Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Gujarati

(B) છોકરી ફક્ત તે જ પ્રકાશના કિરણો જોઈ શકે છે જે વક્રીભૂત થઈને $90^{\circ}$ કે તેથી ઓછા ખૂણે કાચની સ્લેબમાંથી બહાર નીકળે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
પાણી-હવા આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_w \sin r = n_a \sin 90^{\circ}$
$\frac{4}{3} \sin r = 1 \times 1$
$\sin r = \frac{3}{4}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan r = \frac{\sin r}{\sqrt{1 - \sin^2 r}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan r = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$
સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ,પૂલના તળિયે દેખાતા વિસ્તારની ત્રિજ્યા $R = x + r_{slab}$ છે,જ્યાં $r_{slab} = 0.3 \,m$ (સ્લેબની ત્રિજ્યા) અને $x = h \tan r$ છે.
$x = 6 \times \frac{3}{\sqrt{7}} \approx 6 \times \frac{3}{2.645} \approx 6.8 \,m$.
તળિયે દેખાતા વર્તુળાકાર વિસ્તારની કુલ ત્રિજ્યા $R = 6.8 + 0.3 = 7.1 \,m$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \times (7.1)^2 \approx 3.14 \times 50.41 \approx 158.3 \,m^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ક્ષેત્રફળ આશરે $160 \,m^2$ છે.

(A) સપાટીઓ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,દરેક સપાટી પરનો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,બે સપાટીઓ પરના આપાતકોણ $(45^{\circ} + r)$ અને $(45^{\circ} - r)$ છે,જ્યાં $r$ એ પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભૂતકોણ છે.
બંને સપાટીઓ પર $TIR$ થવા માટે: $45^{\circ} + r > \theta_c$ અને $45^{\circ} - r > \theta_c$.
વધારે પ્રતિબંધિત શરત $45^{\circ} - r > \theta_c$ છે.
કારણ કે $\sin r = \frac{\sin 45^{\circ}}{\mu} = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$,તેથી $r = \arcsin\left(\frac{1}{\mu\sqrt{2}}\right)$.
આને $45^{\circ} - r > \theta_c$ માં મૂકતા,આપણને $45^{\circ} - \theta_c > r$ મળે છે.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $\sin(45^{\circ} - \theta_c) > \sin r$.
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા અને $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ તથા $\cos \theta_c = \frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}$ જાણતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\mu} > \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$.
$\mu\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $\sqrt{\mu^2-1} - 1 > 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{\mu^2-1} > 2$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\mu^2 - 1 > 4$,તેથી $\mu^2 > 5$,અથવા $\mu > \sqrt{5}$.

(C) સપાટી $BC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
સમદ્વિબાજુ કાકોણ પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે દાખલ થાય છે અને સપાટી $BC$ પર $i = 45^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
$TIR$ થવા માટેની શરત $i \geq C$ છે,જ્યાં $C$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
તેથી,$45^{\circ} \geq C$.
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા,$\sin 45^{\circ} \geq \sin C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{1}{\mu}$,જ્યાં $\mu$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી,$\sin 45^{\circ} \geq \frac{1}{\mu}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \geq \frac{1}{\mu}$.
$\mu \geq \sqrt{2}$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય આશરે $1.42$ છે.

(D) ઓપ્ટિકલ ફાઇબરનું ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$NA = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$
જ્યાં $\mu_1$ એ કોરનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_2$ એ ક્લેડિંગનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે: $\mu_1 = 1.68$,$\mu_2 = 1.44$.
કિંમતો મૂકતા:
$NA = \sqrt{(1.68)^2 - (1.44)^2}$
$NA = \sqrt{2.8224 - 2.0736}$
$NA = \sqrt{0.7488}$
$NA \approx 0.8653$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પ્રકાશ પ્રિઝમની ટૂંકી બાજુમાંથી લંબરૂપે દાખલ થાય છે. ભૂમિતિ મુજબ,કર્ણ સપાટી પર આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે.
સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ પ્રિઝમ અને પ્રવાહી વચ્ચેની સપાટી માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$i \geq C$,જેનો અર્થ છે કે $\sin i \geq \sin C$.
અહીં,$i = 60^{\circ}$,તેથી $\sin 60^{\circ} \geq \frac{\mu_{\text{liquid}}}{\mu_{\text{prism}}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \geq \frac{\mu_{\text{liquid}}}{1.50}$.
$\mu_{\text{liquid}} \leq 1.50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.50 \times 0.866 = 1.299 \approx 1.30$.
તેથી,પ્રવાહીનો મહત્તમ વક્રીભવનાંક $1.30$ છે.

(B) ઉભી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,ઉભી સપાટી પર આપાતકોણ $i'$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં $\mu_1 = 1.0$ અને $\mu_2 = 1.25 = \frac{5}{4}$ આપેલ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી,$i' \ge C$,જેનો અર્થ છે કે $\sin i' \ge \frac{4}{5}$.
કિરણ આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,ઉપરની આડી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ અને ઉભી સપાટી પર આપાતકોણ $i'$ વચ્ચેનો સંબંધ $r + i' = 90^{\circ}$ છે,તેથી $i' = 90^{\circ} - r$.
$TIR$ માટે,$i' \ge C \implies 90^{\circ} - r \ge C \implies r \le 90^{\circ} - C$.
મહત્તમ $\theta$ શોધવા માટે,આપણને મહત્તમ $r$ ની જરૂર છે,જે $r = 90^{\circ} - C$ હોય ત્યારે મળે છે.
આડી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1.0 \times \sin \theta = 1.25 \times \sin r$.
$\sin \theta_{\max} = 1.25 \times \sin(90^{\circ} - C) = 1.25 \times \cos C$.
કારણ કે $\sin C = \frac{4}{5}$,તેથી $\cos C = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\sin \theta_{\max} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\theta_{\max} = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) ક્રાંતિકોણ $i_C$,વક્રીભવનાંક $\mu$ અને બે માધ્યમોમાં પ્રકાશની ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ $\sin i_C = \frac{1}{\mu} = \frac{v_d}{v_r}$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v_r$ એ પાતળા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $i_C = 45^{\circ}$ અને $v_r = 3 \times 10^8 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin 45^{\circ} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
આમ,$v_d = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} \approx 2.12 \times 10^8 \, m/s$.

(A) હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $V_1 = \frac{x}{t_1}$ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V_2 = \frac{10x}{t_2}$ છે.
હવાની સાપેક્ષે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \frac{V_1}{V_2} = \frac{x/t_1}{10x/t_2} = \frac{t_2}{10 t_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ $\sin \theta_c = \frac{1}{n}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin \theta_c = \frac{1}{t_2 / (10 t_1)} = \frac{10 t_1}{t_2}$ મળે છે.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{10 t_1}{t_2}\right)$ છે.

(A) ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta_c = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે,જ્યાં $\mu_1$ એ ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_2$ એ પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે $\theta_c = 45^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા: $\sin 45^{\circ} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$.
આમ,પ્રથમ માધ્યમ અને બીજા માધ્યમના વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ એટલે કે $\sqrt{2}: 1$ થાય.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં ગતિ કરે છે અને આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હોય છે,ત્યારે આંશિક પરાવર્તન અને આંશિક વક્રીભવન થાય છે.
$1$. પરાવર્તિત કિરણ પાણીના માધ્યમમાં લંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
$2$. વક્રીભૂત કિરણ હવાના માધ્યમમાં લંબ સાથે $r$ ખૂણો બનાવે છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_w \sin \theta = n_a \sin r$. કારણ કે $n_w > n_a$,તેથી $\sin r > \sin \theta$,એટલે કે $r > \theta$.
$3$. પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi = 180^{\circ} - (\theta + r)$ છે.
$4$. કારણ કે $r > \theta$,તેથી $\theta + r > 2\theta$ થાય.
$5$. તેથી,$180^{\circ} - (\theta + r) < 180^{\circ} - 2\theta$.
$6$. આમ,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 2\theta$ કરતા ઓછો હોય છે.

(B) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો ઉપરની સપાટી પરથી ત્યારે જ બહાર આવશે જો ઉપરની સપાટી પર આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ નું સૂત્ર $\sin \theta_c = 1/\mu$ છે.
અહીં $\mu = 5/3$ આપેલ છે,તેથી $\sin \theta_c = 1 / (5/3) = 3/5$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta_c = R / h$,જ્યાં $h = 8 \text{ cm}$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે.
$\sin \theta_c = 3/5$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $3$ અને કર્ણ $5$ છે. પાસેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ થશે.
તેથી,$\tan \theta_c = 3/4$.
કિંમતો મૂકતા,$3/4 = R / 8$.
$R = (3 \times 8) / 4 = 6 \text{ cm}$.
આમ,$R$ નું મૂલ્ય $6$ છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે તે ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા ઓછા આપાતકોણ $\theta$ માટે આંશિક પરાવર્તન અને આંશિક પારગમન અનુભવે છે.
જેમ જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0$ થી $\theta_c$ સુધી વધે છે,તેમ પરાવર્તિત તીવ્રતા $(R)$ વધે છે અને પારગમિત તીવ્રતા $(T)$ ઘટે છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta = \theta_c$ પર,વક્રીભવનકોણ $90^\circ$ થાય છે અને પારગમિત તીવ્રતા શૂન્ય થઈ જાય છે.
$\theta \geq \theta_c$ આપાતકોણ માટે,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ આપાત પ્રકાશ કાચના માધ્યમમાં પાછો પરાવર્તિત થાય છે. આમ,$\theta \geq \theta_c$ માટે,પરાવર્તિત તીવ્રતા $(R)$ $100\%$ થઈ જાય છે અને પારગમિત તીવ્રતા $(T)$ $0$ થઈ જાય છે.
આ વર્તણૂકની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(C)$ માં આપેલો આલેખ આ લાક્ષણિકતાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: $\theta_c$ સુધી $T$ ઘટે છે અને $R$ વધે છે,અને તે બિંદુએ $R$ વધીને $100\%$ થાય છે અને તમામ $\theta \geq \theta_c$ માટે $T$ ઘટીને $0$ થાય છે.

(B) મહત્તમ સમય માટે,પ્રકાશના કિરણનું તમામ સપાટીઓ પર લઘુત્તમ ખૂણે એટલે કે ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવું જોઈએ.
$TIR$ માટે,શરત $n_1 \sin \theta_c = n_2$ છે.
$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.44}{1.5} = 0.96$.
માધ્યમ $n_1$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{n_1} = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 2 \times 10^8 \ m/s$ છે.
ધારો કે માળખાની અંદર કિરણની કુલ પથ લંબાઈ $D$ છે. આડી લંબાઈ $L$ છે. કિરણ સપાટીના લંબ સાથે $\theta_c$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,પથનો આડો ઘટક $D \sin \theta_c = L$ થાય.
આમ,$D = \frac{L}{\sin \theta_c}$.
લાગતો સમય $t_{total} = \frac{D}{v} = \frac{L}{v \sin \theta_c} = \frac{9.6}{(2 \times 10^8) \times 0.96} = \frac{9.6}{1.92 \times 10^8} = 5 \times 10^{-8} \ s = 50 \times 10^{-9} \ s$.
તેથી,$t = 50$.

(A) આપેલ છે: $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$.
$n_1-n_2$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $n_1 \sin \theta = n_2 \sin \theta_2$,તેથી $\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta$.
$n_2$-હવા સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $n_2 \sin \theta_2 = 1 \cdot \sin \theta_3$,તેથી $\sin \theta_3 = n_2 \sin \theta_2 = n_1 \sin \theta$.
કારણ કે $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$,આપણી પાસે $n_1 \sin \theta > 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta_3 > 1$. આ વાસ્તવિક ખૂણા $\theta_3$ માટે અશક્ય છે,જેનો અર્થ છે કે કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
$(A)$ જો $n_2 = n_1$ હોય,તો $\sin \theta_3 = n_1 \sin \theta > 1$. કિરણ હવામાં પ્રવેશતું નથી. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ જો $n_2 < n_1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ત્યારબાદ,$n_1-n_2$ સપાટી પર,જો આપાતકોણ $\theta_2$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c = \arcsin(n_1/n_2)$ કરતા વધારે હોય તો કિરણ $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. જોકે,$n_2 < n_1$ હોવાથી,$n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પછી કિરણ હંમેશા $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ જો $n_2 > n_1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ત્યારબાદ કિરણ $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થશે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ જો $n_2 = 1$ હોય,તો કિરણ $n_2$-હવા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે અને $n_1$ માં પાછું પરાવર્તિત થાય છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(C) બિંદુવત ઉદગમ $S$ માંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો બ્લોકની ઉપરની સપાટી પર ક્રાંતિકોણ $i_c$ પર આપાત થાય છે,જે વર્તુળાકાર તેજસ્વી ડાઘની સીમા બનાવે છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળાકાર ડાઘની ત્રિજ્યા $r = D/2 = 11.54 / 2 = 5.77 \ mm$ છે.
બ્લોકની ઊંચાઈ $h = 10 \ mm$ છે.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sin i_c = \frac{n_L}{n_B}$.
ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,$\sin i_c = \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$.
$\sin i_c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{n_L}{n_B} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$
$n_L = n_B \times \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{\sqrt{5.77^2 + 10^2}}$
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{\sqrt{33.2929 + 100}}$
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{\sqrt{133.2929}}$
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{11.545} \approx 2.72 \times 0.5 = 1.36$.
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $1.36$ છે.

(C) $1.$ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\theta \geq c$ છે,જ્યાં $c$ ક્રાંતિકોણ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\theta = 90^{\circ} - r$,તેથી $90^{\circ} - r \geq c \Rightarrow \cos r \geq \sin c$.
પ્રવેશદ્વાર પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_m \sin i_m = n_1 \sin r$,અને $\sin c = n_2/n_1$,આપણને $\sin i_m = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ મળે છે. આમ,$NA = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
$S_1$ માટે: $n_1^2 - n_2^2 = 45/16 - 9/4 = 9/16$. તેથી $NA(S_1) = \frac{3}{4n_m}$.
$S_2$ માટે: $n_1^2 - n_2^2 = 64/25 - 49/25 = 15/25 = 3/5$. તેથી $NA(S_2) = \frac{\sqrt{15}}{5n_m}$.
$(A)$ તપાસતા: $NA(S_1, \text{પાણી}) = \frac{3/4}{4/3} = 9/16$. $NA(S_2, \text{પ્રવાહી}) = \frac{\sqrt{15}/5}{16/(3\sqrt{15})} = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = \frac{45}{80} = 9/16$. (સાચું)
$(C)$ તપાસતા: $NA(S_1, \text{હવા}) = 3/4$. $NA(S_2, \text{પ્રવાહી}) = \frac{\sqrt{15}/5}{4/\sqrt{15}} = \frac{15}{20} = 3/4$. (સાચું)
આમ,વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.
$2.$ જ્યારે અલગ અલગ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર ધરાવતી બે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશે બંને ફાઈબરમાં પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરતનું પાલન કરવું પડે છે. મર્યાદિત ખૂણો એ ઓછા ન્યુમેરિકલ એપર્ચર ધરાવતી ફાઈબર દ્વારા નક્કી થાય છે. તેથી,સંયુક્ત $NA$ એ $NA_2$ છે.

(C) બિંદુ $O$ પર રહેલા સિક્કાને બિંદુ $E$ થી જોવા માટે,પ્રકાશનું કિરણ પ્રવાહીની સપાટી પરના બિંદુ $B$ પાસેથી બહાર નીકળવું જોઈએ.
ધારો કે અર્ધગોળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $R$ છે. કિરણ $O$ થી $B$ સુધી ગતિ કરે છે.
સપાટી પર આપાતકોણ $\theta$ એ $B$ આગળના લંબ અને કિરણ $OB$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ઉપરની સપાટીનું કેન્દ્ર,$O$ અને $B$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય.
કિરણ સપાટી પરથી બહાર નીકળે તે માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta \leq c$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta \leq \sin c$.
$\sin c = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,આપણને $\sin 45^{\circ} \leq \frac{1}{\mu}$ મળે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{\mu} \implies \mu \leq \sqrt{2}$.
જોકે,કિરણ સપાટીને સ્પર્શીને $E$ સુધી પહોંચે તે માટે,આપણે ક્રાંતિક સ્થિતિ $\sin c = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\mu}$ ની જરૂર છે.
તેથી,$\mu = \sqrt{2}$.

(C) બે માધ્યમો કે જેમના વક્રીભવનાંક $n_{dense}$ અને $n_{rare}$ છે,તેમની વચ્ચેની સપાટી પરનો ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ એ $\sin \theta_C = \frac{n_{rare}}{n_{dense}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n_2 > n_1$ હોવાથી,$\sin \theta_{1C} = \frac{n_1}{n_2}$.
અહીં $n_3 > n_1$ હોવાથી,$\sin \theta_{2C} = \frac{n_1}{n_3}$.
આપણને આપેલ છે કે $\sin \theta_{2C} - \sin \theta_{1C} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n_1}{n_3} - \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.
આપણે $\frac{n_1}{n_3} = \frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{n_2}{n_3}$ લખી શકીએ.
$\frac{n_2}{n_3} = \frac{2}{5}$ હોવાથી,$\frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{2}{5} - \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $x = \frac{n_1}{n_2} = \sin \theta_{1C}$.
$x(\frac{2}{5} - 1) = \frac{1}{2} \implies x(-\frac{3}{5}) = \frac{1}{2} \implies x = -\frac{5}{6}$.
$\sin \theta_{1C}$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી મૂલ્યના તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા,$\sin \theta_{1C} = \frac{5}{6}$,તેથી $\theta_{1C} = \sin^{-1}(\frac{5}{6})$.

(C) ઉપરની સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,તે સપાટી પરનો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ જેટલો અથવા તેનાથી વધારે હોવો જોઈએ.
બ્લોકની અંદર બનતા ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભવનકોણ $r$ અને ઉપરની સપાટી પરનો આપાતકોણ $\theta_C$ માટે $r + \theta_C = 90^{\circ}$ થાય,તેથી $r = 90^{\circ} - \theta_C$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$.
$r = 90^{\circ} - \theta_C$ મૂકતા: $\sin \theta = \frac{\mu_2}{\mu_1} \sin(90^{\circ} - \theta_C) = \frac{\mu_2}{\mu_1} \cos \theta_C$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$\sin \theta_C = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1.0}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\cos \theta_C = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_C} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$.
આ કિંમત $\sin \theta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin \theta = \frac{1.25}{1.0} \times \frac{3}{5} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}(3/4)$.

(B) હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $v_a = \frac{x}{t_1}$ છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v_m = \frac{10x}{t_2}$ છે.
હવાની સાપેક્ષમાં માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{v_a}{v_m} = \frac{x/t_1}{10x/t_2} = \frac{t_2}{10t_1}$ થાય.
ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$ છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$\sin \theta_C = \frac{1}{t_2 / 10t_1} = \frac{10t_1}{t_2}$ મળે.
તેથી,$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{10t_1}{t_2}\right)$.

(C) ધારો કે સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે. પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા (હવામાંથી સ્લેબમાં):
$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu \cdot \sin r_1$,જ્યાં $r_1$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
$\sin r_1 = \frac{\sin 60^{\circ}}{\mu} = \frac{\sqrt{3}}{2\mu}$.
સ્લેબની અંદર,શિરોલંબ સપાટી પર આપાતકોણ $i_2 = 90^{\circ} - r_1$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i_2 \ge C$ હોવું જોઈએ,જ્યાં $C$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
$\sin i_2 \ge \sin C = \frac{1}{\mu}$.
$\sin(90^{\circ} - r_1) = \cos r_1$ હોવાથી,$\cos r_1 \ge \frac{1}{\mu}$.
$\cos r_1 = \sqrt{1 - \sin^2 r_1} = \sqrt{1 - \frac{3}{4\mu^2}} = \frac{\sqrt{4\mu^2 - 3}}{2\mu}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{4\mu^2 - 3}}{2\mu} \ge \frac{1}{\mu}$.
$\sqrt{4\mu^2 - 3} \ge 2 \Rightarrow 4\mu^2 - 3 \ge 4 \Rightarrow 4\mu^2 \ge 7 \Rightarrow \mu \ge \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.32$.
આમ,લઘુત્તમ વક્રીભવનાંક $1.32$ છે.

(A) $h$ ઊંડાઈએ રહેલા બિંદુવત સ્ત્રોતમાંથી આવતો પ્રકાશ પાણીની સપાટી પર માત્ર $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર વિસ્તારમાંથી જ બહાર આવી શકે છે। આ ત્રિજ્યા $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 7 \ m$ અને $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{7}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{7}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{7}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{7 \times 3}{\sqrt{7}} = 3\sqrt{7} \ m$.
ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$A = \pi (3\sqrt{7})^2 = \pi (9 \times 7) = 63\pi \ m^2$.

(C) તળિયે રહેલા ઉદગમ $S$ માંથી આવતો પ્રકાશ પાણીની સપાટી પરથી ત્યારે જ બહાર નીકળી શકે જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
સપાટી પર બનતી વર્તુળાકાર ડિસ્કની ત્રિજ્યા $r = h \tan C$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\tan C = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
આપેલ કિંમતો $h = 1 \ m$ અને $\mu = \frac{4}{3}$ મૂકતા:
$r = 1 \times \frac{1}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \ m$.
ડિસ્કનો વ્યાસ $D = 2r = 2 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{6}{\sqrt{7}} \ m$ થાય.

(D) ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના માટે પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ $90^{\circ}$ હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (ઝડપ $V_D$) માંથી પાતળા માધ્યમ (ઝડપ $V_R$) માં જાય છે,ત્યારે વક્રીભવનાંક અને ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ $n = c/v$ છે.
ક્રાંતિકોણ માટેની શરત $\sin \theta_C = \frac{n_R}{n_D} = \frac{V_D}{V_R}$ છે.
અહીં $V_D = 1.8 \times 10^8 \ m/s$ અને $V_R = 2.4 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta_C = \frac{1.8 \times 10^8}{2.4 \times 10^8} = \frac{1.8}{2.4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta_C = \sin^{-1}(\frac{3}{4})$.

(B) ક્રાંતિકોણ $i_c$ એ $i_c = \sin^{-1}(1/n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto 1/\lambda)$.
જાંબલી,નીલો અને વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોય છે,તેથી આ રંગો માટે વક્રીભવનાંક $n$ લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે.
$i_c = \sin^{-1}(1/n)$ હોવાથી,વધારે વક્રીભવનાંક $n$ ને કારણે ક્રાંતિકોણ $i_c$ નાનો મળે છે.
તેથી,જાંબલી,નીલો અને વાદળી પ્રકાશ માટે ક્રાંતિકોણ એ આપાતકોણ (જે લીલા પ્રકાશ માટેના ક્રાંતિકોણ જેટલો છે) કરતા ઓછો હોય છે.
પરિણામે,આ રંગો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.
તેનાથી વિપરીત,લાલ,નારંગી અને પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે,જેના પરિણામે વક્રીભવનાંક ઓછો અને ક્રાંતિકોણ મોટો મળે છે,તેથી તેઓ હવામાં બહાર નીકળી જશે.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ એ ક્રાંતિકોણ $(i_c)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(D) ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ નું સૂત્ર $\sin i_{c} = \frac{1}{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે વક્રીભવનાંક $n$ મહત્તમ હોય ત્યારે $i_{c}$ લઘુત્તમ હોય છે.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto \frac{1}{\lambda^2})$.
આપેલા વિકલ્પોમાં વાદળી રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી હોવાથી,કાચમાં તેનો વક્રીભવનાંક સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,વાદળી રંગ માટે ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ લઘુત્તમ હોય છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશ $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી $n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જાય ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટેનો ક્રાંતિકોણ $c$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin c = \frac{n_2}{n_1}$,જ્યાં $n_1 > n_2$.
ગુણોત્તર $\frac{n_2}{n_1}$ જેટલો નાનો,તેટલો $\sin c$ નાનો અને તેથી ક્રાંતિકોણ $c$ પણ નાનો મળે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$TIR$ માટે માત્ર એ જ પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે જેમાં પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક બીજા કરતા વધારે હોય.
કાચમાંથી હવામાં $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{air}} \approx 1.0)$: $\sin c = \frac{1.0}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$,જે $c \approx 41.8^{\circ}$ આપે છે.
કાચમાંથી પાણીમાં $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{water}} \approx 1.33)$: $\sin c = \frac{1.33}{1.5} \approx 0.887$,જે $c \approx 62.5^{\circ}$ આપે છે.
સ્પષ્ટ છે કે,કાચમાંથી હવામાં જતી વખતે ક્રાંતિકોણ નાનો હોય છે.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશ કાચમાંથી હવામાં જાય ત્યારે ક્રાંતિકોણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(A) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ એ એક એવી ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
$TIR$ થવા માટે, બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પ્રકાશીય પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરતું હોવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ એ આપેલ માધ્યમોની જોડી માટે ક્રાંતિકોણ $(i_{C})$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે અને $i > i_{C}$.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$) પ્રકાશે ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરવી જોઈએ.
$2$) આપાતકોણ $i$ એ બે માધ્યમો માટેના ક્રાંતિકોણ $i_C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(D) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં $c_1 = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c_2 = 2 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
અહીં $c_1 < c_2$ હોવાથી,વક્રીભવનાંક $\mu_1 > \mu_2$ થશે. તેથી,માધ્યમ $1$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ છે અને માધ્યમ $2$ એ પાતળું માધ્યમ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરત ત્યારે જ પૂરી થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય.
ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta_C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
$\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી,$\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{c/c_2}{c/c_1} = \frac{c_1}{c_2}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\sin \theta_C = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 10^8} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$ છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 1.33 = \frac{4}{3}$ છે.
પાણીની સાપેક્ષમાં કાચનો વક્રીભવનાંક ${}_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$ થાય.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{{}_w\mu_g}$ છે.
કિંમત મૂકતા,$\sin C = \frac{1}{9/8} = \frac{8}{9}$ મળે.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ થશે.

(C) પ્રથમ કિસ્સામાં,$\theta$ એ કાચ-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ છે.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sin \theta = \frac{1}{\mu}$.
બીજા કિસ્સામાં,પ્રકાશ હવામાંથી કાચમાં જાય છે. સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin i}{\sin r} = \mu$,જ્યાં $i = \theta$.
તેથી,$\sin r = \frac{\sin \theta}{\mu}$.
સમીકરણમાં $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ મૂકતા,આપણને $\sin r = \frac{1/\mu}{\mu} = \frac{1}{\mu^2}$ મળે છે.
આમ,વક્રીભવનકોણ $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu^2}\right)$ થશે.

(D) કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = \frac{3}{2}$ અને પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = \frac{4}{3}$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માંથી પાતળા માધ્યમ (પાણી) માં જાય છે,ત્યારે ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ થાય.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઝડપ $v_{A} = 1.8 \times 10^{8} \ m/s$ અને $v_{B} = 2.7 \times 10^{8} \ m/s$ છે.
માધ્યમ $B$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $A$ નો વક્રીભવનાંક ${}_{B}\mu_{A} = \frac{\mu_{A}}{\mu_{B}} = \frac{v_{B}}{v_{A}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: ${}_{B}\mu_{A} = \frac{2.7 \times 10^{8}}{1.8 \times 10^{8}} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}$.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{{}_{B}\mu_{A}}$ છે.
તેથી,$\sin C = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
આમ,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ મળે છે.

(B) હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu$ આપેલ છે.
કાચમાંથી હવામાં જતા પ્રકાશના કિરણ માટે ક્રાંતિકોણ $\theta$ છે.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\mu = \frac{1}{\sin \theta}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$.
હવે,ધારો કે પ્રકાશનું કિરણ હવામાંથી કાચની સપાટી પર $i = \theta$ આપાતકોણે આપાત થાય છે.
ધારો કે $r$ એ કાચમાં અનુરૂપ વક્રીભવનકોણ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં,$n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = \mu$ (કાચ).
$1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$.
સમીકરણમાં $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ મૂકતા:
$\frac{1}{\mu} = \mu \cdot \sin r$.
$\sin r = \frac{1}{\mu^2}$.
તેથી,વક્રીભવનકોણ $r = \sin^{-1}(\frac{1}{\mu^2})$ થશે.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તનકોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે વક્રીભવનાંક $n$ (જ્યાં $n$ એ પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$n > 1$):
$\frac{\sin i}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$
$i = r$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{\sin r}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને કાટખૂણે છે,તેથી સીધી રેખા પરના ખૂણાઓનો સરવાળો $r + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$r^{\prime} = 90^{\circ} - r$.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા:
$\frac{\sin r}{\sin(90^{\circ} - r)} = \frac{1}{n}$
$\frac{\sin r}{\cos r} = \frac{1}{n}$
$\tan r = \frac{1}{n}$
ક્રાંતિકોણ $i_c$ ની વ્યાખ્યા $\sin i_c = \frac{1}{n}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\sin i_c = \tan r$.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}(\tan r)$.

(D) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
$TIR$ થવા માટે બે શરતો પૂરી થવી જોઈએ:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પ્રકાશીય પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ એ આપેલા માધ્યમોની જોડી માટે ક્રાંતિકોણ $(i_{c})$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચી શરત $i > i_{c}$ છે.

(A) ક્રાંતિકોણ $\theta$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે વક્રીભૂતકોણ $\frac{\pi}{2}$ હોય છે.
માધ્યમ $P$ અને માધ્યમ $Q$ વચ્ચે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$n_{P} \sin \theta = n_{Q} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
કારણ કે $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,તેથી $n_{P} \sin \theta = n_{Q}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{1}{\sin \theta}$.
વક્રીભવનાંક $n$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n = \frac{c}{V})$,તેથી $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{V_{Q}}{V_{P}}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{V_{Q}}{V_{P}} = \frac{1}{\sin \theta}$
તેથી,માધ્યમ $Q$ માં પ્રકાશની ઝડપ $V_{Q} = \frac{V_{P}}{\sin \theta}$ થશે.

(C) પ્રકાશનો ડાઘ એવા કિરણોને કારણે રચાય છે જે પ્રવાહી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ પર આપાત થતા કિરણો લંબ સાથે $90^\circ$ ના ખૂણે બહાર આવે છે.
ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\tan \theta_C = \frac{r}{h}$ છે.
ક્રાંતિકોણ માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu \sin \theta_C = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$
$\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$
$\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,આપણે $\tan \theta_C = \frac{\sin \theta_C}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta_C}} = \frac{1/\mu}{\sqrt{1 - 1/\mu^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $\tan \theta_C$ શોધી શકીએ છીએ.
$\tan \theta_C$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
વર્તુળાકાર ડાઘનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}} \right)^2 = \frac{\pi h^2}{\mu^2 - 1}$ થાય.

(B) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ '$i$' એ પરાવર્તનકોણ '$r$' જેટલો હોય છે. તેથી,$i = r$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ છે,તેથી પરાવર્તનકોણ અને વક્રીભવનકોણનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય છે.
$i + r_1 = 90^{\circ} \implies r_1 = 90^{\circ} - i$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઘટ્ટ માધ્યમનો પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે વક્રીભવનાંક '$\mu$' એ $\mu = \frac{\sin r_1}{\sin i}$ દ્વારા મળે છે.
$r_1 = 90^{\circ} - i$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{\sin(90^{\circ} - i)}{\sin i} = \frac{\cos i}{\sin i} = \cot i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક અને ક્રાંતિકોણ '$C$' વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \frac{1}{\sin C}$ છે.
'$\mu$' માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\cot i = \frac{1}{\sin C}$.
તેથી,$\tan i = \sin C$.
આમ,$i = \tan^{-1}(\sin C)$.

(D) ક્રાંતિકોણ $\theta$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જતા પ્રકાશ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે માધ્યમ $A$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ છે અને માધ્યમ $B$ એ પાતળું માધ્યમ છે.
ક્રાંતિકોણ માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,માધ્યમ $B$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $A$ નો વક્રીભવનાંક નીચે મુજબ મળે છે:
${}_{B}\mu_{A} = \frac{1}{\sin \theta}$
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક એ બે માધ્યમોમાં પ્રકાશની ઝડપનો ગુણોત્તર છે:
${}_{B}\mu_{A} = \frac{V_{B}}{V_{A}}$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{V_{B}}{V_{A}} = \frac{1}{\sin \theta}$
તેથી,માધ્યમ $B$ માં પ્રકાશની ઝડપ:
$V_{B} = \frac{V_{A}}{\sin \theta}$

(D) માધ્યમ '$Y$' ની સાપેક્ષે માધ્યમ '$x$' નો વક્રીભવનાંક નીચે મુજબ મળે છે: $n_{xy} = \frac{1}{\sin \theta}$.
વળી,વક્રીભવનાંકની વ્યાખ્યા મુજબ: $n_{xy} = \frac{V_{Y}}{V_{x}}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{V_{Y}}{V_{x}} = \frac{1}{\sin \theta}$.
તેથી,માધ્યમ '$Y$' માં પ્રકાશની ઝડપ: $V_{Y} = \frac{V_{x}}{\sin \theta}$ થાય.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમ (વક્રીભવનાંક $n_1$) માંથી પાતળા માધ્યમ (વક્રીભવનાંક $n_2$) માં જાય ત્યારે ક્રાંતિકોણ $i_c$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sin i_c = \frac{n_2}{n_1}$
આપેલ છે:
$n_1 = 1.6$ (માધ્યમ $A$ નો વક્રીભવનાંક)
$n_2 = 1.5$ (માધ્યમ $B$ નો વક્રીભવનાંક)
કિંમતો મૂકતા:
$\sin i_c = \frac{1.5}{1.6}$
$\sin i_c = \frac{15}{16}$
તેથી,ક્રાંતિકોણનું મૂલ્ય:
$i_c = \sin^{-1} \left(\frac{15}{16}\right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આયનોસ્ફિયર દ્વારા રેડિયો તરંગોનું પરાવર્તન એટલા માટે થાય છે કારણ કે આયનોસ્ફિયરનો વક્રીભવનાંક ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે. જેમ જેમ રેડિયો તરંગો આયનોસ્ફિયરમાં પ્રવેશે છે,તેમ તેમ તેમનું સતત વક્રીભવન થાય છે જ્યાં સુધી આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધી ન જાય,જે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન તરફ દોરી જાય છે. આ પ્રક્રિયા મૃગજળના નિર્માણ દરમિયાન વાતાવરણમાં થતા પ્રકાશના પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન જેવી જ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષ ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી જે રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોય તેનો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોય છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશમાં લાલ રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોવાથી,લાલ રંગ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ સૌથી ઓછો હોય છે.
ક્રાંતિકોણ $C = \arcsin(1/\mu)$ એ વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સૌથી ઓછો $\mu$ એ મહત્તમ ક્રાંતિકોણ આપે છે.
તેથી,લાલ રંગ માટે ક્રાંતિકોણ મહત્તમ હોય છે.

(A) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે, પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવો જોઈએ અને આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
અહીં માધ્યમ $M_{1}$ અને $M_{2}$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v_{1} = 1.5 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $v_{2} = 2 \times 10^{8} \text{ m/s}$ છે.
અહીં $v_{1} < v_{2}$ હોવાથી, માધ્યમ $M_{1}$ એ $M_{2}$ કરતા ઘટ્ટ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{v_{1}}{v_{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sin C = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2 \times 10^{8}} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી, $C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે, આપાતકોણ $\theta$ એ શરત $\theta > C$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આમ, $\theta > \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર ક્રાંતિકોણ $(\theta_{c})$ પર આપાત થાય છે,ત્યારે વક્રીભૂત કિરણ આંતરપૃષ્ઠને સમાંતર બને છે.
આપેલ ઊંડાઈ $h = \sqrt{7} \ m$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = 4/3$ છે.
વર્તુળાકાર તેજસ્વી ભાગની ત્રિજ્યા $R$ એ $R = h \tan \theta_{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\sin \theta_{c} = 1/\mu$,તેથી $\tan \theta_{c} = \frac{1}{\sqrt{\mu^{2}-1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{(4/3)^{2}-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{16/9-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{7/9}} = \sqrt{7} \times \frac{3}{\sqrt{7}} = 3 \ m$.