Textbook - Statistics and Probability Questions in Hindi

(N/A) अपने दैनिक जीवन में,हम निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित कर सकते हैं:
$1.$ हमारे देश के विभिन्न राज्यों में प्रति $1000$ पुरुषों पर महिलाओं की संख्या।
$2.$ हमारी कक्षा के विद्यार्थियों का भार (वजन)।
$3.$ हमारे देश में पिछले $10$ वर्षों में गेहूँ का उत्पादन।
$4.$ हमारे मोहल्ले में पौधों की संख्या।
$5.$ पिछले $10$ वर्षों में हमारे शहर में हुई वर्षा।

(N/A) जो जानकारी अन्वेषक द्वारा स्वयं एक निश्चित उद्देश्य के साथ एकत्र की जाती है,उसे प्राथमिक डेटा कहा जाता है। इसके विपरीत,जब जानकारी किसी ऐसे स्रोत से प्राप्त की जाती है जहाँ जानकारी पहले से ही संग्रहीत है,तो इसे द्वितीयक डेटा कहा जाता है।
$1.$ प्रति $1000$ पुरुषों पर महिलाओं की संख्या: द्वितीयक डेटा (सरकारी रिकॉर्ड से एकत्र)।
$2.$ हमारी कक्षा के छात्रों का वजन: प्राथमिक डेटा (प्रत्यक्ष माप द्वारा एकत्र)।
$3.$ पिछले $10$ वर्षों में गेहूं का उत्पादन: द्वितीयक डेटा (कृषि रिपोर्टों से एकत्र)।
$4.$ हमारे इलाके में पौधों की संख्या: प्राथमिक डेटा (प्रत्यक्ष अवलोकन द्वारा एकत्र)।
$5.$ पिछले $10$ वर्षों में हमारे शहर में हुई वर्षा: द्वितीयक डेटा (मौसम विभाग के रिकॉर्ड से एकत्र)।
अतः,$1, 3,$ और $5$ द्वितीयक डेटा हैं,जबकि $2$ और $4$ प्राथमिक डेटा हैं।

(N/A) इस रूप में दिए गए आंकड़ों को कच्चा आंकड़ा (raw data) कहा जाता है।
इस रूप में इन्हें देखकर,क्या आप उच्चतम और न्यूनतम अंक ज्ञात कर सकते हैं?
क्या आपको अधिकतम और न्यूनतम स्कोर खोजने में कुछ समय लगा? यदि इन अंकों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाए तो यह कम समय लेने वाला होगा। इसलिए,आइए अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$25, 36, 42, 55, 60, 62, 73, 75, 78, 95$
अब,हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि सबसे कम अंक $25$ हैं और सबसे अधिक अंक $95$ हैं।
आंकड़ों में उच्चतम और न्यूनतम मानों के अंतर को आंकड़ों का परिसर (range) कहा जाता है। इसलिए,इस मामले में परिसर $95 - 25 = 70$ है।
आंकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में प्रस्तुत करना काफी समय लेने वाला हो सकता है,विशेष रूप से तब जब किसी प्रयोग में प्रेक्षणों की संख्या अधिक हो।

(N/A) याद रखें कि जिन छात्रों ने निश्चित अंक प्राप्त किए हैं,उनकी संख्या को उन अंकों की बारंबारता (frequency) कहा जाता है। उदाहरण के लिए,$4$ छात्रों ने $70$ अंक प्राप्त किए। इसलिए $70$ अंकों की बारंबारता $4$ है। डेटा को अधिक आसानी से समझने के लिए,हम इसे नीचे दी गई तालिका में लिखते हैं:

अंक	छात्रों की संख्या (अर्थात,बारंबारता)
$10$	$1$
$20$	$1$
$36$	$3$
$40$	$4$
$50$	$3$
$56$	$2$
$60$	$4$
$70$	$4$
$72$	$1$
$80$	$1$
$88$	$2$
$92$	$3$
$95$	$1$
< strong>कुल	$30$

इस तालिका को अवर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी (ungrouped frequency distribution table) या केवल बारंबारता बंटन सारणी कहा जाता है। ध्यान दें कि आप ऐसी सारणी तैयार करते समय मिलान चिह्नों (tally marks) का भी उपयोग कर सकते हैं।

(N/A) इतनी बड़ी मात्रा में डेटा को प्रस्तुत करने के लिए ताकि पाठक इसे आसानी से समझ सकें,हम इसे $20-29, 30-39, . . ., 90-99$ जैसे समूहों में संक्षिप्त करते हैं (चूंकि हमारा डेटा $23$ से $98$ के बीच है)। इन समूहों को 'वर्ग' या 'वर्ग-अंतराल' कहा जाता है,और इनके आकार को वर्ग-माप या वर्ग-चौड़ाई कहा जाता है,जो इस मामले में $10$ है। इन वर्गों में से प्रत्येक में,सबसे छोटी संख्या को 'निम्न वर्ग सीमा' और सबसे बड़ी संख्या को 'उच्च वर्ग सीमा' कहा जाता है। उदाहरण के लिए,$20-29$ में,$20$ निम्न वर्ग सीमा है और $29$ उच्च वर्ग सीमा है।
टैली चिह्नों का उपयोग करके,उपरोक्त डेटा को एक वर्गीकृत बारंबारता वितरण तालिका में इस प्रकार संक्षिप्त किया जा सकता है:

जीवित बचे पौधों की संख्या	स्कूलों की संख्या (बारंबारता)
$20-29$	$3$
$30-39$	$14$
$40-49$	$12$
$50-59$	$8$
$60-69$	$18$
$70-79$	$10$
$80-89$	$23$
$90-99$	$12$
कुल	$100$

डेटा को इस रूप में प्रस्तुत करने से यह सरल और संक्षिप्त हो जाता है,जिससे हम एक नज़र में महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन कर सकते हैं। हम देख सकते हैं कि $50\%$ या उससे अधिक पौधे $8 + 18 + 10 + 23 + 12 = 71$ स्कूलों में जीवित रहे।

(N/A) $35.5\, kg$ और $40.5\, kg$ जैसे वजन को शामिल करने के लिए,हमें असतत वर्ग अंतरालों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना होगा।
$1$. एक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग की निचली सीमा के बीच का अंतर ज्ञात करें (जैसे,$36 - 35 = 1$)।
$2$. इस अंतर को $2$ से विभाजित करके समायोजन कारक प्राप्त करें $(1 / 2 = 0.5)$।
$3$. वर्गों को सतत बनाने के लिए प्रत्येक निचली सीमा में से $0.5$ घटाएं और प्रत्येक ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ें।
नए सतत अंतराल हैं: $30.5-35.5, 35.5-40.5, 40.5-45.5, 45.5-50.5, 50.5-55.5, 55.5-60.5, 60.5-65.5, 65.5-70.5, 70.5-75.5$।
परंपरा के अनुसार,ऊपरी सीमा का मान अगले वर्ग अंतराल में गिना जाता है। इसलिए,$35.5$ को $35.5-40.5$ में और $40.5$ को $40.5-45.5$ में शामिल किया जाता है।
अद्यतन सारणी नीचे दी गई है:

वजन ($kg$ में)	छात्रों की संख्या
$30.5-35.5$	$9$
$35.5-40.5$	$6$
$40.5-45.5$	$15$
$45.5-50.5$	$3$
$50.5-55.5$	$1$
$55.5-60.5$	$2$
$60.5-65.5$	$2$
$65.5-70.5$	$1$
$70.5-75.5$	$1$
कुल	$40$

(N/A) दिए गए डेटा में प्रत्येक रक्त समूह की गणना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
- रक्त समूह $A$: $9$ विद्यार्थी
- रक्त समूह $B$: $6$ विद्यार्थी
- रक्त समूह $AB$: $3$ विद्यार्थी
- रक्त समूह $O$: $12$ विद्यार्थी
विद्यार्थियों की कुल संख्या = $9 + 6 + 3 + 12 = 30$.
बारंबारता वितरण सारणी इस प्रकार है:

रक्त समूह	विद्यार्थियों की संख्या
$A$	$9$
$B$	$6$
$AB$	$3$
$O$	$12$
कुल	$30$

सारणी से यह स्पष्ट है कि सबसे सामान्य रक्त समूह $O$ ($12$ विद्यार्थियों के साथ) है और सबसे दुर्लभ रक्त समूह $AB$ ($3$ विद्यार्थियों के साथ) है।

(N/A) $5$ के वर्ग माप वाली एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए,हम अंतरालों का उपयोग करेंगे: $0-5, 5-10, 10-15, 15-20, 20-25, 25-30, 30-35$।

दूरी ($km$ में)	इंजीनियरों की संख्या
$0-5$	$5$
$5-10$	$11$
$10-15$	$11$
$15-20$	$9$
$20-25$	$1$
$25-30$	$1$
$30-35$	$2$
कुल	$40$

अवलोकन:
$1$. अधिकांश इंजीनियर (अर्थात $5+11+11+9 = 36$ इंजीनियर) अपने कार्यस्थल से $20\, km$ की दूरी के भीतर रहते हैं।
$2$. बहुत कम इंजीनियर (अर्थात $1+1+2 = 4$ इंजीनियर) अपने कार्यस्थल से $20\, km$ या उससे अधिक की दूरी पर रहते हैं।

(N/A) $(i)$ $2$ के वर्ग माप के साथ एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी तैयार की जानी है। वर्ग अंतराल $84-86, 86-88, 88-90, \dots$ होंगे।
दिए गए डेटा का अवलोकन करने पर,बारंबारता बंटन सारणी इस प्रकार है:

सापेक्ष आर्द्रता (प्रतिशत में)	दिनों की संख्या (बारंबारता)
$84-86$	$1$
$86-88$	$1$
$88-90$	$2$
$90-92$	$2$
$92-94$	$7$
$94-96$	$6$
$96-98$	$7$
$98-100$	$4$
कुल	$30$

$(ii)$ यह देखा जा सकता है कि सापेक्ष आर्द्रता अधिक है। इसलिए,यह डेटा बरसात के मौसम के एक महीने का है।
$(iii)$ डेटा का परिसर = अधिकतम मान $-$ न्यूनतम मान = $99.2 - 84.9 = 14.3$.

(N/A) $(i)$ $150$ से शुरू करके $5$ के वर्ग अंतराल लेकर एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाई गई है। दिए गए आँकड़ों की गणना करने पर,हमें निम्नलिखित बारंबारता बंटन सारणी प्राप्त होती है:

ऊँचाई (सेमी में)	छात्रों की संख्या (बारंबारता)
$150-155$	$12$
$155-160$	$9$
$160-165$	$14$
$165-170$	$10$
$170-175$	$5$
कुल	$50$

$(ii)$ सारणी से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $35$ छात्रों (अर्थात $12+9+14 = 35$) की ऊँचाई $165\, cm$ से कम है। अतः,$70\%$ छात्रों की ऊँचाई $165\, cm$ से कम है।

(8) वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल में आने वाले अवलोकनों की संख्या गिनते हैं। ध्यान दें कि प्रत्येक वर्ग की ऊपरी सीमा उस वर्ग में शामिल नहीं की जाती है।

$SO_2$ की सांद्रता ($ppm$ में)	दिनों की संख्या (बारंबारता)
$0.00 - 0.04$	$4$
$0.04 - 0.08$	$9$
$0.08 - 0.12$	$9$
$0.12 - 0.16$	$2$
$0.16 - 0.20$	$4$
$0.20 - 0.24$	$2$
कुल	$30$

$(ii)$ जिन दिनों के लिए $SO_2$ की सांद्रता $0.11$ $ppm$ से अधिक है,वह दिनों की संख्या $0.12 - 0.16, 0.16 - 0.20$ और $0.20 - 0.24$ अंतरालों की बारंबारताओं का योग है।
आवश्यक दिनों की संख्या $= 2 + 4 + 2 = 8$.
अतः,$8$ दिनों के लिए $SO_2$ की सांद्रता $0.11$ $ppm$ से अधिक थी।

(N/A) बारंबारता बंटन सारणी तैयार करने के लिए,हम दिए गए आंकड़ों में प्रत्येक परिणाम (चितों की संख्या) की बारंबारता की गणना करते हैं।
$1$. $0$ चितों की संख्या: $6$ बार।
$2$. $1$ चित की संख्या: $10$ बार।
$3$. $2$ चितों की संख्या: $9$ बार।
$4$. $3$ चितों की संख्या: $5$ बार।
बारंबारताओं का योग: $6 + 10 + 9 + 5 = 30$।

चितों की संख्या	बारंबारता
$0$	$6$
$1$	$10$
$2$	$9$
$3$	$5$
कुल	$30$

(N/A) $(i)$ दशमलव बिंदु के बाद के अंकों का अवलोकन करने पर,बारंबारता बंटन सारणी इस प्रकार बनाई जा सकती है:

अंक	बारंबारता
$0$	$2$
$1$	$5$
$2$	$5$
$3$	$8$
$4$	$4$
$5$	$5$
$6$	$4$
$7$	$4$
$8$	$5$
$9$	$8$
कुल	$50$

$(ii)$ उपरोक्त सारणी से यह देखा जा सकता है कि सबसे कम बारंबारता $2$ है (अंक $0$ के लिए),और अधिकतम बारंबारता $8$ है (अंक $3$ और $9$ के लिए)। अतः,सबसे अधिक बार आने वाले अंक $3$ और $9$ हैं और सबसे कम बार आने वाला अंक $0$ है।

(N/A) $(i)$ $5$ की वर्ग चौड़ाई वाले वर्ग अंतराल $0-5, 5-10, 10-15, 15-20$ हैं।
वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी इस प्रकार है:

घंटे	बच्चों की संख्या
$0-5$	$10$
$5-10$	$13$
$10-15$	$5$
$15-20$	$2$
कुल	$30$

$(ii)$ जिन बच्चों ने एक सप्ताह में $15$ या उससे अधिक घंटे $TV$ देखा,उनकी संख्या वर्ग अंतराल $15-20$ के अंतर्गत आती है। सारणी के अनुसार,यह संख्या $2$ है।

(N/A) $0.5$ के वर्ग अंतराल के साथ एक वर्गीकृत बारंबारता वितरण सारणी बनाने के लिए,हम $2 - 2.5$ अंतराल से शुरू करेंगे।
वर्ग अंतराल $2 - 2.5, 2.5 - 3.0, 3.0 - 3.5, 3.5 - 4.0, 4.0 - 4.5, 4.5 - 5.0$ होंगे।
दिए गए डेटा की गणना करने पर,हमें निम्नलिखित बारंबारता वितरण सारणी प्राप्त होती है:

बैटरी का जीवनकाल (वर्षों में)	बैटरी की संख्या
$2.0 - 2.5$	$2$
$2.5 - 3.0$	$6$
$3.0 - 3.5$	$14$
$3.5 - 4.0$	$11$
$4.0 - 4.5$	$4$
$4.5 - 5.0$	$3$
कुल	$40$

(N/A) ध्यान दें कि यहाँ चर 'जन्म का महीना' है और चर का मान 'जन्म लेने वाले छात्रों की संख्या' है।
$(i)$ दंड आलेख का अवलोकन करने पर,नवंबर महीने के संगत दंड की ऊँचाई $4$ है। अतः,नवंबर के महीने में $4$ छात्रों का जन्म हुआ था।
$(ii)$ दंड आलेख का अवलोकन करने पर,सबसे ऊँचा दंड अगस्त महीने का है,जिसकी ऊँचाई $6$ है। अतः,अगस्त के महीने में सबसे अधिक छात्रों का जन्म हुआ था।

(N/A) हम इन आंकड़ों के लिए निम्नलिखित चरणों में दंड आलेख खींचते हैं। ध्यान दें कि दूसरे कॉलम में इकाई हजार रुपयों में है। इसलिए,'किराना' के सामने '$4$' का अर्थ $4000$ रुपये है।
$1.$ हम क्षैतिज अक्ष पर मदों (चर) को दर्शाते हैं,कोई भी पैमाना चुनकर,क्योंकि दंड की चौड़ाई महत्वपूर्ण नहीं है। स्पष्टता के लिए,हम सभी दंडों के लिए समान चौड़ाई लेते हैं और उनके बीच समान अंतराल बनाए रखते हैं।
$2.$ हम ऊर्ध्वाधर अक्ष पर व्यय (मान) को दर्शाते हैं। चूंकि अधिकतम व्यय $5000$ है,इसलिए हम पैमाना $1$ इकाई = $1000$ रुपये चुन सकते हैं।
$3.$ अपनी पहली मद,यानी किराना,को दर्शाने के लिए,हम $1$ इकाई चौड़ाई और $4$ इकाई ऊंचाई का एक आयताकार दंड खींचते हैं।
$4.$ इसी प्रकार,अन्य मदों को दर्शाया जाता है,जिसमें दो लगातार दंडों के बीच $1$ इकाई का अंतराल छोड़ा जाता है।
यहाँ,आप एक नज़र में आंकड़ों की सापेक्ष विशेषताओं को आसानी से देख सकते हैं,उदाहरण के लिए,शिक्षा पर खर्च चिकित्सा खर्चों से दोगुने से भी अधिक है। इसलिए,कुछ मायनों में,यह सारणीबद्ध रूप की तुलना में आंकड़ों का बेहतर प्रतिनिधित्व करता है।

(N/A) नहीं,यह आलेख हमें भ्रामक चित्र दे रहा है। आयतचित्र में,आयतों का क्षेत्रफल आवृत्तियों के समानुपाती होता है। यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब सभी वर्ग अंतरालों की चौड़ाई समान हो। हालाँकि,इस मामले में,आयतों की चौड़ाई बदल रही है,इसलिए आयतचित्र सही प्रतिनिधित्व नहीं देता है। उदाहरण के लिए,यह $60-70$ के अंतराल की तुलना में $70-100$ के अंतराल में अधिक आवृत्ति दिखाता है,जो गलत है।
इसे सुधारने के लिए,हमें आयतों की लंबाई में संशोधन करना होगा ताकि उनका क्षेत्रफल आवृत्तियों के समानुपाती हो जाए। पालन किए जाने वाले चरण इस प्रकार हैं:
$1$. न्यूनतम वर्ग आकार चुनें,जो इस मामले में $10$ है।
$2$. आयतों की लंबाई को $10$ के वर्ग आकार के समानुपाती बनाने के लिए संशोधित करें। $20$ के वर्ग आकार के लिए,लंबाई $7$ है। $10$ के वर्ग आकार के लिए,लंबाई $\frac{7}{20} \times 10 = 3.5$ होगी।
इस पद्धति का पालन करते हुए,हमें संशोधित तालिका प्राप्त होती है:

अंक	आवृत्ति	चौड़ाई	आयत की लंबाई
$0-20$	$7$	$20$	$\frac{7}{20} \times 10 = 3.5$
$20-30$	$10$	$10$	$\frac{10}{10} \times 10 = 10$
$30-40$	$10$	$10$	$\frac{10}{10} \times 10 = 10$
$40-50$	$20$	$10$	$\frac{20}{10} \times 10 = 20$
$50-60$	$20$	$10$	$\frac{20}{10} \times 10 = 20$
$60-70$	$15$	$10$	$\frac{15}{10} \times 10 = 15$
$70-100$	$8$	$30$	$\frac{8}{30} \times 10 = 2.67$

ये लंबाइयाँ "प्रति $10$ अंक अंतराल पर छात्रों का अनुपात" दर्शाती हैं। इन मानों को आलेखित करने पर सही आयतचित्र प्राप्त होता है।

(N/A) बारंबारता बहुभुज खींचने के लिए,हम सबसे पहले डेटा को दर्शाने के लिए एक आयतचित्र (histogram) का उपयोग करते हैं। हम आयतों के शीर्षों के मध्य-बिंदुओं को क्रमशः $B, C, D, E, F, G, H, I, J, K$ के रूप में चिह्नित करते हैं।
चूंकि पहला वर्ग $0-10$ है,बहुभुज को बंद करने के लिए,हम क्षैतिज अक्ष को ऋणात्मक दिशा में बढ़ाते हैं ताकि $0$ बारंबारता वाला एक काल्पनिक वर्ग-अंतराल $(-10) - 0$ शामिल हो सके। हम इस अंतराल के मध्य-बिंदु को शुरुआती बिंदु के रूप में चिह्नित करते हैं। इस बिंदु से रेखाखंड पहले मध्य-बिंदु $B$ से जुड़ता है। इसी प्रकार,हम $0$ बारंबारता वाला एक काल्पनिक वर्ग-अंतराल $100-110$ लेते हैं और इसका मध्य-बिंदु $L$ चिह्नित करते हैं। अंतिम मध्य-बिंदु $K$ को $L$ से जोड़ा जाता है।
परिणामी आकृति $OABCDEFGHIJKL$ वांछित बारंबारता बहुभुज है।
वैकल्पिक रूप से,बारंबारता बहुभुज को वर्ग-चिह्नों (class-marks) का उपयोग करके भी खींचा जा सकता है। वर्ग-चिह्न की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{वर्ग-चिह्न} = \frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निचली सीमा}}{2}$

(N/A) चूंकि हम आयतचित्र (histogram) बनाए बिना आवृत्ति बहुभुज खींचना चाहते हैं,इसलिए आइए ऊपर दिए गए वर्गों के वर्ग-चिह्न (class-marks) ज्ञात करें,जो कि $140-150, 150-160, \dots$ हैं।
$140-150$ के लिए,ऊपरी सीमा $= 150$ और निचली सीमा $= 140$ है।
इसलिए,वर्ग-चिह्न $= \frac{150+140}{2} = \frac{290}{2} = 145$ है।
इसी प्रकार आगे बढ़ते हुए,हम अन्य वर्गों के वर्ग-चिह्न भी ज्ञात करते हैं।
प्राप्त नई तालिका इस प्रकार है:

वर्ग	वर्ग-चिह्न	आवृत्ति
$140-150$	$145$	$5$
$150-160$	$155$	$10$
$160-170$	$165$	$20$
$170-180$	$175$	$9$
$180-190$	$185$	$6$
$190-200$	$195$	$2$

अब हम क्षैतिज अक्ष पर वर्ग-चिह्न और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आवृत्तियों को आलेखित करके एक आवृत्ति बहुभुज खींच सकते हैं,और फिर बिंदुओं $B(145, 5), C(155, 10), D(165, 20), E(175, 9), F(185, 6)$ और $G(195, 2)$ को रेखाखंडों द्वारा जोड़ सकते हैं।
हमें सबसे निचले वर्ग $140-150$ से ठीक पहले के वर्ग $130-140$ के वर्ग-चिह्न के लिए शून्य आवृत्ति वाला बिंदु $A(135, 0)$ और $G(195, 2)$ के ठीक बाद आने वाला बिंदु $H(205, 0)$ आलेखित करना नहीं भूलना चाहिए।
अतः,परिणामी आवृत्ति बहुभुज $ABCDEFGH$ होगा।

(A) $(i)$ $x-$अक्ष पर कारणों और $y-$अक्ष पर महिला मृत्यु दर को दर्शाकर और एक उपयुक्त पैमाना ($y-$अक्ष पर $1 \text{ इकाई} = 5\%$) चुनकर,एक दंड आलेख (bar graph) बनाया जा सकता है。
$(ii)$ $\text{प्रजनन स्वास्थ्य स्थितियाँ}$ विश्वभर में महिलाओं की बीमारी और मृत्यु का मुख्य कारण हैं,क्योंकि $31.8\%$ महिलाएँ इससे प्रभावित हैं。
$(iii)$ इसके लिए उत्तरदायी दो मुख्य कारक निम्नलिखित हैं:
$1.$ $\text{गुणवत्तापूर्ण चिकित्सा सुविधाओं तक पहुँच का अभाव।}$
$2.$ $\text{उपचार और प्रजनन स्वास्थ्य के बारे में जागरूकता और सही जानकारी का अभाव।}$

(N/A) $(i)$ $x$-अक्ष पर वर्ग (चर) और $y$-अक्ष पर प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या को दर्शाकर,एक उपयुक्त पैमाना ($y$-अक्ष पर $1$ इकाई $= 100$ लड़कियाँ) चुनकर दंड आरेख बनाया जा सकता है।
$(ii)$ आरेख से निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:
$1$. प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की अधिकतम संख्या $(970)$ अनुसूचित जनजाति $(ST)$ वर्ग में है।
$2$. प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की न्यूनतम संख्या $(910)$ शहरी क्षेत्रों में है।
$3$. शहरी क्षेत्रों की तुलना में ग्रामीण क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या अधिक है।
$4$. गैर-पिछड़े जिलों की तुलना में पिछड़े जिलों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या अधिक है।
$5$. गैर-$SC/ST$ वर्ग की तुलना में $SC$ और $ST$ वर्गों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या अधिक है।

(A) $(i)$ $x$-अक्ष पर राजनीतिक दलों और $y$-अक्ष पर जीती गई सीटों को लेकर और एक उपयुक्त पैमाना ($y$-अक्ष के लिए $1$ इकाई = $10$ सीटें) चुनकर,आवश्यक दंड आलेख नीचे दिखाए अनुसार बनाया जा सकता है।
यहाँ,आयताकार दंड समान चौड़ाई के हैं और उनके बीच समान दूरी है।
$(ii)$ राजनीतिक दल '$A$' ने सबसे अधिक सीटें ($75$ सीटें) जीतीं।

(N/A) $(i)$ यह देखा जा सकता है कि पत्तियों की लंबाई असतत वर्ग अंतराल में दी गई है,जिनके बीच $1$ का अंतर है।
इसलिए,वर्ग अंतरालों को सतत बनाने के लिए प्रत्येक ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ना होगा और प्रत्येक निचली सीमा से $0.5$ घटाना होगा।

लंबाई ($mm$ में)	पत्तियों की संख्या
$117.5-126.5$	$3$
$126.5-135.5$	$5$
$135.5-144.5$	$9$
$144.5-153.5$	$12$
$153.5-162.5$	$5$
$162.5-171.5$	$4$
$171.5-180.5$	$2$

$x$-अक्ष पर पत्तियों की लंबाई और $y$-अक्ष पर पत्तियों की संख्या लेकर आयतचित्र खींचा जा सकता है।
$(ii)$ इन आंकड़ों के लिए अन्य उपयुक्त आलेखीय निरूपण 'बारंबारता बहुभुज' (frequency polygon) है।
$(iii)$ नहीं,यह निष्कर्ष सही नहीं है। अधिकतम पत्तियों $(12)$ की लंबाई $144.5 \, mm$ और $153.5 \, mm$ के बीच है। इसका मतलब यह नहीं है कि सभी पत्तियों की लंबाई $153 \, mm$ है।

(N/A) $(i)$ $x$-अक्ष पर नियॉन लैंपों का जीवनकाल (घंटों में) और $y$-अक्ष पर लैंपों की संख्या लेकर,दी गई जानकारी का आयतचित्र चित्र में दिखाए अनुसार खींचा जा सकता है।
यहाँ,$y$-अक्ष पर $1$ इकाई $10$ लैंपों को दर्शाती है।
$(ii)$ $700$ घंटों से अधिक जीवनकाल वाले नियॉन लैंपों की संख्या,$700-800$,$800-900$ और $900-1000$ के अंतरालों में लैंपों की संख्या का योग है।
अतः,$700$ घंटों से अधिक जीवनकाल वाले नियॉन लैंपों की संख्या $74 + 62 + 48 = 184$ है।

(N/A) हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके दिए गए वर्ग अंतरालों के वर्ग चिह्न (वर्ग मध्य) ज्ञात कर सकते हैं:
$\text{वर्ग चिह्न} = \frac{\text{ऊपरी वर्ग सीमा} + \text{निचली वर्ग सीमा}}{2}$

अंक	वर्ग चिह्न	बारंबारता (वर्ग $A$)	बारंबारता (वर्ग $B$)
$0-10$	$5$	$3$	$5$
$10-20$	$15$	$9$	$19$
$20-30$	$25$	$17$	$15$
$30-40$	$35$	$12$	$10$
$40-50$	$45$	$9$	$1$

$x$-अक्ष पर वर्ग चिह्न और $y$-अक्ष पर बारंबारता लेकर,हम दोनों वर्गों के लिए बारंबारता बहुभुज खींचते हैं।
ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि वर्ग $A$ का बारंबारता बहुभुज वर्ग $B$ की तुलना में दाईं ओर अधिक झुका हुआ है। यह दर्शाता है कि वर्ग $A$ के छात्रों ने वर्ग $B$ के छात्रों की तुलना में बेहतर प्रदर्शन किया है क्योंकि उन्होंने अधिक अंक प्राप्त किए हैं।

(N/A) यह देखा जा सकता है कि दिए गए डेटा के वर्ग अंतराल सतत नहीं हैं।
उनके बीच $1$ का अंतर है। इसलिए,ऊपरी वर्ग सीमा में $1/2 = 0.5$ जोड़ना होगा और निचली वर्ग सीमा से $0.5$ घटाना होगा।
इसके अलावा,प्रत्येक अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य मान) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
वर्ग चिह्न $= \frac{\text{ऊपरी वर्ग सीमा} + \text{निचली वर्ग सीमा}}{2}$
प्रत्येक वर्ग अंतराल के वर्ग चिह्न के साथ सतत डेटा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

गेंदों की संख्या	वर्ग चिह्न	टीम $A$	टीम $B$
$0.5-6.5$	$3.5$	$2$	$5$
$6.5-12.5$	$9.5$	$1$	$6$
$12.5-18.5$	$15.5$	$8$	$2$
$18.5-24.5$	$21.5$	$9$	$10$
$24.5-30.5$	$27.5$	$4$	$5$
$30.5-36.5$	$33.5$	$5$	$6$
$36.5-42.5$	$39.5$	$6$	$3$
$42.5-48.5$	$45.5$	$10$	$4$
$48.5-54.5$	$51.5$	$6$	$8$
$54.5-60.5$	$57.5$	$2$	$10$

$x$-अक्ष पर वर्ग चिह्नों और $y$-अक्ष पर बनाए गए रनों को लेकर,ग्राफ में दिखाए अनुसार एक आवृत्ति बहुभुज बनाया जा सकता है।

(N/A) यहाँ,यह देखा जा सकता है कि आंकड़ों में अलग-अलग चौड़ाई के वर्ग अंतराल हैं। $1$ वर्ष के अंतराल प्रति बच्चों के अनुपात की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

आयु (वर्षों में)	बच्चों की संख्या	वर्ग की चौड़ाई	आयत की ऊँचाई
$1-2$	$5$	$1$	$(5 \times 1) / 1 = 5$
$2-3$	$3$	$1$	$(3 \times 1) / 1 = 3$
$3-5$	$6$	$2$	$(6 \times 1) / 2 = 3$
$5-7$	$12$	$2$	$(12 \times 1) / 2 = 6$
$7-10$	$9$	$3$	$(9 \times 1) / 3 = 3$
$10-15$	$10$	$5$	$(10 \times 1) / 5 = 2$
$15-17$	$4$	$2$	$(4 \times 1) / 2 = 2$

$x$-अक्ष पर बच्चों की आयु और $y$-अक्ष पर $1$ वर्ष के अंतराल प्रति बच्चों का अनुपात लेकर,गणना की गई ऊँचाइयों के आधार पर आयतचित्र तैयार किया जाता है।

(N/A) $(i)$ यहाँ,यह देखा जा सकता है कि डेटा में अलग-अलग चौड़ाई के वर्ग अंतराल हैं। $2$ अक्षरों के अंतराल प्रति उपनामों की संख्या का अनुपात इस प्रकार गणना की जा सकती है:

अक्षरों की संख्या	आवृत्ति (उपनामों की संख्या)	वर्ग की चौड़ाई	आयत की लंबाई
$1-4$	$6$	$3$	$\frac{6 \times 2}{3} = 4$
$4-6$	$30$	$2$	$\frac{30 \times 2}{2} = 30$
$6-8$	$44$	$2$	$\frac{44 \times 2}{2} = 44$
$8-12$	$16$	$4$	$\frac{16 \times 2}{4} = 8$
$12-20$	$4$	$8$	$\frac{4 \times 2}{8} = 1$

$x$-अक्ष पर अक्षरों की संख्या और $y$-अक्ष पर $2$ अक्षरों के अंतराल प्रति उपनामों की संख्या का अनुपात लेकर,आयतचित्र को इस प्रकार बनाया जा सकता है।
$(ii)$ वह वर्ग अंतराल जिसमें उपनामों की संख्या अधिकतम है,$6-8$ है क्योंकि इसमें $44$ उपनाम हैं,जो इस डेटा के लिए अधिकतम है।

(13) अवलोकनों के एक समूह का माध्य (या औसत) सभी अवलोकनों के योग को अवलोकनों की कुल संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
मान लीजिए $x_i$ $i$-वें अवलोकन को दर्शाता है। यहाँ,हमारे पास $5$ अवलोकन हैं: $x_1 = 10, x_2 = 7, x_3 = 13, x_4 = 20, x_5 = 15$।
माध्य $\bar{x}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
मान रखने पर:
$\bar{x} = \frac{10 + 7 + 13 + 20 + 15}{5}$
$\bar{x} = \frac{65}{5} = 13$
अतः,इन $5$ लोगों द्वारा सामाजिक कार्य करने में व्यतीत किया गया औसत समय एक सप्ताह में $13$ घंटे है।

(C) प्रेक्षणों के समूह का माध्य (औसत) सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है।
सूत्र: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
यहाँ,विद्यार्थियों की कुल संख्या $n = 30$ है।
सभी अंकों का योग = $10 + 20 + 36 + 92 + 95 + 40 + 50 + 56 + 60 + 70 + 92 + 88 + 80 + 70 + 72 + 70 + 36 + 40 + 36 + 40 + 92 + 40 + 50 + 50 + 56 + 60 + 70 + 60 + 60 + 88 = 1779$.
माध्य $\bar{x} = \frac{1779}{30} = 59.3$.

(A) सबसे पहले,हम दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित करते हैं:
$144, 145, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 160$
चूँकि प्रेक्षणों की संख्या $(n)$ $9$ है,जो एक विषम संख्या है,इसलिए माध्यक $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ वें प्रेक्षण का मान होता है।
माध्यक $= \left(\frac{9+1}{2}\right)$ वाँ प्रेक्षण $= \left(\frac{10}{2}\right)$ वाँ प्रेक्षण $= 5$ वाँ प्रेक्षण।
व्यवस्थित आँकड़ों में $5$ वाँ प्रेक्षण $149$ है।
अतः,माध्यक ऊँचाई $149 \text{ cm}$ है।

(B) टीम द्वारा बनाए गए अंकों को आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2, 5, 7, 7, 8, 8, 10, 10, 14, 15, 17, 18, 24, 27, 28, 48$.
यहाँ कुल $n = 16$ पद हैं,जो एक सम संख्या है।
जब प्रेक्षणों की संख्या सम होती है,तो माध्यक $(\frac{n}{2})$ वें और $(\frac{n}{2} + 1)$ वें पद का औसत होता है।
यहाँ,$8$ वाँ पद $10$ है और $9$ वाँ पद $14$ है।
माध्यक $= \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
अतः,कबड्डी टीम द्वारा बनाए गए अंकों का माध्यक $12$ है।

(C) बहुलक ज्ञात करने के लिए,हम पहले दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 10, 10$
इसके बाद,हम प्रत्येक प्रेक्षण की बारंबारता गिनते हैं:
$2$ एक बार आता है।
$3$ दो बार आता है।
$4$ तीन बार आता है।
$5$ दो बार आता है।
$6$ तीन बार आता है।
$7$ तीन बार आता है।
$9$ चार बार आता है।
$10$ दो बार आता है।
बहुलक वह प्रेक्षण है जो सबसे अधिक बार आता है। चूँकि $9$ चार बार आता है,जो कि सबसे अधिक बारंबारता है,इसलिए बहुलक $9$ है।

(A) माध्य = $\frac{5000+5000+5000+5000+15000}{5} = \frac{35000}{5} = 7000$.
अतः,औसत (माध्य) वेतन $Rs. 7000$ प्रति माह है।
माध्यिका प्राप्त करने के लिए,हम वेतनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$5000, 5000, 5000, 5000, 15000$.
चूँकि कारखाने में कर्मचारियों की संख्या $5$ है,माध्यिका $\left(\frac{5+1}{2}\right) = 3^{rd}$ प्रेक्षण है।
अतः,माध्यिका $Rs. 5000$ प्रति माह है।
वेतन का बहुलक ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $5000$ आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है। अतः,बहुलक वेतन $Rs. 5000$ प्रति माह है।
केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $Rs. 7000$ का माध्य वेतन अधिकांश कर्मचारियों के वेतन का सटीक अनुमान नहीं देता है,जबकि $Rs. 5000$ की माध्यिका और बहुलक आँकड़ों का अधिक प्रभावी ढंग से प्रतिनिधित्व करते हैं। आँकड़ों में मौजूद चरम मान माध्य को प्रभावित करते हैं,जो इस माप की एक कमजोरी है।

(D) टीम द्वारा किए गए गोलों की संख्या है:
$2, 3, 4, 5, 0, 1, 3, 3, 4, 3$
माध्य = $\frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की कुल संख्या}}$
माध्य = $\frac{2+3+4+5+0+1+3+3+4+3}{10} = \frac{28}{10} = 2.8$ गोल।
गोलों की संख्या को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5$
प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है,जो एक सम संख्या है।
इसलिए,माध्यक $(\frac{n}{2})$ वें और $(\frac{n}{2} + 1)$ वें प्रेक्षण का औसत होगा।
माध्यक = $\frac{5\text{वां प्रेक्षण} + 6\text{वां प्रेक्षण}}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
बहुलक वह प्रेक्षण है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
दी गई जानकारी में,$3$ की बारंबारता $4$ है,जो सबसे अधिक है।
इसलिए,बहुलक $3$ है।

(N/A) $15$ छात्रों के गणित के अंक:
$41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96, 52, 98, 40, 42, 52, 60$
$1.$ माध्य = (सभी प्रेक्षणों का योग) / (कुल प्रेक्षणों की संख्या)
$= (41 + 39 + 48 + 52 + 46 + 62 + 54 + 40 + 96 + 52 + 98 + 40 + 42 + 52 + 60) / 15$
$= 822 / 15 = 54.8$
$2.$ प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$39, 40, 40, 41, 42, 46, 48, 52, 52, 52, 54, 60, 62, 96, 98$
यहाँ प्रेक्षणों की संख्या $n = 15$ (विषम) है,इसलिए माध्यक = $((n+1)/2)$ वाँ प्रेक्षण।
माध्यक = $((15+1)/2)$ वाँ = $8$ वाँ प्रेक्षण।
$8$ वाँ प्रेक्षण $52$ है।
$3.$ बहुलक वह प्रेक्षण है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
यहाँ $52$ की बारंबारता $3$ है,जो सबसे अधिक है।
अतः,बहुलक $52$ है।

(A) प्रेक्षणों की कुल संख्या $(n)$ $10$ है,जो एक सम संख्या है।
जब प्रेक्षणों की संख्या सम होती है,तो माध्यक $(\frac{n}{2})$ वें और $(\frac{n}{2} + 1)$ वें प्रेक्षण का औसत होता है।
यहाँ,$n = 10$ है,इसलिए माध्यक $5$ वें और $6$ वें प्रेक्षण का औसत है।
$5$ वाँ प्रेक्षण = $x$
$6$ वाँ प्रेक्षण = $x + 2$
माध्यक = $\frac{x + (x + 2)}{2} = 63$
$\frac{2x + 2}{2} = 63$
$x + 1 = 63$
$x = 62$

(B) दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$14, 14, 14, 14, 17, 18, 18, 18, 22, 23, 25, 28$
यह देखा जा सकता है कि संख्या $14$ कुल $4$ बार आई है,जो कि दिए गए आंकड़ों में सबसे अधिक बारंबारता है।
अतः,दिए गए आंकड़ों का बहुलक $14$ है।

(C) औसत वेतन की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
औसत (माध्य) $= \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$
प्रत्येक समूह के लिए वेतन $(x_i)$ और श्रमिकों की संख्या $(f_i)$ का गुणनफल नीचे दिया गया है:

वेतन $(x_i)$	$f_i x_i$
$3000$	$3000 \times 16 = 48000$
$4000$	$4000 \times 12 = 48000$
$5000$	$5000 \times 10 = 50000$
$6000$	$6000 \times 8 = 48000$
$7000$	$7000 \times 6 = 42000$
$8000$	$8000 \times 4 = 32000$
$9000$	$9000 \times 3 = 27000$
$10000$	$10000 \times 1 = 10000$
कुल	$\sum f_{i} x_{i} = 305000$

यहाँ $\sum f_{i} = 60$ दिया गया है।
औसत वेतन $= \frac{305000}{60} = 5083.33$।
अतः,$60$ श्रमिकों का औसत वेतन रु. $5083.33$ है।

(N/A) माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपयुक्त माप तब होता है जब डेटा सेट में कोई चरम मान (outliers) न हों और मान एक-दूसरे के अपेक्षाकृत करीब हों।
$(i)$ निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: एक परिवार के सदस्यों की ऊँचाई $154.9 \text{ cm}, 162.8 \text{ cm}, 170.6 \text{ cm}, 158.8 \text{ cm}, 163.3 \text{ cm}, 166.8 \text{ cm}, 160.2 \text{ cm}$ है।
इस मामले में,यह देखा जा सकता है कि दिए गए डेटा में अवलोकन एक-दूसरे के करीब हैं और इसमें कोई चरम मान नहीं है। इसलिए,माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपयुक्त माप है।

(N/A) जब डेटा सेट में कुछ ऐसे अवलोकन होते हैं जो बाकी डेटा से काफी दूर (अति-मान) होते हैं,तो माध्य इन चरम मानों से बहुत अधिक प्रभावित होता है,जिससे यह केंद्रीय प्रवृत्ति का एक अनुपयुक्त माप बन जाता है। ऐसे मामलों में,माध्यिका एक अधिक विश्वसनीय और उपयुक्त माप है।
मान लीजिए कि निम्नलिखित डेटा एक परीक्षा में $12$ छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है:
$48, 59, 46, 52, 54, 46, 97, 42, 49, 58, 60, 99$
इस डेटा सेट में,$97$ और $99$ जैसे मान बाकी अंकों की तुलना में काफी अधिक हैं। इन चरम मानों के कारण,माध्य ऊपर की ओर झुक जाएगा और छात्रों के औसत प्रदर्शन का सही प्रतिनिधित्व करने में विफल रहेगा। इसलिए,इस डेटा के लिए माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति का अधिक उपयुक्त माप है।