Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Gujarati

(D) સુસંબદ્ધ ઉદગમો એવા ઉદગમો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે સમાન આવૃત્તિના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને આવૃત્તિ $f$ સાથે $v = f \lambda$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,જો બે તરંગો સમાન તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ ધરાવતા હોય,તો તેમનો કળા વેગ પણ સમાન હોવો જોઈએ.
ઘણા સંદર્ભોમાં,તરંગલંબાઈ,આવૃત્તિ અને કળા વેગનો ઉપયોગ સુસંબદ્ધ ઉદગમોની લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ અને $(c)$ બંને પ્રમાણભૂત તરંગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સુસંબદ્ધતા માટેની જરૂરી શરતોનું વર્ણન કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ છે.
ધારો કે કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ થાય.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર શોધવાનું સૂત્ર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 2}{3 - 2} \right)^2 = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = \frac{25}{1}$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $25:1$ થશે.

(A) બે તરંગો માટે આપેલા સમીકરણો $y_1 = a_1 \sin \omega t$ અને $y_2 = a_2 \sin (\omega t + \phi)$ છે.
આપેલા સમીકરણો સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1 = 4$,$a_2 = 3$ અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર $A$ શોધવાનું સૂત્ર $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi}$ છે.
અહીં $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ હોવાથી,સૂત્ર $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ માં પરિણમે છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(C) પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 4000 \mathring A = 4000 \times 10^{-10} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$ આપેલ છે.
કુલ લંબાઈ $L = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ છે.
તરંગોની સંખ્યા $n$ એ કુલ લંબાઈ અને તરંગલંબાઈના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{L}{\lambda} = \frac{10^{-3} \ m}{4 \times 10^{-7} \ m}$.
$n = \frac{1}{4} \times 10^{-3 - (-7)} = 0.25 \times 10^4$.
તેથી,તરંગોની સંખ્યા $0.25 \times 10^4$ છે.

(D) $LASER$ એ Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation નું ટૂંકું નામ છે.
લેસર કિરણ તીવ્ર,એકવર્ણી (એટલે કે એક જ તરંગલંબાઇ ધરાવતું),સમાંતર અને અત્યંત સુસંબદ્ધ હોય છે.
સુસંબદ્ધતાનો અર્થ એ છે કે તરંગો કળામાં (in phase) હોય છે અને તેમની વચ્ચે કળાનો સંબંધ અચળ રહે છે,જે ચોક્કસ તરંગલંબાઇના સંકલિત તરંગોની લાક્ષણિકતા છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશ પાતળા માધ્યમ (હવા) માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માં જાય છે અને આંતરપૃષ્ઠ પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ રેડિયનનો કળા તફાવત ઉદભવે છે. આ તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્રમાં સ્ટોક્સના પરાવર્તનના નિયમ તરીકે જાણીતું છે,જે દર્શાવે છે કે ઘટ્ટ માધ્યમ પરથી થતું પરાવર્તન $\pi$ જેટલું કળા સ્થાનાંતર લાવે છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે માધ્યમના વક્રીભવનાંકમાં ફેરફાર થવાને કારણે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
જો કે,પ્રકાશની આવૃત્તિ માત્ર પ્રકાશના સ્ત્રોત પર આધાર રાખે છે અને તે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $\nu$ આવૃત્તિ હોય,$v$ ઝડપ હોય,અને $\lambda$ તરંગલંબાઈ હોય,તો $v = \nu \lambda$.
$\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં,નવી ઝડપ $v' = v/\mu$ અને નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda/\mu$ થાય છે.
આમ,નવી આવૃત્તિ $\nu' = v'/\lambda' = (v/\mu) / (\lambda/\mu) = v/\lambda = \nu$.
તેથી,આવૃત્તિ બદલાતી નથી.

(C) તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ અને આવૃત્તિ $(f)$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = f\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે. આમ, $f = c/\lambda$. આ સૂચવે છે કે આવૃત્તિ એ તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(f \propto 1/\lambda)$.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટ $(VIBGYOR)$ માં, તરંગલંબાઇ જાંબલીથી લાલ તરફ વધે છે $(\lambda_V < \lambda_I < \lambda_B < \lambda_G < \lambda_Y < \lambda_O < \lambda_R)$.
પરિણામે, આવૃત્તિ જાંબલીથી લાલ તરફ ઘટે છે $(f_V > f_I > f_B > f_G > f_Y > f_O > f_R)$.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે $\lambda_R > \lambda_G$.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે $\lambda_B < \lambda_O$.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે લીલા પ્રકાશની આવૃત્તિ વાદળી પ્રકાશની આવૃત્તિ કરતા ઓછી છે $(f_G < f_B)$.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે $f_V > f_B$.
તેથી, ખોટું વિધાન $C$ છે.

(A) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે,$I \propto \frac{1}{r^2}$,જ્યાં $r$ એ ઉદગમથી અંતર છે.
આપેલ પ્રારંભિક અંતર $r_1 = 60 \ cm$ અને અંતિમ અંતર $r_2 = 180 \ cm$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_2}{I_1} = \left( \frac{60}{180} \right)^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$.
તેથી,નવી તીવ્રતા મૂળ તીવ્રતા કરતાં $(1/9)$ ગણી હશે.

(D) સુસંબદ્ધ ઉદગમો એટલે એવા ઉદગમો કે જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
સ્વતંત્ર પ્રકાશના ઉદગમો,જેમ કે બે અલગ અલગ લેમ્પ,પરમાણુઓના સ્વતંત્ર સંક્રમણને કારણે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આ સંક્રમણો દરેક ઉદગમમાં યાદચ્છિક રીતે અને સ્વતંત્ર રીતે થાય છે,જેના કારણે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની કળામાં ઝડપી અને અનિશ્ચિત ફેરફારો થાય છે.
તેથી,બે સ્વતંત્ર પ્રકાશના ઉદગમોમાંથી સુસંબદ્ધ પ્રકાશ મેળવવો ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વ્યતિકરણ એ તરંગોનો એક સામાન્ય ગુણધર્મ છે. તે ત્યારે થાય છે જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને અચળ કળા તફાવત ધરાવતા બે કે તેથી વધુ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે. આ ઘટના તમામ પ્રકારના તરંગોમાં જોવા મળે છે,જેમાં સંગત યાંત્રિક તરંગો (દા.ત.,ધ્વનિ તરંગો),લંબગત યાંત્રિક તરંગો (દા.ત.,દોરી પરના તરંગો) અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (દા.ત.,પ્રકાશના તરંગો) નો સમાવેશ થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વ્યતિકરણમાં પરિણામી તરંગની તીવ્રતા $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે, $\cos \phi = 1$, તેથી $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે, તેથી $I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે, $\cos \phi = -1$, તેથી $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આમ, $I_{min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
તેથી, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.

(C) $Monochromatic$ શબ્દ ગ્રીક શબ્દો $mono$ (એટલે કે એક) અને $chroma$ (એટલે કે રંગ) પરથી આવ્યો છે. જોકે,ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,એકવર્ણી તરંગને એવા તરંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે એક જ ચોક્કસ તરંગલંબાઈ અથવા આવૃત્તિ ધરાવે છે. માનવ આંખ માટે એકવર્ણી પ્રકાશ ઘણીવાર એક જ રંગનો દેખાય છે,પરંતુ વૈજ્ઞાનિક વ્યાખ્યા સખત રીતે એક જ તરંગલંબાઈની હાજરીનો ઉલ્લેખ કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સૌથી સચોટ વ્યાખ્યા છે.

(A) બે પ્રકાશના ઉદગમો સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરે તે માટે,તેઓ સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ.
સુસંબદ્ધ ઉદગમો એટલે એવા ઉદગમો જે સમાન આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
જો બે ઉદગમો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાતો હોય,તો વ્યતિકરણ ભાત ઝડપથી બદલાશે,જેના પરિણામે સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાતને બદલે સરેરાશ તીવ્રતા સમાન જોવા મળશે.
તેથી,વ્યતિકરણ જોવા માટેની શરત એ છે કે પ્રકાશના તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ રહેવો જોઈએ.

(C) પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓ દ્વારા સાબિત થાય છે,જેને પ્રકાશના કણવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી.
જ્યારે બે કે તેથી વધુ પ્રકાશના તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે ત્યારે વ્યતિકરણની ઘટના જોવા મળે છે,જેનાથી પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર વધે છે,ઘટે છે અથવા સમાન રહે છે.
વ્યતિકરણ એ તરંગોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ હોવાથી,પ્રકાશમાં તેનું અવલોકન એ સાબિત કરે છે કે પ્રકાશ તરંગ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(B) સુસંબદ્ધ સમય $(\tau_c)$ એ સમયનો એવો ગાળો છે જે દરમિયાન પ્રકાશના તરંગનો કળા (phase) અનુમાનિત રહે છે.
તે સુસંબદ્ધ લંબાઈ $(L)$ અને પ્રકાશના વેગ $(c)$ સાથે નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:
$\tau_c = \frac{L}{c}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે બે ઉદગમોના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{5}$ છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3 + 5)^2}{(3 - 5)^2} = \frac{8^2}{(-2)^2} = \frac{64}{4} = \frac{16}{1}$.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $16:1$ છે.

(C) સહાયક વ્યતિકરણ માટે, બે પ્રકાશના તરંગો એક બિંદુએ સમાન કળામાં પહોંચવા જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
ગાણિતિક રીતે, સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $\Delta x = n\lambda$ છે, જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) તરંગોના બે સ્ત્રોતોને સુસંબદ્ધ ત્યારે કહેવામાં આવે છે જો તેઓ સમાન આવૃત્તિ (અથવા તરંગલંબાઇ) ના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે અને સમય સાથે તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ રહે. જો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાતો રહે,તો વ્યતિકરણની ભાત સ્થાયી રહેશે નહીં અને સ્ત્રોતોને અસુસંબદ્ધ ગણવામાં આવશે. તેથી,વિકલ્પ $C$ એ સાચી વ્યાખ્યા છે.

(A) આપેલ છે કે બે પ્રકાશના તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ છે.
ધારો કે કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$ થાય.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $9:1$ છે.

(B) બે પ્રકાશના સ્ત્રોતો સુસંબદ્ધ ત્યારે કહેવાય છે જો તેઓ સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગોનું ઉત્સર્જન કરે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે.
જ્યારે બે સ્ત્રોતો એક જ મૂળ સ્ત્રોતમાંથી મેળવવામાં આવે છે (દા.ત. સ્લિટ અથવા અરીસાનો ઉપયોગ કરીને),ત્યારે તરંગ અગ્રને બે ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
આ બે પરિણામી તરંગ અગ્ર એવી રીતે વર્તે છે જાણે કે તેઓ નિશ્ચિત કળા સંબંધ ધરાવતા બે સ્ત્રોતોમાંથી ઉદ્ભવ્યા હોય,આમ તે સુસંબદ્ધતાની શરત સંતોષે છે.

(C) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{25}{4}$ છે.
ધારો કે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ થાય.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર શોધવાનું સૂત્ર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 2}{5 - 2} \right)^2 = \left( \frac{7}{3} \right)^2 = \frac{49}{9}$ મળે છે.

(A) સ્થાયી વ્યતિકરણ માટેની આવશ્યક શરત એ છે કે પ્રકાશના બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ.
સુસંબદ્ધ ઉદગમો એટલે એવા ઉદગમો જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
જો બે ઉદગમો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાતો રહે,તો વ્યતિકરણ ભાત ઝડપથી બદલાશે અને સમય-સરેરાશ તીવ્રતા સમાન થઈ જશે,જેના કારણે વ્યતિકરણ ભાત માનવ આંખને દેખાશે નહીં.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે ઉદગમો અચળ કળા તફાવત ધરાવતા હોવા જોઈએ.

(B) પ્રકાશના વ્યતિકરણની ઘટનામાં,ઉર્જાનું અવકાશમાં પુનઃવિતરણ થાય છે. વિનાશક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પરથી જે ઉર્જા ગેરહાજર હોય છે તે સહાયક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે. તેથી,તંત્રની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(C) પ્રકાશના તરંગની તીવ્રતા $(I)$ તેના કંપવિસ્તાર $(a)$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $I \propto a^2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રકાશની તીવ્રતા તરંગના કંપવિસ્તાર પર આધાર રાખે છે.

(C) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
આપેલ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$ છે.
તેમની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$.
તેથી,તેમની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $9:16$ છે.

(D) બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ માટેનું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,કળા તફાવત $\phi$ એ $\pi$ નો બેકી ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\phi = 0, 2\pi, 4\pi, \dots$,જેનાથી $\cos \phi = 1$ થાય છે.
સૂત્રમાં $\cos \phi = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}$.
આ પદને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખી શકાય છે: $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.

(C) સુસંબદ્ધ ઉદગમો એટલે એવા ઉદગમો જે સમાન આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈના પ્રકાશના તરંગોનું ઉત્સર્જન કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
જો બે ઉદગમો દ્વારા ઉત્સર્જિત તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાતો હોય,તો તે ઉદગમોને અસુસંબદ્ધ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ઉદગમ સુસંબદ્ધ હોવા માટે,આવૃત્તિ અચળ હોવી જોઈએ અને કળા તફાવત પણ અચળ રહેવો જોઈએ.

(A) પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ મુખ્યત્વે વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓ દ્વારા ચકાસવામાં આવે છે.
$(a)$ વ્યતિકરણ એ તરંગોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે,જે પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.
$(b)$ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ (ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિ) ને ચકાસે છે.
$(c)$ અને $(d)$ પરાવર્તન અને વક્રીભવન બંનેને તરંગ સિદ્ધાંત (હાઈગેન્સનો સિદ્ધાંત) અને કણ સિદ્ધાંત (ફર્માનો સિદ્ધાંત/ન્યૂટનનો કણવાદ) દ્વારા સમજાવી શકાય છે,તેથી તે ફક્ત તરંગ પ્રકૃતિને જ ચકાસતા નથી.

(C) ધારો કે બે ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 25$,તેથી $\left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = 25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = 5$.
ધારો કે $x = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}}$. તો $\frac{x+1}{x-1} = 5$.
$x + 1 = 5x - 5 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{I_1}{I_2} = x^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$.

(B) આવૃત્તિ $(\nu)$,પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે:
પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$.
તરંગલંબાઈ,$\lambda = 3000 \ \mathring A = 3000 \times 10^{-10} \ \text{m} = 3 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\nu = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} = 10^{15} \ \text{Hz}$ (અથવા $\text{cycles/sec}$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિનાશક વ્યતિકરણ માટે,તરંગોએ બિંદુ પર $\pi$ રેડિયનના એકી ગુણાંકમાં કળા તફાવત સાથે પહોંચવું આવશ્યક છે.
આ પથ તફાવતને અનુરૂપ છે જે તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ $(\frac{\lambda}{2})$ નો એકી ગુણાંક હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,પથ તફાવત $\Delta x$ ને $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{36}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \sqrt{\frac{36}{1}} = 6$ મળે છે.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા,$\frac{(a_1 + a_2) + (a_1 - a_2)}{(a_1 + a_2) - (a_1 - a_2)} = \frac{6 + 1}{6 - 1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2a_1}{2a_2} = \frac{7}{5}$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = 7:5$ છે.

(B) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_{res}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,કળા તફાવત $\phi = 0$ હોવો જોઈએ,તેથી $\cos \phi = 1$.
આમ,મહત્તમ તીવ્રતાનું સૂત્ર: $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.

(B) વ્યતિકરણની ઘટનામાં,તંત્રની કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
જ્યારે પ્રકાશના બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વ્યતિકરણ પામે છે,ત્યારે પ્રકાશ ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી; તે માત્ર અવકાશમાં પુનઃવિતરિત થાય છે.
આના પરિણામે સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) અને વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) ના વિસ્તારો રચાય છે.
ઉદગમો સુસંબદ્ધ હોવાથી,કોઈપણ બિંદુએ તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,વ્યતિકરણ ભાત (ઊર્જાનું અવકાશી વિતરણ) સમય સાથે બદલાતી નથી.

(A) વ્યતિકરણની ઘટના જોવા માટે,પ્રકાશના બે સ્ત્રોતો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ.
સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતો એટલે એવા સ્ત્રોતો જે સમાન આવૃત્તિનું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
જો કળા તફાવત યાદચ્છિક રીતે બદલાતો રહે,તો વ્યતિકરણની ભાત સ્થિર રહેશે નહીં અને જોઈ શકાશે નહીં.
તેથી,સાચી જરૂરિયાત એ છે કે સ્ત્રોતો સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા હોવા જોઈએ અને તેમની વચ્ચે ચોક્કસ (અચળ) કળા સંબંધ હોવો જોઈએ.

(D) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ ઉદગમથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે.
ગાણિતિક રીતે,$I \propto \frac{1}{r^2}$.
જો પ્રારંભિક અંતર $r_1 = r$ હોય અને અંતિમ અંતર $r_2 = 2r$ હોય,તો નવી તીવ્રતા $I'$ નીચે મુજબ મળે:
$I' \propto \frac{1}{(2r)^2} = \frac{1}{4r^2} = \frac{1}{4} I$.
તેથી,તીવ્રતા તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગની થઈ જશે.

(D) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
જ્યાં $\phi$ એ તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,કળા તફાવત $\phi = 0^\circ$ (અથવા $\pi$ નો બેકી ગુણક) હોવો જોઈએ,જેનાથી $\cos \phi = 1$ થાય.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = I$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I_{max} = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos 0^\circ$
$I_{max} = 2I + 2\sqrt{I^2} (1)$
$I_{max} = 2I + 2I = 4I$
આમ,મળતી મહત્તમ તીવ્રતા $4I$ છે.

(C) પ્રકાશના વ્યતિકરણમાં,કુલ ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી.
તેના બદલે,ઉર્જા વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) ના વિસ્તારોમાંથી રચનાત્મક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) ના વિસ્તારોમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
સમગ્ર ભાત પર સરેરાશ ઉર્જા એ વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની ઉર્જાના સરવાળા જેટલી જ રહે છે.
તેથી,વ્યતિકરણની ઘટના ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ સાથે સંપૂર્ણ સુસંગત છે.

(B) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $I_1 = k$ અને $I_2 = 4k$ છે.
ફ્રિન્જની દ્રશ્યતા $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $V = \frac{2\sqrt{k \times 4k}}{k + 4k}$.
$V = \frac{2 \times 2k}{5k} = \frac{4k}{5k} = 0.8$.
આમ,ફ્રિન્જની દ્રશ્યતા $0.8$ છે.

(B) વ્યતિકરણ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોમાંથી આવતા તરંગોના સંપાતીકરણથી ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
વિવર્તન એ એક જ તરંગાગ્રના વિવિધ ભાગોમાંથી ઉદ્ભવતા ગૌણ તરંગોના સંપાતીકરણથી ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
આ બંને ઘટનાઓને પ્રકાશના કણવાદ (Corpuscular theory) દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી.
તેથી,વિવર્તન અને વ્યતિકરણ એ પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિનો મજબૂત પુરાવો આપે છે.

(D) પ્રકાશનો દ્રશ્યમાન વર્ણપટ આશરે $400 \, nm$ થી $700 \, nm$ ની વચ્ચે હોય છે.
આ મૂલ્યોને મીટરમાં ફેરવતા,આપણને $400 \times 10^{-9} \, m$ થી $700 \times 10^{-9} \, m$ મળે છે,જે $4 \times 10^{-7} \, m$ થી $7 \times 10^{-7} \, m$ જેટલું થાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$6 \times 10^{-7} \, m$ આ શ્રેણીમાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ભૂમિતિ પરથી,$O$ થી $P$ ને સમાવતી રેખા સુધીનું અંતર $d$ છે. તેથી,$PO = d \sec \theta$.
$CP$ એ તરંગાગ્ર હોવાથી,$C$ થી $P$ સુધીનો પ્રકાશીય પથ $AO$ કિરણ પરના $O$ થી $P$ સુધીના પથ જેટલો થાય છે. કિરણ $BP$ અને પરાવર્તિત કિરણ $OP$ વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta = CO + OP$ છે.
$\triangle COP$ માં,$CO = PO \cos 2\theta = d \sec \theta \cos 2\theta$.
તેથી,$\Delta = d \sec \theta + d \sec \theta \cos 2\theta = d \sec \theta (1 + \cos 2\theta) = d \sec \theta (2 \cos^2 \theta) = 2d \cos \theta$.
કિરણ $OP$ એ $QR$ સપાટી પર પરાવર્તન પામતું હોવાથી,તેમાં $\pi$ જેટલો વધારાનો કળા તફાવત ઉદ્ભવે છે,જે $\lambda / 2$ જેટલા પથ તફાવતને સમતુલ્ય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,કુલ પથ તફાવત $\lambda / 2$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ ($\pi$ ના કળા તફાવતને કારણે): $\Delta = \lambda / 2$.
$2d \cos \theta = \lambda / 2 \implies \cos \theta = \lambda / 4d$.

(D) વ્યતિકરણની ભાત જોવા માટે,સંપાત થતા તરંગો સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા હોવા જોઈએ અને તેમની વચ્ચે કળા તફાવત અચળ હોવો જોઈએ.
$1$. તરંગો $(i)$ અને $(ii)$ સમાન કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ધરાવે છે. તેથી,તેઓ વ્યતિકરણ ઉત્પન્ન કરી શકે છે.
$2$. તરંગો $(iii)$ અને $(iv)$ સમાન કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ ધરાવે છે. તેથી,તેઓ પણ વ્યતિકરણ ઉત્પન્ન કરી શકે છે.
આમ,$(i)$ અને $(ii)$ અથવા $(iii)$ અને $(iv)$ ના સંપાતીકરણને કારણે વ્યતિકરણની ભાત જોઈ શકાય છે.

(B) સંબંધિત વ્યતિકરણ (મહત્તમ તીવ્રતા) માટે,કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $X$ અને $Y$ માંથી આવતા તરંગોની કળા $\phi_X$ અને $\phi_Y$ છે. પથ તફાવત $\Delta x = (YO - XO)$ ને કારણે કળા તફાવત $\frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ છે કે $Y$ એ $X$ કરતા $2\pi l$ જેટલું કળામાં પાછળ છે,તેથી કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}(YO - XO) - 2\pi l$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,$\Delta \phi = 2\pi n$,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
$2\pi n = \frac{2\pi}{\lambda}(YO - XO) - 2\pi l$.
જો આપણે પથ તફાવત $(YO - XO)$ ને ધ્યાનમાં લઈએ,તો મહત્તમ તીવ્રતા માટેની શરત $\frac{2\pi}{\lambda}(XO) = 2\pi(n + l)$ થાય છે.
આમ,$XO = \lambda(n + l)$ મળે છે.

(C) બે ક્રમિક સમતલોમાંથી પરાવર્તિત થતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 2d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ (આપાત કિરણ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો) છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = n\lambda$
પથ તફાવત માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$2d \sin \theta = n\lambda$
$\sin \theta = \frac{n\lambda}{2d}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{n\lambda}{2d}\right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત $\Delta x$ એ $d$ અંતરના પ્રક્ષેપ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ભૂમિતિ પરથી,$\Delta x = d \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ ઉદગમોને જોડતી રેખા સાથેનો ખૂણો છે.
બિંદુ $P$ પર સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટે,શરત $\Delta x = n\lambda$ છે.
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$d \cos \theta = n\lambda$
$\cos \theta = \frac{n\lambda}{d}$
$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{n\lambda}{d} \right)$
$n = 4$ આપેલ હોવાથી,કોણીય સ્થિતિ $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{4\lambda}{d} \right)$ થશે.

(B) ધારો કે ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d = 4\lambda$ છે. ડિટેક્ટર $x$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુ (જે $S_2$ છે) થી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $D$ પર છે.
$S_1$ અને $S_2$ થી $D$ પર પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = S_1D - S_2D$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta S_1S_2D$ માં,$S_1D = \sqrt{d^2 + x^2} = \sqrt{(4\lambda)^2 + x^2}$ અને $S_2D = x$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$\sqrt{16\lambda^2 + x^2} - x = n\lambda$.
પદ ગોઠવતા,$\sqrt{16\lambda^2 + x^2} = n\lambda + x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16\lambda^2 + x^2 = n^2\lambda^2 + 2nx\lambda + x^2$.
$16\lambda^2 - n^2\lambda^2 = 2nx\lambda$.
$x = \frac{(16 - n^2)\lambda}{2n}$.
$x > 0$ માટે,$16 - n^2 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n^2 < 16$,તેથી $n$ ની કિંમત $1, 2, 3$ હોઈ શકે.
જો $n=1$,તો $x = \frac{15\lambda}{2} = 7.5\lambda$.
જો $n=2$,તો $x = \frac{12\lambda}{4} = 3\lambda$.
જો $n=3$,તો $x = \frac{7\lambda}{6} \approx 1.17\lambda$.
આમ,મહત્તમ તીવ્રતા જોવા મળે તેવા $3$ બિંદુઓ છે.

(A) બિંદુ $P$ પર કુલ કળા તફાવત એ પ્રારંભિક કળા તફાવત અને પથ તફાવતને કારણે ઉદ્ભવતા કળા તફાવતનો સરવાળો છે.
પ્રારંભિક કળા તફાવત $\phi_i = 66^\circ$ (જ્યાં $A$ એ $B$ કરતા આગળ છે).
પથ તફાવત $\Delta x = PB - PA = \lambda / 4$.
પથ તફાવતને કારણે ઉદ્ભવતો કળા તફાવત $\phi_p = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{360^\circ}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = 90^\circ$ છે.
કારણ કે $A$ એ $B$ કરતા $66^\circ$ આગળ છે,અને પથ $PB$ એ $PA$ કરતા $\lambda/4$ જેટલો લાંબો છે,તેથી પથ તફાવતને કારણે $B$ માંથી આવતું તરંગ $A$ માંથી આવતા તરંગ કરતા પાછળ રહે છે.
કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi = 66^\circ + 90^\circ = 156^\circ$ થાય.