Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Gujarati

(A) પ્રકાશનો રંગ મુખ્યત્વે તેની આવૃત્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
આંખ સુધી પહોંચતા પ્રકાશના તરંગની આવૃત્તિ પર રંગની ધારણા આધારિત હોવાથી,આવૃત્તિ એ પ્રકાશના રંગને વ્યાખ્યાયિત કરતો ગુણધર્મ છે.
જોકે તરંગલંબાઈનો ઉપયોગ ઘણીવાર રંગનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે,તે માધ્યમ પર આધારિત છે,જ્યારે આવૃત્તિ એ પ્રકાશના સ્ત્રોતનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.

(B) ધારો કે ઉદગમ $A$ નું સ્થાન $(0, 0)$ છે અને ઉદગમ $B$ નું સ્થાન $y$-અક્ષ પર $(0, 3\lambda)$ છે.
ધારો કે $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P$ એ $A$ થી $x$ અંતરે છે. $P$ ના યામ $(x, 0)$ છે.
અંતર $AP = x$.
અંતર $BP = \sqrt{x^2 + (3\lambda)^2}$.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે, પથ તફાવત $\Delta p = |BP - AP| = n\lambda$, જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\sqrt{x^2 + 9\lambda^2} - x = n\lambda$.
$\sqrt{x^2 + 9\lambda^2} = x + n\lambda$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + 9\lambda^2 = x^2 + 2nx\lambda + n^2\lambda^2$.
$9\lambda^2 - n^2\lambda^2 = 2nx\lambda$.
$x = \frac{(9 - n^2)\lambda}{2n}$.
$n = 1$ માટે: $x = \frac{(9 - 1)\lambda}{2} = 4\lambda$.
$n = 2$ માટે: $x = \frac{(9 - 4)\lambda}{4} = 1.25\lambda$.
$n = 3$ માટે: $x = 0$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $4\lambda$ એ એક માન્ય અંતર છે.

(A) વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x = x \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ઉદગમો ધરાવતા વ્યાસ સાથેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટેની શરત $\Delta x = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$x \cos \theta = n \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{n \lambda}{x}$.
કારણ કે $|\cos \theta| \le 1$,તેથી $|\frac{n \lambda}{x}| \le 1$,એટલે કે $|n| \le \frac{x}{\lambda}$.
આપેલ છે કે $x = 5 \lambda$,તેથી $|n| \le 5$.
$n$ માટેના શક્ય મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ છે.
$n = 0$ માટે,$2$ બિંદુઓ મળે છે (જ્યાં $\cos \theta = 0$,એટલે કે $\theta = 90^\circ, 270^\circ$).
દરેક $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે,$4$ બિંદુઓ મળે છે (દરેક અર્ધવર્તુળમાં બે,વ્યાસની સાપેક્ષમાં સંમિત).
$n = 5$ માટે,$2$ બિંદુઓ મળે છે (જ્યાં $\cos \theta = \pm 1$,એટલે કે $\theta = 0^\circ, 180^\circ$).
બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $= 2 + (4 \times 4) + 2 = 2 + 16 + 2 = 20$.

(C) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi$
અહીં $A_1 = A$ અને $A_2 = 2A$ આપેલ છે,અને કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ}$ છે:
$I = A^2 + (2A)^2 + 2(A)(2A) \cos 60^{\circ}$
$\cos 60^{\circ} = 0.5$ કિંમત મૂકતા:
$I = A^2 + 4A^2 + 4A^2(0.5)$
$I = 5A^2 + 2A^2$
$I = 7A^2$
આમ,તે બિંદુએ તીવ્રતા $7A^2$ ના પ્રમાણમાં હશે.

(C) વ્યતિકરણની ઘટનામાં,ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જળવાઈ રહે છે. વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકાઓ) વાળા વિસ્તારોમાંથી ઉર્જાનું પુનઃવિતરણ સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકાઓ) વાળા વિસ્તારોમાં થાય છે,તેથી કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. આમ,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
સ્થાયી વ્યતિકરણ મેળવવા માટે,બંને ઉદગમો સુસંબદ્ધ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ સમાન હોવી જોઈએ અને કળા તફાવત અચળ હોવો જોઈએ. આમ,વિધાન $(d)$ સાચું છે.
વિધાન $(b)$ ખોટું છે કારણ કે ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
વિધાન $(c)$ ખોટું છે કારણ કે પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત બંને પ્રકારની શલાકાઓ રચાય છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(a)$ અને $(d)$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં શલાકાઓનો કોન્ટ્રાસ્ટ (અથવા દૃશ્યતા) મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણોત્તર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,દૃશ્યતા $V = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$.
જો બે ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ હોય,તો $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$ મળે છે.
આમ,કોન્ટ્રાસ્ટ એ ઉદગમોની તીવ્રતાના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે. જ્યારે $I_1 = I_2$ હોય,ત્યારે કોન્ટ્રાસ્ટ મહત્તમ $(V = 1)$ હોય છે,જેના પરિણામે ન્યૂનતમ તીવ્રતા શૂન્ય $(I_{min} = 0)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 25$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના ગુણોત્તરનું સૂત્ર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ બે તરંગોના કંપવિસ્તાર છે.
ગુણોત્તરને $25$ સાથે સરખાવતા,$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{25}{1}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{a+b}{a-b} = \frac{5}{1}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $a + b = 5a - 5b$ મળે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4a = 6b$ અથવા $\frac{a}{b} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ થાય છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto a^2)$,ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ થશે.

(D) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2}\right)^2 = \frac{36}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{6}{1}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા: $\frac{(a_1 + a_2) + (a_1 - a_2)}{(a_1 + a_2) - (a_1 - a_2)} = \frac{6 + 1}{6 - 1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2a_1}{2a_2} = \frac{7}{5}$.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = 7 : 5$ થાય છે.

(D) સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,કેન્દ્ર પર (જ્યાં પથ તફાવત શૂન્ય છે) પરિણામી તીવ્રતા $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમાન કંપવિસ્તાર $A_1 = A_2 = A$ ધારતા,આપણને $I_0 = (A + A)^2 = 4A^2$ મળે છે.
કારણ કે એક ઉદગમની તીવ્રતા $I = A^2$ છે,તેથી $I_0 = 4I$,જેનો અર્થ છે કે $I = \frac{I_0}{4}$.
અસુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,વ્યતિકરણ પદ સમય સાથે સરેરાશ શૂન્ય થઈ જાય છે. તેથી,પરિણામી તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો સરવાળો છે: $I_R = I_1 + I_2$.
$I_1 = I_2 = I = \frac{I_0}{4}$ મૂકતા,આપણને $I_R = \frac{I_0}{4} + \frac{I_0}{4} = \frac{2I_0}{4} = \frac{I_0}{2}$ મળે છે.

(B) સંબંધિત વ્યતિકરણ માટે,બે સંપાત થતા પ્રકાશના તરંગો એકબીજા સાથે સમાન કળામાં હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta\phi = 2n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ છે.
પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\Delta\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta\phi = (2\pi/\lambda) \times \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી આપણે સંબંધિત વ્યતિકરણ માટેની શરત મૂકી શકીએ:
$2n\pi = (2\pi/\lambda) \times \Delta x$.
$\Delta x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\Delta x = n\lambda$ મળે છે.
તેથી,સંબંધિત વ્યતિકરણ માટે પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે.

(A) આપેલ તીવ્રતાઓ $I_1 = I_0$ અને $I_2 = 9I_0$ છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_R = 7I_0$ છે.
વ્યતિકરણમાં પરિણામી તીવ્રતાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\phi)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$7I_0 = I_0 + 9I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot 9I_0} \cos(\Delta\phi)$
$7I_0 = 10I_0 + 2(3I_0) \cos(\Delta\phi)$
$7I_0 - 10I_0 = 6I_0 \cos(\Delta\phi)$
$-3I_0 = 6I_0 \cos(\Delta\phi)$
$\cos(\Delta\phi) = -\frac{3I_0}{6I_0} = -\frac{1}{2}$
તેથી, $\cos(\Delta\phi) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી, કળા તફાવત $\Delta\phi = 120^{\circ}$ અથવા $\frac{2\pi}{3}$ રેડિયન થાય.

(C) આપેલ છે કે બંને તરંગોની તીવ્રતા સમાન છે,ધારો કે $I_1 = I_2 = I_0$.
તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = \pi/3$ છે.
બે સંપાત થતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$I_R = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0} \cos(\pi/3)$
કારણ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,તેથી:
$I_R = 2I_0 + 2I_0(1/2)$
$I_R = 2I_0 + I_0 = 3I_0$
આમ,બિંદુ $P$ પર પરિણામી તીવ્રતા $3I_0$ થશે.

(C) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા અને $\Delta \phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ પર,$\Delta \phi = 0$:
$I_{RA} = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(0) = 5I + 2(2I)(1) = 9I$.
બિંદુ $B$ પર,$\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$:
$I_{RB} = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$.
પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $I_{RA} - I_{RB} = 9I - 5I = 4I$ થાય છે.

(A) સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત અડધી તરંગલંબાઈનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2} = (n + 0.5) \lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = 11.5 \lambda$ છે.
વિનાશક વ્યતિકરણની શરત સાથે સરખાવતા: $11.5 \lambda = (n + 0.5) \lambda \implies n + 0.5 = 11.5 \implies n = 11$.
અહીં $n$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,અપ્રકાશિત શલાકાની શરત સંતોષાય છે.

(A) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે, કળા તફાવત $\phi$ એ $0, 2\pi, 4\pi, \dots$ હોવો જોઈએ, જેનાથી $\cos \phi = 1$ થાય છે.
આમ, મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ થશે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે, તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.

(D) તીવ્રતા $I \propto a^2$,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $I_1 = 16$ અને $I_2 = 9$.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$ થાય.
ધારો કે $a_1 = 4k$ અને $a_2 = 3k$.
પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{max} = (a_1 + a_2)^2 = (4k + 3k)^2 = (7k)^2 = 49k^2$ છે.
અપ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{min} = (a_1 - a_2)^2 = (4k - 3k)^2 = (k)^2 = k^2$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{49k^2}{k^2} = \frac{49}{1}$ થાય.

(C) આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,સીધા પથની લંબાઈ $SP = 2l$ છે.
પરાવર્તિત પથ બે ભાગનો બનેલો છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $d = l / \cos(30^{\circ}) = l / (\sqrt{3}/2) = 2l/\sqrt{3}$ છે.
તેથી,કુલ પરાવર્તિત પથની લંબાઈ $2 \times (2l/\sqrt{3}) = 4l/\sqrt{3}$ થાય.
બે કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \frac{4l}{\sqrt{3}} - 2l = 2l \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \right)$ છે.
કિરણ અરીસા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,તેથી તેમાં $\pi$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે,જે $\lambda/2$ ના વધારાના પથ તફાવતને સમતુલ્ય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (maxima) માટે,કુલ પથ તફાવત $\lambda/2$ ના એકી ગુણાંકમાં હોવો જોઈએ (કારણ કે $\pi$ નો કળા તફાવત છે): $\Delta x + \frac{\lambda}{2} = n\lambda$,અથવા $\Delta x = (n - 1/2)\lambda = \frac{(2n-1)\lambda}{2}$.
બંનેને સરખાવતા: $2l \left( \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{(2n-1)\lambda}{2}$.
$l$ માટે ઉકેલતા: $l = \frac{(2n-1)\lambda \sqrt{3}}{4(2 - \sqrt{3})}$.

(D) સુસંબદ્ધ વ્યતિકરણ માટે, કંપવિસ્તારોનો સરવાળો થાય છે। પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{res} = nA_0$ છે, જ્યાં $A_0$ એ એક તરંગનો કંપવિસ્તાર છે। તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી, મહત્તમ તીવ્રતા $I_{coh} = (nA_0)^2 = n^2 I_0$ થાય.
અસુસંબદ્ધ વ્યતિકરણ માટે, તીવ્રતાઓનો સીધો સરવાળો થાય છે। પરિણામી તીવ્રતા $I_{incoh} = n I_0$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_{coh}}{I_{incoh}} = \frac{n^2 I_0}{n I_0} = n$ છે.

(B) જ્યારે બે સમતલ તરંગો એકબીજા સાથે નાનો ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે,ત્યારે રચાતી વ્યતિકરણ ભાત એ યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ જેવી જ હોય છે.
બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $d$ છે. જો તરંગો $D$ અંતરે રહેલા પડદા પર આપાત થાય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = \frac{d}{D}$ થાય.
શલાકાની પહોળાઈ $\Delta x$ નું સૂત્ર $\Delta x = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
સૂત્રમાં $d = D\alpha$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda D}{D\alpha} = \frac{\lambda}{\alpha}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\frac{\lambda}{\alpha}$ છે.

(B) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = 4$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 4\sqrt{I_1} - 4\sqrt{I_2}$.
પદોને ગોઠવતા: $5\sqrt{I_2} = 3\sqrt{I_1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25I_2 = 9I_1$.
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{25}{9}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
ધારો કે $a_1 = x$ અને $a_2 = 3x$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}$ એ $(a_1 + a_2)^2 = (x + 3x)^2 = (4x)^2 = 16x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min}$ એ $(a_2 - a_1)^2 = (3x - x)^2 = (2x)^2 = 4x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{16x^2}{4x^2} = 4$ થાય.

(A) વ્યતિકરણની ઘટનામાં,તરંગ પ્રણાલીની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે. ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી; પરંતુ,તે વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકાઓ) ના વિસ્તારોમાંથી સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકાઓ) ના વિસ્તારોમાં પુનઃવિતરિત થાય છે. આમ,ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જળવાઈ રહે છે.

(C) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\Delta \phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \Delta \phi}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ એ વ્યક્તિગત કંપવિસ્તાર $(A_1, A_2)$ અને બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેના કળા તફાવત $\Delta \phi$ બંને પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સ્પષ્ટ અને તીક્ષ્ણ વ્યતિકરણ ભાત મેળવવા માટે,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત મહત્તમ હોવો જોઈએ.
વ્યતિકરણ શલાકાઓની દ્રશ્યતા $V = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેષ્ઠ કોન્ટ્રાસ્ટ માટે,આપણે $I_{min} = 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$,તેથી $I_{min} = 0$ લેતા $\sqrt{I_1} = \sqrt{I_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I_1 = I_2$.
તેથી,બંને ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $1 : 1$ હોવો જોઈએ.

(C) ધારો કે બે ઉદગમોના કંપવિસ્તાર $A_1 = 3x$ અને $A_2 = 5x$ છે.
મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{\max} = A_1 + A_2 = 3x + 5x = 8x$ થાય.
ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{\min} = |A_1 - A_2| = |3x - 5x| = 2x$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર એ મહત્તમ કંપવિસ્તાર અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તારના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_{\max}}{A_{\min}} \right)^2 = \left( \frac{8x}{2x} \right)^2 = \left( \frac{4}{1} \right)^2 = \frac{16}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $16 : 1$ છે.

(C) ધારો કે બે તરંગોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{25}{1}$,તેથી આપણે $I_1 = 25k$ અને $I_2 = k$ લખી શકીએ.
મહત્તમ તીવ્રતા $(I_{\max})$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $(I_{\min})$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{25k} + \sqrt{k})^2}{(\sqrt{25k} - \sqrt{k})^2} = \frac{(5\sqrt{k} + \sqrt{k})^2}{(5\sqrt{k} - \sqrt{k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(6\sqrt{k})^2}{(4\sqrt{k})^2} = \frac{36k}{16k} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $9 : 4$ છે.

(B) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{100}{1}$ છે.
ધારો કે કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે. $I \propto a^2$ હોવાથી,$\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = \frac{10}{1}$ મળે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{10 + 1}{10 - 1} \right)^2 = \left( \frac{11}{9} \right)^2 = \frac{121}{81}$.
આમ,ગુણોત્તર $121 : 81$ છે.

(C) $1$. વ્યતિકરણની ઘટનામાં,ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જળવાય છે. ઉર્જાનું પુનઃવિતરણ વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકાઓ) ના વિસ્તારોમાંથી સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકાઓ) ના વિસ્તારોમાં થાય છે,જેથી કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે. તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
$2$. સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત જોવા માટે,બે પ્રકાશના ઉદગમો સુસંબદ્ધ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ સમાન હોવી જોઈએ અને કળા તફાવત અચળ હોવો જોઈએ. તેથી,વિધાન $(d)$ સાચું છે.
$3$. આમ,$(a)$ અને $(d)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. આપેલ ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = x^2$ છે,તેથી આપણે $I_1 = x^2 I_2$ અથવા $\frac{\sqrt{I_1}}{\sqrt{I_2}} = x$ લખી શકીએ.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગુણોત્તર $R = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પદો મૂકતા:
$I_{\max} - I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 4\sqrt{I_1 I_2}$.
$I_{\max} + I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 2(I_1 + I_2)$.
આમ,$R = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$R = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1} = \frac{2\sqrt{x^2}}{x^2 + 1} = \frac{2x}{1 + x^2}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2x}{1 + x^2}$ છે.

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
તેથી,મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_{\max}}{A_{\min}} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{25}{16}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\left( \frac{A_{\max}}{A_{\min}} \right)^2 = \frac{25}{16}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{A_{\max}}{A_{\min}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $5 : 4$ છે.

(C) ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,$I_1 = A_1^2 = I$ અને $I_2 = A_2^2 = 4I$ મળે.
તેથી,$A_1 = \sqrt{I}$ અને $A_2 = \sqrt{4I} = 2\sqrt{I}$ થાય.
$\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\phi = \pi / 2$ આપેલ છે,તેથી $\cos(\pi / 2) = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $A_R = \sqrt{(\sqrt{I})^2 + (2\sqrt{I})^2 + 2(\sqrt{I})(2\sqrt{I}) \cos(\pi / 2)}$.
$A_R = \sqrt{I + 4I + 0} = \sqrt{5I}$.
જો $A_1 = \sqrt{I} = A$ લઈએ,તો $A_R = \sqrt{5}A$ મળે.

(D) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A_1 = 3A$,$A_2 = 2A$ અને $\phi = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{(3A)^2 + (2A)^2 + 2(3A)(2A) \cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$,તેથી $R = \sqrt{9A^2 + 4A^2 + 12A^2(0.5)} = \sqrt{9A^2 + 4A^2 + 6A^2} = \sqrt{19A^2} = A\sqrt{19}$.
તીવ્રતા $I$ એ પરિણામી કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $I \propto R^2$.
તેથી,$I \propto (A\sqrt{19})^2 = 19A^2$.

(A) આકૃતિ પરથી,અંતર $S_1D = 8\,m$ અને $S_1S_2 = 6\,m$ છે. $S_1S_2D$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી અંતર $S_2D = \sqrt{(S_1D)^2 + (S_1S_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\,m$ થાય.
પથ તફાવત $\Delta x = S_2D - S_1D = 10\,m - 8\,m = 2\,m$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{8} \times 2 = \frac{\pi}{2}$ મળે.
સમાન તીવ્રતા $I_1 = I_2 = 2I_0$ ધરાવતા બે ઉદગમો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = 2I_0 + 2I_0 + 2\sqrt{(2I_0)(2I_0)} \cos(\frac{\pi}{2})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી $I = 2I_0 + 2I_0 + 0 = 4I_0$ મળે.

(B) વ્યતિકરણની ઘટનામાં,જ્યારે તરંગો એક બિંદુ પર વિરુદ્ધ કળામાં મળે ત્યારે વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે. વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત એ છે કે બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ. ગાણિતિક રીતે,આને $\Delta x = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.

(A) અસંગત ઉદગમો માટે, તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાય છે. તેથી, વ્યતિકરણ પદો (cross-products) સમય જતાં સરેરાશ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પરિણામે, પરિણામી તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો માત્ર બેઝગણિતીય સરવાળો છે.
$n$ ઉદગમો આપેલા છે, જે દરેકની તીવ્રતા $I_0$ છે, તેથી પરિણામી તીવ્રતા $I_{net}$ નીચે મુજબ થશે:
$I_{net} = I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_n$
$I_{net} = I_0 + I_0 + I_0 + ... + n \text{ વખત}$
$I_{net} = nI_0$

(D) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ માટેનું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
અહીં $I_1 = I$,$I_2 = 9I$,અને $I_R = 7I$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$7I = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos \phi$
$7I = 10I + 2(3I) \cos \phi$
$7I = 10I + 6I \cos \phi$
$-3I = 6I \cos \phi$
$\cos \phi = -\frac{3I}{6I} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \phi = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = 120^o$ થાય.

(A) ફ્રિન્જ વિઝિબિલિટી $(V)$ એ વ્યતિકરણ ભાતમાં રહેલા કોન્ટ્રાસ્ટનું માપ છે.
તે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$

(D) વ્યતિકરણની ઘટના થવા માટે,પ્રકાશના બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ (Coherent) હોવા જોઈએ.
સુસંબદ્ધ ઉદગમો એટલે એવા ઉદગમો જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે એકબીજા સાથે અચળ અથવા ચોક્કસ કળા સંબંધ જાળવી રાખે છે.

(N/A) સંવિનાશી વ્યતિકરણ: જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને કળા ધરાવતા બે તરંગો એક બિંદુએ મળે છે,ત્યારે પરિણામી સ્થાનાંતર એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરોના સરવાળા જેટલું હોય છે,જેના પરિણામે મહત્તમ કંપવિસ્તાર મળે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ: જ્યારે સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગો એક બિંદુએ એવી રીતે મળે છે કે તેઓ $180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) કળા તફાવત ધરાવતા હોય,ત્યારે પરિણામી સ્થાનાંતર એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરોના તફાવત જેટલું હોય છે,જેના પરિણામે ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર મળે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ અડધી તરંગલંબાઈનો એકી પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,એટલે કે $\Delta x = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ છે.

(N/A) વ્યતિકરણ એ એક એવી ઘટના છે જેમાં બે તરંગો એકબીજા પર સંપાત થઈને વધારે,ઓછા અથવા સમાન કંપવિસ્તારનું પરિણામી તરંગ બનાવે છે.
આ ઘટના ત્યારે બને છે જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને અચળ કળા તફાવત ધરાવતા બે કે તેથી વધુ તરંગો અવકાશમાં કોઈ એક બિંદુએ મળે છે.
વ્યતિકરણના બે પ્રકાર છે:
$1$. સહાયક વ્યતિકરણ: જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના શૃંગ સાથે મળે છે,ત્યારે પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર વધે છે.
$2$. વિનાશક વ્યતિકરણ: જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના ગર્ત સાથે મળે છે,ત્યારે પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર ઘટે છે અથવા શૂન્ય થાય છે.

(N/A) સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે માધ્યમના કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ,સંખ્યાબંધ તરંગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પરિણામી સ્થાનાંતર એ દરેક તરંગ દ્વારા વ્યક્તિગત રીતે ઉત્પન્ન થતા સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે.
વ્યતિકરણ એ એક ભૌતિક ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે બે કે તેથી વધુ તરંગો માધ્યમના કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ એકબીજા પર સંપાત થાય છે,જેના પરિણામે નવી તરંગ ભાત રચાય છે.
વ્યતિકરણના બે પ્રકાર છે:
$(1)$ સહાયક વ્યતિકરણ (Constructive interference): જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના શૃંગ પર સંપાત થાય,અથવા જ્યારે એક તરંગનો ગર્ત બીજા તરંગના ગર્ત પર સંપાત થાય ત્યારે તેને સહાયક વ્યતિકરણ કહેવાય છે. આનાથી પરિણામી કંપવિસ્તારમાં વધારો થાય છે.
$(2)$ વિનાશક વ્યતિકરણ (Destructive interference): જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના ગર્ત પર સંપાત થાય,અથવા જ્યારે એક તરંગનો ગર્ત બીજા તરંગના શૃંગ પર સંપાત થાય ત્યારે તેને વિનાશક વ્યતિકરણ કહેવાય છે. આનાથી પરિણામી કંપવિસ્તારમાં ઘટાડો થાય છે.

(N/A) જો પ્રકાશના ઉદગમો વચ્ચેનો પ્રારંભિક કળા તફાવત અચળ હોય અથવા તેમનો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાતો ન હોય,તો આવા ઉદગમોને સુસંબદ્ધ ઉદગમો કહેવામાં આવે છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા સમય સાથે બદલાતી નથી. આ પ્રકારના વ્યતિકરણને સ્થાયી વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે.
સ્થાયી વ્યતિકરણ માટે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો હોવા જરૂરી છે અને તેમના કંપવિસ્તાર પણ સમાન હોવા જોઈએ.
સ્થાયી વ્યતિકરણમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમની સ્થિતિ સમય સાથે બદલાતી નથી.
જ્યારે બે કંપન કરતા ઉદગમો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે ખૂબ જ ઝડપથી બદલાતો હોય,ત્યારે આવા ઉદગમોને અસુસંબદ્ધ ઉદગમો કહેવામાં આવે છે.
અસુસંબદ્ધ ઉદગમોમાંથી નીકળતા તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે પ્રકાશની તીવ્રતાઓ એકબીજામાં ઉમેરાય છે,તેથી બે અલગ-અલગ પ્રકાશના ઉદગમો દીવાલને પ્રકાશિત કરે છે.
જ્યારે બે ઉદગમોનો પથ તફાવત અચળ ન હોય,ત્યારે વ્યતિકરણ ભાત પણ સમય સાથે બદલાય છે. જો પથ તફાવત સમય સાથે ખૂબ જ ઝડપથી બદલાય,તો મહત્તમ અને ન્યૂનતમની સ્થિતિ પણ ઝડપથી બદલાશે અને આપણે સમય સાથે તીવ્રતાનું સરેરાશ વિતરણ જોઈશું.
આ સરેરાશ તીવ્રતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\langle I \rangle = 4 I_{0} \langle \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) \rangle$
જ્યાં $\langle \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) \rangle$ એ સમય સરેરાશ પદ દર્શાવે છે.
જો $\phi(t)$ સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાતું હોય,તો સમય સરેરાશ રાશિ $\langle \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) \rangle$ એ $\frac{1}{2}$ થશે,અને તમામ બિંદુઓ પર પરિણામી તીવ્રતા:
$I = 4 I_{0} \times \frac{1}{2}$
$\therefore I = 2 I_{0} \text{ તમામ બિંદુઓ પર.}$

(N/A) વ્યતિકરણ એ એવી ઘટના છે જેમાં સમાન આવૃત્તિ અને અચળ કળા તફાવત ધરાવતા બે કે તેથી વધુ પ્રકાશના તરંગો એકબીજા પર સંપાત થઈને પરિણામી તરંગ બનાવે છે,જેનો કંપવિસ્તાર મૂળ તરંગો કરતા વધારે,ઓછો અથવા સમાન હોઈ શકે છે.
સ્થાયી વ્યતિકરણ (અથવા સતત વ્યતિકરણ) ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે વ્યતિકરણની ભાત સમય સાથે બદલાતી નથી. આ માટે,પ્રકાશના બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન આવૃત્તિના તરંગો ઉત્સર્જિત કરવા જોઈએ અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ રહેવો જોઈએ.

(N/A) સુસંબદ્ધ ઉદગમો: પ્રકાશના બે ઉદગમોને સુસંબદ્ધ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે અને સમયની સાપેક્ષમાં અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે. સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત જોવા માટે આ ઉદગમો જરૂરી છે.
અસુસંબદ્ધ ઉદગમો: પ્રકાશના બે ઉદગમોને અસુસંબદ્ધ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ અલગ-અલગ આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે અથવા જો તેઓ સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે પરંતુ કળા તફાવત સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે અને ઝડપથી બદલાતો હોય. આ ઉદગમો સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરતા નથી.

સહાયક વ્યતિકરણ માટે, તરંગો એક બિંદુએ સમાન કળામાં પહોંચવા જોઈએ.
$1$. કળા તફાવત $(\phi)$: બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ। ગાણિતિક રીતે, $\phi = 2n\pi$, જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, ...$
$2$. પથ તફાવત $(\Delta x)$: પથ તફાવત અને કળા તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ હોવાથી, $\phi = 2n\pi$ મૂકતા $2n\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ મળે છે। આમ, પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ, એટલે કે $\Delta x = n\lambda$, જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, ...$

(N/A) વિનાશક વ્યતિકરણ થવા માટે, તરંગો એક બિંદુ પર વિરુદ્ધ કળામાં પહોંચવા જોઈએ。
$1$. કળા તફાવત $(\Delta \phi)$: કળા તફાવત $\pi$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ। ગાણિતિક રીતે, $\Delta \phi = (2n + 1)\pi$, જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$.
$2$. પથ તફાવત $(\Delta x)$: પથ તફાવત અને કળા તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ હોવાથી, આપણે વિનાશક વ્યતિકરણની શરત મૂકીએ છીએ:
$(2n + 1)\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
$\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$, જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$.

(N/A) સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત જોવા માટે, પ્રકાશના બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે તેઓએ સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખવો જોઈએ。
જ્યારે બે પિનહોલ $S_1$ અને $S_2$ ને પ્રકાશિત કરવા માટે બે સ્વતંત્ર પ્રકાશના ઉદગમો (જેમ કે બે સોડિયમ લેમ્પ) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક લેમ્પ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશના તરંગો ખૂબ જ ટૂંકા સમયના અંતરાલમાં ($10^{-9} \text{ s}$ ના ક્રમમાં) અચાનક અને યાદચ્છિક કળા ફેરફારો અનુભવે છે。
કારણ કે આ કળા ફેરફારો દરેક લેમ્પ માટે સ્વતંત્ર અને યાદચ્છિક હોય છે, તેથી $S_1$ અને $S_2$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશના તરંગો વચ્ચે કોઈ નિશ્ચિત કળા સંબંધ હોતો નથી। પરિણામે, આ ઉદગમો અસુસંબદ્ધ (incoherent) છે。
અસુસંબદ્ધ ઉદગમોના કિસ્સામાં, પ્રકાશના તરંગોની તીવ્રતા એકબીજામાં ઉમેરાય છે, તેના બદલે કે તેઓ વ્યતિકરણ ભાત રચવા માટે સંપાત થાય। તેથી, પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત વ્યતિકરણ શલાકાઓને બદલે સમાન પ્રકાશ જોવા મળશે।

(N/A) જ્યારે બે પ્રકાશના તરંગો સમાન કળામાં મળે છે ત્યારે સંવિનાશી વ્યતિકરણ રચાય છે,જેના પરિણામે કંપવિસ્તારમાં વધારો થાય છે.
બે તરંગો માટે પથ તફાવત $\Delta x$ હોય,તો સંવિનાશી વ્યતિકરણ માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
વૈકલ્પિક રીતે,કળા તફાવત $\phi$ ના સંદર્ભમાં,શરત $\phi = 2n\pi$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.

(A) વ્યતિકરણ માટેની શરત પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે.
સહાયક વ્યતિકરણ ત્યારે રચાય છે જ્યારે પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{\Delta x}{\lambda} = n$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે પથ તફાવત અને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર એક પૂર્ણાંક સંખ્યા છે,જે સહાયક વ્યતિકરણની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,સહાયક વ્યતિકરણ રચાય છે.

(C) પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ વ્યતિકરણ (Interference),વિવર્તન (Diffraction) અને ધ્રુવીભવન (Polarization) જેવી ઘટનાઓને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે. આ ઘટનાઓ તરંગોના સંપાતપણાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. તેની સામે,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર,કોમ્પ્ટન અસર અને બ્લેક બોડી રેડિયેશન જેવી ઘટનાઓને સમજાવવા માટે પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ (ફોટોન સિદ્ધાંત) ની જરૂર પડે છે.