मान लीजिए p, q, r in mathbb{R} और r p 0. | vedclass

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Question

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ है,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{R}$ और $r > p > 0.$चूँकि मूल $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,वे

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(C) दिया गया द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ है,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{R}$ और $r > p > 0.$चूँकि मूल $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,वे एक-दूसरे के संयुग्मी (conjugate) होंगे,अर्थात $\beta = \bar{\alpha}.$इसका अर्थ है कि $|\beta| = |\bar{\alpha}| = |\alpha|.$द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ होता है।चूँकि $\beta = \bar{\alpha},$ इसलिए $\alpha \bar{\alpha} = |\alpha|^2 = \frac{r}{p}.$दिया गया है कि $r > p > 0,$ इसलिए $\frac{r}{p} > 1.$अतः,$|\alpha|^2 > 1,$ जिसका अर्थ है कि $|\alpha| > 1.$अब,$|\alpha| + |\beta| = |\alpha| + |\alpha| = 2|\alpha|.$चूँकि $|\alpha| > 1,$ इसलिए $2|\alpha| > 2.$अतः,$|\alpha| + |\beta| > 2$ होगा।

मान लीजिए $p, q, r \in \mathbb{R}$ और $r > p > 0.$ यदि द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के दो सम्मिश्र मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $|\alpha| + |\beta|$ क्या है?

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