Spherical Mirror Questions in Hindi

(A) अवतल दर्पण के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब तब बनता है जब वस्तु को मुख्य फोकस $F$ के बाहर रखा जाता है।
जब वस्तु को वक्रता केंद्र $C$ पर (अर्थात ध्रुव से $2f$ की दूरी पर) रखा जाता है,तो प्रतिबिंब भी वक्रता केंद्र $C$ पर ही बनता है।
इस विशिष्ट स्थिति में,वस्तु और प्रतिबिंब एक ही बिंदु पर संपाती होते हैं।
अतः,वास्तविक वस्तु और वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की दूरी $0$ है।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -10 \ cm$,वस्तु की दूरी $u = -25 \ cm$,वर्ग की भुजा $s = 3 \ cm$ है।
वस्तु का क्षेत्रफल $A_0 = s^2 = 3^2 = 9 \ cm^2$ है।
आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f - u} = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$ है।
प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $A_i = m^2 \times A_0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$A_i = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \ cm^2$।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = +30 \ cm$ है।
आवर्धन $m = +1/4$ दिया गया है (क्योंकि उत्तल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब हमेशा आभासी और सीधा होता है)।
आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{4} = \frac{30}{30 - u}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $30 - u = 120$।
$u$ के लिए हल करने पर: $u = 30 - 120 = -90 \ cm$।
दर्पण से वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $90 \ cm$ है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -10 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -25 \, cm$,वस्तु का क्षेत्रफल $A_{obj} = (3.0 \, cm)^2 = 9 \, cm^2$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करके,आवर्धन $m = \frac{f}{f - u}$ प्राप्त होता है।
$m = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$.
प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $A_{image} = m^2 \times A_{obj}$ द्वारा दिया जाता है।
$A_{image} = \left( -\frac{2}{3} \right)^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \, cm^2$.

(C) दिया गया है: अवतल दर्पण की फोकस दूरी $f = -12\; cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
वस्तु की ऊँचाई $h = 4\; cm$ है।
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h' = -1\; cm$ है (क्योंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,इसलिए यह उल्टा होगा)।
आवर्धन $m = \frac{h'}{h} = \frac{-1}{4} = -0.25$ है।
हम जानते हैं कि आवर्धन $m = \frac{-v}{u}$,इसलिए $\frac{-v}{u} = -0.25$,जिससे $v = 0.25u$ प्राप्त होता है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{-12} = \frac{1}{0.25u} + \frac{1}{u}$।
$\frac{1}{-12} = \frac{4}{u} + \frac{1}{u} = \frac{5}{u}$।
$u = -12 \times 5 = -60\; cm$।
अतः,वस्तु को दर्पण के सामने $60\; cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -50 \ cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है,इसलिए आवर्धन $m = -2$ होगा।
आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
मान रखने पर: $-2 = \frac{-50}{-50 - u}$।
$-2(-50 - u) = -50$।
$100 + 2u = -50$।
$2u = -150$।
$u = -75 \ cm$।
अतः,वस्तु को दर्पण से $75 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
अवतल दर्पण के लिए,$f$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\frac{1}{-f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-4f}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{4f} - \frac{1}{f} = \frac{1-4}{4f} = -\frac{3}{4f}$.
अतः,$v = -\frac{4f}{3}$.
आवर्धन $m$ इस प्रकार दिया जाता है: $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{I}{6} = -\frac{(-4f/3)}{-4f}$.
$\frac{I}{6} = -\frac{1}{3}$.
$I = -\frac{6}{3} = -2 \ cm$.
प्रतिबिंब की लंबाई का परिमाण $2 \ cm$ है (ऋणात्मक चिह्न उल्टे प्रतिबिंब को दर्शाता है)।

(B) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = 22 \; cm$।
उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ धनात्मक होती है।
$f = \frac{R}{2} = \frac{22}{2} = 11 \; cm$।
चिह्न परिपाटी के अनुसार वस्तु की दूरी $u$ हमेशा ऋणात्मक ली जाती है: $u = -14 \; cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{11} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-14}$।
$v$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{11} + \frac{1}{14}$।
$\frac{1}{v} = \frac{14 + 11}{154} = \frac{25}{154}$।
$v = \frac{154}{25} = 6.16 \; cm \approx 6.2 \; cm$।
चूंकि $v$ धनात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $6.2 \; cm$ की दूरी पर बनेगा।

(D) दिया गया है: वस्तु दूरी $u = -30 \, cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
उत्तल दर्पण की फोकस दूरी $f = +30 \, cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{30} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-30}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$।
अतः,$v = +15 \, cm$।
धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $15 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(D) सूर्य अवतल दर्पण से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = \infty$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$u = \infty$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{v} + 0 = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = f$।
इस प्रकार,सूर्य का प्रतिबिंब अवतल दर्पण के फोकस $F$ पर बनता है।
मान लीजिए $D_i$ फोकल तल पर बने प्रतिबिंब का व्यास है।
चूंकि ध्रुव $P$ पर सूर्य द्वारा बनाया गया कोण $\theta$ है,इसलिए फोकस पर बना प्रतिबिंब भी ध्रुव पर समान कोण $\theta$ बनाता है।
रेडियन में कोण की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\theta = \frac{\text{चाप की लंबाई}}{\text{त्रिज्या}} = \frac{D_i}{f}$।
इसलिए,प्रतिबिंब का व्यास $D_i = f \theta$ है।

(C) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -10 \, cm$ है। आवर्धन $m$ का मान $2$ (आभासी प्रतिबिंब) या $-2$ (वास्तविक प्रतिबिंब) हो सकता है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ का उपयोग करने पर:
स्थिति $1$: $m = 2$ (आभासी प्रतिबिंब) के लिए,
$2 = \frac{-10}{-10 - u} \implies -20 - 2u = -10 \implies 2u = -10 \implies u = -5 \, cm$.
स्थिति $2$: $m = -2$ (वास्तविक प्रतिबिंब) के लिए,
$-2 = \frac{-10}{-10 - u} \implies 20 + 2u = -10 \implies 2u = -30 \implies u = -15 \, cm$.
अतः,वस्तु को दर्पण से $5 \, cm$ या $15 \, cm$ की दूरी पर रखा जा सकता है।

(D) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ से।
दोनों पक्षों का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} dv - \frac{1}{u^2} du = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $dv = -\frac{v^2}{u^2} du$। प्रतिबिंब की लंबाई का परिमाण $|dv| = \left( \frac{v}{u} \right)^2 |du|$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वस्तु छोटी है,$|du| = b$,इसलिए प्रतिबिंब की लंबाई $L = \left( \frac{v}{u} \right)^2 b$ होगी।
दर्पण सूत्र से,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u - f}{fu}$,जिससे हमें $\frac{v}{u} = \frac{f}{u - f}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $L$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = b \left( \frac{f}{u - f} \right)^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -20 \,cm$ (अवतल दर्पण के लिए),वस्तु की दूरी $u = -40 \,cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-40}$.
हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{20} = \frac{1 - 2}{40} = -\frac{1}{40}$.
अतः,$v = -40 \,cm$.
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-40}{-40} = -1$.
चूंकि $v$ ऋणात्मक है,प्रतिबिंब वास्तविक है। चूंकि $m = -1$ है,प्रतिबिंब उल्टा और वस्तु के आकार के बराबर है।

(C) उत्तल दर्पण के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है (जिसे ऋणात्मक लिया जाता है)।
यहाँ प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का $(1/n)$ गुना है,इसलिए आवर्धन $m = +\frac{1}{n}$ होगा (क्योंकि प्रतिबिंब आभासी और सीधा होता है)।
मान रखने पर: $\frac{1}{n} = \frac{f}{f - u}$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $f - u = nf$.
$u$ के लिए हल करने पर: $u = f - nf = -(n - 1)f$.
दर्पण से वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $|u| = (n - 1)f$ है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -30\; cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,इसलिए आवर्धन $m = -3$ होगा।
आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
मान रखने पर: $-3 = \frac{-30}{-30 - u}$।
$-3(-30 - u) = -30$।
$90 + 3u = -30$।
$3u = -120$।
$u = -40\; cm$।
अतः,वस्तु को दर्पण के सामने $40\; cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(D) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -30 \, cm$ है।
यह दिया गया है कि प्रतिबिंब सीधा (आभासी) है,इसलिए आवर्धन $m$ धनात्मक होना चाहिए।
चूंकि प्रतिबिंब वस्तु के आकार का तीन गुना है,इसलिए $m = +3$ होगा।
फोकस दूरी और वस्तु की दूरी $u$ के पदों में आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3 = \frac{-30}{-30 - u}$
$3(-30 - u) = -30$
$-90 - 3u = -30$
$-3u = 60$
$u = -20 \, cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वस्तु को दर्पण के सामने $20 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(C) सीधे प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = +3$ होता है।
चूंकि $m = -v/u$,हमारे पास $3 = -v/u$ है,जिसका अर्थ है $v = -3u$।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|v - u| = 80 \ cm$ दी गई है।
$v = -3u$ प्रतिस्थापित करने पर,$|-3u - u| = 80$,इसलिए $|-4u| = 80$,जिससे $u = -20 \ cm$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = -3(-20) = 60 \ cm$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} + \frac{1}{-20} = \frac{1 - 3}{60} = \frac{-2}{60} = -\frac{1}{30}$।
इसलिए,$f = -30 \ cm$।

(B) दर्पण सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
इस समीकरण को रैखिक समीकरण $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$y = \frac{1}{v}$,$x = \frac{1}{u}$,ढाल $m = -1$,और अंतःखंड $c = \frac{1}{f}$ है।
गोलीय दर्पण के लिए अंतःखंड $c = \frac{1}{f}$ शून्य नहीं होता है,इसलिए $\frac{1}{v}$ और $\frac{1}{u}$ का ग्राफ एक सीधी रेखा होती है जो मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरती है।

(C) दर्पण सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$
इस समीकरण को $1/u$ के पदों में $1/v$ को व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ:
$y = \frac{1}{v}$
$x = \frac{1}{u}$
$m = -1$ (ढाल ऋणात्मक है)
$c = \frac{1}{f}$ (धनात्मक y-अंतःखंड)
यह एक ऋणात्मक ढाल और धनात्मक y-अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $C$ एक ऋणात्मक ढाल और $1/v$ अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(C) जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के ध्रुव $(P)$ और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाता है,तो परावर्तन के बाद प्रकाश की किरणें अपसरित हो जाती हैं।
इन किरणों को पीछे की ओर बढ़ाने पर,दर्पण के पीछे एक आभासी प्रतिबिंब बनता है।
इस प्रतिबिंब के गुण इस प्रकार हैं:
$1$. यह आभासी है (वास्तविक नहीं)।
$2$. यह आवर्धित (वस्तु से बड़ा) है।
$3$. यह सीधा है।
अतः,कथन $II$ और $III$ सही हैं,जबकि कथन $I$ गलत है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ धनात्मक होती है $(f = +10 \ cm)$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
जैसे-जैसे वस्तु की दूरी $u$,$-\infty$ से $0$ तक बदलती है,प्रतिबिंब की दूरी $v$,$f$ से $0$ तक बदलती है।
विशेष रूप से,जब वस्तु अनंत $(u = -\infty)$ पर होती है,तो प्रतिबिंब फोकस पर $(v = f = 10 \ cm)$ बनता है।
जब वस्तु ध्रुव $(u = 0)$ पर होती है,तो प्रतिबिंब ध्रुव पर $(v = 0)$ बनता है।
इसलिए,उत्तल दर्पण द्वारा बनने वाला प्रतिबिंब हमेशा ध्रुव और फोकस के बीच ही बनता है।
अतः,दर्पण से प्रतिबिंब की अधिकतम दूरी उसकी फोकस दूरी के बराबर यानी $10 \ cm$ होती है।

(B) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -30 \,cm$। आवर्धन $m = +1/5$ (चूंकि प्रतिबिंब सीधा है)।
गोलीय दर्पण के लिए,आवर्धन $m = -v/u$ होता है।
मान रखने पर: $1/5 = -v / (-30)$।
$1/5 = v / 30 \implies v = 6 \,cm$।
चूंकि प्रतिबिंब की दूरी $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/f = 1/v + 1/u$।
$1/f = 1/6 + 1/(-30) = 5/30 - 1/30 = 4/30 = 2/15$।
$f = 15/2 = +7.5 \,cm$।
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए दर्पण एक उत्तल दर्पण है।

(B) माना कि $f$ अवतल दर्पण की फोकस दूरी है।
दर्पण के लिए न्यूटन के सूत्र के अनुसार,वस्तु की फोकस से दूरी $x_1$ है और प्रतिबिंब की फोकस से दूरी $x_2$ है।
इन दूरियों और फोकस दूरी $f$ के बीच का संबंध $f^2 = x_1 x_2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,दर्पण की फोकस दूरी $f = \sqrt{x_1 x_2}$ होगी।

(D) मान लीजिए छड़ $AB$ है जिसकी लंबाई $L = f/3$ है। सिरा $B$ ध्रुव से $u_B = 5f/3$ की दूरी पर है और सिरा $A$,$u_A = 2f$ की दूरी पर है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का चिह्न परिपाटी के साथ उपयोग करने पर (सभी दूरियां ऋणात्मक):
सिरे $B$ के लिए $(u_B = -5f/3)$: $\frac{1}{v_B} + \frac{1}{-5f/3} = \frac{1}{-f} \Rightarrow \frac{1}{v_B} = -\frac{1}{f} + \frac{3}{5f} = -\frac{2}{5f} \Rightarrow v_B = -2.5f$.
सिरे $A$ के लिए $(u_A = -2f)$: $\frac{1}{v_A} + \frac{1}{-2f} = \frac{1}{-f} \Rightarrow \frac{1}{v_A} = -\frac{1}{f} + \frac{1}{2f} = -\frac{1}{2f} \Rightarrow v_A = -2f$.
प्रतिबिंब की लंबाई $|v_B - v_A| = |-2.5f - (-2f)| = 0.5f = f/2$ है।
अनुदैर्ध्य आवर्धन $m = \frac{\text{प्रतिबिंब की लंबाई}}{\text{वस्तु की लंबाई}} = \frac{f/2}{f/3} = 1.5$.
चूंकि प्रतिबिंब उल्टा है,इसलिए आवर्धन $m = -3/2$ है।

(A) सूर्य दर्पण से बहुत अधिक दूरी पर है,इसलिए सूर्य से आने वाली किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर होती हैं।
ये किरणें दर्पण के फोकस तल (focal plane) पर केंद्रित होंगी।
सूर्य का प्रतिबिंब फोकस तल पर बनता है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,ध्रुव पर सूर्य द्वारा बनाया गया कोण $\theta$ है।
चूंकि प्रतिबिंब ध्रुव से $f$ दूरी पर फोकस तल पर बनता है,हम संबंध का उपयोग कर सकते हैं: $\text{कोण} = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}}$.
यहाँ,चाप प्रतिबिंब का व्यास $(d)$ है और त्रिज्या फोकस दूरी $(f)$ है।
इसलिए,$\theta = \frac{d}{f}$.
अतः,प्रतिबिंब का व्यास $d = f \theta$ होगा।

(D) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी केवल उसकी वक्रता त्रिज्या द्वारा निर्धारित होती है $(f = R/2)$।
लेंस के विपरीत,जहाँ अपवर्तनांक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है (जिसके कारण वर्ण विपथन होता है),दर्पण की सतह से प्रकाश का परावर्तन आपतित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य या रंग से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,फोकस दूरी प्रकाश के सभी रंगों के लिए समान रहती है।

(D) इस स्थिति के लिए,आपतित किरणें दर्पण के पीछे एक बिंदु $O$ की ओर अभिसरित हो रही हैं,जो एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
यहाँ,वस्तु की दूरी $u = +10 \, cm$ (क्योंकि यह दर्पण के पीछे है) और उत्तल दर्पण की फोकस दूरी $f = +20 \, cm$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1 - 2}{20} = -\frac{1}{20}$
अतः,$v = -20 \, cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के सामने ध्रुव से $20 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) अवतल दर्पण के लिए परावर्तन के नियमों के अनुसार,दर्पण के मुख्य फोकस $(F)$ से गुजरने वाली प्रकाश किरण परावर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती है।
दी गई आकृति में,आपतित किरण $PQ$ मुख्य फोकस $(F)$ से होकर गुजरती है।
इसलिए,अवतल दर्पण से परावर्तन के बाद,किरण को मुख्य अक्ष के समानांतर यात्रा करनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,किरण $2$ ही एकमात्र ऐसी किरण है जो मुख्य अक्ष के समानांतर है।
अतः,किरण $2$ परावर्तित किरण की दिशा को सही ढंग से दर्शाती है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -20 \, cm$ (अवतल दर्पण के लिए),वस्तु की दूरी $u = -10 \, cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$.
अतः,$v = +20 \, cm$.
चूंकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,जिसका अर्थ है कि यह आभासी है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{20}{-10} = +2$.
चूंकि $m$ धनात्मक है,प्रतिबिंब सीधा है।
चूंकि $|m| > 1$,प्रतिबिंब वस्तु से बड़ा (आवर्धित) है।
इसलिए,प्रतिबिंब बड़ा,सीधा और आभासी होगा।

(C) अवतल दर्पण के लिए, आवर्धन $m = -v/u$ द्वारा दिया जाता है। यह दिया गया है कि प्रतिबिंब वास्तविक है और वस्तु के आकार का $n$ गुना है, इसलिए आवर्धन $m = -n$ है।
अतः, $-n = -v/u$, जिसका अर्थ है $v = nu$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/f = 1/v + 1/u$.
$v = nu$ का मान रखने पर: $1/f = 1/(nu) + 1/u$.
$1/f = (1 + n) / (nu)$.
$u$ के लिए हल करने पर: $u = f(n + 1) / n = [(n + 1) / n] f$.
इसलिए, दर्पण से वस्तु की दूरी $[(n + 1) / n] f$ है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -15 \ cm$ (अवतल दर्पण के लिए)।
आवर्धन $m = +2$ (चूंकि प्रतिबिंब आभासी और सीधा है,इसलिए आवर्धन धनात्मक है)।
फोकस दूरी और वस्तु दूरी $u$ के पदों में आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
मान रखने पर: $2 = \frac{-15}{-15 - u}$.
$2(-15 - u) = -15$.
$-30 - 2u = -15$.
$-2u = -15 + 30$.
$-2u = 15$.
$u = -7.5 \ cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वस्तु दर्पण के सामने $7.5 \ cm$ की दूरी पर स्थित है।

(C) अवतल दर्पण के लिए,वक्रता त्रिज्या $R = 2f$ होती है।
दिया गया है कि वस्तु का निकटतम सिरा $u > R = 2f$ की दूरी पर है।
चूंकि पूरी वस्तु वक्रता केंद्र $(C)$ के पीछे रखी गई है,इसलिए वस्तु के प्रत्येक बिंदु का प्रतिबिंब मुख्य फोकस $(F)$ और वक्रता केंद्र $(C)$ के बीच बनेगा।
जब वस्तु $C$ के पीछे रखी जाती है,तो अवतल दर्पण द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब हमेशा वास्तविक,उल्टा और छोटा (वस्तु से आकार में छोटा) होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सीधे प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = +3$ होता है।
चूंकि $m = -v/u$,इसलिए $v = -3u$ होगा।
मान लीजिए वस्तु की दूरी $u = -x$ है (जहाँ $x > 0$)। तब $v = 3x$ होगा।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|v - u| = 80 \, cm$ दी गई है।
मान रखने पर: $|3x - (-x)| = 80 \implies 4x = 80 \implies x = 20 \, cm$।
अतः,$u = -20 \, cm$ और $v = 60 \, cm$ प्राप्त होता है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} + \frac{1}{-20} = \frac{1 - 3}{60} = \frac{-2}{60} = \frac{-1}{30}$।
इसलिए,$f = -30 \, cm$ होगा।

(C) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 5 \, cm$,वक्रता त्रिज्या $R = 20 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -1 \, m = -100 \, cm$.
अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -R/2 = -10 \, cm$.
आवर्धन का सूत्र $m = I/O = f/(f - u)$ है।
मान रखने पर: $I/5 = -10 / (-10 - (-100))$.
$I/5 = -10 / (-10 + 100) = -10 / 90 = -1/9$.
$I = -5/9 \, cm \approx -0.55 \, cm$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई का परिमाण $0.55 \, cm$ है।

(C) दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ धनात्मक $(+f)$ होती है और वस्तु की दूरी $u$ ऋणात्मक $(-f)$ होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{+f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-f}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$.
अतः,$v = \frac{f}{2}$.
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $f/2$ दूरी पर बनेगा।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -10 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -25 \, cm$,वर्गाकार वस्तु की भुजा $s_o = 3 \, cm$ है।
वस्तु का क्षेत्रफल $A_o = (s_o)^2 = (3)^2 = 9 \, cm^2$ है।
आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
मान रखने पर: $m = \frac{-10}{-10 - (-25)} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$ है।
प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $A_i$ और वस्तु का क्षेत्रफल $A_o$ के बीच संबंध $A_i = m^2 \times A_o$ है।
$A_i = (-\frac{2}{3})^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \, cm^2$ है।

(A) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी का सूत्र $f = R/2$ है, जहाँ $R$ वक्रता त्रिज्या है।
यह सूत्र केवल दर्पण की ज्यामिति (वक्रता त्रिज्या) पर निर्भर करता है और आसपास के माध्यम के अपवर्तनांक से स्वतंत्र होता है।
इसलिए, जब अवतल दर्पण को पानी में डुबोया जाता है, तो उसकी फोकस दूरी में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः, नई फोकस दूरी $10 \, cm$ ही रहेगी।

(C) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = +3\, cm$। प्रतिबिंब की ऊँचाई $I = -9\, cm$ (चूँकि प्रतिबिंब दीवार पर बनता है,यह वास्तविक और उल्टा है)।
दर्पण से वस्तु की दूरी $u = -(x - 3)\, m = -100(x - 3)\, cm$।
दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $v = -x\, m = -100x\, cm$।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{-9}{3} = -\frac{-100x}{-100(x - 3)}$
$-3 = -\frac{x}{x - 3}$
$3(x - 3) = x$
$3x - 9 = x$
$2x = 9$
$x = 4.5\, m = 450\, cm$.

(B) वस्तु को इस प्रकार रखा गया है कि उसका दूर वाला सिरा वक्रता केंद्र $C$ (दर्पण से $2f$ दूरी पर) पर स्थित है। चूंकि दूर वाले सिरे का प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनता है,इसलिए दूर वाला सिरा $u = -2f$ पर है और उसका प्रतिबिंब $v = -2f$ पर बनता है।
वस्तु का निकटतम सिरा दर्पण से $u' = -(2f - f/3) = -5f/3$ की दूरी पर है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} + \frac{1}{u'}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-f} = \frac{1}{v'} + \frac{1}{-5f/3}$
$\frac{1}{v'} = \frac{3}{5f} - \frac{1}{f} = \frac{3-5}{5f} = \frac{-2}{5f}$
$v' = -2.5f = -5f/2$.
प्रतिबिंब की लंबाई दूर वाले सिरे के प्रतिबिंब ($2f$ पर) और निकटतम सिरे के प्रतिबिंब ($2.5f$ पर) के बीच की दूरी है:
लंबाई $= |v'| - |v| = 2.5f - 2f = 0.5f = f/2$.

(D) यहाँ,अवतल दर्पण की फोकस दूरी $f = -10\, cm$ है।
छड़ के सिरे $A$ के लिए,वस्तु की दूरी $u_A = -20\, cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_A} + \frac{1}{-20} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v_A} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{20}$
$v_A = -20\, cm$.
छड़ के सिरे $B$ के लिए,वस्तु की दूरी $u_B = -(20 + 10) = -30\, cm$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_B} + \frac{1}{-30} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v_B} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$
$v_B = -15\, cm$.
प्रतिबिंब की लंबाई दोनों सिरों के प्रतिबिंबों के स्थानों के बीच की दूरी है:
$L = |v_A - v_B| = |-20 - (-15)| = |-5| = 5\, cm$.

(D) गोलीय दर्पण के लिए आवर्धन $m = -v/u$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $m = -2$ के लिए: चूंकि $m$ ऋणात्मक है,प्रतिबिंब वास्तविक है। वास्तविक प्रतिबिंब हमेशा उल्टा होता है और अवतल दर्पण द्वारा बनता है। अतः,$(1-b, c)$।
$2$. $m = -1/2$ के लिए: चूंकि $m$ ऋणात्मक है,प्रतिबिंब वास्तविक है। वास्तविक प्रतिबिंब अवतल दर्पण द्वारा बनता है। अतः,$(2-b, c)$।
$3$. $m = +2$ के लिए: चूंकि $m$ धनात्मक है,प्रतिबिंब आभासी है। $1$ से अधिक आवर्धन वाला आभासी प्रतिबिंब अवतल दर्पण द्वारा बनता है। अतः,$(3-b, d)$।
$4$. $m = +1/2$ के लिए: चूंकि $m$ धनात्मक है,प्रतिबिंब आभासी है। $1$ से कम आवर्धन वाला आभासी प्रतिबिंब उत्तल दर्पण द्वारा बनता है। अतः,$(4-a, d)$।
अतः,सही मिलान $(1-b, c), (2-b, c), (3-b, d), (4-a, d)$ है।

(B) दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए।
अवतल दर्पण के लिए,$f = -15 \, cm$.
प्रारंभ में,वस्तु की दूरी $u_1 = -40 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{-40} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120} = -\frac{1}{24}$.
अतः,$v_1 = -24 \, cm$ (प्रतिबिंब दर्पण के सामने $24 \, cm$ पर है)।
जब वस्तु को दर्पण की ओर $20 \, cm$ विस्थापित किया जाता है,तो नई वस्तु दूरी $u_2 = -(40 - 20) = -20 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 4}{60} = -\frac{1}{60}$.
अतः,$v_2 = -60 \, cm$ (प्रतिबिंब दर्पण के सामने $60 \, cm$ पर है)।
प्रतिबिंब का विस्थापन $|v_2 - v_1| = |-60 - (-24)| = |-36| = 36 \, cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब की दूरी का परिमाण बढ़ गया है,इसलिए प्रतिबिंब दर्पण से $36 \, cm$ दूर विस्थापित होगा।

(C) आपतित प्रकाश किरणें उत्तल दर्पण के पीछे $12 \, cm$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु की ओर अभिसरित हो रही हैं। यह बिंदु दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी वस्तु के स्थान पर ही बनता है,इसलिए प्रकाश किरणें दर्पण पर लंबवत (वक्रता त्रिज्या की दिशा में) आपतित हो रही होंगी।
इसका अर्थ है कि आभासी वस्तु उत्तल दर्पण के वक्रता केंद्र $(C)$ पर स्थित है।
अतः,वक्रता त्रिज्या $R = 12 \, cm$ है।
दर्पण की फोकस दूरी $f$ का मान $f = \frac{R}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान रखने पर,हमें $f = \frac{12 \, cm}{2} = 6 \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -10 \, cm$,छड़ की लंबाई $l = 5 \, cm$ है।
छड़ का एक सिरा दर्पण से $2f = 20 \, cm$ की दूरी पर है। मान लीजिए यह सिरा $A$ है। दूसरा सिरा दर्पण से $u = 20 - 5 = 15 \, cm$ की दूरी पर है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
सिरे $A$ के लिए $u_A = 20 \, cm$ पर,प्रतिबिंब $v_A = 20 \, cm$ (वक्रता केंद्र पर) प्राप्त होता है।
दूसरे सिरे के लिए $u_B = 15 \, cm$:
$\frac{1}{-10} = \frac{1}{v_B} + \frac{1}{-15}$
$\frac{1}{v_B} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30}$
अतः,$v_B = -30 \, cm$ है।
प्रतिबिंब की लंबाई $|v_A - v_B| = |20 - 30| = 10 \, cm$ है।
आवर्धन $m = \frac{\text{प्रतिबिंब की लंबाई}}{\text{वस्तु की लंबाई}} = \frac{10 \, cm}{5 \, cm} = 2$।

(B) अवतल दर्पण के लिए,जब वस्तु को फोकस $(u = -f)$ पर रखा जाता है,तो प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
हालाँकि,उत्तल दर्पण के लिए,यदि किसी वस्तु को फोकस दूरी के बराबर दूरी $(u = -f)$ पर रखा जाता है,तो प्रतिबिंब दर्पण के पीछे ध्रुव से $f/2$ की दूरी पर बनता है।
चूंकि प्रश्न में 'गोलीय दर्पण' का उल्लेख है और अवतल या उत्तल के बीच अंतर स्पष्ट नहीं है,इसलिए प्रतिबिंब की स्थिति दर्पण के प्रकार पर निर्भर करती है।
अतः,प्रतिबिंब अनंत पर हो सकता है (यदि दर्पण अवतल है) या किसी अन्य स्थान पर हो सकता है (यदि दर्पण उत्तल है)।
इस प्रकार,सही विकल्प यह है कि प्रतिबिंब 'अनंत पर हो सकता है'।

(B) मुख्य अक्ष के समांतर आपतित किरण के एक से अधिक बार परावर्तित होने के लिए,इसे दर्पण पर एक ऐसे बिंदु पर टकराना चाहिए कि पहले परावर्तन के बाद,यह दर्पण पर किसी अन्य बिंदु की ओर निर्देशित हो।
दर्पण के किनारे पर आपतित किरण पर विचार करें। परावर्तन के बाद,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है। गोलीय दर्पण पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब वक्रता केंद्र $C$ से होकर गुजरता है।
पहले परावर्तन के बाद किरण के दर्पण के दूसरे छोर पर टकराने के लिए,परावर्तित किरण को आपतित किरण (जो मुख्य अक्ष के समांतर है) के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाना चाहिए।
परावर्तन की ज्यामिति से,अभिलंब और परावर्तित किरण के बीच का कोण $\theta$ है। आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण भी $\theta$ है।
इस प्रकार,आपतित किरण और परावर्तित किरण के बीच का कोण $2\theta$ है। परावर्तित किरण के आपतित किरण के लंबवत होने के लिए,हमारे पास $2\theta = 90^{\circ}$ होना चाहिए।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।

(A) मान लीजिए $C$ वक्रता केंद्र है और $F$ अवतल दर्पण का फोकस है। मान लीजिए आपतित किरण दर्पण पर बिंदु $A$ पर टकराती है। मुख्य अक्ष से आपतित किरण की ऊँचाई $AD = f$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है।
$\Delta ADC$ में,जहाँ $D$ मुख्य अक्ष पर $A$ का प्रक्षेप है,$\sin i = \frac{AD}{AC} = \frac{f}{R} = \frac{f}{2f} = \frac{1}{2}$.
अतः,आपतन कोण $i = 30^{\circ}$.
चूँकि परावर्तित किरण $AB$ मुख्य अक्ष के साथ $2i$ का कोण बनाती है,इसलिए $\Delta ADB$ में,$\sin 2i = \frac{AD}{AB} = \frac{f}{AB}$.
अतः,$AB = \frac{f}{\sin 60^{\circ}} = \frac{f}{\sqrt{3}/2} = \frac{2f}{\sqrt{3}}$.
$\Delta ABC$ में,चूँकि $CA$ अभिलंब है,$\angle CAB = i = 30^{\circ}$. साथ ही,$\angle ACB = i = 30^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)। अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $CB = AB = \frac{2f}{\sqrt{3}}$.
वक्रता केंद्र से फोकस की दूरी $FC = R - f = 2f - f = f$ है।
अभीष्ट अनुपात $\frac{CB}{FC} = \frac{2f/\sqrt{3}}{f} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(C) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$ है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$u = -x$ और $v = -v_{i}$ (जहाँ $v_{i}$ प्रतिबिंब दूरी है,और हम $|v_{i}|$ में रुचि रखते हैं)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{f} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{v_{i}}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{1}{v_{i}} = -(\frac{1}{f} + \frac{1}{x}) = -(\frac{x+f}{xf})$ हो जाता है।
अतः,$|v_{i}| = \frac{xf}{f-x}$।
जब $x \to 0$,तब $|v_{i}| \to 0$।
जब $x \to f$,तब $|v_{i}| \to \infty$।
$x > f$ के लिए,प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा बनता है। दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$ है। $u = -x$ के साथ,हमारे पास $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x-f}{xf}$ है,इसलिए $v = \frac{xf}{x-f}$।
अतः,$|v| = \frac{xf}{x-f}$।
जब $x \to f^{+}$,तब $|v| \to \infty$।
जब $x \to \infty$,तब $|v| \to f$।
इन व्यवहारों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ में दिया गया ग्राफ $x = f$ पर अनंतस्पर्शी (asymptotic) व्यवहार और $x \to 0$ तथा $x \to \infty$ के लिए सीमाओं को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) $1$. वस्तु $O$ मुख्य अक्ष $AB$ के ऊपर है,और प्रतिबिंब $I$ मुख्य अक्ष $AB$ के नीचे है। यह इंगित करता है कि प्रतिबिंब उल्टा है।
$2$. मुख्य अक्ष से वस्तु की दूरी $d_1$ है,और मुख्य अक्ष से प्रतिबिंब की दूरी $d_2$ है। चूंकि $d_2 > d_1$,प्रतिबिंब आवर्धित (बड़ा) है।
$3$. उत्तल दर्पण हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है। इसलिए,दर्पण उत्तल नहीं हो सकता।
$4$. जब वस्तु मुख्य फोकस $F$ और वक्रता केंद्र $C$ के बीच स्थित होती है,तो अवतल दर्पण वास्तविक,उल्टा और आवर्धित प्रतिबिंब बना सकता है।
$5$. वास्तविक वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब बनाने के लिए,दर्पण को वस्तु और प्रतिबिंब की ओर रखा जाना चाहिए। चूंकि प्रकाश की किरणें वस्तु से दर्पण तक जानी चाहिए और परावर्तित होकर $I$ पर प्रतिबिंब बनाने के लिए वापस आनी चाहिए,इसलिए दर्पण को $O$ और $I$ दोनों के दाईं ओर रखा जाना चाहिए।

(D) वास्तविक वस्तु के लिए,उत्तल दर्पण हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
$1$. उत्तल दर्पण के लिए आवर्धन $m$ हमेशा $0 < m < 1$ होता है,इसलिए कथन $A$ सही है।
$2$. समतल दर्पण एक आभासी,सीधा और समान आकार का प्रतिबिंब बनाता है,इसलिए कथन $B$ सही है।
$3$. जब वस्तु को ध्रुव और मुख्य फोकस के बीच रखा जाता है तो अवतल दर्पण एक आभासी,सीधा और आवर्धित प्रतिबिंब बनाता है,इसलिए कथन $C$ सही है।
$4$. उत्तल दर्पण वास्तविक वस्तु के लिए कभी भी वास्तविक प्रतिबिंब नहीं बना सकता है। इसलिए,कथन $D$ गलत है।