Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक $64 x^{3} + 125 y^{3} + 240 x^{2} y + 300 x y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $(4x)^{3} + (5y)^{3} + 3(4x)^{2}(5y) + 3(4x)(5y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ के रूप में है,जहाँ $a = 4x$ और $b = 5y$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(4x + 5y)^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(4x + 5y)(4x + 5y)(4x + 5y)$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $27 x^{3}-8 y^{3}-54 x^{2} y+36 x y^{2}$ है।
इसे $(3x)^3 - (2y)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका याद करें: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2$.
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 2y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर,हमें $(3x - 2y)^3$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(3x - 2y)(3x - 2y)(3x - 2y)$ है।

(A) $(995)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $995$ को $(1000 - 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$a = 1000$ और $b = 5$ है।
$(1000 - 5)^{3} = (1000)^{3} - (5)^{3} - 3(1000)(5)(1000 - 5)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 15000(995)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 14,925,000$
$= 1,000,000,000 - 14,925,125$
$= 985,074,875$.

(B) $(105)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $105$ को $(100 + 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$a = 100$ और $b = 5$ है।
$(100 + 5)^{3} = (100)^{3} + (5)^{3} + 3(100)(5)(100 + 5)$
$= 1000000 + 125 + 1500(105)$
$= 1000000 + 125 + 157500$
$= 1157625$

(N/A) दिया गया व्यंजक $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$,$b = 3y$,और $c = 5z$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ का उपयोग करने पर:
$a = 2x$,$b = 3y$,और $c = 5z$ को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$8 x^{3}+27 y^{3}+125 z^{3}-3(2x)(3y)(5z) = (2x+3y+5z)((2x)^{2}+(3y)^{2}+(5z)^{2}-(2x)(3y)-(3y)(5z)-(5z)(2x))$
$= (2x+3y+5z)(4x^{2}+9y^{2}+25z^{2}-6xy-15yz-10zx)$.

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$.
दी गई व्यंजक: $27 x^{3}-y^{3}+64 z^{3}+36 x y z = (3 x)^{3}+(-y)^{3}+(4 z)^{3}-3(3 x)(-y)(4 z)$.
यहाँ,$a = 3 x$,$b = -y$,और $c = 4 z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (3 x-y+4 z)((3 x)^{2}+(-y)^{2}+(4 z)^{2}-(3 x)(-y)-(-y)(4 z)-(4 z)(3 x))$.
$= (3 x-y+4 z)(9 x^{2}+y^{2}+16 z^{2}+3 x y+4 y z-12 z x)$.

(B) दी गई व्यंजक $x^{3}-8 y^{3}-27-18 x y$ है।
इसे $x^{3} + (-2y)^{3} + (-3)^{3} - 3(x)(-2y)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = x$,$b = -2y$,और $c = -3$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + (-2y)^{2} + (-3)^{2} - (x)(-2y) - (-2y)(-3) - (-3)(x))$
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + 4y^{2} + 9 + 2xy - 6y + 3x)$.

(A) दिया गया व्यंजक $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$,$b = 5y$,और $c = 7$ है।
हम सर्वसमिका जानते हैं: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$.
यहाँ,$3abc = 3(2x)(5y)(7) = 210xy$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$8x^{3} + 125y^{3} + 343 - 210xy = (2x + 5y + 7)((2x)^{2} + (5y)^{2} + (7)^{2} - (2x)(5y) - (5y)(7) - (7)(2x))$.
पदों को सरल करने पर:
$= (2x + 5y + 7)(4x^{2} + 25y^{2} + 49 - 10xy - 35y - 14x)$.

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: यदि $a+b+c=0$,तो $a^3+b^3+c^3=3abc$ होता है।
माना $a = (x-2y)$,$b = (2y-3z)$,और $c = (3z-x)$ है।
अब,योग $a+b+c$ की गणना करें:
$a+b+c = (x-2y) + (2y-3z) + (3z-x)$
$a+b+c = x - x - 2y + 2y - 3z + 3z = 0$.
चूंकि योग $0$ है,इसलिए व्यंजक $(x-2y)^3 + (2y-3z)^3 + (3z-x)^3$ का मान $3abc$ होगा।
अतः,गुणनखंडित रूप $3(x-2y)(2y-3z)(3z-x)$ है।

(D) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
दी गई व्यंजक: $(31)^3 + (-16)^3 + (-15)^3$।
माना $x = 31$,$y = -16$,और $z = -15$ है।
योग की जाँच करें: $x + y + z = 31 + (-16) + (-15) = 31 - 31 = 0$।
चूंकि योग $0$ है,इसलिए व्यंजक का मान $3xyz$ होगा।
मान $= 3 \times (31) \times (-16) \times (-15)$।
मान $= 3 \times 31 \times 240$।
मान $= 93 \times 240 = 22320$।

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ होता है।
दी गई व्यंजक: $(14)^{3} + (27)^{3} - (41)^{3}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(14)^{3} + (27)^{3} + (-41)^{3}$।
मान लीजिए $x = 14$,$y = 27$,और $z = -41$ है।
योग की जाँच करें: $x + y + z = 14 + 27 + (-41) = 41 - 41 = 0$।
चूँकि योग $0$ है,इसलिए व्यंजक का मान $3xyz$ होगा।
मान $= 3 \times (14) \times (27) \times (-41)$।
मान $= 3 \times 378 \times (-41) = 1134 \times (-41) = -46494$।

(B) माना $x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{1}{3}$,और $z = -\frac{5}{6}$ है।
सबसे पहले,$x, y,$ और $z$ का योग ज्ञात करें:
$x + y + z = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3+2-5}{6} = \frac{0}{6} = 0$.
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका के अनुसार: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
मान रखने पर:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)$.
$= 3 \times \left(\frac{1}{6}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{5}{12}$.

(C) माना $a = 0.2$,$b = -0.3$,और $c = 0.1$ है।
हम देखते हैं कि $a + b + c = 0.2 + (-0.3) + 0.1 = 0.3 - 0.3 = 0$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ होता है।
मान रखने पर:
$(0.2)^{3} + (-0.3)^{3} + (0.1)^{3} = 3(0.2)(-0.3)(0.1)$।
गुणनफल की गणना करने पर: $3 \times 0.2 = 0.6$; $0.6 \times (-0.3) = -0.18$; $-0.18 \times 0.1 = -0.018$।
अतः,$(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3} = -0.018$।

(A) वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = (\text{भुजा})^2$।
यहाँ, $\text{क्षेत्रफल} = 9x^2 + 30x + 25$ दिया गया है।
इस द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a = 3x$ और $b = 5$ है:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x + 5)^2$।
चूँकि $\text{क्षेत्रफल} = (\text{भुजा})^2$ है, इसलिए भुजा की लंबाई $(3x + 5)$ इकाई होगी।

(A) आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
दिया गया क्षेत्रफल = $20 x^{2} + 22 x + 6$.
लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करेंगे:
$20 x^{2} + 22 x + 6 = 20 x^{2} + 10 x + 12 x + 6$.
पदों को समूहबद्ध करने पर: $(20 x^{2} + 10 x) + (12 x + 6)$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $10 x(2 x + 1) + 6(2 x + 1)$.
इस प्रकार,गुणनखंड $(10 x + 6)(2 x + 1)$ या $(5 x + 3)(4 x + 2)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक $(5 x + 3)$ इकाई और $(4 x + 2)$ इकाई हैं।

(A) घनाभ का आयतन उसकी विमाओं के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$.
दिया गया है $V = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
विमाओं को ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद का गुणनखंड करेंगे।
मान लीजिए $p(x) = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
मानों की जाँच करने पर, यदि $x = -1$ है, तो $p(-1) = 2(-1)^3 + 15(-1)^2 + 33(-1) + 20 = -2 + 15 - 33 + 20 = 0$.
अतः, $(x + 1)$ एक गुणनखंड है।
$2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$ को $(x + 1)$ से विभाजित करने पर हमें $2x^2 + 13x + 20$ प्राप्त होता है।
अब, द्विघात बहुपद $2x^2 + 13x + 20$ का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 + 8x + 5x + 20 = 2x(x + 4) + 5(x + 4) = (2x + 5)(x + 4)$.
इसलिए, संभावित विमाएँ $(2x + 5), (x + 4), (x + 1)$ हैं।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = x^{2} + 9x + 20$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-2)$ प्राप्त होता है।
बहुपद में $x = -2$ रखने पर:
$p(-2) = (-2)^{2} + 9(-2) + 20$
$p(-2) = 4 - 18 + 20$
$p(-2) = 6$।
बहुपद के $(x + 2)$ से विभाज्य होने के लिए,शेषफल $0$ होना चाहिए।
इसलिए,हमें बहुपद $p(x)$ में से शेषफल $6$ को घटाना होगा ताकि नया बहुपद $(x + 2)$ से पूर्णतः विभाज्य हो जाए।

(D) माना बहुपद $p(x) = x^{2} - 8x + 10$ है। माना जोड़ी जाने वाली संख्या $k$ है। नया बहुपद $g(x) = x^{2} - 8x + 10 + k$ होगा। $g(x)$ के $x - 3$ से विभाज्य होने के लिए,जब $g(x)$ को $x - 3$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $0$ होना चाहिए। शेषफल प्रमेय के अनुसार,शेषफल $g(3)$ है। अतः,$g(3) = 0$। $g(x)$ में $x = 3$ रखने पर: $(3)^{2} - 8(3) + 10 + k = 0$। $9 - 24 + 10 + k = 0$। $-15 + 10 + k = 0$। $-5 + k = 0$। इसलिए,$k = 5$।

(A) दिया गया समीकरण $x+y = -4$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$(x+y)^3 = (-4)^3$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ का उपयोग करने पर,$x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = -64$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $(x+y) = -4$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^3 + y^3 + 3xy(-4) = -64$.
$x^3 + y^3 - 12xy = -64$.
दोनों पक्षों में $64$ जोड़ने पर,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = -64 + 64$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = 0$।

(B) दिए गए समीकरण $x = 2y + 6$ को $x - 2y = 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^3 - 8y^3 - 36xy - 216$ का मान ज्ञात करने के लिए,इसे $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 - 3(x)(-2y)(-6)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका याद करें: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$।
यहाँ $a = x$,$b = -2y$,और $c = -6$ लें।
तो $a + b + c = x - 2y - 6$ होगा। चूँकि $x - 2y = 6$,इसलिए $a + b + c = 6 - 6 = 0$ होगा।
यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होता है।
मान रखने पर: $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 = 3(x)(-2y)(-6)$।
$x^3 - 8y^3 - 216 = 36xy$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 = 0$।

(C) माना $p(x) = ax^3 + 4x^2 + 3x - 4$ और $q(x) = x^3 - 4x + a$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $f(x)$ को $x - c$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ होता है।
यहाँ,$c = 3$ है। इसलिए,$p(x)$ के लिए शेषफल $p(3)$ और $q(x)$ के लिए शेषफल $q(3)$ होगा।
$p(3) = a(3)^3 + 4(3)^2 + 3(3) - 4 = 27a + 36 + 9 - 4 = 27a + 41$.
$q(3) = (3)^3 - 4(3) + a = 27 - 12 + a = 15 + a$.
चूँकि शेषफल समान हैं,इसलिए $p(3) = q(3)$ होगा।
$27a + 41 = 15 + a$.
$27a - a = 15 - 41$.
$26a = -26$.
$a = -1$.

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-1)$ होता है।
दिया गया है कि $p(-1) = 19$.
$p(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} - a(-1) + 3a - 7 = 19$
$1 + 2 + 3 + a + 3a - 7 = 19$
$4a - 1 = 19$
$4a = 20 \implies a = 5$.
अब,$p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 3(5) - 7 = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 8$.
जब $p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम $p(-2)$ की गणना करेंगे।
$p(-2) = (-2)^{4} - 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 5(-2) + 8$
$p(-2) = 16 - 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$p(-2) = 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$.
अतः,$a = 5$ और शेषफल $62$ है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2}-5x+4$ है।
यदि किसी बहुपद की घात (चर की अधिकतम घात) $1$ हो,तो उसे रैखिक बहुपद कहा जाता है।
दिए गए व्यंजक $x^{2}-5x+4$ में,चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है,न कि रैखिक बहुपद।
अतः,यह कथन असत्य है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
बहुपद $5x^{2} - 7x + 2$ में,चर $x$ की घातें $2$,$1$ और $0$ हैं (क्योंकि $2 = 2x^{0}$)।
इनमें सबसे बड़ी घात $2$ है।
अतः,बहुपद $5x^{2} - 7x + 2$ की घात $2$ है,$5$ नहीं।
इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(A) कथन की जाँच करने के लिए,हम दाईं ओर का विस्तार करते हैं:
$(x-6)(x-2) = x(x-2) - 6(x-2)$
$= x^{2} - 2x - 6x + 12$
$= x^{2} - 8x + 12$
चूंकि विस्तारित रूप बाईं ओर से मेल खाता है,इसलिए यह कथन सत्य है।

(B) बहुपद $p(x) = 2x + 3$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
चूंकि प्राप्त शून्यक $-\frac{3}{2}$ है,न कि $\frac{3}{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य (False) है।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
बहुपद $5x^{3} - 3x^{2} + 11x - 14$ में,$x^{3}$ वाला पद $5x^{3}$ है।
$x^{3}$ का गुणांक वह संख्यात्मक गुणनखंड है जो $x^{3}$ के साथ गुणा में है,जो कि $5$ है,$3$ नहीं।

(B) $p(-2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद $p(x) = x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करें।
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = (-8 - 52) + (36 + 24)$
$p(-2) = -60 + 60$
$p(-2) = 0$

(C) गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ के लिए $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(7) = 0,$ इसलिए प्रमेय के अनुसार $a = 7$ रखने पर,$(x - 7)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 11x + 5$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों को बहुपद में प्रतिस्थापित करके जाँच करते हैं।
यदि $x = -1$ है:
$p(-1) = (-1)^{3} + 7(-1)^{2} + 11(-1) + 5$
$p(-1) = -1 + 7(1) - 11 + 5$
$p(-1) = -1 + 7 - 11 + 5$
$p(-1) = 12 - 12 = 0$
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $x = -1$ बहुपद $p(x)$ का एक शून्यक है।

(A) जब बहुपद $p(x) = x^{3} + 125$ को $(x - 5)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$a = 5$ है।
अतः,शेषफल $p(5) = (5)^{3} + 125$ होगा।
$p(5) = 125 + 125 = 250$.
इसलिए,शेषफल $250$ है।

(B) $85 \times 75$ की गणना करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $85$ को $(80 + 5)$ और $75$ को $(80 - 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$85 \times 75 = (80 + 5)(80 - 5)$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 80$ और $b = 5$ है:
$= 80^2 - 5^2$
$= 6400 - 25$
$= 6375$.

(C) द्विघात व्यंजक $4x^{2} - 20x + 25$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का पालन करता है।
यहाँ,$a^{2} = 4x^{2} \implies a = 2x$ है।
साथ ही,$b^{2} = 25 \implies b = 5$ है।
मध्य पद की जाँच करने पर: $-2ab = -2(2x)(5) = -20x$,जो दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
अतः,$4x^{2} - 20x + 25 = (2x - 5)^{2}$।

(D) दी गई द्विघात व्यंजक $x^{2}-10x+21 = (x+m)(x+n)$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,हमें $(x+m)(x+n) = x^{2} + nx + mx + mn = x^{2} + (m+n)x + mn$ प्राप्त होता है।
मूल व्यंजक $x^{2}-10x+21$ के साथ $x$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर:
$m+n = -10$
$mn = 21$
अतः,$m+n$ का मान $-10$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3}-3x^{2}+ax+24$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{3} - 3(2)^{2} + a(2) + 24 = 0$.
$8 - 3(4) + 2a + 24 = 0$.
$8 - 12 + 2a + 24 = 0$.
$20 + 2a = 0$.
$2a = -20$.
$a = -10$.

(B) बहुपद को उसकी घात (चर की उच्चतम घात) के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
व्यंजक $4 x^{2}+11 x-3$ के लिए,चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$4 x^{2}+11 x-3$ एक द्विघात बहुपद है।

(C) द्विघात बहुपद $x^{2}-23x+120$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $-23$ हो और गुणनफल $120$ हो।
मान लीजिए कि वे दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हमारे पास $a+b = -23$ और $ab = 120$ है।
$120$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $-15$ और $-8$ इन शर्तों को पूरा करते हैं क्योंकि $(-15) + (-8) = -23$ और $(-15) \times (-8) = 120$ है।
अब,मध्य पद $-23x$ को $-15x - 8x$ के रूप में लिखें:
$x^{2}-15x-8x+120$
पदों को समूहबद्ध करें:
$(x^{2}-15x) - (8x-120)$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें:
$x(x-15) - 8(x-15)$
$(x-15)(x-8)$
अतः,गुणनखंड $(x-15)(x-8)$ हैं।

(D) बहुपद $p(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$ का गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
आइए दिए गए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $D$ के लिए,$x-1 = 0$ का अर्थ है $x = 1$।
$p(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 7(1) - 5$
$p(1) = 1 - 3 + 7 - 5$
$p(1) = 8 - 8 = 0$।
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,हम $p(x) = x^{2} + 12x + 36$ को $(x + 5)$ से विभाजित कर रहे हैं,जो $(x - (-5))$ के बराबर है।
इसलिए,शेषफल $p(-5)$ होगा।
बहुपद में $x = -5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-5) = (-5)^{2} + 12(-5) + 36$
$p(-5) = 25 - 60 + 36$
$p(-5) = 61 - 60$
$p(-5) = 1$
अतः,शेषफल $1$ है।

(B) दिया गया द्विघात व्यंजक $x^{2}-8x-20 = (x+a)(x+b)$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,हमें $(x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $x^{2}-8x-20$ से करने पर,हम अचर पदों की तुलना करते हैं।
बाईं ओर का अचर पद $-20$ है।
दाहिनी ओर का अचर पद $ab$ है।
अतः,$ab = -20$।

(C) बहुपद $p(x) = x^{3}-3x^{2}-5x+15$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$x^{2}(x-3) - 5(x-3) = 0$
$(x^{2}-5)(x-3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-3 = 0 \implies x = 3$
$x^{2}-5 = 0 \implies x^{2} = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,$3$ एक शून्यक है।

(D) माना $p(x) = x^{3} + 12x^{2} + ax + 60$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+3)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-3) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -3$ रखने पर:
$(-3)^{3} + 12(-3)^{2} + a(-3) + 60 = 0$
$-27 + 12(9) - 3a + 60 = 0$
$-27 + 108 - 3a + 60 = 0$
$141 - 3a = 0$
$3a = 141$
$a = 47$.

(A) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $5x^{2} - 7x - 11$ में,चर $x$ की घातें $2$,$1$ और $0$ हैं (क्योंकि $11 = 11x^{0}$)।
इनमें सबसे बड़ी घात $2$ है।
अतः,बहुपद की घात $2$ है।

(B) बहुपद $p(x) = 5x - 10$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$5x - 10 = 0$
$5x = 10$
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$
अतः,बहुपद का शून्यक $2$ है।

(B) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(-3) = 0$,इसलिए हम $(x - a)$ में $a = -3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
इससे हमें $(x - (-3)) = x + 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + 3)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(B) दी गई व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ के रूप में है।
यहाँ,$a = 5x$ और $b = 3$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$(5x+3)(5x-3) = (5x)^{2} - (3)^{2}$
$= 25x^{2} - 9$.

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x^{3} - 3x^{2} + 11x - 4$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{2}$ वाले पद को देखते हैं,जो $-3x^{2}$ है।
$x^{2}$ के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक गुणनखंड $-3$ है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $-3$ है।

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 8x + 12$ है।
$p(-1)$ का मान ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} + 8(-1) + 12$
$p(-1) = -1 - 3(1) - 8 + 12$
$p(-1) = -1 - 3 - 8 + 12$
$p(-1) = -12 + 12$
$p(-1) = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करते हैं:
$7x^5 - 4x^4 + 2(x^3)^2 - x^2 + 35$
$= 7x^5 - 4x^4 + 2x^6 - x^2 + 35$
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात होती है।
सरल किए गए व्यंजक $2x^6 + 7x^5 - 4x^4 - x^2 + 35$ में,$x$ की उच्चतम घात $6$ है।
अतः,बहुपद की घात $6$ है।

(A) बहुपद $p(x) = bx + m$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$bx + m = 0$
$bx = -m$
$x = -\frac{m}{b}$
अतः,बहुपद का शून्यक $-\frac{m}{b}$ है।