Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(C) ક્રમિક પ્રકાશિત અથવા અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેના અંતરને શલાકાની પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે,જેને $\beta$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 550 \, nm = 550 \times 10^{-9} \, m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 1.10 \, mm = 1.10 \times 10^{-3} \, m$.
પડદાનું અંતર $D = 1 \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\beta = \frac{550 \times 10^{-9} \times 1}{1.10 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{550}{1.10} \times 10^{-6} \, m$
$\beta = 500 \times 10^{-6} \, m = 0.5 \times 10^{-3} \, m = 0.5 \, mm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1/a_2 + 1}{a_1/a_2 - 1} \right)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4}{1}$,તેથી $\left( \frac{a_1/a_2 + 1}{a_1/a_2 - 1} \right)^2 = 4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે $\frac{a_1/a_2 + 1}{a_1/a_2 - 1} = 2$.
ધારો કે $r = \frac{a_1}{a_2}$. તો $\frac{r + 1}{r - 1} = 2$.
$r + 1 = 2r - 2$.
$r = 3$.
આમ,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,$\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $\beta \propto \lambda$.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ કરતા વધારે હોય છે.
કારણ કે $\lambda_{blue} < \lambda_{red}$,વાદળી પ્રકાશ માટે શલાકાની પહોળાઈ લાલ પ્રકાશ કરતા ઓછી હશે.
તેથી,શલાકાઓ વધુ સાંકડી બનશે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં, કેન્દ્રીય બિંદુ પર તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે પથ તફાવત શૂન્ય $(\Delta x = 0)$ હોય છે.
તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે $\Delta x = 0$ હોવાથી, કેન્દ્રીય બિંદુ પર બધા જ રંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે, જેના પરિણામે કેન્દ્રીય સફેદ શલાકા મળે છે.
અન્ય શલાકાઓ માટે, $n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જાંબલી રંગની તરંગલંબાઇ લાલ રંગ કરતા ઓછી $(\lambda_{violet} < \lambda_{red})$ હોવાથી, જાંબલી શલાકાઓ લાલ શલાકાઓ કરતા કેન્દ્રીય શલાકાની વધુ નજીક હોય છે.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે કેન્દ્રીય શલાકા સફેદ હોય છે અને જાંબલી શલાકાઓ લાલ શલાકાઓ કરતા તેની વધુ નજીક હોય છે.

(B) પડદા પરના ભાગની પહોળાઈ $W = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ શલાકાઓની સંખ્યા છે અને $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
કારણ કે $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,તેથી ભાગની પહોળાઈ $W = n \frac{\lambda D}{d}$ થાય.
નિશ્ચિત ભાગ $W$ માટે,$n \lambda$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે કારણ કે $D$ અને $d$ અચળ છે.
તેથી,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
આપેલ છે કે $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,અને $\lambda_2 = 400 \ nm$.
કિંમતો મૂકતા: $12 \times 600 = n_2 \times 400$.
$n_2 = \frac{12 \times 600}{400} = 12 \times 1.5 = 18$.
આમ,$18$ શલાકાઓ જોવા મળશે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-માં અધિકતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,$\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે,$n$ એ અધિકતમનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે: $d = 0.589 \ m$,$\lambda = 589 \ nm = 589 \times 10^{-9} \ m$,અને $n = 3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{3 \times 589 \times 10^{-9}}{0.589}$.
કારણ કે $0.589 = 589 \times 10^{-3}$,તેથી $\sin \theta = \frac{3 \times 589 \times 10^{-9}}{589 \times 10^{-3}} = 3 \times 10^{-6}$.
તેથી,કોણીય સ્થાન $\theta = \sin^{-1}(3 \times 10^{-6})$ થશે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ સ્લિટના અંતર $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
જો સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે,એટલે કે $d' = \frac{d}{2}$,તો નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ નીચે મુજબ થશે:
$\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{d/2} = 2 \times \frac{\lambda D}{d} = 2\beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ બમણી થશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,જ્યારે એકવર્ણી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બધી પ્રકાશિત શલાકાઓ તીવ્રતા અને પહોળાઈમાં સમાન દેખાય છે.
જો કે,જ્યારે શ્વેત પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યસ્થ શલાકા તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે $0$ ના પથ તફાવત પર રચાય છે.
કેન્દ્રસ્થ સ્થાને તમામ તરંગલંબાઇઓ એકબીજા પર સંપાત થતી હોવાથી,મધ્યસ્થ શલાકા શ્વેત દેખાય છે.
આ શ્વેત મધ્યસ્થ શલાકાની બંને બાજુએ થોડી રંગીન પટ્ટીઓ જોવા મળે છે,ત્યારબાદ સમાન પ્રકાશ જોવા મળે છે.
આમ,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાને શ્વેત પ્રકાશનો ઉપયોગ કરીને વિશિષ્ટ રીતે ઓળખી શકાય છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં નવી તરંગલંબાઇ $\lambda' = 2\lambda$ અને નવું સ્લિટ અંતર $d' = \frac{d}{2}$ આપેલ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ આ મુજબ થશે: $\beta' = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{(2\lambda) D}{(d/2)} = 4 \times \frac{\lambda D}{d} = 4\beta$.
તેથી,પરિણામી ફ્રિન્જની પહોળાઈ પ્રારંભિક ફ્રિન્જની પહોળાઈ કરતા $4$ ગણી થાય છે. આમ,$n = 4$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\beta \propto \lambda$.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ એ સોડિયમ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{sodium})$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી, $\lambda_{red} > \lambda_{sodium}$ હોવાથી, ફ્રિન્જની પહોળાઈ વધશે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં તરંગલંબાઇ $\lambda$ ને $7000 \ \mathring{A}$ થી ઘટાડીને $3500 \ \mathring{A}$ (અડધી) કરવામાં આવી છે અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d$ બમણું $(d' = 2d)$ કરવામાં આવ્યું છે,તેથી નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta'$ નીચે મુજબ થશે:
$\beta' = \frac{(\lambda/2) D}{2d} = \frac{1}{4} \frac{\lambda D}{d} = \frac{1}{4} \beta$.
શલાકાની પહોળાઈ બદલાતી હોવાથી,ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ અને ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર (જે શલાકાની પહોળાઈ જેટલું જ હોય છે) પણ બદલાય છે.
તેથી,એ વિધાન કે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર બદલાતું નથી,તે ખોટું છે.

(B) બિંદુ $P$ પર અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\Delta$ ની શરત નીચે મુજબ છે:
$\Delta = S_1P - S_2P = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$
જ્યાં $n$ એ અપ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
અહીં $n = 3$ અને $\lambda = 6000 \ \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \ m = 0.6 \ \mu m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = (2(3) - 1) \frac{0.6 \ \mu m}{2} = 5 \times 0.3 \ \mu m = 1.5 \ \mu m$.
આમ,પથ તફાવત $1.5 \ \mu m$ છે.

(B) મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n$મા ન્યૂનતમનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_n = \frac{(2n - 1)\lambda D}{2d}$
આપેલ છે:
સ્લિટનું અંતર $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
પડદાનું અંતર $D = 1 \, m$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$
$3$જા ન્યૂનતમ માટે,$n = 3$.
કિંમતો મૂકતા:
$x_3 = \frac{(2 \times 3 - 1) \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{5 \times 500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{2500 \times 10^{-6}}{2} = 1250 \times 10^{-6} \, m$
$x_3 = 1.25 \times 10^{-3} \, m = 1.25 \, mm$.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે。
જ્યારે આખી ગોઠવણીને $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ થાય છે。
અહીં $D$ અને $d$ અચળ રહેતા હોવાથી, નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{(\lambda / n) D}{d} = \frac{1}{n} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{n}$ થાય છે。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે。

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
જો નવું અંતર $d' = \frac{d}{3}$ હોય,તો નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{d/3} = 3 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 3\beta$ થશે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતા $n$ ગણી હોવાથી,$n\beta = 3\beta$ થાય,તેથી $n = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 6.5 \times 10^{-7}\, m$,પડદાનું અંતર $D = 1\, m$.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{D\lambda}{d} = \frac{1 \times 6.5 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 6.5 \times 10^{-4}\, m = 0.65\, mm$.
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n\beta$ છે.
$m^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_m = (m - 0.5)\beta$ છે.
આપણે પાંચમી પ્રકાશિત શલાકા $(n=5)$ અને ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા $(m=3)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું છે:
$\Delta y = |y_5 - y'_3| = |5\beta - (3 - 0.5)\beta| = |5\beta - 2.5\beta| = 2.5\beta$.
$\Delta y = 2.5 \times 0.65\, mm = 1.625\, mm \approx 1.63\, mm$.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A^2$.
અહીં બે સ્ત્રોતોના કંપવિસ્તાર $A_1 = 3a$ અને $A_2 = a$ આપેલા છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $(I_{\max})$ સહાયક વ્યતિકરણ વખતે મળે છે,જ્યાં $I_{\max} \propto (A_1 + A_2)^2$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $(I_{\min})$ વિનાશક વ્યતિકરણ વખતે મળે છે,જ્યાં $I_{\min} \propto (A_1 - A_2)^2$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3a + a}{3a - a} \right)^2 = \left( \frac{4a}{2a} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = (n - 1/2) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $n = 1$ લેતા,$d \sin \theta = \frac{\lambda}{2}$ મળે.
ખૂણો $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં).
તેથી,$\theta = \frac{\lambda}{2d}$.
આપેલ છે: $\lambda = 5460 \times 10^{-10} \, m$,$d = 0.1 \times 10^{-3} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{5460 \times 10^{-10}}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 0.00273 \, \text{રેડિયન}$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણતા:
$\theta = 0.00273 \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.156^\circ$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર એ શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ તરીકે ઓળખાય છે.
શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $D = 1 \ m$.
સ્લિટનું અંતર $d = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}} \ m$
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \ m$
આને $mm$ માં ફેરવવા માટે,$10^3$ વડે ગુણો:
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.25 \ mm$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,જ્યારે તરંગો એક બિંદુ પર વિરુદ્ધ કળામાં પહોંચે ત્યારે વિનાશક વ્યતિકરણ (destructive interference) થાય છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટે,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
કળા તફાવત $(\phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
ન્યૂનતમ માટે પથ તફાવત મૂકતા: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n - 1) \frac{\lambda}{2} = (2n - 1)\pi$.
આમ,ન્યૂનતમ માટે કળા તફાવત એ $\pi$ નો એકી ગુણાંક હોય છે.

(D) વિનાશક વ્યતિકરણ (minima) માટે,પથ તફાવત $\Delta$ નું સૂત્ર: $\Delta = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
ત્રીજા ન્યૂનતમ માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકીએ છીએ:
$\Delta = (2 \times 3 - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\Delta = (6 - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\Delta = \frac{5\lambda}{2}$
તેથી,ત્રીજા ન્યૂનતમ માટે પથ તફાવત $\frac{5\lambda}{2}$ છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
જ્યારે આ પ્રયોગને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં કરવામાં આવે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
તેથી,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થશે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w$ એ $1$ કરતા વધારે હોવાથી,પાણીમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_{water} = \frac{\beta_{air}}{\mu_w}$ એ હવાની સરખામણીમાં ઓછી હશે.
આમ,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ઘટે છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $D$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(\beta \propto D)$.
તેથી,જો અંતર $D$ વધે,તો ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ પણ વધે છે.

(A) સુસંબદ્ધ ઉદગમો ઉત્પન્ન કરવાની પદ્ધતિના આધારે વ્યતિકરણને બે પ્રકારમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે: તરંગ અગ્રનું વિભાજન અને કંપવિસ્તારનું વિભાજન.
$1$. તરંગ અગ્રનું વિભાજન: આ પદ્ધતિમાં,એક જ ઉદગમમાંથી નીકળતા તરંગ અગ્રને સ્લિટ,અરીસા અથવા પ્રિઝમનો ઉપયોગ કરીને બે કે તેથી વધુ ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણોમાં યંગનો ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ,ફ્રેનલનો બાયપ્રિઝમ અને લોઈડનો અરીસો સામેલ છે.
$2$. કંપવિસ્તારનું વિભાજન: આ પદ્ધતિમાં,આપાત તરંગના કંપવિસ્તારને આંશિક પરાવર્તન અથવા વક્રીભવન દ્વારા બે કે તેથી વધુ ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણોમાં પાતળા પડના રંગો,ન્યૂટનના વલયો અને માઈકલસન ઈન્ટરફેરોમીટરનો સમાવેશ થાય છે.
પ્રશ્ન તરંગ અગ્રના વિભાજનને કારણે થતા વ્યતિકરણ વિશે પૂછે છે,તેથી વિકલ્પો $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય સાચા છે. જોકે,સામાન્ય રીતે યંગનો ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ એ સૌથી પાયાનું ઉદાહરણ છે.

(D) કેન્દ્રથી $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_n = \frac{n \lambda D}{d}$
આપેલ છે:
$n = 3$
$\lambda = 6000\ \mathring A = 6000 \times 10^{-10}\ m = 6 \times 10^{-7}\ m$
$D = 2.5\ m$
$d = 0.5\ mm = 0.5 \times 10^{-3}\ m$
કિંમતો મૂકતા:
$x_3 = \frac{3 \times (6 \times 10^{-7}) \times 2.5}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{45 \times 10^{-7}}{0.5 \times 10^{-3}} = 90 \times 10^{-4}\ m = 9 \times 10^{-3}\ m$
કારણ કે $10^{-3}\ m = 1\ mm$,તેથી:
$x_3 = 9\ mm$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,જો એકરંગી પ્રકાશને બદલે સફેદ પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો મધ્યસ્થ બિંદુ પર તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે. તેથી,તમામ તરંગલંબાઇઓ કેન્દ્ર પર સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના કારણે મધ્યસ્થ શલાકા સફેદ દેખાય છે.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધારિત હોવાથી,અને $\beta_{red} > \beta_{violet}$ હોવાથી,વિવિધ રંગોની શલાકાઓ કેન્દ્રથી દૂર અલગ-અલગ સ્થાનો પર એકબીજા પર સંપાત થાય છે,જેના પરિણામે રંગીન શલાકાઓ રચાય છે.
પ્રકાશિત શલાકાની અંદરની ધાર જાંબલી (ટૂંકી તરંગલંબાઇ) અને બહારની ધાર લાલ (લાંબી તરંગલંબાઇ) હોય છે.

(A) પરંપરાગત પ્રકાશ સ્ત્રોતોમાં,પ્રકાશ મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર અણુઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત થાય છે. દરેક અણુ લગભગ $10^{-9} \text{ s}$ માટે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉત્સર્જિત પ્રકાશ મૂળભૂત રીતે માત્ર $10^{-9} \text{ s}$ સુધી ટકતો એક પલ્સ છે.
બે અલગ-અલગ સ્ત્રોતોમાંથી આવતો પ્રકાશ નિશ્ચિત કળા સંબંધ જાળવી શકતો નથી કારણ કે સ્વતંત્ર અણુઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની કળા દર $10^{-9} \text{ s}$ એ યાદચ્છિક રીતે બદલાય છે.
બે તરંગો વચ્ચે કોઈ અચળ કળા તફાવત ન હોવાથી,વ્યતિકરણ ભાત એટલી ઝડપથી બદલાય છે કે માનવ આંખ તેને પારખી શકતી નથી.
માનવ આંખ માત્ર એવી તીવ્રતામાં થતા ફેરફારોને જોઈ શકે છે જે ઓછામાં ઓછા $0.1 \text{ s}$ સુધી ટકે છે.
પરિણામે,સ્થિર વ્યતિકરણ ભાતને બદલે,આપણે પડદા પર માત્ર સમાન તીવ્રતાનું વિતરણ જોઈએ છીએ.

(D) ધારો કે $P$ એ પડદા પરનું બિંદુ છે જે સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે. $S_1$ અને $S_2$ થી $P$ પર પહોંચતા પ્રકાશના કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{b^2 + d^2} - d$
$d >> b$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta x = d(1 + \frac{b^2}{d^2})^{1/2} - d \approx d(1 + \frac{b^2}{2d^2}) - d = \frac{b^2}{2d}$
વિનાશક વ્યતિકરણ (ગેરહાજર તરંગલંબાઇઓ) માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{b^2}{2d} = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{b^2}{(2n - 1)d}$
$n = 1$ માટે,$\lambda = \frac{b^2}{d}$.
$n = 2$ માટે,$\lambda = \frac{b^2}{3d}$.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમનું સ્થાન એ શરત દ્વારા નક્કી થાય છે કે બંને સ્લિટમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત શૂન્ય હોય.
ધારો કે પથ તફાવત $\Delta x = (S_B + B P) - (S_A + A P) = 0$ છે.
શરૂઆતમાં,પડદાના કેન્દ્ર પર પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે.
જ્યારે $S$ થી $B$ સુધીની ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે મૂળ મધ્યસ્થ બિંદુ પર પથ તફાવત $\Delta x = (S_B + \Delta S_B + B P) - (S_A + A P) = \Delta S_B > 0$ થાય છે.
$\Delta x = 0$ ની શરત જાળવી રાખવા માટે,બિંદુ $P$ એ રીતે ખસવું જોઈએ કે જેથી $A$ થી આવતા પથની લંબાઈ $B$ થી આવતા પથની લંબાઈ કરતા વધારે થાય.
સ્લિટ $A$ એ સ્લિટ $B$ ની ઉપર હોવાથી,મધ્યસ્થ અધિકતમ તે સ્લિટ તરફ ખસે છે જેની ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ વધારવામાં આવી છે,એટલે કે સ્લિટ $B$ તરફ.
તેથી,વ્યતિકરણ ભાત શિરોલંબ નીચેની તરફ ખસશે.

(D) માઇક્રોવેવ માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^6} = 300 \ m$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (\Delta x) = \frac{2\pi}{300} (150 \sin \theta) = \pi \sin \theta$ છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
ધારો કે $I_1 = I_2 = I$,તો $I_R = 2I + 2I \cos \phi = 2I(1 + \cos \phi) = 4I \cos^2(\phi/2)$ મળે.
$\phi = \pi \sin \theta$ મૂકતા,$I_R = 4I \cos^2\left(\frac{\pi \sin \theta}{2}\right)$ મળે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_0 = 4I$ હોવાથી,$I(\theta) = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \sin \theta}{2}\right)$ થાય.
જ્યારે $\theta = 0^\circ$,$I(0) = I_0 \cos^2(0) = I_0$.
જ્યારે $\theta = 30^\circ$,$I(30^\circ) = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \sin 30^\circ}{2}\right) = I_0 \cos^2(\pi/4) = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = I_0/2$.
જ્યારે $\theta = 90^\circ$,$I(90^\circ) = I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) $a_1$ અને $a_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi$
$A = a_1^2 + a_2^2$ અને $B = 2a_1 a_2$ મૂકતા,સમીકરણ આ મુજબ મળે છે:
$I = A + B \cos \phi$
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $K = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/4$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\phi_2/2) = I_{max} \cos^2(\pi/4)$ છે.
કારણ કે $I_{max} = K$ અને $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,તેથી $I_2 = K \times (1/\sqrt{2})^2 = K/2$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $Q$ એ મધ્યબિંદુ $O$ ની જમણી બાજુએ $1^{\text{લી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન છે।
$P$ એ $Q$ થી માપતા બીજી બાજુ પરની $11^{\text{મી}}$ શલાકા છે।
આનો અર્થ એ છે કે $P$ એ મધ્યબિંદુ $O$ ની ડાબી બાજુએ $10^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા છે (કારણ કે $11 - 1 = 10$)।
પ્રકાશિત શલાકા માટે, પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, $n = 10$ અને $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$ છે।
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી, $S_1$ અને $S_2$ થી $P$ પર પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $S_1B = S_2P - S_1P$ છે।
તેથી, $S_1B = n\lambda = 10 \times 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 60000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-6} \text{ m}$.

(B) સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રિય બિંદુ પર,પથ તફાવત શૂન્ય છે,તેથી $\phi = 0$. આપેલ છે કે $I_1 = I_2 = I_0$,તેથી સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે તીવ્રતા $I_{coh} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(0) = 4I_0$ થાય.
અસુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,કળા તફાવત $\phi$ સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાય છે,તેથી $\cos \phi$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ થાય છે.
આમ,અસુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_{incoh} = I_1 + I_2 = I_0 + I_0 = 2I_0$ થાય.
તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_{coh}}{I_{incoh}} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ છે.

(C) $YDSE$ માં $n^{th}$ અધિકતમનું સ્થાન $y_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ છે.
શરૂઆતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ $y_0 = 2 \, cm$ પર અને $10^{th}$ અધિકતમ $y_{10} = 5 \, cm$ પર છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ અને $10^{th}$ અધિકતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_{10} - y_0 = 5 \, cm - 2 \, cm = 3 \, cm$ છે.
જ્યારે સાધનને $1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઇ $\lambda' = \lambda / \mu$ થાય છે,અને પરિણામે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \beta / \mu$ થાય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ શૂન્ય પથ તફાવત પર રચાય છે,તેથી તેનું સ્થાન $y_0' = 2 \, cm$ પર બદલાતું નથી.
મધ્યસ્થ અધિકતમ અને $10^{th}$ અધિકતમ વચ્ચેનું નવું અંતર $\Delta y' = \frac{\Delta y}{\mu} = \frac{3 \, cm}{1.5} = 2 \, cm$ થશે.
તેથી,$10^{th}$ અધિકતમનું નવું સ્થાન $y_{10}' = y_0' + \Delta y' = 2 \, cm + 2 \, cm = 4 \, cm$ થશે.
આમ,યામ $2 \, cm$ અને $4 \, cm$ છે.

(A) ધારો કે $P$ એ એક સ્લિટની સામેનું બિંદુ છે જ્યાં તીવ્રતાની ગણતરી કરવાની છે. આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે મધ્ય અક્ષથી બિંદુ $P$ નું અંતર $x = \frac{d}{2}$ છે.
બિંદુ $P$ પર પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\Delta = \frac{xd}{D} = \frac{(\frac{d}{2})d}{10d} = \frac{d}{20}$.
આપેલ છે કે $d = 5\lambda$,આ કિંમત મૂકતા:
$\Delta = \frac{5\lambda}{20} = \frac{\lambda}{4}$.
તેને અનુરૂપ કળા તફાવત $\phi$ છે:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
બિંદુ $P$ પર પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$.

(B) પડદા પર મહત્તમ તીવ્રતા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
અહીં,$d = 7000\,{\mathring A}$ અને $\lambda = 2000\,{\mathring A}$ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{n(2000)}{7000} = \frac{n}{3.5}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,તેથી $\frac{n}{3.5} \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $n \le 3.5$.
આમ,$n$ ના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ છે.
કુલ અધિકતમની સંખ્યા $2n + 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે (જ્યાં $n$ એ એક બાજુનો મહત્તમ ક્રમ છે).
કુલ અધિકતમ = $2(3) + 1 = 7$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશિત શલાકાઓ માટે, સ્થાન $y = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ધારો કે $\lambda_1 = 900 \,nm$ ની $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા, $\lambda_2 = 750 \,nm$ ની $m^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા સાથે સંપાત થાય છે।
અહીં $\lambda_1 > \lambda_2$ હોવાથી, લઘુત્તમ અંતરે $\lambda_1$ ની $n^{\text{મી}}$ શલાકા એ $\lambda_2$ ની $(n+1)^{\text{મી}}$ શલાકા સાથે સંપાત થશે।
તેથી, $\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_2 D}{d}$.
$n \times 900 = (n+1) \times 750$.
$900n = 750n + 750$.
$150n = 750 \Rightarrow n = 5$.
અંતર $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{5 \times 900 \times 10^{-9} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = 5 \times 900 \times 10^{-6} \,m = 4500 \times 10^{-6} \,m = 4.5 \times 10^{-3} \,m = 4.5 \,mm$.

(D) તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે $n$-માં ન્યૂનતમની શરત $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda_1 D}{2d}$ છે.
બે તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 400 \, nm$ અને $\lambda_2 = 560 \, nm$ માટે ન્યૂનતમ બિંદુઓ સંપાત થાય તે માટે,$(2n - 1) \lambda_1 = (2m - 1) \lambda_2$ લેતા.
$(2n - 1) 400 = (2m - 1) 560 \implies \frac{2n - 1}{2m - 1} = \frac{560}{400} = \frac{7}{5}$.
પ્રથમ સંપાત થતું ન્યૂનતમ $2n-1 = 7$ અને $2m-1 = 5$ પર મળે છે.
તેનું સ્થાન $y_1 = 7 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 14 \, mm$ છે.
આગળનું સંપાત થતું ન્યૂનતમ તેના પછીના એકી ગુણોત્તર $\frac{21}{15}$ પર મળે છે (કારણ કે $7 \times 3 = 21$ અને $5 \times 3 = 15$).
તેનું સ્થાન $y_2 = 21 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 42 \, mm$ છે.
સંપૂર્ણ અંધકારના બે ક્રમિક પ્રદેશો વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_2 - y_1 = 42 - 14 = 28 \, mm$ થાય.

(B) વ્યતિકરણના મહત્તમ માટે,પથ તફાવત $\Delta = d \sin \theta = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્લિટનું અંતર $d = 2\lambda$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2\lambda \sin \theta = n\lambda$,જેનું સાદું રૂપ $\sin \theta = \frac{n}{2}$ થાય છે.
કારણ કે $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $[-1, 1]$ ની રેન્જમાં હોવું જોઈએ,તેથી $-1 \le \frac{n}{2} \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $-2 \le n \le 2$.
$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-2, -1, 0, 1, 2$ છે.
આ મૂલ્યો ગણતા,આપણને કુલ $5$ મહત્તમ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,બે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે $\Delta x = S_2P - S_1P = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ પથ તફાવત માટે,પડદા પરના બિંદુઓ $P$ નો બિંદુપથ એક વક્ર બનાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,શરત $S_2P - S_1P = \text{constant}$ એ બે સ્લિટને નાભિ તરીકે ધરાવતા અતિવલય (hyperbola) ની વ્યાખ્યા દર્શાવે છે.
તેથી,પડદા પર રચાતી વ્યતિકરણની ભાત અતિવલયાકાર હોય છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = I_{max}/4$,તેથી $I_{max}/4 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\phi/2) = 1/4$,તેથી $\cos(\phi/2) = 1/2$.
આમ,$\phi/2 = \pi/3$,જેનો અર્થ છે કે કળા તફાવત $\phi = 2\pi/3$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે.
$\phi = 2\pi/3$ મૂકતા,આપણને $2\pi/3 = (2\pi/\lambda) \Delta x$ મળે છે,જે $\Delta x = \lambda/3$ આપે છે.
કોણીય સ્થાન $\theta$ પરના બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ થાય છે.
તેથી,$d \sin \theta = \lambda/3$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \lambda/(3d)$.
આમ,$\theta = sin^{-1}(\lambda/3d)$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p$ એ $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે વેગ $v$ વધે છે,ત્યારે વેગમાન $p$ વધે છે.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $p$ વધે છે,તેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે.
$YDSE$ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \lambda D/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
કારણ કે $\beta \propto \lambda$,તેથી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માં ઘટાડો થવાથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માં ઘટાડો થાય છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સહાયક વ્યતિકરણ (અધિકત્તમ) માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\theta$ એ ખૂણો છે,$n$ એ અધિકત્તમનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $d = 1.8 \lambda$,તેથી શરત $1.8 \lambda \sin \theta = n \lambda$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $1.8 \sin \theta = n$ થાય છે.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,$n$ ના શક્ય મૂલ્યો $|n| < 1.8$ દ્વારા મર્યાદિત છે.
આમ,$n$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો $0, \pm 1$ લઈ શકે છે.
$n = 0$ માટે,આપણને મધ્યસ્થ અધિકત્તમ મળે છે.
$n = 1$ માટે,બંને બાજુ પ્રથમ ક્રમના અધિકત્તમ મળે છે.
$n = -1$ માટે,બંને બાજુ પ્રથમ ક્રમના અધિકત્તમ મળે છે.
અધિકત્તમની કુલ સંખ્યા = $1 (n=0) + 2 (n=1) + 2 (n=-1) = 5$.

(D) યંગના ડબલ-સ્લીટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $w$ નું સૂત્ર $w = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લીટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લીટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પારદર્શક શીટને કોઈ એક સ્લીટની આગળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $(\mu - 1)t$ જેટલો વધારાનો પથ તફાવત ઉત્પન્ન કરે છે. આના કારણે સમગ્ર વ્યતિકરણ ભાતનું સ્થાનાંતર થાય છે.
જોકે,શલાકાની પહોળાઈ $w$ માત્ર તરંગલંબાઈ $\lambda$,અંતર $D$ અને સ્લીટ વચ્ચેના અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. માઈકાની શીટ મૂકવાથી આમાંથી કોઈ પણ પરિમાણ બદલાતું નથી,તેથી શલાકાની પહોળાઈ અચળ રહે છે.
તેથી,$w' = w$.

(A) કેન્દ્રીય મહત્તમથી $n$ મી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 3$
$\lambda = 6500 \, \mathring A = 6500 \times 10^{-10} \, m = 6.5 \times 10^{-7} \, m$
$D = 120 \, cm = 1.2 \, m$
$d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x_3 = \frac{3 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{23.4 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = 11.7 \times 10^{-4} \, m$
$x_3 = 1.17 \times 10^{-3} \, m = 0.117 \, cm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સ્લિટની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{9}$ આપેલ છે.
તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ અને કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{w_1}{w_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{1}{9}$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a_2 = 3a_1$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a_2 = 3a_1$ કિંમત મૂકતા,$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + 3a_1)^2}{(a_1 - 3a_1)^2} = \frac{(4a_1)^2}{(-2a_1)^2} = \frac{16a_1^2}{4a_1^2} = \frac{4}{1}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) હવામાં શલાકાની કોણીય પહોળાઈ $\alpha = \frac{\lambda}{d} = 0.20^\circ$ છે.
અહીં $\alpha \propto \lambda$ હોવાથી,જ્યારે સાધનને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_w = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
તેથી,નવી કોણીય શલાકા પહોળાઈ $\alpha_w = \frac{\alpha}{\mu}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha_w = \frac{0.20}{4/3} = 0.20 \times \frac{3}{4} = 0.15^\circ$.