Spherical Mirror Questions in Hindi

(N/A) सुई की ऊँचाई,$h_{1} = 4.5 \; cm$.
वस्तु की दूरी,$u = -12 \; cm$.
उत्तल दर्पण की फोकस दूरी,$f = 15 \; cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{15} - (\frac{1}{-12}) = \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{4+5}{60} = \frac{9}{60}$.
अतः,$v = \frac{60}{9} \approx 6.7 \; cm$.
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $6.7 \; cm$ की दूरी पर बनता है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{6.7}{-12} \approx 0.56$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_{2} = m \times h_{1} = 0.56 \times 4.5 \approx 2.5 \; cm$.
प्रतिबिंब आभासी,सीधा और छोटा है।
जैसे-जैसे सुई को दर्पण से दूर ले जाया जाता है,वस्तु की दूरी $u$ बढ़ती है,जिससे प्रतिबिंब की दूरी $v$ फोकस $f$ की ओर बढ़ती है और प्रतिबिंब का आकार धीरे-धीरे कम होता जाता है।

(N/A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $(f)$ ऋणात्मक होती है,$f < 0$। जब वस्तु को दर्पण के बाईं ओर रखा जाता है,तो वस्तु की दूरी $(u)$ ऋणात्मक होती है,$u < 0$। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ प्राप्त होता है। चूंकि वस्तु $f$ और $2f$ के बीच स्थित है,हमारे पास $2f < u < f$ है (परिमाण को ध्यान में रखते हुए)। इससे $\frac{1}{2f} > \frac{1}{u} > \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{v} < 0$। अतः,$v$ ऋणात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक है और $2f$ के पीछे बनता है।
$(b)$ उत्तल दर्पण के लिए,$f > 0$ और $u < 0$। $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ से,चूंकि $f > 0$ और $u < 0$ है,$\frac{1}{v}$ हमेशा धनात्मक रहता है। अतः,$v > 0$,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब हमेशा आभासी होता है और दर्पण के पीछे बनता है,चाहे वस्तु की दूरी कुछ भी हो।
$(c)$ उत्तल दर्पण के लिए,$f > 0$ और $u < 0$। $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ से,हम देखते हैं कि $\frac{1}{v} > \frac{1}{f}$,जिसका अर्थ है कि $v < f$। अतः,प्रतिबिंब हमेशा ध्रुव और फोकस के बीच स्थित होता है। आवर्धन $m = -\frac{v}{u}$ और $|v| < |u|$ होने के कारण,प्रतिबिंब छोटा होता है।
$(d)$ अवतल दर्पण के लिए,$f < 0$। जब $0 < |u| < |f|$ होता है,तो $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ का परिणाम $\frac{1}{v} > 0$ होता है,इसलिए $v > 0$। प्रतिबिंब आभासी है। चूंकि $|v| > |u|$ है,आवर्धन $m = |\frac{v}{u}| > 1$ है,इसलिए प्रतिबिंब आवर्धित (बड़ा) होता है।

(N/A) $(1)$ वक्रता त्रिज्या $(R)$: उस गोलीय खोल की त्रिज्या जिसका दर्पण एक भाग है,वक्रता त्रिज्या कहलाती है।
$(2)$ वक्रता केंद्र $(C)$: उस गोलीय खोल का केंद्र जिसका दर्पण एक भाग है,वक्रता केंद्र कहलाता है।
$(3)$ ध्रुव $(P)$: गोलीय दर्पण की परावर्तक सतह के ज्यामितीय केंद्र को ध्रुव $(P)$ कहते हैं।
$(4)$ मुख्य अक्ष: दर्पण के ध्रुव $(P)$ और वक्रता केंद्र $(C)$ से होकर गुजरने वाली काल्पनिक रेखा को मुख्य अक्ष कहते हैं।
$(5)$ द्वारक (एपर्चर): गोलीय दर्पण की परावर्तक सतह के व्यास को उसका द्वारक कहते हैं।
$(6)$ मुख्य फोकस $(F)$: मुख्य अक्ष के समानांतर किरणें परावर्तन के बाद मुख्य अक्ष पर जिस बिंदु पर अभिसरित होती हैं (अवतल दर्पण) या जिस बिंदु से अपसरित होती हुई प्रतीत होती हैं (उत्तल दर्पण),उस बिंदु को मुख्य फोकस कहते हैं।
$(7)$ फोकल तल: मुख्य फोकस से गुजरने वाला और मुख्य अक्ष के लंबवत तल को फोकल तल कहते हैं।
$(8)$ फोकस दूरी $(f)$: दर्पण के ध्रुव $(P)$ और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच की दूरी को फोकस दूरी कहते हैं।
$(9)$ उपाक्षीय किरणें (पैराक्सियल किरणें): प्रकाश की वे किरणें जो मुख्य अक्ष के निकट होती हैं और उसके साथ छोटा कोण बनाती हैं,उन्हें उपाक्षीय किरणें कहते हैं।

(N/A) माना $C$ गोलीय दर्पण का वक्रता केंद्र है और $P$ ध्रुव है।
मुख्य अक्ष के समानांतर एक प्रकाश किरण दर्पण पर बिंदु $M$ पर आपतित होती है। रेखा $CM$ बिंदु $M$ पर दर्पण के लंबवत है।
माना $\theta$ आपतन कोण है। परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण भी $\theta$ होगा।
ज्यामिति से,$\angle MCP = \theta$ (एकांतर कोण) और $\angle MFP = 2\theta$ ($\triangle MCF$ का बहिष्कोण विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है)।
माना $MD$ बिंदु $M$ से मुख्य अक्ष पर लंब है। पैरेक्सियल किरणों के लिए,$D$,$P$ के बहुत करीब है,इसलिए $CD \approx CP = R$ और $FD \approx FP = f$ होगा।
$\triangle MDC$ में,$\tan \theta = \frac{MD}{CD} \approx \frac{MD}{R}$। छोटे $\theta$ के लिए,$\tan \theta \approx \theta$,इसलिए $\theta \approx \frac{MD}{R}$।
$\triangle MDF$ में,$\tan 2\theta = \frac{MD}{FD} \approx \frac{MD}{f}$। छोटे $\theta$ के लिए,$\tan 2\theta \approx 2\theta$,इसलिए $2\theta \approx \frac{MD}{f}$।
पहले समीकरण से $\theta$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $2(\frac{MD}{R}) = \frac{MD}{f}$।
अतः,$R = 2f$ या $f = \frac{R}{2}$।

(N/A) हम किसी वस्तु पर स्थित एक बिंदु से निकलने वाली कोई भी दो किरणें ले सकते हैं,उनके पथ का अनुरेखण कर सकते हैं,उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात कर सकते हैं और इस प्रकार,गोलीय दर्पण पर परावर्तन के कारण उस बिंदु का प्रतिबिंब प्राप्त कर सकते हैं।
हालाँकि,व्यवहार में,निम्नलिखित में से किन्हीं दो किरणों को चुनना सुविधाजनक होता है:
$(i)$ बिंदु से आने वाली किरण जो मुख्य अक्ष के समानांतर हो। परावर्तित किरण दर्पण के मुख्य फोकस से होकर गुजरती है।
$(ii)$ अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र से गुजरने वाली या उत्तल दर्पण के लिए वक्रता केंद्र की ओर जाती हुई प्रतीत होने वाली किरण। परावर्तित किरण उसी पथ पर वापस लौट जाती है।
$(iii)$ दर्पण के ध्रुव की ओर निर्देशित किरण। परावर्तित किरण परावर्तन के नियमों का पालन करती है,जो मुख्य अक्ष के साथ समान कोण बनाती है।
$(iv)$ अवतल दर्पण के फोकस से गुजरने वाली या उत्तल दर्पण के फोकस की ओर निर्देशित किरण। परावर्तित किरण मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती है।

(N/A) चित्र वस्तु $AB$ के बिंदु $A$ से निकलने वाली तीन किरणों पर विचार करते हुए किरण आरेख को दर्शाता है।
$1$. मुख्य अक्ष के समानांतर एक किरण,परावर्तन के बाद मुख्य फोकस $F$ से होकर गुजरती है।
$2$. वक्रता केंद्र $C$ से होकर गुजरने वाली किरण उसी पथ पर वापस परावर्तित हो जाती है।
$3$. ध्रुव $P$ पर आपतित किरण मुख्य अक्ष के साथ समान कोण पर परावर्तित होती है।
ये तीनों किरणें बिंदु $A^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,जो बिंदु $A$ का प्रतिबिंब है। $A^{\prime}$ से मुख्य अक्ष पर लंब डालने पर,हमें वस्तु $AB$ का प्रतिबिंब $A^{\prime}B^{\prime}$ प्राप्त होता है। चूँकि किरणें वास्तव में $A^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है।

(N/A) मान लीजिए कि एक वस्तु $AB$ अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र $C$ से दूर मुख्य अक्ष के लंबवत रखी गई है।
बिंदु $A$ से निकलने वाली किरण $AM$ दर्पण पर आपतित होकर मुख्य फोकस $F$ से होकर गुजरती है।
बिंदु $A$ से निकलने वाली किरण $AP$ ध्रुव $P$ पर आपतित होकर परावर्तन के नियम का पालन करती है,जिससे $\angle APB = \angle A'PB'$ होता है।
ये दोनों परावर्तित किरणें $A'$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,जिससे वास्तविक प्रतिबिंब $A'B'$ बनता है।
मान लीजिए $FP = f$ (फोकस दूरी),$CP = R$ (वक्रता त्रिज्या),$BP = u$ (वस्तु दूरी) और $B'P = v$ (प्रतिबिंब दूरी) है।
पैराक्सियल किरणों के लिए,$MP$ को मुख्य अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा माना जा सकता है।
समकोण त्रिभुज $\triangle A'B'F$ और $\triangle MPF$ समरूप हैं।
इसलिए,$\frac{B'A'}{PM} = \frac{B'F}{FP}$। चूँकि $PM = AB$,हमारे पास $\frac{B'A'}{AB} = \frac{B'F}{FP} = \frac{B'P - FP}{FP} = \frac{v - f}{f} \quad \dots (1)$ है।
इसी प्रकार,$\triangle A'B'P$ और $\triangle ABP$ समरूप हैं।
इसलिए,$\frac{B'A'}{AB} = \frac{B'P}{BP} = \frac{v}{u} \quad \dots (2)$ है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{v - f}{f} = \frac{v}{u}$ प्राप्त होता है।
$v$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{f} - \frac{1}{v} = \frac{1}{u}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर दर्पण समीकरण: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ प्राप्त होता है।

(N/A) $(1)$ वस्तु की स्थिति: $(u = \infty)$
प्रतिबिंब की स्थिति: मुख्य फोकस $F$ पर
प्रतिबिंब का प्रकार: वास्तविक और उल्टा
प्रतिबिंब का आकार: अत्यधिक छोटा (बिंदु के आकार का)
आवर्धन: $m \approx 0$
$(2)$ वस्तु की स्थिति: $C$ से परे $(\infty > u > R)$
प्रतिबिंब की स्थिति: $F$ और $C$ के बीच
प्रतिबिंब का प्रकार: वास्तविक और उल्टा
प्रतिबिंब का आकार: छोटा
आवर्धन: $-1 < m < 0$
$(3)$ वस्तु की स्थिति: $C$ पर $(u = 2f = R)$
प्रतिबिंब की स्थिति: $C$ पर
प्रतिबिंब का प्रकार: वास्तविक और उल्टा
प्रतिबिंब का आकार: वस्तु के समान
आवर्धन: $m = -1$

(N/A) रेखीय आवर्धन $(m)$ को प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h^{\prime})$ और वस्तु की ऊँचाई $(h)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\therefore m = \frac{h^{\prime}}{h} \quad \dots (1)$
चित्र में दिखाए अनुसार $h$ ऊँचाई की एक वस्तु $AB$ को अवतल दर्पण के सामने मुख्य अक्ष पर रखा गया है।
दो किरणें $AQ$ और $AP$ दर्पण से परावर्तन के बाद $A^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,जहाँ $A^{\prime}$ बिंदु $A$ का प्रतिबिंब है। वस्तु $AB$ से आने वाली किरणें परावर्तन के बाद $A^{\prime}B^{\prime}$ प्रतिबिंब बनाती हैं। मान लीजिए $A^{\prime}B^{\prime} = h^{\prime}$ है।
चित्र से,त्रिभुज $\triangle A^{\prime}B^{\prime}P$ और $\triangle ABP$ समरूप हैं।
इसलिए,$\frac{B^{\prime}A^{\prime}}{BA} = \frac{B^{\prime}P}{BP}$.
चिह्न परिपाटी के अनुसार,$B^{\prime}A^{\prime} = -h^{\prime}$ (नीचे की ओर),$BA = h$ (ऊपर की ओर),$B^{\prime}P = -v$,और $BP = -u$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{-h^{\prime}}{h} = \frac{-v}{-u}$
$\therefore \frac{h^{\prime}}{h} = -\frac{v}{u}$
$\therefore m = -\frac{v}{u} \quad (\text{समीकरण } 1 \text{ से})$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,बना हुआ प्रतिबिंब उल्टा होता है इसलिए इसका आवर्धन ऋणात्मक होता है और आभासी प्रतिबिंब के लिए,बना हुआ प्रतिबिंब सीधा होता है इसलिए इसका आवर्धन धनात्मक होता है।

(N/A) उत्तल दर्पण का वक्रता केंद्र उस गोले का केंद्र होता है जिसका दर्पण एक भाग है। उत्तल दर्पण के लिए,वक्रता केंद्र दर्पण की सतह के पीछे स्थित होता है।

(N/A) अवतल दर्पण का फोकल तल वह तल है जो दर्पण के मुख्य फोकस $(F)$ से होकर गुजरता है और मुख्य अक्ष के लंबवत होता है।
मुख्य अक्ष के साथ किसी कोण पर दर्पण पर आपतित होने वाली प्रकाश की समानांतर किरणें परावर्तन के बाद इस फोकल तल पर एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं।

(N/A) छोटे द्वारक (aperture) वाले गोलीय दर्पण के लिए,वक्रता त्रिज्या $(R)$ और फोकस दूरी $(f)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = 2f$
वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$f = \frac{R}{2}$
यह दर्शाता है कि फोकस दूरी वक्रता त्रिज्या की आधी होती है।

(N/A) दर्पण सूत्र एक गोलीय दर्पण की वस्तु दूरी $(u)$,प्रतिबिंब दूरी $(v)$ और फोकस दूरी $(f)$ के बीच संबंध को दर्शाता है। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$
जहाँ:
$f$ दर्पण की फोकस दूरी है।
$v$ दर्पण के ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी है।
$u$ दर्पण के ध्रुव से वस्तु की दूरी है।

(B) जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के मुख्य फोकस $(F)$ और ध्रुव $(P)$ के बीच रखा जाता है,तो परावर्तन के बाद प्रकाश की किरणें अपसरित हो जाती हैं।
$1$. मुख्य अक्ष के समानांतर एक किरण परावर्तन के बाद मुख्य फोकस $(F)$ से होकर गुजरती है।
$2$. वक्रता केंद्र $(C)$ से होकर गुजरने वाली किरण उसी पथ पर वापस परावर्तित हो जाती है।
$3$. इन परावर्तित किरणों को पीछे की ओर बढ़ाने पर,वे दर्पण के पीछे मिलती हुई प्रतीत होती हैं।
$4$. प्राप्त प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित होता है,जो दर्पण के पीछे बनता है।

(N/A) दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ है।
दोनों पक्षों का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{du} - \frac{1}{u^2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dv}{du} = -\frac{v^2}{u^2}$।
चूँकि $v = \frac{fu}{u-f}$,इसलिए $\frac{dv}{du} = -\left(\frac{fu}{u-f}\right)^2 \cdot \frac{1}{u^2} = -\left(\frac{f}{u-f}\right)^2$।
प्रतिबिंब की लंबाई $L'$ का मान $|dv| = |\frac{dv}{du}| \cdot L$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{dv}{du}$ का मान रखने पर,हमें $L' = \left(\frac{f}{u-f}\right)^2 L$ प्राप्त होता है।

(A) चित्र से,वक्रता त्रिज्या $R = 16 \ cm$ है। चूंकि आंतरिक सतह परावर्तक है,यह एक अवतल दर्पण है।
फोकस दूरी $f = \frac{R}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \ cm$.
वस्तु $u = -10 \ cm$ पर रखी गई है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{-8}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{8} = \frac{4 - 5}{40} = \frac{-1}{40}$
$v = -40 \ cm$.
आवर्धन $m = \frac{-v}{u} = \frac{-(-40)}{-10} = -4$.
चूंकि $m$ ऋणात्मक है,प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है। चूंकि $|m| = 4 > 1$ है,प्रतिबिंब आवर्धित (बड़ा) है।

(B) दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ को ऋणात्मक लिया जाता है,इसलिए $f_{mirror} = -f$.
वस्तु की दूरी $u$ भी ऋणात्मक ली जाती है,इसलिए $u = -1.5 f = -\frac{3 f}{2}$.
इन मानों को दर्पण सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-1.5 f} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} - \frac{2}{3 f} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} + \frac{2}{3 f}$
$\frac{1}{v} = \frac{-3 + 2}{3 f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{3 f}$
अतः,$v = -3 f$. प्रतिबिंब दर्पण के सामने $3 f$ की दूरी पर बनता है।

(A) गोलीय दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ और वक्रता त्रिज्या $R$ के बीच का संबंध $f = \frac{R}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तल दर्पण के लिए,मुख्य फोकस $F$ और वक्रता केंद्र $C$ दर्पण के पीछे स्थित होते हैं।
चिह्न परिपाटी के अनुसार,आपतित प्रकाश की दिशा में (दर्पण के पीछे) मापी गई दूरियों को धनात्मक लिया जाता है।
इसलिए,उत्तल दर्पण के लिए $f$ और $R$ दोनों धनात्मक होते हैं।
अतः,संबंध $f = +\frac{R}{2}$ है।

(D) $1$. आवर्धन $m$ प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई का अनुपात है: $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{25\, cm}{100\, cm} = +0.25$.
$2$. चूँकि आवर्धन धनात्मक $(m > 0)$ है,प्रतिबिंब सीधा (वस्तु के समान अभिविन्यास) और आभासी है।
$3$. गोलीय दर्पण के लिए,आभासी और सीधा प्रतिबिंब अवतल और उत्तल दोनों दर्पणों द्वारा बनाया जा सकता है। हालाँकि,अवतल दर्पण आवर्धित आभासी प्रतिबिंब $(|m| > 1)$ बनाता है,जबकि उत्तल दर्पण छोटा आभासी प्रतिबिंब $(|m| < 1)$ बनाता है।
$4$. चूँकि प्रतिबिंब की ऊँचाई $(25\, cm)$ वस्तु की ऊँचाई $(100\, cm)$ से कम है,इसलिए आवर्धन $1$ से कम है। अतः,दर्पण एक उत्तल दर्पण होना चाहिए।
$5$. दर्पण द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब हमेशा वस्तु के सापेक्ष दर्पण के विपरीत ओर स्थित होता है।

(A) गोलीय दर्पण के लिए,न्यूटन का सूत्र वस्तु और प्रतिबिंब की मुख्य फोकस $F$ से दूरी के बीच संबंध बताता है। मान लीजिए $x_{1}$ और $x_{2}$ क्रमशः वस्तु और प्रतिबिंब की मुख्य फोकस से दूरियां हैं। सूत्र $x_{1} x_{2} = f^{2}$ है।
इस प्रश्न में,दूरियां वक्रता केंद्र $C$ से मापी गई हैं। मुख्य फोकस $F$ की $C$ से दूरी फोकस दूरी $f$ है।
अतः,मुख्य फोकस से वस्तु की दूरी $x_{1} = d_{1} + f$ है और मुख्य फोकस से प्रतिबिंब की दूरी $x_{2} = f - d_{2}$ है।
इन मानों को न्यूटन के सूत्र में रखने पर: $(f + d_{1})(f - d_{2}) = f^{2}$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $f^{2} - f d_{2} + f d_{1} - d_{1} d_{2} = f^{2}$।
सरल करने पर: $f(d_{1} - d_{2}) = d_{1} d_{2}$।
इसलिए,फोकस दूरी $f = \frac{d_{1} d_{2}}{d_{1} - d_{2}}$ प्राप्त होती है।
वक्रता त्रिज्या $R$,$R = 2f$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$R = \frac{2 d_{1} d_{2}}{d_{1} - d_{2}}$।

(D) दिया गया है: वस्तु की प्रारंभिक दूरी $u_0 = -100\,cm$। वक्रता त्रिज्या $R = -200\,cm$। फोकस दूरी $f = R/2 = -100\,cm$।
वस्तु की गति $v_{obj} = 2\,cm/s$ दर्पण की ओर।
$t = 10\,s$ समय के बाद,वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $d = v_{obj} \times t = 2\,cm/s \times 10\,s = 20\,cm$।
दर्पण से वस्तु की नई स्थिति $u = u_0 + d = -100\,cm + 20\,cm = -80\,cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-80} = \frac{1}{-100}$।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{80} - \frac{1}{100} = \frac{5 - 4}{400} = \frac{1}{400}$।
अतः,$v = 400\,cm$।

(A) बड़े द्वारक वाले दर्पण के लिए,मुख्य अक्ष के समांतर किरणें गोलीय विपथन (spherical aberration) के कारण एक बिंदु (मुख्य फोकस $F$) पर केंद्रित नहीं होती हैं। इसके बजाय,वे फोकल तल पर एक वृत्ताकार धब्बा बनाती हैं।
मान लीजिए $N$ दर्पण की परिधि पर एक बिंदु है जो अक्ष से $r$ दूरी पर है। $N$ से परावर्तित किरण अक्ष को $Q$ बिंदु पर काटती है। $\triangle NQC$ में,जहाँ $C$ वक्रता केंद्र है,आपतन कोण और परावर्तन कोण समान हैं,जो $\theta$ है। अतः,$\angle N C P = \theta$ और $\angle N Q C = \theta$.
$\triangle NQC$ में,ज्यामिति के अनुसार,$QC = \frac{R}{2 \cos \theta}$.
ध्रुव $P$ से $Q$ की दूरी $PQ = R - QC = R - \frac{R}{2 \cos \theta}$ है।
मुख्य फोकस $F$ से $Q$ की दूरी $QF = PF - PQ = \frac{R}{2} - (R - \frac{R}{2 \cos \theta}) = \frac{R}{2 \cos \theta} - \frac{R}{2} = \frac{R}{2} (\sec \theta - 1)$.
मान लीजिए फोकस पर डिस्क की त्रिज्या $d$ है। परावर्तित किरण द्वारा बने समरूप त्रिभुजों से,त्रिज्या $d = QF \tan(2\theta)$ द्वारा प्राप्त होती है।
छोटे $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{r}{R}$. साथ ही,$\sec \theta = (1 - \sin^2 \theta)^{-1/2} \approx 1 + \frac{\theta^2}{2} = 1 + \frac{r^2}{2R^2}$.
इन मानों को रखने पर,$QF \approx \frac{R}{2} (1 + \frac{r^2}{2R^2} - 1) = \frac{r^2}{4R}$.
चूंकि $\tan(2\theta) \approx 2\theta \approx 2(\frac{r}{R})$,इसलिए $d = QF \cdot 2\theta = (\frac{r^2}{4R}) \cdot (\frac{2r}{R}) = \frac{r^3}{2R^2}$.
डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi d^2 = \pi (\frac{r^3}{2R^2})^2 = \frac{\pi r^6}{4R^4}$ होगा।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,बनने वाला प्रतिबिंब हमेशा आभासी,सीधा और छोटा होता है।
रेखा $PQ$ पर विचार करें। बिंदु $Q$,बिंदु $P$ की तुलना में दर्पण से अधिक दूर है। उत्तल दर्पण के लिए,आवर्धन $m = -v/u$ धनात्मक और $1$ से कम होता है। चूंकि $Q$ दर्पण से अधिक दूर है $(u_Q > u_P)$,$Q$ का प्रतिबिंब $(Q')$ $P$ के प्रतिबिंब $(P')$ की तुलना में दर्पण के अधिक करीब होगा,और $P'$ तथा $Q'$ के बीच की दूरी $P$ और $Q$ के बीच की दूरी से कम होगी।
इसके अलावा,चूंकि दर्पण उत्तल है,ध्रुव से दूर के बिंदुओं से आने वाली किरणें मुख्य फोकस के करीब के बिंदुओं से आती हुई प्रतीत होती हैं। इस प्रकार,प्रतिबिंब $P'Q'$ इस तरह झुका हुआ दिखाई देगा कि दर्पण के करीब का सिरा $(P')$ दर्पण से दूर के सिरे $(Q')$ की तुलना में मुख्य अक्ष से अधिक दूर हो।
इस तर्क को दोनों रेखाओं $PQ$ और $RS$ पर लागू करने पर,हम पाते हैं कि सही योजनाबद्ध निरूपण विकल्प $B$ द्वारा दिया गया है।

(B) रियर-व्यू दर्पण एक उत्तल दर्पण होता है।
दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = 1.50 \, m$,वस्तु की दूरी $u = -10.0 \, m$।
फोकस दूरी $f = \frac{R}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \, m$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{0.75} - \frac{1}{-10} = \frac{4}{3} + \frac{1}{10} = \frac{40 + 3}{30} = \frac{43}{30}$।
अतः,$v = \frac{30}{43} \, m$।
आवर्धन $m$ का सूत्र $m = -\frac{v}{u}$ है।
$m = -\frac{(30/43)}{-10} = \frac{30}{430} = \frac{3}{43} \approx 0.0697$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आवर्धन कारक लगभग $0.07$ है।

(A) व्यावसायिक सौर ऊर्जा अनुप्रयोगों के लिए पैराबोलिक दर्पणों को प्राथमिकता दी जाती है।
इन दर्पणों को अनंत से आने वाली सूर्य की समानांतर किरणों को एक ही केंद्र बिंदु पर केंद्रित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
सौर विकिरण का यह संकेंद्रण उच्च तापमान उत्पन्न करता है,जो कुशल ऊर्जा रूपांतरण प्रक्रियाओं के लिए आवश्यक है।

(C) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -0.15 \,m = -15 \,cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी और आवर्धित है,इसलिए आवर्धन $m = +2$ होगा।
आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f-u}$ है।
मान रखने पर: $2 = \frac{-15}{-15 - u}$.
$2(-15 - u) = -15$.
$-30 - 2u = -15$.
$-2u = 15$.
$u = -7.5 \,cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वस्तु दर्पण के सामने $7.5 \,cm$ की दूरी पर रखी गई है।

(A) बेलनाकार दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R = 10 \,cm$ है।
दर्पण की फोकस दूरी $f$ का मान $f = \frac{R}{2} = \frac{10 \,cm}{2} = 5 \,cm$ होता है।
बहुत दूर स्थित प्रेक्षक के लिए दृष्टि का क्षेत्र $\theta$ (रेडियन में) चाप की लंबाई $s$ और फोकस दूरी $f$ के अनुपात $\theta = \frac{s}{f}$ द्वारा निर्धारित होता है।
यहाँ चाप की लंबाई $s = 10 \,cm$ और $f = 5 \,cm$ दी गई है,इसलिए:
$\theta = \frac{10 \,cm}{5 \,cm} = 2 \,rad$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ को पैरेक्सियल सन्निकटन (paraxial approximation) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,जो यह मानता है कि किरणें मुख्य अक्ष के करीब हैं और दर्पण का द्वारक (aperture) वक्रता त्रिज्या की तुलना में छोटा है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
परावर्तन के नियम (आपतन कोण = परावर्तन कोण) प्रकाशिकी के मौलिक नियम हैं और किसी भी परावर्तक सतह के लिए मान्य हैं,चाहे वह समतल हो या गोलीय,आकार की परवाह किए बिना। इसलिए,कारण $(R)$ असत्य है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -20\,cm$। छड़ का मध्य बिंदु ध्रुव से $40\,cm$ की दूरी पर है। चूंकि छड़ की लंबाई $10\,cm$ है,इसलिए सिरे $A$ और $B$ ध्रुव से क्रमशः $u_A = -(40 + 5) = -45\,cm$ और $u_B = -(40 - 5) = -35\,cm$ की दूरी पर हैं।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$v = \frac{uf}{u-f}$ प्राप्त होता है।
सिरे $A$ के लिए: $v_A = \frac{(-45)(-20)}{-45 - (-20)} = \frac{900}{-25} = -36\,cm$।
सिरे $B$ के लिए: $v_B = \frac{(-35)(-20)}{-35 - (-20)} = \frac{700}{-15} = -\frac{140}{3}\,cm$।
प्रतिबिंब की लंबाई $|v_A - v_B| = |-36 - (-140/3)| = |-108/3 + 140/3| = |32/3|\,cm$ है।
इसे $\frac{x}{3}\,cm$ के साथ तुलना करने पर,$x = 32$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = -40\,cm$ (अवतल दर्पण के लिए)। फोकस दूरी $f = R/2 = -20\,cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
वस्तु $A$ के लिए $u_1 = -15\,cm$:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{-3 + 4}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v_1 = 60\,cm$ (प्रतिबिंब आभासी और दर्पण के पीछे है)।
वस्तु $B$ के लिए $u_2 = -25\,cm$:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-25} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{-5 + 4}{100} = -\frac{1}{100}$.
अतः,$v_2 = -100\,cm$ (प्रतिबिंब वास्तविक और दर्पण के सामने है)।
प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $d = |v_1 - v_2| = |60 - (-100)| = 160\,cm$.

(A) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = 30 \,cm$.
फोकस दूरी $f = R / 2 = +15 \,cm$ (उत्तल दर्पण के लिए)।
आवर्धन $m = +1/2$ (चूंकि उत्तल दर्पण वास्तविक वस्तु के लिए हमेशा आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है)।
दर्पण के लिए आवर्धन सूत्र का उपयोग करने पर: $m = f / (f - u)$.
मान रखने पर: $1/2 = 15 / (15 - u)$.
$15 - u = 30$.
$-u = 30 - 15$.
$-u = 15$.
$u = -15 \,cm$.
अतः, वस्तु की दूरी $-15 \,cm$ है।

(C) आभासी प्रतिबिंब के लिए, आवर्धन $m = +2$ है।
गोलीय दर्पण के लिए आवर्धन सूत्र $m = -v/u$ है।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी है, यह दर्पण के पीछे बनता है, इसलिए $v$ धनात्मक है। मान लीजिए वस्तु की दूरी $u$ है (जो चिह्न परिपाटी के अनुसार ऋणात्मक है)।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|v - u| = 15 \,cm$ है।
चूंकि वस्तु दर्पण के सामने है $(u < 0)$ और आभासी प्रतिबिंब दर्पण के पीछे है $(v > 0)$, दूरी $v - u = 15$ होगी।
$v = -mu = -2u$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-2u - u = 15
-3u = 15 \Rightarrow u = -5 \,cm$.
अतः, $v = -2(-5) = 10 \,cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$.
इसलिए, $f = -10 \,cm$.

(B) वर्णित घटना को लंबन (parallax) के रूप में जाना जाता है। जब आँख को बाईं ओर ले जाया जाता है,यदि प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष दाईं ओर खिसकता हुआ दिखाई देता है,तो यह इंगित करता है कि प्रतिबिंब वस्तु पिन के पीछे (दर्पण से अधिक दूरी पर) स्थित है।
अवतल दर्पण के लिए,जब वस्तु को फोकस बिंदु $f$ के बाहर रखा जाता है तो एक उल्टा प्रतिबिंब बनता है।
यदि वस्तु को $f$ और $2f$ के बीच रखा जाता है,तो प्रतिबिंब $2f$ के बाहर बनता है।
चूंकि प्रतिबिंब वस्तु की दूरी से अधिक दूरी पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब आँख की गति की विपरीत दिशा में वस्तु के सापेक्ष खिसकता हुआ दिखाई देगा।
इसलिए,वस्तु को $f < x < 2f$ क्षेत्र में रखा जाना चाहिए।

(C) $\text{कथन}-1$ सत्य है। गोलीय दर्पण के लिए सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ को पैराकियल सन्निकटन (paraxial approximation) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जो यह मानता है कि किरणें मुख्य अक्ष के करीब हैं और दर्पण का द्वारक (aperture) उसकी वक्रता त्रिज्या $(R)$ की तुलना में छोटा है।
$\text{कथन}-2$ असत्य है। परावर्तन के नियम (आपतन कोण = परावर्तन कोण) मौलिक हैं और किसी भी परावर्तक सतह के लिए सत्य हैं, चाहे वह समतल हो या गोलीय, आकार चाहे जो भी हो। बड़े गोलीय दर्पणों में विचलन गोलीय विपथन (spherical aberration) के कारण होता है, न कि परावर्तन के नियमों के उल्लंघन के कारण।

(C) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -24 \ cm$ है। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है,जिससे $v = \frac{uf}{u-f}$ प्राप्त होता है।
हम दर्पण सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए सैद्धांतिक मानों के साथ दर्ज किए गए मानों की जांच करते हैं:
$1$. $u = -42 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-42)(-24)}{-42+24} = \frac{1008}{-18} = -56 \ cm$। (मेल खाता है)
$2$. $u = -48 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-48)(-24)}{-48+24} = \frac{1152}{-24} = -48 \ cm$। (मेल खाता है)
$3$. $u = -60 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-60)(-24)}{-60+24} = \frac{1440}{-36} = -40 \ cm$। (मेल खाता है)
$4$. $u = -66 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-66)(-24)}{-66+24} = \frac{1584}{-42} \approx -37.71 \ cm$। दर्ज किया गया मान $33 \ cm$ है। अंतर $|37.71 - 33| = 4.71 \ cm$ है,जो $0.2 \ cm$ की त्रुटि सीमा से काफी अधिक है।
$5$. $u = -78 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-78)(-24)}{-78+24} = \frac{1872}{-54} \approx -34.66 \ cm$। दर्ज किया गया मान $39 \ cm$ है। अंतर $|34.66 - 39| = 4.34 \ cm$ है,जो $0.2 \ cm$ की त्रुटि सीमा से काफी अधिक है।
अतः,डेटा सेट $(66, 33)$ और $(78, 39)$ गलत तरीके से दर्ज किए गए हैं।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -10 \text{ cm}$ (अवतल दर्पण के लिए),वस्तु की दूरी $u = -30 \text{ cm}$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-30} = \frac{-3+1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$।
अतः,$v = -15 \text{ cm}$।
दर्पण $v_m$ के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $v_I$,$v_{I/m} = -\left(\frac{v}{u}\right)^2 v_{o/m}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$v_{o/m} = v_o - v_m$ और $v_{I/m} = v_I - v_m$ है।
दिया गया है कि प्रतिबिंब प्रयोगशाला फ्रेम के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए $v_I = 0$ है।
अतः,$0 - v_m = -\left(\frac{-15}{-30}\right)^2 (v_o - v_m)$।
$-v_m = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 (v_o - v_m) = -\frac{1}{4} (v_o - v_m)$।
$v_m = \frac{1}{4} v_o - \frac{1}{4} v_m$।
$\frac{5}{4} v_m = \frac{1}{4} v_o$।
$v_m = \frac{v_o}{5} = \frac{15}{5} = 3 \text{ cm s}^{-1}$।
इसलिए,$V_m$ का परिमाण $3 \text{ cm s}^{-1}$ है।

(B) दिया गया है: $R = 2 \ m$,इसलिए फोकस दूरी $f = R/2 = 1 \ m$। वस्तु की गति $v_0 = 90 \ km/h = 25 \ m/s$। चूंकि वस्तु पास आ रही है,$u = -24 \ m$ और $du/dt = v_0 = 25 \ m/s$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$,जिससे $v_I = \frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 v_0 = -m^2 v_0$ प्राप्त होता है।
$u = -24 \ m$ और $f = 1 \ m$ के लिए,$v = \frac{uf}{u-f} = \frac{(-24)(1)}{-24-1} = \frac{24}{25} \ m$।
आवर्धन $m = -v/u = -(\frac{24/25}{-24}) = \frac{1}{25}$।
प्रतिबिंब का वेग $v_I = -m^2 v_0 = -(\frac{1}{25})^2 (25) = -\frac{1}{25} \ m/s$।
वेग समीकरण $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$ का पुनः समय के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a_I = \frac{d^2v}{dt^2} = -[2(\frac{v}{u})(\frac{u \frac{dv}{dt} - v \frac{du}{dt}}{u^2})] v_0 - (\frac{v}{u})^2 a_0$। चूंकि $a_0 = 0$,इसलिए $a_I = -2(\frac{v}{u})(\frac{u v_I - v v_0}{u^2}) v_0$।
मान रखने पर: $a_I = -2(\frac{24/25}{-24})(\frac{(-24)(-1/25) - (24/25)(25)}{(-24)^2}) (25) = -2(-\frac{1}{25})(\frac{24/25 - 24}{576}) (25) = 2(\frac{1}{25})(\frac{24 - 600}{25 \times 576}) (25) = 2(\frac{-576}{25 \times 576}) = -\frac{2}{25} \ m/s^2$।
त्वरण का परिमाण $a = |-\frac{2}{25}| = 0.08 \ m/s^2$। अतः,$100a = 100 \times 0.08 = 8$।

(D) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी का सूत्र $f = \frac{R}{2}$ होता है,जहाँ $R$ दर्पण की वक्रता त्रिज्या है।
यह सूत्र केवल दर्पण की सतह की ज्यामिति पर निर्भर करता है।
लेंस के विपरीत,दर्पण की फोकस दूरी उसके चारों ओर के माध्यम के अपवर्तनांक पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,जब दर्पण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो उसकी फोकस दूरी अपरिवर्तित रहती है।
अतः,द्रव में इसकी फोकस दूरी $f$ ही होगी।

(D) दिया गया आवर्धन $m = -3$ है। हम जानते हैं कि $m = -v/u$,इसलिए $-v/u = -3$,जिसका अर्थ है $v = 3u$।
चूंकि अवतल दर्पण द्वारा वास्तविक प्रतिबिंब बनता है,इसलिए $u$ और $v$ दोनों ऋणात्मक हैं। वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|v - u| = 20\ cm$ है।
चूंकि $m = -3$ के लिए प्रतिबिंब वस्तु की तुलना में अधिक दूरी पर बनता है,इसलिए $|v| > |u|$ है। अतः,$v - u = -20\ cm$ (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए जहाँ $v$ और $u$ ऋणात्मक हैं)।
$v = 3u$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3u - u = -20$ प्राप्त होता है,इसलिए $2u = -20$,जिससे $u = -10\ cm$ मिलता है।
तब $v = 3(-10) = -30\ cm$।
दर्पण सूत्र $1/f = 1/v + 1/u = 1/(-30) + 1/(-10) = (-1 - 3)/30 = -4/30 = -2/15$ का उपयोग करने पर।
अतः,$f = -7.5\ cm$।
वक्रता त्रिज्या $R = 2|f| = 2 \times 7.5 = 15\ cm$ है।

(A) दिया गया है,वक्रता त्रिज्या $R = 12 \ cm$। फोकस दूरी $f = R / 2 = 6 \ cm$ है।
अवतल दर्पण के लिए,$f = -6 \ cm$ और वस्तु की दूरी $u = -18 \ cm$ है। आवर्धन सूत्र $m = f / (f - u)$ का उपयोग करने पर:
$m_{concave} = -6 / (-6 - (-18)) = -6 / 12 = -1 / 2$। प्रतिबिंब का आकार $|m_{concave}| = 1 / 2$ है।
उत्तल दर्पण के लिए,$f = +6 \ cm$ और वस्तु की दूरी $u = -18 \ cm$ है। आवर्धन सूत्र $m = f / (f - u)$ का उपयोग करने पर:
$m_{convex} = 6 / (6 - (-18)) = 6 / 24 = 1 / 4$। प्रतिबिंब का आकार $|m_{convex}| = 1 / 4$ है।
उत्तल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब और अवतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के आकार का अनुपात है:
अनुपात $= |m_{convex}| / |m_{concave}| = (1 / 4) / (1 / 2) = 1 / 2$.

(A) गोलीय दर्पण के लिए आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f-u}$ है।
दिया गया है $m = \frac{1}{2}$ और $u = -40\ cm$,अतः $\frac{1}{2} = \frac{f}{f - (-40)}$।
$f + 40 = 2f$,जिससे $f = 40\ cm$ प्राप्त होता है।
अब,$m = \frac{1}{3}$ आवर्धन प्राप्त करने के लिए,हम उसी सूत्र का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{3} = \frac{40}{40 - u'}$।
$40 - u' = 120$,इसलिए $u' = -80\ cm$।
वस्तु प्रारंभ में $40\ cm$ पर थी और अब दर्पण से $80\ cm$ पर है।
अतः,वस्तु को दर्पण से $80 - 40 = 40\ cm$ दूर स्थानांतरित करना होगा।

(A) दिया गया आवर्धन $M = -\frac{1}{3}$ है।
चूँकि $M = -\frac{v}{u}$,हमारे पास $-\frac{v}{u} = -\frac{1}{3}$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{u}{3}$।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|u - v| = 30 \ cm$ दी गई है। चूँकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है (आवर्धन ऋणात्मक है),वस्तु और प्रतिबिंब दोनों दर्पण के एक ही तरफ हैं। अतः,$|u| - |v| = 30 \ cm$। मान लीजिए $u = -u_0$ और $v = -v_0$,तो $u_0 - v_0 = 30$।
$v_0 = \frac{u_0}{3}$ रखने पर,$u_0 - \frac{u_0}{3} = 30 \Rightarrow \frac{2u_0}{3} = 30 \Rightarrow u_0 = 45 \ cm$।
अतः,$u = -45 \ cm$ और $v = -15 \ cm$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-15} + \frac{1}{-45} = \frac{-3 - 1}{45} = -\frac{4}{45}$।
इसलिए,$f = -\frac{45}{4} \ cm$।
फोकस दूरी का परिमाण $\frac{45}{4} \ cm$ है। इसे $\frac{x}{4} \ cm$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 45$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया आवर्धन $m = \frac{1}{4}$ है। चूंकि प्रतिबिंब वस्तु से छोटा है और दर्पण द्वारा बनाया गया है,हम मानते हैं कि अवतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब बना रहा है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -\frac{v}{u} = -\frac{1}{4}$,इसलिए $u = 4v$.
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|u - v| = 40 \ cm$ है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $u$ और $v$ एक ही तरफ होते हैं,इसलिए $u - v = 40 \ cm$.
$u = 4v$ प्रतिस्थापित करने पर,$4v - v = 40 \implies 3v = 40 \implies v = \frac{40}{3} \ cm$.
तब $u = 4 \times \frac{40}{3} = \frac{160}{3} \ cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर (चिह्न परिपाटी के अनुसार $u = -\frac{160}{3} \ cm$,$v = -\frac{40}{3} \ cm$):
$\frac{1}{f} = -\frac{3}{40} - \frac{3}{160} = \frac{-12 - 3}{160} = -\frac{15}{160} = -\frac{3}{32}$.
$f = -\frac{32}{3} \approx -10.7 \ cm$.
फोकस दूरी का परिमाण $10.7 \ cm$ है।

(B) लंबन विधि में,यदि आँख को बाईं ओर खिसकाया जाता है और प्रतिबिंब वस्तु पिन के सापेक्ष दाईं ओर खिसकता हुआ दिखाई देता है,तो इसका अर्थ है कि प्रतिबिंब वस्तु पिन की तुलना में आँख से अधिक दूर है।
मान लीजिए कि वस्तु पिन की स्थिति $O$ है और प्रतिबिंब की स्थिति $I$ है। यदि प्रतिबिंब $I$,वस्तु $O$ की तुलना में आँख से अधिक दूर है,तो प्रतिबिंब $I$,वस्तु $O$ के पीछे (ध्रुव $\text{P}$ से अधिक दूर) स्थित है।
अवतल दर्पण के लिए,जब वस्तु को फोकस $f$ और वक्रता केंद्र $2f$ के बीच रखा जाता है,तो वस्तु के पीछे उल्टा प्रतिबिंब बनता है। इस क्षेत्र में,प्रतिबिंब $2f$ के पीछे बनता है।
अतः,वस्तु दूरी $x$ के लिए शर्त $f < x < 2f$ है।

(D) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_o = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$। वक्रता त्रिज्या $R = +40 \ cm$ (उत्तल दर्पण के लिए)। फोकस दूरी $f = R/2 = +20 \ cm$। वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \Rightarrow v = +10 \ cm$।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = \frac{h_i}{h_o}$।
$m = -\frac{10}{-20} = +0.5$।
$h_i = m \times h_o = 0.5 \times 2 \ mm = 1 \ mm$।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -20 \ cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और दो गुना आवर्धित है,इसलिए आवर्धन $m = -2$ होगा।
फोकस दूरी और वस्तु दूरी के पदों में आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
मान रखने पर: $-2 = \frac{-20}{-20 - u}$।
$-2(-20 - u) = -20$।
$40 + 2u = -20$।
$2u = -60$।
$u = -30 \ cm$।
अतः,वस्तु को दर्पण के सामने $30 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी को $-f$ लिया जाता है।
वस्तु की मुख्य फोकस से दूरी $x$ है। चूंकि वस्तु दर्पण के सामने रखी गई है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -(f + x)$ होगी।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{mirror}}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-(f+x)} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f+x} - \frac{1}{f} = \frac{f - (f+x)}{f(f+x)} = \frac{-x}{f(f+x)}$
$v = -\frac{f(f+x)}{x}$
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\left( \frac{-\frac{f(f+x)}{x}}{-(f+x)} \right) = -\frac{f}{x}$
आवर्धन का परिमाण $|m| = \frac{f}{x}$ है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,मुख्य अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर आपतित समांतर किरणें फोकस तल पर अक्ष से $y$ दूरी पर केंद्रित होती हैं।
छोटे कोण के सन्निकटन का उपयोग करते हुए,अक्ष से दूरी $y = f \tan \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $f = 20 \ cm$ और $\theta = 5^{\circ}$ दिया गया है।
कोण को रेडियन में बदलने पर: $\theta = 5 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0873 \ rad$.
छोटे कोणों के लिए $\tan \theta \approx \theta$ होता है,इसलिए $y = 20 \times (5 \times \frac{\pi}{180})$.
$y = 20 \times 0.08726 = 1.745 \ cm$.
अतः,निकटतम मान $y \approx 1.75 \ cm$ है।

(D) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -60 \ cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,इसलिए आवर्धन $m = -5$ होगा।
फोकस दूरी और वस्तु दूरी $u$ के पदों में आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $-5 = \frac{-60}{-60 - u}$।
दोनों पक्षों को $(-60 - u)$ से गुणा करने पर: $-5(-60 - u) = -60$।
$300 + 5u = -60$।
$5u = -60 - 300$।
$5u = -360$।
$u = -72 \ cm$।
दर्पण और वस्तु के बीच की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $72 \ cm$ है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -10 \ cm$,वस्तु की दूरी $u = -25 \ cm$,वस्तु का क्षेत्रफल $A_{\text{obj}} = (3 \ cm)^2 = 9 \ cm^2$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,आवर्धन $m = \frac{f}{f-u}$ होता है।
मान रखने पर: $m = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$.
प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $A_{\text{image}}$,वस्तु के क्षेत्रफल से $A_{\text{image}} = m^2 \times A_{\text{obj}}$ द्वारा संबंधित है।
$A_{\text{image}} = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \ cm^2$.