Spherical Mirror Questions in Hindi

(D) दर्पण समीकरण $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \frac{1}{v}$ और $x = \frac{1}{u}$ है,ढाल $m = -1$ और अंतःखंड $c = \frac{1}{f}$ है।
ग्राफ से,$\frac{1}{v}$ अक्ष पर अंतःखंड (जब $\frac{1}{u} = 0$ है) $-0.10 \ cm^{-1}$ है।
इसलिए,$\frac{1}{f} = -0.10 \ cm^{-1}$ है।
फोकस दूरी की गणना करने पर,$f = \frac{1}{-0.10} = -10 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_o = 3 \ cm$,प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = -9 \ cm$ (दीवार पर बनने वाला वास्तविक प्रतिबिंब उल्टा होता है)।
दर्पण से वस्तु की दूरी $u = -(x - 300) \ cm$.
दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $v = -x \ cm$.
आवर्धन सूत्र $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{-9}{3} = -\frac{-x}{-(x - 300)}$
$-3 = -\frac{x}{x - 300}$
$3 = \frac{x}{x - 300}$
$3(x - 300) = x$
$3x - 900 = x$
$2x = 900$
$x = 450 \ cm$.

(C) अवतल दर्पण के लिए, वास्तविक प्रतिबिंब के लिए आवर्धन $m$ ऋणात्मक होता है, इसलिए $m = -n$ है।
आवर्धन की परिभाषा के अनुसार, $m = -\frac{v}{u}$, जहाँ $v$ प्रतिबिंब की दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
अतः, $-n = -\frac{v}{u} \implies v = nu$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
चूंकि दर्पण अवतल है, इसलिए फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक ली जाती है, यानी $-f$। वस्तु की दूरी $u$ भी ऋणात्मक ली जाती है, यानी $-u$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{-f} = \frac{1}{-nu} + \frac{1}{-u}$।
$-1$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{nu} + \frac{1}{u} = \frac{1+n}{nu}$।
$u$ के लिए हल करने पर: $u = \left(\frac{n+1}{n}\right) f$।

(D) गोलीय दर्पण के लिए,चिह्न परिपाटी के अनुसार आपतित प्रकाश की दिशा को धनात्मक लिया जाता है।
जब प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है,तो प्रतिबिंब दूरी $v$ ऋणात्मक होती है,जो वास्तविक प्रतिबिंब को दर्शाती है।
जब प्रतिबिंब वस्तु की विपरीत दिशा में (दर्पण के पीछे) बनता है,तो प्रतिबिंब दूरी $v$ धनात्मक होती है,जो आभासी प्रतिबिंब को दर्शाती है।
अतः,वस्तु की ओर बनने वाले प्रतिबिंब वास्तविक होते हैं और विपरीत दिशा में बनने वाले प्रतिबिंब आभासी होते हैं।

(D) जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के ध्रुव $(P)$ और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाता है,तो परावर्तन के बाद प्रकाश की किरणें अपसरित होती हैं। इन किरणों को पीछे की ओर बढ़ाने पर,वे दर्पण के पीछे मिलती हुई प्रतीत होती हैं। अतः,बनने वाला प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित (बड़ा) होता है।

(D) दिया गया है: आवर्धन $m = -3$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,इसलिए यह उल्टा होना चाहिए)। वक्रता त्रिज्या $R = -30 \ cm$। फोकस दूरी $f = R/2 = -15 \ cm$।
आवर्धन सूत्र का उपयोग करते हुए: $m = -v/u \Rightarrow -3 = -v/u \Rightarrow v = 3u$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $1/f = 1/v + 1/u$।
मान रखने पर: $1/(-15) = 1/(3u) + 1/u$।
$1/(-15) = (1 + 3)/(3u) = 4/(3u)$।
$-3u = 60 \Rightarrow u = -20 \ cm$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि व्यक्ति को अवतल दर्पण के सामने $20 \ cm$ की दूरी पर खड़ा होना चाहिए।

(B) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h = 10 \text{ cm}$,वक्रता त्रिज्या $R = 15 \text{ cm}$,वस्तु की दूरी $u = -10 \text{ cm}$।
फोकस दूरी $f = R/2 = 15/2 = 7.5 \text{ cm}$। अवतल दर्पण के लिए,$f = -7.5 \text{ cm}$।
चूंकि वस्तु $u = -10 \text{ cm}$ पर रखी गई है,और फोकस दूरी $f = -7.5 \text{ cm}$ है,इसलिए वस्तु मुख्य फोकस $(F)$ और वक्रता केंद्र $(C)$ के बीच स्थित है क्योंकि $f < |u| < R$ (अर्थात $7.5 \text{ cm} < 10 \text{ cm} < 15 \text{ cm}$)।
जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के सामने $F$ और $C$ के बीच रखा जाता है,तो बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और आवर्धित होता है।

(C) उत्तल दर्पण के सामने रखी गई किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए,दर्पण से वस्तु की दूरी की परवाह किए बिना,यह हमेशा एक आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।

(D) उत्तल दर्पण के लिए,मुख्य फोकस $(F)$ दर्पण के पीछे स्थित होता है।
जब किसी वस्तु को उत्तल दर्पण के मुख्य फोकस पर रखा जाता है,तो वस्तु से निकलने वाली प्रकाश की किरणें परावर्तन के बाद फोकस से अपसरित (diverge) होती हुई प्रतीत होती हैं।
हालाँकि,चूंकि फोकस दर्पण के पीछे होता है,इसलिए इस विशिष्ट विन्यास के लिए किरणें वास्तव में किसी बिंदु पर नहीं मिलती हैं और न ही मिलती हुई प्रतीत होती हैं,जिससे पारंपरिक अर्थ में कोई प्रतिबिंब नहीं बनता है।
अतः,उत्तल दर्पण के मुख्य फोकस पर कोई प्रतिबिंब नहीं बनता है।

(C) दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
यहाँ,वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ और फोकस दूरी $f = -10 \ cm$ (अवतल दर्पण के लिए) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{-10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20}$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1 - 2}{20} = \frac{-1}{20}$.
अतः,$v = -20 \ cm$.

(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
आवर्धन $m = -3$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और आवर्धित है)।
आवर्धन सूत्र $m = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$-3 = -\frac{v}{-20} \Rightarrow v = -60 \ cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-60} + \frac{1}{-20} = \frac{-1 - 3}{60} = \frac{-4}{60} = -\frac{1}{15}$.
अतः,फोकस दूरी $f = -15 \ cm$ है।
इस प्रकार,फोकस दूरी का परिमाण $15 \ cm$ है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए, फोकस दूरी $f = +30 \,cm$ है।
आवर्धन $m = \frac{h_i}{h_o} = +\frac{1}{4}$ (चूंकि उत्तल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब हमेशा आभासी और सीधा होता है)।
आवर्धन सूत्र $m = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{4} = -\frac{v}{u}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $v = -\frac{u}{4}$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{30} = \frac{1}{-u/4} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{30} = -\frac{4}{u} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{30} = -\frac{3}{u}$
$u = -30 \times 3 = -90 \,cm$।
अतः दर्पण से वस्तु की दूरी $90 \,cm$ है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,आवर्धन $m$ को $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का $1/n$ गुना है,इसलिए $m = 1/n$ है।
अतः,$1/n = -v/u$,जिसका अर्थ है $v = -u/n$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f$ उत्तल दर्पण की फोकस दूरी (धनात्मक) है।
दर्पण सूत्र में $v = -u/n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{-u/n} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$-\frac{n}{u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1-n}{u} = \frac{1}{f}$
$u = f(1-n)$।
चूंकि वस्तु की दूरी $u$ पारंपरिक रूप से ऋणात्मक होती है,इसलिए इसका परिमाण $|u| = f(n-1)$ है।

(C) दिया गया है: वस्तु दूरी $u = -18 \ cm$ (दर्पण के सामने)।
प्रतिबिंब दूरी $v = +4 \ cm$ (दर्पण के दूसरी ओर)।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-18} = \frac{9 - 2}{36} = \frac{7}{36}$।
अतः,$f = \frac{36}{7} \ cm \approx 5.14 \ cm$।
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए दर्पण एक उत्तल दर्पण है।
चूंकि प्रतिबिंब दर्पण के दूसरी ओर बनता है,इसलिए यह एक आभासी प्रतिबिंब है।

(D) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$u$ को $-u$ और $f$ को $-f$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{f}$.
$v$ के लिए हल करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{f} = \frac{f-u}{uf}$.
अतः,$v = \frac{uf}{f-u}$.
प्रतिबिंब की स्थिति का परिमाण $|v| = \left| \frac{uf}{f-u} \right| = \frac{uf}{u-f}$ है।
छड़ $u$ से $\infty$ तक फैली हुई है। निकटतम सिरे का प्रतिबिंब $v_1 = \frac{uf}{u-f}$ पर बनता है।
दूरस्थ सिरे का (अनंत पर) प्रतिबिंब मुख्य फोकस $v_2 = f$ पर बनता है।
प्रतिबिंब की लंबाई $L = |v_1 - v_2| = \left| \frac{uf}{u-f} - f \right|$.
$L = \left| \frac{uf - f(u-f)}{u-f} \right| = \left| \frac{uf - uf + f^2}{u-f} \right| = \frac{f^2}{u-f}$.

(A) जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के मुख्य फोकस $(F)$ और वक्रता केंद्र $(C)$ के बीच रखा जाता है,तो वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें दर्पण से परावर्तित होकर वक्रता केंद्र $(C)$ के पीछे एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं।
इसके परिणामस्वरूप प्राप्त प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और आवर्धित (वस्तु से बड़ा) होता है।
अतः,प्रतिबिंब दर्पण से वक्रता केंद्र की तुलना में अधिक दूरी पर बनता है।

(B) दिया गया है,अवतल दर्पण की फोकस दूरी $f = 20 \ cm$ है।
वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm$ है।
वस्तु की दूरी $u = 40 \ cm$ है।
चूंकि वस्तु वक्रता केंद्र पर $(u = R)$ रखी गई है,इसलिए अवतल दर्पण द्वारा बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और वस्तु के समान आकार का होता है,और यह वक्रता केंद्र पर ही बनता है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_o = 3.6 \ cm$,वक्रता त्रिज्या $R = 30 \ cm$।
फोकस दूरी $f = R/2 = 30/2 = 15 \ cm$।
चूंकि यह एक अवतल दर्पण है,$f = -15 \ cm$।
वस्तु मुख्य फोकस से $10 \ cm$ की दूरी पर है।
वस्तु की स्थिति $u = -(f + 10) = -(15 + 10) = -25 \ cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/v + 1/u = 1/f$।
$1/v = 1/f - 1/u = 1/(-15) - 1/(-25) = -1/15 + 1/25 = (-5 + 3)/75 = -2/75$।
$v = -75/2 = -37.5 \ cm$।
आवर्धन $m = -v/u = h_i/h_o$।
$m = -(-37.5) / (-25) = -37.5 / 25 = -1.5$।
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = m \times h_o = -1.5 \times 3.6 = -5.4 \ cm$।
अतः,वास्तविक प्रतिबिंब की ऊँचाई का परिमाण $5.4 \ cm$ है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,मुख्य फोकस से वस्तु की दूरी $(x_1)$ और वास्तविक प्रतिबिंब की दूरी $(x_2)$ का फोकस दूरी $(f)$ के साथ संबंध न्यूटन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f^2 = x_1 \cdot x_2$.
दिया गया है,$x_1 = 16 \ cm$ और $x_2 = 9 \ cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f^2 = 16 \ cm \times 9 \ cm = 144 \ cm^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$f = \sqrt{144} \ cm = 12 \ cm$.
अतः,दर्पण की फोकस दूरी $12 \ cm$ है।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -9 \ cm$ (अवतल दर्पण)। छड़ को मुख्य अक्ष के अनुदिश रखा गया है। दर्पण के निकट वाला सिरा $u_1 = -15 \ cm$ पर है। छड़ की लंबाई $6 \ cm$ है,इसलिए दूर वाला सिरा $u_2 = -15 - 6 = -21 \ cm$ पर है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करके,हम प्रतिबिंब की स्थिति $v_1$ और $v_2$ ज्ञात करते हैं।
$u_1 = -15 \ cm$ के लिए: $\frac{1}{v_1} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-15} = \frac{-5 + 3}{45} = \frac{-2}{45} \implies v_1 = -22.5 \ cm$.
$u_2 = -21 \ cm$ के लिए: $\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-21} = \frac{-7 + 3}{63} = \frac{-4}{63} \implies v_2 = -15.75 \ cm$.
प्रतिबिंब की लंबाई $|v_1 - v_2| = |-22.5 - (-15.75)| = |-6.75| = 6.75 \ cm$ है।

(C) दी गई स्थिति चित्र में दर्शाई गई है।
मान लीजिए $AB$ वस्तु है और $A^{\prime}B^{\prime}$ प्रतिबिंब है।
यहाँ,$AB = l$,$A^{\prime}B^{\prime} = l^{\prime}$,और वस्तु की दूरी $u = -X$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,जहाँ अवतल दर्पण के लिए $f = -F$ है:
$\frac{1}{-F} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-X}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{X} - \frac{1}{F} = \frac{F-X}{FX}$
$v = \frac{FX}{F-X}$
मुख्य अक्ष पर रखी छोटी वस्तु के लिए,अनुदैर्ध्य आवर्धन $M$ इस प्रकार दिया जाता है:
$M = \frac{l^{\prime}}{l} = -\frac{dv}{du} = -\frac{d}{du} \left( \frac{fu}{u-f} \right) = -\frac{f^2}{(u-f)^2}$
$u = -X$ और $f = -F$ प्रतिस्थापित करने पर:
$M = -\frac{(-F)^2}{(-X - (-F))^2} = -\frac{F^2}{(F-X)^2}$
अनुदैर्ध्य आवर्धन का परिमाण है:
$\left| \frac{l^{\prime}}{l} \right| = \left( \frac{F}{F-X} \right)^2$

(C) दिया गया है, वस्तु और दर्पण के बीच की दूरी, $u = -7 \,cm$.
वक्रता त्रिज्या, $R = -12 \,cm$.
अतः, फोकस दूरी, $f = \frac{R}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \,cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-7} = \frac{1}{-6}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = \frac{6 - 7}{42} = -\frac{1}{42}$
$v = -42 \,cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के बाईं ओर $42 \,cm$ की दूरी पर बनता है।

(A) दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
अवतल दर्पण के लिए फोकस दूरी $f = -10 \,cm$ और वस्तु की दूरी $u = -25 \,cm$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-25}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{25} = \frac{-5 + 2}{50} = -\frac{3}{50}$
$v = -\frac{50}{3} \approx -16.7 \,cm$
आवर्धन $m$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$m = -\frac{v}{u} = -\frac{-16.7}{-25} = -0.67$
अतः,प्रतिबिंब $-16.7 \,cm$ की दूरी पर बनता है और इसका आवर्धन $-0.67$ है।

(A) दिया गया है: प्रकाश स्रोत की दूरी $(u) = -1.5 \ m = -\frac{3}{2} \ m$. उत्तल दर्पण की वक्रता त्रिज्या $(R) = +1 \ m$. फोकस दूरी $(f) = \frac{R}{2} = +0.5 \ m$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{0.5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-1.5} \Rightarrow 2 = \frac{1}{v} - \frac{2}{3}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$.
अतः,$v = \frac{3}{8} = 0.375 \ m$.
चूंकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,जो आभासी और सीधा है.
आवर्धन $(m) = -\frac{v}{u} = -\frac{0.375}{-1.5} = \frac{0.375}{1.5} = 0.25$.

(C) परावर्तक सतह का समीकरण $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
यह $\frac{dy}{dx}$ बिंदु $M$ पर स्पर्शरेखा की ढाल को दर्शाता है। बिंदु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है क्योंकि आपतित किरण क्षैतिज है और परावर्तित किरण ऊर्ध्वाधर है।
किरण के $90^{\circ}$ मुड़ने के लिए ($+x$ से $+y$ की ओर),$M$ पर अभिलंब को $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाना चाहिए।
अभिलंब की ढाल $\tan(45^{\circ}) = 1$ है। चूंकि अभिलंब स्पर्शरेखा के लंबवत होता है,इसलिए स्पर्शरेखा की ढाल $-1$ होगी।
अतः,$-\frac{x}{y} = -1$,जिसका अर्थ है $x = y$।
समीकरण $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2x^{2} = R^{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}$।
परावर्तन की ज्यामिति के आधार पर,बिंदु $M$ को दूसरे चतुर्थांश में होना चाहिए,जहाँ $x < 0$ और $y > 0$ है।
इसलिए,निर्देशांक $M = \left(-\frac{R}{\sqrt{2}}, \frac{R}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(D) दर्पण पर सूर्य द्वारा अंतरित कोण $\theta$,सूर्य के व्यास $(D)$ और पृथ्वी तथा सूर्य के बीच की दूरी $(d_{SE})$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सूर्य बहुत अधिक दूरी पर है,इसलिए इसका प्रतिबिंब अवतल दर्पण के फोकस पर बनता है।
कोणीय आकार $\theta = \frac{D}{d_{SE}} = 0.009 \ rad$ है।
फोकल तल पर बनने वाले प्रतिबिंब का व्यास $(d)$,$d = f \times \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ दर्पण की फोकस दूरी है।
फोकस दूरी $f$,वक्रता त्रिज्या $R = 0.4 \ m$ की आधी होती है,इसलिए $f = \frac{R}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ m$ है।
मान रखने पर,हमें $d = 0.2 \ m \times 0.009 = 0.0018 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = 1.8 \times 10^{-3} \ m$।

(D) अवतल दर्पण के लिए, वास्तविक प्रतिबिंब के लिए आवर्धन $m$ ऋणात्मक होता है, इसलिए $m = -3$ और $m = -2$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ और आवर्धन $m = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर, हमें $v = -mu$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $u_1 = -x$, $m_1 = -3$, इसलिए $v_1 = -(-3)(-x) = -3x$।
$\frac{1}{-3x} + \frac{1}{-x} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-3}{3x} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-4}{3x} \quad (i)$
स्थिति $2$: $u_2 = -(x+5)$, $m_2 = -2$, इसलिए $v_2 = -(-2)(-(x+5)) = -2(x+5)$।
$\frac{1}{-2(x+5)} + \frac{1}{-(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-2}{2(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-3}{2(x+5)} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{-4}{3x} = \frac{-3}{2(x+5)} \implies 8(x+5) = 9x \implies 8x + 40 = 9x \implies x = 40 \ cm$।
$x = 40$ को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{-4}{3(40)} = \frac{-4}{120} = \frac{-1}{30} \implies f = -30 \ cm$।
फोकस दूरी का परिमाण $30 \ cm$ है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_o = 2.0 \,cm$,वस्तु दूरी $u = -15 \,cm$,फोकस दूरी $f = -10 \,cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30}$.
अतः,$v = -30 \,cm$.
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = m \times h_o = -2 \times 2.0 = -4.0 \,cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है। प्रतिबिंब का आकार $4.0 \,cm$ है।

(D) वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = -3$ है। चूँकि $m = -v/u$,हमारे पास $-3 = -v/u$ है,जिसका अर्थ है $v = 3u$।
यह दिया गया है कि वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $40 \ cm$ है,और अवतल दर्पण द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब दोनों एक ही तरफ होते हैं,इसलिए दूरी $|v - u| = 40 \ cm$ है।
$v = 3u$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|3u - u| = 40$ प्राप्त होता है,इसलिए $|2u| = 40$,जो $u = -20 \ cm$ देता है (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
तब $v = 3(-20) = -60 \ cm$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-60} + \frac{1}{-20} = \frac{-1 - 3}{60} = \frac{-4}{60} = \frac{-1}{15}$।
अतः,$f = -15 \ cm$।

(B) लंबन विधि में,प्रतिबिंब और सुई के बीच लंबन का निरीक्षण करने के लिए हमें वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करना आवश्यक है।
अवतल दर्पण के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब तभी बनता है जब वस्तु को मुख्य फोकस $(F)$ के परे रखा जाता है।
यदि वस्तु को ध्रुव $(P)$ और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाता है,तो बनने वाला प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित होता है,जिसका उपयोग लंबन विधि के लिए नहीं किया जा सकता क्योंकि इसे पर्दे पर प्राप्त नहीं किया जा सकता है या वास्तविक संपाती बिंदु के रूप में नहीं देखा जा सकता है।
इसलिए,वस्तु को मुख्य फोकस $(F)$ के परे किसी भी बिंदु पर रखा जाना चाहिए।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -15 \text{ cm}$ और वस्तु की दूरी $u = -10 \text{ cm}$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-15} - \frac{1}{-10} = -\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{-2 + 3}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30 \text{ cm}$।
चूंकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,जिसका अर्थ है कि यह आभासी और सीधा है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{30}{-10} = +3$ है।
चूंकि आवर्धन $m$ धनात्मक है और $|m| > 1$ है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित (बड़ा) है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -10 \text{ cm}$ है।
छड़ $u_1 = -20 \text{ cm}$ से $u_2 = -30 \text{ cm}$ तक रखी गई है (क्योंकि लंबाई $10 \text{ cm}$ है और निकटतम सिरा ध्रुव से $20 \text{ cm}$ की दूरी पर है)।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
निकटतम सिरे के लिए $u_1 = -20 \text{ cm}$:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{20} \implies v_1 = -20 \text{ cm}$.
दूरस्थ सिरे के लिए $u_2 = -30 \text{ cm}$:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_2} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15} \implies v_2 = -15 \text{ cm}$.
प्रतिबिंब की लंबाई दोनों सिरों के प्रतिबिंबों के बीच की दूरी है:
$\text{प्रतिबिंब की लंबाई} = |v_1 - v_2| = |-20 - (-15)| = |-5| = 5 \text{ cm}$.

(B) अवतल दर्पण के लिए,आवर्धन $m = \pm 2$ हो सकता है क्योंकि प्रतिबिंब वास्तविक (उल्टा) या आभासी (सीधा) हो सकता है।
फोकस दूरी $f = -10$ cm.
$1$) वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -2$:
$m = \frac{f}{f-u}$ का उपयोग करते हुए,$-2 = \frac{-10}{-10-u} \Rightarrow -2 = \frac{10}{10+u} \Rightarrow -20 - 2u = 10 \Rightarrow 2u = -30 \Rightarrow u_1 = -15$ cm.
$2$) आभासी प्रतिबिंब के लिए,$m = +2$:
$m = \frac{f}{f-u}$ का उपयोग करते हुए,$2 = \frac{-10}{-10-u} \Rightarrow 2 = \frac{10}{10+u} \Rightarrow 20 + 2u = 10 \Rightarrow 2u = -10 \Rightarrow u_2 = -5$ cm.
दोनों स्थितियों के बीच की दूरी $|u_1 - u_2| = |-15 - (-5)| = |-10| = 10$ cm है।