Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Gujarati

(A) સમય સાથે સ્થિર વ્યતિકરણ ભાત મેળવવા માટે,બંને ઉદ્દગમોમાંથી ઉત્સર્જિત તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ રહેવો જોઈએ. આને સુસંબદ્ધ ઉદ્દગમોની વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે. જો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાતો રહે,તો વ્યતિકરણ ભાત ઝડપથી બદલાશે,જેના પરિણામે સરેરાશ તીવ્રતા સમાન દેખાશે અને ભાત નરી આંખે જોઈ શકાશે નહીં. તેથી,મુખ્ય શરત એ છે કે ઉદ્દગમો સુસંબદ્ધ હોવા જોઈએ,એટલે કે તેઓ અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખતા હોવા જોઈએ.

(D) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતાનું સૂત્ર $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,$\cos \phi = 1$,તેથી $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
$I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ મૂકતા:
$I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે,$\cos \phi = -1$,તેથી $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
$I_{min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાઓ અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.

(D) વ્યતિકરણ એ એક સામાન્ય તરંગ ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે બે અથવા વધુ તરંગો અવકાશ અને સમયમાં એકબીજા પર સંપાત થાય છે,જેના પરિણામે સંપાતપણાના સિદ્ધાંતને કારણે નવું તરંગ સ્વરૂપ રચાય છે.
યાંત્રિક તરંગો,જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે,તે બે સ્વરૂપોમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે: લંબગત તરંગો (જ્યાં કણો પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે કંપન કરે છે) અને સંગત તરંગો (જ્યાં કણો પ્રસરણની દિશાને સમાંતર કંપન કરે છે). બંને પ્રકારના તરંગો વ્યતિકરણ દર્શાવે છે; ઉદાહરણ તરીકે,પાણીના તરંગો (લંબગત) અને ધ્વનિ તરંગો (સંગત) બંને વ્યતિકરણની ભાત દર્શાવે છે.
બિન-યાંત્રિક તરંગો,જેમ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (પ્રકાશ સહિત),પણ વ્યતિકરણ દર્શાવે છે,જે યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ જેવા પ્રયોગો દ્વારા સાબિત થાય છે.
તેથી,વ્યતિકરણની ઘટના તમામ પ્રકારના તરંગો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,પછી તે યાંત્રિક હોય કે બિન-યાંત્રિક.

(C) વ્યતિકરણ એ એક સામાન્ય તરંગ ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે બે કે તેથી વધુ તરંગો અવકાશ અને સમયમાં એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
તે કોઈ ચોક્કસ પ્રકારના તરંગો સુધી મર્યાદિત નથી.
તે યાંત્રિક તરંગો (જેમ કે દોરી પરના કે હવામાંના ધ્વનિ તરંગો) અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (જેમ કે પ્રકાશના તરંગો) સહિત તમામ પ્રકારના તરંગોમાં જોવા મળે છે.
તેથી,વ્યતિકરણની ઘટના ધ્વનિ અને પ્રકાશ બંને તરંગોમાં જોવા મળે છે.

(A) પ્રકાશનો રંગ તેની આવૃત્તિ દ્વારા નક્કી થાય છે. જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે. તેથી,આવૃત્તિ એ મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે જે પ્રકાશનો રંગ નક્કી કરે છે.

(C) વ્યતિકરણ વિસ્તારમાં સરેરાશ તીવ્રતા $I_{av}$ એ બંને તરંગોની વ્યક્તિગત તીવ્રતાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$I_{av} = I_1 + I_2$
અહીં $I_1 = 2$ એકમ અને $I_2 = 3$ એકમ આપેલ છે.
$I_{av} = 2 + 3 = 5$ એકમ.
તેથી,સરેરાશ તીવ્રતાનું મૂલ્ય $5$ એકમ થશે.

(C) ધારો કે બે ઉદ્દગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = 25$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = \sqrt{25} = 5$
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}) + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}) - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})} = \frac{5 + 1}{5 - 1}$
$\frac{2\sqrt{I_1}}{2\sqrt{I_2}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\frac{\sqrt{I_1}}{\sqrt{I_2}} = \frac{3}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$

(C) વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
અહીં આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{3\lambda}{2}$ છે,જે વિનાશક વ્યતિકરણના સૂત્રમાં $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
પથ તફાવત $\lambda/2$ નો એકી ગુણાંક હોવાથી,આ બિંદુએ વિનાશક વ્યતિકરણ રચાય છે.
તેથી,તે બિંદુ પાસે અપ્રકાશિત (અંધારી) શલાકા મળશે.

(B) તરંગની તીવ્રતા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A^2$.
અહીં આપેલ બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ અને $A_2 = 10$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\text{max}}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તરંગો સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે.
મહત્તમ તીવ્રતાનું સૂત્ર $I_{\text{max}} = K(A_1 + A_2)^2$ છે.
અહીં $K = 1$,$A_1 = 10$,અને $A_2 = 10$ આપેલ છે.
તેથી,$I_{\text{max}} = 1 \times (10 + 10)^2 = (20)^2 = 400$.

(C) બે સમાન તીવ્રતા $I$ ધરાવતા તરંગો માટે મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\text{max}} = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = 4I = 100$ થાય.
તેથી,$I = 25$ એકમ. કંપવિસ્તાર $a$ એ $\sqrt{I}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $a = \sqrt{25} = 5$ એકમ.
જો એક ઉદ્દગમની તીવ્રતામાં $20\%$ ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવી તીવ્રતા $I' = I - 0.20I = 0.80I = 0.80 \times 25 = 20$ થાય.
નવો કંપવિસ્તાર $a' = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ થાય.
બીજા ઉદ્દગમનો કંપવિસ્તાર $a = 5$ જ રહે છે.
નવી મહત્તમ તીવ્રતા $I'_{\text{max}} = (a + a')^2 = (5 + \sqrt{20})^2 = (5 + 4.472)^2 \approx (9.472)^2 \approx 89.7$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$89$ એ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત છે.

(A) બે સ્ત્રોતોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. આપેલ છે કે $I_1/I_2 = 81/1$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{I_1/I_2} + 1}{\sqrt{I_1/I_2} - 1} \right)^2$.
$I_1/I_2 = 81$ મૂકતા:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{\sqrt{81} + 1}{\sqrt{81} - 1} \right)^2 = \left( \frac{9 + 1}{9 - 1} \right)^2 = \left( \frac{10}{8} \right)^2 = \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}$.

(C) વ્યતિકરણ એ તમામ પ્રકારના તરંગોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,જેમાં સંગત અને લંબગત બંને તરંગોનો સમાવેશ થાય છે. તે સંપાતપણાના સિદ્ધાંત (Principle of Superposition) ને કારણે ઉદભવે છે,જે જણાવે છે કે જ્યારે બે કે તેથી વધુ તરંગો અવકાશમાં એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી સ્થાનાંતર એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરોના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે. પ્રકાશ તરંગ સ્વભાવ ધરાવતો હોવાથી,તે વ્યતિકરણ અનુભવે છે,પછી ભલે તરંગને સામાન્ય તરંગ સંદર્ભમાં સંગત કે લંબગત ગણવામાં આવે.

(D) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ માટે,કળા તફાવત $\phi_A = \pi/2$:
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/2) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$
બિંદુ $B$ માટે,કળા તફાવત $\phi_B = 2\pi$:
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(2\pi) = 5I + 2(2I)(1) = 5I + 4I = 9I$
બિંદુ $A$ અને $B$ પાસેની પરિણામી તીવ્રતાઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$|I_B - I_A| = |9I - 5I| = 4I$

(B) વિવર્તન અને વ્યતિકરણ એ એવી ઘટનાઓ છે જે ફક્ત પ્રકાશને તરંગ તરીકે ગણીને જ સમજાવી શકાય છે. તેથી,આ ઘટનાઓ પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.

(C) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A_1 = a$,$A_2 = 2a$ અને $\phi = \pi$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = a^2 + (2a)^2 + 2(a)(2a) \cos \pi$.
કારણ કે $\cos \pi = -1$,તેથી:
$I = a^2 + 4a^2 + 4a^2(-1)$.
$I = 5a^2 - 4a^2 = a^2$.
આમ,પરિણામી તીવ્રતા $a^2$ મળે છે.

(A) વ્યતિકરણની ભાત જોવા માટે,બે પ્રકાશના ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જરૂરી છે.
સુસંબદ્ધ ઉદગમો એવા છે જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
બે સ્વતંત્ર પ્રકાશના ઉદગમો,જેમ કે બે સોડિયમ લેમ્પ,સ્વતંત્ર પરમાણુ સંક્રમણોને કારણે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આ સંક્રમણો યાદચ્છિક રીતે થાય છે,જેના કારણે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની કળા દરેક ઉદગમ માટે ઝડપથી અને સ્વતંત્ર રીતે બદલાતી રહે છે.
તેથી,બે સ્વતંત્ર ઉદગમોમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ રહેતો નથી,અને તેથી વ્યતિકરણની ઘટના અવલોકી શકાતી નથી.

(D) સામાન્ય ઉદ્દગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશના તરંગો સંપૂર્ણપણે એકવર્ણી અને સતત હોતા નથી.
પરમાણ્વીય સંક્રમણોની પ્રકૃતિને કારણે,પ્રકાશ તરંગ-શ્રેણી (wave trains) ના સ્વરૂપમાં ઉત્સર્જાય છે.
એક તરંગ-શ્રેણીના સમયગાળાને કોહરન્સ સમય (coherence time) કહેવામાં આવે છે.
સામાન્ય પ્રકાશના સ્ત્રોતો માટે,આ કોહરન્સ સમય આશરે $10^{-8} \, s$ હોય છે.
આ સમય અંતરાલ દરમિયાન,પ્રકાશ તરંગની કળા અચળ રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સ્પષ્ટ વ્યતિકરણ ભાત મેળવવા માટે,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત વધુ હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બંને વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની તીવ્રતા સમાન હોય,એટલે કે $I_1 = I_2$.
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 1:1$ થાય છે.

(B) ધારો કે બે સ્ત્રોતોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. સરેરાશ તીવ્રતા $I_{avg} = I_1 + I_2$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ છે.
તીવ્રતામાં ફેરફાર $\Delta I = I_{max} - I_{min} = 4\sqrt{I_1 I_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta I = 0.05 \times I_{avg}$,તેથી $4\sqrt{I_1 I_2} = 0.05(I_1 + I_2)$.
ધારો કે $r = \sqrt{I_1/I_2}$,તો $I_1 = r^2 I_2$. આ કિંમત મૂકતા:
$4r I_2 = 0.05 I_2(r^2 + 1) \Rightarrow r^2 - 80r + 1 = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$I_1/I_2 = r^2 = 1681/1$ મળે છે.

(C) $a_1$ અને $a_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે સુસંબદ્ધ તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ એ વ્યક્તિગત કંપવિસ્તાર $(a_1, a_2)$ અને તરંગો વચ્ચેના કળા તફાવત $\phi$ બંને પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓ દ્વારા સાબિત થાય છે.
જોકે પરાવર્તન અને વક્રીભવનને કણ અને તરંગ બંને સિદ્ધાંતો દ્વારા સમજાવી શકાય છે,પરંતુ વ્યતિકરણ એ તરંગોનો એક વિશિષ્ટ ગુણધર્મ છે જેમાં બે કે તેથી વધુ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થઈને પરિણામી તરંગ બનાવે છે જેનો કંપવિસ્તાર વધારે,ઓછો અથવા સમાન હોઈ શકે છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ માટે સૌથી નિર્ણાયક પુરાવો વ્યતિકરણ છે.

(A) વ્યતિકરણની ઘટના ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરે છે.
વ્યતિકરણમાં ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી; તેનું માત્ર પુનર્વિતરણ થાય છે.
અપ્રકાશીત શલાકાઓ (જ્યાં વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે) માંથી ઉર્જા પ્રકાશીત શલાકાઓ (જ્યાં સહાયક વ્યતિકરણ થાય છે) તરફ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
આમ,કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે અને સરેરાશ તીવ્રતા વ્યતિકરણ વગરની સ્થિતિ જેટલી જ રહે છે.

(D) સુસંબદ્ધ ઉદગમો (coherent sources) એટલે એવા ઉદગમો કે જેમાંથી ઉત્સર્જિત તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાતો નથી.
આ શરતને પૂર્ણ કરવા માટે,બંને તરંગોની આવૃત્તિ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે બે મુખ્ય શરતો છે: $(1)$ સમાન આવૃત્તિ અને $(2)$ સમય સાથે અચળ રહેતો કળા તફાવત.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બે પ્રકાશ ઉદ્દગમો ત્યારે જ સુસંબદ્ધ કહેવાય જો તેઓ સમાન આવૃત્તિના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે અને સમય સાથે તેમનો કળા તફાવત અચળ રહે.
બે સ્ત્રોતો સ્વતંત્ર હોવાથી,તેઓ અચળ કળા તફાવત જાળવી શકતા નથી.
અહીં $y_1 = 2 \sin \omega t$ અને $y_2 = 3 \cos \omega t = 3 \sin(\omega t + \pi/2)$ આપેલ છે,તેથી કળા તફાવત $\pi/2$ છે.
પરંતુ,સ્ત્રોતો સ્વતંત્ર હોવાથી,આ કળા તફાવત સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાતો રહે છે.
તેથી,બંને તરંગો સુસંબદ્ધ નથી.

(A) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
$A$ બિંદુએ,કળા તફાવત $\phi_A = \pi/2$ છે:
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/2)$
કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$,તેથી:
$I_A = I + 4I + 0 = 5I$
$B$ બિંદુએ,કળા તફાવત $\phi_B = 2\pi$ છે:
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(2\pi)$
કારણ કે $\cos(2\pi) = 1$,તેથી:
$I_B = I + 4I + 2(2I)(1) = 5I + 4I = 9I$
આમ,$A$ અને $B$ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતાઓ અનુક્રમે $5I$ અને $9I$ છે.

(D) વ્યતિકરણની ઘટના જોવા માટે,બે ઉદ્દગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જરૂરી છે.
સુસંબદ્ધ ઉદ્દગમો એટલે એવા ઉદ્દગમો જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે અને સમય સાથે તેમની વચ્ચે કળા તફાવત અચળ રહે.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે ઉદ્દગમો સમાન આવૃત્તિ અને નિશ્ચિત કળા સંબંધ ધરાવતા હોવા જોઈએ.

(B) આપેલ છે કે,પથ તફાવત $\Delta x = 171.5 \lambda$.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = 0.01029 \, cm$ આપેલ છે.
બંનેને સરખાવતા,$171.5 \lambda = 0.01029 \, cm$.
$\lambda = \frac{0.01029}{171.5} \, cm$.
$\lambda = 0.00006 \, cm$.
આને $\mathring{A}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, cm = 10^8 \, \mathring{A}$.
$\lambda = 0.00006 \times 10^8 \, \mathring{A} = 6000 \, \mathring{A}$.

(D) વ્યતિકરણભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \delta$,જ્યાં $\delta$ એ બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,કળા તફાવત $\delta$ એ $\pi$ નો બેકી ગુણક હોવો જોઈએ (એટલે કે $\cos \delta = 1$).
સમીકરણમાં $\cos \delta = 1$ મૂકતા:
$I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}$
આ પદને દ્વિપદીના વર્ગ તરીકે લખી શકાય છે:
$I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.

(D) તરંગની તીવ્રતા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$. તેથી,$A \propto \sqrt{I}$.
$A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે સુસંબદ્ધ તરંગો માટે,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{res} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,કળા તફાવત $\phi = 0, 2\pi, 4\pi, ...$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \phi = 1$.
તેથી,મહત્તમ પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{max} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2} = A_1 + A_2$ થાય.
કારણ કે $A_1 = \sqrt{I_1}$ અને $A_2 = \sqrt{I_2}$,મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = \sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ એ મહત્તમ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$I_{max} \propto (A_{max})^2 = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.

(C) પરિણામી તીવ્રતા $I'$ નું સૂત્ર: $I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}\cos\phi$ છે.
અહીં $I_1 = I$,$I_2 = 4I$ અને કળા તફાવત $\phi = \pi/2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I' = I + 4I + 2\sqrt{I}\sqrt{4I}\cos(\pi/2)$.
કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$ થાય છે,તેથી વ્યતિકરણ પદ શૂન્ય થઈ જશે.
આથી,$I' = I + 4I + 0 = 5I$.

(A) પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ એવા ઘટનાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેમાં તરંગોનું સંપાતીકરણ (superposition) થાય છે,જેમ કે વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન. $A$ એ સાચો વિકલ્પ છે કારણ કે વ્યતિકરણ એ તરંગોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે,જેમાં બે કે તેથી વધુ પ્રકાશના તરંગો એકબીજા પર સંપાત થઈને વધુ,ઓછી અથવા સમાન કંપવિસ્તાર ધરાવતું પરિણામી તરંગ બનાવે છે. બીજી તરફ,ફોટો ઈલેક્ટ્રીક અસર એ પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ બદલાતી નથી કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે.
જોકે, માધ્યમના વક્રીભવનાંકને આધારે પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ બદલાય છે.
ઝડપ બદલાતી હોવાથી, $v = f \lambda$ સંબંધ મુજબ તરંગલંબાઈ પણ બદલાય છે.
આંતરપૃષ્ઠ પર પરાવર્તન અથવા શોષણને કારણે કંપવિસ્તાર બદલાઈ શકે છે.
તેથી, આવૃત્તિ એ એકમાત્ર એવી રાશિ છે જે બદલાતી નથી.

(B) આપેલ લંબાઈ $L$ માં તરંગોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $n = \frac{L}{\lambda}$ છે.
અહીં, લંબાઈ $L = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 4000 \, Å = 4000 \times 10^{-10} \, m = 4 \times 10^{-7} \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$n = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-7}} = \frac{1}{4} \times 10^{4} = 0.25 \times 10000 = 2500$.
આમ, તરંગોની સંખ્યા $2500$ થશે.

(A) આવૃત્તિ $(f)$,પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $f = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે:
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 500 \, \mathring A = 500 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-8} \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{-8}}$
$f = 0.6 \times 10^{16} \, Hz$
$f = 6 \times 10^{15} \, Hz$.

(B) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ માટે,કળા તફાવત $\phi_A = \frac{\pi}{2}$.
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$.
બિંદુ $B$ માટે,કળા તફાવત $\phi_B = \pi$.
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$.
બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ તીવ્રતાનો તફાવત $\Delta I = I_A - I_B = 5I - I = 4I$ થાય.

(B) બે તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ હોય,તો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$
અહીં $a_1 = 4$,$a_2 = 3$ અને $\phi = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\frac{\pi}{3})}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$A = \sqrt{16 + 9 + 24(0.5)}$
$A = \sqrt{25 + 12}$
$A = \sqrt{37}$
$A \approx 6.08$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પરિણામી કંપવિસ્તાર $6$ મળે છે.

(D) કોઈ બિંદુએ વિનાશક વ્યતિકરણ થવા માટે,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,પથ તફાવત $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$
$n = 5$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (2(5) + 1) \frac{\lambda}{2} = 11 \frac{\lambda}{2} = \frac{11}{2}\lambda$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(D)$ આ શરતને સંતોષે છે.

(D) કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = 11\lambda$ આપેલ છે,તેથી કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 11\lambda = 22\pi$ થશે.
કળા તફાવત $\pi$ નો બેકી ગુણાંક હોવાથી,અહીં સહાયક વ્યતિકરણ (constructive interference) રચાય છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર $I_R = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $I_1 = 9I$ અને $I_2 = 4I$ મૂકતા:
$I_R = (\sqrt{9I} + \sqrt{4I})^2 = (3\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$.

(B) મહત્તમ અને લઘુત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{I_{\max}}{I_{\min}}} = \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2}$.
અહીં $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{144}{81}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{\frac{144}{81}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
ધારો કે $r = \frac{a_1}{a_2}$. તો $\frac{r+1}{r-1} = \frac{4}{3}$.
$3(r+1) = 4(r-1) \implies 3r + 3 = 4r - 4$.
$r = 7$.
આમ,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{1}$ છે.

(D) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = n$ છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $R = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$I_{max}$ અને $I_{min}$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$R = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ અને $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{4\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}}{I_1 + I_2}$
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$R = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1}$
કારણ કે $\frac{I_1}{I_2} = n$,તેથી આપણને મળે છે:
$R = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$

(A) માર્ગ $1$ માટે,જે $S_1$ અને $S_2$ ને જોડતી રેખાનો લંબદ્વિભાજક છે,આ માર્ગ પરના કોઈપણ બિંદુએ $S_1$ અને $S_2$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત હંમેશા $0$ હોય છે.
પથ તફાવત $0$ હોવાથી,જે $\frac{\lambda}{2}$ નો બેકી ગુણક છે,તેથી સહાયક વ્યતિકરણ થાય છે અને માર્ગ $1$ પર દરેક જગ્યાએ મહત્તમ (maxima) મળે છે.
માર્ગ $2$ માટે,જે ઉદગમોને જોડતી રેખા પર છે,$S_1$ અને $S_2$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત ઉદગમો વચ્ચેના અંતર જેટલો એટલે કે $1.5\lambda$ છે.
$1.5\lambda$ એ $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણક હોવાથી (એટલે કે $3 \times \frac{\lambda}{2}$),વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે અને માર્ગ $2$ પર દરેક જગ્યાએ ન્યૂનતમ (minima) મળે છે.

(B) બે સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. રેડિયેટર્સ સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2 = I_o$,તેથી $I = 2I_o + 2I_o \cos \phi = 2I_o(1 + \cos \phi) = 4I_o \cos^2(\phi/2)$.
અહીં,કુલ કળા તફાવત $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા તફાવત $\phi_i = \pi/4$ અને પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ ને કારણે ઉદ્ભવતા કળા તફાવતનો સરવાળો છે.
પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta = (\lambda/4) \sin 30^\circ = (\lambda/4) \times (1/2) = \lambda/8$.
પથ તફાવતને કારણે કળા તફાવત $\Delta \phi = (2\pi/\lambda) \Delta x = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/8) = \pi/4$.
કુલ કળા તફાવત $\phi = \phi_i + \Delta \phi = \pi/4 + \pi/4 = \pi/2$.
આ કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = 4I_o \cos^2(\pi/4) = 4I_o \times (1/\sqrt{2})^2 = 4I_o \times (1/2) = 2I_o$.

(D) ધારો કે દરેક ઉદગમની તીવ્રતા $I_0$ છે. મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ નું સૂત્ર $I_{max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ છે.
આપેલ છે કે $4I_0 = 100$,તેથી $I_0 = 25$ એકમ.
જ્યારે એક ઉદગમની તીવ્રતામાં $36\%$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવી તીવ્રતા $I_2 = I_0 - (0.36)I_0 = 0.64I_0 = 0.64 \times 25 = 16$ એકમ થાય છે.
બીજા ઉદગમની તીવ્રતા $I_1 = 25$ એકમ જ રહે છે.
તે જ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = 25 + 16 + 2\sqrt{25 \times 16} = 41 + 2(5 \times 4) = 41 + 40 = 81$ એકમ.

(D) ધારો કે બે ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ છે જે $d = 5\, \mu m$ અંતરે છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 5\, \mu m$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda = 2\, \mu m$ છે.
બિંદુ $A$ (અને $C$) પર,પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{R^2 + (d/2)^2} - \sqrt{R^2 + (d/2)^2} = 0$ છે. ઉદગમો સમાન કળામાં હોવાથી,$\Delta x = 0$ એ સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત) સૂચવે છે.
બિંદુ $B$ પર,પથ તફાવત $\Delta x = (R + d/2) - (R - d/2) = d = 5\, \mu m$ છે.
અહીં $\Delta x = 5\, \mu m$ અને $\lambda = 2\, \mu m$ હોવાથી,$\Delta x = 2.5\lambda$ થાય. આ વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત) સૂચવે છે.
બિંદુ $D$ પર,પથ તફાવત $\Delta x = (R - d/2) - (R + d/2) = -d = -5\, \mu m$ છે,જેનું મૂલ્ય પણ $2.5\lambda$ છે,તેથી ત્યાં પણ વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત) જોવા મળે છે.
આમ,બિંદુ $A$ અને $C$ પ્રકાશિત છે,અને બિંદુ $B$ અને $D$ અપ્રકાશિત છે.

(B) અંતરે રહેલા બે સુસંબદ્ધ બિંદુવત ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ માટે, કોઈપણ બિંદુ $P$ પર સહાયક વ્યતિકરણની શરત પથ તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|S_1P - S_2P| = n\lambda$, જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ, જે બિંદુઓનો બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) થી અંતરનો તફાવત અચળ $(n\lambda)$ હોય તેવા બિંદુઓનો બિંદુપથ અતિવલય છે.
કારણ કે $n$ ની કિંમત અલગ-અલગ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે, તેથી $n$ નું દરેક મૂલ્ય એક અલગ અતિવલય દર્શાવે છે.
તેથી, સમક્ષિતિજ સમતલમાં સહાયક વ્યતિકરણ દર્શાવતા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ અતિવલયોની શ્રેણી બનાવે છે.

(D) સીધા તરંગ અને પરાવર્તિત તરંગ વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = (\text{પરાવર્તિત તરંગનો પથ}) - (\text{સીધા તરંગનો પથ}) + \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિતિ પરથી,પથ તફાવત $\Delta x = (AB + BN) + \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $\frac{\lambda}{2}$ પદ પાણી જેવા ઘટ્ટ માધ્યમ પરથી પરાવર્તન વખતે થતા કળા તફાવતને દર્શાવે છે.
$\Delta ACB$ માં,$\cos \alpha = \frac{h}{AB}$,તેથી $AB = \frac{h}{\cos \alpha}$.
$\Delta ANB$ માં,પથ તફાવતનો ઘટક $BN = AB \cos(2\alpha)$ છે.
આમ,$\Delta x = AB(1 + \cos 2\alpha) + \frac{\lambda}{2} = AB(2 \cos^2 \alpha) + \frac{\lambda}{2}$.
$AB = \frac{h}{\cos \alpha}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta x = \frac{h}{\cos \alpha} (2 \cos^2 \alpha) + \frac{\lambda}{2} = 2h \cos \alpha + \frac{\lambda}{2}$.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,પથ તફાવત $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ. પ્રથમ મહત્તમ માટે,$\Delta x = \lambda$ લેતા:
$\lambda = 2h \cos \alpha + \frac{\lambda}{2} \implies \frac{\lambda}{2} = 2h \cos \alpha \implies h = \frac{\lambda}{4 \cos \alpha}$.

(D) સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત જોવા માટે,બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) સમય સાથે અચળ રહેવો જોઈએ. આ માટે તરંગો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ સમાન હોવી જોઈએ.
જો કે,વ્યતિકરણ ભાત રચવા માટે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર અને તીવ્રતા સમાન હોવા જરૂરી નથી. જો કંપવિસ્તાર સમાન હોય,તો ન્યૂનતમ (minima) સંપૂર્ણપણે અંધારું હશે. જો કંપવિસ્તાર અસમાન હોય,તો ન્યૂનતમ સંપૂર્ણપણે અંધારું નહીં હોય,પરંતુ વ્યતિકરણ ભાત તો જોવા મળશે જ.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,અલગ કંપવિસ્તારનો અર્થ અલગ તીવ્રતા થાય છે. તેથી,સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત જોવા માટે સમાન કંપવિસ્તાર કે સમાન તીવ્રતા હોવી એ આવશ્યક શરત નથી.

(B) ઉદગમો $x = 0, d, 2d, 3d$ પર છે. $+x$ અક્ષ પર દૂર આવેલા બિંદુ $P$ માટે,ક્રમિક ઉદગમો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = d$ છે. કળા તફાવત $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x = (2\pi d) / \lambda$ છે.
ધારો કે દરેક ઉદગમનો કંપવિસ્તાર $A$ છે,જેથી $I_0 = kA^2$. પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R$ એ $A$ મૂલ્યના ચાર ફેઝર્સનો સરવાળો છે જેની વચ્ચે કળા તફાવત $\phi$ છે: $A_R = A(1 + e^{i\phi} + e^{i2\phi} + e^{i3\phi}) = A \frac{1 - e^{i4\phi}}{1 - e^{i\phi}}$.
પરિણામી તીવ્રતા $I = |A_R|^2 = A^2 \left| \frac{\sin(2\phi)}{\sin(\phi/2)} \right|^2 = I_0 \left( \frac{\sin(2\phi)}{\sin(\phi/2)} \right)^2$.
કિસ્સો $A$: જો $d = \lambda / 4$ હોય,તો $\phi = (2\pi / \lambda) * (\lambda / 4) = \pi / 2$. $I = I_0 (\sin(\pi) / \sin(\pi / 4))^2 = 0$.
કિસ્સો $B$: જો $d = \lambda / 6$ હોય,તો $\phi = (2\pi / \lambda) * (\lambda / 6) = \pi / 3$. $I = I_0 (\sin(2\pi / 3) / \sin(\pi / 6))^2 = I_0 ((\sqrt{3}/2) / (1/2))^2 = 3I_0$.
કિસ્સો $C$: જો $d = \lambda / 2$ હોય,તો $\phi = (2\pi / \lambda) * (\lambda / 2) = \pi$. $I = I_0 (\sin(2\pi) / \sin(\pi / 2))^2 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = d \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ઉદગમોને જોડતી રેખા સાથેનો ખૂણો છે. પડદા પર,$\cos \theta$ એ $-1$ થી $1$ સુધી બદલાય છે. $d = 5.5 \lambda$ હોવાથી,પથ તફાવત $\Delta x$ એ $-5.5 \lambda$ થી $5.5 \lambda$ ની વચ્ચે હોય છે.
પ્રકાશિત શલાકાઓ માટે,$\Delta x = n \lambda$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
$n$ માટે શક્ય કિંમતો $\pm 5, \pm 4, \pm 3, \pm 2, \pm 1, 0$ છે.
આ ગણતરી કરતા,આપણને $n = 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5$ મળે છે,જે કુલ $11$ પ્રકાશિત શલાકાઓ આપે છે.
જોકે,પડદો અક્ષની એક જ બાજુએ છે. આપેલ ગોઠવણી મુજબ,$y = 0$ પાસે,પથ તફાવત $\Delta x = d = 5.5 \lambda$ છે,જે અપ્રકાશિત શલાકા દર્શાવે છે કારણ કે $5.5 \lambda = (n + 0.5) \lambda$ જ્યાં $n = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(y=0)$ પર પથ તફાવત $5.5 \lambda$ હોવાથી,તે અપ્રકાશિત શલાકા છે. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$(D)$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ ગોઠવણીમાં,બે સુસંબદ્ધ બિંદુવત ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ ને પડદાને લંબ અક્ષ પર રાખવામાં આવ્યા છે.
પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = |S_2P - S_1P|$ એ બિંદુઓના આપેલ બિંદુપથ માટે અચળ રહે છે.
ઉદગમો અક્ષ પર હોવાથી,પડદા પર સમાન પથ તફાવત ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ અક્ષ જ્યાં પડદાને છેદે છે તે બિંદુને કેન્દ્ર ગણીને રચાતા કેન્દ્રીય વર્તુળો બનાવે છે.
તેથી,પડદા પર મળતી વ્યતિકરણ ભાત કેન્દ્રીય વર્તુળો સ્વરૂપે હશે.