Resolving power-Human eye, Microscopes and Telescopes Questions in Hindi

(B) मानव आँख लगभग $555 \text{ nm}$ की तरंगदैर्ध्य के लिए सबसे अधिक संवेदनशील होती है।
इसे $\mathring{A}$ इकाई में बदलने पर: $555 \text{ nm} = 555 \times 10^{-9} \text{ m} = 5550 \times 10^{-10} \text{ m} = 5550 \text{ } \mathring{A}$.
दिए गए विकल्पों में से,$5500 \text{ } \mathring{A}$ मानव आँख की अधिकतम संवेदनशीलता वाली तरंगदैर्ध्य के सबसे निकट का मान है,जो दृश्य स्पेक्ट्रम के हरे प्रकाश क्षेत्र के अनुरूप है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक स्वस्थ मानव आँख की विभेदन सीमा वह न्यूनतम कोण है जो दो अलग-अलग बिंदुओं को आँख पर बनाना चाहिए ताकि वे अलग-अलग दिखाई दे सकें। एक स्वस्थ मानव आँख के लिए,यह सीमा लगभग $1$ मिनट होती है,जिसे $1'$ के रूप में दर्शाया जाता है।
चूँकि $60' = 1^\circ$,इसलिए $1' = \left( \frac{1}{60} \right)^\circ$ होता है।

(A) मानव आँख की विभेदन सीमा (limit of resolution) लगभग $1' = (1/60)^\circ$ है। स्तंभों को अलग-अलग देखने के लिए, उनके बीच का कोणीय पृथक्करण $\theta$ इस सीमा से अधिक होना चाहिए।
दिया गया है दूरी $x = 11 \, km = 11 \times 10^3 \, m$।
कोणीय विभेदन $\theta = (1/60)^\circ = (1/60) \times (\pi/180) \, \text{रेडियन}$।
स्तंभों के बीच की दूरी $d$, प्रेक्षक से दूरी $x$ और कोण $\theta$ के बीच का संबंध $\theta = d/x$ (छोटे कोणों के लिए) द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, $d = x \times \theta = (11 \times 10^3) \times (1/60) \times (\pi/180)$।
$d = (11000 \times 3.14) / (60 \times 180) \approx 34540 / 10800 \approx 3.198 \, m$।
निकटतम मान लेने पर, $d \approx 3.2 \, m$।

(A) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ उपयोग किए गए विकिरण की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(R.P. \propto 1/\lambda)$।
इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में इलेक्ट्रॉन पुंज का उपयोग किया जाता है, जिसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य बहुत कम $(\lambda \approx 1 \text{ \AA})$ होती है।
प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी में दृश्य प्रकाश का उपयोग किया जाता है, जिसकी तरंगदैर्ध्य बहुत अधिक $(\lambda \approx 5000 \text{ \AA})$ होती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पुंज की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में लगभग $5000$ गुना कम होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी की तुलना में लगभग $5000$ गुना अधिक होती है।

(A) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता को उन दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें अलग-अलग पहचाना जा सकता है।
स्वयं-प्रकाशित वस्तु के लिए,विभेदन क्षमता का सूत्र इस प्रकार है:
$RP = \frac{1}{d_{min}} = \frac{2\mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$
जहाँ:
$\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस (objective lens) के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है।
$\theta$ वस्तु से अभिदृश्यक तक प्रकाश के शंकु का अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण है।
$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{2\mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$ है।

(D) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है: $R.P. = \frac{2\mu \sin \theta}{\lambda}$.
यहाँ,$\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है,$\theta$ वस्तु से आने वाले प्रकाश के शंकु का आधा कोण है जो अभिदृश्यक में प्रवेश कर सकता है,और $\lambda$ वस्तु को प्रकाशित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ को दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रेले मानदंड के अनुसार,विभेदन क्षमता का सूत्र है:
$RP = \frac{1}{\Delta d} = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$
जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$n$ माध्यम का अपवर्तनांक है,और $\beta$ प्रकाश के शंकु का अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(RP \propto \frac{1}{\lambda})$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ का सूत्र: $R.P. = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $R.P. \propto \frac{1}{\lambda}$।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$, लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{red})$ से कम होती है, इसलिए लाल प्रकाश को नीले प्रकाश से बदलने पर तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ घट जाती है।
चूंकि $\lambda$ घटती है, इसलिए विभेदन क्षमता $(R.P.)$ बढ़ जाती है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $(x)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के सीधे समानुपाती होती है,जिसे संबंध $x \propto \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
दिया गया है: $x_1 = 0.1\,mm$,$\lambda_1 = 6000\ \mathring{A}$,और $\lambda_2 = 4800\ \mathring{A}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{0.1}{x_2} = \frac{6000}{4800}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{0.1}{x_2} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25$.
$x_2$ के लिए हल करने पर: $x_2 = \frac{0.1}{1.25} = 0.08\,mm$.

(D) किसी ऑप्टिकल उपकरण की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $R.P. \propto \frac{1}{\lambda}$।
इसलिए,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए विभेदन क्षमता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{5000 \; \mathring{A}}{4000 \; \mathring{A}} = \frac{5}{4}$
अतः,अनुपात $5:4$ है।

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा (न्यूनतम पृथक्करण) उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\text{विभेदन सीमा} \propto \lambda$.
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda_A = 2000 \; \mathring{A}$ और $\lambda_B = 3000 \; \mathring{A}$ हैं।
अतः,मापी गई दूरियों का अनुपात $\frac{P_A}{P_B} = \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$ होगा।
चूंकि $\frac{2}{3} < 1$,इसलिए $P_A < P_B$ प्राप्त होता है।

(D) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता का सूत्र है: $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$।
यहाँ,अभिदृश्यक का व्यास $D = 0.1 \ m$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$RP = \frac{0.1}{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{0.1}{7.32 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{10^{-1}}{7.32 \times 10^{-7}} = \frac{1}{7.32} \times 10^{6} \approx 0.1366 \times 10^{6} \approx 1.36 \times 10^{5} \ rad^{-1}$।
नोट: विभेदन क्षमता एक विमाहीन राशि है,और दिए गए विकल्प इस मान का परिमाण दर्शाते हैं।

(D) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता (resolving power) को दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,विभेदन क्षमता का सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता सीधे ऑब्जेक्टिव लेंस के द्वारक $D$ के समानुपाती होती है।
इसलिए,उच्च विभेदन क्षमता प्राप्त करने के लिए,ऑब्जेक्टिव लेंस का द्वारक जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए।

(B) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ को दो दूरस्थ वस्तुओं के बीच के उस न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिन्हें दूरदर्शी द्वारा अलग-अलग देखा जा सके।
गणितीय रूप से,विभेदन क्षमता का संबंध $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
चूंकि $R.P. \propto D$ होता है,इसलिए अभिदृश्यक लेंस का द्वारक $D$ बढ़ाने से दूरदर्शी की विभेदन क्षमता सीधे बढ़ जाती है,जिससे यह दूर की वस्तुओं के सूक्ष्म विवरणों को स्पष्ट रूप से देख पाता है।

(B) दूरदर्शी जैसे प्रकाशिक यंत्र की विभेदन क्षमता (resolving power) का अर्थ है दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की उसकी क्षमता।
रेले के मानदंड के अनुसार,दूरदर्शी की विभेदन क्षमता उसके अभिदृश्यक लेंस या द्वारक $(D)$ के व्यास के सीधे समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,विभेदन क्षमता $\frac{1}{\Delta\theta} = \frac{D}{1.22\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इसलिए,बड़ा द्वारक विभेदन क्षमता को बढ़ाता है,जिससे दूरस्थ खगोलीय पिंडों के सूक्ष्म विवरणों का अवलोकन करना संभव हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(A) दूरदर्शी की विभेदन सीमा $\Delta \theta$ का सूत्र है: $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 6000\ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\ m = 6 \times 10^{-7}\ m$ और $D = 5.0\ m$.
मान रखने पर: $\Delta \theta = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{5.0} = 1.464 \times 10^{-7}\ \text{रेडियन}$.
रेडियन को सेकंड में बदलने के लिए, हम $\frac{180}{\pi} \times 3600$ से गुणा करते हैं:
$\Delta \theta = 1.464 \times 10^{-7} \times \frac{180}{3.14159} \times 3600 \approx 0.03\ sec$.

(D) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता (resolving power) को दो दूरस्थ वस्तुओं के बीच के न्यूनतम कोणीय पृथक्करण $(\theta)$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिन्हें टेलीस्कोप द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
कोणीय विभेदन (विभेदन की सीमा) का सूत्र है:
$\theta = 1.22 \lambda / a$
इसलिए,विभेदन क्षमता $(R)$ है:
$R = 1 / \theta = a / (1.22 \lambda)$
जहाँ:
$a$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दूरबीन की विभेदन क्षमता को दो दूरस्थ वस्तुओं के बीच के उस न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें दूरबीन द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है।
गणितीय रूप से,विभेदन क्षमता का सूत्र है:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
इस प्रकार,विभेदन क्षमता सीधे अभिदृश्यक लेंस के व्यास के समानुपाती होती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता का सूत्र है: $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$।
दिया गया है:
लेंस का व्यास,$D = 1.22 \ m$।
तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$RP = \frac{1.22}{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{1}{5 \times 10^{-7}}$
$RP = 0.2 \times 10^7 = 2 \times 10^6$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दूरबीन की विभेदन क्षमता $R = \frac{a}{1.22 \lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
विभेदन क्षमता बढ़ाने के लिए,हमें द्वारक $a$ को बढ़ाना होगा।
दूरबीन की आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
आवर्धन क्षमता बढ़ाने के लिए,हमें अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o$ को बढ़ाना होगा।
अतः,विभेदन क्षमता और आवर्धन क्षमता दोनों को बढ़ाने के लिए,अभिदृश्यक लेंस के द्वारक और फोकस दूरी दोनों को बढ़ाया जाना आवश्यक है।

(C) टेलीस्कोप के लिए न्यूनतम कोणीय पृथक्करण (विभेदन की सीमा) $\Delta \theta$ का सूत्र है: $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$।
यहाँ,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$ है।
टेलीस्कोप के द्वारक (aperture) का व्यास $d = 2 \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}{2} \ rad$।
$\Delta \theta = 0.61 \times 5 \times 10^{-7} \ rad = 3.05 \times 10^{-7} \ rad$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\Delta \theta \approx 0.31 \times 10^{-6} \ rad$ प्राप्त होता है।

(D) टेलीस्कोप का कोणीय विभेदन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $d\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$.
यहाँ,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \;\mathring A = 5000 \times 10^{-10} \;m = 5 \times 10^{-7} \;m$.
टेलीस्कोप के द्वारक (aperture) का व्यास $D = 10 \;cm = 0.1 \;m = 10^{-1} \;m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-1}}$
$d\theta = 1.22 \times 5 \times 10^{-6}$
$d\theta = 6.1 \times 10^{-6} \;rad$.
यह मान $10^{-6} \;rad$ की कोटि का है।

(A) दूरबीन की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
प्रारंभ में,$RP_1 = \frac{D}{1.22 \lambda} = 0.2 \text{ सेकंड}$.
जब अभिदृश्यक लेंस का केंद्रीय आधा भाग ढक दिया जाता है,तो प्रभावी व्यास आधा हो जाता है $(D' = D/2)$.
अतः,नई विभेदन क्षमता $RP_2 = \frac{D/2}{1.22 \lambda} = \frac{1}{2} RP_1 = 0.1 \text{ सेकंड}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) टेलीस्कोप की रिजॉल्विंग पावर $(R.P.)$ का सूत्र $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि $R.P. \propto D$,यदि व्यास $1 \, m$ से बढ़कर $2.54 \, m$ हो जाता है,तो रिजॉल्विंग पावर $\frac{2.54}{1} = 2.54$ के गुणक से बढ़ जाती है।
अतः,समान तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिजॉल्विंग पावर $2.54$ गुना बढ़ जाती है।

(C) मानव आँख की कोणीय विभेदन सीमा रेले मानदंड द्वारा दी जाती है: $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$।
यहाँ,$\lambda = 500 \times 10^{-9} \, m$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$d = 5 \times 10^{-3} \, m$ पुतली का व्यास है,और $r = 400 \times 10^{3} \, m$ दूरी (ऊँचाई) है।
रैखिक विभेदन $x$ का मान $x = r \theta = \frac{1.22 \lambda r}{d}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$x = \frac{1.22 \times (500 \times 10^{-9} \, m) \times (400 \times 10^{3} \, m)}{5 \times 10^{-3} \, m}$।
$x = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7} \times 4 \times 10^{5}}{5 \times 10^{-3}}$।
$x = \frac{1.22 \times 20 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}} = \frac{24.4 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}} = 4.88 \times 10^{1} \approx 50 \, m$।

(D) टेलीस्कोप की कोणीय विभेदन क्षमता $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $D$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \ m$,$D = 5 \ m$,और दूरी $R = 38.6 \times 10^4 \ km = 38.6 \times 10^7 \ m$.
विभेदित की जा सकने वाली न्यूनतम दूरी $d = R \times \theta$ है।
मान रखने पर: $d = R \times \frac{1.22 \lambda}{D} = (38.6 \times 10^7) \times \frac{1.22 \times 6000 \times 10^{-10}}{5}$.
$d = \frac{38.6 \times 10^7 \times 1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{5}$.
$d = \frac{38.6 \times 1.22 \times 6}{5} = 56.51 \ m$.

$(A)$ टेलीस्कोप की विभेदन सीमा (limit of resolution) $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ टेलीस्कोप के द्वारक (aperture) का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 5500 \times 10^{-10} \text{ m}$, $d = 500 \text{ cm} = 5 \text{ m}$, और $r = 3.8 \times 10^5 \text{ km} = 3.8 \times 10^8 \text{ m}$.
दो बिंदुओं के बीच की दूरी $x$ जिसे विभेदित किया जा सकता है, वह $x = r \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $x = \frac{1.22 \lambda r}{d}$.
$x = \frac{1.22 \times (5500 \times 10^{-10} \text{ m}) \times (3.8 \times 10^8 \text{ m})}{5 \text{ m}}$.
$x = \frac{1.22 \times 5.5 \times 10^{-7} \times 3.8 \times 10^8}{5} \text{ m}$.
$x = \frac{1.22 \times 5.5 \times 3.8 \times 10}{5} \text{ m} = 51 \text{ m}$.

(C) टेलीस्कोप की कोणीय विभेदन क्षमता $\theta = \frac{1.22\lambda}{D}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास, $D = 10\; m$
वस्तुओं की दूरी, $d = 1\; km = 1000\; m$
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 5000\; \text{\AA} = 5000 \times 10^{-10}\; m = 5 \times 10^{-7}\; m$
मान लीजिए कि $x$ दो वस्तुओं के बीच की न्यूनतम दूरी है। तब, कोणीय पृथक्करण $\theta = \frac{x}{d}$ होता है।
$\theta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{x}{d} = \frac{1.22\lambda}{D}$
$x = \frac{1.22 \times \lambda \times d}{D}$
$x = \frac{1.22 \times (5 \times 10^{-7}\; m) \times (1000\; m)}{10\; m}$
$x = 1.22 \times 5 \times 10^{-4}\; m = 6.1 \times 10^{-4}\; m = 0.61\; mm$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, यह $5\; mm$ के क्रम का है।

(C) एक ऑप्टिकल सिस्टम द्वारा दो बिंदु वस्तुओं के विभेदन (resolution) के लिए शर्त रेले मानदंड (Rayleigh criterion) द्वारा दी जाती है: $\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$,जहाँ $\theta$ कोणीय पृथक्करण है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $a$ एपर्चर (पुतली) का व्यास है।
समस्या की ज्यामिति से,कोणीय पृथक्करण $\theta = \frac{x}{d}$ द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $x$ बिंदुओं के बीच की दूरी है और $d$ बिंदुओं से प्रेक्षक की दूरी है।
$\theta$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{1.22 \lambda}{a} = \frac{x}{d}$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{x \cdot a}{1.22 \lambda}$.
दिए गए मान: $x = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$a = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{(1 \times 10^{-3} \ m) \times (3 \times 10^{-3} \ m)}{1.22 \times 500 \times 10^{-9} \ m}$
$d = \frac{3 \times 10^{-6}}{610 \times 10^{-9}} = \frac{3000}{610} \approx 4.918 \ m$.
निकटतम पूर्णांक में,अधिकतम दूरी लगभग $5 \ m$ है।

(C) प्रकाश पुंज का उपयोग करके किसी वस्तु की स्थिति निर्धारित करने की सटीकता विवर्तन की घटना द्वारा सीमित होती है।
रेले मानदंड के अनुसार,एक ऑप्टिकल सिस्टम की विभेदन क्षमता उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,विभेदन की सीमा या न्यूनतम विभेद्य दूरी $d$ को $d \approx \frac{\lambda}{2 \cdot NA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $NA$ संख्यात्मक एपर्चर है।
अधिकतम सटीकता प्राप्त करने के लिए,न्यूनतम विभेद्य दूरी $d$ यथासंभव कम होनी चाहिए।
चूंकि $d \propto \lambda$,इसलिए छोटी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ उच्च सटीकता प्रदान करती है।
अतः,यदि प्रकाश की तरंगदैर्ध्य कम हो तो अधिकतम सटीकता प्राप्त होती है।

(D) किसी प्रकाशिक यंत्र की विभेदन क्षमता $(RP)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
अतः,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए विभेदन क्षमता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{5000 \ \mathring{A}}{4000 \ \mathring{A}} = \frac{5}{4}$।
इस प्रकार,अनुपात $5:4$ है।

(B) मानव आँख की विभेदन क्षमता (angular resolution) लगभग $1 \, \text{minute}$ होती है।
इसे रेडियन में बदलने पर: $\theta = 1' = \frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} \, \text{rad}$ प्राप्त होता है।
विभेदन क्षमता का सूत्र $\theta = \frac{d}{D}$ है, जहाँ $d$ खंभों के बीच की न्यूनतम दूरी है और $D$ प्रेक्षक से दूरी है।
यहाँ $D = 11 \, km = 11000 \, m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} = \frac{d}{11000}$।
$d = \frac{11000 \times \pi}{60 \times 180} \approx \frac{11000 \times 3.14}{10800} \approx 3.2 \, m$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्णांक मान $3 \, m$ है।

(C) दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-8} \, cm = 5 \times 10^{-5} \, cm$
ऑब्जेक्टिव का व्यास $D = 10 \, cm$
वस्तुओं की दूरी $d = 1 \, km = 10^5 \, cm$
टेलीस्कोप का कोणीय विभेदन:
$\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D} = 1.22 \times \frac{5000 \times 10^{-8}}{10} = 1.22 \times 5 \times 10^{-6} \, rad$
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\theta \approx \tan \theta = \frac{x}{d}$,जहाँ $x$ दो वस्तुओं के बीच की न्यूनतम दूरी है।
$x = \theta \times d = (1.22 \times 5 \times 10^{-6}) \times 10^5$
$x = 1.22 \times 5 \times 10^{-1} \, cm = 0.61 \, cm = 6.1 \, mm$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $5 \, mm$ है।

(D) किसी प्रकाशीय उपकरण की विभेदन क्षमता $(RP)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए विभेदन क्षमता का अनुपात होगा:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{5000 \, \mathring A}{4000 \, \mathring A} = \frac{5}{4}$।
इस प्रकार,अनुपात $5:4$ है।

(C) आंख के लेंस का कोणीय विभेदन $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
ज्यामिति से,$\theta \approx \sin \theta = \frac{y}{x}$,जहां $y = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$ बिंदुओं के बीच की दूरी है,$x$ आंख से दूरी है,और $D = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$ आंख के लेंस का व्यास है।
$\theta$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{y}{x} = \frac{1.22 \lambda}{D}$
$x = \frac{y \cdot D}{1.22 \lambda}$
मान रखने पर:
$x = \frac{(10^{-3} \, m) \times (3 \times 10^{-3} \, m)}{1.22 \times (500 \times 10^{-9} \, m)}$
$x = \frac{3 \times 10^{-6}}{6.1 \times 10^{-7}} = \frac{30}{6.1} \approx 4.92 \, m \approx 5 \, m$.
अतः,अधिकतम दूरी लगभग $5 \, m$ है।

(A) मानव आँख दृश्य स्पेक्ट्रम में विद्युत चुम्बकीय विकिरण के प्रति संवेदनशील होती है।
तरंगदैर्ध्य की यह सीमा लगभग $400 \, nm$ (बैंगनी) से $700 \, nm$ (लाल) तक होती है।
इसलिए,सही परास $400 \, nm$ से $700 \, nm$ है।

(A) कोणीय विभेदन $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{d}{r}$ है,जहाँ $d$ वस्तुओं के बीच की दूरी है और $r$ आँख से उनकी दूरी है।
दिया गया है $\theta = 1' = \left( \frac{1}{60} \right)^\circ = \left( \frac{1}{60} \right) \times \frac{\pi}{180} \, \text{rad}$.
यहाँ $d = 3 \, m$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} = \frac{3}{r}$
$r = 3 \times 60 \times \frac{180}{\pi}$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{32400}{3.14159} \approx 10313 \, m \approx 10.3 \, km$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $10 \, km$ है।

(A) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $(R.L.)$ का सूत्र है: $R.L. = \frac{0.61 \lambda}{NA}$, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $NA$ संख्यात्मक एपर्चर है।
इससे यह स्पष्ट है कि विभेदन सीमा तरंगदैर्ध्य के सीधे समानुपाती होती है: $(R.L.) \propto \lambda$.
दिया गया है: $(R.L.)_1 = 0.1 \, mm$, $\lambda_1 = 6000 \, Å$, और $\lambda_2 = 4800 \, Å$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{(R.L.)_1}{(R.L.)_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
मान रखने पर: $\frac{0.1}{(R.L.)_2} = \frac{6000}{4800}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{0.1}{(R.L.)_2} = \frac{5}{4}$.
$(R.L.)_2$ के लिए हल करने पर: $(R.L.)_2 = 0.1 \times \frac{4}{5} = 0.08 \, mm$.

(B) एक ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$RP = \frac{2\mu \sin \theta}{\lambda}$
जहाँ $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है और $\theta$ प्रकाश के शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 4000\,\mathring{A}$ के लिए,विभेदन क्षमता $RP_1 = \frac{k}{4000}$ है (जहाँ $k = 2\mu \sin \theta$).
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 6000\,\mathring{A}$ के लिए,विभेदन क्षमता $RP_2 = \frac{k}{6000}$ है।
विभेदन क्षमताओं का अनुपात:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{k/4000}{k/6000} = \frac{6000}{4000} = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $3:2$ है।

(A) टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(m)$ ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी $(f_o)$ और आईपीस की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$m = \frac{f_o}{f_e} = \frac{30 \, \text{cm}}{2.5 \, \text{cm}} = 12$.
टेलीस्कोप की रिजॉल्विंग लिमिट $(\Delta \theta)$ का सूत्र है:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ ऑब्जेक्टिव द्वारक का व्यास है।
यहाँ $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$ और $D = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}$ है।
मान रखने पर:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}{0.1} = 1.22 \times 5 \times 10^{-6} = 6.1 \times 10^{-6} \, \text{rad}$.
अतः,रिजॉल्विंग लिमिट $6.1 \times 10^{-6} \, \text{rad}$ है और आवर्धन क्षमता $12$ है।

(A) मानव आँख का कोणीय विभेदन $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ पुतली का व्यास है।
दी गई त्रिज्या $r = 0.25 \ cm$,इसलिए व्यास $D = 2r = 0.50 \ cm = 5 \times 10^{-3} \ m$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$ है।
कोणीय विभेदन $\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} = 1.22 \times 10^{-4} \ rad$ है।
$L = 25 \ cm = 0.25 \ m$ की दूरी पर न्यूनतम पृथक्करण $d = L \times \Delta \theta$ है।
$d = 0.25 \times 1.22 \times 10^{-4} \ m = 0.305 \times 10^{-4} \ m = 30.5 \ \mu m$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $30 \ \mu m$ है।

(A) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता उस सबसे छोटी वस्तु को निर्धारित करती है जिसे वह विभेदित कर सकता है। न्यूनतम विभेद्य दूरी $d_{\min} = \frac{0.61 \lambda}{\sin \alpha}$ द्वारा दी जाती है।
सूक्ष्मदर्शी का कोणीय विभेदन $\theta_0 = \frac{d_{\min}}{D} = \frac{0.61 \lambda}{D \sin \alpha}$ है,जहाँ $D = 25 \ cm = 250 \ mm$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है।
मानव आँख की कोणीय विभेदन सीमा $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ है,जहाँ $d = 4.0 \ mm$ पुतली का व्यास है।
सूक्ष्मदर्शी द्वारा विभेदित सबसे छोटी वस्तु को देखने के लिए,आवर्धित कोण $\theta$ को आँख की विभेदन सीमा के बराबर होना चाहिए। आवर्धन क्षमता $m$,आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण और निकट बिंदु पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण का अनुपात है।
$m = \frac{\theta}{\theta_0} = \frac{1.22 \lambda / d}{0.61 \lambda / (D \sin \alpha)} = \frac{2 D \sin \alpha}{d}$.
मान रखने पर: $m = \frac{2 \times 250 \ mm \times 0.24}{4.0 \ mm} = \frac{120}{4} = 30$.

(A) आंख का कोणीय विभेदन $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $D$ पुतली का व्यास है।
$x$ दूरी और $h$ आकार की वस्तु के लिए,अंतरित कोण $\theta = \frac{h}{x}$ है।
चूंकि वस्तु 'ठीक-ठीक विभेदित' है,इसलिए $\frac{h}{x} \propto \frac{\lambda}{D}$ होगा।
अतः,$x \propto \frac{hD}{\lambda}$। यदि वस्तु का आकार $h$ स्थिर रहता है,तो $\frac{x_2}{x_1} = \frac{D_2}{D_1} \times \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होगा।
दिया गया है: $x_1 = 25 \ cm$,$\lambda_1 = 500 \ nm$,$D_1 = 1 \ mm$,$\lambda_2 = 400 \ nm$,और $D_2 = 0.8 \ mm$।
मान रखने पर: $x_2 = 25 \times \frac{0.8}{1} \times \frac{500}{400} = 25 \times 0.8 \times 1.25 = 25 \times 1 = 25 \ cm$।

(B) $V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A} = \frac{12.27}{\sqrt{40 \times 10^3}} \times 10^{-10} \ m$ द्वारा दी जाती है।
इसकी गणना करने पर,हमें $\lambda_e \approx 6.13 \times 10^{-12} \ m$ प्राप्त होता है।
सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $R$ उपयोग किए गए विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $R \propto \frac{1}{\lambda}$।
अतः,इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी $(R_1)$ और ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी $(R_2)$ की विभेदन क्षमता का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{6 \times 10^{-7}}{6.13 \times 10^{-12}} \approx 9.78 \times 10^4$।

(D) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{1.22 \lambda}{2 \sin \theta}$, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $\theta$ अर्ध-शंकु कोण है।
दिया गया है: $\lambda = 5500 \text{ Å} = 5.5 \times 10^{-5} \text{ cm}$ और $\theta = 30^o$।
मान रखने पर:
$d = \frac{1.22 \times 5.5 \times 10^{-5} \text{ cm}}{2 \times \sin 30^o}$
चूंकि $\sin 30^o = 0.5$, इसलिए:
$d = \frac{1.22 \times 5.5 \times 10^{-5}}{2 \times 0.5} \text{ cm}$
$d = 1.22 \times 5.5 \times 10^{-5} \text{ cm}$
$d = 6.71 \times 10^{-5} \text{ cm} \approx 6.7 \times 10^{-5} \text{ cm}$।

(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता (resolving power) रेले मानदंड (Rayleigh criterion) द्वारा निर्धारित की जाती है,जिसके अनुसार न्यूनतम विभेदन दूरी $(d)$ $d = \frac{1.22 \lambda}{2 \text{NA}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\text{NA}$ संख्यात्मक एपर्चर (numerical aperture) है।
एक सामान्य सूक्ष्मदर्शी के लिए,अधिकतम संख्यात्मक एपर्चर $(\text{NA})$ लगभग $1.0$ होता है।
दृश्य प्रकाश की सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य $\lambda = 400 \ nm$ का उपयोग करके,हम न्यूनतम विभेदन आकार की गणना करते हैं:
$d = \frac{1.22 \times 400 \ nm}{2 \times 1.0} = \frac{488}{2} \ nm = 244 \ nm$.
इस प्रकार,सबसे छोटा कण आकार जिसे हल किया जा सकता है वह लगभग $244 \ nm$ है।

(C) रेले के मानदंड (Rayleigh's criterion) के अनुसार,$D$ व्यास वाले एक वृत्ताकार छिद्र का कोणीय विभेदन $\Delta \theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
$z$ दूरी पर स्थित दो वस्तुओं के बीच कोणीय पृथक्करण $\Delta \theta = \frac{s}{z}$ होता है।
$\Delta \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{s}{z} = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ प्राप्त होता है।
$D$ के लिए हल करने पर,$D = 1.22 \frac{\lambda z}{s}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $\lambda = 600 \times 10^{-9} \ m$,$z = 10 \times 10^3 \ m$,$s = 0.12 \ m$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $D = 1.22 \times \frac{600 \times 10^{-9} \times 10^4}{0.12} = 1.22 \times \frac{6 \times 10^{-3}}{0.12} = 1.22 \times 0.05 \ m = 0.061 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $D = 0.061 \times 100 \ cm = 6.1 \ cm \approx 6 \ cm$.