Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Hindi

(D) हीरोन के सूत्र में,$a$,$b$ और $c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है,जिसकी गणना $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में की जाती है।

(A) जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग किया जाता है।
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करें,जो $s = \frac{a+b+c}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसके बाद,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।

(B) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
एक समकोण त्रिभुज में,समकोण बनाने वाली दो भुजाएं आधार और ऊंचाई के रूप में कार्य करती हैं।
इसलिए,समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल}$ होता है।

(C) समलंब चतुर्भुज (trapezium) का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$,जहाँ $a$ और $b$ समांतर भुजाओं की लंबाई हैं और $h$ उनके बीच की लंबवत दूरी (ऊंचाई) है।
अतः,सही सूत्र $\frac{1}{2} \times \text{समांतर भुजाओं का योग} \times \text{समांतर भुजाओं के बीच की दूरी}$ है।

(D) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
$a_1 = 16\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल $A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256$ होगा।
$a_2 = 8\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल $A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ होगा।
यह ज्ञात करने के लिए कि $A_1$,$A_2$ का कितना गुना है,हम अनुपात निकालते हैं: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256}{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64} = \frac{256}{64} = 4$।
अतः,$16\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $8\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का $4$ गुना है।

(A) समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a = 10\,cm$ है।
त्रिभुज का परिमाप $P = a + a + a = 3a$ होता है।
$P = 3 \times 10 = 30\,cm$.
अर्ध-परिमाप $s$ को परिमाप के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$s = \frac{P}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$.

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि भुजाओं की माप $12 \, cm$,$16 \, cm$ और $20 \, cm$ एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं क्योंकि $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$ होता है।
चूंकि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
आधार $12 \, cm$ और ऊंचाई $16 \, cm$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96 \, cm^2$।

(C) त्रिभुज की दी गई भुजाएँ $a = 13 \, cm$, $b = 14 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं।
सबसे पहले, अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, cm$.
अब, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हेरोन के सूत्र का उपयोग करें:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{Area} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$\text{Area} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
$\text{Area} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$\text{Area} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}$
$\text{Area} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84 \, cm^2$.

(D) समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ है,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
दिया गया है: $d_1 = 40 \, cm$ और $d_2 = 42 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 40 \times 42$
$\text{Area} = 20 \times 42 = 840 \, cm^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना समचतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = 16\,cm$ और $d_2 = 30\,cm$ हैं।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
माना समचतुर्भुज की भुजा $a$ है। विकर्ण समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
इन त्रिभुजों की भुजाएँ विकर्णों की लंबाई की आधी होती हैं: $d_1/2 = 8\,cm$ और $d_2/2 = 15\,cm$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $a^2 = (8)^2 + (15)^2$।
$a^2 = 64 + 225 = 289$।
$a = \sqrt{289} = 17\,cm$।
समचतुर्भुज का परिमाप = $4 \times \text{भुजा} = 4 \times 17 = 68\,cm$।

(B) सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जांचें कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है: $AB^2 + BC^2 = 20^2 + 48^2 = 400 + 2304 = 2704$
चूंकि $AC^2 = 52^2 = 2704$ है,इसलिए $AB^2 + BC^2 = AC^2$ है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $BC = 48 \, cm$ और ऊँचाई $AB = 20 \, cm$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 48 \times 20 = 24 \times 20 = 480 \, cm^2$.

(C) सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा जाँचें कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है: $12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$। चूँकि $37^2 = 1369$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
आधार $12 \ cm$ और ऊँचाई $35 \ cm$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 35 = 6 \times 35 = 210 \ cm^2$.

(D) त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
दिए गए मान $a = 15 \, cm$,$b = 20 \, cm$ और $s = 31 \, cm$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$31 = \frac{15 + 20 + c}{2}$
$31 \times 2 = 35 + c$
$62 = 35 + c$
$c = 62 - 35$
$c = 27 \, cm$
अतः,$c$ का मान $27 \, cm$ है।

(A) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 20 \, cm$,$b = 24 \, cm$ और $c = 32 \, cm$ हैं।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$s = \frac{20 + 24 + 32}{2}$
$s = \frac{76}{2}$
$s = 38 \, cm$
अतः,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $38 \, cm$ है।