Resolving power-Human eye, Microscopes and Telescopes Questions in Hindi

(D) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र $RP = \frac{2n \sin \beta}{\lambda}$ है, जहाँ $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है, $\beta$ अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण है, और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
वैकल्पिक रूप से, एपर्चर $(a)$ और फोकस दूरी $(f)$ के संदर्भ में, $RP \propto \frac{a}{\lambda f}$ होता है।
$1$. ऑयल इमर्शन ऑब्जेक्टिव का उपयोग करने से अपवर्तनांक $(n)$ बढ़ता है, जिससे विभेदन क्षमता बढ़ती है।
$2$. तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को कम करने से विभेदन क्षमता बढ़ती है।
$3$. फोकस दूरी $(f)$ को कम करने से विभेदन क्षमता बढ़ती है।
$4$. एपर्चर $(a)$ को कम करने से विभेदन क्षमता घटती है।
इसलिए, एपर्चर को कम करके विभेदन क्षमता को नहीं बढ़ाया जा सकता है।

(C) एपर्चर के लिए विभेदन की सीमा का सूत्र $\frac{y}{D} = \frac{\lambda}{d}$ है।
यहाँ दिया गया है:
लेंस का व्यास $d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$.
दूरी $D = 50\,m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5 \times 10^{-7}\,m$.
मान रखने पर:
$y = \frac{\lambda D}{d} = \frac{5 \times 10^{-7} \times 50}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = \frac{250 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-3}} = 125 \times 10^{-4}\,m$.
$y = 1.25 \times 10^{-2}\,m = 1.25\,cm$.

(D) किसी ऑप्टिकल उपकरण की विभेदन क्षमता $(RP)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
यहाँ, ${\lambda _1 = 4000 \ \text{\AA}}$ और ${\lambda _2 = 5000 \ \text{\AA}}$ दिया गया है।
उनकी विभेदन क्षमता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
मान रखने पर:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{5000}{4000} = \frac{5}{4}$
अतः, अनुपात $5 : 4$ है।

(A) किसी प्रकाशीय उपकरण की विभेदन क्षमता (resolving power) को विभेदन की सीमा (limit of resolution) के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\text{Resolving Power} = \frac{1}{\text{Limit of Resolution}}$
इसलिए,विभेदन की सीमा,विभेदन क्षमता का व्युत्क्रम है:
$\text{Limit of Resolution} = \frac{1}{\text{Resolving Power}}$
अतः,सही संबंध $\text{Limit of resolution} = \frac{1}{\text{resolving power}}$ है।

(A) टेलीस्कोप का कोणीय विभेदन $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
साथ ही,$R$ दूरी पर स्थित दो वस्तुओं के बीच कोणीय पृथक्करण,जिनके बीच की रैखिक दूरी $l$ है,$\Delta \theta = \frac{l}{R}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{l}{R} = \frac{1.22 \lambda}{D}$,इसलिए $l = \frac{1.22 \lambda R}{D}$।
दिया गया है:
$\lambda = 600 \times 10^{-9}\, m$
$D = 30\, cm = 0.3\, m$
$R = 10 \text{ प्रकाश वर्ष} = 10 \times 9.46 \times 10^{15}\, m = 9.46 \times 10^{16}\, m$।
मान रखने पर:
$l = \frac{1.22 \times 600 \times 10^{-9} \times 9.46 \times 10^{16}}{0.3}$
$l = 2.308 \times 10^{10}\, m = 2.308 \times 10^{7}\, km$।
अतः,निकटतम क्रम $10^8\, km$ है।

(C) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ को दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका सूत्र है:
$R.P. = \frac{2n \sin \beta}{\lambda}$
जहाँ:
$n$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है।
$\beta$ अभिदृश्यक लेंस द्वारा वस्तु पर बनाया गया अर्ध-शीर्ष कोण है।
$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $R.P. \propto n \sin \beta$ है।
अतः,जैसे-जैसे $n \sin \beta$ का मान बढ़ता है,विभेदन क्षमता बढ़ती है।

(A) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा (limit of resolution) $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5.5 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-2}} = 2.236 \times 10^{-5} \, \text{rad}$.
$D = 80 \, m$ की दूरी पर टेलीस्कोप जिस न्यूनतम दूरी $x$ को विभेदित कर सकता है,वह $x = \Delta \theta \times D$ है।
$x = 2.236 \times 10^{-5} \times 80 = 1.788 \times 10^{-3} \, m$.
तार की जाली का अंतराल $2 \times 10^{-3} \, m$ है।
चूंकि जाली का अंतराल $(2 \times 10^{-3} \, m)$ विभेदन सीमा $(1.788 \times 10^{-3} \, m)$ से अधिक है,इसलिए जाली को विभेदित किया जा सकता है।
यदि एपर्चर को आधा कर दिया जाए,तो नई विभेदन सीमा $\Delta \theta' = 2 \times \Delta \theta = 4.472 \times 10^{-5} \, \text{rad}$ होगी।
नया न्यूनतम अंतराल $x' = 4.472 \times 10^{-5} \times 80 = 3.577 \times 10^{-3} \, m$ होगा।
चूंकि $3.577 \times 10^{-3} \, m > 2 \times 10^{-3} \, m$,इसलिए यदि एपर्चर को आधा कर दिया जाए तो जाली को विभेदित नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह वर्तमान एपर्चर के साथ संभव है,लेकिन आधे व्यास के साथ संभव नहीं है।

(C) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(\theta)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$
दिया गया है:
ऑब्जेक्टिव का व्यास $(D)$ $= 200\, cm = 2\, m = 200 \times 10^{-2}\, m$
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ $= 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{200 \times 10^{-2}}$
$\theta = \frac{1.22 \times 500}{200} \times 10^{-7}$
$\theta = 1.22 \times 2.5 \times 10^{-7}$
$\theta = 3.05 \times 10^{-7}\, \text{रेडियन}$
$\theta = 305 \times 10^{-9}\, \text{रेडियन}$

(C) दूरबीन की विभेदन सीमा $(\Delta\theta)$ का सूत्र है: $\Delta\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
दिया गया है:
$\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m$
$d = 250\, cm = 2.5\, m$
मान रखने पर:
$\Delta\theta = \frac{1.22 \times 600 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = \frac{732 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = 292.8 \times 10^{-9}\, rad = 2.928 \times 10^{-7}\, rad$
यह मान $3.0 \times 10^{-7}\, rad$ के सबसे निकट है।

(C) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता (resolving power) दो बिंदुओं के बीच की उस न्यूनतम दूरी $d$ द्वारा परिभाषित होती है जिन्हें अलग-अलग देखा जा सकता है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{0.61 \lambda}{\text{NA}}$
दिया गया है:
$\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\,\text{m} = 5 \times 10^{-7}\,\text{m}$
$\text{NA} = 1.25$
मान रखने पर:
$d = \frac{0.61 \times 5 \times 10^{-7}}{1.25}$
$d = \frac{3.05 \times 10^{-7}}{1.25}$
$d = 2.44 \times 10^{-7}\,\text{m}$
माइक्रोमीटर $(\mu m)$ में बदलने पर:
$d = 2.44 \times 10^{-7} \times 10^6\,\mu m = 0.244\,\mu m \approx 0.24\,\mu m$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) दूरबीन की विभेदन क्षमता (resolving power) का अर्थ है दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता। कोणीय विभेदन सीमा $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है।
जैसे-जैसे द्वारक $D$ बढ़ता है,कोणीय विभेदन $\theta$ कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि दूरबीन सूक्ष्म विवरणों को बेहतर ढंग से देख सकती है। इसलिए,उच्च विभेदन (high resolution) प्राप्त करने के लिए बड़े द्वारक का उपयोग किया जाता है।

(A) मानव आँख की विभेदन सीमा लगभग $\theta = 1' = \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}$ होती है।
दो वस्तुओं को अलग-अलग देखने के लिए,उनके द्वारा आँख पर बनाया गया कोण कम से कम $\theta$ होना चाहिए।
सूत्र $\theta = \frac{d}{r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $d$ खंभों के बीच की दूरी है और $r$ खंभों से प्रेक्षक की दूरी है।
सबसे पहले,$\theta$ को रेडियन में बदलें: $\theta = \frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} \, \text{rad}$।
दिया गया है $d = 6.28 \, m = 6.28 \times 10^{-3} \, km$।
$r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{d}{\theta}$।
मान रखने पर: $r = \frac{6.28 \times 10^{-3}}{\frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180}}$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $r = \frac{6.28 \times 10^{-3} \times 60 \times 180}{3.14} = 2 \times 10^{-3} \times 60 \times 180 = 21600 \, m = 21.6 \, km$।

(A) विभेदन सीमा $d\theta$ का सूत्र $d\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $D$ द्वारक का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 555 \, nm = 555 \times 10^{-9} \, m$ और $D = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
मान रखने पर: $d\theta = \frac{1.22 \times 555 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} \, rad$.
$d\theta = 3.3855 \times 10^{-4} \, rad$.
रेडियन को मिनट में बदलने के लिए,$\frac{180}{\pi}$ से और फिर $60$ से गुणा करें:
$d\theta (min) = 3.3855 \times 10^{-4} \times \frac{180}{3.14159} \times 60 \approx 1.16 \, min$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $1.2 \, min$ प्राप्त होता है।

(C) टेलीस्कोप का कोणीय विभेदन $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5 \times 10^{-7}\,m$,$D = 10\,cm = 0.1\,m$,और दूरी $L = 1\,km = 10^3\,m$.
दो वस्तुओं के बीच की न्यूनतम दूरी $x$ जिसे विभेदित किया जा सकता है,वह $x = L \theta = \frac{1.22 \lambda L}{D}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{1.22 \times (5 \times 10^{-7}\,m) \times (10^3\,m)}{0.1\,m}$.
$x = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-4}}{10^{-1}} = 1.22 \times 5 \times 10^{-3}\,m = 6.1 \times 10^{-3}\,m = 6.1\,mm$.
अतः,यह $5\,mm$ के क्रम की है।

(A) हम दो निकट स्थित बहुत छोटे बिंदुओं को अलग-अलग तब देखते हैं जब दर्शक के लिए उनका कोणीय पृथक्करण रेले के मानदंड (Rayleigh's criterion) द्वारा आवश्यक से अधिक होता है।
$\theta_{R} = 1.22 \frac{\lambda}{d}$
यहाँ,$d$ आँख की पुतली का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है। यदि दो बिंदुओं के बीच की दूरी $D$ है और $L$ पेंटिंग से दर्शक की दूरी है,तो कोणीय पृथक्करण $\theta = \frac{D}{L}$ है।
रेले के मानदंड के अनुसार,बिंदु तब अलग दिखाई देते हैं यदि $\theta \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$ हो।
अतः,$\frac{D}{L} \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$,जिसका अर्थ है $L \leq \frac{D d}{1.22 \lambda}$।
जैसे-जैसे दर्शक पेंटिंग से दूर जाता है ($L$ बढ़ता है),कोणीय पृथक्करण $\theta$ कम हो जाता है। जब $\theta$ आँख की विभेदन सीमा से कम हो जाता है,तो व्यक्तिगत बिंदु अलग-अलग दिखाई नहीं देते हैं और आँख उन्हें अलग करने में असमर्थ होने के कारण उनके रंग आपस में मिल जाते हैं। चूँकि विभिन्न रंगों की तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ अलग-अलग होती है,इसलिए वह दूरी जिस पर वे मिल जाते हैं,बदलती रहती है,जिससे दर्शक के दूर जाने पर किसी विशिष्ट बिंदु पर दिखाई देने वाला रंग बदल जाता है। इसलिए,कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण इस घटना की व्याख्या करता है।

(B) दूरबीन की विभेदन क्षमता को दो दूरस्थ वस्तुओं के बीच के उस न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे दूरबीन द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
दूरबीन की विभेदन क्षमता का सूत्र है: $\text{Resolving Power} = \frac{D}{1.22 \lambda}$,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता अभिदृश्यक लेंस के व्यास $D$ के सीधे आनुपातिक है। अतः,कथन सही है।
कारण में कहा गया है कि बड़े व्यास वाला अभिदृश्यक लेंस अधिक प्रकाश एकत्र करता है। यह कथन भौतिक रूप से सत्य है,क्योंकि बड़ा द्वारक (aperture) दूरबीन में अधिक प्रकाश को प्रवेश करने देता है,जिससे उसकी प्रकाश एकत्र करने की क्षमता (छवि की चमक) बढ़ जाती है। हालाँकि,यह विभेदन क्षमता में वृद्धि का कारण नहीं है। विभेदन क्षमता विवर्तन सीमा (diffraction limit) पर निर्भर करती है,न कि प्रकाश एकत्र करने की क्षमता पर।
इसलिए,दोनों कथन सही हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(C) टेलीस्कोप का कोणीय विभेदन (angular resolution) सूत्र $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ द्वारक का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 5500 \; \mathring{A} = 5500 \times 10^{-10} \; m$, $D = 5 \; m$, और दूरी $d = 4 \times 10^{5} \; km = 4 \times 10^{8} \; m$.
चंद्रमा पर दो वस्तुओं के बीच की रैखिक दूरी $x$ जो ठीक-ठीक विभेदित हो सकती है, वह $x = d \cdot \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$x = d \times \frac{1.22 \lambda}{D} = \frac{4 \times 10^{8} \times 1.22 \times 5500 \times 10^{-10}}{5}$.
$x = \frac{4 \times 1.22 \times 5.5 \times 10^{-2}}{5} \times 10^{8} = 0.8 \times 1.22 \times 5.5 \times 10^{-2} \times 10^{8} = 53.68 \; m$.
इस मान को निकटतम विकल्प में बदलने पर, हमें $60 \; m$ प्राप्त होता है।

(B) दूरदर्शी की विभेदन सीमा का सूत्र $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
$\lambda = 6000\,\mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\,\text{m} = 6 \times 10^{-7}\,\text{m}$.
$D = 100\,\text{inch} = 100 \times 2.54 \times 10^{-2}\,\text{m} = 2.54\,\text{m}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2.54} \approx 2.88 \times 10^{-7}\,\text{radians}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $\Delta \theta \approx 2.9 \times 10^{-7}\,\text{radians}$ प्राप्त होता है।

(N/A) विभेदन क्षमता: किसी प्रकाशिक यंत्र की दो निकट स्थित वस्तुओं के स्पष्ट अलग-अलग प्रतिबिंब बनाने की क्षमता को उसकी विभेदन क्षमता कहते हैं।
प्रकाशिक यंत्रों में विवर्तन (diffraction) की घटना के कारण,बहुत पास स्थित वस्तुओं और उनके प्रतिबिंबों को अलग-अलग देखना कठिन होता है।
दूरदर्शी का कोणीय विभेदन उसके अभिदृश्यक (objective) लेंस द्वारा निर्धारित होता है। नेत्रिका (eyepiece) के माध्यम से आवर्धन बढ़ाने से विभेदन में सुधार नहीं होता है; नेत्रिका केवल अभिदृश्यक द्वारा बनाए गए प्रतिबिंब को बड़ा करती है।
जब प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज उत्तल लेंस पर आपतित होती है,तो लेंस किरण पुंज को केंद्रित करता है। लेकिन विवर्तन के कारण,यह एक बिंदु के बजाय एक सीमित वृत्ताकार क्षेत्र में केंद्रित होता है। इसे चित्र में दिखाया गया है।
केंद्रीय चमकीले क्षेत्र के चारों ओर गहरे और चमकीले छल्ले प्राप्त होते हैं,जिन्हें एरी के छल्ले (Airy's rings) कहा जाता है।
यदि $f$ लेंस की फोकस दूरी है और $2a$ वृत्ताकार द्वारक का व्यास है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $\frac{1.22 \lambda f}{2a}$ होती है।
इसलिए,केंद्रीय उच्चिष्ठ की त्रिज्या:
$r_{0} \approx \frac{1.22 \lambda f}{2a} = \frac{0.61 \lambda f}{a}$
संबंध $r_{0} = f \Delta \theta$ का उपयोग करने पर:
$f \Delta \theta \approx \frac{0.61 \lambda f}{a}$
$\therefore \Delta \theta \approx \frac{0.61 \lambda}{a}$
यहाँ,$\Delta \theta$ दो प्रतिबिंबों को अलग-अलग देखने के लिए आवश्यक न्यूनतम कोण है,जो दूरदर्शी का कोणीय विभेदन निर्धारित करता है।
इस प्रकार,जब अभिदृश्यक का व्यास $(2a)$ बड़ा होता है,तो $\Delta \theta$ छोटा हो जाता है। इसका अर्थ है कि दूरदर्शी के लिए,बड़ा द्वारक $a$ उच्च विभेदन क्षमता प्रदान करता है।

(N/A) सूक्ष्मदर्शी के अभिदृश्यक लेंस (objective lens) द्वारा एक बिंदुवत वस्तु का प्रतिबिंब चित्र में दिखाया गया है।
माना लेंस का व्यास $D$ है और इसकी फोकस दूरी $f$ है। वस्तु की दूरी $f$ से अधिक रखी जाती है। माना प्रतिबिंब की दूरी $v$ है।
विवर्तन के प्रभाव के कारण केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $v \theta$ है।
$\therefore v \theta = \left( \frac{1.22 \lambda}{D} \right) v \quad \dots (1)$
यदि दो बिंदुवत वस्तुओं के प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $v \theta$ से कम है,तो वे एक मिश्रित वस्तु के रूप में दिखाई देंगे।
यदि दो बिंदुवत वस्तुओं के प्रतिबिंबों को अलग-अलग देखने के लिए आवश्यक न्यूनतम दूरी $d_m$ है,तो
$\therefore d_m = \left( \frac{1.22 \lambda}{D} \right) \frac{v}{m}$,जहाँ $m = \frac{v}{f}$ आवर्धन (magnification) है।
$m = \frac{v}{f}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $d_m = \left( \frac{1.22 \lambda}{D} \right) f \quad \dots (2)$
चित्र से,$\frac{D/2}{f} = \tan \beta$.
$\therefore \frac{D}{f} = 2 \tan \beta \quad \dots (3)$
समीकरण $(3)$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$d_m = \frac{1.22 \lambda}{2 \tan \beta}$
यदि $\beta$ बहुत छोटा है और रेडियन में है,तो $\tan \beta \approx \sin \beta$.
$\therefore d_m = \frac{1.22 \lambda}{2 \sin \beta}$

(C) किसी प्रकाशीय उपकरण की विभेदन क्षमता,विभेदन के न्यूनतम कोण के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
दूरदर्शी के लिए,विभेदन क्षमता $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है। अतः,व्यास $(D)$ बढ़ाने से विभेदन क्षमता बढ़ती है।
सूक्ष्मदर्शी के लिए,विभेदन क्षमता $RP = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n \sin \beta$ संख्यात्मक द्वारक है। अतः,संख्यात्मक द्वारक बढ़ाने से विभेदन क्षमता बढ़ती है।
इसलिए,दूरदर्शी के लिए अभिदृश्यक लेंस के द्वारक को और सूक्ष्मदर्शी के लिए संख्यात्मक द्वारक को बढ़ाने से उनकी विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(N/A) मान लीजिए $S_{1}$ और $S_{2}$ कागज पर दो क्रमिक बिंदु हैं।
चित्र में दिखाए अनुसार, मान लीजिए कि दो क्रमिक बिंदुओं $S_{1}$ और $S_{2}$ (आँख से $Z$ दूरी पर कागज पर) के प्रतिबिंब आँख द्वारा स्पष्ट और अलग देखे जा सकते हैं। यहाँ $S_{1}$ और $S_{2}$ के बीच की दूरी $d_{m}$ को आँख की 'रैखिक विभेदन सीमा' कहा जाता है और कोण $\alpha_{\min} = \phi$ को आँख की 'कोणीय विभेदन सीमा' कहा जाता है।
रेडियन में कोण के मापन की परिभाषा के अनुसार:
$\text{कोण} = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}}$
इसलिए, $\alpha_{\min} = \frac{d_{m}}{Z}$
यह दिया गया है कि प्रिंटर $2.54 \, cm$ प्रति $300 \, \text{डॉट्स}$ प्रिंट करता है, इसलिए दो क्रमिक बिंदुओं के बीच की दूरी:
$d_{m} = \frac{2.54 \, cm}{300} \approx 8.467 \times 10^{-3} \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$Z = \frac{d_{m}}{\phi} = \frac{2.54 \, cm / 300}{5.8 \times 10^{-4} \, rad}$
$Z = \frac{2.54}{300 \times 5.8 \times 10^{-4}} \, cm$
$Z = \frac{2.54}{0.174} \, cm \approx 14.6 \, cm$
यदि कागज को $14.6 \, cm$ से अधिक दूरी पर रखा जाता है, तो $S_{1}$ और $S_{2}$ के प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं देखे जा सकते। अतः, आवश्यक न्यूनतम दूरी $Z = 14.6 \, cm$ है।

(B) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(\Delta \theta)$ का सूत्र है: $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m = 6 \times 10^{-7}\, m$ और $D = 2\, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2}$
$\Delta \theta = 1.22 \times 3 \times 10^{-7}$
$\Delta \theta = 3.66 \times 10^{-7}\, rad$.
अतः, मान $3.66$ है।

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र है:
$RP = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$
मान लीजिए माध्यम हवा है,तो $\mu = 1$ है।
दी गई ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{a}{f_{0}} = \frac{1 \, cm}{5 \, cm} = 0.2$ है।
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = 0.2$ होगा।
दिया गया है $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$RP = \frac{2 \times 1 \times 0.2}{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{0.4}{7.32 \times 10^{-7}}$
$RP \approx 5.46 \times 10^{5} \, m^{-1}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $B$ है।

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता उपयोग किए गए विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात, $\text{Resolving Power} \propto \frac{1}{\lambda}$।
इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में त्वरित इलेक्ट्रॉनों की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $0.001 \ nm$ से $0.01 \ nm$ की सीमा में होती है, जबकि दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $400 \ nm$ से $700 \ nm$ की सीमा में होती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में बहुत कम होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी की तुलना में काफी अधिक होती है।
अतः, अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सत्य हैं, और कारण $R$, अभिकथन $A$ की सही व्याख्या है।

(C) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ का सूत्र $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ ऑब्जेक्टिव का द्वारक है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $D = 24.4 \, cm = 24.4 \times 10^{-2} \, m$ और $\lambda = 2440 \, \mathring{A} = 2440 \times 10^{-10} \, m$.
मान रखने पर:
$R.P. = \frac{24.4 \times 10^{-2}}{1.22 \times 2440 \times 10^{-10}}$
$R.P. = \frac{24.4 \times 10^{-2}}{2976.8 \times 10^{-10}}$
$R.P. = \frac{24.4}{2976.8} \times 10^{8}$
$R.P. \approx 0.0082 \times 10^{8} = 8.2 \times 10^{5}$.

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ का सूत्र है: $R.P. = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$,जहाँ $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है,$\theta$ अर्ध-शीर्ष कोण है और $\lambda$ निर्वात/हवा में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
शुरू में,हवा में $(\mu_1 = 1)$: $(R.P.)_{\text{air}} = \frac{2 \times 1 \times \sin \theta}{1.22 \lambda} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
जब तेल में डुबोया जाता है $(\mu_2 = 2)$: माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{oil}} = \frac{\lambda}{\mu_2} = \frac{\lambda}{2}$ हो जाती है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $(R.P.)_{\text{oil}} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 \lambda_{\text{oil}}} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 (\lambda / 2)} = \frac{2 \times 2 \sin \theta}{1.22 \lambda} = 2 \times (R.P.)_{\text{air}}$.
अतः,तेल में विभेदन क्षमता हवा की तुलना में दोगुनी हो जाती है।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र $RP = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{\text{violet}})$,लाल प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{\text{red}})$ से कम होती है,इसलिए बैंगनी प्रकाश का उपयोग करने पर विभेदन क्षमता अधिक प्राप्त होगी।
अतः,जब वस्तु को प्रकाशित करने के लिए बैंगनी प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो विभेदन क्षमता अधिकतम होती है।

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $(d)$ का सूत्र $d = \frac{1.22 \lambda}{2 \mu \sin \theta}$ है,जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि विभेदन सीमा तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $d \propto \lambda$।
दिया गया है:
$d_1 = 0.05 \, mm$
$\lambda_1 = 6000 \, \mathring{A}$
$\lambda_2 = 3000 \, \mathring{A}$
अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{0.05}{d_2} = \frac{6000}{3000}$
$\frac{0.05}{d_2} = 2$
$d_2 = \frac{0.05}{2} = 0.025 \, mm$।
अतः,विभेदन सीमा $0.025 \, mm$ हो जाएगी।

(C) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा को दो दूरस्थ वस्तुओं के बीच के उस न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे टेलीस्कोप द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
$r$ (या $D$) व्यास वाले एक वृत्ताकार द्वारक के लिए,विभेदन सीमा (जिसे कोणीय विभेदन या रेले मानदंड के रूप में भी जाना जाता है) का सूत्र इस प्रकार है:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{r}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $r$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $(x)$ का सूत्र है: $x = \frac{0.61 \lambda}{NA}$, जहाँ $NA$ संख्यात्मक द्वारक है।
दिया गया है:
$\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$
$NA = 0.12$
सूत्र में मान रखने पर:
$x = \frac{0.61 \times 6 \times 10^{-7}}{0.12}$
$x = \frac{3.66 \times 10^{-7}}{0.12}$
$x = 30.5 \times 10^{-7} \, m = 3.05 \times 10^{-6} \, m$
चूँकि $1 \, \mu m = 10^{-6} \, m$, इसलिए $x \approx 3.05 \, \mu m$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $3.0 \, \mu m$ है।

(C) दूरबीन की विभेदन क्षमता को दो वस्तुओं के बीच के उस न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें दूरबीन द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
दूरबीन की विभेदन क्षमता का सूत्र $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $a$ अभिदृश्यक लेंस के द्वारक का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $RP \propto a$ है। इसलिए,विभेदन क्षमता बढ़ाने के लिए,अभिदृश्यक का द्वारक $(a)$ बड़ा होना चाहिए।
कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि बड़ा द्वारक विवर्तन सीमा को कम करता है,जिससे बेहतर विभेदन प्राप्त होता है।
कारण $(R)$ में सूत्र $\frac{2 a }{1.22 \lambda}$ दिया गया है,जो गलत है क्योंकि सही सूत्र $\frac{a}{1.22 \lambda}$ है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है।

(D) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता को दो वस्तुओं के बीच के न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें दूरदर्शी द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है। यह सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है। इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता अभिदृश्यक लेंस के व्यास $(D)$ के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए,अभिदृश्यक का व्यास बढ़ाने से दूरदर्शी की विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(B) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ का सूत्र $R.P. = \frac{D}{1.22\lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
चूँकि दिए गए अवलोकन के लिए तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ स्थिर होती है,इसलिए विभेदन क्षमता सीधे अभिदृश्यक लेंस के द्वारक $(D)$ के समानुपाती होती है $(R.P. \propto D)$।
अतः,बेहतर विभेदन क्षमता (दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता) प्राप्त करने के लिए,दूरदर्शी में बड़े द्वारक वाले अभिदृश्यक लेंस का उपयोग किया जाता है।

(D) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $(d)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे संबंध $d \propto \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
दिया गया है: $d_1 = 0.1 \ mm$,$\lambda_1 = 6000 \ Å$,और $\lambda_2 = 4800 \ Å$.
मान रखने पर: $\frac{0.1}{d_2} = \frac{6000}{4800}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{6000}{4800} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25$.
अतः,$d_2 = \frac{0.1}{1.25} = 0.08 \ mm$.

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(P)$ का सूत्र है: $P = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
यहाँ,$\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है,$\theta$ वस्तु से आने वाले प्रकाश के शंकु का आधा कोण है,और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है।
विभेदन क्षमता में सुधार करने के लिए,अंश को बढ़ाना या हर को कम करना आवश्यक है।
इसलिए,वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu)$ बढ़ाने से विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(C) सूक्ष्मदर्शी के अभिदृश्यक (objective) का संख्यात्मक द्वारक $(NA)$ सूत्र $NA = \mu \sin \alpha$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है,और $\alpha$ वस्तु से अभिदृश्यक लेंस में प्रवेश करने वाले प्रकाश के शंकु का अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण (semi-vertical angle) है। अतः,सही निरूपण $\mu \sin \alpha$ है।

(D) किसी प्रकाशिक यंत्र की विभेदन क्षमता $(RP)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
दिया गया है: $\lambda_A = 4500 \, \text{Å}$ और $\lambda_B = 6000 \, \text{Å}$।
$A$ और $B$ की विभेदन क्षमता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{RP_A}{RP_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{6000 \, \text{Å}}{4500 \, \text{Å}} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3}$।
अतः, अनुपात $4:3$ है।

(A) खगोलीय दूरदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र है: $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$,जहाँ $a$ अभिदृश्यक लेंस का द्वारक (व्यास) है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
$1$. प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ स्रोत पर निर्भर करती है और यह लेंस के द्वारक से स्वतंत्र है। अतः,यह प्रभावित नहीं होती है।
$2$. अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f)$ उसकी वक्रता और अपवर्तनांक द्वारा निर्धारित होती है,जो केवल द्वारक (व्यास) बढ़ाने से नहीं बदलती है। अतः,यह प्रभावित नहीं होती है।
$3$. सूत्र $RP \propto a$ से स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता द्वारक $a$ के सीधे समानुपाती होती है। इसलिए,द्वारक बढ़ाने पर विभेदन क्षमता बढ़ती है।
अतः,सही क्रम है: प्रभावित नहीं होता,प्रभावित नहीं होता,बढ़ता है।

(D) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता का सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता अभिदृश्यक लेंस के व्यास के सीधे आनुपातिक होती है $(RP \propto D)$।
इसलिए,यदि दूरदर्शी के अभिदृश्यक का व्यास बड़ा है,तो इसकी विभेदन क्षमता अधिक होगी।

(C) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन की सीमा $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{1.22 \lambda}{2 NA}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $NA$ संख्यात्मक द्वारक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन की सीमा $(d)$,संख्यात्मक द्वारक $(NA)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $d \propto \frac{1}{NA}$।
अतः,यदि सूक्ष्मदर्शी का संख्यात्मक द्वारक $(NA)$ बढ़ाया जाता है,तो विभेदन की सीमा $(d)$ घट जाती है,जिससे सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता (resolving power) में सुधार होता है।

(A) दूरबीन की विभेदन क्षमता $(RP)$ को उन दो वस्तुओं के बीच के न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें दूरबीन द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
इसलिए,जब प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ कम होती है,तो दूरबीन की विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(B) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता का सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ टेलीस्कोप का द्वारक है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता द्वारक के सीधे समानुपाती होती है $(RP \propto D)$।
अतः,यदि टेलीस्कोप का द्वारक घटाया जाता है,तो उसकी विभेदन क्षमता भी घट जाएगी।

(B) वृत्ताकार द्वारक के लिए रेले के मानदंड के अनुसार,कोणीय विभेदन $\theta = 1.22 \lambda / D$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $D$ द्वारक का व्यास है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,त्रिज्या $r = 0.25 \ cm = 2.5 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए व्यास $D = 2r = 5.0 \times 10^{-3} \ m$.
कोणीय विभेदन $\theta = (1.22 \times 500 \times 10^{-9}) / (5.0 \times 10^{-3}) = 1.22 \times 10^{-4} \ rad$ है।
$L = 25 \ cm = 0.25 \ m$ की दूरी पर न्यूनतम पृथक्करण $d = L \times \theta$ है।
$d = 0.25 \times 1.22 \times 10^{-4} = 0.305 \times 10^{-4} \ m = 30.5 \times 10^{-6} \ m = 30.5 \mu m$.
अतः,न्यूनतम पृथक्करण लगभग $30 \mu m$ है।

(D) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता (resolving power) का सूत्र है:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
जहाँ $D$ ऑब्जेक्टिव का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है:
$D = 200 \text{ cm} = 2 \text{ m}$
$\lambda = 5000 \text{ \AA} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$
मान रखने पर:
$RP = \frac{2}{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{2}{6.1 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{2}{6.1} \times 10^{7}$
$RP \approx 0.32786 \times 10^{7}$
$RP \approx 3.28 \times 10^{6}$
अतः, टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता $3.28 \times 10^{6}$ है।

(A) दिया गया है, खंभों के बीच की दूरी $(d) = 3.14 \, m$.
विभेदन क्षमता $(\theta) = 1 \, min = (1/60)^{\circ} = (1/60) \times (\pi/180) \, \text{रेडियन}$.
माना वह अधिकतम दूरी जहाँ से दोनों खंभों को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है, $x$ है।
छोटे कोणों के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, $\theta = d/x$ (जहाँ $\theta$ रेडियन में है)।
$\theta = 1 \, min = (1/60) \times (\pi/180) \, rad$.
मान रखने पर: $(1/60) \times (\pi/180) = 3.14 / x$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$, इसलिए $(1/60) \times (3.14/180) = 3.14 / x$.
$1 / (60 \times 180) = 1 / x$.
$x = 60 \times 180 = 10800 \, m$.
$x = 10.8 \, km$.

(C) दोनों हेडलाइट्स के बस अलग-अलग दिखाई देने (resolved) की शर्त रेले मानदंड (Rayleigh criterion) द्वारा दी जाती है: $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$, जहाँ $\theta$ कोणीय विभेदन है, $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ पुतली का व्यास है।
साथ ही, $\theta = \frac{d}{x}$, जहाँ $d$ हेडलाइट्स के बीच की दूरी है और $x$ प्रेक्षक से जीप की दूरी है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{d}{x} = 1.22 \frac{\lambda}{D} \Rightarrow x = \frac{d \times D}{1.22 \times \lambda}$.
दिया गया है: $d = 1.2 \,m$, $D = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$, $\lambda = 5896 \,\text{Å} = 5896 \times 10^{-10} \,m$.
मान रखने पर: $x = \frac{1.2 \times 2 \times 10^{-3}}{1.22 \times 5896 \times 10^{-10}} \approx 3336 \,m$.
किलोमीटर में बदलने पर: $x \approx 3.34 \,km$.

(C) रेले के मानदंड (Rayleigh's criterion) के अनुसार, कोणीय विभेदन सीमा $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d_e}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d_e$ आँख की पुतली का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$, $d_e = 2.5 \times 10^{-3} \,m$, और दूरी $D = 10 \,km = 10^4 \,m$.
मान रखने पर:
$\theta = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-3}} = 2.44 \times 10^{-4} \,rad$.
विभेदन दूरी $a$ कोणीय विभेदन से $\theta = \frac{a}{D}$ द्वारा संबंधित है।
अतः, $a = D \times \theta = 10^4 \,m \times 2.44 \times 10^{-4} \,rad = 2.44 \,m$.