Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) द्विघात व्यंजक $9 x^{2}-21 x y+10 y^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल $9 \times 10 = 90$ हो और जिनका योग $-21$ हो।
वे दो संख्याएँ $-15$ और $-6$ हैं,क्योंकि $(-15) \times (-6) = 90$ और $(-15) + (-6) = -21$ होता है।
अब,मध्य पद $-21 x y$ को $-15 x y - 6 x y$ के रूप में लिखें:
$9 x^{2} - 15 x y - 6 x y + 10 y^{2}$
पदों के समूह बनाएँ:
$(9 x^{2} - 15 x y) - (6 x y - 10 y^{2})$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$3 x(3 x - 5 y) - 2 y(3 x - 5 y)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3 x - 5 y)$ को बाहर निकालने पर:
$(3 x - 5 y)(3 x - 2 y)$

(A) द्विघात व्यंजक $49 x^{2}-35 x+6$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल $49 \times 6 = 294$ हो और जिनका योग $-35$ हो।
वे दो संख्याएँ $-21$ और $-14$ हैं,क्योंकि $(-21) \times (-14) = 294$ और $(-21) + (-14) = -35$ होता है।
अब,मध्य पद को फिर से लिखते हैं:
$49 x^{2}-21 x-14 x+6$
पदों के समूह बनाते हैं:
$(49 x^{2}-21 x) - (14 x-6)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालते हैं:
$7 x(7 x-3) - 2(7 x-3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(7 x-3)$ को बाहर निकालते हैं:
$(7 x-3)(7 x-2)$

(C) सीधे गुणा किए बिना $103 \times 105$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,हम $103 = (100 + 3)$ और $105 = (100 + 5)$ लिख सकते हैं।
इसे सर्वसमिका के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 100$,$a = 3$,और $b = 5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(100 + 3)(100 + 5) = (100)^2 + (3 + 5)(100) + (3 \times 5)$
$= 10000 + (8 \times 100) + 15$
$= 10000 + 800 + 15$
$= 10815$.

(D) $84 \times 79$ का मान सीधे गुणा किए बिना ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को द्विपद के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
हम $84$ को $(80 + 4)$ और $79$ को $(80 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 80$,$a = 4$,और $b = -1$ है:
$(80 + 4)(80 - 1) = 80^2 + (4 - 1)80 + (4 \times -1)$
$= 6400 + (3 \times 80) - 4$
$= 6400 + 240 - 4$
$= 6640 - 4$
$= 6636$.

(A) सीधा गुणा किए बिना $76 \times 82$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(79 - 3)$ और $(79 + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 79$ और $b = 3$ है:
$76 \times 82 = (79 - 3)(79 + 3)$
$= 79^2 - 3^2$
$= 6241 - 9$
$= 6232$.

(B) सीधे गुणा किए बिना $88 \times 86$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(90 - 2) \times (90 - 4)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 90$,$a = -2$,और $b = -4$ है:
$(90 - 2)(90 - 4) = 90^2 + (-2 - 4) \times 90 + (-2 \times -4)$
$= 8100 + (-6 \times 90) + 8$
$= 8100 - 540 + 8$
$= 7560 + 8$
$= 7568$.

(A) $(3x + 5)^2$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 5$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$
$= 9x^2 + 30x + 25$.

(B) व्यंजक $(6x - 7)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 6x$ और $b = 7$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(6x - 7)^2 = (6x)^2 - 2(6x)(7) + (7)^2$
$= 36x^2 - 84x + 49$.
अतः,विस्तारित रूप $36x^2 - 84x + 49$ है।

(B) $(2a + 3b)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 2a$ और $y = 3b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2$
$= 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

(A) व्यंजक $\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = \frac{x}{2}$ और $b = \frac{2}{5}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2} = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} - 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{5}\right)^{2}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{4x}{10} + \frac{4}{25}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{2x}{5} + \frac{4}{25}$.

(A) $\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \frac{2x}{3}$ और $b = \frac{3y}{4}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2} = \left(\frac{2x}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2x}{3}\right)\left(\frac{3y}{4}\right) + \left(\frac{3y}{4}\right)^{2}$
$= \frac{4x^{2}}{9} + 2\left(\frac{6xy}{12}\right) + \frac{9y^{2}}{16}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + 2\left(\frac{xy}{2}\right) + \frac{9}{16}y^{2}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + xy + \frac{9}{16}y^{2}$.

(A) $(x - \frac{1}{2})^{2}$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = x$ और $b = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - \frac{1}{2})^{2} = (x)^{2} - 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^{2}$.
पदों को सरल करने पर:
$= x^{2} - x + \frac{1}{4}$.

(B) दिया गया व्यंजक $16 x^{2}-40 x y+25 y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $(4 x)^{2}-2(4 x)(5 y)+(5 y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a=4 x$ और $b=5 y$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(4 x-5 y)^{2}$ प्राप्त होता है।

(A) व्यंजक $9x^{2} + 42x + 49$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का पालन करता है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$9x^{2} + 42x + 49 = (3x)^{2} + 2(3x)(7) + (7)^{2}$.
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 7$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(3x + 7)^{2}$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{4x^2}{9} - \frac{x}{3} + \frac{1}{16}$ है।
इसे $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{4x^2}{9} \implies a = \frac{2x}{3}$ है।
और $b^2 = \frac{1}{16} \implies b = \frac{1}{4}$ है।
मध्य पद की जाँच करने पर: $-2ab = -2 \times \left(\frac{2x}{3}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{4x}{12} = -\frac{x}{3}$ है।
चूँकि मध्य पद मेल खाता है,इसलिए व्यंजक $\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\right)^2$ होगा।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{x^{2}}{4}+\frac{3 x y}{5}+\frac{9 y^{2}}{25}$ है।
इसे $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2} = \frac{x^{2}}{4} \implies a = \frac{x}{2}$ है।
और $b^{2} = \frac{9 y^{2}}{25} \implies b = \frac{3 y}{5}$ है।
अब,मध्य पद $2ab = 2 \times \left(\frac{x}{2}\right) \times \left(\frac{3 y}{5}\right) = \frac{3 x y}{5}$ की जाँच करें।
चूंकि मध्य पद मेल खाता है,इसलिए व्यंजक $\left(\frac{x}{2}+\frac{3 y}{5}\right)^{2}$ होगा।

(A) $(65)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,हम $65$ को $(60 + 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(65)^{2} = (60 + 5)^{2}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $(60)^{2} + 2(60)(5) + (5)^{2}$.
$= 3600 + 600 + 25$.
$= 4225$.
वैकल्पिक रूप से,$5$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या के लिए,उसका वर्ग $(n5)^{2} = [n(n+1)] \times 100 + 25$ के रूप में गणना की जाती है।
$65$ के लिए,$n = 6$,इसलिए $[6(6+1)] \times 100 + 25 = (6 \times 7) \times 100 + 25 = 4200 + 25 = 4225$.

(B) $(101)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $101$ को $(100 + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 100$ और $b = 1$ है:
$(100 + 1)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(1) + (1)^{2}$
$= 10000 + 200 + 1$
$= 10201$.

(C) $(1002)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $1002$ को $(1000 + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1000$ और $b = 2$ है:
$(1000 + 2)^{2} = (1000)^{2} + 2(1000)(2) + (2)^{2}$
$= 1000000 + 4000 + 4$
$= 1004004$.

(D) $(98)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $98$ को $(100 - 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 100$ और $b = 2$ है:
$(100 - 2)^{2} = (100)^{2} - 2(100)(2) + (2)^{2}$
$= 10000 - 400 + 4$
$= 9600 + 4$
$= 9604$.

(A) $(x+5y)(x-5y)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = x$ और $b = 5y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(x+5y)(x-5y) = (x)^2 - (5y)^2$
$= x^2 - 25y^2$.

(B) दिया गया व्यंजक $(a + b)(a - b)$ के रूप में है,जहाँ $a = \frac{2x}{3}$ और $b = \frac{4y}{5}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{2x}{3}\right)^2 - \left(\frac{4y}{5}\right)^2$
$= \frac{4x^2}{9} - \frac{16y^2}{25}$
$= \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{25}y^2$.

(N/A) $(3x + 7)(-3x + 7)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करके बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
सबसे पहले,व्यंजक को $(7 + 3x)(7 - 3x)$ के रूप में लिखें।
यहाँ,$a = 7$ और $b = 3x$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर: $(7)^2 - (3x)^2 = 49 - 9x^2$।

(A) $(11 x+18)(11 x-18)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = 11 x$ और $b = 18$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$(11 x)^{2} - (18)^{2}$
$= 121 x^{2} - 324$.

(A) व्यंजक $144 x^{2}-289 y^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,दिए गए पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें:
$144 x^{2} = (12 x)^{2}$
$289 y^{2} = (17 y)^{2}$
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:
$144 x^{2}-289 y^{2} = (12 x)^{2}-(17 y)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=12 x$ और $b=17 y$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(12 x-17 y)(12 x+17 y)$.

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25}$ है।
इसे $a^2 - b^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $a^2 = \frac{4x^2}{9}$ और $b^2 = \frac{1}{25}$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $a = \frac{2x}{3}$ और $b = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करते हुए,हम $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25} = \left(\frac{2x}{3} + \frac{1}{5}\right)\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{5}\right)$.

(A) दी गई व्यंजक $169 x^{2}-625$ है।
हम इसे $(13 x)^{2}-(25)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 13 x$ और $b = 25$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(13 x)^{2}-(25)^{2} = (13 x+25)(13 x-25)$.

(A) $16 x^{4}-y^{4}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम वर्ग के अंतर की सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,व्यंजक को $(4 x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}$ के रूप में लिखें।
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें $(4 x^{2}-y^{2})(4 x^{2}+y^{2})$ प्राप्त होता है।
अब,$(4 x^{2}-y^{2})$ पद को $(2 x)^{2}-(y)^{2}$ के रूप में लिखकर और गुणनखंड करें।
सर्वसमिका का पुनः उपयोग करने पर,$(4 x^{2}-y^{2}) = (2 x-y)(2 x+y)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,अंतिम गुणनखंडित रूप $(2 x-y)(2 x+y)(4 x^{2}+y^{2})$ है।

(A) $103 \times 97$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $103$ को $(100 + 3)$ और $97$ को $(100 - 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3)$
$= 100^2 - 3^2$
$= 10000 - 9$
$= 9991$.

(B) $205 \times 195$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $205$ को $(200 + 5)$ और $195$ को $(200 - 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$205 \times 195 = (200 + 5)(200 - 5)$।
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें $200^2 - 5^2$ प्राप्त होता है।
$200^2 = 40000$ और $5^2 = 25$।
इसलिए,$40000 - 25 = 39975$।

(C) $77 \times 83$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $77$ को $(80 - 3)$ और $83$ को $(80 + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$77 \times 83 = (80 - 3)(80 + 3)$
$= 80^2 - 3^2$
$= 6400 - 9$
$= 6391$.

(D) $153 \times 147$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम संख्याओं को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$153 = 150 + 3$
$147 = 150 - 3$
अब,इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(150 + 3)(150 - 3) = 150^2 - 3^2$
वर्गों की गणना करने पर:
$150^2 = 22500$
$3^2 = 9$
मानों को घटाने पर:
$22500 - 9 = 22491$
अतः,$153 \times 147 = 22491$।

(N/A) $(2x + 3y + 5)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
यहाँ,$a = 2x$,$b = 3y$,और $c = 5$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 3y + 5)^2 = (2x)^2 + (3y)^2 + (5)^2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(5) + 2(5)(2x)$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(2x)^2 = 4x^2$
$(3y)^2 = 9y^2$
$(5)^2 = 25$
$2(2x)(3y) = 12xy$
$2(3y)(5) = 30y$
$2(5)(2x) = 20x$
इन परिणामों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $4x^2 + 9y^2 + 25 + 12xy + 30y + 20x$.

व्यंजक $\left(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}-\frac{3 z}{4}\right)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \frac{x}{2}$,$b = \frac{2y}{3}$,और $c = -\frac{3z}{4}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left(\frac{x}{2}\right)^{2} + \left(\frac{2y}{3}\right)^{2} + \left(-\frac{3z}{4}\right)^{2} + 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2y}{3}\right) + 2\left(\frac{2y}{3}\right)\left(-\frac{3z}{4}\right) + 2\left(-\frac{3z}{4}\right)\left(\frac{x}{2}\right)$
$= \frac{x^{2}}{4} + \frac{4y^{2}}{9} + \frac{9z^{2}}{16} + \frac{2xy}{3} - yz - \frac{3zx}{4}$

(A) $(5x - 7y - z)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = 5x$,$b = -7y$,और $c = -z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(5x - 7y - z)^2 = (5x)^2 + (-7y)^2 + (-z)^2 + 2(5x)(-7y) + 2(-7y)(-z) + 2(-z)(5x)$।
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(5x)^2 = 25x^2$
$(-7y)^2 = 49y^2$
$(-z)^2 = z^2$
$2(5x)(-7y) = -70xy$
$2(-7y)(-z) = 14yz$
$2(-z)(5x) = -10zx$
इन सबको संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $25x^2 + 49y^2 + z^2 - 70xy + 14yz - 10zx$।

(A) $(a - 2b + 7c)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = a$,$y = -2b$,और $z = 7c$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a - 2b + 7c)^2 = (a)^2 + (-2b)^2 + (7c)^2 + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(7c) + 2(7c)(a)$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= a^2 + 4b^2 + 49c^2 - 4ab - 28bc + 14ca$.

(N/A) दिया गया व्यंजक $x^{2}+4 y^{2}+25 z^{2}+4 x y-20 y z-10 z x$ है।
हम इसे बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a = x$,$b = 2y$,और $c = -5z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + (2y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(2y) + 2(2y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 4y^{2} + 25z^{2} + 4xy - 20yz - 10zx$.
अतः,यह व्यंजक $(x+2y-5z)^{2}$ के बराबर है।
इसलिए,इसके गुणनखंड $(x+2y-5z)(x+2y-5z)$ हैं।

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
दी गई व्यंजक: $4x^2 + 9y^2 + 49z^2 - 12xy + 42yz - 28zx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(2x)^2 + (-3y)^2 + (-7z)^2 + 2(2x)(-3y) + 2(-3y)(-7z) + 2(-7z)(2x)$.
यहाँ,$a = 2x$,$b = -3y$,और $c = -7z$ है।
अतः,यह व्यंजक $(2x - 3y - 7z)^2$ के बराबर है,जो $(2x - 3y - 7z)(2x - 3y - 7z)$ है।

(N/A) दी गई व्यंजक $25 x^{2}+9 y^{2}+64+30 x y-48 y-80 x$ है।
इसे $(5 x)^{2}+(3 y)^{2}+(-8)^{2}+2(5 x)(3 y)+2(3 y)(-8)+2(5 x)(-8)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a = (a+b+c)^{2}$ के रूप में है।
यहाँ,$a = 5 x$,$b = 3 y$,और $c = -8$ है।
अतः,व्यंजक $(5 x+3 y-8)^{2}$ हो जाता है,जो $(5 x+3 y-8)(5 x+3 y-8)$ है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^{2}$ के रूप में है।
दिए गए व्यंजक $x^{2} + (\frac{y}{2})^{2} + (\frac{z}{4})^{2} + 2(x)(\frac{y}{2}) + 2(\frac{y}{2})(\frac{z}{4}) + 2(\frac{z}{4})(x)$ की सर्वसमिका से तुलना करने पर:
यहाँ,$a = x$,$b = \frac{y}{2}$,और $c = \frac{z}{4}$ है।
अतः,व्यंजक को $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,इसके गुणनखंड $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})$ हैं।

(A) $(153)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $153$ को $(150 + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(153)^{2} = (150 + 3)^{2}$।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(150)^{2} + 2(150)(3) + (3)^{2}$
$= 22500 + 900 + 9$
$= 23409$।
अतः,सही मान $23409$ है।

(B) $(215)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $215$ को $(200 + 15)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$(200 + 15)^{2} = (200)^{2} + 2(200)(15) + (15)^{2}$.
$= 40000 + 6000 + 225$.
$= 46225$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $(421)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $421$ को $(400 + 21)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका लागू करने पर: $(400 + 21)^{2} = (400)^{2} + 2(400)(21) + (21)^{2}$.
$(400)^{2} = 160000$.
$2 \times 400 \times 21 = 800 \times 21 = 16800$.
$(21)^{2} = 441$.
इन मानों को जोड़ने पर: $160000 + 16800 + 441 = 177241$.
अतः,$(421)^{2} = 177241$.

(A) $(555)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $555$ को $(500 + 55)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$(555)^{2} = (500 + 55)^{2}$
$= (500)^{2} + 2(500)(55) + (55)^{2}$
$= 250000 + 55000 + 3025$
$= 305000 + 3025$
$= 308025$.

(N/A) $(3a + 5b)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 3a$ और $y = 5b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a + 5b)^3 = (3a)^3 + (5b)^3 + 3(3a)(5b)(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 45ab(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 135a^2b + 225ab^2$.

व्यंजक $(2x + 7)^3$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$ और $b = 7$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 7)^3 = (2x)^3 + (7)^3 + 3(2x)^2(7) + 3(2x)(7)^2$
$= 8x^3 + 343 + 3(4x^2)(7) + 3(2x)(49)$
$= 8x^3 + 343 + 84x^2 + 294x$
पदों को घात के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$= 8x^3 + 84x^2 + 294x + 343$.

(N/A) $(4x - 3y)^{3}$ का विस्तार करने के लिए,हम निम्नलिखित बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b) = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
यहाँ,$a = 4x$ और $b = 3y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(4x - 3y)^{3} = (4x)^{3} - 3(4x)^{2}(3y) + 3(4x)(3y)^{2} - (3y)^{3}$
$= 64x^{3} - 3(16x^{2})(3y) + 3(4x)(9y^{2}) - 27y^{3}$
$= 64x^{3} - 144x^{2}y + 108xy^{2} - 27y^{3}$

(N/A) $(7x - 4y)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$.
यहाँ,$a = 7x$ और $b = 4y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(7x - 4y)^{3} = (7x)^{3} - (4y)^{3} - 3(7x)^{2}(4y) + 3(7x)(4y)^{2}$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 3(49x^{2})(4y) + 3(7x)(16y^{2})$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 588x^{2}y + 336xy^{2}$.

(N/A) दिया गया व्यंजक $8x^3 + 343y^3 + 84x^2y + 294xy^2$ है।
हम इसे $(2x)^3 + (7y)^3 + 3(2x)^2(7y) + 3(2x)(7y)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (a + b)^3$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$ और $b = 7y$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2x + 7y)^3$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(2x + 7y)(2x + 7y)(2x + 7y)$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{3} - 125y^{3} - 15x^{2}y + 75xy^{2}$ है।
हम इसे $x^{3} - (5y)^{3} - 3(x^{2})(5y) + 3(x)(5y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = x$ और $b = 5y$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(x - 5y)^{3}$ है,जिसे $(x - 5y)(x - 5y)(x - 5y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।