गोलीय दर्पण के लिए फोकस दूरी $(f)$ और वक्रता त्रिज्या $(R)$ के बीच संबंध व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) माना $C$ गोलीय दर्पण का वक्रता केंद्र है और $P$ ध्रुव है।
मुख्य अक्ष के समानांतर एक प्रकाश किरण दर्पण पर बिंदु $M$ पर आपतित होती है। रेखा $CM$ बिंदु $M$ पर दर्पण के लंबवत है।
माना $\theta$ आपतन कोण है। परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण भी $\theta$ होगा।
ज्यामिति से,$\angle MCP = \theta$ (एकांतर कोण) और $\angle MFP = 2\theta$ ($\triangle MCF$ का बहिष्कोण विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है)।
माना $MD$ बिंदु $M$ से मुख्य अक्ष पर लंब है। पैरेक्सियल किरणों के लिए,$D$,$P$ के बहुत करीब है,इसलिए $CD \approx CP = R$ और $FD \approx FP = f$ होगा।
$\triangle MDC$ में,$\tan \theta = \frac{MD}{CD} \approx \frac{MD}{R}$। छोटे $\theta$ के लिए,$\tan \theta \approx \theta$,इसलिए $\theta \approx \frac{MD}{R}$।
$\triangle MDF$ में,$\tan 2\theta = \frac{MD}{FD} \approx \frac{MD}{f}$। छोटे $\theta$ के लिए,$\tan 2\theta \approx 2\theta$,इसलिए $2\theta \approx \frac{MD}{f}$।
पहले समीकरण से $\theta$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $2(\frac{MD}{R}) = \frac{MD}{f}$।
अतः,$R = 2f$ या $f = \frac{R}{2}$।