Refraction Through Prism Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $n_1$ એ પ્રથમ સપાટીની બહારના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે, $n_2$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે, અને $n_3$ એ બીજી સપાટીની બહારના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે।
કિરણ લંબ તરફ વળે તે માટે, તેણે પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જવું જોઈએ $(n_{\text{આપાત}} < n_{\text{વક્રીભૂત}})$।
કિરણ લંબથી દૂર જાય તે માટે, તેણે ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ $(n_{\text{આપાત}} > n_{\text{વક્રીભૂત}})$।
કિસ્સા $(a)$ માં, કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ તરફ વળે છે $(n_1 < n_2)$ અને બીજી સપાટી પરથી ઘસાઈને જાય છે, જે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અથવા ક્રાંતિકોણની સ્થિતિ સૂચવે છે $(n_2 > n_3)$। આમ, $n_2 > n_1$ અને $n_2 > n_3$ સાચું છે।
કિસ્સા $(b)$ માં, કિરણ પ્રથમ સપાટી પર વિચલન વગર પ્રવેશ કરે છે $(n_1 = n_2)$ અને બીજી સપાટી પર લંબથી દૂર જાય છે $(n_2 > n_3)$। આ સાચું છે।
કિસ્સા $(c)$ માં, કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ તરફ વળે છે $(n_1 < n_2)$ અને બીજી સપાટી પર લંબથી દૂર જાય છે $(n_2 > n_3)$। વિધાન કહે છે કે $n_2 < n_1$ અને $n_2 = n_3$, જે અવલોકન કરેલા વળાંકથી વિરોધાભાસી છે। તેથી, $(c)$ ખોટું વિધાન છે।

(D) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta = (i + e) - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ એ નિર્ગમન કોણ જેટલો હોય છે,એટલે કે $i = e$.
આ સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનું પ્રકાશનું કિરણ પાયાને સમાંતર ગતિ કરે છે અને વક્રીભવન કોણ $r$ એ $r_1 = r_2 = r$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $A = r_1 + r_2$,તેથી $A = 2r$ થાય.
આપેલ પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$ હોવાથી,વક્રીભવન કોણ $r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ મળે છે.
આ સ્થિતિ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અથવા રંગથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,લાલ અને જાંબલી બંને રંગો માટે વક્રીભવન કોણ $30^{\circ}$ રહેશે.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ અથવા વક્રીભવન કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{m}$ એ વક્રીભવન કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી $\delta_{m} = A = 60^{\circ}$.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
કારણ કે $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(C) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\delta_{B} - \delta_{R}}{\delta_{y}}$ છે,જ્યાં $\delta_{B}$ અને $\delta_{R}$ એ વાદળી અને લાલ કિરણો માટેનું વિચલન છે,અને $\delta_{y}$ એ સરેરાશ વિચલન છે,જે $\delta_{y} = \frac{\delta_{B} + \delta_{R}}{2}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રિઝમ માટે:
$\delta_{B1} = 12^{\circ}$,$\delta_{R1} = 8^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{12^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_{1} = \frac{12^{\circ} - 8^{\circ}}{10^{\circ}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
બીજા પ્રિઝમ માટે:
$\delta_{B2} = 14^{\circ}$,$\delta_{R2} = 10^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{14^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_{2} = \frac{14^{\circ} - 10^{\circ}}{12^{\circ}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{2/5}{1/3} = \frac{2}{5} \times 3 = \frac{6}{5}$ છે.

(B) આસપાસના પ્રવાહીની સાપેક્ષે પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ શોધવાનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$, જ્યાં $A$ એ વક્રીભૂત કોણ છે અને $\delta_m$ એ લઘુત્તમ વિચલન કોણ છે.
આપેલ છે કે $A = 60^{\circ}$ અને $\delta_m = 30^{\circ}$, તેથી:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$.
ક્રાંતિકોણ $(C)$ અને વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો સંબંધ: $\sin(C) = 1/\mu$.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $\sin(C) = 1/\sqrt{2}$.
તેથી, $C = 45^{\circ}$.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
જ્યારે પ્રિઝમની અંદર પ્રકાશનું કિરણ પાયાને સમાંતર ગતિ કરે છે,ત્યારે કિરણ લઘુત્તમ વિચલન અનુભવે છે,જેનો અર્થ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r_1$ એ $r_2$ જેટલો હોય છે.
કારણ કે $r_1 + r_2 = A$,તેથી $2r = 60^{\circ}$,જે આપણને $r = 30^{\circ}$ આપે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
અહીં $\mu = \sqrt{3}$ અને $r = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{3} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\sin i = \sqrt{3} \times 0.5 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$i = 60^{\circ}$.

(D) ચાંદીની બીજી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પ્રકાશનું કિરણ પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે તે માટે, તેણે બીજી સપાટી પર લંબરૂપે (સપાટી સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે $i = 60^{\circ}$ એ પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ છે, $r_1$ એ પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભૂતકોણ છે અને $A = 30^{\circ}$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી, બીજી સપાટી પરનો વક્રીભૂતકોણ $r_2 = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ મુજબ, આપણે જાણીએ છીએ કે $A = r_1 + r_2$.
કિંમતો મૂકતા, $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$, તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin(i)}{\sin(r_1)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
આમ, પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\sqrt{3}$ છે.

(D) પ્રિઝમમાં,ધારો કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પ્રથમ સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે $r_1$ ખૂણે વક્રીભવન પામે છે.
જ્યારે તે બીજી સપાટી પર પહોંચે છે,ત્યારે તે લંબ સાથે $r_2$ ખૂણે આપાત થાય છે.
પ્રિઝમની બે સપાટીઓ અને બે લંબ દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણની ભૂમિતિ પરથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ અને બે લંબ વચ્ચેના ખૂણાનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
વળી,પ્રિઝમની અંદર વક્રીભૂત કિરણ અને બે વક્રીભવનકારક સપાટીઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,જે $A + r_1 + r_2 = 180^{\circ}$ આપે છે (ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લેતા).
આમ,પ્રિઝમનો ખૂણો અને વક્રીભવનકોણ વચ્ચેનો સંબંધ $A = r_1 + r_2$ છે.

(A) જ્યારે કિરણ પ્રિઝમની એક સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તે વિચલન પામ્યા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે. ધારો કે પ્રિઝમ $ABC$ છે જેનો વક્રીભૂત કોણ $A = 30^{\circ}$ છે.
બીજી સપાટી $AB$ પર,આપાતકોણ $i$ એ પ્રિઝમના વક્રીભૂત કોણ જેટલો હોય છે,તેથી $i = 30^{\circ}$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin i = 1 \sin e$,જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે.
$1.5 \times \sin 30^{\circ} = \sin e$
$1.5 \times 0.5 = \sin e$
$\sin e = 0.75$
આપેલ છે કે $\sin 48^{\circ} 36^{\prime} = 0.75$,તેથી $e = 48^{\circ} 36^{\prime}$.
લંબ રૂપે આપાત થતા કિરણ માટે વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = e - i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\delta = 48^{\circ} 36^{\prime} - 30^{\circ} = 18^{\circ} 36^{\prime}$.

(D) આપેલ છે કે,આપાતકોણ $i = 0^{\circ}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
પ્રથમ સપાટી પર,કિરણ લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,વક્રીભવન કોણ $r_1 = 0^{\circ}$ થાય.
સંબંધ $r_1 + r_2 = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0^{\circ} + r_2 = 60^{\circ}$ મળે છે,તેથી $r_2 = 60^{\circ}$.
પ્રિઝમ માટે ક્રાંતિકોણ $C$ એ $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $C = 45^{\circ}$.
બીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r_2 = 60^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ $C = 45^{\circ}$ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રકાશનું કિરણ બીજી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
પરાવર્તન પછી,કિરણ ત્રીજી સપાટી પર અથડાય છે. ત્રીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r_3 = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$ છે (ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી). $60^{\circ} > 45^{\circ}$ હોવાથી,તે ફરીથી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
અંતે,કિરણ પ્રથમ સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળે છે. કુલ વિચલન $\delta$ એ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર પણ વિરુદ્ધ દિશામાં બહાર નીકળતું હોવાથી,વિચલન $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય છે.

(C) પ્રકાશનું કિરણ બીજી સપાટી પરથી વક્રીભવન પામે તે માટે,બીજી સપાટી પરનો વક્રીભૂતકોણ $(r_2)$ એ ક્રાંતિકોણ $(C)$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
બીજી સપાટી પર વક્રીભવન માટેની શરત $r_2 < C$ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે $\sin C = 1/\mu = 1/\sqrt{7/3} = \sqrt{3/7}$ થાય.
તેથી,$\sin r_2 < \sqrt{3/7}$.
પ્રિઝમ માટે,$r_1 + r_2 = A = 60^{\circ}$,તેથી $r_2 = 60^{\circ} - r_1$.
આ કિંમત મૂકતા,$\sin(60^{\circ} - r_1) < \sqrt{3/7}$.
આપાતકોણ $(i)$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $r_1$ નું મહત્તમ મૂલ્ય જોઈએ. $r_2 < C$ હોવાથી,$r_1 > 60^{\circ} - C$ હોવું જોઈએ.
$\sin C = \sqrt{3/7} \approx 0.6546$ નો ઉપયોગ કરતા,$C \approx 40.89^{\circ}$ મળે.
તેથી,$r_1 > 60^{\circ} - 40.89^{\circ} = 19.11^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin i = \mu \sin r_1 = \sqrt{7/3} \sin(19.11^{\circ}) \approx 1.5275 \times 0.3274 \approx 0.5$.
આમ,$i > 30^{\circ}$. તેથી લઘુત્તમ ખૂણો $30^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A$.
પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin \frac{A+\delta_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = \frac{\sin \frac{A+A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{3} = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$.
આમ,$A = 60^{\circ}$.

(B) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$.
જ્યારે કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તિત થઈને પોતાના માર્ગે પાછું ફરે છે,ત્યારે તે સપાટીને લંબરૂપે અથડાવું જોઈએ (એટલે કે $90^{\circ}$ ના ખૂણે).
પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણ પરથી,વક્રીભૂતકોણ $r$ માટે: $r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$.
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,વક્રીભવન કોણ $r$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = 2r$ છે.
આપેલ છે કે $r = 30^{\circ}$,તેથી $A = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
પ્રિઝમના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ કિંમતો $\delta_m = 30^{\circ}$ અને $A = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે પ્રિઝમ કોણ $A = 90^{\circ}$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ છે.
બીજી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે, બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ $r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, તેથી $C = 45^{\circ}$.
આમ, $TIR$ માટે $r_2 > 45^{\circ}$ હોવું જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ મુજબ, $r_1 + r_2 = A = 90^{\circ}$.
$r_2 > 45^{\circ}$ મૂકતા, આપણને $r_1 < 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $\sin i = \mu \sin r_1$.
$r_1 < 45^{\circ}$ હોવાથી, $\sin r_1 < \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $\sin i < \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$, જેનો અર્થ છે કે $i < 90^{\circ}$.
પરંતુ, પ્રકાશ પ્રિઝમમાં પ્રવેશવા અને શરત સંતોષવા માટે, આપણે સીમાવર્તી સ્થિતિ જોઈએ છીએ જ્યાં $r_2 = 45^{\circ}$, જેનો અર્થ છે $r_1 = 45^{\circ}$.
ત્યારે $\sin i = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 1$, તેથી $i = 90^{\circ}$.

(A) નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર: $\delta = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
કોણીય વિક્ષેપ $\theta$ એ જાંબલી અને લાલ પ્રકાશ માટેના વિચલન કોણનો તફાવત છે: $\theta = \delta_v - \delta_r$.
વિચલનનું સૂત્ર મૂકતા: $\theta = (\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A = (\mu_v - \mu_r)A$.
આપેલ કિંમતો: $\mu_v = 1.52$,$\mu_r = 1.48$,અને $A = 6^{\circ}$.
ગણતરી: $\theta = (1.52 - 1.48) \times 6^{\circ} = 0.04 \times 6^{\circ} = 0.24^{\circ}$.
તેથી,કોણીય વિક્ષેપ $0.24^{\circ}$ છે.

(C) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A = 60^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $n$ માટેનું સૂત્ર $n = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $n = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ}) / 2)}{\sin(60^{\circ} / 2)}$.
$n = \frac{\sin(120^{\circ} / 2)}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
કારણ કે $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $n = \frac{\sqrt{3} / 2}{1 / 2} = \sqrt{3}$.
$\sqrt{3}$ ની કિંમત આશરે $1.732$ છે.

(C) નાના કોણવાળા પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ $i$,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_1$,બીજી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_2$ અને નિર્ગમનકોણ $e$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$A = r_1 + r_2$
અહીં આપેલ છે કે કિરણ બીજી સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળે છે,તેથી નિર્ગમનકોણ $e = 0^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 0^{\circ}$.
પ્રિઝમનો કોણ $A = 6^{\circ}$ હોવાથી,$r_1 = A - r_2 = 6^{\circ} - 0^{\circ} = 6^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r_1)$,જ્યાં $n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = n$ (પ્રિઝમનું દ્રવ્ય).
$1 \cdot \sin(9.3^{\circ}) = n \cdot \sin(6^{\circ})$.
નાના ખૂણા માટે $\sin(\theta) \approx \theta$ લેતા:
$n = \frac{\sin(9.3^{\circ})}{\sin(6^{\circ})} \approx \frac{9.3}{6} = 1.55$.
આમ,પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $1.55$ છે.

(D) પ્રિઝમ માટે,ખૂણાઓ વચ્ચેનો સંબંધ $A + \delta = i + e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે,$\delta$ એ વિચલનકોણ છે,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $e$ એ નિર્ગમનકોણ છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમ સમબાજુ છે,તેથી પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપાતકોણ $i$ અને નિર્ગમનકોણ $e$ બંને પ્રિઝમના ખૂણાના $70 \%$ છે.
તેથી,$i = e = 0.70 \times 60^{\circ} = 42^{\circ}$.
આ કિંમતોને $A + \delta = i + e$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$60^{\circ} + \delta = 42^{\circ} + 42^{\circ}$
$60^{\circ} + \delta = 84^{\circ}$
$\delta = 84^{\circ} - 60^{\circ} = 24^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $24^{\circ}$ છે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = A(\mu - 1)$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે અને $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે.
$1$. જ્યારે પ્રિઝમ હવામાં હોય:
હવાની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = \frac{3}{2}$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_1 = A(\frac{3}{2} - 1) = A(\frac{1}{2}) = \frac{A}{2}$ થાય.
$2$. જ્યારે પ્રિઝમ પાણીમાં હોય:
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = \frac{4}{3}$ છે. પાણીની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_2 = A(\frac{9}{8} - 1) = A(\frac{1}{8}) = \frac{A}{8}$ થાય.
$3$. લઘુત્તમ વિચલન કોણનો ગુણોત્તર:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{A/2}{A/8} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 4.2^{\circ}$.
નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$,વક્રીભવનાંક $\mu$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\delta = (\mu - 1)A$.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$4.2^{\circ} = (1.6 - 1)A$
$4.2^{\circ} = (0.6)A$
$A = \frac{4.2^{\circ}}{0.6} = 7^{\circ}$.
તેથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $7^{\circ}$ છે.

(B) પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણ માટે,પ્રથમ સપાટી પરનું વિચલનકોણ $\theta_1 = i - r_1$ છે અને બીજી સપાટી પરનું વિચલનકોણ $\theta_2 = e - r_2$ છે.
કુલ વિચલન $\delta$ એ બંને સપાટીઓ પરના વિચલનોનો સરવાળો છે:
$\delta = \theta_1 + \theta_2$
$\delta = (i - r_1) + (e - r_2)$
$\delta = (i + e) - (r_1 + r_2)$
પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\delta = i + e - A$

(C) પ્રિઝમ સંયોજન દ્વારા વિચલન વગરના વિભાજન માટે,કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\delta_{net} = \delta_1 - \delta_2 = 0$
$\Rightarrow \delta_1 = \delta_2$
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = A(\mu - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A_1(\mu_1 - 1) = A_2(\mu_2 - 1)$.
આપેલ છે: $A_1 = 9^{\circ}$,$\mu_1 = 1.4$,અને $\mu_2 = 1.6$.
કિંમતો મૂકતા:
$9^{\circ} \times (1.4 - 1) = A \times (1.6 - 1)$
$9^{\circ} \times 0.4 = A \times 0.6$
$A = \frac{9 \times 0.4}{0.6} = \frac{3.6}{0.6} = 6^{\circ}$.

(B) ધારો કે $\delta_m$ એ લઘુત્તમ વિચલન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{2}$ અને $\delta_m = A$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin A}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{2} = \frac{2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\sqrt{2} = 2 \cos \left(\frac{A}{2}\right)$
$\cos \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\frac{A}{2} = 45^{\circ}$
$A = 90^{\circ}$

(C) વિચલન વગરના વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\delta - \delta^{\prime} = 0 \Rightarrow A(\mu - 1) - A^{\prime}(\mu^{\prime} - 1) = 0$
જ્યાં:
$A = 6^{\circ}$ (પ્રથમ પ્રિઝમનો ખૂણો)
$\mu = 1.5$ (પ્રથમ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક)
$A^{\prime} = ?$ (બીજા પ્રિઝમનો ખૂણો)
$\mu^{\prime} = 1.75$ (બીજા પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક)
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$A^{\prime}(\mu^{\prime} - 1) = A(\mu - 1)$
$A^{\prime}(1.75 - 1) = 6(1.5 - 1)$
$A^{\prime}(0.75) = 6(0.5)$
$A^{\prime} = \frac{6 \times 0.5}{0.75} = \frac{3}{0.75} = 4^{\circ}$
આમ,બીજા પ્રિઝમનો ખૂણો $4^{\circ}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ છે. કિરણ સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે.
ચાંદી ચડાવેલી સપાટી $AC$ પર,આપાતકોણ $i_1$ એ પ્રિઝમના ખૂણા $A$ જેટલો થાય છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન કોણ પણ $i_1 = A$ થશે.
કિરણ અને સપાટીઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,સપાટી $AB$ પાસેનો ખૂણો $90^{\circ} - A$ છે. તેથી,સપાટી $AB$ પર બીજા પરાવર્તન વખતે આપાતકોણ $i_2 = 90^{\circ} - (90^{\circ} - 2A) = 2A$ થાય છે.
અંતે,કિરણ પાયા $BC$ માંથી લંબરૂપે બહાર નીકળે છે.
ભૌમિતિક રચના પરથી,પ્રિઝમની અંદર કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $A + 2A + 2A = 180^{\circ}$ થાય છે.
$5A = 180^{\circ} \implies A = 36^{\circ}$.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભૂત કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ના સંદર્ભમાં પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
આપેલ છે કે $\mu = \cot(A / 2) = \frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)}$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)} = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
બંને બાજુથી $\sin(A / 2)$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\cos(A / 2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(\pi/2 - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\pi/2 - A/2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$\pi/2 - A/2 = (A + \delta_m) / 2$
$2$ વડે ગુણતા:
$\pi - A = A + \delta_m$
$\delta_m = \pi - 2A$

(C) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A$.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{3} = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = 2 \cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$

(A) બે પ્રિઝમને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે જેથી વિચલન વગરનું વિભાજન (achromatic combination) મળે,તો કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સરેરાશ વિચલન $d$ અને $d^{\prime}$ છે.
શૂન્ય કુલ વિચલન માટેની શરત $d + d^{\prime} = 0$ છે.
વિભાજન શક્તિ $\omega$ ને $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\delta_y$ એ સરેરાશ વિચલન $(d)$ છે.
આમ,કોણીય વિભાજન $\theta = \omega d$ છે.
કુલ વિચલન શૂન્ય હોય તે માટેની શરત $d + d^{\prime} = 0$ છે.

(B) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$,પ્રિઝમ કોણ $A = 30^{\circ}$.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે,ત્યારે તે સપાટી પર લંબરૂપે ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,ખૂણાઓ $A = 30^{\circ}$,ચાંદીવાળી સપાટી પરનો ખૂણો $90^{\circ}$ અને પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભૂત કોણ $r$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $(90^{\circ} - r) + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$210^{\circ} - r = 180^{\circ} \implies r = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$.
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે: વક્રીભવન કોણ $A = 60^{\circ}$,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 30^{\circ}$.
પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} \right)}{\sin \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right)} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે.
$\sin C = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$C = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^{\circ}$.

(A, C) ક્રાંતિકોણ $\theta_{C} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$ છે.
આપાત સપાટી $S$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા $(n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2})$:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^{\circ}$.
બિંદુ $P$ આગળ,આપાતકોણ $90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$ છે. $75^{\circ} > 45^{\circ}$ હોવાથી,$P$ આગળ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થાય છે.
બિંદુ $Q$ આગળ,આપાતકોણ $15^{\circ}$ છે. $15^{\circ} < 45^{\circ}$ હોવાથી,$Q$ આગળ આંશિક પરાવર્તન અને વક્રીભવન થાય છે.
$R$ આગળથી બહાર નીકળતું કિરણ $S$ આગળ આપાત થતા કિરણને સમાંતર છે કારણ કે પ્રિઝમની ભૂમિતિ અને કિરણનો માર્ગ કુલ વિચલન $0^{\circ}$ (અથવા $360^{\circ}$) આપે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાંતર છે. આમ,વિધાન $A$ અને $C$ સાચા છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર: $\delta = i + e - A$ છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે,$e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\delta = 30^{\circ}$ વિચલન માટે,આપાતકોણના બે શક્ય મૂલ્યો છે: $i_1 = 15^{\circ}$ અને $i_2 = 60^{\circ}$.
પ્રકાશના પ્રતિવર્તીપણાના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $i = 15^{\circ}$ હોય,તો $e = 60^{\circ}$ થાય,અને જો $i = 60^{\circ}$ હોય,તો $e = 15^{\circ}$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $A = i + e - \delta$.
$A = 15^{\circ} + 60^{\circ} - 30^{\circ}$.
$A = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$.
તેથી,પ્રિઝમનો કોણ $45^{\circ}$ છે.

(D) વિચલન વગરના વિભાજન માટે,બે પ્રિઝમના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રિઝમ $P_{1}$ અને $P_{2}$ ના વક્રીભવનાંક $\mu$ અને $\mu^{\prime}$ છે અને તેમના પ્રિઝમ કોણ અનુક્રમે $A$ અને $A^{\prime}$ છે.
વિચલન ન થવાની શરત $\delta + \delta^{\prime} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $(\mu - 1)A = (\mu^{\prime} - 1)A^{\prime}$.
આપેલ કિંમતો $\mu = 1.54$,$A = 4^{\circ}$ અને $A^{\prime} = 3^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(1.54 - 1) \times 4^{\circ} = (\mu^{\prime} - 1) \times 3^{\circ}$.
$0.54 \times 4 = (\mu^{\prime} - 1) \times 3$.
$2.16 = (\mu^{\prime} - 1) \times 3$.
$\mu^{\prime} - 1 = \frac{2.16}{3} = 0.72$.
$\mu^{\prime} = 0.72 + 1 = 1.72$.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $n$ માટેનું સૂત્ર $n = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{\min}$ એ વક્રીભવન કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી સૂત્રમાં $\delta_{\min} = A$ મૂકતા.
$n = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$ મળે છે.
પ્રિઝમનો વક્રીભવન કોણ $A$ એ $0 < A < 180^{\circ}$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી $\cos(A/2)$ ની કિંમત $\cos(90^{\circ}) = 0$ અને $\cos(0^{\circ}) = 1$ ની વચ્ચે હોય છે.
તેથી,$0 < \cos(A/2) < 1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$0 < 2 \cos(A/2) < 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $0 < n < 2$.
જોકે,ભૌતિક પ્રિઝમ માટે $A$ સામાન્ય રીતે $180^{\circ}$ કરતા ઓછો હોય છે અને $n > 1$ હોય છે. તેથી,$1 < n < 2$.

(A) લઘુત્તમ વિચલન માટેની શરત મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r$ એ $r = A/2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
બહાર નીકળતી સપાટી પર,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમ (વક્રીભવનાંક $n$) અને કોટિંગ (વક્રીભવનાંક $n/2$) વચ્ચેની સપાટી પર અથડાય છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ ની શરત માટે,વક્રીભવન કોણ $r$ એ $\theta_{c}$ જેટલો હોવો જોઈએ.
બહાર નીકળતી સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n \sin(r) = (n/2) \sin(90^{\circ})$.
કારણ કે $\sin(90^{\circ}) = 1$,તેથી $n \sin(r) = n/2$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin(r) = 1/2$ મળે છે.
કારણ કે $r = A/2$,તેથી $\sin(A/2) = 1/2$.
તેથી,$A/2 = 30^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $A = 60^{\circ}$.

(A) ધારો કે પ્રિઝમ $PDC$ છે જેનો પાયો $DC$ છે. આપાત કિરણ પાયા $DC$ ને સમાંતર છે.
બીજી સપાટી પર ઘસાઈને બહાર નીકળતા કિરણ માટે,વક્રીભવન કોણ $r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{2}$,તેથી $\sin r_2 = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જે દર્શાવે છે કે $r_2 = 45^{\circ}$.
આપાત કિરણ પાયાને સમાંતર હોવાથી,પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ એ પાયાના ખૂણા $45^{\circ}$ જેટલો થશે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $1 \times \sin(45^{\circ}) = \sqrt{2} \times \sin(r_1)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin(r_1) \implies \sin(r_1) = \frac{1}{2} \implies r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમનો ઉપરનો ખૂણો $A = r_1 + r_2 = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$45^{\circ} + \theta + A = 180^{\circ}$.
$45^{\circ} + \theta + 75^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta + 120^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta = 60^{\circ}$.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે,ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચલન વગરના વિક્ષેપન માટે,કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\delta_{net} = \delta_{1} + \delta_{2} = 0$.
પ્રિઝમને વિચલન વગરના વિક્ષેપન માટે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમને વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવવા જોઈએ,તેથી $(\mu_{1} - 1)A_{1} + (\mu_{2} - 1)A_{2} = 0$.
મૂલ્ય લેતા,આપણી પાસે $(\mu_{1} - 1)A_{1} = -(\mu_{2} - 1)A_{2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.72 - 1) \times 5^{\circ} = -(1.9 - 1) \times A_{2}$.
$0.72 \times 5^{\circ} = -0.9 \times A_{2}$.
ઋણ નિશાની બીજા પ્રિઝમની ગોઠવણી સૂચવે છે. ખૂણા $A_{2}$ નું મૂલ્ય:
$A_{2} = \frac{0.72 \times 5^{\circ}}{0.9} = \frac{3.6^{\circ}}{0.9} = 4^{\circ}$.

(A) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $ A = 60^{\circ} $ છે.
જ્યારે નિર્ગમન કિરણ સપાટી પરથી ઘસાઈને નીકળે,ત્યારે નિર્ગમન કોણ $ e = 90^{\circ} $ થાય.
બીજી સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $ \mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e) $.
કિંમતો મૂકતા: $ \sqrt{2} \cdot \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(90^{\circ}) = 1 $.
$ \sin(r_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
તેથી,$ r_2 = 45^{\circ} $.
સંબંધ $ A = r_1 + r_2 $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભવન કોણ મળે છે:
$ r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ} $.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમમાં લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિ માટે,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે.
સંબંધ આ મુજબ છે: $i = e = \frac{A + \delta_m}{2}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 46^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$i = \frac{60^{\circ} + 46^{\circ}}{2} = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ}$.
તેથી,આપાતકોણ $53^{\circ}$ છે.

(A) $1$. આકૃતિ પરથી,આપાત કિરણ પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. તેથી,આપાતકોણ $i = 0^\circ$ છે,અને કિરણ વિચલન પામ્યા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
$2$. પ્રિઝમ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં એક ખૂણો $60^\circ$ છે. ઉપરના શિરોબિંદુનો ખૂણો $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ થશે.
$3$. પ્રિઝમની અંદર,કિરણ બીજી સપાટી (કર્ણ) પર અથડાય છે. આ સપાટી પરનો આપાતકોણ $(r_2)$ એ લંબ અને કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કિરણ પ્રથમ સપાટીને લંબ હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ $r_2 = 30^\circ$ થશે.
$4$. બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n_1 \sin(r_2) = n_2 \sin(e)$,જ્યાં $n_1 = \sqrt{3}$,$n_2 = 1$,અને $r_2 = 30^\circ$.
$5$. $\sqrt{3} \sin(30^\circ) = 1 \times \sin(e)$.
$6$. $\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin(e) \implies \sin(e) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$7$. તેથી,$e = 60^\circ$.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
સંમિત પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન સ્થિતિમાં આપાતકોણ $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\delta_m = (\mu - 1)A$ ને $i$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$i = \frac{A + (\mu - 1)A}{2} = \frac{A + \mu A - A}{2} = \frac{\mu A}{2}$.
હવે,આપાતકોણ $i$ અને લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{i}{\delta_m} = \frac{\mu A / 2}{(\mu - 1)A} = \frac{\mu}{2(\mu - 1)}$.
અહીં $\mu = 1.5$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{i}{\delta_m} = \frac{1.5}{2(1.5 - 1)} = \frac{1.5}{2(0.5)} = \frac{1.5}{1} = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.