Textbook - Statistics and Probability Questions in Gujarati

(N/A) આપણા રોજિંદા જીવનમાં,આપણે નીચે મુજબની માહિતી (ડેટા) એકત્રિત કરી શકીએ છીએ:
$1.$ આપણા દેશના વિવિધ રાજ્યોમાં દર $1000$ પુરુષો દીઠ સ્ત્રીઓની સંખ્યા.
$2.$ આપણા વર્ગના વિદ્યાર્થીઓનું વજન.
$3.$ આપણા દેશમાં છેલ્લા $10$ વર્ષમાં ઘઉંનું ઉત્પાદન.
$4.$ આપણા વિસ્તારમાં રહેલા છોડની સંખ્યા.
$5.$ છેલ્લા $10$ વર્ષમાં આપણા શહેરમાં થયેલો વરસાદ.

(N/A) જે માહિતી તપાસકર્તા દ્વારા ચોક્કસ ઉદ્દેશ્ય સાથે જાતે એકત્રિત કરવામાં આવે છે તેને પ્રાથમિક ડેટા કહેવામાં આવે છે. જ્યારે માહિતી એવા સ્ત્રોતમાંથી મેળવવામાં આવે છે જ્યાં માહિતી પહેલેથી જ સંગ્રહિત હોય,ત્યારે તેને ગૌણ ડેટા કહેવામાં આવે છે.
$1.$ દર $1000$ પુરુષો દીઠ સ્ત્રીઓની સંખ્યા: ગૌણ ડેટા (સરકારી રેકોર્ડમાંથી એકત્રિત).
$2.$ આપણા વર્ગના વિદ્યાર્થીઓનું વજન: પ્રાથમિક ડેટા (સીધા માપન દ્વારા એકત્રિત).
$3.$ છેલ્લા $10$ વર્ષમાં ઘઉંનું ઉત્પાદન: ગૌણ ડેટા (કૃષિ અહેવાલોમાંથી એકત્રિત).
$4.$ આપણા વિસ્તારમાં છોડની સંખ્યા: પ્રાથમિક ડેટા (સીધા અવલોકન દ્વારા એકત્રિત).
$5.$ છેલ્લા $10$ વર્ષમાં આપણા શહેરમાં થયેલો વરસાદ: ગૌણ ડેટા (હવામાન વિભાગના રેકોર્ડમાંથી એકત્રિત).
આમ,$1, 3,$ અને $5$ ગૌણ ડેટા છે,જ્યારે $2$ અને $4$ પ્રાથમિક ડેટા છે.

(N/A) આ સ્વરૂપમાં રહેલી માહિતીને કાચી માહિતી (raw data) કહેવામાં આવે છે.
આ સ્વરૂપમાં તેને જોઈને,શું તમે સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછા ગુણ શોધી શકો છો?
શું તમને મહત્તમ અને ન્યૂનતમ સ્કોર શોધવામાં થોડો સમય લાગ્યો? જો આ સ્કોર્સને ચડતા કે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે તો તે ઓછો સમય લેશે. તેથી,ચાલો ગુણને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ:
$25, 36, 42, 55, 60, 62, 73, 75, 78, 95$
હવે,આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સૌથી ઓછા ગુણ $25$ છે અને સૌથી વધુ ગુણ $95$ છે.
માહિતીમાં સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછા મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતને માહિતીનો વિસ્તાર (range) કહેવામાં આવે છે. તેથી,આ કિસ્સામાં વિસ્તાર $95 - 25 = 70$ છે.
માહિતીને ચડતા કે ઉતરતા ક્રમમાં રજૂ કરવી એ ખૂબ જ સમય માંગી લે તેવી પ્રક્રિયા હોઈ શકે છે,ખાસ કરીને જ્યારે પ્રયોગમાં અવલોકનોની સંખ્યા મોટી હોય.

(N/A) યાદ રાખો કે જે વિદ્યાર્થીઓએ ચોક્કસ ગુણ મેળવ્યા હોય તેમની સંખ્યાને તે ગુણની આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$4$ વિદ્યાર્થીઓએ $70$ ગુણ મેળવ્યા છે. તેથી $70$ ગુણની આવૃત્તિ $4$ છે. માહિતીને વધુ સરળતાથી સમજવા માટે,આપણે તેને નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં લખીએ છીએ:

ગુણ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (એટલે કે,આવૃત્તિ)
$10$	$1$
$20$	$1$
$36$	$3$
$40$	$4$
$50$	$3$
$56$	$2$
$60$	$4$
$70$	$4$
$72$	$1$
$80$	$1$
$88$	$2$
$92$	$3$
$95$	$1$
< strong>કુલ	$30$

આ કોષ્ટકને અવર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક અથવા ફક્ત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક કહેવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે આવા કોષ્ટકો તૈયાર કરતી વખતે તમે આવૃત્તિ ચિહ્નો (tally marks) નો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

(N/A) આટલી મોટી માહિતીને રજૂ કરવા માટે જેથી વાચક તેને સરળતાથી સમજી શકે,આપણે તેને $20-29, 30-39, . . ., 90-99$ જેવા જૂથોમાં સંક્ષિપ્ત કરીએ છીએ (કારણ કે આપણો ડેટા $23$ થી $98$ ની વચ્ચે છે). આ જૂથોને 'વર્ગ' અથવા 'વર્ગ-અંતરાલ' કહેવામાં આવે છે,અને તેમની માપને વર્ગ-લંબાઈ કહેવામાં આવે છે,જે આ કિસ્સામાં $10$ છે. આ દરેક વર્ગમાં,સૌથી નાની સંખ્યાને 'અધઃસીમા' અને સૌથી મોટી સંખ્યાને 'ઉર્ધ્વસીમા' કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$20-29$ માં,$20$ એ અધઃસીમા છે અને $29$ એ ઉર્ધ્વસીમા છે.
ટેલી માર્કસનો ઉપયોગ કરીને,ઉપરના ડેટાને નીચે મુજબ વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં સંક્ષિપ્ત કરી શકાય છે:

જીવિત રહેલા છોડની સંખ્યા	શાળાઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$20-29$	$3$
$30-39$	$14$
$40-49$	$12$
$50-59$	$8$
$60-69$	$18$
$70-79$	$10$
$80-89$	$23$
$90-99$	$12$
કુલ	$100$

આ સ્વરૂપમાં ડેટા રજૂ કરવાથી તે સરળ અને સંક્ષિપ્ત બને છે,જેનાથી આપણે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ એક નજરમાં જોઈ શકીએ છીએ. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $50\%$ કે તેથી વધુ છોડ $8 + 18 + 10 + 23 + 12 = 71$ શાળાઓમાં જીવિત રહ્યા હતા.

(N/A) $35.5\, kg$ અને $40.5\, kg$ જેવા વજનને સમાવવા માટે,આપણે અસતત વર્ગ અંતરાલોને સતત વર્ગ અંતરાલોમાં રૂપાંતરિત કરવા પડશે.
$1$. એક વર્ગની ઉપલી સીમા અને પછીના વર્ગની નીચલી સીમા વચ્ચેનો તફાવત શોધો (દા.ત.,$36 - 35 = 1$).
$2$. આ તફાવતને $2$ વડે ભાગીને એડજસ્ટમેન્ટ ફેક્ટર મેળવો $(1 / 2 = 0.5)$.
$3$. વર્ગોને સતત બનાવવા માટે દરેક નીચલી સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરો અને દરેક ઉપલી સીમામાં $0.5$ ઉમેરો.
નવા સતત અંતરાલો છે: $30.5-35.5, 35.5-40.5, 40.5-45.5, 45.5-50.5, 50.5-55.5, 55.5-60.5, 60.5-65.5, 65.5-70.5, 70.5-75.5$.
પરંપરા મુજબ,ઉપલી સીમાનું મૂલ્ય પછીના વર્ગ અંતરાલમાં ગણવામાં આવે છે. તેથી,$35.5$ ને $35.5-40.5$ માં અને $40.5$ ને $40.5-45.5$ માં સમાવવામાં આવે છે.
અપડેટ કરેલ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

વજન ($kg$ માં)	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
$30.5-35.5$	$9$
$35.5-40.5$	$6$
$40.5-45.5$	$15$
$45.5-50.5$	$3$
$50.5-55.5$	$1$
$55.5-60.5$	$2$
$60.5-65.5$	$2$
$65.5-70.5$	$1$
$70.5-75.5$	$1$
કુલ	$40$

(N/A) આપેલ માહિતીમાં દરેક રુધિરજૂથની સંખ્યા ગણતા,આપણને મળે છે:
- રુધિરજૂથ $A$: $9$ વિદ્યાર્થીઓ
- રુધિરજૂથ $B$: $6$ વિદ્યાર્થીઓ
- રુધિરજૂથ $AB$: $3$ વિદ્યાર્થીઓ
- રુધિરજૂથ $O$: $12$ વિદ્યાર્થીઓ
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $9 + 6 + 3 + 12 = 30$.
આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

રુધિરજૂથ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
$A$	$9$
$B$	$6$
$AB$	$3$
$O$	$12$
કુલ	$30$

કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સૌથી સામાન્ય રુધિરજૂથ $O$ ($12$ વિદ્યાર્થીઓ સાથે) છે અને સૌથી દુર્લભ રુધિરજૂથ $AB$ ($3$ વિદ્યાર્થીઓ સાથે) છે.

(N/A) $5$ ની વર્ગ લંબાઈ ધરાવતું વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક તૈયાર કરવા માટે,આપણે અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીશું: $0-5, 5-10, 10-15, 15-20, 20-25, 25-30, 30-35$.

અંતર ($km$ માં)	એન્જિનિયરોની સંખ્યા
$0-5$	$5$
$5-10$	$11$
$10-15$	$11$
$15-20$	$9$
$20-25$	$1$
$25-30$	$1$
$30-35$	$2$
કુલ	$40$

અવલોકનો:
$1$. મોટાભાગના એન્જિનિયરો (એટલે કે $5+11+11+9 = 36$ એન્જિનિયરો) તેમના કાર્યસ્થળથી $20\, km$ ના અંતરની અંદર રહે છે.
$2$. ખૂબ ઓછા એન્જિનિયરો (એટલે કે $1+1+2 = 4$ એન્જિનિયરો) તેમના કાર્યસ્થળથી $20\, km$ કે તેથી વધુ અંતરે રહે છે.

(N/A) $(i)$ $2$ ના વર્ગમાપ સાથેનું વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક તૈયાર કરવાનું છે. વર્ગ અંતરાલ $84-86, 86-88, 88-90, \dots$ થશે.
આપેલ માહિતીનું અવલોકન કરતા,આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

સાપેક્ષ આદ્રતા (ટકામાં)	દિવસોની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$84-86$	$1$
$86-88$	$1$
$88-90$	$2$
$90-92$	$2$
$92-94$	$7$
$94-96$	$6$
$96-98$	$7$
$98-100$	$4$
કુલ	$30$

$(ii)$ અવલોકન કરી શકાય છે કે સાપેક્ષ આદ્રતા વધુ છે. તેથી,આ માહિતી ચોમાસાની ઋતુના મહિનાની છે.
$(iii)$ માહિતીનો વિસ્તાર = મહત્તમ મૂલ્ય $-$ ન્યૂનતમ મૂલ્ય = $99.2 - 84.9 = 14.3$.

(N/A) $(i)$ $150$ થી શરૂ કરીને $5$ ના વર્ગ અંતરાલ લઈને એક વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવામાં આવ્યું છે. આપેલી માહિતીની ગણતરી કરતા,આપણને નીચે મુજબનું આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક મળે છે:

ઊંચાઈ (સેમી માં)	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$150-155$	$12$
$155-160$	$9$
$160-165$	$14$
$165-170$	$10$
$170-175$	$5$
કુલ	$50$

$(ii)$ કોષ્ટક પરથી તારણ કાઢી શકાય છે કે $35$ વિદ્યાર્થીઓ (એટલે કે $12+9+14 = 35$) ની ઊંચાઈ $165\, cm$ કરતા ઓછી છે. તેથી,$70\%$ વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ $165\, cm$ કરતા ઓછી છે.

(8) વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલમાં આવતા અવલોકનોની સંખ્યા ગણીએ છીએ. નોંધો કે દરેક વર્ગની ઉપલી સીમા તે વર્ગમાં ગણવામાં આવતી નથી.

$SO_2$ ની સાંદ્રતા ($ppm$ માં)	દિવસોની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$0.00 - 0.04$	$4$
$0.04 - 0.08$	$9$
$0.08 - 0.12$	$9$
$0.12 - 0.16$	$2$
$0.16 - 0.20$	$4$
$0.20 - 0.24$	$2$
કુલ	$30$

$(ii)$ જે દિવસો માટે $SO_2$ ની સાંદ્રતા $0.11$ $ppm$ કરતા વધારે છે,તે દિવસોની સંખ્યા એ $0.12 - 0.16, 0.16 - 0.20$ અને $0.20 - 0.24$ અંતરાલોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
જરૂરી દિવસોની સંખ્યા $= 2 + 4 + 2 = 8$.
તેથી,$8$ દિવસ માટે $SO_2$ ની સાંદ્રતા $0.11$ $ppm$ કરતા વધારે હતી.

(N/A) આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક તૈયાર કરવા માટે,આપણે આપેલ માહિતીમાં દરેક પરિણામ (છાપની સંખ્યા) કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીએ છીએ.
$1$. $0$ છાપની સંખ્યા: $6$ વખત.
$2$. $1$ છાપની સંખ્યા: $10$ વખત.
$3$. $2$ છાપની સંખ્યા: $9$ વખત.
$4$. $3$ છાપની સંખ્યા: $5$ વખત.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $6 + 10 + 9 + 5 = 30$.

છાપની સંખ્યા	આવૃત્તિ
$0$	$6$
$1$	$10$
$2$	$9$
$3$	$5$
કુલ	$30$

(N/A) $(i)$ દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોનું અવલોકન કરતા,આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ બનાવી શકાય:

અંક	આવૃત્તિ
$0$	$2$
$1$	$5$
$2$	$5$
$3$	$8$
$4$	$4$
$5$	$5$
$6$	$4$
$7$	$4$
$8$	$5$
$9$	$8$
કુલ	$50$

$(ii)$ ઉપરના કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે સૌથી ઓછી આવૃત્તિ $2$ છે (અંક $0$ માટે),અને સૌથી વધુ આવૃત્તિ $8$ છે (અંક $3$ અને $9$ માટે). તેથી,સૌથી વધુ વખત આવતા અંકો $3$ અને $9$ છે અને સૌથી ઓછી વખત આવતો અંક $0$ છે.

(N/A) $(i)$ $5$ ની વર્ગ લંબાઈ ધરાવતા વર્ગ અંતરાલો $0-5, 5-10, 10-15, 15-20$ છે.
વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

કલાક	બાળકોની સંખ્યા
$0-5$	$10$
$5-10$	$13$
$10-15$	$5$
$15-20$	$2$
કુલ	$30$

$(ii)$ જે બાળકોએ અઠવાડિયામાં $15$ કે તેથી વધુ કલાક $TV$ જોયું હોય તેમની સંખ્યા વર્ગ અંતરાલ $15-20$ માં સમાવિષ્ટ છે. કોષ્ટક મુજબ,આ સંખ્યા $2$ છે.

(N/A) $0.5$ ના વર્ગ અંતરાલ સાથે વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે $2 - 2.5$ અંતરાલથી શરૂઆત કરીશું.
વર્ગ અંતરાલ $2 - 2.5, 2.5 - 3.0, 3.0 - 3.5, 3.5 - 4.0, 4.0 - 4.5, 4.5 - 5.0$ થશે.
આપેલ માહિતીને ગણતા,આપણને નીચે મુજબનું આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક મળે છે:

બેટરીનું આયુષ્ય (વર્ષમાં)	બેટરીની સંખ્યા
$2.0 - 2.5$	$2$
$2.5 - 3.0$	$6$
$3.0 - 3.5$	$14$
$3.5 - 4.0$	$11$
$4.0 - 4.5$	$4$
$4.5 - 5.0$	$3$
કુલ	$40$

(N/A) અહીં ચલ એ 'જન્મનો મહિનો' છે અને ચલનું મૂલ્ય એ 'જન્મ લેનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા' છે.
$(i)$ સ્તંભ આલેખનું અવલોકન કરતા,નવેમ્બર મહિનાને અનુરૂપ સ્તંભની ઊંચાઈ $4$ છે. આમ,નવેમ્બર મહિનામાં $4$ વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ થયો હતો.
$(ii)$ સ્તંભ આલેખનું અવલોકન કરતા,સૌથી ઊંચો સ્તંભ ઓગસ્ટ મહિનાનો છે,જેની ઊંચાઈ $6$ છે. આમ,ઓગસ્ટ મહિનામાં સૌથી વધુ વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ થયો હતો.

(N/A) આ માહિતી માટે આપણે નીચેના પગલાંઓ દ્વારા લંબ આલેખ દોરીએ છીએ. નોંધો કે બીજા સ્તંભમાં એકમ હજાર રૂપિયામાં છે. તેથી,'કરિયાણું' સામે '$4$' નો અર્થ $4000$ રૂપિયા થાય છે.
$1.$ આપણે આડી ધરી (x-axis) પર બાબતો (ચલ) દર્શાવીએ છીએ,કોઈપણ માપક્રમ પસંદ કરીને,કારણ કે સ્તંભની પહોળાઈ મહત્વની નથી. સ્પષ્ટતા માટે,આપણે બધા સ્તંભો માટે સમાન પહોળાઈ લઈએ છીએ અને તેમની વચ્ચે સમાન અંતર રાખીએ છીએ.
$2.$ આપણે ઊભી ધરી (y-axis) પર ખર્ચ (મૂલ્ય) દર્શાવીએ છીએ. મહત્તમ ખર્ચ $5000$ હોવાથી,આપણે માપક્રમ $1$ એકમ = $1000$ રૂપિયા પસંદ કરી શકીએ છીએ.
$3.$ આપણી પ્રથમ બાબત,એટલે કે કરિયાણું,દર્શાવવા માટે,આપણે $1$ એકમ પહોળાઈ અને $4$ એકમ ઊંચાઈ ધરાવતો લંબચોરસ સ્તંભ દોરીએ છીએ.
$4.$ તેવી જ રીતે,અન્ય બાબતોને દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં બે ક્રમિક સ્તંભો વચ્ચે $1$ એકમનું અંતર રાખવામાં આવે છે.
અહીં,તમે એક નજરમાં ડેટાની સાપેક્ષ લાક્ષણિકતાઓને સરળતાથી જોઈ શકો છો,દા.ત.,શિક્ષણ પરનો ખર્ચ તબીબી ખર્ચ કરતા બમણા કરતા પણ વધારે છે. તેથી,કેટલીક રીતે,તે કોષ્ટક સ્વરૂપ કરતા ડેટાનું વધુ સારું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(N/A) ના,આ આલેખ આપણને ગેરમાર્ગે દોરતું ચિત્ર આપે છે. સ્તંભાલેખમાં,લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે. આ સ્થિતિ ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે તમામ વર્ગ અંતરાલોની પહોળાઈ સમાન હોય. જો કે,આ કિસ્સામાં,લંબચોરસની પહોળાઈ બદલાતી રહે છે,તેથી સ્તંભાલેખ સાચું પ્રતિનિધિત્વ આપતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે,તે $60-70$ ના અંતરાલ કરતા $70-100$ ના અંતરાલમાં વધુ આવૃત્તિ દર્શાવે છે,જે ખોટું છે.
આને સુધારવા માટે,આપણે લંબચોરસની લંબાઈમાં ફેરફાર કરવો પડશે જેથી તેમના ક્ષેત્રફળ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં થઈ જાય. અનુસરવાના પગલાં નીચે મુજબ છે:
$1$. લઘુત્તમ વર્ગ કદ પસંદ કરો,જે આ કિસ્સામાં $10$ છે.
$2$. લંબચોરસની લંબાઈને $10$ ના વર્ગ કદના પ્રમાણમાં સુધારો. $20$ ના વર્ગ કદ માટે,લંબાઈ $7$ છે. $10$ ના વર્ગ કદ માટે,લંબાઈ $\frac{7}{20} \times 10 = 3.5$ થશે.
આ પદ્ધતિને અનુસરીને,આપણને સુધારેલું કોષ્ટક મળે છે:

ગુણ	આવૃત્તિ	પહોળાઈ	લંબચોરસની લંબાઈ
$0-20$	$7$	$20$	$\frac{7}{20} \times 10 = 3.5$
$20-30$	$10$	$10$	$\frac{10}{10} \times 10 = 10$
$30-40$	$10$	$10$	$\frac{10}{10} \times 10 = 10$
$40-50$	$20$	$10$	$\frac{20}{10} \times 10 = 20$
$50-60$	$20$	$10$	$\frac{20}{10} \times 10 = 20$
$60-70$	$15$	$10$	$\frac{15}{10} \times 10 = 15$
$70-100$	$8$	$30$	$\frac{8}{30} \times 10 = 2.67$

આ લંબાઈઓ "પ્રતિ $10$ ગુણના અંતરાલ દીઠ વિદ્યાર્થીઓનું પ્રમાણ" દર્શાવે છે. આ મૂલ્યોને આલેખતા સાચો સ્તંભાલેખ મળે છે.

(N/A) આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સ્તંભાલેખ (histogram) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. લંબચોરસની ઉપરની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને અનુક્રમે $B, C, D, E, F, G, H, I, J, K$ તરીકે અંકિત કરીએ છીએ.
પ્રથમ વર્ગ $0-10$ હોવાથી,બહુકોણને બંધ કરવા માટે,આપણે આડી ધરીને ઋણ દિશામાં લંબાવીએ છીએ જેથી $0$ આવૃત્તિ ધરાવતો કાલ્પનિક વર્ગ $(-10) - 0$ મળે. આ અંતરાલના મધ્યબિંદુને શરૂઆતના બિંદુ તરીકે લઈએ છીએ. આ બિંદુથી રેખાખંડ પ્રથમ મધ્યબિંદુ $B$ સાથે જોડાય છે. તેવી જ રીતે,આપણે $0$ આવૃત્તિ ધરાવતો કાલ્પનિક વર્ગ $100-110$ લઈએ છીએ અને તેનું મધ્યબિંદુ $L$ અંકિત કરીએ છીએ. છેલ્લું મધ્યબિંદુ $K$ એ $L$ સાથે જોડાય છે.
પરિણામી આકૃતિ $OABCDEFGHIJKL$ એ માંગેલ આવૃત્તિ બહુકોણ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આવૃત્તિ બહુકોણ વર્ગ-ચિહ્નો (class-marks) નો ઉપયોગ કરીને દોરી શકાય છે. વર્ગ-ચિહ્ન નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{વર્ગ-ચિહ્ન} = \frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{અધઃ સીમા}}{2}$

(N/A) આપણે સ્તંભાલેખ દોર્યા વગર આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માંગતા હોવાથી,ચાલો ઉપર આપેલા વર્ગોના વર્ગ-ચિહ્નો શોધીએ,એટલે કે $140-150, 150-160, \dots$
$140-150$ માટે,ઉર્ધ્વ સીમા $= 150$ અને નિમ્ન સીમા $= 140$ છે.
તેથી,વર્ગ-ચિહ્ન $= \frac{150+140}{2} = \frac{290}{2} = 145$.
આ જ રીતે આગળ વધતા,આપણે અન્ય વર્ગોના વર્ગ-ચિહ્નો પણ શોધીએ છીએ.
મેળવેલ નવું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

વર્ગો	વર્ગ-ચિહ્નો	આવૃત્તિ
$140-150$	$145$	$5$
$150-160$	$155$	$10$
$160-170$	$165$	$20$
$170-180$	$175$	$9$
$180-190$	$185$	$6$
$190-200$	$195$	$2$

હવે આપણે આડી ધરી પર વર્ગ-ચિહ્નો અને ઊભી ધરી પર આવૃત્તિઓ લઈને આવૃત્તિ બહુકોણ દોરી શકીએ છીએ,અને ત્યારબાદ બિંદુઓ $B(145, 5), C(155, 10), D(165, 20), E(175, 9), F(185, 6)$ અને $G(195, 2)$ ને રેખાખંડો દ્વારા જોડી શકીએ છીએ.
આપણે સૌથી નીચા વર્ગ $140-150$ ની તરત પહેલાના વર્ગ $130-140$ ના વર્ગ-ચિહ્ન માટે શૂન્ય આવૃત્તિ વાળું બિંદુ $A(135, 0)$ અને $G(195, 2)$ ની તરત પછી આવતું બિંદુ $H(205, 0)$ દોરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.
આમ,પરિણામી આવૃત્તિ બહુકોણ $ABCDEFGH$ થશે.

(A) $(i)$ $x-$અક્ષ પર કારણો અને $y-$અક્ષ પર મહિલા મૃત્યુ દર દર્શાવીને અને યોગ્ય પ્રમાણમાપ ($y-$અક્ષ પર $1 \text{ એકમ} = 5\%$) પસંદ કરીને,સ્તંભ આલેખ દોરી શકાય છે。
$(ii)$ $\text{પ્રજનન સ્વાસ્થ્યની સ્થિતિ}$ એ વિશ્વભરમાં મહિલાઓની માંદગી અને મૃત્યુનું મુખ્ય કારણ છે,કારણ કે $31.8\%$ મહિલાઓ તેનાથી પ્રભાવિત છે。
$(iii)$ આ માટે જવાબદાર બે મુખ્ય પરિબળો નીચે મુજબ છે:
$1.$ $\text{ગુણવત્તાયુક્ત તબીબી સુવિધાઓનો અભાવ।}$
$2.$ $\text{સારવાર અને પ્રજનન સ્વાસ્થ્ય અંગે જાગૃતિ અને સાચી માહિતીનો અભાવ।}$

(N/A) $(i)$ $x$-અક્ષ પર વિભાગ (ચલ) અને $y$-અક્ષ પર દર હજાર છોકરાઓ દીઠ છોકરીઓની સંખ્યા દર્શાવીને,યોગ્ય માપદંડ ($y$-અક્ષ પર $1$ એકમ $= 100$ છોકરીઓ) પસંદ કરીને સ્તંભ આલેખ દોરી શકાય છે.
$(ii)$ આલેખ પરથી નીચે મુજબના તારણો કાઢી શકાય છે:
$1$. દર હજાર છોકરાઓ દીઠ છોકરીઓની મહત્તમ સંખ્યા $(970)$ અનુસૂચિત જનજાતિ $(ST)$ વિભાગમાં છે.
$2$. દર હજાર છોકરાઓ દીઠ છોકરીઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $(910)$ શહેરી વિસ્તારોમાં છે.
$3$. શહેરી વિસ્તારોની સરખામણીમાં ગ્રામીણ વિસ્તારોમાં દર હજાર છોકરાઓ દીઠ છોકરીઓની સંખ્યા વધુ છે.
$4$. બિન-પછાત જિલ્લાઓની સરખામણીમાં પછાત જિલ્લાઓમાં દર હજાર છોકરાઓ દીઠ છોકરીઓની સંખ્યા વધુ છે.
$5$. બિન-$SC/ST$ વિભાગની સરખામણીમાં $SC$ અને $ST$ વિભાગમાં દર હજાર છોકરાઓ દીઠ છોકરીઓની સંખ્યા વધુ છે.

(A) $(i)$ $x$-અક્ષ પર રાજકીય પક્ષો અને $y$-અક્ષ પર જીતેલી બેઠકો લઈને અને યોગ્ય પ્રમાણમાપ ($y$-અક્ષ પર $1$ એકમ = $10$ બેઠકો) પસંદ કરીને,જરૂરી લંબ આલેખ નીચે મુજબ દોરી શકાય છે.
અહીં,લંબચોરસ સ્તંભો સમાન પહોળાઈના છે અને તેમની વચ્ચે સમાન અંતર રાખવામાં આવ્યું છે.
$(ii)$ રાજકીય પક્ષ '$A$' એ સૌથી વધુ બેઠકો ($75$ બેઠકો) જીતી છે.

(N/A) $(i)$ અહીં જોઈ શકાય છે કે પાંદડાઓની લંબાઈ અસતત વર્ગ અંતરાલમાં છે,જેમાં તેમની વચ્ચે $1$ નો તફાવત છે.
તેથી,વર્ગ અંતરાલોને સતત બનાવવા માટે દરેક ઉર્ધ્વ સીમામાં $0.5$ ઉમેરવા અને દરેક નિમ્ન સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરવા પડે.

લંબાઈ (mm માં)	પાંદડાઓની સંખ્યા
$117.5-126.5$	$3$
$126.5-135.5$	$5$
$135.5-144.5$	$9$
$144.5-153.5$	$12$
$153.5-162.5$	$5$
$162.5-171.5$	$4$
$171.5-180.5$	$2$

$x$-અક્ષ પર પાંદડાઓની લંબાઈ અને $y$-અક્ષ પર પાંદડાઓની સંખ્યા લઈને આલેખ દોરી શકાય છે.
$(ii)$ આ માહિતી માટે અન્ય યોગ્ય આલેખ 'આવૃત્તિ બહુકોણ' (frequency polygon) છે.
$(iii)$ ના,આ તારણ યોગ્ય નથી. મહત્તમ પાંદડાઓ $(12)$ ની લંબાઈ $144.5 \, mm$ થી $153.5 \, mm$ ની વચ્ચે છે. તેનો અર્થ એ નથી કે બધા પાંદડાઓની લંબાઈ $153 \, mm$ જ છે.

(N/A) $(i)$ $x$-અક્ષ પર નિયોન લેમ્પનું આયુષ્ય (કલાકમાં) અને $y$-અક્ષ પર લેમ્પની સંખ્યા લઈને,આપેલી માહિતીનો સ્તંભાલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દોરી શકાય છે.
અહીં,$y$-અક્ષ પર $1$ એકમ $10$ લેમ્પ દર્શાવે છે.
$(ii)$ જે નિયોન લેમ્પનું આયુષ્ય $700$ કલાકથી વધુ હોય તેવી સંખ્યા એ $700-800$,$800-900$ અને $900-1000$ ના અંતરાલમાં આવતા લેમ્પની સંખ્યાનો સરવાળો છે.
તેથી,$700$ કલાકથી વધુ આયુષ્ય ધરાવતા નિયોન લેમ્પની સંખ્યા $74 + 62 + 48 = 184$ છે.

(N/A) આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપેલા વર્ગ અંતરાલોની મધ્ય કિંમત શોધી શકીએ છીએ:
$\text{મધ્ય કિંમત} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$

ગુણ	મધ્ય કિંમત	આવૃત્તિ (વિભાગ $A$)	આવૃત્તિ (વિભાગ $B$)
$0-10$	$5$	$3$	$5$
$10-20$	$15$	$9$	$19$
$20-30$	$25$	$17$	$15$
$30-40$	$35$	$12$	$10$
$40-50$	$45$	$9$	$1$

$x$-અક્ષ પર મધ્ય કિંમત અને $y$-અક્ષ પર આવૃત્તિ લઈને,આપણે બંને વિભાગો માટે આવૃત્તિ બહુકોણ દોરીએ છીએ.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે વિભાગ $A$ નો આવૃત્તિ બહુકોણ વિભાગ $B$ ની સરખામણીમાં જમણી તરફ વધુ ખસેલો છે. આ સૂચવે છે કે વિભાગ $A$ ના વિદ્યાર્થીઓએ વિભાગ $B$ ના વિદ્યાર્થીઓ કરતા વધુ સારા ગુણ મેળવ્યા છે.

(N/A) અહીં જોઈ શકાય છે કે આપેલ ડેટાના વર્ગ અંતરાલો સતત નથી.
તેમની વચ્ચે $1$ નો તફાવત છે. તેથી,ઉપલી વર્ગ સીમામાં $1/2 = 0.5$ ઉમેરવા પડશે અને નીચલી વર્ગ સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરવા પડશે.
વધુમાં,દરેક અંતરાલની વર્ગ ચિહ્ન (મધ્ય કિંમત) નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
વર્ગ ચિહ્ન $= \frac{\text{ઉપલી વર્ગ સીમા} + \text{નીચલી વર્ગ સીમા}}{2}$
દરેક વર્ગ અંતરાલના વર્ગ ચિહ્ન સાથેનો સતત ડેટા નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:

બોલની સંખ્યા	વર્ગ ચિહ્ન	ટીમ $A$	ટીમ $B$
$0.5-6.5$	$3.5$	$2$	$5$
$6.5-12.5$	$9.5$	$1$	$6$
$12.5-18.5$	$15.5$	$8$	$2$
$18.5-24.5$	$21.5$	$9$	$10$
$24.5-30.5$	$27.5$	$4$	$5$
$30.5-36.5$	$33.5$	$5$	$6$
$36.5-42.5$	$39.5$	$6$	$3$
$42.5-48.5$	$45.5$	$10$	$4$
$48.5-54.5$	$51.5$	$6$	$8$
$54.5-60.5$	$57.5$	$2$	$10$

$x$-અક્ષ પર વર્ગ ચિહ્નો અને $y$-અક્ષ પર બનાવેલા રન લઈને,આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ આવૃત્તિ બહુકોણ બનાવી શકાય છે.

(N/A) અહીં,તે જોઈ શકાય છે કે માહિતીમાં અલગ-અલગ વર્ગ લંબાઈના વર્ગ અંતરાલો છે. $1$ વર્ષના અંતરાલ દીઠ બાળકોનું પ્રમાણ નીચે મુજબ ગણી શકાય:

ઉંમર (વર્ષમાં)	બાળકોની સંખ્યા	વર્ગની લંબાઈ	લંબચોરસની ઊંચાઈ
$1-2$	$5$	$1$	$(5 \times 1) / 1 = 5$
$2-3$	$3$	$1$	$(3 \times 1) / 1 = 3$
$3-5$	$6$	$2$	$(6 \times 1) / 2 = 3$
$5-7$	$12$	$2$	$(12 \times 1) / 2 = 6$
$7-10$	$9$	$3$	$(9 \times 1) / 3 = 3$
$10-15$	$10$	$5$	$(10 \times 1) / 5 = 2$
$15-17$	$4$	$2$	$(4 \times 1) / 2 = 2$

$x$-અક્ષ પર બાળકોની ઉંમર અને $y$-અક્ષ પર $1$ વર્ષના અંતરાલ દીઠ બાળકોનું પ્રમાણ લઈને,ગણતરી કરેલ ઊંચાઈના આધારે સ્તંભાલેખ તૈયાર કરવામાં આવે છે.

(N/A) $(i)$ અહીં,તે જોઈ શકાય છે કે ડેટામાં અલગ-અલગ પહોળાઈના વર્ગ અંતરાલ છે. $2$ અક્ષરોના અંતરાલ દીઠ અટકોની સંખ્યાનું પ્રમાણ નીચે મુજબ ગણી શકાય:

અક્ષરોની સંખ્યા	આવૃત્તિ (અટકોની સંખ્યા)	વર્ગની પહોળાઈ	લંબચોરસની લંબાઈ
$1-4$	$6$	$3$	$\frac{6 \times 2}{3} = 4$
$4-6$	$30$	$2$	$\frac{30 \times 2}{2} = 30$
$6-8$	$44$	$2$	$\frac{44 \times 2}{2} = 44$
$8-12$	$16$	$4$	$\frac{16 \times 2}{4} = 8$
$12-20$	$4$	$8$	$\frac{4 \times 2}{8} = 1$

$x$-અક્ષ પર અક્ષરોની સંખ્યા અને $y$-અક્ષ પર $2$ અક્ષરોના અંતરાલ દીઠ અટકોની સંખ્યાનું પ્રમાણ લઈને,સ્તંભાલેખ નીચે મુજબ બનાવી શકાય છે.
$(ii)$ જે વર્ગ અંતરાલમાં અટકોની સંખ્યા મહત્તમ છે તે $6-8$ છે,કારણ કે તેમાં $44$ અટકો છે,જે આ ડેટા માટે મહત્તમ છે.

(13) અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક (અથવા સરેરાશ) એ તમામ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
ધારો કે $x_i$ એ $i$-મું અવલોકન દર્શાવે છે. અહીં,આપણી પાસે $5$ અવલોકનો છે: $x_1 = 10, x_2 = 7, x_3 = 13, x_4 = 20, x_5 = 15$.
મધ્યક $\bar{x}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} = \frac{10 + 7 + 13 + 20 + 15}{5}$
$\bar{x} = \frac{65}{5} = 13$
આમ,આ $5$ વ્યક્તિઓ દ્વારા સામાજિક કાર્ય કરવામાં વિતાવેલ સરેરાશ સમય અઠવાડિયામાં $13$ કલાક છે.

(C) અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક (સરેરાશ) તમામ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
અહીં,વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $n = 30$ છે.
તમામ ગુણનો સરવાળો = $10 + 20 + 36 + 92 + 95 + 40 + 50 + 56 + 60 + 70 + 92 + 88 + 80 + 70 + 72 + 70 + 36 + 40 + 36 + 40 + 92 + 40 + 50 + 50 + 56 + 60 + 70 + 60 + 60 + 88 = 1779$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1779}{30} = 59.3$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલી માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ:
$144, 145, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 160$
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $(n)$ $9$ છે,જે એકી સંખ્યા છે,તેથી મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ માં અવલોકનનું મૂલ્ય છે.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{9+1}{2}\right)$ મું અવલોકન $= \left(\frac{10}{2}\right)$ મું અવલોકન $= 5$ મું અવલોકન.
ચડતા ક્રમમાં ગોઠવેલી માહિતીમાં $5$ મું અવલોકન $149$ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ ઊંચાઈ $149 \text{ cm}$ છે.

(B) ટીમ દ્વારા મેળવેલા પોઈન્ટને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$2, 5, 7, 7, 8, 8, 10, 10, 14, 15, 17, 18, 24, 27, 28, 48$.
અહીં કુલ $n = 16$ અવલોકનો છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય,ત્યારે મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં અવલોકનનો સરેરાશ (મધ્યક) હોય છે.
અહીં,$8$ મું અવલોકન $10$ છે અને $9$ મું અવલોકન $14$ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
આમ,કબડ્ડી ટીમ દ્વારા મેળવેલા પોઈન્ટનો મધ્યસ્થ $12$ છે.

(C) બહુલક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ:
$2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 10, 10$
ત્યારબાદ,આપણે દરેક અવલોકનની આવૃત્તિ ગણીએ:
$2$ એ $1$ વાર આવે છે.
$3$ એ $2$ વાર આવે છે.
$4$ એ $3$ વાર આવે છે.
$5$ એ $2$ વાર આવે છે.
$6$ એ $3$ વાર આવે છે.
$7$ એ $3$ વાર આવે છે.
$9$ એ $4$ વાર આવે છે.
$10$ એ $2$ વાર આવે છે.
બહુલક એટલે સૌથી વધુ વખત આવતું અવલોકન. અહીં $9$ એ $4$ વખત આવે છે,જે સૌથી વધુ આવૃત્તિ છે,તેથી બહુલક $9$ છે.

(A) મધ્યક = $\frac{5000+5000+5000+5000+15000}{5} = \frac{35000}{5} = 7000$.
તેથી,સરેરાશ (મધ્યક) પગાર $Rs. 7000$ પ્રતિ માસ છે.
મધ્યસ્થ મેળવવા માટે,આપણે પગારને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ:
$5000, 5000, 5000, 5000, 15000$.
ફેક્ટરીમાં કર્મચારીઓની સંખ્યા $5$ હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{5+1}{2}\right) = 3^{rd}$ અવલોકન છે.
તેથી,મધ્યસ્થ $Rs. 5000$ પ્રતિ માસ છે.
પગારનો બહુલક શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $5000$ એ માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત આવે છે. તેથી,બહુલક પગાર $Rs. 5000$ પ્રતિ માસ છે.
કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના ત્રણ માપોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $Rs. 7000$ નો મધ્યક પગાર મોટાભાગના કર્મચારીઓના પગારનો સચોટ અંદાજ આપતો નથી,જ્યારે $Rs. 5000$ નો મધ્યસ્થ અને બહુલક માહિતીનું વધુ અસરકારક રીતે પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. માહિતીમાં રહેલા અતિશય મૂલ્યો મધ્યકને અસર કરે છે,જે આ માપની એક મર્યાદા છે.

(D) ટીમ દ્વારા કરવામાં આવેલા ગોલની સંખ્યા:
$2, 3, 4, 5, 0, 1, 3, 3, 4, 3$
માહિતીનો મધ્યક = $\frac{\text{બધા અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની કુલ સંખ્યા}}$
મધ્યક = $\frac{2+3+4+5+0+1+3+3+4+3}{10} = \frac{28}{10} = 2.8$ ગોલ.
ગોલની સંખ્યાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5$
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં અવલોકનનો સરેરાશ થશે.
મધ્યસ્થ = $\frac{5\text{મું અવલોકન} + 6\text{ઠું અવલોકન}}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
બહુલક એટલે જે અવલોકન સૌથી વધુ વખત આવતું હોય તે.
આપેલ માહિતીમાં,$3$ એ $4$ વખત આવે છે,જે સૌથી વધુ આવૃત્તિ છે.
તેથી,બહુલક $3$ છે.

(N/A) $15$ વિદ્યાર્થીઓના ગણિતના ગુણ:
$41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96, 52, 98, 40, 42, 52, 60$
$1.$ મધ્યક = (બધા અવલોકનોનો સરવાળો) / (કુલ અવલોકનોની સંખ્યા)
$= (41 + 39 + 48 + 52 + 46 + 62 + 54 + 40 + 96 + 52 + 98 + 40 + 42 + 52 + 60) / 15$
$= 822 / 15 = 54.8$
$2.$ અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$39, 40, 40, 41, 42, 46, 48, 52, 52, 52, 54, 60, 62, 96, 98$
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 15$ (એકી સંખ્યા) છે,તેથી મધ્યસ્થ = $((n+1)/2)$ મું અવલોકન.
મધ્યસ્થ = $((15+1)/2)$ મું = $8$ મું અવલોકન.
$8$ મું અવલોકન $52$ છે.
$3.$ બહુલક એટલે સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તન પામતું અવલોકન.
અહીં $52$ એ $3$ વખત આવે છે,જે સૌથી વધુ આવૃત્તિ છે.
તેથી,બહુલક $52$ છે.

(A) અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $(n)$ $10$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય,ત્યારે મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં અવલોકનનો સરેરાશ (મધ્યક) હોય છે.
અહીં,$n = 10$ છે,તેથી મધ્યસ્થ એ $5$ માં અને $6$ માં અવલોકનનો સરેરાશ છે.
$5$ મું અવલોકન = $x$
$6$ ઠું અવલોકન = $x + 2$
મધ્યસ્થ = $\frac{x + (x + 2)}{2} = 63$
$\frac{2x + 2}{2} = 63$
$x + 1 = 63$
$x = 62$

(B) આપેલ માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$14, 14, 14, 14, 17, 18, 18, 18, 22, 23, 25, 28$
અહીં જોઈ શકાય છે કે સંખ્યા $14$ એ $4$ વખત આવે છે,જે આપેલી માહિતીમાં સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવે છે.
તેથી,આપેલી માહિતીનો બહુલક $14$ છે.

(C) સરેરાશ પગાર નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે:
સરેરાશ (મધ્યક) $= \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$
દરેક જૂથ માટે પગાર $(x_i)$ અને કામદારોની સંખ્યા $(f_i)$ નો ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:

પગાર $(x_i)$	$f_i x_i$
$3000$	$3000 \times 16 = 48000$
$4000$	$4000 \times 12 = 48000$
$5000$	$5000 \times 10 = 50000$
$6000$	$6000 \times 8 = 48000$
$7000$	$7000 \times 6 = 42000$
$8000$	$8000 \times 4 = 32000$
$9000$	$9000 \times 3 = 27000$
$10000$	$10000 \times 1 = 10000$
કુલ	$\sum f_{i} x_{i} = 305000$

અહીં $\sum f_{i} = 60$ આપેલ છે.
સરેરાશ પગાર $= \frac{305000}{60} = 5083.33$.
તેથી,$60$ કામદારોનો સરેરાશ પગાર રૂ. $5083.33$ છે.

(N/A) જ્યારે માહિતીના સમૂહમાં કોઈ અત્યંત મોટા કે નાના અવલોકનો (outliers) ન હોય અને અવલોકનો એકબીજાની નજીક હોય,ત્યારે મધ્યક એ મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું યોગ્ય માપ છે.
$(i)$ નીચેનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો: એક પરિવારના સભ્યોની ઊંચાઈ $154.9 \text{ cm}, 162.8 \text{ cm}, 170.6 \text{ cm}, 158.8 \text{ cm}, 163.3 \text{ cm}, 166.8 \text{ cm}, 160.2 \text{ cm}$ છે.
આ કિસ્સામાં,તે જોઈ શકાય છે કે આપેલ માહિતીના અવલોકનો એકબીજાની નજીક છે અને તેમાં કોઈ અત્યંત મૂલ્યો નથી. તેથી,મધ્યક એ મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું યોગ્ય માપ છે.

(N/A) જ્યારે માહિતીના સમૂહમાં અમુક અવલોકનો બાકીના અવલોકનોથી ઘણા દૂર (અતિશય મોટા કે નાના) હોય,ત્યારે મધ્યક આવા અંતિમ મૂલ્યોથી ખૂબ પ્રભાવિત થાય છે,જેના કારણે તે મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું યોગ્ય માપ રહેતું નથી. આવા કિસ્સામાં,મધ્યસ્થ એ વધુ વિશ્વસનીય અને યોગ્ય માપ છે.
ધારો કે નીચેની માહિતી એક કસોટીમાં $12$ વિદ્યાર્થીઓએ મેળવેલા ગુણ દર્શાવે છે:
$48, 59, 46, 52, 54, 46, 97, 42, 49, 58, 60, 99$
આ માહિતીમાં,$97$ અને $99$ જેવા મૂલ્યો બાકીના ગુણ કરતા ઘણા વધારે છે. આ અંતિમ મૂલ્યોને કારણે,મધ્યક વધી જશે અને તે વિદ્યાર્થીઓના સરેરાશ દેખાવનું સાચું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકશે નહીં. તેથી,આ માહિતી માટે મધ્યસ્થ એ મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું વધુ યોગ્ય માપ છે.