Textbook - Heron’s Formula Questions in Hindi

(A) दिया है,त्रिभुज का परिमाप $32 \, cm$ है। मान लीजिए भुजाएँ $a = 8 \, cm$ और $b = 11 \, cm$ हैं।
तीसरी भुजा $c$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$c = 32 \, cm - (8 + 11) \, cm = 32 \, cm - 19 \, cm = 13 \, cm$.
अर्ध-परिमाप $s$ है:
$s = \frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{32}{2} \, cm = 16 \, cm$.
अब,$(s - a)$,$(s - b)$,और $(s - c)$ की गणना करें:
$s - a = 16 - 8 = 8 \, cm$
$s - b = 16 - 11 = 5 \, cm$
$s - c = 16 - 13 = 3 \, cm$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{16 \times 120} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \times \sqrt{4 \times 30} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \times 2 \sqrt{30} \, cm^2 = 8 \sqrt{30} \, cm^2$.

(B) पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$2s = 50\,m + 80\,m + 120\,m = 250\,m$
$s = 125\,m$
अब,अंतरों की गणना करें:
$s - a = 125\,m - 120\,m = 5\,m$
$s - b = 125\,m - 80\,m = 45\,m$
$s - c = 125\,m - 50\,m = 75\,m$
पार्क का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75}\,m^2$
$= \sqrt{2109375}\,m^2 = 375\sqrt{15}\,m^2$
आगे,बाड़ लगाने का खर्च ज्ञात करें:
पार्क का परिमाप $= 250\,m$
आवश्यक तार की लंबाई $= 250\,m - 3\,m = 247\,m$
बाड़ लगाने का खर्च $= 247\,m \times Rs. 20/m = Rs. 4940$

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $3x, 5x$ और $7x$ मीटर हैं।
त्रिभुज का परिमाप $300\, m$ दिया गया है।
अतः,$3x + 5x + 7x = 300$.
$15x = 300$,जिससे $x = 20$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,त्रिभुज की भुजाएँ $3 \times 20 = 60\, m$,$5 \times 20 = 100\, m$ और $7 \times 20 = 140\, m$ हैं।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,अर्ध-परिमाप $s$ है:
$s = \frac{60 + 100 + 140}{2} = \frac{300}{2} = 150\, m$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{150(150 - 60)(150 - 100)(150 - 140)}\, m^2$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10}\, m^2$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{6750000}\, m^2$.
क्षेत्रफल $= 1500\sqrt{3}\, m^2$.

(D) 'a' भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि समबाहु त्रिभुज का परिमाप $180 \, cm$ है।
चूंकि तीनों भुजाएं समान हैं,$3a = 180 \, cm$,जिससे $a = 60 \, cm$ प्राप्त होता है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, cm$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{90(90-60)(90-60)(90-60)} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{90 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{3 \times 30 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{3 \times (30)^2 \times (30)^2} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = 30 \times 30 \times \sqrt{3} \, cm^2 = 900 \sqrt{3} \, cm^2$.

(A) त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएं $a = 122\, m, b = 120\, m, c = 22\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{122 + 120 + 22}{2}\, m = \frac{264}{2}\, m = 132\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{132(132 - 122)(132 - 120)(132 - 22)}\, m^2$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110}\, m^2$
$= \sqrt{12 \times 11 \times 10 \times 12 \times 11 \times 10}\, m^2$
$= \sqrt{12^2 \times 11^2 \times 10^2}\, m^2 = 12 \times 11 \times 10\, m^2 = 1320\, m^2$.
$1$ वर्ष ($12$ महीने) के लिए प्रति $m^2$ किराया $= Rs. 5000$.
$3$ महीने के लिए प्रति $m^2$ किराया $= Rs. 5000 \times \frac{3}{12} = Rs. 1250$.
$3$ महीने के लिए $1320\, m^2$ का कुल किराया $= 1320 \times 1250 = Rs. 16,50,000$.

(B) त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ $a = 15 \, m$,$b = 11 \, m$ और $c = 6 \, m$ हैं।
सबसे पहले,हम अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करेंगे:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 11 + 6}{2} \, m = \frac{32}{2} \, m = 16 \, m$.
अब,हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुजाकार सतह का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{16(16 - 15)(16 - 11)(16 - 6)} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 50} \, m^2$
$= \sqrt{800} \, m^2$
$= \sqrt{400 \times 2} \, m^2 = 20 \sqrt{2} \, m^2$.
अतः,रंग से रंगे गए भाग का आवश्यक क्षेत्रफल $20 \sqrt{2} \, m^2$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 18 \, cm$,$b = 10 \, cm$ और $c$ हैं।
दिया गया है कि परिमाप $(2s) = 42 \, cm$ है।
इसलिए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{42}{2} = 21 \, cm$ है।
तीसरी भुजा $c = 42 - (18 + 10) = 42 - 28 = 14 \, cm$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
मान रखने पर: क्षेत्रफल $= \sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{(3 \times 7) \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2 = \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 11} \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल $= 3 \times 7 \sqrt{11} \, cm^2 = 21 \sqrt{11} \, cm^2$ है।

(D) त्रिभुज का परिमाप $= 540 \, cm$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{540}{2} = 270 \, cm$.
माना भुजाएँ $12x, 17x,$ और $25x$ हैं।
$12x + 17x + 25x = 540 \Rightarrow 54x = 540 \Rightarrow x = 10$.
अतः,भुजाएँ $a = 120 \, cm, b = 170 \, cm, c = 250 \, cm$ हैं।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 270 - 120 = 150 \, cm$.
$s-b = 270 - 170 = 100 \, cm$.
$s-c = 270 - 250 = 20 \, cm$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} = \sqrt{81,000,000} = 9,000 \, cm^2$.

(A) त्रिभुज की समान भुजाएँ प्रत्येक $12 \, cm$ हैं।
माना तीसरी भुजा $x \, cm$ है।
चूँकि परिमाप $30 \, cm$ है,
$12 \, cm + 12 \, cm + x \, cm = 30 \, cm$
$24 \, cm + x = 30 \, cm$
$x = 30 - 24 = 6 \, cm$.
अब,अर्ध-परिमाप $s = \frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{15 \times 9 \times 9} \, cm^2 = 9 \sqrt{15} \, cm^2$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $9 \sqrt{15} \, cm^2$ है।

(A) $200 \, m, 240 \, m, 360 \, m$ भुजाओं वाले त्रिभुजाकार खेत के लिए:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{200 + 240 + 360}{2} = 400 \, m$.
गेहूँ के खेत का क्षेत्रफल = $\sqrt{400(400-200)(400-240)(400-360)} = \sqrt{400 \times 200 \times 160 \times 40} = \sqrt{512000000} = 16000\sqrt{2} \, m^2 \approx 22627.4 \, m^2 \approx 2.26 \, \text{हेक्टेयर}$.
$240 \, m, 320 \, m, 400 \, m$ भुजाओं वाले दूसरे त्रिभुजाकार खेत के लिए:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{240 + 320 + 400}{2} = 480 \, m$.
दूसरे खेत का क्षेत्रफल = $\sqrt{480(480-240)(480-320)(480-400)} = \sqrt{480 \times 240 \times 160 \times 80} = \sqrt{1474560000} = 38400 \, m^2 = 3.84 \, \text{हेक्टेयर}$.
माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
आलू के लिए क्षेत्रफल = प्याज के लिए क्षेत्रफल = $\frac{3.84}{2} = 1.92 \, \text{हेक्टेयर}$ प्रत्येक।

(C) चूंकि $AB = 9 \, m$ और $BC = 40 \, m$ तथा $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम $AC$ ज्ञात करते हैं:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \, m$.
पहला समूह समकोण त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल साफ करता है:
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, m^2$.
दूसरा समूह त्रिभुज $ACD$ का क्षेत्रफल साफ करता है जिसकी भुजाएं $41 \, m, 15 \, m$ और $28 \, m$ हैं। हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{41 + 15 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, m$.
$\Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{42(42 - 41)(42 - 15)(42 - 28)} = \sqrt{42 \times 1 \times 27 \times 14} = \sqrt{15876} = 126 \, m^2$.
पहले समूह ने $180 \, m^2$ और दूसरे समूह ने $126 \, m^2$ क्षेत्र साफ किया। पहले समूह ने $(180 - 126) = 54 \, m^2$ अधिक क्षेत्र साफ किया।
छात्रों द्वारा साफ किया गया कुल क्षेत्रफल $= 180 + 126 = 306 \, m^2$.

(D) चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करने के लिए $B$ और $D$ को जोड़ें: $\Delta BCD$ और $\Delta ABD$।
$1$. समकोण त्रिभुज $\Delta BCD$ में (क्योंकि $\angle C = 90^{\circ}$):
$\Delta BCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \, m^{2}$।
$2$. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण $BD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$।
$BD = \sqrt{169} = 13 \, m$।
$3$. $\Delta ABD$ के लिए,भुजाएँ $a = 9 \, m$,$b = 8 \, m$ और $c = 13 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{9 + 8 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, m$।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-9)(15-8)(15-13)} = \sqrt{15 \times 6 \times 7 \times 2} = \sqrt{1260} = 6\sqrt{35} \, m^{2}$।
$\sqrt{35} \approx 5.916$ लेने पर,क्षेत्रफल $\approx 6 \times 5.916 = 35.496 \approx 35.5 \, m^{2}$।
$4$. चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{Area}(\Delta BCD) + \text{Area}(\Delta ABD) = 30 + 35.5 = 65.5 \, m^{2}$।

(A) चतुर्भुज $ABCD$ को विकर्ण $AC$ द्वारा दो त्रिभुजों,$\Delta ABC$ और $\Delta ACD$ में विभाजित किया गया है।
$\Delta ABC$ के लिए:
भुजाएँ $a = 3 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \, cm$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, cm^2$.
$\Delta ACD$ के लिए:
भुजाएँ $a = 5 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = \frac{5 + 4 + 5}{2} = 7 \, cm$.
$\Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{7(7 - 5)(7 - 4)(7 - 5)} = \sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \, cm^2$.
$\sqrt{21} \approx 4.58$ का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $\approx 2 \times 4.58 = 9.16 \, cm^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \Delta ABC$ का क्षेत्रफल $+ \Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= 6 + 9.16 = 15.16 \, cm^2 \approx 15.2 \, cm^2$.

(B) सतह $I$ का क्षेत्रफल:
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $a = 5\, cm, b = 5\, cm, c = 1\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{5+5+1}{2} = 5.5\, cm$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5.5(5.5-5)(5.5-5)(5.5-1)} = \sqrt{5.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 4.5} = \sqrt{6.1875} \approx 2.48\, cm^{2}$.
सतह $II$ का क्षेत्रफल:
यह एक आयत है जिसकी लंबाई $6.5\, cm$ और चौड़ाई $1\, cm$ है।
क्षेत्रफल $= 6.5 \times 1 = 6.5\, cm^{2}$.
सतह $III$ का क्षेत्रफल:
यह एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समांतर भुजाएँ $1\, cm$ और $2\, cm$ हैं। ऊँचाई $h$ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ज्ञात की जाती है: $h = \sqrt{1^{2} - (0.5)^{2}} = \sqrt{0.75} \approx 0.866\, cm$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 0.866 = 1.5 \times 0.866 \approx 1.3\, cm^{2}$.
सतह $IV$ और $V$ का क्षेत्रफल:
ये दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुज हैं जिनका आधार $6\, cm$ और ऊँचाई $1.5\, cm$ है।
$IV$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6 \times 1.5 = 4.5\, cm^{2}$.
$V$ का क्षेत्रफल $= 4.5\, cm^{2}$.
कुल क्षेत्रफल $= 2.48 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5 = 19.28\, cm^{2} \approx 19.3\, cm^{2}$.

(C) दिए गए त्रिभुज के लिए,भुजाएँ $a = 28 \, cm$,$b = 30 \, cm$ और $c = 26 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{28 + 30 + 26}{2} \, cm = \frac{84}{2} = 42 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{42(42 - 28)(42 - 30)(42 - 26)} \, cm^2$
$= \sqrt{42 \times 14 \times 12 \times 16} \, cm^2$
$= \sqrt{(6 \times 7) \times (2 \times 7) \times (6 \times 2) \times 16} \, cm^2$
$= \sqrt{6^2 \times 7^2 \times 2^2 \times 4^2} \, cm^2 = 6 \times 7 \times 2 \times 4 \, cm^2 = 336 \, cm^2$.
चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है:
$\text{समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल} = 336 \, cm^2$.
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
$28 \, cm \times h = 336 \, cm^2$
$h = \frac{336}{28} \, cm = 12 \, cm$.
अतः,समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई $12 \, cm$ है।

(D) यहाँ,समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा $= 30\, m$ है।
एक विकर्ण $= 48\, m$ है।
चूँकि एक विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए पहले त्रिभुज की भुजाएँ $a = 30\, m, b = 30\, m, c = 48\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{30 + 30 + 48}{2}\, m = \frac{108}{2} = 54\, m$ है।
त्रिभुज $I$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{54(54 - 30)(54 - 30)(54 - 48)}\, m^{2}$ है।
$= \sqrt{54 \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{(9 \times 6) \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{9 \times 36 \times 24^{2}}\, m^{2} = 3 \times 6 \times 24\, m^{2} = 432\, m^{2}$ है।
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल भी $432\, m^{2}$ है।
समचतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $= 432\, m^{2} + 432\, m^{2} = 864\, m^{2}$ है।
अतः,$18$ गायों के लिए घास का क्षेत्रफल $= 864\, m^{2}$ है।
$1$ गाय के लिए घास का क्षेत्रफल $= \frac{864}{18}\, m^{2} = 48\, m^{2}$ है।

(N/A) प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े की भुजाएँ $a = 20\, cm$,$b = 50\, cm$ और $c = 50\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 50 + 50}{2}\, cm = \frac{120}{2}\, cm = 60\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{60(60 - 20)(60 - 50)(60 - 50)}\, cm^2$
$= \sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10}\, cm^2 = \sqrt{240000}\, cm^2 = 200\sqrt{6}\, cm^2$.
चूंकि कुल $10$ त्रिभुजाकार टुकड़े हैं,इसलिए प्रत्येक रंग के $5$ टुकड़े हैं।
प्रत्येक रंग के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल $= 5 \times 200\sqrt{6}\, cm^2 = 1000\sqrt{6}\, cm^2$.

(N/A) त्रिभुज $I$ का क्षेत्रफल:
विकर्ण $= 32\, cm$.
चूंकि वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर समद्विभाजित करते हैं,त्रिभुज $I$ की ऊंचाई (जो विकर्ण की आधी है) $= \frac{1}{2} \times 32\, cm = 16\, cm$.
त्रिभुज का आधार वर्ग का दूसरा विकर्ण है,जो $32\, cm$ है।
त्रिभुज $I$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 32\, cm \times 16\, cm = 256\, cm^2$.
त्रिभुज $II$ का क्षेत्रफल:
चूंकि वर्ग का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए त्रिभुज $II$ का क्षेत्रफल त्रिभुज $I$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
त्रिभुज $II$ का क्षेत्रफल $= 256\, cm^2$.
त्रिभुज $III$ का क्षेत्रफल:
आधार पर स्थित त्रिभुज की भुजाएं $a = 8\, cm, b = 6\, cm, c = 6\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 6 + 6}{2} = 10\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{10(10-8)(10-6)(10-6)} = \sqrt{10 \times 2 \times 4 \times 4} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}\, cm^2$.
$\sqrt{5} \approx 2.24$ लेने पर,क्षेत्रफल $\approx 8 \times 2.24 = 17.92\, cm^2$.
अतः,प्रत्येक रंग के लिए उपयोग किए गए कागज का क्षेत्रफल:
रंग $I = 256\, cm^2$,रंग $II = 256\, cm^2$,रंग $III = 17.92\, cm^2$.

(C) $16$ समान त्रिभुजाकार टाइलें हैं।
त्रिभुज की भुजाएं $a = 9\, cm, b = 28\, cm, c = 35\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 28 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{36(36 - 9)(36 - 28)(36 - 35)} = \sqrt{36 \times 27 \times 8 \times 1} = \sqrt{7776} = 36\sqrt{6}\, cm^2$.
$\sqrt{6} \approx 2.449$ का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\approx 36 \times 2.449 = 88.164\, cm^2$.
$16$ टाइलों का कुल क्षेत्रफल $= 16 \times 88.164 = 1410.624\, cm^2$.
$50$ पैसे (या $Rs. 0.50$) प्रति $cm^2$ की दर से पॉलिश करने का खर्च $= 1410.624 \times 0.50 = Rs. 705.312$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,खर्च $Rs. 705.60$ है।

(D) दिया गया खेत एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ के रूप में है,जहाँ समांतर भुजाएँ $AB = 10\, m$ और $DC = 25\, m$ हैं।
असमांतर भुजाएँ $AD = 13\, m$ और $BC = 14\, m$ हैं।
$BE \parallel AD$ खींचिए,ताकि $E$,$DC$ पर स्थित हो। तब $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$DE = AB = 10\, m$,इसलिए $EC = DC - DE = 25\, m - 10\, m = 15\, m$।
$\Delta BCE$ में,भुजाएँ $a = 13\, m$,$b = 14\, m$ और $c = 15\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, m$।
$\Delta BCE$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\, m^{2}$।
मान लीजिए $h$,$EC = 15\, m$ आधार के संगत $\Delta BCE$ की ऊँचाई है।
$\Delta BCE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = 84\, m^{2}$।
$\frac{1}{2} \times 15 \times h = 84 \Rightarrow h = \frac{168}{15} = 11.2\, m$।
समांतर चतुर्भुज $ABED$ का क्षेत्रफल $= \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = AB \times h = 10 \times 11.2 = 112\, m^{2}$।
खेत का कुल क्षेत्रफल $= \Delta BCE$ का क्षेत्रफल $+$ समांतर चतुर्भुज $ABED$ का क्षेत्रफल $= 84 + 112 = 196\, m^{2}$।

(A) मान लीजिए $ABCD$ समचतुर्भुज के आकार का खेत है।
समचतुर्भुज का परिमाप $= 400\, m$.
चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएं बराबर होती हैं,इसलिए प्रत्येक भुजा $= 400\, m / 4 = 100\, m$.
अतः,$AB = BC = CD = DA = 100\, m$.
मान लीजिए विकर्ण $BD = 160\, m$.
विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों,$\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ में विभाजित करता है।
$\triangle ABD$ के लिए,भुजाएं $a = 100\, m$,$b = 100\, m$ और $c = 160\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ इस प्रकार है:
$s = (100 + 100 + 160) / 2 = 360 / 2 = 180\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180(180-100)(180-100)(180-160)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 80 \times 80 \times 20}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 20 \times 80^2}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{3600 \times 6400}$
क्षेत्रफल $= 60 \times 80 = 4800\, m^2$.
चूंकि जमीन को दो बराबर भागों में बांटा गया है,इसलिए उनमें से प्रत्येक को $4800\, m^2$ क्षेत्रफल मिलेगा।