Refraction Through Prism Questions in Hindi

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन का कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
जब प्रिज्म हवा में होता है,तो विचलन $\delta_a = (_a\mu_g - 1)A$ होता है।
जब प्रिज्म पानी में होता है,तो पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
पानी में विचलन $\delta_w = (_w\mu_g - 1)A = \left( \frac{9}{8} - 1 \right)A = \frac{1}{8}A$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{\delta_w}{\delta_a} = \frac{(1/8)A}{(1/2)A} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया विचलन $\delta_w = \frac{\delta_a}{4}$ होगा।

(A) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $\theta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\theta = (\mu_v - \mu_r)A$,जहाँ $\mu_v$ बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक है,$\mu_r$ लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक है,और $A$ प्रिज्म का कोण है।
दिया गया है:
$\mu_v = 1.66$
$\mu_r = 1.64$
$A = 10^o$
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = (1.66 - 1.64) \times 10^o$
$\theta = 0.02 \times 10^o$
$\theta = 0.2^o$
अतः,कोणीय विक्षेपण $0.2^o$ है।

(D) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
दिया गया है:
प्रिज्म कोण $A = 60^\circ$
न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^\circ$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{60^\circ + 30^\circ}{2} \right)}{\sin \left( \frac{60^\circ}{2} \right)}$
$\mu = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
चूंकि $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$\mu \approx 1.414$

(A) प्रकाश के अवरक्त स्पेक्ट्रम को साधारण कांच के प्रिज्म (जैसे फ्लिंट या क्राउन ग्लास) का उपयोग करके नहीं देखा जा सकता है क्योंकि वे अवरक्त विकिरण को अवशोषित कर लेते हैं।
रॉक साल्ट $(NaCl)$ अवरक्त विकिरण के लिए पारदर्शी होता है,जो इसे बिना किसी महत्वपूर्ण अवशोषण के इन तरंग दैर्ध्य को प्रसारित करने की अनुमति देता है।
इसलिए,प्रकाश के अवरक्त स्पेक्ट्रम का अध्ययन करने के लिए विशेष रूप से रॉक साल्ट प्रिज्म का उपयोग किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^o$ होता है। जब प्रकाश की किरण एक सतह पर लंबवत आपतित होती है,तो पहली सतह पर आपतन कोण $0^o$ होता है,इसलिए अपवर्तन कोण भी $0^o$ होता है। किरण सीधी चलती है और दूसरी सतह पर $i = A = 60^o$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$1.5$ अपवर्तनांक वाले प्रिज्म के पदार्थ के लिए क्रांतिक कोण $C$ इस प्रकार है:
$C = \sin^{-1}(1/\mu) = \sin^{-1}(1/1.5) = \sin^{-1}(2/3) \approx 41.8^o$.
चूंकि दूसरी सतह पर आपतन कोण $(i = 60^o)$ क्रांतिक कोण $(C \approx 41.8^o)$ से अधिक है,इसलिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन की शर्त पूरी होती है।
अतः,किरण दूसरी अपवर्तक सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है।

(D) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = 30^o$ है,इसलिए निर्गत कोण $e = 30^o$ होगा।
निर्गत किरण और दूसरी अपवर्तक सतह के बीच का कोण $(90^o - e)$ द्वारा दिया जाता है।
$e$ का मान रखने पर,हमें $90^o - 30^o = 60^o$ प्राप्त होता है।

(C) एक पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $\theta$ का सूत्र है: $\theta = (\mu_v - \mu_R)A$.
दिया गया है:
प्रिज्म का कोण $A = 5^o$.
बैंगनी रंग के लिए अपवर्तनांक $\mu_v = 1.6$.
लाल रंग के लिए अपवर्तनांक $\mu_R = 1.5$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = (1.6 - 1.5) \times 5^o$.
$\theta = 0.1 \times 5^o = 0.5^o$.
अतः,प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $0.5^o$ है।

(D) एक पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $\theta$ का सूत्र $\theta = (\mu_v - \mu_r)A$ होता है,जहाँ $\mu_v$ और $\mu_r$ बैंगनी और लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक हैं और $A$ प्रिज्म का अपवर्तक कोण है।
चूंकि दोनों प्रिज्म एक ही पदार्थ (क्राउन ग्लास) से बने हैं,इसलिए $(\mu_v - \mu_r)$ का मान दोनों के लिए समान रहेगा।
अतः,कोणीय विक्षेपण का अनुपात $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{A_1}{A_2}$ होगा।
यहाँ $A_1 = 10^o$ और $A_2 = 20^o$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{10^o}{20^o} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,अनुपात $1:2$ है।

(D) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 30^\circ$,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$।
चूंकि प्रकाश की किरण एक फलक पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए आपतन कोण $i = 0^\circ$,जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $r_1 = 0^\circ$ है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करने पर,हमें $30^\circ = 0^\circ + r_2$ प्राप्त होता है,इसलिए $r_2 = 30^\circ$।
दूसरे पृष्ठ (फलक $AC$) पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \sin e$।
मान रखने पर: $\sqrt{2} \sin 30^\circ = \sin e$।
$\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \sin e \Rightarrow \sin e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,निर्गत कोण $e = 45^\circ$ है।
विचलन कोण $\delta$,$\delta = e - A$ द्वारा दिया जाता है (चूंकि $i=0$ और $r_1=0$): $\delta = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$।

(C) प्रिज्म का अपवर्तनांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
यह दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर है,इसलिए हम सूत्र में $\delta_m = A$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mu = \frac{2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2\cos(\frac{A}{2})$
दिया गया है कि $\mu = 1.732 = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\sqrt{3} = 2\cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 30^\circ$,जिसका अर्थ है कि $A = 60^\circ$।

(B) दिया गया है: अपवर्तक कोण $A = 60^\circ$,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^\circ$ है।
तरल के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin((60^\circ + 30^\circ)/2)}{\sin(60^\circ/2)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$
अपवर्तनांक और क्रांतिक कोण $C$ के बीच संबंध $\mu = 1/\sin(C)$ है।
इसलिए,$\sin(C) = 1/\mu = 1/\sqrt{2}$ है।
अतः,$C = \sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = 45^\circ$।

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $\mu$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
यह दिया गया है कि तीनों प्रिज्मों के लिए प्रिज्म कोण $A = 60^o$ समान है,इसलिए विचलन कोण $\delta$ सीधे अपवर्तनांक $\mu$ पर निर्भर करता है,अर्थात $\delta \propto (\mu - 1)$।
दिए गए प्रिज्मों के लिए:
$\mu_1 = 1.4 \implies \delta_1 = (1.4 - 1) \times 60^o = 0.4 \times 60^o = 24^o$
$\mu_2 = 1.5 \implies \delta_2 = (1.5 - 1) \times 60^o = 0.5 \times 60^o = 30^o$
$\mu_3 = 1.6 \implies \delta_3 = (1.6 - 1) \times 60^o = 0.6 \times 60^o = 36^o$
मानों की तुलना करने पर,हमें $\delta_3 > \delta_2 > \delta_1$ प्राप्त होता है।

(C) प्रिज्म के लिए न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है।
इसका अर्थ है कि आपतन कोण $(i_1)$ निर्गत कोण $(i_2)$ के बराबर होता है,अर्थात $i_1 = i_2$।
परिणामस्वरूप,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $(r_1)$ दूसरी सतह पर आपतन कोण $(r_2)$ के बराबर होता है,अर्थात $r_1 = r_2$।
चूंकि $i_1 = i_2$ और $r_1 = r_2$ है,इसलिए $i_1 = r_1$ की स्थिति सामान्यतः सत्य नहीं होती है,जब तक कि प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $1$ न हो,जो प्रिज्म के लिए भौतिक रूप से असंभव है।
अतः,कथन $i_1 = r_1$ $FALSE$ (असत्य) है।

(C) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $\theta = \omega \delta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ विक्षेपण क्षमता है और $\delta$ माध्य कोणीय विचलन है।
दो प्रिज्मों के लिए बिना विक्षेपण के विचलन प्राप्त करने के लिए,कुल कोणीय विक्षेपण शून्य होना चाहिए।
$\theta_{net} = \theta + \theta' = 0$
मान रखने पर,हमें $\omega d + \omega' d' = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही शर्त $\omega d + \omega' d' = 0$ है।

(D) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^o$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = 45^o$ और निर्गत कोण $e = 45^o$ है।
आपतन कोण,निर्गत कोण,प्रिज्म के कोण और विचलन कोण $\delta$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$i + e = A + \delta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$45^o + 45^o = 60^o + \delta$
$90^o = 60^o + \delta$
$\delta = 90^o - 60^o = 30^o$.
अतः,विचलन कोण $30^o$ होगा।

(C) प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन का कोण $\delta_m = A$ है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में रखते हैं:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2\cos(\frac{A}{2})$.
$A$ के लिए हल करने पर:
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\mu}{2} \Rightarrow \frac{A}{2} = \cos^{-1}(\frac{\mu}{2}) \Rightarrow A = 2\cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$.

(B) प्रिज्म $Q$ और $R$ समान पदार्थ के हैं और उनका आकार प्रिज्म $P$ के समान है।
जब इन प्रिज्मों को चित्र में दिखाए अनुसार व्यवस्थित किया जाता है,तो प्रिज्म $Q$ और $R$ का संयोजन प्रभावी रूप से समानांतर फलकों वाले कांच के स्लैब के रूप में कार्य करता है।
समानांतर फलकों वाले कांच के स्लैब से गुजरने वाली प्रकाश की किरण पार्श्व विस्थापन का अनुभव करती है लेकिन इसमें कोई शुद्ध कोणीय विचलन नहीं होता है।
इसलिए,प्रकाश किरण द्वारा अनुभव किया गया कुल विचलन केवल प्रिज्म $P$ द्वारा उत्पन्न विचलन के समान रहता है,जो कि न्यूनतम विचलन है।

(C) प्रिज्म का कोण,प्रिज्म की दो अपवर्तक सतहों के बीच का कोण होता है।
दी गई आकृति में,प्रकाश एक सतह से प्रवेश करता है और दूसरी सतह से बाहर निकलता है। दोनों अपवर्तक सतहें शीर्ष $C$ पर मिलती हैं।
इसलिए,शीर्ष $C$ पर बना कोण प्रिज्म का कोण है।

(A) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,अपवर्तनांक $\mu$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच संबंध है: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$.
दिया गया है: $\mu = \sqrt{2}$ और $A = 60^{\circ}$.
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(30^{\circ})}$.
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए: $\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$.

(A) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,अपवर्तन का कोण $r$,प्रिज्म के कोण $A$ से $r = \frac{A}{2}$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
दिया गया है कि प्रिज्म का कोण $A = 60^o$ है।
मान रखने पर,हमें $r = \frac{60^o}{2} = 30^o$ प्राप्त होता है।
अतः,अपवर्तन का कोण $30^o$ है।

(B) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होती है।
चूंकि प्रिज्म एक क्षैतिज मेज पर रखा गया है,इसलिए इसका आधार क्षैतिज है।
अतः,अपवर्तित किरण $QR$ के आधार के समानांतर होने के लिए,$QR$ को भी क्षैतिज होना चाहिए।

(A) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta$ को संबंध $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\mu$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
कॉशी के सूत्र के अनुसार, अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu \propto \frac{1}{\lambda^2})$।
चूंकि दृश्य स्पेक्ट्रम में लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है, इसलिए यह सबसे कम अपवर्तनांक $\mu$ का अनुभव करता है।
परिणामस्वरूप, अन्य रंगों की तुलना में लाल रंग न्यूनतम विचलन $\delta$ का अनुभव करता है।

(A) न्यूनतम विचलन की स्थिति में प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
दिया गया है: अपवर्तक कोण $A = 60^{\circ}$ और न्यूनतम विचलन $\delta_m = 38^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin(\frac{60^{\circ} + 38^{\circ}}{2})}{\sin(\frac{60^{\circ}}{2})}$
$\mu = \frac{\sin(\frac{98^{\circ}}{2})}{\sin(30^{\circ})}$
$\mu = \frac{\sin(49^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$
$\sin(49^{\circ}) \approx 0.7547$ और $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ का मान उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{0.7547}{0.5} = 1.5094 \approx 1.5$.

(D) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन का सूत्र $\delta = i_1 + i_2 - A$ है,जहाँ $\delta$ विचलन कोण है,$i_1$ आपतन कोण है,$i_2$ निर्गत कोण है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
दिए गए मान $\delta = 55^o$,$i_1 = 15^o$ और $A = 60^o$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $55^o = 15^o + i_2 - 60^o$.
$55^o = i_2 - 45^o$.
$i_2 = 55^o + 45^o = 100^o$.
चूंकि प्रिज्म से किरण के बाहर निकलने के लिए निर्गत कोण $i_2$ को प्रिज्म पदार्थ के क्रांतिक कोण से कम होना चाहिए,इसलिए $100^o$ का कोण भौतिक रूप से असंभव है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एक्रोमैटिक संयोजन के लिए,शुद्ध फैलाव शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि फैलाव शक्तियां इस शर्त को पूरा करती हैं: $(\mu_{v,C} - \mu_{r,C})A_C = -(\mu_{v,F} - \mu_{r,F})A_F$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\mu_{r,C}A_C + \mu_{r,F}A_F = \mu_{v,C}A_C + \mu_{v,F}A_F$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\mu_{r,C}A_C + \mu_{r,F}A_F = (1.5 \times 19) + (1.66 \times 6) = 28.5 + 9.96 = 38.46 \approx 38.5$.
लाल प्रकाश के लिए परिणामी विचलन इस प्रकार है: $\delta_r = (\mu_{r,C} - 1)A_C + (\mu_{r,F} - 1)A_F$.
$\delta_r = (\mu_{r,C}A_C + \mu_{r,F}A_F) - (A_C + A_F)$.
$\delta_r = 38.5 - (19 + 6) = 38.5 - 25 = 13.5^o$.

(D) प्रिज्म $120^\circ$ के शीर्ष कोण के साथ समद्विबाहु है। आधार कोण $(180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$ हैं।
प्रिज्म की सतह पर आपतन कोण $i$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$1.44 \sin(30^\circ) = 1 \sin(e)$,
जहाँ $e$ निर्गत कोण है। इसलिए,$\sin(e) = 1.44 \times 0.5 = 0.72$,अर्थात $e = \sin^{-1}(0.72)$.
प्रत्येक किरण का विचलन $\delta = e - r = \sin^{-1}(0.72) - 30^\circ$ है।
बाहर निकलने वाली दो किरणों के बीच का कुल कोण $2\delta = 2\{\sin^{-1}(0.72) - 30^\circ\}$ होगा।

(D) मान लीजिए कि पहली सतह पर आपतन कोण $i$ है। चूंकि किरण बिना किसी विचलन के प्रिज्मों से गुजरती है,इसलिए अंतिम सतह से निर्गत कोण भी $i$ होना चाहिए।
प्रत्येक इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1$. पहले इंटरफ़ेस पर (हवा से प्रिज्म $n_1$): $1 \cdot \sin i = n_1 \cdot \sin r_1 \implies \sin^2 i = n_1^2 \sin^2 r_1$ ... $(i)$
$2$. प्रिज्म $n_1$ और $n_2$ के बीच के इंटरफ़ेस पर: $n_1 \cdot \sin(90^\circ - r_1) = n_2 \cdot \sin r_2 \implies n_1 \cos r_1 = n_2 \sin r_2 \implies n_1^2 \cos^2 r_1 = n_2^2 \sin^2 r_2$ ... $(ii)$
$3$. प्रिज्म $n_2$ और $n_3$ के बीच के इंटरफ़ेस पर: $n_2 \cdot \sin(90^\circ - r_2) = n_3 \cdot \sin r_3 \implies n_2 \cos r_2 = n_3 \sin r_3 \implies n_2^2 \cos^2 r_2 = n_3^2 \sin^2 r_3$ ... $(iii)$
$4$. अंतिम इंटरफ़ेस पर (प्रिज्म $n_3$ से हवा में): $n_3 \cdot \sin(90^\circ - r_3) = 1 \cdot \sin i \implies n_3 \cos r_3 = \sin i \implies n_3^2 \cos^2 r_3 = \sin^2 i$ ... $(iv)$
$(i)$,$(ii)$,$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$\sin^2 i + n_1^2 \cos^2 r_1 + n_2^2 \cos^2 r_2 + n_3^2 \cos^2 r_3 = n_1^2 \sin^2 r_1 + n_2^2 \sin^2 r_2 + n_3^2 \sin^2 r_3 + \sin^2 i$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$n_1^2 + n_3^2 = 1 + n_2^2$.

(A) एक प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $(\delta)$ और आपतन कोण $(i)$ के बीच का संबंध सूत्र $\delta = (i + e) - A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ निर्गत कोण है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
जैसे-जैसे आपतन कोण $(i)$ बढ़ता है,विचलन कोण $(\delta)$ शुरू में घटता है।
यह एक विशिष्ट आपतन कोण पर न्यूनतम विचलन कोण $(\delta_m)$ नामक न्यूनतम मान तक पहुँचता है।
इस बिंदु के बाद,जैसे-जैसे आपतन कोण $(i)$ बढ़ना जारी रहता है,विचलन कोण $(\delta)$ फिर से बढ़ने लगता है।
इसलिए,$\delta$ और $i$ के बीच का ग्राफ एक परवलय जैसा वक्र है जो एक न्यूनतम मान दिखाता है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ का सूत्र है:
$\delta_m = (\mu - 1)A$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ $y = \delta_m$,$x = \mu$,$m = A$,और $c = -A$ है।
बिंदु $P$ पर,विचलन $\delta_m = 0$ है। इस मान को सूत्र में रखने पर:
$0 = (\mu - 1)A$
चूंकि $A \neq 0$,इसलिए $\mu - 1 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\mu = 1$ है। अतः,बिंदु $P$,$\mu = 1$ के अनुरूप है।
$\delta_m = A\mu - A$ की तुलना $y = mx + c$ से करने पर,ढाल $m$ का मान $A$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 5^o$,लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $\mu_R = 1.5$,और बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $\mu_V = 1.6$ है।
पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $\theta$ का सूत्र है:
$\theta = (\mu_V - \mu_R) A$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\theta = (1.6 - 1.5) \times 5^o$
$\theta = 0.1 \times 5^o$
$\theta = 0.5^o$
अतः,प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $0.5^o$ है।

(C) दिया गया है: कांच का हवा के सापेक्ष अपवर्तनांक $^{a}\mu_{g} = 1.53$,पानी का हवा के सापेक्ष अपवर्तनांक $^{a}\mu_{w} = 1.33$,और प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
पानी के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक:
$^{w}\mu_{g} = \frac{^{a}\mu_{g}}{^{a}\mu_{w}} = \frac{1.53}{1.33} \approx 1.15$.
न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$ का सूत्र:
$^{w}\mu_{g} = \frac{\sin(\frac{A + \delta_{m}}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
मान रखने पर:
$1.15 = \frac{\sin(\frac{60^{\circ} + \delta_{m}}{2})}{\sin(30^{\circ})}$.
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ है:
$\sin(\frac{60^{\circ} + \delta_{m}}{2}) = 1.15 \times 0.5 = 0.575$.
इनवर्स साइन लेने पर:
$\frac{60^{\circ} + \delta_{m}}{2} = \sin^{-1}(0.575) \approx 35.1^{\circ}$.
$\delta_{m}$ के लिए हल करने पर:
$60^{\circ} + \delta_{m} = 70.2^{\circ} \implies \delta_{m} = 10.2^{\circ}$.

(B) प्रिज्म से गुजरने वाली प्रकाश किरण के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति यह है कि आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर हो $(i = e)$।
इस सममित स्थिति में,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण $(QR)$ प्रिज्म के आधार के समानांतर हो जाती है।
चूंकि प्रिज्म एक क्षैतिज मेज पर रखा गया है,इसलिए इसका आधार क्षैतिज है।
अतः,न्यूनतम विचलन के लिए,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण $QR$ को क्षैतिज होना चाहिए।

(A) छोटे अपवर्तक कोण $A$ और अपवर्तनांक $\mu$ वाले एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\delta = (\mu - 1) A$
यह सूत्र सामान्य प्रिज्म सूत्र $\delta = i + e - A$ से प्राप्त होता है। छोटे कोणों के लिए,आपतन कोण और अपवर्तन कोण छोटे होते हैं,जिससे $\delta = (\mu - 1) A$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ और प्रिज्म कोण $A = 30^\circ$ है।
चूंकि प्रकाश किरण पॉलिश की गई सतह से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,इसलिए इसे पॉलिश की गई सतह पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
अतः,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^\circ$ है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ से,$30^\circ = r_1 + 0^\circ$,जिससे $r_1 = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^\circ}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^\circ = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$i = 45^\circ$.

(C) एक त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $(\delta)$ आपतन कोण $(i)$ के साथ बदलता है।
जैसे-जैसे आपतन कोण $(i)$ बढ़ता है,विचलन कोण $(\delta)$ पहले घटता है,न्यूनतम विचलन कोण $(\delta_m)$ नामक न्यूनतम मान तक पहुँचता है और फिर बढ़ता है।
यह संबंध एक $U$-आकार के वक्र द्वारा दर्शाया जाता है,जो प्रिज्म के लिए विचलन बनाम आपतन कोण ग्राफ की विशेषता है।

(A) एक प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $(\delta)$ आपतन कोण $(i)$ पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे आपतन कोण $(i)$ बढ़ता है,विचलन कोण $(\delta)$ पहले घटता है,एक न्यूनतम मान (जिसे न्यूनतम विचलन कोण,$\delta_m$ कहा जाता है) तक पहुँचता है,और फिर बढ़ना शुरू हो जाता है।
यह संबंध एक परवलयाकार वक्र द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $\delta$ को $y$-अक्ष पर और $i$ को $x$-अक्ष पर आलेखित किया जाता है।
ग्राफ $\delta$ के एक निश्चित मान से शुरू होता है,न्यूनतम तक घटता है और फिर से बढ़ता है।
यह पहले विकल्प (चित्र $179-$a126) में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(A) प्रिज्म में,विचलन कोण $\delta$ को $\delta = (i_1 + i_2) - A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है।
न्यूनतम विचलन के लिए,शर्त यह है कि आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$i_1 = i_2$।
इस स्थिति में,प्रिज्म के अंदर प्रकाश की किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर गुजरती है।

(C) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए शर्त $(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$ है।
दिया गया है: $A = 15^\circ$,$\mu = 1.65$,$\omega = 0.03$ (फ्लिंट) और $\mu' = 1.52$,$\omega' = 0.02$ (क्राउन)।
मान रखने पर: $(1.65 - 1) \times 15^\circ + (1.52 - 1) \times A' = 0$.
$0.65 \times 15^\circ + 0.52 \times A' = 0$.
$A' = -\frac{0.65 \times 15^\circ}{0.52} = -18.75^\circ$.
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि प्रिज्म विपरीत दिशा में रखे गए हैं।
शुद्ध कोणीय विक्षेपण $\delta_{\theta} = \omega(\mu - 1)A + \omega'(\mu' - 1)A'$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $(\mu - 1)A = -(\mu' - 1)A'$,इसलिए $\delta_{\theta} = \omega(\mu - 1)A - \omega'(\mu - 1)A = (\omega - \omega')(\mu - 1)A$.
$\delta_{\theta} = (0.03 - 0.02) \times (1.65 - 1) \times 15^\circ$.
$\delta_{\theta} = 0.01 \times 0.65 \times 15^\circ = 0.0975^\circ$.

(C) दिया गया है: आपतन कोण $i = 60^{\circ}$,प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,विचलन कोण $\delta = 30^{\circ}$।
विचलन कोण के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\delta = i + e - A$।
मान रखने पर: $30^{\circ} = 60^{\circ} + e - 30^{\circ}$।
निर्गमन कोण के लिए हल करने पर: $e = 0^{\circ}$।
चूंकि $e = 0^{\circ}$,निर्गत किरण दूसरी सतह पर अभिलंबवत है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करते हुए: $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,जिससे $r_1 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(A) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^\circ$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A = 60^\circ$ है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$i = \frac{A + \delta_m}{2}$
मान रखने पर:
$i = \frac{60^\circ + 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
अतः,आपतन कोण $60^\circ$ है।

(B) प्रिज्म के लिए,आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$i = \frac{A + \delta_m}{2}$
दिया गया है:
$A = 60^{\circ}$
$\delta_m = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$i = \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$
अतः,आपतन कोण $45^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है:
प्रिज्म का कोण,$A = 6^{\circ}$
अपवर्तनांक,$\mu = 1.5$
पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\delta_m = (\mu - 1)A$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\delta_m = (1.5 - 1) \times 6^{\circ}$
$\delta_m = 0.5 \times 6^{\circ}$
$\delta_m = 3^{\circ}$
अतः,न्यूनतम विचलन कोण $3^{\circ}$ होगा।

(A) एक प्रिज्म में,विचलन कोण $\delta$ का संबंध $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है,$e$ निर्गत कोण है,और $A$ प्रिज्म कोण है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है।
यह समरूपता दर्शाती है कि आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है,अर्थात $i = e$।
इसलिए,न्यूनतम विचलन पर,निर्गत कोण आपतन कोण के बराबर होता है।

(C) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति में आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $i = \frac{A + \delta_m}{2}$.
दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 40^{\circ}$ और आपतन कोण $i = 38^{\circ}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$38 = \frac{40 + \delta_m}{2}$
$76 = 40 + \delta_m$
$\delta_m = 76 - 40 = 36^{\circ}$.
अतः,न्यूनतम विचलन कोण $36^{\circ}$ है।

(D) चूंकि आपतित किरण अपने पथ पर वापस लौटती है,इसलिए इसे प्रिज्म की चांदी वाली सतह पर लंबवत (अर्थात $90^\circ$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए।
प्रिज्म के शीर्षों को $A, B, C$ मानिए,जहाँ $D$ सतह $AC$ पर आपतन बिंदु है और $E$ चांदी वाली सतह पर बिंदु है। $\triangle AED$ में,कोण $30^\circ, 90^\circ$ और $\angle ADE$ हैं।
$\triangle AED$ के कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$30^\circ + 90^\circ + \angle ADE = 180^\circ \Rightarrow \angle ADE = 60^\circ$.
अपवर्तन कोण $r$,$D$ पर अभिलंब और अपवर्तित किरण $DE$ के बीच का कोण है। चूंकि अभिलंब सतह $AC$ के लंबवत है,इसलिए $\angle r + \angle ADE = 90^\circ$ होगा।
$\angle r = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
सतह $AC$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$
$\sin i = \sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ$
$\sin i = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = 45^\circ$।

(A) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 60^\circ$,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$।
न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
मान रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((60^\circ + \delta_m)/2)}{\sin(60^\circ/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin(30^\circ + \delta_m/2)}{\sin(30^\circ)}$
हम जानते हैं कि $\sin(30^\circ) = 0.5$:
$\sqrt{2} \times 0.5 = \sin(30^\circ + \delta_m/2)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(30^\circ + \delta_m/2)$
हम जानते हैं कि $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$45^\circ = 30^\circ + \delta_m/2$
$15^\circ = \delta_m/2$
$\delta_m = 30^\circ$.

(C) न्यूनतम विचलन की स्थिति में प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$।
दिया गया है: $\mu = \sqrt{2}$ और $A = 60^{\circ}$।
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2})}{\sin(30^{\circ})}$।
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए: $\sqrt{2} \times 0.5 = \sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2})$।
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2}) \Rightarrow \sin(45^{\circ}) = \sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2})$।
कोणों की तुलना करने पर: $45^{\circ} = \frac{60^{\circ} + \delta_m}{2} \Rightarrow 90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m \Rightarrow \delta_m = 30^{\circ}$।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$ का सूत्र है: $i = \frac{A + \delta_m}{2}$।
$i = \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^o$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और $i = e = (3/4)A$ है।
$A$ का मान रखने पर:
$i = e = (3/4) \times 60^o = 45^o$ प्राप्त होता है।
विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है:
$\delta = i + e - A$.
ज्ञात मानों को रखने पर:
$\delta = 45^o + 45^o - 60^o$.
$\delta = 90^o - 60^o = 30^o$.
अतः,विचलन कोण $30^o$ है।