Resolving power-Human eye, Microscopes and Telescopes Questions in Hindi

(D) दो बिंदुओं के बीच की दूरी $x = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$ है।
पुतली का व्यास $d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$ है।
प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda = 500 \,nm = 5 \times 10^{-7} \,m$ है।
रेले मानदंड के अनुसार, दो बिंदुओं के विभेदन के लिए कोणीय पृथक्करण $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
साथ ही, कोणीय पृथक्करण को $\theta = \frac{x}{D}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $D$ अधिकतम दूरी है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{x}{D} = \frac{1.22 \lambda}{d}$।
$D$ के लिए हल करने पर: $D = \frac{x d}{1.22 \lambda}$।
मान रखने पर: $D = \frac{(2 \times 10^{-3} \,m) \times (3 \times 10^{-3} \,m)}{1.22 \times (5 \times 10^{-7} \,m)}$।
$D = \frac{6 \times 10^{-6}}{6.1 \times 10^{-7}} = \frac{60}{6.1} \approx 9.836 \,m$।
निकटतम पूर्णांक में, हमें $D \approx 10 \,m$ प्राप्त होता है।

(A) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता (resolving power) $R = \frac{1}{d} = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ दो वस्तुओं के बीच की न्यूनतम दूरी है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d$ माध्यम के अपवर्तनांक $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(d \propto \frac{1}{n})$।
हवा के लिए $(n_1 = 1)$ दिया गया है,$d_1 = 6 \mu m$।
$n_2 = 1.5$ अपवर्तनांक वाले माध्यम के लिए,नई न्यूनतम दूरी $d_2$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$d_2 = \frac{d_1 \times n_1}{n_2} = \frac{6 \mu m \times 1}{1.5} = 4 \mu m$।
इसलिए,न्यूनतम दूरी $4 \mu m$ है।

(C) टेलीस्कोप के लिए विभेदन सीमा $(\theta_R)$ का सूत्र है:
$\theta_R = \frac{1.22 \lambda}{a}$
दिया गया है:
$\lambda = 6000 \text{ \AA} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$a = 100 \text{ inch} = 100 \times 2.54 \text{ cm} = 254 \text{ cm} = 2.54 \text{ m}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta_R = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2.54}$
$\theta_R \approx \frac{7.32 \times 10^{-7}}{2.54} \approx 2.88 \times 10^{-7} \text{ rad}$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर:
$\theta_R \approx 2.9 \times 10^{-7} \text{ rad}$

(B) माइक्रोस्कोप की विभेदन सीमा का सूत्र $d = \frac{\lambda}{2 NA}$ है।
दिया गया है:
संख्यात्मक एपर्चर,$NA = 0.8$
तरंग दैर्ध्य,$\lambda = 0.6 \mu m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{0.6}{2 \times 0.8}$
$d = \frac{0.6}{1.6}$
$d = \frac{6}{16} \mu m$
$d = \frac{3}{8} \mu m$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सूक्ष्मदर्शी द्वारा दो निकटवर्ती वस्तुओं को ठीक-ठीक विभेदित करने के लिए न्यूनतम दूरी $(d_{\min})$ का सूत्र है:
$d_{\min} = \frac{1.22 f \lambda}{D}$
दिया गया है:
$f = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$
$\lambda = 5500 \text{ Å} = 5500 \times 10^{-10} \text{ m}$
$D = 8 \text{ mm} = 8 \times 10^{-3} \text{ m}$
मान रखने पर:
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-2} \times 5500 \times 10^{-10}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 5500 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{33550 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = 4193.75 \times 10^{-9} \text{ m} \approx 4.19 \times 10^{-6} \text{ m}$
$d_{\min} \approx 4.2 \mu\text{m}$

(A) दिया गया है: पुतली का व्यास, $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$. वस्तुओं की दूरी, $D = 20 \,m$. प्रकाश की तरंग दैर्ध्य, $\lambda = 600 \,nm = 6 \times 10^{-7} \,m$.
एक गोलाकार द्वारक (जैसे आँख की पुतली) के लिए विभेदन की सीमा रेले मानदंड द्वारा दी जाती है:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
$D$ दूरी पर स्थित दो वस्तुओं के बीच न्यूनतम पृथक्करण $y = \theta \times D$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7} \times 20}{2 \times 10^{-3}}$
$y = 1.22 \times 6 \times 10^{-4} \times 10 = 7.32 \times 10^{-3} \,m$
$y = 7.32 \,mm$.
अतः, मानव आँख द्वारा विभेदित की जा सकने वाली न्यूनतम दूरी $7.32 \,mm$ है।

(B) दिया गया है:
ऑब्जेक्टिव का व्यास,$d = 3.6 \ m$
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$
टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(d\theta)$ का सूत्र:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
मान रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 540 \times 10^{-9} \ m}{3.6 \ m}$
$d\theta = \frac{658.8 \times 10^{-9}}{3.6} \ rad$
$d\theta = 183 \times 10^{-9} \ rad$
$d\theta = 1.83 \times 10^{-7} \ rad$

(A) दूरबीन के लिए विभेदन सीमा या कोणीय विभेदन का सूत्र इस प्रकार है:
$\alpha_{\min} = \frac{1.22 \lambda}{D}$
दिए गए मान हैं:
$\alpha_{\min} = 3.0 \times 10^{-7} \text{ rad}$
$\lambda = 525 \text{ nm} = 525 \times 10^{-9} \text{ m}$
अभिदृश्यक लेंस के व्यास $(D)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$D = \frac{1.22 \lambda}{\alpha_{\min}}$
मान रखने पर:
$D = \frac{1.22 \times 525 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}}$
$D = \frac{640.5 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}}$
$D = 213.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.135 \text{ m}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $D = 2.1 \text{ m}$ है।

(A) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा का सूत्र है: $\alpha = \frac{1.22 \lambda}{a}$, जहाँ $\alpha$ कोणीय विभेदन है, $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिए गए मान हैं: $\alpha = 2.5 \times 10^{-7} \text{ rad}$ और $\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$।
$a$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $a = \frac{1.22 \lambda}{\alpha}$।
मान रखने पर: $a = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-7}}$।
$a = \frac{610 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-7}} = 244 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.44 \text{ m}$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $2.44 \text{ m} = 244 \text{ cm}$।
अतः, ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास $244 \text{ cm}$ है।

(A) टेलीस्कोप के विभेदन की सीमा (limit of resolution) का सूत्र है:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश का तरंगदैर्ध्य है और $d$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
$\lambda = 6400 \text{ Å} = 6400 \times 10^{-10} \,m = 6.4 \times 10^{-7} \,m$
$d = 200 \,cm = 2 \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\theta = \frac{1.22 \times 6.4 \times 10^{-7}}{2}$
$\theta = 1.22 \times 3.2 \times 10^{-7}$
$\theta = 3.904 \times 10^{-7} \,rad$
निकटतम सार्थक मान तक, $\theta \approx 3.9 \times 10^{-7} \,rad$ प्राप्त होता है।

(A) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा $(d\theta)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है:
$\lambda = 4538 \ \text{Å} = 4538 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$a = 1 \ \text{m}$
मान रखने पर:
$d\theta = \frac{1.22 \times 4538 \times 10^{-10}}{1}$
$d\theta = 5536.36 \times 10^{-10} \ \text{rad}$
$d\theta \approx 5.54 \times 10^{-7} \ \text{rad}$

(C) कोणीय विभेदन $\theta$ को दो बिंदुओं के बीच की दूरी $x$ और आँख से दूरी $d$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है, अर्थात $\theta = \frac{x}{d}$।
यह दिया गया है कि प्रिंटर $300 \text{ dots per inch}$ प्रिंट करता है, इसलिए दो निकटवर्ती बिंदुओं के बीच की दूरी $x = \frac{1 \text{ inch}}{300} = \frac{2.54 \text{ cm}}{300}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $5.8 \times 10^{-4} = \frac{2.54 \text{ cm} / 300}{d}$।
$d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{2.54}{300 \times 5.8 \times 10^{-4}} \text{ cm}$।
$d = \frac{2.54}{0.174} \text{ cm} \approx 14.597 \text{ cm}$।
अतः, न्यूनतम दूरी लगभग $14.59 \text{ cm}$ है।

(B) टेलीस्कोप की कोणीय विभेदन क्षमता का सूत्र $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{R}$ है।
दिया गया है:
$\theta = 5 \times 10^{-7} \text{ rad}$
$\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 \times 10^{-7} = 1.22 \times \frac{500 \times 10^{-9}}{R}$
$R$ के लिए हल करने पर:
$R = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-7}}$
$R = 1.22 \times 100 \times 10^{-2}$
$R = 1.22 \text{ m}$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$R = 1.22 \times 100 \text{ cm} = 122 \text{ cm}$.

(D) टेलीस्कोप का कोणीय विभेदन $\theta$,सूत्र $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ ऑब्जेक्टिव लेंस का व्यास है।
दिया गया है: $\theta = 3.0 \times 10^{-7}$ रेडियन,$\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$a$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $a = \frac{1.22 \lambda}{\theta}$.
मान रखने पर: $a = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}} = \frac{610 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}} = 203.33 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.0333 \text{ m}$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $2.0333 \text{ m} = 203.33 \text{ cm}$.
निकटतम पूर्णांक $203 \text{ cm}$ है। नोट: दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न की अपेक्षित सीमा में विसंगति प्रतीत होती है; हालाँकि,भौतिकी के सूत्र के अनुसार गणना किया गया मान $203 \text{ cm}$ है।