Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Hindi

(A) माना समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
दिया है: आधार $BC = 8 \, cm$ और कर्ण $AC = 10 \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2$।
मान रखने पर: $10^2 = AB^2 + 8^2$।
$100 = AB^2 + 64$।
$AB^2 = 100 - 64 = 36$।
$AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$।

(B) माना कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $a \, cm$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,आधार $= a$ और ऊँचाई $= a$ होगी।
अतः,$\frac{1}{2} \times a \times a = 8$.
$a^{2} = 16$,जिससे $a = 4 \, cm$ प्राप्त होता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण $h = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \, cm$ होगा।

(C) समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3a$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $3a = 60 \, m$,इसलिए भुजा की लंबाई $a = 60 / 3 = 20 \, m$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
सूत्र में $a = 20 \, m$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (20)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 = 100 \sqrt{3} \, m^2$.

(D) दिया गया है कि त्रिभुज की तीन भुजाएँ $a = 56 \ cm$,$b = 60 \ cm$ और $c = 52 \ cm$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $(s)$ ज्ञात करते हैं:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{56 + 60 + 52}{2} = \frac{168}{2} = 84 \ cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ होता है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{84(84 - 56)(84 - 60)(84 - 52)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{84 \times 28 \times 24 \times 32}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{1806336} = 1344 \ cm^2$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $1344 \ cm^2$ है।

(A) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
यहाँ भुजा की लंबाई $2\sqrt{3} \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{3})^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4 \times 3)$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12$
$= 3\sqrt{3} \, cm^2$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = 3 \times 1.732 = 5.196 \, cm^2$।

(B) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
यहाँ क्षेत्रफल $9 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ दिया गया है,इसलिए:
$9 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$9 = \frac{1}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$(\text{भुजा})^2 = 36$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\text{भुजा} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$।

(C) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$ होता है।
यहाँ क्षेत्रफल $16 \sqrt{3} \, cm^{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$16 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$16 = \frac{1}{4} \times (\text{भुजा})^2$.
$4$ से गुणा करने पर:
$(\text{भुजा})^2 = 16 \times 4 = 64$.
वर्गमूल लेने पर:
$\text{भुजा} = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
समबाहु त्रिभुज का परिमाप $= 3 \times \text{भुजा}$ होता है:
$\text{परिमाप} = 3 \times 8 = 24 \, cm$.

(D) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 35 \text{ cm}$,$b = 54 \text{ cm}$ और $c = 61 \text{ cm}$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{35 + 54 + 61}{2} = \frac{150}{2} = 75 \text{ cm}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{75(75-35)(75-54)(75-61)}$
$= \sqrt{75 \times 40 \times 21 \times 14} = \sqrt{(25 \times 3) \times (8 \times 5) \times (3 \times 7) \times (2 \times 7)}$
$= \sqrt{25 \times 3^2 \times 7^2 \times 16 \times 5} = 5 \times 3 \times 7 \times 4 \sqrt{5} = 420 \sqrt{5} \text{ cm}^2$.
सबसे लंबा शीर्षलंब त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा पर स्थित होता है।
चूँकि सबसे छोटी भुजा $35 \text{ cm}$ है,इसलिए सबसे लंबा शीर्षलंब $h$ इस प्रकार होगा:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \implies 420 \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 35 \times h$.
$h = \frac{420 \sqrt{5} \times 2}{35} = 12 \times 2 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5} \text{ cm}$.

(A) समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ $a = 4 \, cm$,$b = 4 \, cm$ और $c = 2 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 4 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \sqrt{5(5 - 4)(5 - 4)(5 - 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{5 \times 1 \times 1 \times 3}$
$\text{Area} = \sqrt{15} \, cm^2$.

(B) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6 \, cm$,$b = 8 \, cm$ और $c = 10 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$Area = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$Area = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$
$Area = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2}$
$Area = \sqrt{576} = 24 \, cm^2$.
पेंट करने की दर $9$ पैसे प्रति $cm^2$ है,जो $Rs \, 0.09$ प्रति $cm^2$ है।
कुल खर्च $= 24 \times 0.09 = Rs \, 2.16$.

(B) यह कथन असत्य है।
हीरोन के सूत्र के अनुसार, $a, b, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ होता है, जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप (semi-perimeter) है।
अर्ध-परिमाप $s$ को $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो त्रिभुज के परिमाप का आधा होता है।
दिए गए कथन में, $s$ को अर्ध-परिमाप के बजाय त्रिभुज के परिमाप के रूप में गलत तरीके से परिभाषित किया गया है।

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
यहाँ,$\text{आधार} = 4 \, \text{cm}$ और $\text{ऊँचाई} = 6 \, \text{cm}$ दिया गया है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}^2$.
चूँकि परिकलित क्षेत्रफल $12 \, \text{cm}^2$ है न कि $24 \, \text{cm}^2$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(TRUE) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 4 \, cm$ और $AC = 4 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
यहाँ,हम $AC$ को आधार और $AB$ को ऊँचाई मान सकते हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \, cm \times 4 \, cm$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 16 \, cm^2 = 8 \, cm^2$
चूँकि परिकलित क्षेत्रफल $8 \, cm^2$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) माना समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $a$ हैं और आधार $b = 5 \, cm$ है।
त्रिभुज का परिमाप $11 \, cm$ दिया गया है।
अतः,$a + a + 5 = 11$.
$2a = 11 - 5 = 6$.
$a = 3 \, cm$.
समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{5}{4} \sqrt{4(3)^2 - 5^2} = \frac{5}{4} \sqrt{4(9) - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{36 - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{11} \, cm^2$.
चूँकि परिकलित क्षेत्रफल दी गई मान के बराबर है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(B) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{side})^2$ होता है।
यहाँ त्रिभुज की भुजा $8 \text{ cm}$ दी गई है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (8)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$
$\text{Area} = 16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
चूंकि परिकलित क्षेत्रफल $16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ दिए गए क्षेत्रफल $20 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसका एक विकर्ण $AC = 16 \, cm$ है। समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा $10 \, cm$ है।
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए
$OA = OC = 8 \, cm$ और $OB = OD$ है।
$\Delta AOB$ में,$\angle AOB = 90^{\circ}$ है।
अतः,$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$\Rightarrow OB^2 = AB^2 - OA^2$
$= (10)^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$OB = \sqrt{36} = 6 \, cm$ है।
$DB = 2(OB) = 2 \times 6 = 12 \, cm$ है।
अतः,समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल}$
$= \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \, cm^2$ है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) समांतर चतुर्भुज का आधार $10 \text{ cm}$ है और संगत शीर्षलंब $3.5 \text{ cm}$ है।
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = 10 \text{ cm} \times 3.5 \text{ cm} = 35 \text{ cm}^2$.
चूंकि गणना किया गया क्षेत्रफल $35 \text{ cm}^2$ है न कि $30 \text{ cm}^2$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
एक सम षट्भुज को उसके केंद्र को उसके प्रत्येक शीर्ष से जोड़कर छह समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
चूंकि इनमें से प्रत्येक छह त्रिभुज $a$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए सम षट्भुज का कुल क्षेत्रफल इन छह समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
अतः, $a$ भुजा वाले एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल $6 \times (\text{a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल})$ होता है, न कि ऐसे पाँच त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग।

(TRUE) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 51 \, m$,$b = 37 \, m$ और $c = 20 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 37 + 20}{2} = \frac{108}{2} = 54 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{54(54-51)(54-37)(54-20)}$
$= \sqrt{54 \times 3 \times 17 \times 34}$
$= \sqrt{(2 \times 3^3) \times 3 \times 17 \times (2 \times 17)}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 17^2} = 2 \times 3^2 \times 17 = 2 \times 9 \times 17 = 306 \, m^2$.
मैदान को समतल करने का खर्च = $\text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 306 \, m^2 \times Rs \, 3/m^2 = Rs \, 918$.
चूंकि गणना किया गया खर्च दी गई राशि से मेल खाता है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(A) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a = 11 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 13 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11 + 12 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}$
$= \sqrt{18 \times 7 \times 6 \times 5} = \sqrt{3780} = \sqrt{36 \times 105} = 6\sqrt{105} \, cm^2$.
हम जानते हैं कि $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$.
यहाँ आधार $12 \, cm$ है,मान लीजिए शीर्षलंब $h$ है:
$6\sqrt{105} = \frac{1}{2} \times 12 \times h$
$6\sqrt{105} = 6h$
$h = \sqrt{105} \, cm$.
चूँकि $\sqrt{100} = 10$ और $\sqrt{121} = 11$,इसलिए $\sqrt{105} \approx 10.2469 \, cm$,जो लगभग $10.25 \, cm$ है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) माना त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ $a = 41\, m$,$b = 40\, m$ और $c = 9\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{41 + 40 + 9}{2} = \frac{90}{2} = 45\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{45(45 - 41)(45 - 40)(45 - 9)} = \sqrt{45 \times 4 \times 5 \times 36}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{9 \times 5 \times 4 \times 5 \times 36} = \sqrt{32400} = 180\, m^2$.
प्रत्येक गुलाब की क्यारी को $900\, cm^2$ जगह की आवश्यकता है। इसे वर्ग मीटर में बदलने पर: $900\, cm^2 = \frac{900}{10000}\, m^2 = 0.09\, m^2$.
गुलाब की क्यारियों की संख्या $= \frac{\text{कुल क्षेत्रफल}}{\text{प्रति क्यारी क्षेत्रफल}} = \frac{180}{0.09} = 2000$.

(N/A) यह आकृति दो त्रिभुजों से बनी है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज और छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।
$1$. बड़े त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ $a = 122 \ m$,$b = 120 \ m$ और $c = 22 \ m$ हैं:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{122 + 120 + 22}{2} = \frac{264}{2} = 132 \ m$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{132(132-122)(132-120)(132-22)}$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110} = \sqrt{1742400} = 1320 \ m^2$.
$2$. छोटे त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ $a = 24 \ m$,$b = 26 \ m$ और $c = 22 \ m$ हैं:
चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है),हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 24 \times 10 = 120 \ m^2$.
$3$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= \text{बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल} - \text{छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल}$
$= 1320 \ m^2 - 120 \ m^2 = 1200 \ m^2$.

(C) त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ $a = 50 \, m$,$b = 65 \, m$ और $c = 65 \, m$ हैं।
सबसे पहले,हम अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करते हैं:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{50 + 65 + 65}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-50)(90-65)(90-65)}$
$= \sqrt{90 \times 40 \times 25 \times 25}$
$= \sqrt{3600 \times 625} = 60 \times 25 = 1500 \, m^2$.
घास लगाने की लागत क्षेत्रफल और दर का गुणनफल है:
$\text{लागत} = 1500 \, m^2 \times 7 \, Rs/m^2 = 10,500 \, Rs$.

(D) फ्लाईओवर की त्रिकोणीय साइड दीवारों की भुजाएँ $a = 13 \, m$,$b = 14 \, m$ और $c = 15 \, m$ हैं।
सबसे पहले,हम अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करते हैं:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$= \sqrt{7^2 \times 3^2 \times 2^4} = 7 \times 3 \times 2^2 = 84 \, m^2$.
वार्षिक किराया $Rs \, 2000$ प्रति $m^2$ है।
$6$ महीने (आधे वर्ष) के लिए $1 \, m^2$ का किराया $Rs \, \frac{2000}{2} = Rs \, 1000$ है।
अतः,$6$ महीने के लिए $84 \, m^2$ का कुल किराया $84 \times 1000 = Rs \, 84,000$ है।

(D) माना $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है। माना $O$ एक आंतरिक बिंदु है,और $O$ से भुजाओं $AB$,$BC$ और $AC$ पर डाले गए लंब क्रमशः $h_1 = 14 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$ और $h_3 = 6 \, cm$ हैं।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta OAB$,$\Delta OBC$ और $\Delta OAC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 14 = 7a \, cm^2$.
$\Delta OBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 10 = 5a \, cm^2$.
$\Delta OAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 6 = 3a \, cm^2$.
कुल क्षेत्रफल $= 7a + 5a + 3a = 15a \, cm^2$.
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
दोनों सूत्रों की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 15a$
चूँकि $a \neq 0$,$a$ से भाग देने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 15$
$a = \frac{15 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, cm$.
अब,$a = 20\sqrt{3}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= 15 \times (20\sqrt{3}) = 300\sqrt{3} \, cm^2$.
अतः,समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $300\sqrt{3} \, cm^2$ है।

(D) मान लीजिए कि समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3x$ और $3x$ हैं,और आधार $2x$ है।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है: $3x + 3x + 2x = 8x$.
दिया गया है कि परिमाप $32 \, cm$ है,इसलिए $8x = 32$,जिससे $x = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ $12 \, cm, 12 \, cm$ और $8 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{12 + 12 + 8}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \sqrt{8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(N/A) $\Delta BCD$ की भुजाएँ $a = 12 \text{ cm}, b = 17 \text{ cm}$ और $c = 25 \text{ cm}$ हैं।
$\therefore \Delta BCD$ का अर्ध-परिमाप $(s)$:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}.$
$\therefore \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ [हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर]
$= \sqrt{27(27 - 12)(27 - 17)(27 - 25)}$
$= \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2}$
$= \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2}$
$= \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \text{ cm}^2.$
चूँकि एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है:
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times 90 = 180 \text{ cm}^2.$
माना शीर्ष $A$ से भुजा $DC$ पर डाला गया शीर्षलंब $h$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = आधार $\times$ शीर्षलंब
$180 = DC \times h$
$180 = 12 \times h$
$h = \frac{180}{12} = 15 \text{ cm}.$
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $180 \text{ cm}^2$ है और शीर्षलंब की लंबाई $15 \text{ cm}$ है।

(N/A) माना कि खेत $ABCD$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल}) \quad ...(1)$
अब,$\Delta ABC$ की भुजाएँ $a = 40 \, m, b = 60 \, m$ और $c = 80 \, m$ हैं।
$\Delta ABC$ का अर्ध-परिमाप,$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{40+60+80}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-40)(90-60)(90-80)}$
$= \sqrt{90 \times 50 \times 30 \times 10}$
$= \sqrt{1350000} = 300\sqrt{15} \, m^2 \approx 1161.895 \, m^2$.
समीकरण $(1)$ से,
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 300\sqrt{15} = 600\sqrt{15} \, m^2 \approx 2323.79 \, m^2$.

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $6x, 7x$ और $8x$ मीटर हैं।
दिया गया है कि परिमाप $420\, m$ है,इसलिए:
$6x + 7x + 8x = 420$
$21x = 420$
$x = 20$
अतः,भुजाएँ $a = 120\, m, b = 140\, m, c = 160\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{420}{2} = 210\, m$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{210(210-120)(210-140)(210-160)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{210 \times 90 \times 70 \times 50}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{66150000} \approx 8133.265\, m^2$.

(B) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करते हैं: $\Delta ABC$ और $\Delta ACD$।
चूँकि $\angle B = 90^\circ$ है,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।
$\Delta ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$।
अब,$\Delta ACD$ के लिए,भुजाएँ $a = 10 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 14 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 12 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-10)(18-12)(18-14)} = \sqrt{18 \times 8 \times 6 \times 4} = \sqrt{3456} \approx 58.787 \, cm^2$।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABC) + \text{क्षेत्रफल}(\Delta ACD) = 24 + 58.787 = 82.787 \, cm^2$।

(C) समचतुर्भुज का परिमाप $40 \, cm$ है।
चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए भुजा की लंबाई $\frac{40}{4} = 10 \, cm$ है।
विकर्ण समचतुर्भुज को $10 \, cm, 10 \, cm$ और $12 \, cm$ भुजाओं वाले दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
एक त्रिभुज के लिए हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{2304} = 48 \, cm^2$.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= 2 \times 48 = 96 \, cm^2$.
चूंकि दोनों तरफ पेंट किया जाना है,इसलिए पेंट किए जाने वाला कुल क्षेत्रफल $2 \times 96 = 192 \, cm^2$ है।
$Rs \, 5$ प्रति $cm^2$ की दर से पेंट करने की कुल लागत $192 \times 5 = Rs \, 960$ है।

(A) $RT \perp SP$ खींचिए। आकृति से स्पष्ट है कि $RT = PQ = 7 \ m$ और $PT = QR = 7 \ m$ है।
चूँकि $SP = 12 \ m$ है,इसलिए $ST = SP - PT = 12 \ m - 7 \ m = 5 \ m$ होगा।
अब,समकोण त्रिभुज $STR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$SR^2 = ST^2 + RT^2$
$13^2 = 5^2 + RT^2$
$169 = 25 + RT^2$
$RT^2 = 169 - 25 = 144$
$RT = 12 \ m$।
अतः,समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $12 \ m$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (SP + QR) \times PQ$
$= \frac{1}{2} \times (12 \ m + 7 \ m) \times 12 \ m$
$= \frac{1}{2} \times 19 \ m \times 12 \ m = 19 \times 6 \ m^2 = 114 \ m^2$।

(B) माना $a, b, c$ दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ हैं और $s$ इसका अर्ध-परिमाप है।
अतः,$s = \frac{a+b+c}{2}$,जिसका अर्थ है $2s = a+b+c$ $...(1)$.
दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नए त्रिभुज की भुजाएँ $2a, 2b$ और $2c$ हैं।
माना $S$ नए त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
$S = \frac{2a+2b+2c}{2} = a+b+c = 2s$ $...(2)$.
नए त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta' = \sqrt{S(S-2a)(S-2b)(S-2c)}$ है।
सूत्र में $S = 2s$ रखने पर:
$\Delta' = \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$
$\Delta' = \sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}$
$\Delta' = \sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\Delta' = 4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4\Delta$.
अतः,नए त्रिभुज के क्षेत्रफल और दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{4\Delta}{\Delta} = 4:1$ है।

(C) यह पतंग एक वर्ग $ABCD$ और नीचे एक समद्विबाहु त्रिभुज से बनी है।
दिया गया है कि वर्ग का विकर्ण $44 \, cm$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण $d$ का उपयोग करके $\text{Area} = \frac{1}{2} d^2$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 44 \times 44 = 968 \, cm^2$.
वर्ग अपने विकर्णों द्वारा चार समान त्रिभुजों में विभाजित होता है। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{968}{4} = 242 \, cm^2$ है।
चित्र से:
- लाल रंग (भाग $IV$) $= 242 \, cm^2$.
- पीला रंग (भाग $I$ और $II$) $= 242 + 242 = 484 \, cm^2$.
- हरा रंग (भाग $III$ और नीचे वाला त्रिभुज)।
नीचे वाले त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ $20 \, cm, 20 \, cm, 14 \, cm$ हैं:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{20+20+14}{2} = 27 \, cm$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-20)(27-20)(27-14)} = \sqrt{27 \times 7 \times 7 \times 13} = 21 \sqrt{39} \approx 21 \times 6.245 = 131.15 \, cm^2$.
कुल हरा रंग $= 242 + 131.15 = 373.15 \, cm^2$.

(D) माना त्रिभुज की छोटी भुजा $x \, cm$ है। इसलिए,दूसरी भुजा $(x + 4) \, cm$ और तीसरी भुजा $(2x - 6) \, cm$ होगी।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है:
$x + (x + 4) + (2x - 6) = 50$
$4x - 2 = 50$
$4x = 52$
$x = 13 \, cm$.
तीनों भुजाएँ $13 \, cm$,$17 \, cm$ और $20 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{13 + 17 + 20}{2} = \frac{50}{2} = 25 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$:
क्षेत्रफल $= \sqrt{25(25 - 13)(25 - 17)(25 - 20)}$
$= \sqrt{25 \times 12 \times 8 \times 5}$
$= \sqrt{25 \times (4 \times 3) \times (4 \times 2) \times 5}$
$= 5 \times 4 \times \sqrt{3 \times 2 \times 5}$
$= 20 \sqrt{30} \, cm^2$.

(A) समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$.
माना कि एक समांतर भुजा की लंबाई $x \, cm$ है।
तब,दूसरी समांतर भुजा की लंबाई $(x + 4) \, cm$ होगी।
दिया गया है,$\text{क्षेत्रफल} = 475 \, cm^2$ और $\text{ऊँचाई} = 19 \, cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$475 = \frac{1}{2} \times (x + x + 4) \times 19$
$475 = \frac{1}{2} \times (2x + 4) \times 19$
$475 = (x + 2) \times 19$
$x + 2 = \frac{475}{19} = 25$
$x = 25 - 2 = 23 \, cm$.
अतः,दोनों समांतर भुजाओं की लंबाई $23 \, cm$ और $(23 + 4) \, cm$ अर्थात $23 \, cm$ और $27 \, cm$ है।

(B) आयताकार भूखंड की लंबाई $40 \, m$ और चौड़ाई $15 \, m$ है。
नियमों के अनुसार, आगे और पीछे के भाग में $3 \, m$ जगह और अन्य दोनों तरफ $2 \, m$ जगह छोड़नी आवश्यक है。
निर्माण क्षेत्र की नई लंबाई $= 40 - (3 + 3) = 40 - 6 = 34 \, m$.
निर्माण क्षेत्र की नई चौड़ाई $= 15 - (2 + 2) = 15 - 4 = 11 \, m$.
वह सबसे बड़ा क्षेत्रफल जहाँ घर का निर्माण किया जा सकता है $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 34 \, m \times 11 \, m = 374 \, m^2$.

(A) माना समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जिसकी समांतर भुजाएँ $AB = 90 \, m$ और $CD = 30 \, m$ हैं। भुजा $AC$,$AB$ और $CD$ दोनों पर लंब है।
$DM \perp AB$ खींचिए। चूंकि $ACDM$ एक आयत बनाता है,इसलिए $AM = CD = 30 \, m$ और $DM = AC$ होगा।
अब,$MB = AB - AM = 90 \, m - 30 \, m = 60 \, m$.
समकोण त्रिभुज $\triangle DMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$DM^2 = DB^2 - MB^2 = (100)^2 - (60)^2$
$DM^2 = 10000 - 3600 = 6400$
$DM = \sqrt{6400} = 80 \, m$.
अतः,समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $80 \, m$ है।
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$
$= \frac{1}{2} \times (90 + 30) \times 80 = \frac{1}{2} \times 120 \times 80 = 4800 \, m^2$.
खेत को जोतने की कुल लागत $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 4800 \times 4 = \operatorname{Rs} 19,200$.

(B) $\Delta ABC$ की भुजाएँ $a = 6.5\, cm$,$b = 7\, cm$ और $c = 7.5\, cm$ हैं।
$\Delta ABC$ का अर्ध-परिमाप $s$:
$s = \frac{6.5 + 7 + 7.5}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{10.5(10.5 - 6.5)(10.5 - 7)(10.5 - 7.5)}$
$= \sqrt{10.5 \times 4 \times 3.5 \times 3}$
$= \sqrt{441} = 21\, cm^2$.
चूँकि समांतर चतुर्भुज $DBCE$ समान आधार $BC$ पर बना है और इसका क्षेत्रफल $\Delta ABC$ के बराबर है:
$\text{समांतर चतुर्भुज } DBCE \text{ का क्षेत्रफल} = \Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल} = 21\, cm^2$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
$BC \times DF = 21\, cm^2$
$7\, cm \times DF = 21\, cm^2$
$DF = \frac{21}{7} = 3\, cm$.
अतः,समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई $DF = 3\, cm$ है।

(N/A) $ABCD$ एक आयत है जिसमें $AB = 51 \, cm$ और $BC = 25 \, cm$ है।
चूंकि समांतर भुजाएँ $QC$ और $PD$ का अनुपात $9:8$ है,इसलिए मान लीजिए $QC = 9x$ और $PD = 8x$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQCD$ की ऊँचाई आयत की चौड़ाई के बराबर है,जो कि $25 \, cm$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (QC + PD) \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (9x + 8x) \times 25 = \frac{1}{2} \times 17x \times 25$.
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 51 \times 25$.
यह दिया गया है कि समलंब चतुर्भुज $PQCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{5}{6} \times \text{आयत } ABCD \text{ का क्षेत्रफल}$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 17x \times 25 = \frac{5}{6} \times 51 \times 25$.
दोनों पक्षों को $25$ से विभाजित करने और $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $17x = \frac{5}{6} \times 51 \times 2 = \frac{5}{3} \times 51 = 5 \times 17 = 85$.
इस प्रकार,$x = \frac{85}{17} = 5$.
अतः,$QC$ की लंबाई $= 9x = 9 \times 5 = 45 \, cm$.
और $PD$ की लंबाई $= 8x = 8 \times 5 = 40 \, cm$.

(N/A) दिया गया है कि आयताकार टाइल की विमाएँ $50\, cm \times 70\, cm$ हैं।
आयताकार टाइल का क्षेत्रफल $= 50\, cm \times 70\, cm = 3500\, cm^2$.
प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएँ $a = 25\, cm, b = 17\, cm$ और $c = 26\, cm$ हैं।
अब,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$s = \frac{25 + 17 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{34(34 - 25)(34 - 17)(34 - 26)} = \sqrt{34 \times 9 \times 17 \times 8}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{(17 \times 2) \times 3^2 \times 17 \times (2^3)} = \sqrt{17^2 \times 2^4 \times 3^2} = 17 \times 4 \times 3 = 204\, cm^2$.
$8$ त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल $= 8 \times 204\, cm^2 = 1632\, cm^2$.
अतः,डिज़ाइन का कुल क्षेत्रफल $1632\, cm^2$ है।
टाइल का शेष क्षेत्रफल $=$ आयत का क्षेत्रफल $-$ डिज़ाइन का क्षेत्रफल।
शेष क्षेत्रफल $= 3500\, cm^2 - 1632\, cm^2 = 1868\, cm^2$.
अतः,डिज़ाइन का कुल क्षेत्रफल $1632\, cm^2$ है और टाइल का शेष क्षेत्रफल $1868\, cm^2$ है।

(B) माना कि दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ और $c = 25 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
अब,अंतर की गणना करें:
$s - a = 27 - 12 = 15 \, cm$
$s - b = 27 - 17 = 10 \, cm$
$s - c = 27 - 25 = 2 \, cm$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \, cm^2$.

(C) त्रिभुजाकार खेत के लिए,भुजाओं की लंबाई $a = 51 \,m$,$b = 52 \,m$ और $c = 53 \,m$ है।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 53}{2} = \frac{156}{2} = 78 \,m$.
अब,अंतर की गणना करें:
$s - a = 78 - 51 = 27 \,m$
$s - b = 78 - 52 = 26 \,m$
$s - c = 78 - 53 = 25 \,m$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25}$
$= \sqrt{(2 \times 3 \times 13) \times (3^3) \times (2 \times 13) \times 5^2}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 13^2 \times 5^2}$
$= 2 \times 3^2 \times 13 \times 5$
$= 1170 \,m^2$.

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $4x, 7x$ और $9x$ मीटर हैं।
त्रिभुज का परिमाप $500 \, m$ दिया गया है।
अतः,$4x + 7x + 9x = 500$.
$20x = 500 \implies x = 25$.
भुजाएँ $a = 4 \times 25 = 100 \, m$,$b = 7 \times 25 = 175 \, m$ और $c = 9 \times 25 = 225 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{500}{2} = 250 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 250 - 100 = 150 \, m$.
$s-b = 250 - 175 = 75 \, m$.
$s-c = 250 - 225 = 25 \, m$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{250 \times 150 \times 75 \times 25} = \sqrt{25^2 \times 10^2 \times 3^2 \times 5^2} = 25 \times 10 \times 3 \times 5 \sqrt{5} = 3750 \sqrt{5} \, m^2$.

(A) भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
यहाँ भुजा की लंबाई $a = 50 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (50)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2500$
$\text{Area} = 625 \sqrt{3} \, cm^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ और $c = 17 \, cm$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
अब,क्षेत्रफल के सूत्र $\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ का उपयोग करें:
$\text{Area} = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)}$
$\text{Area} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.

(C) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 360 \, m$,$b = 450 \, m$ और $c = 450 \, m$ दी गई हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{360 + 450 + 450}{2} = \frac{1260}{2} = 630 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{630(630 - 360)(630 - 450)(630 - 450)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{630 \times 270 \times 180 \times 180}$.
क्षेत्रफल = $180 \times \sqrt{630 \times 270}$.
क्षेत्रफल = $180 \times \sqrt{(90 \times 7) \times (90 \times 3)}$.
क्षेत्रफल = $180 \times 90 \times \sqrt{7 \times 3}$.
क्षेत्रफल = $16200 \sqrt{21} \, m^2$.

(D) त्रिकोणीय प्लॉट की भुजाएँ $a = 200\,m$,$b = 210\,m$ और $c = 290\,m$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{200 + 210 + 290}{2} = \frac{700}{2} = 350\,m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $(A)$:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$A = \sqrt{350(350-200)(350-210)(350-290)}$
$A = \sqrt{350 \times 150 \times 140 \times 60} = 21000\,m^2$.
घास उगाने की कुल लागत = $\text{क्षेत्रफल }\times \text{दर }= 21000 \times 5 = \text{Rs. } 105000$.

(A) दी गई भुजाएँ $a = 15\,cm$ और $b = 28\,cm$ हैं। परिमाप $P = 84\,cm$ है।
तीसरी भुजा $c = P - (a + b) = 84 - (15 + 28) = 84 - 43 = 41\,cm$.
अर्ध-परिमाप $s = P / 2 = 84 / 2 = 42\,cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{42(42-15)(42-28)(42-41)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{42 \times 27 \times 14 \times 1}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{(14 \times 3) \times (9 \times 3) \times 14 \times 1} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126\,cm^2$.

(B) माना समान भुजाएँ $a = 17\,cm$ और $b = 17\,cm$ हैं।
त्रिभुज का परिमाप $P = 50\,cm$ है।
माना तीसरी भुजा $c$ है। अतः,$a + b + c = 50$.
$17 + 17 + c = 50 \implies 34 + c = 50 \implies c = 16\,cm$.
अर्ध-परिमाप $s = P / 2 = 50 / 2 = 25\,cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{25(25-17)(25-17)(25-16)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{25 \times 8 \times 8 \times 9}$.
क्षेत्रफल $= 5 \times 8 \times 3 = 120\,cm^2$.