Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Hindi

(C) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 290 \, m$,$b = 290 \, m$ और $c = 400 \, m$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{290 + 290 + 400}{2} = \frac{980}{2} = 490 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{490(490-290)(490-290)(490-400)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{490 \times 200 \times 200 \times 90}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{490 \times 90 \times 200^2}$.
क्षेत्रफल = $200 \times \sqrt{44100}$.
क्षेत्रफल = $200 \times 210 = 42000 \, m^2$.

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 13\, cm$,$b = 14\, cm$ और $c = 15\, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 2^4}$
क्षेत्रफल $= 3 \times 7 \times 2^2 = 21 \times 4 = 84\, cm^2$.

(A) $120 \, m$ भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$s = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \times 120}{2} = 180 \, m$.
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
चूंकि $a = b = c = 120 \, m$ है,इसलिए:
क्षेत्रफल $= \sqrt{180(180-120)(180-120)(180-120)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 60 \times 60 \times 60}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60^4}$
क्षेत्रफल $= 60^2 \sqrt{3} = 3600 \sqrt{3} \, m^2$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 33 \, cm$,$b = 34 \, cm$ और $c = 65 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{33 + 34 + 65}{2} = \frac{132}{2} = 66 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{66(66 - 33)(66 - 34)(66 - 65)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{66 \times 33 \times 32 \times 1}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{(2 \times 33) \times 33 \times (16 \times 2) \times 1}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{33^2 \times 2^2 \times 4^2} = 33 \times 2 \times 4 = 264 \, cm^2$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 510\,m$,$b = 520\,m$ और $c$ हैं।
परिमाप $P = a + b + c = 1560\,m$.
$510 + 520 + c = 1560 \implies 1030 + c = 1560 \implies c = 530\,m$.
अर्ध-परिमाप $s = P/2 = 1560/2 = 780\,m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{780(780-510)(780-520)(780-530)} = \sqrt{780 \times 270 \times 260 \times 250}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25 \times 10^4} = 1,17,000\,m^2$.
खर्च $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 1,17,000 \times 21 = \text{Rs. } 24,57,000$.

(D) एक सम षट्भुज $6$ समबाहु त्रिभुजों से बना होता है,जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई $a = 12\,cm$ है।
सम षट्भुज का परिमाप $= 6 \times a = 6 \times 12\,cm = 72\,cm$.
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}\,cm^2$.
षट्भुज का कुल क्षेत्रफल $= 6 \times 36\sqrt{3}\,cm^2 = 216\sqrt{3}\,cm^2$.
अतः,परिमाप $72\,cm$ है और क्षेत्रफल $216\sqrt{3}\,cm^2$ है।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 51 \, cm$,$b = 52 \, cm$ और $c = 101 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 101}{2} = \frac{204}{2} = 102 \, cm$.
अब,त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हेरोन के सूत्र का प्रयोग करें:
$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{Area} = \sqrt{102(102-51)(102-52)(102-101)}$
$\text{Area} = \sqrt{102 \times 51 \times 50 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{(51 \times 2) \times 51 \times (25 \times 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{51^2 \times 2^2 \times 5^2}$
$\text{Area} = 51 \times 2 \times 5 = 510 \, cm^2$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 13 \, cm$,$b = 13 \, cm$ और $c = 10 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s = (a + b + c) / 2 = (13 + 13 + 10) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ की गणना करें।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \times 5 \times 5 \times 8} = \sqrt{3600} = 60 \, cm^2$.
अब,$c = 10 \, cm$ आधार के संगत शीर्षलंब $h$ ज्ञात करने के लिए,सूत्र क्षेत्रफल $= (1/2) \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ का उपयोग करें।
$60 = (1/2) \times 10 \times h \implies 60 = 5h \implies h = 12 \, cm$.

(C) माना कि समान भुजाएँ $a = 30 \, cm$ और $b = 30 \, cm$ हैं।
दिया गया परिमाप $P = 84 \, cm$ है,इसलिए तीसरी भुजा $c = P - (a + b) = 84 - (30 + 30) = 84 - 60 = 24 \, cm$ होगी।
अर्ध-परिमाप $s = P / 2 = 84 / 2 = 42 \, cm$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$A = \sqrt{42(42-30)(42-30)(42-24)}$.
$A = \sqrt{42 \times 12 \times 12 \times 18}$.
$A = 12 \sqrt{42 \times 18} = 12 \sqrt{756}$.
चूंकि $756 = 36 \times 21$,इसलिए $A = 12 \times 6 \sqrt{21} = 72 \sqrt{21} \, cm^2$ प्राप्त होता है।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ का विकर्ण $BD$ इसे दो गैर-अतिव्यापी त्रिभुजों,$\Delta ABD$ और $\Delta BCD$ में विभाजित करता है।
$\Delta ABD$ के लिए,भुजाएँ $a = 40 \, cm$,$b = 29 \, cm$ और $c = 29 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = \frac{40 + 29 + 29}{2} = \frac{98}{2} = 49 \, cm$.
$\Delta ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{49(49 - 40)(49 - 29)(49 - 29)} = \sqrt{49 \times 9 \times 20 \times 20} = 7 \times 3 \times 20 = 420 \, cm^2$.
$\Delta BCD$ के लिए,भुजाएँ $a = 29 \, cm$,$b = 48 \, cm$ और $c = 35 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = \frac{29 + 48 + 35}{2} = \frac{112}{2} = 56 \, cm$.
$\Delta BCD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{56(56 - 29)(56 - 48)(56 - 35)} = \sqrt{56 \times 27 \times 8 \times 21} = \sqrt{(8 \times 7) \times (9 \times 3) \times 8 \times (3 \times 7)} = \sqrt{8^2 \times 7^2 \times 3^2 \times 9} = 8 \times 7 \times 3 \times 3 = 504 \, cm^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \Delta ABD$ का क्षेत्रफल $+ \Delta BCD$ का क्षेत्रफल $= 420 + 504 = 924 \, cm^2$.

(A) $\triangle ABD$ में, $\angle A = 90^{\circ}$, $AB = 15 \text{ cm}$ और $AD = 8 \text{ cm}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}$।
समकोण $\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \text{ cm}^2$।
$\triangle BCD$ में, भुजाएँ $a = 17 \text{ cm}$, $b = 25 \text{ cm}$ और $c = 12 \text{ cm}$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{17 + 25 + 12}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}$।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-17)(27-25)(27-12)} = \sqrt{27 \times 10 \times 2 \times 15} = \sqrt{8100} = 90 \text{ cm}^2$।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \triangle ABD$ का क्षेत्रफल $+ \triangle BCD$ का क्षेत्रफल $= 60 + 90 = 150 \text{ cm}^2$।

(B) माना $ABCD$ वह प्लॉट है जो विकर्ण $BD = 72 \, m$ द्वारा दो समान त्रिभुजों में विभाजित होता है।
चूंकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं।
परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 340 \, m$.
अतः,भुजा $= \frac{340}{4} = 85 \, m$.
$\Delta ABD$ में,भुजाएँ $a = 85 \, m$,$b = 85 \, m$ और $c = 72 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $(s) = \frac{85 + 85 + 72}{2} = \frac{242}{2} = 121 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{121(121-85)(121-85)(121-72)}$
$= \sqrt{121 \times 36 \times 36 \times 49}$
$= 11 \times 36 \times 7 = 2772 \, m^2$.
चूंकि विकर्ण समचतुर्भुज को दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है,समचतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times \Delta ABD$ का क्षेत्रफल
$= 2 \times 2772 = 5544 \, m^2$.

(C) चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: $\triangle ABD$ और $\triangle BCD$।
$\triangle ABD$ के लिए,भुजाएँ $a = 9 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (9 + 12 + 15) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3} = \sqrt{2916} = 54 \, cm^2$।
$\triangle BCD$ के लिए,भुजाएँ $a = 13 \, cm$,$b = 14 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$ है।
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 54 + 84 = 138 \, cm^2$।

(D) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करता है।
हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करके $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
$\triangle ABC$ की भुजाएँ $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ और $c = 17 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = (a + b + c) / 2 = (9 + 10 + 17) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$ है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ के क्षेत्रफल का दोगुना होता है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 36 = 72 \, cm^2$ है।

(A) $1$. विकर्ण $AC$ खींचकर चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करें।
$2$. $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है।
$3$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \, cm^2$.
$4$. $\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$। अतः,$AC = 25 \, cm$।
$5$. अब,$\triangle ADC$ में,भुजाएँ $a = 25 \, cm$,$b = 12 \, cm$,$c = 17 \, cm$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{25 + 12 + 17}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$।
$6$. $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-25)(27-12)(27-17)} = \sqrt{27 \times 2 \times 15 \times 10} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$।
$7$. चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC) + \text{क्षेत्रफल}(\triangle ADC) = 150 + 90 = 240 \, cm^2$।

(B) चतुर्भुज $PQRS$ को विकर्ण $PR = 51 \, cm$ द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$।
$\triangle PQR$ के लिए,भुजाएँ $a = 27 \, cm$,$b = 30 \, cm$,$c = 51 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (27 + 30 + 51) / 2 = 108 / 2 = 54 \, cm$ है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{54(54-27)(54-30)(54-51)} = \sqrt{54 \times 27 \times 24 \times 3} = \sqrt{104976} = 324 \, cm^2$ है।
$\triangle PSR$ के लिए,भुजाएँ $a = 52 \, cm$,$b = 53 \, cm$,$c = 51 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (52 + 53 + 51) / 2 = 156 / 2 = 78 \, cm$ है।
$\triangle PSR$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{78(78-52)(78-53)(78-51)} = \sqrt{78 \times 26 \times 25 \times 27} = \sqrt{1368900} = 1170 \, cm^2$ है।
चतुर्भुज $PQRS$ का कुल क्षेत्रफल = $324 + 1170 = 1494 \, cm^2$ है।

(C) चतुर्भुज $XYZW$ को विकर्ण $XZ$ द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: $\triangle XYZ$ और $\triangle XZW$।
$\triangle XYZ$ के लिए,भुजाएँ $a = 25 \, m$,$b = 60 \, m$ और $c = 65 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (25 + 60 + 65) / 2 = 150 / 2 = 75 \, m$।
$\triangle XYZ$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{75(75-25)(75-60)(75-65)} = \sqrt{75 \times 50 \times 15 \times 10} = \sqrt{562500} = 750 \, m^2$।
$\triangle XZW$ के लिए,भुजाएँ $a = 65 \, m$,$b = 33 \, m$ और $c = 34 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (65 + 33 + 34) / 2 = 132 / 2 = 66 \, m$।
$\triangle XZW$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{66(66-65)(66-33)(66-34)} = \sqrt{66 \times 1 \times 33 \times 32} = \sqrt{69696} = 264 \, m^2$।
चतुर्भुज $XYZW$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle XYZ) + \text{Area}(\triangle XZW) = 750 + 264 = 1014 \, m^2$।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ को विकर्ण $AC = 48 \, cm$ द्वारा दो त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित किया गया है।
$\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $a = 29 \, cm$,$b = 35 \, cm$ और $c = 48 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (29 + 35 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{56(56-29)(56-35)(56-48)} = \sqrt{56 \times 27 \times 21 \times 8} = \sqrt{254016} = 504 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ के लिए,भुजाएँ $a = 50 \, cm$,$b = 14 \, cm$ और $c = 48 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (50 + 14 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{56(56-50)(56-14)(56-48)} = \sqrt{56 \times 6 \times 42 \times 8} = \sqrt{112896} = 336 \, cm^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC) = 504 + 336 = 840 \, cm^2$.

(A) $1$. चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करने के लिए $AC$ को मिलाइए: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$।
$2$. समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$। अतः,$AC = \sqrt{1681} = 41 \, cm$।
$3$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, cm^2$।
$4$. $\triangle ADC$ के लिए,भुजाएँ $a = 41 \, cm$,$b = 28 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{41 + 28 + 15}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, cm$।
$5$. $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{42(42-41)(42-28)(42-15)} = \sqrt{42 \times 1 \times 14 \times 27} = \sqrt{(14 \times 3) \times 14 \times (9 \times 3)} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126 \, cm^2$।
$6$. चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC) + \text{क्षेत्रफल}(\triangle ADC) = 180 + 126 = 306 \, cm^2$।

(B) चरण $1$: $a = 10 \, cm$,$b = 17 \, cm$ और $c = 21 \, cm$ भुजाओं वाले त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $(s)$ ज्ञात कीजिए।
$s = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 48 / 2 = 24 \, cm$.
चरण $2$: हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$.
चरण $3$: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है,इसलिए $\text{क्षेत्रफल} = 84 \, cm^2$.
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
यहाँ $\text{आधार} = 12 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $12 \times \text{ऊँचाई} = 84$.
$\text{ऊँचाई} = 84 / 12 = 7 \, cm$.

(C) एक समांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण द्वारा दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित होता है। मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ और $c = 25 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है: $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$ है।
समांतर चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $2 \times 90 = 180 \, cm^2$ है।
$3$ रुपये प्रति $cm^2$ की दर से पेंट करने का कुल खर्च $180 \times 3 = 540$ रुपये है।

(D) $1$. समचतुर्भुज का परिमाप $680 \, m$ है। चूँकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं,इसलिए भुजा की लंबाई $a = 680 / 4 = 170 \, m$ है।
$2$. मान लीजिए विकर्ण $d_1 = 300 \, m$ और $d_2$ हैं। समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
$3$. समचतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के आधे भाग द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज पर विचार करने पर,हमें $(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
$4$. मान रखने पर: $(300/2)^2 + (d_2/2)^2 = 170^2$,जिससे $150^2 + (d_2/2)^2 = 28900$ प्राप्त होता है।
$5$. $22500 + (d_2/2)^2 = 28900$,अतः $(d_2/2)^2 = 6400$,जिसका अर्थ है $d_2/2 = 80 \, m$।
$6$. इस प्रकार,$d_2 = 160 \, m$।
$7$. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $(1/2) \times d_1 \times d_2 = (1/2) \times 300 \times 160 = 24000 \, m^2$ है।

(A) पतंगाकार चतुर्भुज $ABCD$ दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ से बना है,जो विकर्ण $AC$ पर जुड़े हुए हैं।
चूंकि $AB = AD = 12 \, cm$ और $CB = CD = 17 \, cm$ है,$SSS$ सर्वांगसमता के अनुसार $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ है।
$\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $a = 12 \, cm, b = 17 \, cm, c = 25 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = (12 + 17 + 25) / 2 = 54 / 2 = 27 \, cm$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$ है।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 90 = 180 \, cm^2$ है।
मान लीजिए कि $BD$,$AC$ को बिंदु $O$ पर काटता है। $AC \perp BD$ है। $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= (1/2) \times AC \times BO = 90$ है।
$(1/2) \times 25 \times BO = 90 \implies BO = 180 / 25 = 7.2 \, cm$ है।
चूंकि $BD = 2 \times BO$ है,इसलिए $BD = 2 \times 7.2 = 14.4 \, cm$ है।

(B) $1$. $AD$ के समानांतर एक रेखा $CE$ खींचिए ताकि $E$, $AB$ पर स्थित हो। चूँकि $AD \parallel CE$ और $AE \parallel CD$, $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है。
$2$. अतः, $AE = CD = 20 \, cm$ और $CE = AD = 9 \, cm$ है।
$3$. $EB$ की लंबाई $AB - AE = 30 - 20 = 10 \, cm$ है।
$4$. $\triangle CEB$ में, भुजाएँ $17 \, cm$, $9 \, cm$ और $10 \, cm$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = (17 + 9 + 10) / 2 = 18 \, cm$ है।
$5$. हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-17)(18-9)(18-10)} = \sqrt{18 \times 1 \times 9 \times 8} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$ है।
$6$. $\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $(1/2) \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = (1/2) \times 10 \times h = 36$ द्वारा भी दिया जाता है, इसलिए $h = 7.2 \, cm$ है।
$7$. समलंब $ABCD$ का क्षेत्रफल $= (1/2) \times (AB + CD) \times h = (1/2) \times (30 + 20) \times 7.2 = 25 \times 7.2 = 180 \, cm^2$ है।

(C) माना कि समान भुजाएँ $3x$ हैं और आधार $2x$ है।
त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग है: $3x + 3x + 2x = 32 \, cm$.
$8x = 32 \implies x = 4$.
अतः,भुजाएँ $a = 12 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 8 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(D) $1$. समचतुर्भुज का परिमाप $40 \, cm$ है। चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए भुजा की लंबाई $a = 40 / 4 = 10 \, cm$ है।
$2$. मान लीजिए विकर्ण $d_1 = 12 \, cm$ और $d_2$ हैं। समचतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। विकर्णों द्वारा बने चार समकोण त्रिभुजों में से एक पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$(d_2 / 2)^2 + (d_1 / 2)^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
$3$. $(d_2 / 2)^2 + (12 / 2)^2 = 10^2 \implies (d_2 / 2)^2 + 36 = 100 \implies (d_2 / 2)^2 = 64 \implies d_2 / 2 = 8 \implies d_2 = 16 \, cm$.
$4$. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $(d_1 \times d_2) / 2 = (12 \times 16) / 2 = 96 \, cm^2$ है।
$5$. चूंकि शीट को दोनों तरफ छापा जाना है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $96 \times 2 = 192 \, cm^2$ है।
$6$. छपाई की कुल लागत $192 \times 5 = Rs. \, 960$ है।

(A) समलंब चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$PQ$ पर बिंदु $T$ से लंब $ST$ खींचिए।
चूंकि $PQ \parallel SR$ और $QR \perp PQ$ है,इसलिए $QR \perp SR$ भी होगा। अतः,$TQRS$ एक आयत है।
दिया गया है कि $PQ = 12 \, m$ और $SR = 7 \, m$,इसलिए $TQ = SR = 7 \, m$ होगा।
अतः,$PT = PQ - TQ = 12 \, m - 7 \, m = 5 \, m$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PTS$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$TS^2 = PS^2 - PT^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$।
इसलिए,$TS = \sqrt{144} = 12 \, m$।
चूंकि $TQRS$ एक आयत है,इसलिए $QR = TS = 12 \, m$।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (PQ + SR) \times QR$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (12 + 7) \times 12 = 19 \times 6 = 114 \, m^2$।

(A) $(1)$ असत्य। $10 \, cm$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप $3 \times 10 = 30 \, cm$ होता है। अतः,अर्ध-परिमाप $s = \frac{30}{2} = 15 \, cm$ होगा,न कि $30 \, cm$।
$(2)$ असत्य। एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाएँ $20 \, cm$ हैं। तीसरी भुजा के बिना अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ निर्धारित नहीं किया जा सकता। यदि तीसरी भुजा $0$ भी हो (जो असंभव है),तो भी अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ होगा। वास्तव में,अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ से अधिक होगा।
$(3)$ सत्य। एक समकोण त्रिभुज में जहाँ $AB = 6 \, cm$ और $BC = 8 \, cm$ है,कर्ण $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \, cm$ होगा। परिमाप $6 + 8 + 10 = 24 \, cm$ होगा। अतः,अर्ध-परिमाप $s = \frac{24}{2} = 12 \, cm$ होगा।

(A) $(1)$ सत्य: $a$ भुजा वाले वर्ग के विकर्ण $d$ का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है। $a = 20 \, cm$ के लिए,$d = 20 \sqrt{2} \, cm$ होगा। अतः,यह कथन सत्य है।
$(2)$ असत्य: $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है। यदि भुजा को दोगुना $(a' = 2a)$ कर दिया जाए,तो नया क्षेत्रफल $A'$ होगा $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4a^2) = 4 \times A$। क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का $4$ गुना हो जाता है,न कि दोगुना।

(D) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 15 \text{ cm}$,$b = 17 \text{ cm}$ और $c = 20 \text{ cm}$ दी गई हैं।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है: $P = a + b + c = 15 + 17 + 20 = 52 \text{ cm}$.
अर्ध-परिमाप $(s)$ को परिमाप के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है: $s = \frac{P}{2} = \frac{52}{2} = 26 \text{ cm}$.
अतः,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $26 \text{ cm}$ है।

(A) हीरोन के सूत्र के अनुसार,$a$,$b$ और $c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में की जाती है।
अतः,सही सूत्र $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।

(B) भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज में,शीर्षलंब आधार को $\frac{a}{2}$ लंबाई के दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = a^{2}$
$h^{2} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2}$
$h^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4}$
$h^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
अतः,शीर्षलंब की लंबाई $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।

(C) $a, b$ और $c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है,जो $a+b+c$ है।
परिभाषा के अनुसार,अर्ध-परिमाप $(s)$ परिमाप का आधा होता है।
अतः,$s = \frac{a+b+c}{2}$।

(D) सबसे पहले,ध्यान दें कि भुजाएँ $6 \, cm$,$8 \, cm$ और $10 \, cm$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं क्योंकि $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
अर्ध-परिमाप $s = (6 + 8 + 10) / 2 = 24 / 2 = 12 \, cm$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24 \, cm^{2}$।

(A) भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$ होता है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हीरोन का सूत्र $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
चूँकि $a = b = c$ है,इसलिए सूत्र $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)} = \sqrt{s(s-a)^3}$ हो जाता है।
इसे सरल करने पर $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)^2 \cdot (s-a)} = (s-a) \sqrt{s(s-a)}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2}$ दिया गया है।
हमारे पास समीकरण हैं:
$s - a = 10 \implies a = s - 10$
$s - b = 15 \implies b = s - 15$
$s - c = 12 \implies c = s - 12$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(s - a) + (s - b) + (s - c) = 10 + 15 + 12$
$3s - (a + b + c) = 37$
चूँकि $a + b + c = 2s$,इसलिए इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3s - 2s = 37$
$s = 37$
अतः,अर्ध-परिमाप $s$ का मान $37 \, cm$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $3x$,$4x$ और $6x$ हैं।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है: $P = 3x + 4x + 6x = 13x$.
अर्ध-परिमाप $s$ का मान $s = P / 2 = 13x / 2$ होता है।
दिया गया है कि अर्ध-परिमाप $s = 39 \, cm$ है,इसलिए:
$13x / 2 = 39$
$13x = 78$
$x = 78 / 13 = 6$.
त्रिभुज की भुजाएँ $3(6) = 18 \, cm$,$4(6) = 24 \, cm$ और $6(6) = 36 \, cm$ हैं।
सबसे लंबी भुजा $36 \, cm$ है।

(D) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ हैं,जहाँ $c$ कर्ण है।
दिया गया है: $c = 29\,cm$ और $a = 21\,cm$.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $a^2 + b^2 = c^2$.
$21^2 + b^2 = 29^2$.
$441 + b^2 = 841$.
$b^2 = 841 - 441 = 400$.
$b = \sqrt{400} = 20\,cm$.
त्रिभुज का परिमाप $P = a + b + c = 21 + 20 + 29 = 70\,cm$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{P}{2} = \frac{70}{2} = 35\,cm$ है।

(A) समद्विबाहु त्रिभुज $\Delta ABC$ में,मान लीजिए $AB = AC = 13 \, cm$ और $BC = 24 \, cm$ है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर एक लंब $AD$ खींचिए। चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए लंब $AD$ आधार $BC$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$13^2 = AD^2 + 12^2$
$169 = AD^2 + 144$
$AD^2 = 169 - 144 = 25$
$AD = \sqrt{25} = 5 \, cm$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \, cm^2$ है।

(B) माना कि वर्ग $PQRS$ की भुजा $a \, cm$ है।
एक वर्ग में,विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a\sqrt{2}$ होता है।
यहाँ विकर्ण $PR = 10 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $a\sqrt{2} = 10$ है।
$a$ का मान निकालने पर,$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, cm$ प्राप्त होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = a^2$ है।
$a$ का मान रखने पर,$\text{Area} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \, cm^2$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण $d$ का उपयोग करके $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$ सूत्र द्वारा भी निकाला जा सकता है।
$d = 10 \, cm$ रखने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, cm^2$ होता है।

(C) चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक विकर्ण का उपयोग करके उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC)$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 8 = 80 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 12 = 120 \, cm^2$.
कुल क्षेत्रफल $= 80 + 120 = 200 \, cm^2$.

(D) माना समचतुर्भुज की भुजा $a$ है। चूंकि परिमाप $100\,cm$ है,इसलिए $4a = 100\,cm$,जिससे $a = 25\,cm$ प्राप्त होता है।
माना समचतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = 48\,cm$ और $d_2$ हैं। समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
यह समचतुर्भुज की भुजा को कर्ण के रूप में और विकर्णों के आधे भाग को अन्य दो भुजाओं के रूप में लेकर एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $(a)^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
मान रखने पर: $(25)^2 = (48/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = (24)^2 + (d_2/2)^2$.
$625 = 576 + (d_2/2)^2$.
$(d_2/2)^2 = 625 - 576 = 49$.
$d_2/2 = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$d_2 = 7 \times 2 = 14\,cm$.

(A) समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $AB = 16 \, cm$ और संगत शीर्षलंब $DM = 12 \, cm$ दिया गया है।
अतः,$\text{क्षेत्रफल} = 16 \, cm \times 12 \, cm = 192 \, cm^{2}$।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AC^2$ है।
चूंकि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B$ पर है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$ के रूप में निकाला जा सकता है।
वैकल्पिक रूप से,$AC$ को आधार और $BM$ को ऊंचाई के रूप में लेने पर,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 10 \times BM = 5 \times BM$ होगा।
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $5 \times BM = 24$।
अतः,$BM = \frac{24}{5} = 4.8 \, cm$ प्राप्त होता है।

(C) वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई को उसी से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = (\text{भुजा})^{2}$ है।

(D) भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,आधार $a$ है और ऊंचाई $h$ की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: $h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{3a^2/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,आयत का क्षेत्रफल $=$ $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.

(A) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,जहाँ $d_1$ और $d_2$ समचतुर्भुज के दो विकर्णों की लंबाई हैं।
अतः,समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times$ इसके विकर्णों का गुणनफल होता है।

(B) वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई का उपयोग करके $Area = side^2$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है। हालाँकि,यदि विकर्ण $(d)$ की लंबाई दी गई है,तो क्षेत्रफल $Area = \frac{d^2}{2}$ के रूप में ज्ञात किया जाता है। इसलिए,रिक्त स्थान में आने वाला शब्द विकर्ण है।

(C) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उस आधार पर खींचे गए संगत शीर्षलंब (ऊंचाई) के गुणनफल द्वारा ज्ञात किया जाता है। अतः, $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.