c(a + b + c)$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{a(a + b + c)} + \frac{1}{b(a + b + c)} + \frac{1}{c(a + b + c)}$
$= \frac{1}{a + b + c} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$
$= \frac{1}{a + b + c} \left(\frac{bc + ac + ab}{abc}\right)$
કારણ કે $ab + bc + ca = 0$,તેથી બીજા અપૂર્ણાંકનો અંશ $0$ થશે.
$= \frac{1}{a + b + c} \times \frac{0}{abc} = 0$.

(D) આપેલ છે કે $(2+\sqrt{3}) a = 1$ અને $(2-\sqrt{3}) b = 1$.
$(2+\sqrt{3}) a = 1$ પરથી,આપણને $a = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{a} = 2+\sqrt{3}$.
તે જ રીતે,$(2-\sqrt{3}) b = 1$ પરથી,આપણને $b = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{b} = 2-\sqrt{3}$.
હવે,બંને કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3x + \frac{3}{x} = 1$.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા આપણને મળે: $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$.
હવે,નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(x + \frac{1}{x})^{3} = (\frac{1}{3})^{3}$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = \frac{1}{27}$
હવે $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(1)(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27}$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 1 = \frac{1}{27}$.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{1}{a^{2}+a x+x^{2}}-\frac{1}{a^{2}-a x+x^{2}}+\frac{2 a x}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ બે પદોનો સામાન્ય છેદ $(a^{2}+a x+x^{2})(a^{2}-a x+x^{2})$ લઈને સાદું રૂપ આપો.
નોંધો કે $(a^{2}+a x+x^{2})(a^{2}-a x+x^{2}) = (a^{2}+x^{2})^{2} - (ax)^{2} = a^{4} + 2a^{2}x^{2} + x^{4} - a^{2}x^{2} = a^{4} + a^{2}x^{2} + x^{4}$.
તેથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$E = \frac{(a^{2}-a x+x^{2}) - (a^{2}+a x+x^{2})}{a^{4}+a^{2}x^{2}+x^{4}} + \frac{2 a x}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$
$E = \frac{a^{2}-a x+x^{2}-a^{2}-a x-x^{2}}{a^{4}+a^{2}x^{2}+x^{4}} + \frac{2 a x}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$
$E = \frac{-2ax}{a^{4}+a^{2}x^{2}+x^{4}} + \frac{2ax}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$
$E = 0$.

(B) ધારો કે $a = 941$ અને $b = 149$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{(a+b)^{2} + (a-b)^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ અને $(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ નો ઉપયોગ કરીને અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
અંશ $= (a^{2} + b^{2} + 2ab) + (a^{2} + b^{2} - 2ab) = 2(a^{2} + b^{2})$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2(a^{2} + b^{2})}{a^{2} + b^{2}} = 2$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $2$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $5 \sqrt{5} \times 5^{3} \div 5^{-\frac{3}{2}} = 5^{a+2}$
બધા પદોને આધાર $5$ માં દર્શાવતા:
$5^1 \times 5^{1/2} \times 5^3 \div 5^{-3/2} = 5^{a+2}$
ઘાતાંકના નિયમો $x^m \times x^n = x^{m+n}$ અને $x^m \div x^n = x^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5^{(1 + 1/2 + 3 - (-3/2))} = 5^{a+2}$
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$1 + 0.5 + 3 + 1.5 = 6$
તેથી,$5^6 = 5^{a+2}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$6 = a + 2$
$a = 6 - 2 = 4$

(A) ધારો કે $x = 3+2 \sqrt{2}$ અને $y = 3-2 \sqrt{2}$.
અહીં $xy = (3+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2}) = 3^2 - (2 \sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$ થાય છે.
આપણે $x^{-3} + y^{-3} = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} = \frac{x^3 + y^3}{(xy)^3}$ શોધવાનું છે.
$xy = 1$ હોવાથી,આ પદ $x^3 + y^3$ માં ફેરવાય છે.
નિત્યસમ $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x+y = (3+2 \sqrt{2}) + (3-2 \sqrt{2}) = 6$.
તેથી,$x^3 + y^3 = (6)^3 - 3(1)(6) = 216 - 18 = 198$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left\{\left(\sqrt[n]{x^{2}}\right)^{n / 2}\right\}^{2}$
પગલું $1$: અંદરના પદ $\sqrt[n]{x^{2}}$ ને સરળ બનાવો. આને $(x^{2})^{1/n} = x^{2/n}$ તરીકે લખી શકાય છે.
પગલું $2$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\left\{(x^{2/n})^{n/2}\right\}^{2}$.
પગલું $3$: ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરો. પદાવલિ $\left\{x^{(2/n) \cdot (n/2)}\right\}^{2}$ બનશે.
પગલું $4$: ઘાતાંકને સરળ બનાવો: $(2/n) \cdot (n/2) = 1$. તેથી,પદાવલિ $\{x^{1}\}^{2}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
પગલું $5$: અંતે,$x^{1 \cdot 2} = x^{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3})^{5} \times 9^{2} = 3^{n} \times 3 \sqrt{3}$
બધા પદોને આધાર $3$ માં દર્શાવો:
$(\sqrt{3})^{5} = (3^{1/2})^{5} = 3^{5/2}$
$9^{2} = (3^{2})^{2} = 3^{4}$
$3 \sqrt{3} = 3^{1} \times 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3^{5/2} \times 3^{4} = 3^{n} \times 3^{3/2}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3^{5/2 + 4} = 3^{n + 3/2}$
$3^{13/2} = 3^{n + 3/2}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$13/2 = n + 3/2$
$n = 13/2 - 3/2$
$n = 10/2$
$n = 5$

(A) આપેલ પદાવલિ: $p(p^{2}+3p+3)$
$= p^{3}+3p^{2}+3p$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(p+1)^{3} = p^{3}+3p^{2}+3p+1$ પૂર્ણ કરવા માટે,આપણે $1$ ઉમેરીશું અને બાદ કરીશું:
$= (p^{3}+3p^{2}+3p+1) - 1$
$= (p+1)^{3} - 1$
$p=99$ મૂકતા:
$= (99+1)^{3} - 1$
$= 100^{3} - 1$
$= 1000000 - 1$
$= 999999$

(B) આપેલ સમીકરણ: $3^{x}-3^{x-1}=486$
આપણે $3^{x-1}$ ને $\frac{3^{x}}{3}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$3^{x}-\frac{3^{x}}{3}=486$
$3^{x}$ ને સામાન્ય લેતા:
$3^{x}(1-\frac{1}{3})=486$
કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$3^{x}(\frac{2}{3})=486$
બંને બાજુ $\frac{3}{2}$ વડે ગુણતા:
$3^{x}=486 \times \frac{3}{2}$
$3^{x}=243 \times 3$
$3^{x}=729$
$729$ ને $3$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવતા:
$729 = 3^{6}$
તેથી,$3^{x}=3^{6}$,જેનો અર્થ છે કે $x=6$.

(B) ધારો કે $a = 2.75$ અને $b = 2.25$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
હવે,$a$ અને $b$ ની કિંમતો પાછી મૂકતા:
$2.75 - 2.25 = 0.5$.
કારણ કે $0.5 = \frac{1}{2}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $1-\frac{a}{1-\frac{1}{1+\frac{a}{1-a}}}$ પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે સૌથી અંદરના અપૂર્ણાંકથી શરૂઆત કરીશું:
પ્રથમ,છેદ $1+\frac{a}{1-a}$ ને સરળ બનાવો:
$1+\frac{a}{1-a} = \frac{1-a+a}{1-a} = \frac{1}{1-a}$
આગળ,આ કિંમતને પદાવલિમાં પાછી મૂકો:
$1-\frac{a}{1-\frac{1}{\frac{1}{1-a}}} = 1-\frac{a}{1-(1-a)}$
હવે,છેદ $1-(1-a)$ ને સરળ બનાવો:
$1-1+a = a$
છેલ્લે,આ કિંમતને પાછી મૂકતા:
$1-\frac{a}{a} = 1-1 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(243)^{\frac{n}{5}} \times 3^{2n+1}}{9^{n} \times 3^{n-1}}$
બધા પદોને આધાર $3$ માં દર્શાવો:
$243 = 3^5$ અને $9 = 3^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(3^5)^{\frac{n}{5}} \times 3^{2n+1}}{(3^2)^n \times 3^{n-1}}$
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{3^n \times 3^{2n+1}}{3^{2n} \times 3^{n-1}}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$= \frac{3^{n + 2n + 1}}{3^{2n + n - 1}} = \frac{3^{3n+1}}{3^{3n-1}}$
નિયમ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3^{(3n+1) - (3n-1)} = 3^{3n+1-3n+1} = 3^2 = 9$.

(C) $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$ માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ નીચે મુજબ છે:
$x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)[(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}]$
અહીં $x = 333$,$y = 333$,અને $z = 334$ આપેલ છે:
સરવાળો $(x + y + z) = 333 + 333 + 334 = 1000$
તફાવત:
$(x - y) = 333 - 333 = 0$
$(y - z) = 333 - 334 = -1$
$(z - x) = 334 - 333 = 1$
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{2}(1000)[(0)^{2} + (-1)^{2} + (1)^{2}]$
$= \frac{1}{2}(1000)[0 + 1 + 1]$
$= \frac{1}{2}(1000)(2) = 1000$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-a^{2}}{b+c}+\frac{x-b^{2}}{c+a}+\frac{x-c^{2}}{a+b}=4(a+b+c)$
ધારો કે $x = (a+b+c)^{2}$.
સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{(a+b+c)^{2}-a^{2}}{b+c} + \frac{(a+b+c)^{2}-b^{2}}{c+a} + \frac{(a+b+c)^{2}-c^{2}}{a+b}$
નિત્યસમ $A^{2}-B^{2} = (A-B)(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(a+b+c-a)(a+b+c+a)}{b+c} + \frac{(a+b+c-b)(a+b+c+b)}{c+a} + \frac{(a+b+c-c)(a+b+c+c)}{a+b}$
$= \frac{(b+c)(2a+b+c)}{b+c} + \frac{(a+c)(a+2b+c)}{c+a} + \frac{(a+b)(a+b+2c)}{a+b}$
$= (2a+b+c) + (a+2b+c) + (a+b+2c)$
$= 4a+4b+4c = 4(a+b+c)$
આમ,સમીકરણનું સમાધાન થાય છે,તેથી $x = (a+b+c)^{2}$.

(D) આપેલ છે કે $(x-a)(x-b)=1$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $(x-b) = \frac{1}{x-a}$.
આપણને $a-b+5=0$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $a-b = -5$,અથવા $b-a = 5$.
આપણે $(x-a)^{3}-\frac{1}{(x-a)^{3}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{x-a} = x-b$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(x-a)^{3} - (x-b)^{3}$.
ધારો કે $u = x-a$. તો $x-b = u + (a-b) = u - 5$.
તેથી,પદાવલિ $u^3 - (u-5)^3$ બને છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $u^3 - (u^3 - 15u^2 + 75u - 125) = 15u^2 - 75u + 125$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપેલ $(x-a)(x-b)=1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u(u-5) = 1 \implies u^2 - 5u = 1$.
આપણે $u^3 - (u-5)^3 = 15u^2 - 75u + 125$ શોધી રહ્યા છીએ.
$= 15(u^2 - 5u) + 125$.
$u^2 - 5u = 1$ મૂકતા:
$= 15(1) + 125 = 15 + 125 = 140$.

(A) ધારો કે $x = \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \ldots}}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $x^{2} = 2 \sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \ldots}}}$.
હવે,બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે $(x^{2})^{3} = 2^{3} \times 4 \times \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \ldots}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^{6} = 8 \times 4 \times x$ મળે છે.
$x^{6} = 32x$.
અહીં $x \neq 0$ હોવાથી,$x$ વડે ભાગતા $x^{5} = 32$ મળે.
$x^{5} = 2^{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(B) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,દરેક પદનું સંમેયીકરણ (rationalization) કરીએ:
$1$. $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3} = \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = \sqrt{12}-\sqrt{6} = 2 \sqrt{3}-\sqrt{6}$
$2$. $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = \sqrt{18}-\sqrt{6} = 3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$
$3$. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \sqrt{18}-\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(2 \sqrt{3}-\sqrt{6}) - (3 \sqrt{2}-\sqrt{6}) + (3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})$
$= 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} + 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$
$= (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + (-\sqrt{6} + \sqrt{6}) + (-3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2})$
$= 0 + 0 + 0 = 0$

(A) આપેલ સમીકરણ: $a^{2}+b^{2}-c^{2}=2(a-b-c)-3$
પદોને ગોઠવતા: $a^{2}+b^{2}-c^{2}-2a+2b+2c+3=0$
નોંધ: મૂળ સમીકરણમાં વર્ગોના સરવાળા તરીકે ઉકેલવા માટે ચિહ્નમાં સુધારો જરૂરી છે. જો સમીકરણ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a-b-c)-3$ હોય તો:
$a^{2}-2a+1 + b^{2}+2b+1 + c^{2}+2c+1 = 0$
$(a-1)^{2} + (b+1)^{2} + (c+1)^{2} = 0$
કારણ કે વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$a-1=0 \Rightarrow a=1$
$b+1=0 \Rightarrow b=-1$
$c+1=0 \Rightarrow c=-1$
હવે,$4a-3b+5c$ ની કિંમત શોધો:
$4(1) - 3(-1) + 5(-1) = 4 + 3 - 5 = 2$

(C) આપેલ છે: $2x + \frac{2}{x} = 3$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$
હવે,નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(x + \frac{1}{x})^3 = (\frac{3}{2})^3$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = \frac{27}{8}$
સમીકરણમાં $x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(1)(\frac{3}{2}) = \frac{27}{8}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + \frac{9}{2} = \frac{27}{8}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{27}{8} - \frac{9}{2} = \frac{27 - 36}{8} = -\frac{9}{8}$
છેલ્લે,$x^3 + \frac{1}{x^3} + 2$ ની કિંમત ગણતા:
$-\frac{9}{8} + 2 = \frac{-9 + 16}{8} = \frac{7}{8}$

(A) ધારો કે $x = a^{2}-b^{2}$,$y = b^{2}-c^{2}$,અને $z = c^{2}-a^{2}$.
તેથી,$x+y+z = (a^{2}-b^{2}) + (b^{2}-c^{2}) + (c^{2}-a^{2}) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ: જો $x+y+z = 0$ હોય,તો $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(a^{2}-b^{2})^{3}+(b^{2}-c^{2})^{3}+(c^{2}-a^{2})^{3} = 3(a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})$.
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 3(a-b)(a+b)(b-c)(b+c)(c-a)(c+a)$.
આમ,$(a+b)(a-b)$ એ એક અવયવ છે.

(D) આપેલ છે કે $x = \sqrt[3]{5} + 2$.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા,આપણને $x - 2 = \sqrt[3]{5}$ મળે છે.
હવે,સમીકરણની બંને બાજુનો ઘન કરતા:
$(x - 2)^3 = (\sqrt[3]{5})^3$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ:
$x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = 5$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 5$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 13$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુથી $5$ બાદ કરીએ:
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 5 = 0$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 13 = 0$.

(D) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{1}{3-\sqrt{8}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરો:
$\frac{1}{3-\sqrt{8}} = \frac{1 \times (3+\sqrt{8})}{(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})} = \frac{3+\sqrt{8}}{3^2 - (\sqrt{8})^2} = \frac{3+\sqrt{8}}{9-8} = 3+\sqrt{8}$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકો:
$(3+\sqrt{8}) + (3+\sqrt{8}) - (6+4\sqrt{2})$.
અહીં $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ હોવાથી,પદાવલિને આ રીતે લખી શકાય:
$(3+2\sqrt{2}) + (3+2\sqrt{2}) - (6+4\sqrt{2})$.
$= 6 + 4\sqrt{2} - 6 - 4\sqrt{2} = 0$.

(C) આપેલ છે કે $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=83$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x-\frac{1}{x})^{2} = x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$.
કિંમત મૂકતા,$(x-\frac{1}{x})^{2} = 83-2 = 81$.
અહીં $x>1$ હોવાથી,$x-\frac{1}{x}$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x-\frac{1}{x} = \sqrt{81} = 9$.
હવે,નિત્યસમ $(x-\frac{1}{x})^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(x-\frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,$9^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(9)$.
$729 = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-27$.
તેથી,$x^{3}-\frac{1}{x^{3}} = 729+27 = 756$.