Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}-3x-40$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $-40$ हो और जिनका योग $-3$ हो।
$1$. $-40$ के गुणनखंड $(1, -40), (-1, 40), (2, -20), (-2, 20), (4, -10), (-4, 10), (5, -8), (-5, 8)$ हैं।
$2$. इन युग्मों में से,$(5, -8)$ युग्म शर्त को पूरा करता है: $5 + (-8) = -3$।
$3$. अब,मध्यम पद $-3x$ को $5x - 8x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} + 5x - 8x - 40$
$4$. पदों को समूहबद्ध करें और उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें:
$x(x + 5) - 8(x + 5)$
$5$. उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 5)$ को बाहर निकालने पर:
$(x + 5)(x - 8)$

(A) $6 x^{2}+7 x-20$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $6 \times (-20) = -120$ हो और जिनका योग $7$ हो।
ये दो संख्याएँ $15$ और $-8$ हैं,क्योंकि $15 \times (-8) = -120$ और $15 + (-8) = 7$ होता है।
अब,मध्य पद $7x$ को $15x - 8x$ के रूप में लिखें:
$6 x^{2} + 15 x - 8 x - 20$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने के लिए पदों को समूह में व्यवस्थित करें:
$(6 x^{2} + 15 x) - (8 x + 20)$
$3 x(2 x + 5) - 4(2 x + 5)$
$(2 x + 5)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$(2 x + 5)(3 x - 4)$

(A) द्विघात बहुपद $15x^2 + 7x - 2$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $15 \times (-2) = -30$ हो और जिनका योग $7$ हो।
इन शर्तों को पूरा करने वाली दो संख्याएँ $10$ और $-3$ हैं।
अब,मध्य पद $7x$ को $10x - 3x$ के रूप में लिखें:
$15x^2 + 10x - 3x - 2$
पदों के समूह बनाएँ:
$(15x^2 + 10x) - (3x + 2)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पद बाहर निकालें:
$5x(3x + 2) - 1(3x + 2)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3x + 2)$ को बाहर निकालने पर:
$(3x + 2)(5x - 1)$

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}-4x-77$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $-77$ हो और जिनका योग $-4$ हो।
$1$. $-77$ के गुणनखंड $(1, -77), (-1, 77), (7, -11), (-7, 11)$ हैं।
$2$. इनमें से,$(7, -11)$ का युग्म $7 + (-11) = -4$ की शर्त को पूरा करता है।
$3$. अब,मध्यम पद $-4x$ को $7x - 11x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} + 7x - 11x - 77$
$4$. पदों के समूह बनाएँ और उभयनिष्ठ तत्वों को बाहर निकालें:
$x(x + 7) - 11(x + 7)$
$5$. उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 7)$ को बाहर निकालने पर:
$(x + 7)(x - 11)$

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}+2x-143$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-143$ हो और जिनका योग $2$ हो।
मान लीजिए कि वे दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हमें प्राप्त होता है $a \times b = -143$ और $a + b = 2$।
$143$ के गुणनखंड $1, 11, 13, 143$ हैं।
चिह्नों को ध्यान में रखते हुए,हम $13$ और $-11$ लेते हैं क्योंकि $13 \times (-11) = -143$ और $13 + (-11) = 2$।
अब,मध्यम पद $2x$ को $13x - 11x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} + 13x - 11x - 143$
पदों के समूह बनाएँ:
$(x^{2} + 13x) - (11x + 143)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$x(x + 13) - 11(x + 13)$
अंत में,$(x + 13)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x + 13)(x - 11)$

(N/A) $12x^2 + 23x + 5$ का मध्यम पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $12 \times 5 = 60$ हो और जिनका योग $23$ हो।
ये दो संख्याएँ $20$ और $3$ हैं।
अब,मध्यम पद $23x$ को $20x + 3x$ के रूप में लिखें:
$12x^2 + 20x + 3x + 5$
पदों के समूह बनाएँ:
$(12x^2 + 20x) + (3x + 5)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें:
$4x(3x + 5) + 1(3x + 5)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3x + 5)$ को बाहर निकालने पर:
$(4x + 1)(3x + 5)$

(A) माना $p(x) = x^{3}+8x^{2}+9x-18$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। यदि $x=1$ है,तो $p(1) = 1^{3} + 8(1)^{2} + 9(1) - 18 = 1 + 8 + 9 - 18 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$x^{3}+8x^{2}+9x-18$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+8x^{2}+9x-18 = (x-1)(x^{2}+9x+18)$.
अब,द्विघात व्यंजक $x^{2}+9x+18$ का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}+6x+3x+18 = x(x+6) + 3(x+6) = (x+3)(x+6)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $(x-1)(x+3)(x+6)$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3}+12 x^{2}+39 x+28$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+a)$ एक गुणनखंड है,तो $p(-a) = 0$ होगा।
$x = -1$ रखने पर: $p(-1) = (-1)^{3} + 12(-1)^{2} + 39(-1) + 28 = -1 + 12 - 39 + 28 = 0$.
अतः,$(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+12 x^{2}+39 x+28 = (x+1)(x^{2}+11 x+28)$.
द्विघात व्यंजक $x^{2}+11 x+28$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$x^{2} + 7x + 4x + 28 = x(x+7) + 4(x+7) = (x+4)(x+7)$.
इस प्रकार,पूर्ण गुणनखंड $(x+1)(x+4)(x+7)$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना कि $p(x) = x^{3}+2x^{2}-13x+10$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम अचर पद $10$ के गुणनखंडों (अर्थात $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$) की जाँच करते हैं।
$x = 1$ के लिए,$p(1) = (1)^{3} + 2(1)^{2} - 13(1) + 10 = 1 + 2 - 13 + 10 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x)$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^{2}(x-1) + 3x(x-1) - 10(x-1) = (x-1)(x^{2}+3x-10)$ प्राप्त होता है।
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $x^{2}+3x-10$ का गुणनखंड कीजिए:
$x^{2} + 5x - 2x - 10 = x(x+5) - 2(x+5) = (x-2)(x+5)$.
अतः,गुणनखंड $(x-1)(x-2)(x+5)$ हैं।

(A) माना $p(x) = x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 11(-1)^{2} + 20(-1) + 32 = -1 - 11 - 20 + 32 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$,इसलिए $(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+x^{2} - 12x^{2}-12x + 32x+32 = x^{2}(x+1) - 12x(x+1) + 32(x+1) = (x+1)(x^{2}-12x+32)$.
द्विघात बहुपद $x^{2}-12x+32$ का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}-8x-4x+32 = x(x-8)-4(x-8) = (x-4)(x-8)$.
अतः,गुणनखंड $(x+1)(x-4)(x-8)$ हैं।

(A) माना $p(x) = 6x^{3}-23x^{2}+29x-12$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं।
$x = 1$ के लिए,$p(1) = 6(1)^{3}-23(1)^{2}+29(1)-12 = 6-23+29-12 = 0$.
अतः,$(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$6x^{3}-23x^{2}+29x-12$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें भागफल $6x^{2}-17x+12$ प्राप्त होता है।
अब,द्विघात बहुपद $6x^{2}-17x+12$ का गुणनखंड कीजिए:
$6x^{2}-9x-8x+12 = 3x(2x-3)-4(2x-3) = (3x-4)(2x-3)$.
इस प्रकार,गुणनखंड $(x-1)(2x-3)(3x-4)$ हैं।

(N/A) माना $p(x) = 6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम $x$ के मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = 6(-1)^{3} + 7(-1)^{2} - 14(-1) - 15 = -6 + 7 + 14 - 15 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x + 1)$ एक गुणनखंड है।
अब,$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$ को $(x + 1)$ से भाग देने पर:
$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15 = (x + 1)(6x^{2} + x - 15)$.
अब,द्विघात बहुपद $6x^{2} + x - 15$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करें:
$6x^{2} + 10x - 9x - 15 = 2x(3x + 5) - 3(3x + 5) = (2x - 3)(3x + 5)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $(x + 1)(3x + 5)(2x - 3)$ है।

(N/A) माना $p(x) = 8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = 1$:
$p(1) = 8(1)^{3} - 26(1)^{2} + 13(1) + 5 = 8 - 26 + 13 + 5 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$,इसलिए $(x - 1)$ एक गुणनखंड है।
अब,$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$ को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर:
$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5 = (x - 1)(8x^{2} - 18x - 5)$.
अब,द्विघात बहुपद $8x^{2} - 18x - 5$ के मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड कीजिए:
$8x^{2} - 20x + 2x - 5 = 4x(2x - 5) + 1(2x - 5) = (4x + 1)(2x - 5)$.
अतः,गुणनखंड $(x - 1)(4x + 1)(2x - 5)$ हैं।

(A) माना $p(x) = 12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = 12(-1)^3 + 17(-1)^2 + 3(-1) - 2 = -12 + 17 - 3 - 2 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$,इसलिए $(x+1)$ एक गुणनखंड है।
अब,$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2 = (x+1)(12x^2 + 5x - 2)$.
अब,द्विघात बहुपद $12x^2 + 5x - 2$ के मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करें:
$12x^2 + 8x - 3x - 2 = 4x(3x + 2) - 1(3x + 2) = (4x - 1)(3x + 2)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $(x+1)(4x-1)(3x+2)$ है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-c)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(c) = 0$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + 7x^{2} + ax - 3$ और गुणनखंड $(x-1)$ है,इसलिए $c = 1$ है।
$p(1) = 0$ रखने पर:
$(1)^{3} + 7(1)^{2} + a(1) - 3 = 0$
$1 + 7 + a - 3 = 0$
$8 + a - 3 = 0$
$5 + a = 0$
$a = -5$

(A) माना $p(x) = 6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$ है। गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+2)$ एक गुणनखंड है यदि $p(-2) = 0$ हो।
$p(-2) = 6(-2)^3 + 19(-2)^2 + 16(-2) + 4 = 6(-8) + 19(4) - 32 + 4 = -48 + 76 - 32 + 4 = 0$ है।
चूंकि $p(-2) = 0$ है,इसलिए $(x+2)$ एक गुणनखंड है।
अब,$6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$ को $(x+2)$ से विभाजित करने पर हमें द्विघात बहुपद $6x^2 + 7x + 2$ प्राप्त होता है।
$6x^2 + 7x + 2$ का गुणनखंडन करने पर: $6x^2 + 4x + 3x + 2 = 2x(3x+2) + 1(3x+2) = (2x+1)(3x+2)$।
अतः,पूर्ण गुणनखंडन $(x+2)(2x+1)(3x+2)$ है।

(A) चरण $1$: यह दर्शाने के लिए कि $(x-3)$ एक गुणनखंड है,हम $p(3)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$p(3) = 12(3)^3 - 31(3)^2 - 18(3) + 9$
$p(3) = 12(27) - 31(9) - 54 + 9$
$p(3) = 324 - 279 - 54 + 9 = 0$.
चूंकि $p(3) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $(x-3)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
चरण $2$: $p(x)$ को $(x-3)$ से विभाजित करने पर द्विघात बहुपद प्राप्त होता है।
$12x^3 - 31x^2 - 18x + 9 = (x-3)(12x^2 + 5x - 3)$.
चरण $3$: द्विघात बहुपद $12x^2 + 5x - 3$ का गुणनखंडन कीजिए।
$12x^2 + 9x - 4x - 3 = 3x(4x + 3) - 1(4x + 3) = (3x - 1)(4x + 3)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंडन $(x-3)(3x-1)(4x+3)$ है।

(A) $(x+3)(x+8)$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 8$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(x+3)(x+8) = x^2 + (3+8)x + (3)(8)$
$= x^2 + 11x + 24$।

(A) व्यंजक $(2 x-3)(2 x+5)$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $X = 2x$,$a = -3$,और $b = 5$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x - 3)(2x + 5) = (2x)^2 + (-3 + 5)(2x) + (-3)(5)$
$= 4x^2 + (2)(2x) - 15$
$= 4x^2 + 4x - 15$.

(D) व्यंजक $(3x - 2)(3x - 6)$ का विस्तार करने के लिए,हम वितरण नियम या बीजीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $(3x - 2)(3x - 6)$
मान लीजिए $u = 3x$ है। तब व्यंजक $(u - 2)(u - 6)$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर: $u^2 + (-2 - 6)u + (-2)(-6)$
$= u^2 - 8u + 12$
अब,$u = 3x$ का मान वापस व्यंजक में रखने पर:
$= (3x)^2 - 8(3x) + 12$
$= 9x^2 - 24x + 12$

(A) $(x+2t)(x-5t)$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2t$ और $b = -5t$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+2t)(x-5t) = x^2 + (2t - 5t)x + (2t)(-5t)$
$= x^2 + (-3t)x - 10t^2$
$= x^2 - 3xt - 10t^2$.

(B) द्विघात व्यंजक $4 x^{2}+4 x y-3 y^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $(4) \times (-3) = -12$ हो और जिनका योग $4$ हो।
ये दो संख्याएँ $6$ और $-2$ हैं।
अब,मध्य पद $4xy$ को $6xy - 2xy$ के रूप में लिखें:
$4 x^{2}+6 x y-2 x y-3 y^{2}$
पदों के समूह बनाएँ:
$= (4 x^{2}+6 x y) - (2 x y+3 y^{2})$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$= 2 x(2 x+3 y)-y(2 x+3 y)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x+3 y)$ को बाहर निकालने पर:
$= (2 x+3 y)(2 x-y)$

(A) सीधे गुणा किए बिना $93 \times 95$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम संख्याओं को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$93 = 90 + 3$
$95 = 90 + 5$
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $x = 90$,$a = 3$,और $b = 5$ है:
$(90 + 3)(90 + 5) = (90)^2 + (3 + 5)(90) + (3 \times 5)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(90)^2 = 8100$
$(3 + 5)(90) = 8 \times 90 = 720$
$(3 \times 5) = 15$
इन मानों को जोड़ने पर:
$8100 + 720 + 15 = 8835$
अतः,$93 \times 95 = 8835$।

(B) बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके $78 \times 84$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$78 = (80 - 2)$
$84 = (80 + 4)$
सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 80$,$a = -2$,और $b = 4$ है:
$(80 - 2)(80 + 4) = (80)^2 + (-2 + 4)(80) + (-2)(4)$
$= 6400 + (2)(80) - 8$
$= 6400 + 160 - 8$
$= 6560 - 8$
$= 6552$

(A) $(2 x+5 y)^{2}$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2}+2 a b+b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2 x$ और $b = 5 y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 x+5 y)^{2} = (2 x)^{2} + 2(2 x)(5 y) + (5 y)^{2}$
$= 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$.

(A) व्यंजक $(3a - 4)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 3a$ और $y = 4$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a - 4)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(4) + (4)^2$
$= 9a^2 - 24a + 16$.

(A) दी गई व्यंजक $16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a^{2} = 16 x^{2} = (4 x)^{2}$,इसलिए $a = 4 x$ है।
और $b^{2} = 25 y^{2} = (5 y)^{2}$,इसलिए $b = 5 y$ है।
अब,मध्य पद की जाँच करें: $2ab = 2(4 x)(5 y) = 40 x y$ है।
चूंकि व्यंजक सर्वसमिका से मेल खाता है,इसलिए हम इसे $(4 x+5 y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,गुणनखंड $(4 x+5 y)(4 x+5 y)$ हैं।

(B) व्यंजक $49 x^{2}-42 x+9$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $a^{2}-2ab+b^{2} = (a-b)^{2}$ का पालन करता है।
यहाँ,$a^{2} = 49 x^{2} = (7 x)^{2}$,इसलिए $a = 7 x$ है।
और $b^{2} = 9 = (3)^{2}$,इसलिए $b = 3$ है।
अब,मध्य पद की जाँच करें: $-2ab = -2(7 x)(3) = -42 x$ है।
चूँकि व्यंजक सर्वसमिका से मेल खाता है,हम लिख सकते हैं:
$49 x^{2}-42 x+9 = (7 x)^{2}-2(7 x)(3)+(3)^{2} = (7 x-3)^{2}$।
अतः,गुणनखंड $(7 x-3)(7 x-3)$ हैं।

(C) $(107)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $107$ को $(100 + 7)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 100$ और $b = 7$ है:
$(100 + 7)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(7) + (7)^{2}$
$= 10000 + 1400 + 49$
$= 11449$

(A) दिया गया व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ के रूप में है।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 7y$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$(3x + 7y)(3x - 7y) = (3x)^2 - (7y)^2$
$= 9x^2 - 49y^2$

(A) दी गई व्यंजक $121 x^{2}-289 y^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $121 = 11^{2}$ और $289 = 17^{2}$ होता है।
अतः,इस व्यंजक को $(11 x)^{2}-(17 y)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=11x$ और $b=17y$ है:
$(11 x)^{2}-(17 y)^{2}=(11 x-17 y)(11 x+17 y)$.

(A) सीधा गुणा किए बिना $66 \times 74$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(70 - 4)$ और $(70 + 4)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 70$ और $b = 4$ है:
$66 \times 74 = (70 - 4)(70 + 4)$
$= (70)^2 - (4)^2$
$= 4900 - 16$
$= 4884$

(A) $(x+3y-5z)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = x$,$b = 3y$,और $c = -5z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+3y-5z)^{2} = (x)^{2} + (3y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 9y^{2} + 25z^{2} + 6xy - 30yz - 10zx$.

(A) $(2x - y - 5)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$,$b = -y$,और $c = -5$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x - y - 5)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-5)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(-5) + 2(-5)(2x)$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= 4x^2 + y^2 + 25 - 4xy + 10y - 20x$.

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका: $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक: $x^{2}+9 y^{2}+4+6 x y+12 y+4 x$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= (x)^{2} + (3y)^{2} + (2)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(2) + 2(2)(x)$.
इसे सर्वसमिका के साथ तुलना करने पर,जहाँ $a=x$,$b=3y$ और $c=2$ है,हमें प्राप्त होता है:
$= (x+3y+2)^{2}$.
अतः,गुणनखंड $(x+3y+2)(x+3y+2)$ हैं।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-4 x y-12 y z+6 z x$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करेंगे।
दिए गए व्यंजक की सर्वसमिका से तुलना करने पर,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^{2}+(-2 y)^{2}+(3 z)^{2}+2(x)(-2 y)+2(-2 y)(3 z)+2(3 z)(x)$.
यहाँ,$a = x$,$b = -2y$,और $c = 3z$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(x-2y+3z)^{2}$ है।
इसलिए,इसके गुणनखंड $(x-2y+3z)(x-2y+3z)$ हैं।

(C) बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $(132)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $132$ को $(130 + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 130$ और $b = 2$ है:
$(130 + 2)^{2} = (130)^{2} + 2(130)(2) + (2)^{2}$
$= 16900 + 520 + 4$
$= 17424$.

$(3x + 2y)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 2y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x + 2y)^3 = (3x)^3 + (2y)^3 + 3(3x)(2y)(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 18xy(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 54x^2y + 36xy^2$

(N/A) $(2a - 5b)^3$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम निम्नलिखित बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करेंगे:
$(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
यहाँ,$x = 2a$ और $y = 5b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (2a)^3 - (5b)^3 - 3(2a)(5b)(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 30ab(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 60a^2b + 150ab^2$

(N/A) दिया गया व्यंजक $8 x^{3}+27 y^{3}+36 x^{2} y+54 x y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2}$ का उपयोग करके लिख सकते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $a = 2x$ और $b = 3y$ है।
तब,$a^{3} = (2x)^{3} = 8x^{3}$ और $b^{3} = (3y)^{3} = 27y^{3}$ होता है।
मध्य पद $3a^{2}b = 3(2x)^{2}(3y) = 3(4x^{2})(3y) = 36x^{2}y$ और $3ab^{2} = 3(2x)(3y)^{2} = 3(2x)(9y^{2}) = 54xy^{2}$ हैं।
अतः,व्यंजक $(2x)^{3} + (3y)^{3} + 3(2x)^{2}(3y) + 3(2x)(3y)^{2}$ के रूप में है।
यह $(2x + 3y)^{3}$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,गुणनखंडित रूप $(2x + 3y)(2x + 3y)(2x + 3y)$ है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x$ है।
हम इस व्यंजक को $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = -4$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x = (3x)^{3} + (-4)^{3} + 3(3x)^{2}(-4) + 3(3x)(-4)^{2}$ प्राप्त होता है।
यह $(3x - 4)^{3}$ में सरल हो जाता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(3x - 4)(3x - 4)(3x - 4)$ है।

(D) $(998)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $998$ को $(1000 - 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1000$ और $b = 2$ है:
$(1000 - 2)^{3} = (1000)^{3} - (2)^{3} - 3(1000)(2)(1000 - 2)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 6000(998)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 5,988,000$
$= 994,011,992$

(D) दिया गया व्यंजक $8 x^{3}+y^{3}-27 z^{3}+18 x y z$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ का उपयोग करेंगे।
व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $(2 x)^{3}+(y)^{3}+(-3 z)^{3}-3(2 x)(y)(-3 z)$.
यहाँ,$a = 2 x$,$b = y$,और $c = -3 z$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= (2 x+y-3 z)((2 x)^{2}+(y)^{2}+(-3 z)^{2}-(2 x)(y)-(y)(-3 z)-(-3 z)(2 x))$.
पदों को सरल करने पर:
$= (2 x+y-3 z)(4 x^{2}+y^{2}+9 z^{2}-2 x y+3 y z+6 z x)$.

(B) माना $a = 21$,$b = 15$,और $c = -36$ है।
सबसे पहले,$a, b,$ और $c$ का योग ज्ञात कीजिए:
$a + b + c = 21 + 15 + (-36) = 36 - 36 = 0$.
हम जानते हैं कि यदि $a + b + c = 0$ हो,तो बीजीय सर्वसमिका के अनुसार $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(21)^{3} + (15)^{3} + (-36)^{3} = 3 \times (21) \times (15) \times (-36)$.
गुणनफल ज्ञात करने पर:
$3 \times 21 = 63$
$15 \times (-36) = -540$
$63 \times (-540) = -34020$.
अतः,इसका मान $-34020$ है।

(B) व्यंजक $(x+4)(x+9)$ का विस्तार करने के लिए,हम वितरण नियम का उपयोग करते हैं:
$(x+4)(x+9) = x(x+9) + 4(x+9)$
$= x^{2} + 9x + 4x + 36$
$= x^{2} + 13x + 36$

(A) व्यंजक $(3x - 1)(3x + 4)$ का विस्तार करने के लिए,हम वितरण नियम (distributive property) का उपयोग करते हैं:
$(3x - 1)(3x + 4) = (3x)(3x) + (3x)(4) + (-1)(3x) + (-1)(4)$
$= 9x^2 + 12x - 3x - 4$
$= 9x^2 + 9x - 4$

(A) $(2x - 7)(2x - 5)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम वितरण गुण ($FOIL$ विधि) का उपयोग करते हैं:
$1$. प्रथम पदों का गुणा: $(2x) \times (2x) = 4x^2$.
$2$. बाहरी पदों का गुणा: $(2x) \times (-5) = -10x$.
$3$. आंतरिक पदों का गुणा: $(-7) \times (2x) = -14x$.
$4$. अंतिम पदों का गुणा: $(-7) \times (-5) = 35$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $4x^2 - 10x - 14x + 35 = 4x^2 - 24x + 35$.

(N/A) $(2a + 3b)(2a - 5b)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम वितरण गुण (distributive property) का उपयोग करते हैं:
$1$. पहले पदों का गुणा: $(2a) \times (2a) = 4a^2$.
$2$. बाहरी पदों का गुणा: $(2a) \times (-5b) = -10ab$.
$3$. आंतरिक पदों का गुणा: $(3b) \times (2a) = 6ab$.
$4$. अंतिम पदों का गुणा: $(3b) \times (-5b) = -15b^2$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $4a^2 - 10ab + 6ab - 15b^2$.
अंत में,मध्य पदों को सरल करने पर: $-10ab + 6ab = -4ab$.
अतः,विस्तारित रूप $4a^2 - 4ab - 15b^2$ है।

(A) द्विघात व्यंजक $16 x^{2}-16 x-21$ का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $16 \times (-21) = -336$ हो और जिनका योग $-16$ हो।
ये दो संख्याएँ $-28$ और $12$ हैं,क्योंकि $(-28) \times 12 = -336$ और $(-28) + 12 = -16$ होता है।
अब,मध्य पद $-16 x$ को $-28 x + 12 x$ के रूप में विभाजित करें:
$16 x^{2} - 28 x + 12 x - 21$
पदों के समूह बनाएँ:
$(16 x^{2} - 28 x) + (12 x - 21)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पद बाहर निकालें:
$4 x(4 x - 7) + 3(4 x - 7)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(4 x - 7)$ को बाहर निकालने पर:
$(4 x - 7)(4 x + 3)$।

(A) द्विघात व्यंजक $25 x^{2}+25 x+6$ का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $25 \times 6 = 150$ हो और जिनका योग $25$ हो।
ये दो संख्याएँ $15$ और $10$ हैं,क्योंकि $15 \times 10 = 150$ और $15 + 10 = 25$ होता है।
अब,मध्य पद $25 x$ को $15 x + 10 x$ के रूप में विभाजित करें:
$25 x^{2} + 15 x + 10 x + 6$
पदों को समूह में व्यवस्थित करें:
$(25 x^{2} + 15 x) + (10 x + 6)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें:
$5 x(5 x + 3) + 2(5 x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(5 x + 3)$ को बाहर निकालने पर:
$(5 x + 3)(5 x + 2)$.