Simplification Questions in Gujarati

(A) $BODMAS$ ના નિયમ મુજબ,ભાગાકાર કરતા પહેલા 'of' (ગુણાકાર) ની ક્રિયા કરવી પડે.
સૌ પ્રથમ,'of' ભાગની ગણતરી કરો: $11 \text{ of } 13 = 11 \times 13 = 143$.
હવે,ભાગાકાર કરો: $1001 \div 143$.
$1001 \div 143 = 7$.
તેથી,સાચી કિંમત $7$ છે.

(C) $25 - 5[2 + 3\{2 - 2(5 - 3) + 5\} - 10] \div 4$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીશું.
સૌ પ્રથમ,સૌથી અંદરના કૌંસને ઉકેલો: $(5 - 3) = 2$.
ત્યારબાદ,પદાવલિ $25 - 5[2 + 3\{2 - 2(2) + 5\} - 10] \div 4$ બને છે.
આગળ,છગડિયા કૌંસને ઉકેલો: $\{2 - 4 + 5\} = \{3\}$.
હવે,પદાવલિ $25 - 5[2 + 3(3) - 10] \div 4$ છે.
ચોરસ કૌંસને ઉકેલો: $[2 + 9 - 10] = [1]$.
હવે,પદાવલિ $25 - 5(1) \div 4$ છે.
પહેલા ભાગાકાર કરો: $5 \div 4 = 1.25$.
અંતે,$25 - 1.25 = 23.75$.

(C) સમીકરણ $2 ? 6 - 12 \div 4 + 2 = 11$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ચાલો $?$ ની જગ્યાએ ગુણાકાર $(\times)$ ચિહ્ન મૂકીને તપાસીએ:
$2 \times 6 - 12 \div 4 + 2$
ઓપરેશનના ક્રમ મુજબ,પહેલા ભાગાકાર કરો:
$12 \div 4 = 3$
હવે સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$2 \times 6 - 3 + 2$
ત્યારબાદ,ગુણાકાર કરો:
$2 \times 6 = 12$
હવે સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$12 - 3 + 2$
છેલ્લે,સરવાળો અને બાદબાકી કરો:
$12 - 3 = 9$
$9 + 2 = 11$
પરિણામ $11$ મળે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $\times$ છે.

(D) $3640 \div 14 \times 16 + 340$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમ (કૌંસ,ભાગાકાર,ગુણાકાર,સરવાળો,બાદબાકી) ને અનુસરીએ છીએ.
પગલું $1$: ભાગાકાર કરો.
$3640 \div 14 = 260$
પગલું $2$: ગુણાકાર કરો.
$260 \times 16 = 4160$
પગલું $3$: સરવાળો કરો.
$4160 + 340 = 4500$
તેથી,સાચો જવાબ $4500$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(8 \div 88) \times 8888088$
સૌ પ્રથમ,ભાગાકારનું સાદું રૂપ આપો: $8 \div 88 = \frac{8}{88} = \frac{1}{11}$
હવે,પરિણામનો $8888088$ સાથે ગુણાકાર કરો: $\frac{1}{11} \times 8888088$
$= 8888088 \div 11$
$= 808008$

(C) $\frac{180 \times 15 - 12 \times 20}{140 \times 8 + 2 \times 55}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રિયાઓના ક્રમ $(BODMAS)$ ને અનુસરીએ છીએ.
પગલું $1$: અંશની ગણતરી કરો.
$180 \times 15 = 2700$
$12 \times 20 = 240$
$2700 - 240 = 2460$
પગલું $2$: છેદની ગણતરી કરો.
$140 \times 8 = 1120$
$2 \times 55 = 110$
$1120 + 110 = 1230$
પગલું $3$: અંશને છેદ વડે ભાગો.
$\frac{2460}{1230} = 2$

(A) $\frac{8-[5-(-3+2)]+2}{|5-3|-|5-8|+3}$ પદાવલિની કિંમત શોધવા માટે,આપણે ક્રિયાઓના ક્રમ $(BODMAS)$ ને અનુસરીએ છીએ.
પગલું $1$: અંશનું સાદું રૂપ આપો.
$8-[5-(-1)]+2 = 8-[5+1]+2 = 8-6+2 = 4$.
પગલું $2$: છેદનું સાદું રૂપ આપો.
$|5-3|-|5-8|+3 = |2|-|-3|+3 = 2-3+3 = 2$.
પગલું $3$: અંશને છેદ વડે ભાગો.
$\frac{4}{2} = 2$.

(A) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદ $2, 4, 7, 14, 28$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીશું.
$2, 4, 7, 14, 28$ નો લસાઅ $28$ છે.
હવે,દરેક અપૂર્ણાંકને $28$ છેદ સાથે ફરીથી લખતા:
$1 = \frac{28}{28}$
$\frac{1}{2} = \frac{14}{28}$
$\frac{1}{4} = \frac{7}{28}$
$\frac{1}{7} = \frac{4}{28}$
$\frac{1}{14} = \frac{2}{28}$
$\frac{1}{28} = \frac{1}{28}$
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{28+14+7+4+2+1}{28} = \frac{56}{28} = 2$.

(D) $1 \frac{3}{4} + 5 \frac{1}{3} + 3 \frac{2}{5}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પહેલા પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંકોને અલગ કરીએ છીએ:
$= (1 + 5 + 3) + \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \right)$
$= 9 + \left( \frac{3 \times 15 + 1 \times 20 + 2 \times 12}{60} \right)$
$= 9 + \left( \frac{45 + 20 + 24}{60} \right)$
$= 9 + \frac{89}{60}$
$= 9 + 1 \frac{29}{60}$
$= 10 \frac{29}{60}$

(D) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$2 \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$1 \frac{3}{4} = \frac{1 \times 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$\frac{1}{\left(\frac{7}{3}\right)} + \frac{1}{\left(\frac{7}{4}\right)} = \frac{3}{7} + \frac{4}{7}$
છેદ સમાન હોવાથી,અંશનો સરવાળો કરો:
$\frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{x} = 4$
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકો $\frac{1}{3}$ અને $\frac{1}{2}$ નો સરવાળો કરો:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{5}{6} + \frac{1}{x} = 4$
$\frac{1}{x}$ ને અલગ કરતા:
$\frac{1}{x} = 4 - \frac{5}{6}$
$4$ ને $6$ છેદવાળા અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$\frac{1}{x} = \frac{24}{6} - \frac{5}{6} = \frac{19}{6}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$x = \frac{6}{19}$

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{21}{24} \times 504$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રમશઃ ગુણાકાર કરીશું:
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{21}{24} \times 504$
$= (\frac{3 \times 4 \times 5 \times 21}{5 \times 7 \times 9 \times 24}) \times 504$
$= (\frac{3}{9} \times \frac{4}{24} \times \frac{5}{5} \times \frac{21}{7}) \times 504$
$= (\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} \times 1 \times 3) \times 504$
$= (\frac{1}{6}) \times 504$
$= 84$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{3}{8} \text{ of } 168 \times 15 \div 5 + x = 549 \div 9 + 235$
પગલું $1$: $BODMAS$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુ $(LHS)$ નું પદ ઉકેલો.
$\frac{3}{8} \times 168 \times (15 \div 5) + x = (3 \times 21) \times 3 + x = 63 \times 3 + x = 189 + x$
પગલું $2$: જમણી બાજુ $(RHS)$ નું પદ ઉકેલો.
$549 \div 9 + 235 = 61 + 235 = 296$
પગલું $3$: $x$ શોધવા માટે $LHS$ અને $RHS$ ને સરખાવો.
$189 + x = 296$
$x = 296 - 189$
$x = 107$

(D) પ્રથમ,અંશનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)$.
$= \frac{7}{10} - \frac{5}{12} = \frac{42-25}{60} = \frac{17}{60}$.
ત્યારબાદ,છેદનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{2}{5}-\frac{5}{9}+\frac{3}{5}-\frac{7}{18} = \left(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\right) - \left(\frac{5}{9}+\frac{7}{18}\right)$.
$= 1 - \left(\frac{10+7}{18}\right) = 1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$.
અંતે,અંશને છેદ વડે ભાગતા: $\frac{17/60}{1/18} = \frac{17}{60} \times 18 = \frac{17 \times 3}{10} = \frac{51}{10} = 5 \frac{1}{10}$.

(D) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંક $1 \frac{3}{16}$ ને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો: $1 \frac{3}{16} = \frac{16 \times 1 + 3}{16} = \frac{19}{16}$.
$\frac{19}{16}$ નો વ્યસ્ત $\frac{16}{19}$ થાય છે.
હવે,સંખ્યા અને તેના વ્યસ્ત વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
તફાવત $= \frac{19}{16} - \frac{16}{19}$.
છેદ સમાન કરવા માટે લસાઅ $16 \times 19 = 304$ લો:
તફાવત $= \frac{19 \times 19 - 16 \times 16}{304} = \frac{361 - 256}{304} = \frac{105}{304}$.
આમ,$\frac{105}{304}$ એ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ પણ નહીં' છે.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{7} \times x = 15$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2 \times 1 \times 3}{5 \times 4 \times 7} \times x = 15$.
$\frac{6}{140} \times x = 15$.
$\frac{3}{70} \times x = 15$.
$x = 15 \times \frac{70}{3} = 5 \times 70 = 350$.
આપણે તે સંખ્યાના અડધા શોધવાના છે,એટલે કે $\frac{x}{2}$.
$\frac{x}{2} = \frac{350}{2} = 175$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા $x * y = x^{2} + y^{2} - xy$ છે.
$9 * 11$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપેલ પદાવલિમાં $x = 9$ અને $y = 11$ મૂકો:
$9 * 11 = 9^{2} + 11^{2} - (9 \times 11)$
વર્ગ અને ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$9^{2} = 81$
$11^{2} = 121$
$9 \times 11 = 99$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$9 * 11 = 81 + 121 - 99$
સરવાળો અને બાદબાકી કરતા:
$81 + 121 = 202$
$202 - 99 = 103$
તેથી,$9 * 11$ ની કિંમત $103$ છે.

(A) આપેલ ક્રિયા $a * b = 2a - 3b + ab$ છે.
પ્રથમ,$3 * 5$ ની ગણતરી કરો:
$3 * 5 = (2 \times 3) - (3 \times 5) + (3 \times 5) = 6 - 15 + 15 = 6$.
ત્યારબાદ,$5 * 3$ ની ગણતરી કરો:
$5 * 3 = (2 \times 5) - (3 \times 3) + (5 \times 3) = 10 - 9 + 15 = 16$.
અંતે,બંને પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$3 * 5 + 5 * 3 = 6 + 16 = 22$.

(NONE) આપેલ પદાવલિ: $4 \frac{1}{2} \times 4 \frac{1}{3} - 8 \frac{1}{3} + 5 \frac{2}{3}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$= \frac{9}{2} \times \frac{13}{3} - \frac{25}{3} + \frac{17}{3}$
$BODMAS$ ના નિયમ મુજબ (પહેલા ગુણાકાર):
$= (\frac{9}{2} \times \frac{13}{3}) - \frac{25}{3} + \frac{17}{3}$
$= \frac{39}{2} - \frac{25}{3} + \frac{17}{3}$
સમાન છેદવાળા પદોને ભેગા કરતા:
$= \frac{39}{2} + (\frac{-25 + 17}{3})$
$= \frac{39}{2} + (\frac{-8}{3})$
$= \frac{39}{2} - \frac{8}{3}$
સામાન્ય છેદ $(6)$ મેળવતા:
$= \frac{39 \times 3}{6} - \frac{8 \times 2}{6}$
$= \frac{117}{6} - \frac{16}{6}$
$= \frac{101}{6}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$= 16 \frac{5}{6}$

(NONE) $\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \text{ of } \frac{1}{3}}-\frac{1}{9}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીએ છીએ.
પગલું $1$: અંશનું સાદું રૂપ આપો.
$\frac{1}{3} + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3+1}{9} = \frac{4}{9}$.
પગલું $2$: છેદનું સાદું રૂપ આપો.
$\frac{1}{3} + (\frac{1}{3} \text{ of } \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3+1}{9} = \frac{4}{9}$.
પગલું $3$: અંશને છેદ વડે ભાગો.
$\frac{4/9}{4/9} = 1$.
પગલું $4$: પરિણામમાંથી $\frac{1}{9}$ બાદ કરો.
$1 - \frac{1}{9} = \frac{9-1}{9} = \frac{8}{9}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{0.008 \times 0.01 \times 0.0072}{0.12 \times 0.0004}$
પગલું $1$: દશાંશ ચિહ્નોને દૂર કરીને સાદું રૂપ આપો.
$\frac{8 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 72 \times 10^{-4}}{12 \times 10^{-2} \times 4 \times 10^{-4}}$
પગલું $2$: $10$ ની સમાન ઘાતોને દૂર કરો.
$= \frac{8 \times 1 \times 72 \times 10^{-9}}{48 \times 10^{-6}}$
પગલું $3$: ભાગાકાર કરો.
$= \frac{576}{48} \times 10^{-9 - (-6)}$
$= 12 \times 10^{-3}$
$= 0.012$

(D) $11.6 + 9.28 + 0.464 - 0.2828 + 0.07$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રમશઃ સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ છીએ.
પ્રથમ,ધન પદોનો સરવાળો કરો: $11.6 + 9.28 + 0.464 + 0.07 = 21.414$.
ત્યારબાદ,ઋણ પદની બાદબાકી કરો: $21.414 - 0.2828 = 21.1312$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $27.56$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$.
પદ $\frac{2y - x}{2y + x}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદને $y$ વડે ભાગતા:
$\frac{2y - x}{2y + x} = \frac{2 - (x/y)}{2 + (x/y)}$.
હવે $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ મુકતા:
$= \frac{2 - (4/5)}{2 + (4/5)} = \frac{(10/5 - 4/5)}{(10/5 + 4/5)} = \frac{6/5}{14/5} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
હવે,આ કિંમતને પ્રથમ પદમાં ઉમેરતા:
$\frac{4}{7} + \frac{3}{7} = \frac{7}{7} = 1$.

(D) આપેલ છે કે $x = \frac{a}{a-1}$ અને $y = \frac{1}{a-1}$.
આપણે $x$ ને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$x = \frac{a-1+1}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} + \frac{1}{a-1} = 1 + \frac{1}{a-1}$.
કારણ કે $y = \frac{1}{a-1}$ છે,તેથી $x$ ના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = 1 + y$.
આમ,$x$ એ $y$ કરતા $1$ જેટલું મોટું છે,તેથી $a$ ની તમામ કિંમતો માટે જ્યાં પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત છે $(a \neq 1)$,$x > y$ થશે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x + 7 = x^2 + P = 7x + 5$ છે.
સૌ પ્રથમ,$x$ વાળા બે પદોને સરખાવતા: $3x + 7 = 7x + 5$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $7x - 3x = 7 - 5$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x = 2$ થાય છે.
આમ,$x = 2/4 = 1/2$.
હવે,$x = 1/2$ ને પ્રથમ પદમાં મૂકતા: $3(1/2) + 7 = 1.5 + 7 = 8.5$ અથવા $17/2$.
કારણ કે $x^2 + P = 17/2$,આ સમીકરણમાં $x = 1/2$ મૂકતા:
$(1/2)^2 + P = 17/2$.
$1/4 + P = 17/2$.
$P = 17/2 - 1/4 = 34/4 - 1/4 = 33/4$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,$P = 8 \frac{1}{4}$ મળે છે.

(D) પદાવલિ $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2-\frac{1}{2}}}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે નીચેથી ઉપર તરફ સાદું રૂપ આપીશું.
પ્રથમ,સૌથી અંદરના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $2 - \frac{1}{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{3/2}}} = \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{2}{3}}}$.
ત્યારબાદ,છેદ $2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$ નું સાદું રૂપ આપતા.
આ કિંમતને ફરીથી મૂકતા: $\frac{1}{2+\frac{1}{8/3}} = \frac{1}{2+\frac{3}{8}}$.
છેલ્લે,છેદ $2 + \frac{3}{8} = \frac{16+3}{8} = \frac{19}{8}$ નું સાદું રૂપ આપતા.
આમ,પદાવલિની કિંમત $\frac{1}{19/8} = \frac{8}{19}$ થાય છે.

(D) સૌ પ્રથમ,સતત અપૂર્ણાંકના ભાગને સરળ બનાવો: $\frac{1}{3 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{13}{4}} = \frac{4}{13}$.
ત્યારબાદ,છેદમાં $1$ ઉમેરો: $1 + \frac{4}{13} = \frac{17}{13}$.
પછી,તેનો વ્યસ્ત લો: $\frac{1}{\frac{17}{13}} = \frac{13}{17}$.
અંતે,$x$ માટે ઉકેલો: $x = 2 - \frac{13}{17} = \frac{34 - 13}{17} = \frac{21}{17}$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$4x + 5y = 83$ ....$(1)$
$\frac{3x}{2y} = \frac{21}{22}$ ....$(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણે ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\frac{x}{y} = \frac{21}{22} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{11}$
તેથી,$x = \frac{7}{11}y$.
$x = \frac{7}{11}y$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$4(\frac{7}{11}y) + 5y = 83$
$\frac{28}{11}y + 5y = 83$
$(\frac{28 + 55}{11})y = 83$
$\frac{83}{11}y = 83$
$y = 11$
હવે,$x = \frac{7}{11}y$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ શોધો:
$x = \frac{7}{11} \times 11 = 7$
અંતે,$y - x$ ની કિંમત શોધો:
$y - x = 11 - 7 = 4$

(D) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y = 17$ ....$(1)$
$y + 2z = 15$ ....$(2)$
$x + y = 9$ ....$(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 17 - 9$
$x = 8$
$x = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$8 + y = 9$
$y = 1$
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$1 + 2z = 15$
$2z = 14$
$z = 7$
હવે,$4x + 3y + z$ ની કિંમત શોધો:
$= 4(8) + 3(1) + 7$
$= 32 + 3 + 7$
$= 42$

(A) આ પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે ગુણાકારના દરેક પદની ગણતરી કરીએ:
$\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$
$\left(1-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$
$\left(1-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$
આ જ રીતે આગળ વધતા,છેલ્લું પદ $\left(1-\frac{1}{n}\right) = \frac{n-1}{n}$ મળે છે.
હવે,આ તમામ પદોનો ગુણાકાર કરીએ:
$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{n-1}{n}$
અહીં જોઈ શકાય છે કે દરેક અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના પછીના અપૂર્ણાંકના છેદ સાથે ઉડી જાય છે:
$\frac{1}{{2}} \times \frac{{2}}{{3}} \times \frac{{3}}{{4}} \times \cdots \times \frac{{n-1}}{n} = \frac{1}{n}$
આમ,સાદું રૂપ આપતા મળતી કિંમત $\frac{1}{n}$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $999 \frac{995}{999} \times 999$ છે.
આને $(999 + \frac{995}{999}) \times 999$ તરીકે લખી શકાય છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(999 \times 999) + (\frac{995}{999} \times 999)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $999^2 + 995$ થાય છે.
આપણે $999$ ને $(1000 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ,તેથી પદાવલિ $(1000 - 1)^2 + 995$ બને છે.
નિત્યસમ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1000^2 - 2(1000)(1) + 1^2 + 995$ મળે છે.
$= 1000000 - 2000 + 1 + 995$.
$= 998000 + 996$.
$= 998996$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\sum_{n=1}^{9} \frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n+1)^{2}}$.
આ કિંમત શ્રેણીમાં મૂકતા:
$= (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}) + (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}) + (\frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}}) + \dots + (\frac{1}{9^{2}} - \frac{1}{10^{2}})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના તમામ પદો ઉડી જાય છે.
$= \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{10^{2}} = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.

(B) મેદાનની કુલ લંબાઈ $225 \ m$ છે.
સમાન અંતરે $26$ વૃક્ષો વાવવામાં આવ્યા છે.
દરેક છેડે એક વૃક્ષ હોવાથી,વૃક્ષો વચ્ચેના અંતરાલ (ગાળા) ની સંખ્યા $26 - 1 = 25$ થશે.
બે ક્રમિક વૃક્ષો વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે કુલ લંબાઈને અંતરાલની સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે.
અંતર $= \frac{225 \ m}{25} = 9 \ m$.

(C) ધારો કે અનાનસની સંખ્યા $x$ છે અને તરબૂચની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ છે કે એક અનાનસની કિંમત $Rs. 7$ અને એક તરબૂચની કિંમત $Rs. 5$ છે.
કુલ ખર્ચ $Rs. 38$ છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણ $7x + 5y = 38$ મળે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ અઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
જો $y = 1$ હોય,તો $7x = 38 - 5 = 33$ ($7$ વડે ભાગી શકાતું નથી).
જો $y = 2$ હોય,તો $7x = 38 - 10 = 28 \Rightarrow x = 4$.
જો $y = 3$ હોય,તો $7x = 38 - 15 = 23$ ($7$ વડે ભાગી શકાતું નથી).
આમ,એકમાત્ર પૂર્ણાંક ઉકેલ $x = 4$ અને $y = 2$ છે.
તેથી,ખરીદેલ તરબૂચની સંખ્યા $2$ છે.

(B) $1$ અંક ધરાવતા પાનાઓની સંખ્યા ($1$ થી $9$ સુધી) $= 9$ પાના. કુલ અંકો $= 9 \times 1 = 9$.
$2$ અંક ધરાવતા પાનાઓની સંખ્યા ($10$ થી $99$ સુધી) $= 90$ પાના. કુલ અંકો $= 90 \times 2 = 180$.
$3$ અંક ધરાવતા પાનાઓની સંખ્યા ($100$ થી $999$ સુધી) $= 900$ પાના. કુલ અંકો $= 900 \times 3 = 2700$.
પ્રથમ $999$ પાના માટે વપરાયેલા કુલ અંકો $= 9 + 180 + 2700 = 2889$.
બાકી રહેલા અંકો $= 3189 - 2889 = 300$.
બાકીના પાનાઓ $4$ અંકના હોવાથી,$4$ અંકના પાનાઓની સંખ્યા $= 300 / 4 = 75$.
પુસ્તકમાં કુલ પાનાની સંખ્યા $= 999 + 75 = 1074$.

(C) ધારો કે $C$ નો હિસ્સો $x$ છે.
તેથી,$B$ નો હિસ્સો $= \frac{1}{4}x$ થશે.
અને $A$ નો હિસ્સો $= \frac{2}{3} \times (B \text{ નો હિસ્સો}) = \frac{2}{3} \times \frac{x}{4} = \frac{x}{6}$ થશે.
કુલ રકમ $Rs. 1360$ આપેલ હોવાથી:
$x + \frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1360$.
$1, 4, 6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ લેતા:
$\frac{12x + 3x + 2x}{12} = 1360$.
$\frac{17x}{12} = 1360$.
$x = \frac{1360 \times 12}{17} = 80 \times 12 = 960$.
તેથી,$B$ નો હિસ્સો $= \frac{1}{4}x = \frac{960}{4} = Rs. 240$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{ab}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 469$ અને $b = 174$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(a+b)^{2} - (a-b)^{2} = 4ab$ થાય છે.
અંશમાં આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{4ab}{ab} = 4$.
તેથી,પદાવલિનું મૂલ્ય $4$ છે.

(A) ધારો કે કારનું કુલ ભાડું $x$ છે.
જ્યારે $8$ વ્યક્તિઓ ભાડું વહેંચે છે,ત્યારે દરેક વ્યક્તિનો હિસ્સો $\frac{x}{8}$ થાય છે.
જ્યારે એક વ્યક્તિ ખસી જાય છે,ત્યારે બાકી રહેલી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $8 - 1 = 7$ થાય છે.
હવે,$7$ વ્યક્તિઓમાંથી દરેકનો હિસ્સો $\frac{x}{7}$ થાય છે.
દરેક વ્યક્તિના હિસ્સામાં થયેલો વધારો $\frac{x}{7} - \frac{x}{8} = \frac{8x - 7x}{56} = \frac{x}{56}$ છે.
હિસ્સામાં કેટલો વધારો થયો તે શોધવા માટે,આપણે વધારાને મૂળ હિસ્સા વડે ભાગીએ છીએ:
$\text{વધારાનો અપૂર્ણાંક} = \frac{\frac{x}{56}}{\frac{x}{8}} = \frac{x}{56} \times \frac{8}{x} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$.

(B) ધારો કે સાચા જવાબોની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,ખોટા જવાબોની સંખ્યા $(60 - x)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ મેળવેલા ગુણ $130$ છે.
સમીકરણ: $4x + (60 - x)(-1) = 130$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $4x - 60 + x = 130$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $5x - 60 = 130$.
બંને બાજુ $60$ ઉમેરતા: $5x = 190$.
$5$ વડે ભાગતા: $x = 38$.
આમ,વિદ્યાર્થીએ $38$ પ્રશ્નોના જવાબ સાચા આપ્યા છે.

(D) ધારો કે મરઘીઓની સંખ્યા $x$ છે અને ગાયોની સંખ્યા $y$ છે.
દરેક પ્રાણીને એક માથું હોવાથી,આપણી પાસે છે: $x + y = 48$ (સમીકરણ $1$).
મરઘીને $2$ પગ અને ગાયને $4$ પગ હોવાથી,આપણી પાસે છે: $2x + 4y = 140$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$y = 48 - x$.
આ કિંમતને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2x + 4(48 - x) = 140$.
$2x + 192 - 4x = 140$.
$-2x = 140 - 192$.
$-2x = -52$.
$x = 26$.
તેથી,મરઘીઓની સંખ્યા $26$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{3}{10} \div \frac{3}{7} \text{ of } \left(\frac{23}{10} + \frac{13}{5}\right) + \frac{1}{5} \div \frac{7}{5} - \frac{2}{7}$
સૌ પ્રથમ,કૌંસ ઉકેલો: $\frac{23}{10} + \frac{26}{10} = \frac{49}{10}$
હવે,પદાવલિ આ મુજબ છે: $\frac{3}{10} \div \left(\frac{3}{7} \times \frac{49}{10}\right) + \left(\frac{1}{5} \times \frac{5}{7}\right) - \frac{2}{7}$
$= \frac{3}{10} \div \frac{21}{10} + \frac{1}{7} - \frac{2}{7}$
$= \left(\frac{3}{10} \times \frac{10}{21}\right) + \left(\frac{1-2}{7}\right)$
$= \frac{1}{7} - \frac{1}{7} = 0$

(A) $1+1 \div\left\{1+1 \div\left(1-\frac{1}{3}\right)\right\}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,સૌથી અંદરના કૌંસને ઉકેલો: $(1-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
પદાવલિ $1+1 \div\left\{1+1 \div \frac{2}{3}\right\}$ બને છે.
ત્યારબાદ,છગડિયા કૌંસની અંદરનો ભાગાકાર કરો: $1 \div \frac{2}{3} = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
પદાવલિ $1+1 \div\left\{1+\frac{3}{2}\right\}$ બને છે.
છગડિયા કૌંસનું સાદું રૂપ આપો: $1+\frac{3}{2} = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$.
પદાવલિ $1+1 \div \frac{5}{2}$ બને છે.
અંતે,ભાગાકાર કરો: $1+1 \times \frac{2}{5} = 1+\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $48 \div 12 \times \left( \frac{9}{8} \text{ of } \frac{4}{3} + \frac{3}{4} \text{ of } \frac{2}{3} \right)$
$BODMAS$ ના નિયમ મુજબ,પહેલા કૌંસમાં રહેલા 'of' (ગુણાકાર) ના પદો ઉકેલો:
$= 48 \div 12 \times \left( \left( \frac{9}{8} \times \frac{4}{3} \right) + \left( \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \right) \right)$
$= 48 \div 12 \times \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \right)$
$= 48 \div 12 \times \left( \frac{4}{2} \right)$
$= 48 \div 12 \times 2$
હવે,ભાગાકાર અને ત્યારબાદ ગુણાકાર કરો:
$= 4 \times 2 = 8$

(C) પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમ (કૌંસ,ભાગાકાર,ગુણાકાર,સરવાળો,બાદબાકી) નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $2 \div [2 + 2 \div \{2 + 2 \div (2 + 2 \div 3)\}]$
પગલું $1$: સૌથી અંદરના કૌંસને ઉકેલો $(2 + 2 \div 3) = (2 + \frac{2}{3}) = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$.
પગલું $2$: કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $2 \div [2 + 2 \div \{2 + 2 \div \frac{8}{3}\}]$.
પગલું $3$: છગડિયા કૌંસને ઉકેલો: $2 + 2 \div \frac{8}{3} = 2 + 2 \times \frac{3}{8} = 2 + \frac{3}{4} = \frac{8+3}{4} = \frac{11}{4}$.
પગલું $4$: કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $2 \div [2 + 2 \div \frac{11}{4}]$.
પગલું $5$: ચોરસ કૌંસને ઉકેલો: $2 + 2 \div \frac{11}{4} = 2 + 2 \times \frac{4}{11} = 2 + \frac{8}{11} = \frac{22+8}{11} = \frac{30}{11}$.
પગલું $6$: અંતિમ ભાગાકાર: $2 \div \frac{30}{11} = 2 \times \frac{11}{30} = \frac{11}{15}$.

(B) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
સૌ પ્રથમ,સૌથી અંદરના કૌંસનું સાદુંરૂપ આપો: $(1 \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = (\frac{3}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{6})$.
છેદ સમાન કરતા $(6)$: $(\frac{9}{6} - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}) = \frac{6}{6} = 1$.
હવે સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{15}{2} - [\frac{9}{4} \div \{\frac{5}{4} - x(1)\}] = 3$.
$\frac{15}{2} - 3 = \frac{9/4}{5/4 - x}$.
$\frac{9}{2} = \frac{9/4}{(5-4x)/4}$.
$\frac{9}{2} = \frac{9}{5-4x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા અથવા અંશની સરખામણી કરતા,આપણને $5 - 4x = 2$ મળે છે.
$4x = 3$,તેથી $x = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 0.8$ અને $b = 0.5$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
તેથી,$\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$0.8 - 0.5 = 0.3$.

(B) પદાવલિ $\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left\{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{7}{8}-\frac{3}{4}\right)\right\}\right]$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીએ છીએ.
પગલું $1$: સૌથી અંદરના કૌંસને ઉકેલો: $\left(\frac{7}{8}-\frac{3}{4}\right) = \left(\frac{7-6}{8}\right) = \frac{1}{8}$.
પગલું $2$: છગડિયા કૌંસને ઉકેલો: $\left\{\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{8}\right\} = \left\{\frac{3}{4}-\frac{1}{16}\right\} = \left\{\frac{12-1}{16}\right\} = \frac{11}{16}$.
પગલું $3$: ચોરસ કૌંસને ઉકેલો: $\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{11}{16}\right] = \left[\frac{1}{2}+\frac{11}{32}\right] = \left[\frac{16+11}{32}\right] = \frac{27}{32}$.

(NONE) આપેલ પદાવલિ $1-[2-\{5-(4-3-2)\}]$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ક્રિયાઓના ક્રમ $(BODMAS)$ ને અનુસરીશું.
સૌ પ્રથમ,સૌથી અંદરના ભાગને (રેખા કૌંસ) ઉકેલો:
$4-3-2 = 4-(3+2) = 4-5 = -1$.
હવે આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$1-[2-\{5-(-1)\}]$
$= 1-[2-\{5+1\}]$
$= 1-[2-6]$
$= 1-[-4]$
$= 1+4 = 5$.

(C) આપેલ પદાવલિ $3 \div \left[ (8 - 5) \div \left\{ (4 - 2) \div \left( 2 + \frac{8}{13} \right) \right\} \right]$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીશું.
પગલું $1$: સૌથી અંદરના કૌંસને ઉકેલો: $(2 + \frac{8}{13}) = \frac{26 + 8}{13} = \frac{34}{13}$.
પગલું $2$: પછીના કૌંસને ઉકેલો: $(4 - 2) \div \frac{34}{13} = 2 \times \frac{13}{34} = \frac{13}{17}$.
પગલું $3$: ચોરસ કૌંસને ઉકેલો: $(8 - 5) \div \frac{13}{17} = 3 \div \frac{13}{17} = 3 \times \frac{17}{13} = \frac{51}{13}$.
પગલું $4$: અંતિમ ભાગાકાર: $3 \div \frac{51}{13} = 3 \times \frac{13}{51} = \frac{13}{17}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{a^2 - b^2}{a - b}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 69842$ અને $b = 30158$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b$
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$69842 + 30158 = 100000$
તેથી,પરિણામ $100000$ છે.