Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Gujarati

(C) પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ એવી ઘટનાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેમાં તરંગોનું સંપાતીકરણ અને તરંગોની તેમની તરંગલંબાઇ જેટલા કદના અવરોધો સાથેની આંતરક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. વ્યતિકરણ $(Interference)$: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે કે તેથી વધુ પ્રકાશના તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,જેના પરિણામે નવી તરંગ ભાત રચાય છે.
$2$. વિવર્તન $(Diffraction)$: આ અવરોધની ધાર પર અથવા છિદ્રમાંથી પ્રકાશનું વાંકું વળવું છે.
$3$. ધ્રુવીભવન $(Polarization)$: આ પ્રકાશની લંબગત તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.
તેનાથી વિપરીત,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર,કોમ્પટન અસર અને બ્લેક બોડી રેડિયેશનને પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ $(photons)$ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.
તેથી,વ્યતિકરણ અને વિવર્તન એ પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ દ્વારા સમજાવવામાં આવતી સાચી ઘટનાઓ છે.

(A) $n$ વક્રીભવનાંક અને $L$ ભૌમિતિક પથ લંબાઈ ધરાવતા માધ્યમમાંથી પસાર થતા તરંગની ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $OPL = n \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ તરંગ માટે ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $OPL_{1} = n_{1}L_{1}$ છે.
બીજા તરંગ માટે ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $OPL_{2} = n_{2}L_{2}$ છે.
બંને તરંગો વચ્ચેનો ઓપ્ટિકલ પથ તફાવત $\Delta p = |OPL_{1} - OPL_{2}| = |n_{1}L_{1} - n_{2}L_{2}|$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ પથ તફાવત $\Delta p$ સાથે $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta p$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવતની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} (n_{1}L_{1} - n_{2}L_{2})$ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક ઉદગમની તીવ્રતા $I$ છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi) = 2I + 2I \cos(\Delta \phi) = 4I \cos^2(\Delta \phi / 2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ કુલ કળા તફાવત છે.
$1$. બિંદુ $A$ માટે: પથ તફાવત $\Delta x = x_P - x_Q = 5\, m$. પથને કારણે કળા તફાવત $\Delta \phi_{path} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{20} \times 5 = \frac{\pi}{2}$. $P$ એ $Q$ કરતા $90^{\circ}$ $(\pi/2)$ આગળ હોવાથી,$Q$ માંથી ઉત્સર્જિત તરંગ $A$ સુધી પહોંચવા માટે ઓછું અંતર કાપે છે. કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi_A = \Delta \phi_{source} - \Delta \phi_{path} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. તેથી,$I_A = 4I \cos^2(0) = 4I$.
$2$. બિંદુ $B$ માટે: પથ તફાવત $\Delta x = 0$ કારણ કે $B$ એ લંબ દ્વિભાજક પર છે. કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi_B = \Delta \phi_{source} = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$I_B = 4I \cos^2(\pi/4) = 4I(1/2) = 2I$.
$3$. બિંદુ $C$ માટે: પથ તફાવત $\Delta x = x_Q - x_P = 5\, m$. પથને કારણે કળા તફાવત $\Delta \phi_{path} = \frac{\pi}{2}$. કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi_C = \Delta \phi_{source} + \Delta \phi_{path} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$. તેથી,$I_C = 4I \cos^2(\pi/2) = 0$.
તેથી,ગુણોત્તર $I_A : I_B : I_C = 4I : 2I : 0 = 2 : 1 : 0$ થાય.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં,સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$ જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
મધ્યસ્થ અધિકતમ એ બિંદુએ રચાય છે જ્યાં બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત શૂન્ય $(\Delta x = 0)$ હોય છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $\Delta x = 0$ મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0 = 0$ મળે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ અધિકતમ માટે,કળા તફાવત $0$ છે.

(D) વ્યતિકરણ ભાતમાં પરિણામી તરંગની તીવ્રતાનું સૂત્ર: $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,કળા તફાવત $\phi = 2n\pi$ હોય છે,તેથી $\cos \phi = 1$ થાય.
આમ,$I_{\max} = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^2$.
અહીં $I_{1} = I_{2} = I_{0}$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{\max} = (\sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^2 = (2\sqrt{I_{0}})^2 = 4I_{0}$.

(D) આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 4$ છે,તેથી $I_1 = 4I_2$ લખી શકાય.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left[ \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right]^2$
$I_1 = 4I_2$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left[ \frac{\sqrt{4I_2} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{4I_2} - \sqrt{I_2}} \right]^2 = \left[ \frac{2\sqrt{I_2} + \sqrt{I_2}}{2\sqrt{I_2} - \sqrt{I_2}} \right]^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = 9$.
હવે,આપણે $\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}} = \frac{9 + 1}{9 - 1} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{5}{x}$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{5}{x} = \frac{5}{4} \implies x = 4$.

(B) બે વ્યતિકરણ અનુભવતા કિરણો જેની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi$ હોય,તો પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_P = \frac{\pi}{2}$ છે.
$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \times 9I} \cos \frac{\pi}{2} = 10I + 2(3I)(0) = 10I$.
બિંદુ $Q$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_Q = \pi$ છે.
$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \times 9I} \cos \pi = 10I + 2(3I)(-1) = 10I - 6I = 4I$.
$P$ અને $Q$ આગળ પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત:
$I_P - I_Q = 10I - 4I = 6I$.

(B) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{4}$ છે,તેથી $I_2 = 4I_1$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = I_1 + 4I_1 + 2\sqrt{I_1(4I_1)} = 5I_1 + 4I_1 = 9I_1$ મળે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = I_1 + 4I_1 - 2\sqrt{I_1(4I_1)} = 5I_1 - 4I_1 = I_1$ મળે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}} = \frac{9I_1 + I_1}{9I_1 - I_1} = \frac{10I_1}{8I_1} = \frac{5}{4}$ ગણી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{2\alpha + 1}{\beta + 3} = \frac{5}{4}$ સાથે સરખાવતા,$2\alpha + 1 = 5 \implies 2\alpha = 4 \implies \alpha = 2$ અને $\beta + 3 = 4 \implies \beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{1} = 2$ થાય.

(D) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ માટે,$\phi_A = \pi/2$. તેથી,$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/2) = 5I + 4I(0) = 5I$.
બિંદુ $B$ માટે,$\phi_B = \pi/3$. તેથી,$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/3) = 5I + 4I(1/2) = 5I + 2I = 7I$.
પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $I_B - I_A = 7I - 5I = 2I$ થાય.
આને $xI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(A) બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$.
બિંદુ $A$ પર,કળા તફાવત $\phi = 0$ છે. તેથી,તીવ્રતા મહત્તમ મળે છે:
$I_A = I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{9I} + \sqrt{4I})^2 = (3\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$.
બિંદુ $B$ પર,કળા તફાવત $\phi = \pi$ છે. તેથી,તીવ્રતા ન્યૂનતમ મળે છે:
$I_B = I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{9I} - \sqrt{4I})^2 = (3\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત:
$I_A - I_B = 25I - I = 24I$.

(B) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = d \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = 2 \lambda$ એ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે અને $\theta$ એ ઉદગમોને જોડતી રેખા સાથેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ માટે,પથ તફાવત $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n \lambda$.
પડદો ઉદગમોને જોડતી રેખાને લંબ હોવાથી,$\theta$ નો વિસ્તાર $0$ થી $90^\circ$ સુધીનો છે.
આમ,$\Delta x = 2 \lambda \cos \theta$.
જેમ $\theta$ એ $0$ થી $90^\circ$ સુધી બદલાય છે,તેમ $\cos \theta$ એ $1$ થી $0$ સુધી બદલાય છે.
તેથી,પથ તફાવત $\Delta x$ એ $2 \lambda$ થી $0$ સુધી બદલાય છે.
$\Delta x = n \lambda$ માં $n$ માટે શક્ય કિંમતો $n = 0, 1, 2$ છે.
$n = 2$ માટે,$\Delta x = 2 \lambda$ ($\theta = 0$ પર,પડદા પરનું ઉદગમોની સૌથી નજીકનું બિંદુ).
$n = 1$ માટે,$\Delta x = \lambda$ ($\cos \theta = 0.5$ પર,એટલે કે $\theta = 60^\circ$).
$n = 0$ માટે,$\Delta x = 0$ ($\theta = 90^\circ$ પર,એટલે કે અનંત અંતરે).
પડદો ઉદગમોને જોડતી રેખાની બંને બાજુએ સમાન હોવાથી:
- $\theta = 0$ પર: $1$ મધ્યસ્થ મહત્તમ $(n=2)$.
- $\theta > 0$ માટે: $n=1$ માટે $2$ મહત્તમ (દરેક બાજુએ એક) અને $n=0$ માટે $2$ મહત્તમ (અનંત અંતરે દરેક બાજુએ એક).
સામાન્ય રીતે પડદા પરના શાંત બિંદુઓ પૂછવામાં આવે છે. અનંત અંતરના બિંદુઓને બાદ કરતાં,આપણી પાસે $n=2$ (એક બિંદુ) અને $n=1$ (બે બિંદુઓ) છે,જે કુલ $3$ મહત્તમ આપે છે.

(C) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી પસાર થતા તરંગનો પ્રકાશીય પથ $\Delta = \mu t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બે તરંગો સમાન જાડાઈ $t$ પરંતુ અલગ-અલગ વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને $\mu_2$ ધરાવતા માધ્યમોમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેમના પ્રકાશીય પથ અનુક્રમે $\mu_1 t$ અને $\mu_2 t$ થાય છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda_0} \Delta x$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda_m}$ હોવાથી (જ્યાં $\lambda_m$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે),માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ થાય છે.
અલગ-અલગ વક્રીભવનાંકને કારણે માધ્યમોમાં તરંગલંબાઈ અલગ-અલગ હોવાથી,પ્રકાશીય પથ અલગ પડે છે,જે કળા તફાવતમાં ફેરફાર લાવે છે.
આમ,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે બે તરંગોની તીવ્રતા $I_A = I_0$ અને $I_B = 9I_0$ છે.
અસંગત તરંગો માટે,પરિણામી તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો સરવાળો છે:
$I_1 = I_A + I_B = I_0 + 9I_0 = 10I_0$.
સુસંગત તરંગો માટે,પરિણામી તીવ્રતા $I_2 = I_A + I_B + 2\sqrt{I_A I_B} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = 60^{\circ}$.
$I_2 = I_0 + 9I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot 9I_0} \cos 60^{\circ}$.
$I_2 = 10I_0 + 2(3I_0) \cdot \frac{1}{2} = 10I_0 + 3I_0 = 13I_0$.
આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{10}{x}$,તેથી $\frac{10I_0}{13I_0} = \frac{10}{x}$.
આમ,$x = 13$.

(D) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે,તેથી $I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $I_{\max} - I_{\min} = 9I - I = 8I$ થાય છે.
આને $xI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(D) પરિઘ પરના બિંદુ $P$ પાસે પથ તફાવત,જ્યાં કેન્દ્રને $P$ સાથે જોડતી રેખા ઉદગમોને જોડતી રેખા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તે $\Delta x = d \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P_1$ પાસે,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\Delta x = d \cos 90^{\circ} = 0$. આ મધ્યસ્થ અધિકતમ દર્શાવે છે.
બિંદુ $P_2$ પાસે,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\Delta x = d \cos 0^{\circ} = d = 1.8 \ mm$.
$P_2$ પાસે શલાકાનો ક્રમ $n = \frac{d}{\lambda} = \frac{1.8 \times 10^{-3} \ m}{600 \times 10^{-9} \ m} = 3000$ છે.
કારણ કે $n = 3000$ એ પૂર્ણાંક છે,તેથી $P_2$ પર પ્રકાશિત ટપકું (અધિકતમ) રચાય છે. આમ,વિકલ્પ $[A]$ ખોટો છે અને વિકલ્પ $[B]$ સાચો છે.
$P_1$ $(\theta = 90^{\circ}, n=0)$ અને $P_2$ $(\theta = 0^{\circ}, n=3000)$ વચ્ચેની શલાકાઓની સંખ્યા $3000$ છે. આમ,વિકલ્પ $[C]$ સાચો છે.
અધિકતમ માટે,$d \cos \theta = n \lambda$. વિકલન કરતા,$-d \sin \theta \ d\theta = \lambda \ dn$,તેથી કોણીય શલાકાની પહોળાઈ $\Delta \theta \approx |d\theta| = \frac{\lambda}{d \sin \theta}$ મળે છે.
જેમ આપણે $P_1$ $(\theta = 90^{\circ})$ થી $P_2$ $(\theta = 0^{\circ})$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ $\sin \theta$ ઘટે છે,તેથી $\Delta \theta$ વધે છે. આમ,વિકલ્પ $[D]$ ખોટો છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $[B]$ અને $[C]$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$I_{\max} = (\sqrt{4I} + \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $I_{\max} - I_{\min} = 25I - I = 24I$ છે.
આને $xI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 24$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1 : I_2 = 1 : 9$ છે. ધારો કે $I_1 = I$ અને $I_2 = 9I$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના ગુણોત્તરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + \sqrt{9I})^2}{(\sqrt{I} - \sqrt{9I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4\sqrt{I})^2}{(-2\sqrt{I})^2} = \frac{16I}{4I} = \frac{4}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(C) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોના પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ માટેનું સૂત્ર: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ છે.
અહીં,$A_1 = E_0$,$A_2 = E_0$,અને $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2(E_0)(E_0) \cos(\frac{\pi}{3})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$,તેથી:
$A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2(0.5)}$
$A = \sqrt{2E_0^2 + E_0^2} = \sqrt{3E_0^2}$
$A = \sqrt{3} E_0 \approx 1.732 E_0$.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 9I$ આપેલ છે.
બિંદુ $P$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_P = \pi / 2$ છે. તેથી,$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi / 2) = 10I + 6I(0) = 10I$.
બિંદુ $Q$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_Q = \pi$ છે. તેથી,$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળ પરિણામી તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $|I_P - I_Q| = |10I - 4I| = 6I$ થાય.

(A) વ્યતિકરણની ઘટનામાં, પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ બે તરંગોની તીવ્રતા છે。
કારણ કે $I \propto A^2$, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે, વિનાશક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (A_1 - A_2)^2$ દ્વારા મળે છે。
જો કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ અલગ-અલગ હોય, તો $(A_1 - A_2)^2 \neq 0$ થાય。
તેથી, વિનાશક વ્યતિકરણના વિસ્તારમાં તીવ્રતા શૂન્ય હોતી નથી, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં પ્રકાશની થોડી અવશેષ તીવ્રતા રહેલી હોય છે。

(A) માધ્યમમાં કિરણની પ્રકાશીય પથ લંબાઈ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક અને કિરણ દ્વારા કાપવામાં આવેલ ભૌમિતિક પથ લંબાઈના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિરણનો પ્રકાશીય પથ = $\mu_1 L_1$.
બીજા કિરણનો પ્રકાશીય પથ = $\mu_2 L_2$.
બે કિરણો વચ્ચેનો પ્રકાશીય પથ તફાવત $\Delta x = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પ્રકાશીય પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવતનું મૂલ્ય મૂકતા,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ મળે છે.

(C) બે સંપાત થતા તરંગો જેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi$ છે,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે છે: $A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi$.
તરંગો સમાન હોવાથી,$a_1 = a_2 = a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $A^2 = a^2 + a^2 + 2 a^2 \cos \phi = 2 a^2 (1 + \cos \phi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\phi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા: $A^2 = 2 a^2 (2 \cos^2(\phi/2)) = 4 a^2 \cos^2(\phi/2)$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,આપણને $I \propto \cos^2(\phi/2)$ મળે છે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે,$\Delta x_1 = 0$,તેથી $\Delta \phi_1 = 0$. તીવ્રતા $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{\Delta \phi_1}{2}) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$ થશે.
બીજા બિંદુ માટે,$\Delta x_2 = \frac{\lambda}{2}$,તેથી $\Delta \phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$. તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ થશે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{0} = \infty$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $\infty: 1$ છે.

(C) બિંદુ $P$ આગળ કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ ઉદગમો વચ્ચેના પ્રારંભિક કળા તફાવત અને પથ તફાવતને કારણે ઉદ્ભવતા કળા તફાવતનો સરવાળો છે.
ધારો કે $\phi_1$ એ ઉદગમો $A$ અને $B$ વચ્ચેનો પ્રારંભિક કળા તફાવત છે. આપેલ છે કે $\phi_1 = 54^{\circ}$.
રેડિયનમાં રૂપાંતર કરતા: $\phi_1 = 54 \times \frac{\pi}{180} = 0.3 \pi \text{ rad}$.
ધારો કે $\phi_2$ એ પથ તફાવત $\Delta x = PB - PA = 2.5 \lambda$ ને કારણે ઉદ્ભવતો કળા તફાવત છે.
પથ તફાવતને કારણે કળા તફાવતનું સૂત્ર $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times 2.5 \lambda = 5 \pi \text{ rad}$.
ઉદગમ $A$ કળામાં આગળ હોવાથી, કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 + \phi_1 = 5 \pi + 0.3 \pi = 5.3 \pi \text{ rad}$ થાય.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના શૃંગ સાથે સંપાત થાય છે,ત્યારે કંપવિસ્તારનો સરવાળો થાય છે,જેના પરિણામે સહાયક વ્યતિકરણ રચાય છે,વિનાશક વ્યતિકરણ નહીં.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે,વ્યાખ્યા મુજબ,સુસંબદ્ધ ઉદગમો એવા ઉદગમો છે જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.

(A) વ્યતિકરણમાં,શલાકાઓ સમાન તેજસ્વી અને સમાન અંતરે હોય છે,અને પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા દરેક આપાત તરંગની તીવ્રતા કરતા ચાર ગણી હોય છે.
કોઈ બિંદુ પર પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}\cos\delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ બે સ્ત્રોતોમાંથી આવતા તરંગોની તીવ્રતા છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના શૃંગ સાથે સંપાત થાય છે,અથવા ગર્ત ગર્ત સાથે સંપાત થાય છે. વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે વર્ણવેલ સ્થિતિ (શૃંગ અને ગર્તનું સંપાત) વિનાશક વ્યતિકરણ તરફ દોરી જાય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ પર સહાયક વ્યતિકરણ માટે,કળા તફાવત $\delta = 0$ હોય છે.
જો $I_1 = I_2 = I$ હોય,તો $I_{\max} = I + I + 2\sqrt{I}\sqrt{I}\cos(0) = 4I$.
આમ,વિધાનો $A$ અને $B$ સાચા છે.

(D) બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વ્યતિકરણ ભાતમાં,સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ તીવ્રતા) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે $(n = 0, 1, 2, 3, \dots)$.
$10$ માં ક્રમના મહત્તમ માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 10$ મૂકીએ છીએ.
તેથી,પથ તફાવત $\Delta x = 10 \lambda$ થશે.

(D) વ્યતિકરણ ભાતમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે, કળા તફાવત $\phi = (2n+1)\pi$ હોય છે, જે $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ તરફ દોરી જાય છે।
જો કંપવિસ્તાર અલગ-અલગ હોય, તો $I_1 \neq I_2$, જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$।
તેથી, $I_{min} \neq 0$।
આનો અર્થ એ છે કે વિનાશક વ્યતિકરણના વિસ્તારમાં, તરંગો એકબીજાને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરતા નથી, અને ત્યાં પ્રકાશની થોડી તીવ્રતા બાકી રહે છે।

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે કંપવિસ્તાર $a$ એ તીવ્રતાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $a \propto \sqrt{I}$.
ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોના કંપવિસ્તાર $a_{1}$ અને $a_{2}$ છે,જ્યાં $a_{1} \propto \sqrt{I_{1}}$ અને $a_{2} \propto \sqrt{I_{2}}$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં,મહત્તમ તીવ્રતા $(I_{\max})$ સહાયક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર જોવા મળે છે,જ્યાં કળા તફાવત $\pi$ નો બેકી ગુણક $(2n\pi)$ હોય છે.
આ બિંદુઓ પર,પરિણામી કંપવિસ્તાર એ વ્યક્તિગત કંપવિસ્તારોનો સરવાળો છે: $A_{\max} = a_{1} + a_{2}$.
કારણ કે $I_{\max} \propto A_{\max}^{2}$,તેથી $I_{\max} \propto (a_{1} + a_{2})^{2}$.
$a_{1}$ અને $a_{2}$ ના પદોને મૂકતા,આપણને $I_{\max} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2}$ મળે છે.

(D) વ્યતિકરણમાં પરિણામી તરંગની તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે અને $I_0$ એ દરેક વ્યક્તિગત ઉદગમની તીવ્રતા છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = 0$ માટે,કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય. તેથી,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/2$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$ થાય. તેથી,$I_2 = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 4I_0 \cdot 0 = 0$.
તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{0} = \infty$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\infty:1$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં, તીવ્રતા $I$ એ $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે, કળા તફાવત $\phi = (2n+1)\pi$ હોય છે, તેથી $\cos \phi = -1$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ મળે છે।
જો કંપવિસ્તાર અલગ-અલગ હોય, તો $I_1 \neq I_2$, જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$.
તેથી, $I_{min} \neq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે વિનાશક વ્યતિકરણના વિસ્તારમાં, સંપૂર્ણ અંધકારને બદલે પ્રકાશની થોડી તીવ્રતા બાકી રહે છે।

(D) વિનાશક વ્યતિકરણ થવા માટે,બે પ્રકાશના તરંગો એક બિંદુએ એવા કળા તફાવત સાથે પહોંચવા જોઈએ કે જેથી તેમના કંપવિસ્તાર એકબીજાને નાબૂદ કરે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તરંગો વિરુદ્ધ કળામાં હોય,એટલે કે એક તરંગ શૃંગ પર હોય ત્યારે બીજું તરંગ ગર્ત પર હોય.
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે કળા તફાવતની શરત $\Delta \phi = (2n + 1)\pi$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \ldots$.
$n$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta \phi = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$ મળે છે.

(C) વ્યતિકરણની ઘટનામાં,માધ્યમમાં ઉર્જાનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
સહાયક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર તીવ્રતા (અને તેથી ઉર્જા) મહત્તમ હોય છે,જ્યારે વિનાશક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર તીવ્રતા ન્યૂનતમ હોય છે.
માધ્યમમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહેતી હોવાથી,વ્યતિકરણની ઘટના ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.

(C) વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં,પરિણામી તીવ્રતા $I$ એ $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
જ્યારે $\cos \phi = -1$ હોય ત્યારે તીવ્રતા ન્યૂનતમ હોય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કળા તફાવત $\phi$ એ $\pi$ નો એકી ગુણાંક હોય.
તેથી,ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટેની શરત $\phi = (2n-1) \pi$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$ છે.

(D) ઓપ્ટિકલ પાથ લંબાઈ એટલે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક અને પ્રકાશ દ્વારા કાપવામાં આવેલ ભૌમિતિક અંતરનો ગુણાકાર.
શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં,$t$ અંતર માટે ઓપ્ટિકલ પાથ $t_{opt} = 1 \times t = t$ થાય છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી માઈકાની ફિલ્મ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશ ફિલ્મમાંથી $t$ અંતર કાપે છે.
ફિલ્મમાંથી પસાર થતો ઓપ્ટિકલ પાથ $t'_{opt} = n \times t = nt$ થાય છે.
ઓપ્ટિકલ પાથમાં થતો ફેરફાર $\Delta = t'_{opt} - t_{opt} = nt - t = (n-1)t$ છે.
અહીં $n > 1$ હોવાથી,ઓપ્ટિકલ પાથ $(n-1)t$ જેટલો વધે છે.

(D) ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1 = 5x$ અને $A_2 = x$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ એ કંપવિસ્તારના સરવાળાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2 = (5x + x)^2 = (6x)^2 = 36x^2$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ એ કંપવિસ્તારના તફાવતના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2 = (5x - x)^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{36x^2}{16x^2} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ થાય.

(D) વ્યતિકરણ ભાતમાં પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $(I_{\max})$ માટે,કળા તફાવત $\phi = 0$ હોય,તેથી $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $(I_{\min})$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \pi$ હોય,તેથી $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.

(C) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ છે.
તીવ્રતા $I \propto a^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{3 + 2}{3 - 2} \right)^2 = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = \frac{25}{1}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $25: 1$ છે.

(C) $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં $L$ ભૌતિક પથ લંબાઈ માટે ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $\Delta = \mu L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિરણ માટે,ઓપ્ટિકલ પથ $\Delta_1 = \mu_1 L_1$ છે.
બીજા કિરણ માટે,ઓપ્ટિકલ પથ $\Delta_2 = \mu_2 L_2$ છે.
બે કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = |\Delta_1 - \Delta_2| = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,કળા તફાવત $\frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સૂત્ર $\frac{2 \pi}{\lambda} [\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2]$ છે.

(B) ધારો કે બે તરંગોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે.
આપેલ છે: $I_1/I_2 = 49/16$.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\sqrt{I_1}/\sqrt{I_2} = A_1/A_2 = \sqrt{49}/\sqrt{16} = 7/4$ થશે.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{7 + 4}{7 - 4}\right)^2 = \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $121:9$ છે.

(B) વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = 31.5 \lambda = \frac{63}{2} \lambda = 63 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
અહીં $63$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક છે.
તેથી,આ બિંદુ વિનાશક વ્યતિકરણ દર્શાવે છે,જે અંધારું બિંદુ બનાવે છે.

(B) તરંગની તીવ્રતા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$,તેથી $I = ka^2$. ધારો કે $I_1 = ka_1^2$ અને $I_2 = ka_2^2$.
વ્યતિકરણ દરમિયાન મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = k(a_1 + a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યતિકરણ દરમિયાન ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = k(a_1 - a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો સરવાળો $I_{\max} + I_{\min} = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2) + k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ થાય છે.
$I_{\max} + I_{\min} = k(2a_1^2 + 2a_2^2) = 2(ka_1^2 + ka_2^2)$.
તીવ્રતાની કિંમતો પાછી મૂકતા,આપણને $I_{\max} + I_{\min} = 2(I_1 + I_2)$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક વ્યક્તિગત તરંગની તીવ્રતા $I$ છે.
જ્યારે $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે સમાન તરંગો સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
તરંગો સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2 = I$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos \phi$
$I_R = 2I + 2I \cos \phi$
$I_R = 2I(1 + \cos \phi)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \phi = 2 \cos^2 \frac{\phi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_R = 2I(2 \cos^2 \frac{\phi}{2}) = 4I \cos^2 \frac{\phi}{2}$
તેથી,પરિણામી તીવ્રતા $\cos^2 \frac{\phi}{2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 9I$ આપેલ છે.
બિંદુ $P$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_P = \frac{\pi}{2}$ છે.
$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 10I + 6I(0) = 10I$.
બિંદુ $Q$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_Q = \pi$ છે.
$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$.
બિંદુ $P$ અને $Q$ આગળ પરિણામી તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $\Delta I = I_P - I_Q = 10I - 4I = 6I$ થાય.

(A) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
અહીં $I_1 = I$,$I_2 = 4I$ અને $\phi = \pi$ આપેલ છે:
$I' = I + 4I + 2\sqrt{I \times 4I} \cos \pi$
કારણ કે $\cos \pi = -1$:
$I' = 5I + 2\sqrt{4I^2} (-1)$
$I' = 5I + 2(2I)(-1)$
$I' = 5I - 4I = I$

(D) બે આવર્ત તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\delta$
જ્યાં $\delta$ એ તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,$\cos\delta = 1$,તેથી:
$I_{\max} = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2}$
ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે,$\cos\delta = -1$,તેથી:
$I_{\min} = I_{1} + I_{2} - 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^{2}$
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો સરવાળો:
$I_{\max} + I_{\min} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2} + (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^{2}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$I_{\max} + I_{\min} = (I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}}) + (I_{1} + I_{2} - 2\sqrt{I_{1}I_{2}})$
$I_{\max} + I_{\min} = 2(I_{1} + I_{2})$

(B) આપેલ લંબાઈ $L$ માં તરંગોની સંખ્યા $N$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $N = \frac{L}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-7}}$
$N = \frac{1}{4} \times 10^{-3 - (-7)}$
$N = 0.25 \times 10^4$
$N = 2500$.
તેથી, તરંગોની સંખ્યા $2500$ છે.

(C) બે સંપાત થતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$.
અસંગત ઉદગમો માટે,કળા તફાવત $\phi$ સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાય છે.
તેથી,વ્યતિકરણ પદ $\langle 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi \rangle$ નું સમય પરનું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ થાય છે,કારણ કે $\cos \phi$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ છે.
આપેલ છે કે $I_{1} = I_{2} = I_{0}$,તેથી પરિણામી સરેરાશ તીવ્રતા:
$I_{avg} = I_{1} + I_{2} = I_{0} + I_{0} = 2I_{0}$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું તરંગ પાતળા માધ્યમમાંથી બિન-પરાવર્તક અને બિન-શોષક માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વહન કરતી કુલ ઉર્જા સમાન રહે છે.
પ્રકાશના તરંગમાં રહેલી ઉર્જા તેની આવૃત્તિ અને ફોટોનની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ માધ્યમ બદલે છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે અને માધ્યમ બિન-શોષક (કોઈ ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી) અને બિન-પરાવર્તક (કોઈ ઉર્જા પરાવર્તિત થતી નથી) હોવાથી,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(D) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A_1 = 3 A$,$A_2 = 2 A$ અને $\phi = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
તીવ્રતા $I$ એ પરિણામી કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto R^2$.
$R^2 = (3 A)^2 + (2 A)^2 + 2(3 A)(2 A) \cos(60^{\circ})$.
$R^2 = 9 A^2 + 4 A^2 + 12 A^2 \times (0.5)$.
$R^2 = 13 A^2 + 6 A^2 = 19 A^2$.
તેથી,તીવ્રતા $19 A^2$ ના પ્રમાણમાં હશે.