Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Gujarati

(A) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ $A$ માંથી પાતળા માધ્યમ $B$ માં જાય છે,ત્યારે ક્રાંતિકોણ $\theta$ માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$n_A \sin \theta = n_B \sin 90^\circ$
$\sin 90^\circ = 1$ હોવાથી:
$n_A \sin \theta = n_B$
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{1}{\sin \theta}$
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $n$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n = \frac{c}{v})$,તેથી:
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{v_B}{v_A}$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v_B}{v_A} = \frac{1}{\sin \theta}$
અહીં $v_A = v$ આપેલ છે,તેથી:
$v_B = \frac{v_A}{\sin \theta} = \frac{v}{\sin \theta}$

(B) જ્યારે ટાંકીને $a$ પ્રવેગ સાથે આડી દિશામાં પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીના કણો પર આભાસી બળ લાગે છે. પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલી બને છે,જ્યાં $\tan \theta = a/g$ થાય.
સપાટીનો લંબ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. આપાત કિરણ શિરોલંબ હોવાથી,પ્રવાહી-હવા આંતરપૃષ્ઠ પર આપાતકોણ $i$ એ $\theta$ જેટલો થાય છે.
સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(i > C)$.
તેથી,$\sin i > \sin C$,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > 1/\mu$.
ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = a/g = 7.5/10 = 3/4$. તેથી,$\sin \theta = 3/5$ મળે.
અહીં $i = \theta$ હોવાથી,$\sin i = 3/5$ થાય.
આ કિંમતને અસમતામાં મૂકતા: $3/5 > 1/\mu \implies \mu > 5/3$.
આમ,પ્રવાહીનો લઘુત્તમ શક્ય વક્રીભવનાંક $5/3$ કરતા સહેજ વધારે છે.

(D) અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\theta$ ધરાવતા શંકુ દ્વારા બનતો ઘનકોણ $\Omega = 2\pi(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત સ્ત્રોતની આસપાસનો કુલ ઘનકોણ $4\pi$ સ્ટેરેડિયન છે.
બહાર નીકળતા પ્રકાશની ઊર્જાનો અંશ એ ક્રાંતિકોણ $C$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શંકુના ઘનકોણ અને કુલ ઘનકોણ $4\pi$ નો ગુણોત્તર છે.
ઊર્જાનો અંશ $= \frac{2\pi(1 - \cos C)}{4\pi} = \frac{1}{2}(1 - \cos C)$.
ક્રાંતિકોણ $C$ પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_w \sin C = \mu_a \sin 90^{\circ}$.
અહીં $\mu_w = 4/3$ અને $\mu_a = 1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{4}{3} \sin C = 1$,એટલે કે $\sin C = 3/4$.
તેથી,$\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
આ કિંમતને અંશના સૂત્રમાં મૂકતા:
અંશ $= \frac{1}{2}(1 - \frac{\sqrt{7}}{4}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{2.646}{4}) = \frac{1}{2}(1 - 0.6615) = \frac{0.3385}{2} \approx 0.16925$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,આપણને આશરે $17\%$ મળે છે.

(A) પ્રિઝમની કર્ણ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
કાટકોણ પ્રિઝમની ભૂમિતિ મુજબ,પ્રકાશ પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે દાખલ થાય છે અને કર્ણ સપાટી પર $i = 45^{\circ}$ ના ખૂણે આપાત થાય છે.
$TIR$ માટેની શરત $\sin i > \sin i_{c}$ છે,જ્યાં $\sin i_{c} = \frac{1}{\mu}$ છે.
તેથી,$\sin 45^{\circ} > \frac{1}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu}$,અથવા $\mu > \sqrt{2} \approx 1.414$.
આપેલા વક્રીભવનાંકની સરખામણી કરતા:
લાલ માટે: $\mu_{red} = 1.39 < 1.414$ ($TIR$ થશે નહીં,તેનું વક્રીભવન થશે).
લીલા માટે: $\mu_{green} = 1.44 > 1.414$ ($TIR$ થશે).
વાદળી માટે: $\mu_{blue} = 1.47 > 1.414$ ($TIR$ થશે).
આમ,લાલ પ્રકાશનું વક્રીભવન થાય છે અને લીલો તથા વાદળી પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામે છે,તેથી લાલ રંગ લીલા અને વાદળી રંગોથી અલગ પડે છે.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે,ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\mu_1 \sin C = \mu_2 \sin 90^{\circ}$ છે.
અહીં $\mu_1 = 1.4$ (પ્રવાહી) અને $\mu_2 = 1$ (હવા) આપેલ છે.
તેથી,$1.4 \times \sin C = 1 \times 1 \Rightarrow \sin C = \frac{1}{1.4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \approx 0.714$.
આપાતકોણનો સાઈન $\sin i = 0.8$ આપેલ છે.
અહીં $\sin i > \sin C$ હોવાથી $(0.8 > 0.714)$,તેનો અર્થ એ છે કે $i > C$ છે.
જ્યારે આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય,ત્યારે પ્રકાશનું કિરણ સીમા સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ અનુભવે છે.

(B) માધ્યમ $\mu_{1}$ અને $\mu_{2}$ ની સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(T.I.R.)$ માટે:
$i > C_{1} \Rightarrow \sin i > \sin C_{1}$ $..........(1)$
ક્રાંતિકોણ $C_{1}$ માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu_{1} \sin C_{1} = \mu_{2} \sin 90^{\circ}$
$\Rightarrow \sin C_{1} = \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$ $..........(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$\sin i > \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$ $..........(3)$
માધ્યમ $\mu_{1}$ અને $\mu_{3}$ ની સપાટી પર $T.I.R.$ માટે,આપાતકોણ $(90^{\circ} - i)$ છે:
$(90^{\circ} - i) > C_{2} \Rightarrow \sin(90^{\circ} - i) > \sin C_{2}$
$\Rightarrow \cos i > \sin C_{2}$
ક્રાંતિકોણ $C_{2}$ માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu_{1} \sin C_{2} = \mu_{3} \sin 90^{\circ}$
$\Rightarrow \sin C_{2} = \frac{\mu_{3}}{\mu_{1}}$ $..........(4)$
અસમતા $\cos i > \sin C_{2}$ માં $(4)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos i > \frac{\mu_{3}}{\mu_{1}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\cos^{2} i > \frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$
$1 - \sin^{2} i > \frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$
ચૂકી $\sin i > \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$,તેથી $\sin^{2} i > \frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $-\sin^{2} i < -\frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$.
તેથી,$1 - \sin^{2} i > 1 - \frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે $1 - \frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}} > \frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$
$\mu_{1}^{2} - \mu_{2}^{2} > \mu_{3}^{2}$.

(D) ધારો કે સળિયાનો વક્રીભવનાંક $n = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
સળિયાની દીવાલ પરના બિંદુ $Q$ પાસે,પ્રકાશનું કિરણ સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભવન કોણ $90^{\circ}$ છે. ધારો કે $C$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
$Q$ પાસે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $n \sin C = 1 \cdot \sin 90^{\circ} = 1$.
$\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{2/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$C = 60^{\circ}$.
હવે,છેડાના બિંદુ $P$ પર વક્રીભવન ધ્યાનમાં લો. આપાતકોણ $\theta$ છે અને વક્રીભવન કોણ $r = 90^{\circ} - C$ છે.
$P$ પાસે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1 \cdot \sin \theta = n \cdot \sin(90^{\circ} - C) = n \cos C$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(A) ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે,એટલે કે આવૃત્તિ $f$ વધે તેમ $\mu$ વધે છે.
લીલા પ્રકાશ માટે,આપાતકોણ $\theta_c$ છે.
જો આવૃત્તિ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોય,તો તરંગલંબાઈ વધારે હોય,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ ઓછો હોય. પરિણામે,ક્રાંતિકોણ $\theta_c = \arcsin(1/\mu)$ એ આપાતકોણ $\theta$ કરતા મોટો બને છે. આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હોવાથી,આ પ્રકાશના ઘટકો હવામાં વક્રીભવન પામશે.
જો આવૃત્તિ લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હોય,તો તરંગલંબાઈ ઓછી હોય,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ વધારે હોય. પરિણામે,ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ આપાતકોણ $\theta$ કરતા નાનો બને છે. આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવાથી,આ પ્રકાશના ઘટકો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.

(B) પ્રકાશ માત્ર $\theta_c$ અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણાવાળા શંકુની અંદર જ સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે,જ્યાં $\theta_c$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin \theta_c = 1 \sin 90^{\circ} = 1$.
આપેલ છે $\mu = \frac{5}{4}$,તેથી $\frac{5}{4} \sin \theta_c = 1$,જે આપે છે $\sin \theta_c = \frac{4}{5}$.
આમ,$\cos \theta_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_c} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
બહાર નીકળતી પ્રકાશની ઊર્જાનો અંશ એ શંકુના ઘનકોણ અને ગોળાના કુલ ઘનકોણ $(4\pi)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{અંશ} = \frac{2\pi(1 - \cos \theta_c)}{4\pi} = \frac{1 - \cos \theta_c}{2}$.
$\cos \theta_c$ ની કિંમત મૂકતા: $\text{અંશ} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5} = 0.2$.

(A) ધારો કે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે. જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ મધ્ય રેખાથી $d$ અંતરે હોય,ત્યારે તે વક્ર સપાટી પર $\theta$ આપાતકોણે આપાત થાય છે.
ત્રિજ્યા $R$ અને અંતર $d$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણને $\sin \theta = \frac{d}{R}$ મળે છે.
વક્ર સપાટી પર આપાતકોણ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. આપાત બિંદુએ લંબ અર્ધ-વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ભૂમિતિ જોતા,લંબ અને શિરોલંબ આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એવો છે કે $\sin \theta = \frac{d}{R}$.
પ્રકાશ નળાકારમાંથી બહાર ન નીકળે તે માટે,તેણે વક્ર સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોય.
આમ,$\sin C = \frac{1}{\mu}$.
ચૂકી $\sin \theta = \frac{d}{R}$ અને $\theta = C$ છે,તેથી $\frac{d}{R} = \frac{1}{\mu}$.
તેથી,વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{R}{d}$ છે.

(B) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ ધ્રુવીભવન કોણ $(i_p)$ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત હોય છે.
આ કોણ પર,પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ એકબીજાને લંબ હોય છે.
આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ આપેલ છે,જે ધ્રુવીભવન કોણ $(i_p = 60^{\circ})$ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \tan(i_p)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$\mu = \tan(60^{\circ})$.
તેથી,$\mu = \sqrt{3}$.

(B) શરૂઆતમાં,કિરણ $AB$ આંતર સપાટી પર હવા સાથે ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ પર આપાત થાય છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu \sin \theta_c = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$.
જ્યારે $\mu_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતો સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કિરણ $AB$ આંતર સપાટીમાંથી પસાર થઈને $CD$ આંતર સપાટી પર $r_1$ આપાતકોણે આપાત થાય છે. $CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટેની શરત $\mu_1 \sin r_1 = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$ છે.
સ્લેબની ભૂમિતિ પરથી,$CD$ પરનો આપાતકોણ $(r_1)$ એ $AB$ પરના વક્રીભવનકોણ $(r)$ સાથે સંબંધિત છે. પરંતુ,કિરણ $AB$ પર ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ પર આપાત થતું હોવાથી,તે $\mu_1$ માધ્યમમાં $r_1$ ખૂણે વક્રીભવન પામશે જેથી $\mu \sin \theta_c = \mu_1 \sin r_1$ થાય.
આમ,$\mu \sin \theta_c = 1$ અને $CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે $\mu_1 \sin r_1 = 1$ હોવું જરૂરી હોવાથી,$\mu_1 \sin r_1 = \mu \sin \theta_c = 1$ મળે.
$CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $r_1$ એ $\mu_1$-હવા આંતર સપાટી માટેના ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે અથવા સમાન હોવો જોઈએ. આ શરત ત્યારે જ સંતોષાય છે જ્યારે $\mu_1 < \mu$ હોય.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sin \theta > \sin \theta_{c}$.
કોરનો વક્રીભવનાંક $\mu_{1} = 1.6$ અને ક્લેડિંગનો $\mu_{2} = 1.5$ આપેલ છે,તેથી ક્રાંતિકોણ $\sin \theta_{c} = \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} = \frac{1.5}{1.6} = 0.9375$ થાય.
વાળેલા ફાઈબરની ભૂમિતિ પરથી,જો $r$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા હોય અને $d = 0.05 \, mm$ એ કોરનો વ્યાસ હોય,તો બહારના ઈન્ટરફેસ પર આપાતકોણ $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{r}{r+d}$ સંબંધ મળે છે.
તેથી,$\frac{r}{r+d} > 0.9375$.
$r > 0.9375(r + 0.05)$.
$r > 0.9375r + 0.046875$.
$0.0625r > 0.046875$.
$r > \frac{0.046875}{0.0625} = 0.75 \, mm$.
વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની કિંમત $0.78 \, mm$ છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં ગતિ કરે છે અને આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હોય છે,ત્યારે પરાવર્તન અને વક્રીભવન બંને થાય છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન કોણ એ આપાતકોણ જેટલો જ હોય છે,જે $\theta$ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,વક્રીભવન કોણ $r$ એ આપાતકોણ $\theta$ કરતા મોટો હોય છે કારણ કે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે $(r > \theta)$.
પરાવર્તિત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $90^o - \theta$ છે.
વક્રીભૂત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $90^o - r$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $180^o - (\text{પરાવર્તન કોણ} + \text{વક્રીભવન કોણ}) = 180^o - (\theta + r)$ છે.
કારણ કે $r > \theta$,તેથી $\theta + r > 2\theta$ થાય.
તેથી,$180^o - (\theta + r) < 180^o - 2\theta$.
આમ,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^o - 2\theta$ કરતા ઓછો હશે.

(B) પ્રકાશ સપાટી $B$ માંથી બહાર નીકળે તે માટે,તેણે અંદરની વક્ર સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ અનુભવવું આવશ્યક છે.
ધારો કે $i$ એ અંદરની વક્ર સપાટી પર આપાતકોણ છે.
$TIR$ માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$\sin i \geq \sin \theta_c$
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,અંદરની સપાટી પરનું પ્રકાશનું કિરણ લંબ સાથે $i$ ખૂણો બનાવે છે. આપાતબિંદુએ અંદરની સપાટી પરનો લંબ વક્રતા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. વક્રતા કેન્દ્ર,આપાતબિંદુ અને સપાટી $A$ ની અંદરની ધાર દ્વારા બનતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $\sin i = \frac{R}{R+d}$ મળે છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$TIR$ થવા માટે,$\sin i \geq \sin \theta_c$,તેથી $\frac{R}{R+d} \geq \frac{2}{3}$.
$3R \geq 2R + 2d$
$R \geq 2d$
$\frac{d}{R} \leq 0.5$.
આમ,$\frac{d}{R}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $0.5$ છે.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_2 \sin i = \mu_1 \sin r,$ જેનો અર્થ છે કે $\sin r = \frac{\mu_2}{\mu_1} \sin i = \frac{1}{k} \sin i.$
$1$. $|r - i| = 0$ માટે,આપણી પાસે $r = i$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin r = \sin i,$ તેથી $k = \frac{\mu_1}{\mu_2} = 1.$ આમ,$k_o = 1.$
$2$. $k = k_1$ પર,કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ અનુભવે છે અથવા ક્રાંતિકોણ સુધી પહોંચે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \pi / 2.$ સ્નેલના નિયમ પરથી: $\sin(\pi / 2) = \frac{1}{k_1} \sin(\pi / 3) \Rightarrow 1 = \frac{1}{k_1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow k_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
$3$. $k = k_1$ પર,$|r - i|$ નું મૂલ્ય $|\pi / 2 - \pi / 3| = \pi / 6$ થાય છે. આમ,$\theta_1 = \pi / 6.$
$4$. જેમ $k \rightarrow \infty,$ તેમ $\sin r = \frac{1}{k} \sin i \rightarrow 0,$ તેથી $r \rightarrow 0.$ પછી $|r - i| \rightarrow |0 - \pi / 3| = \pi / 3.$ આમ,$\theta_2 = \pi / 3.$
આ પરિણામોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં $k_1 = 2/\sqrt{3}$ આપેલ છે,જે ખોટું છે કારણ કે $k_1 = \sqrt{3}/2$ છે. તેથી,ખોટો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $\mu_1 = \frac{4}{\sqrt{3}}$ એ સળિયાનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_2 = 2$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
ગ્રેઝિંગ કિરણ માટે સળિયા અને આસપાસના માધ્યમની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu_1 \sin(90^{\circ} - r) = \mu_2 \sin(90^{\circ})$
$\mu_1 \cos r = \mu_2$
$\frac{4}{\sqrt{3}} \cos r = 2$
$\cos r = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આમ,$r = 30^{\circ}$ મળે.
હવે,સળિયાની આપાત સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા (બહારનું માધ્યમ હવા છે તેમ ધારતા,$\mu = 1$):
$1 \cdot \sin \theta = \mu_1 \sin r$
$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3}} \sin 30^{\circ}$
$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) ધારો કે $\mu_g = \frac{3}{2}$ અને $\mu_w = \frac{4}{3}$. કાચ-પાણીની સપાટી પર આપાતકોણ $i = \alpha + \theta$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i > i_C$,જ્યાં $\sin i_C = \frac{\mu_w}{\mu_g} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\sin(\alpha + \theta) > \frac{8}{9}$.
પ્રથમ સપાટી પર,સ્નેલના નિયમ મુજબ: $1 \cdot \sin(90^\circ - \theta) = \mu_g \sin \alpha \implies \cos \theta = \frac{3}{2} \sin \alpha \implies \sin \alpha = \frac{2}{3} \cos \theta$.
પછી $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{4}{9} \cos^2 \theta}$.
$\sin(\alpha + \theta) = \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta > \frac{8}{9}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{2}{3} \cos \theta) \cos \theta + (\sqrt{1 - \frac{4}{9} \cos^2 \theta}) \sin \theta > \frac{8}{9}$.
ધારો કે $x = \cos \theta$,તો $\sin \theta = \sqrt{1 - x^2}$.
$\frac{2}{3} x^2 + \sqrt{1 - \frac{4}{9} x^2} \sqrt{1 - x^2} > \frac{8}{9}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x^2 < \frac{17}{21}$ મળે છે.
તેથી $\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{\frac{17}{21}}$ છે.

(C) $i < C$ માટે,પ્રકાશનું વક્રીભવન થાય છે. વિચલન કોણ $D = r - i$ છે,જ્યાં $\mu \sin i = \sin r$,તેથી $D = \sin^{-1}(\mu \sin i) - i$. આ એક અરેખીય વક્ર છે.
$i = C$ પર,$r = \pi/2$,તેથી $D = \pi/2 - C$.
$i > C$ માટે,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે. વિચલન કોણ $D = \pi - 2i$ છે. આ ઋણ ઢાળ ધરાવતી રેખીય વિધેય છે.
$i = C$ પર,$D = \pi - 2C$. $i = \pi/2$ પર,$D = 0$.
આમ,આલેખ $i < C$ માટે વક્ર અને $i > C$ માટે સીધી રેખા દર્શાવે છે,જેમાં $i = C$ પર અસતતતા છે.

(C) ધારો કે કરોળિયો ગોળાના ઉપરના ધ્રુવ પર છે. માખીમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો ગોળાની સપાટી પર વક્રીભવન પામીને કરોળિયા સુધી પહોંચી શકે છે.
કાચ-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ $\phi_c$ એ $\sin \phi_c = \frac{1}{\mu_g} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\phi_c = 45^{\circ}$.
કિરણ ગોળામાંથી બહાર નીકળીને કરોળિયા સુધી પહોંચે તે માટે,સપાટી પર આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
ગોળાની ભૂમિતિ પરથી,ગોળાના કેન્દ્ર પર દ્રષ્ટિના શંકુ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $2\phi_c = 90^{\circ}$ છે.
અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\theta$ ધરાવતા શંકુ દ્વારા આંતરાતો ઘનકોણ $\Omega = 2\pi(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\theta = \phi_c = 45^{\circ}$ છે.
તેથી,$\Omega = 2\pi(1 - \cos 45^{\circ}) = 2\pi(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2\pi - \sqrt{2}\pi \approx 0.586\pi$.
આપેલ વિકલ્પોને જોતા,યોગ્ય જવાબ $\Omega = \frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ધારો કે ઉપરની સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot \sin(i) = \mu \cdot \sin(r) \implies \sin(r) = \frac{\sin(i)}{\mu}$
ઊભી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,તે સપાટી પરનો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો અથવા તેનાથી વધારે હોવો જોઈએ. ઊભી સપાટી પર આપાતકોણ $(90^\circ - r)$ છે.
તેથી,$90^\circ - r \ge C$,જ્યાં $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
લઘુત્તમ વક્રીભવનાંક માટે,આપણે સીમાંત સ્થિતિ લઈએ: $\sin(90^\circ - r) = \sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
$\cos(r) = \frac{1}{\mu} \implies \cos^2(r) = \frac{1}{\mu^2}$.
$\sin^2(r) + \cos^2(r) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{\sin(i)}{\mu}\right)^2 + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\sin^2(i) + 1 = \mu^2$
$\mu = \sqrt{1 + \sin^2(i)}$

(B) પ્રશ્ન જણાવે છે કે $A$ થી $B$ તરફ મોકલવામાં આવેલા સંકેતો બિંદુ $C$ પર પહોંચે છે. આનો અર્થ એ છે કે સંકેતો બિંદુ $B$ પર કાચ-શૂન્યાવકાશની સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
વર્તુળની ભૂમિતિ પરથી,$B$ પર આપાતકોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
તેથી,$\theta > \theta_C \implies 45^{\circ} > \sin^{-1}(1/\mu)$.
$\sin 45^{\circ} > 1/\mu \implies 1/\sqrt{2} > 1/\mu \implies \mu > \sqrt{2}$.
કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/\mu$ હોવાથી,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે,આપણને મળે છે:
$v < c/\sqrt{2} = (3 \times 10^8) / 1.414 \approx 2.12 \times 10^8 \,m/s$.
તેથી,ઝડપ $v$ એ $2.12 \times 10^8 \,m/s$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2.4 \times 10^8 \,m/s$ એ આ મર્યાદા કરતા વધારે છે અને તેથી તે કાચમાં સંકેતોની ઝડપ હોઈ શકે નહીં.

(D) ક્રાંતિકોણનું સૂત્ર $\theta_c = \sin^{-1}(1/n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
દ્રશ્ય વર્ણપટ $VIBGYOR$ માં,તરંગલંબાઇ $\lambda$ જાંબલીથી લાલ તરફ વધે છે.
તેથી,વક્રીભવનાંક $n$ જાંબલી પ્રકાશ માટે મહત્તમ અને લાલ પ્રકાશ માટે લઘુત્તમ હોય છે.
જેમ કે $\theta_c$ એ $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ તે રંગ માટે લઘુત્તમ હશે જેનો વક્રીભવનાંક મહત્તમ હોય.
આમ,જાંબલી પ્રકાશ માટે ક્રાંતિકોણ લઘુત્તમ હોય છે.

(B) ધારો કે એર-કોર ઈન્ટરફેસ પર આપાતકોણ $\theta$ છે અને કોરની અંદર વક્રીભવન કોણ $r$ છે.
એર-કોર ઈન્ટરફેસ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \times \sin \theta = n_1 \times \sin r$
$\sin r = \frac{\sin \theta}{n_1}$ .........$(i)$
કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
ભૂમિતિ પરથી,$i = 90^\circ - r$.
તેથી,$90^\circ - r > \theta_c \implies \cos r > \sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ .........$(ii)$
$\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r}$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{1 - \left(\frac{\sin \theta}{n_1}\right)^2} > \frac{n_2}{n_1}$
$1 - \frac{\sin^2 \theta}{n_1^2} > \frac{n_2^2}{n_1^2}$
$n_1^2 - \sin^2 \theta > n_2^2$
$\sin^2 \theta < n_1^2 - n_2^2$
$\sin \theta < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$
આમ,મહત્તમ સ્વીકૃતિ કોણ $\theta = \sin^{-1} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ છે.

(A) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$,વિચલનકોણ $\delta = 15^{\circ}$.
પ્રકાશનું કિરણ હવામાંથી કાચમાં જાય છે,તેથી વક્રીભૂતકોણ $r = i - \delta = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,કાચનો હવાની સાપેક્ષે વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta_{c} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$\theta_{c} = 45^{\circ}$ મળે.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\sin i}{\sin r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = A$ છે અને પરાવર્તિત તથા વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે. પરાવર્તિત કિરણ લંબ સાથે $A$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી પરાવર્તિત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $90^o - A$ થાય. પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ હોવાથી,વક્રીભૂત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $180^o - 90^o - (90^o - A) = A$ થશે. આમ,વક્રીભૂતકોણ $r = 90^o - A$ મળે.
આ કિંમતો સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\sin A}{\sin(90^o - A)} = \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ માટે $\sin \theta_C = \frac{\mu_R}{\mu_D}$ થાય છે.
તેથી,$\tan A = \sin \theta_C$,જેનો અર્થ છે કે $A = \tan^{-1}(\sin \theta_C)$.

(D) આપેલ છે,વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$.
ડાઇવરની ઊંડાઈ $h = 15 \, cm$.
ધારો કે $R$ એ વર્તુળાકાર ક્ષિતિજની ત્રિજ્યા છે.
બહારની દુનિયામાંથી આવતો પ્રકાશ પાણીમાં પ્રવેશે છે અને ડાઇવરની આંખો સુધી ત્યારે જ પહોંચે છે જો આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
આ સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,$\tan C = \frac{R}{h}$.
કારણ કે $\sin C = \frac{3}{4}$,તેથી $\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
તેથી,$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
આમ,$R = h \tan C = 15 \times \frac{3}{\sqrt{7}} \, cm = \frac{15 \times 3}{\sqrt{7}} \, cm$.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{d}{t} = \frac{3.0 \times 10^{-2} \ m}{0.2 \times 10^{-9} \ s} = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ છે.
હવાની સાપેક્ષે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \times 10^8 \ m/s} = 2$ છે.
ક્રાંતિક કોણ $C$ માટે $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $C = 30^o$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાતકોણ $i > C$ હોય.
કિસ્સા $(A)$ માટે,$i = 20^o < 30^o$,તેથી તે વક્રીભવન પામશે.
કિસ્સા $(B)$ માટે,$i = 40^o > 30^o$,તેથી તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.
આમ,કિરણ માત્ર કિસ્સા $(B)$ માં પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.

(D) બિંદુ $A$ પર,સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$ ..... $(i)$
બિંદુ $B$ પર,ઉભી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i_1$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$\sin i_1 = \frac{1}{\mu}$
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$i_1 = 90^{\circ} - r$.
તેથી,$\sin(90^{\circ} - r) = \frac{1}{\mu} \Rightarrow \cos r = \frac{1}{\mu}$ ..... $(ii)$
નિત્યસમ $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{1}{\mu \sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$\frac{3}{2\mu^2} = 1 \Rightarrow \mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(C) $1$. પ્રકાશનું કિરણ $AB$ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને $AC$ સપાટી પર અથડાય છે.
$2$. ધારો કે $AC$ સપાટી પર આપાતકોણ $i$ છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$AC$ સપાટીના લંબ અને આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો પ્રિઝમના ખૂણા $\theta$ જેટલો થાય છે. તેથી,$i = \theta$.
$3$. $AC$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ કાચ-પાણીના આંતરપૃષ્ઠ માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$4$. $TIR$ માટેની શરત $i > C$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin C$.
$5$. કારણ કે $i = \theta$,તેથી $\sin \theta > \sin C$.
$6$. ક્રાંતિકોણ $C$ નું મૂલ્ય $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ દ્વારા મળે છે.
$7$. તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin \theta > \frac{8}{9}$ છે.

(D) પ્રકાશ સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે દાખલ થાય છે,તેથી તે સપાટી $AC$ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે. સપાટી $AC$ પર આપાતકોણ $45^{\circ}$ છે.
પ્રકાશને સપાટી $AC$ માંથી બહાર આવવા માટે,તેનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવું જોઈએ નહીં.
$TIR$ ન થવા માટેની શરત: $\theta < c$,જ્યાં $c$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
$\sin \theta < \sin c \Rightarrow \sin 45^{\circ} < \frac{1}{\mu}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\mu} \Rightarrow \mu < \sqrt{2} \approx 1.414$.
આપેલા વક્રીભવનાંકની સરખામણી કરતા:
લાલ: $\mu = 1.39 < 1.414$ (બહાર આવશે)
લીલો: $\mu = 1.44 > 1.414$ ($TIR$ થશે)
વાદળી: $\mu = 1.47 > 1.414$ ($TIR$ થશે)
તેથી,સપાટી $AC$ માંથી માત્ર લાલ રંગનો પ્રકાશ બહાર આવશે.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 2\,m$,વ્યાસ $d = 20 \times 10^{-6}\,m$,આપાતકોણ $\theta_1 = 40^\circ$. ધારો કે ફાઈબર કોરનો વક્રીભવનાંક $n = 1.31$ છે.
પ્રવેશદ્વાર પર સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot \sin(40^\circ) = n \cdot \sin(\theta_2)$
$\sin(\theta_2) = \frac{\sin(40^\circ)}{1.31} \approx \frac{0.6428}{1.31} \approx 0.4907$
હવે,$\cos(\theta_2) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)} = \sqrt{1 - (0.4907)^2} \approx \sqrt{1 - 0.2408} \approx \sqrt{0.7592} \approx 0.8713$
$\tan(\theta_2) = \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} \approx \frac{0.4907}{0.8713} \approx 0.5632$
બે ક્રમિક પરાવર્તનો વચ્ચે કિરણ દ્વારા કપાતું આડું અંતર $x$ એ $\tan(\theta_2) = \frac{d}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $x = \frac{d}{\tan(\theta_2)}$.
પરાવર્તનોની સંખ્યા $N$ એ $N = \frac{L}{x} = \frac{L \cdot \tan(\theta_2)}{d}$ દ્વારા મળે છે.
$N = \frac{2 \times 0.5632}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1.1264}{20 \times 10^{-6}} = 0.05632 \times 10^6 = 56320$.
આ મૂલ્ય $57000$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) ધારો કે $C$ એ ઘન $(\mu_2)$ અને પ્રવાહી $(\mu_1)$ વચ્ચેની આંતર સપાટી માટે ક્રાંતિકોણ છે.
$E$ બિંદુએ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે,$BC$ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i'$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$i' > C$.
ભૂમિતિ પરથી,$AB$ સપાટી પરનો વક્રીભવન કોણ $r$ એ $i'$ સાથે $r = 90^\circ - i'$ સંબંધ ધરાવે છે.
$i' > C$ હોવાથી,$90^\circ - r > C$,અથવા $r < 90^\circ - C$.
$AB$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$.
$\sin$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,$\sin r < \sin(90^\circ - C) = \cos C$.
તેથી,$\mu_1 \sin \theta < \mu_2 \cos C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{\mu_1}{\mu_2}$,તેથી $\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \frac{\mu_1^2}{\mu_2^2}} = \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_2}$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $\mu_1 \sin \theta < \mu_2 \left( \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_2} \right) = \sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}$.
$\sin \theta < \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_1} = \sqrt{\frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} - 1}$.
આમ,$\theta < \sin^{-1} \sqrt{\frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} - 1}$.

(B) $1$. પ્રકાશનું કિરણ $AB$ ફલક પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલિત થયા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
$2$. $AC$ ફલક પર આપાતકોણ $i$ એ $AC$ ફલકના લંબ અને આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$i = 60^{\circ}$ મળે છે.
$3$. $AC$ ફલક પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $i_C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > i_C$.
$4$. $TIR$ માટેની શરત $\sin i > \sin i_C$ છે.
$5$. અહીં,$\sin i_C = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{glass}} = \frac{\mu}{3/2} = \frac{2\mu}{3}$.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $\sin 60^{\circ} > \frac{2\mu}{3}$.
$7$. $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{2\mu}{3} \Rightarrow \mu < \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) કાચ-પાણીના આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu_g \sin i = \mu_w \sin r$
અહીં $\mu_w = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\mu_g \sin i = \frac{4}{3} \sin r$ --- $(1)$
પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા,જ્યાં કિરણ સપાટી પરથી ઘસાઈને જાય છે (વક્રીભવન કોણ $90^\circ$ છે):
$\mu_w \sin r = \mu_{air} \sin 90^\circ$
$\frac{4}{3} \sin r = 1 \times 1 = 1$
$\sin r = \frac{3}{4}$
$\sin r = \frac{3}{4}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\mu_g \sin i = \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = 1$
$\mu_g = \frac{1}{\sin i}$

(A) ધારો કે આપાતકોણ $i$ છે. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન કોણ $r$ એ આપાતકોણ જેટલો જ હોય છે,તેથી $r = i$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ છે,તેથી પરાવર્તન કોણ $r$,પરાવર્તિત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો,અને વક્રીભવન કોણ $r'$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય. પરાવર્તિત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ} - r)$ હોવાથી,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$ થાય,જેનું સાદુરૂપ આપતા $r' = 90^{\circ} - r$ મળે છે.
સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin i = 1 \cdot \sin r'$,જ્યાં $\mu$ એ પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
$i = r$ અને $r' = 90^{\circ} - r$ ને સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા:
$\mu \sin r = \sin(90^{\circ} - r)$
$\mu \sin r = \cos r$
$\mu = \frac{\cos r}{\sin r} = \cot r$
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ નું સૂત્ર $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ છે.
$\mu = \cot r$ મૂકતા:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\cot r} = \tan r$
$\theta_c = \sin^{-1}(\tan r)$.

(A) ટાંકીના તળિયે રહેલા બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતો પ્રકાશ સપાટી પરથી ત્યારે જ બહાર નીકળી શકશે જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
પાણીની સપાટી પરના વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળની ત્રિજ્યા $r$ એ $r = h \tan C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h = 80 \, cm = 0.8 \, m$ છે.
કારણ કે $\sin C = \frac{1}{\mu}$, તેથી $\tan C = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ થાય.
આમ, $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
અહીં $\mu = 1.33 \approx \frac{4}{3}$ આપેલ છે, તેથી $r = \frac{0.8}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{0.8}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{0.8}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{0.8 \times 3}{\sqrt{7}} = \frac{2.4}{2.646} \approx 0.907 \, m$.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.907)^2 \approx 3.14 \times 0.8226 \approx 2.58 \, m^2$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, ક્ષેત્રફળ આશરે $2.6 \, m^2$ મળે છે.

(D) સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
વક્રીભવનાંક $\mu = 2$ આપેલ છે,તેથી ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$
$\theta_c = 30^{\circ}$
$AB$ વિભાગમાંથી કોઈ પ્રકાશ પસાર ન થાય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,ઉદ્ગમ $S$ માંથી નીકળતા અને $AB$ સપાટી પર અથડાતા કોઈપણ પ્રકાશના કિરણનો આપાતકોણ $\theta_c = 30^{\circ}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે ઉદ્ગમ $S$ એવા વિસ્તારમાં હોવો જોઈએ કે જેથી $S$ પર $AB$ વિભાગ દ્વારા બનતો ખૂણો ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય,અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે,$S$ થી $AB$ સુધી પહોંચતા કિરણો $\ge \theta_c$ ના ખૂણે અથડાવા જોઈએ. આકૃતિઓમાં છાયાંકિત વિસ્તાર એ બિંદુઓનો સમૂહ દર્શાવે છે જ્યાં આ શરત સંતોષાય છે. ભૂમિતિના આધારે,સાચું નિરૂપણ વિકલ્પ $D$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.

(D) ક્રાંતિકોણ $i_C$ અને ઘટ્ટ માધ્યમ $(I)$ નો પાતળા માધ્યમ $(II)$ ની સાપેક્ષમાં વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sin i_C = \frac{1}{\mu}$ છે.
આપેલ છે કે $\tan i_C = \frac{5}{9}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin i_C = \frac{\tan i_C}{\sqrt{1 + \tan^2 i_C}}$.
$\tan i_C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin i_C = \frac{5/9}{\sqrt{1 + (5/9)^2}} = \frac{5/9}{\sqrt{1 + 25/81}} = \frac{5/9}{\sqrt{106/81}} = \frac{5/9}{\sqrt{106}/9} = \frac{5}{\sqrt{106}}$.
કારણ કે $\sin i_C = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\frac{1}{\mu} = \frac{5}{\sqrt{106}}$.
આમ,$\mu = \frac{\sqrt{106}}{5}$.

(B) ધારો કે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g$ છે અને પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 4/3$ છે. કાચ-પાણીના આંતરપૃષ્ઠ પર આપાતકોણ $i$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\mu_g \sin i = \mu_w \sin r$
પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર,પ્રકાશનું કિરણ ક્રાંતિકોણ પર આપાત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે હવામાં વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ છે. પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર આપાતકોણ $r$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\mu_w \sin r = \mu_{air} \sin 90^{\circ}$
કારણ કે $\mu_{air} = 1$,તેથી $\mu_w \sin r = 1$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu_g \sin i = 1$
તેથી,$\mu_g = \frac{1}{\sin i}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ સપાટી ($\mu_2$ અને $\mu_1$ વચ્ચે) પર આપાતકોણ $i$ છે. પ્રથમ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $c_1$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$\sin c_1 = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow c_1 = 45^{\circ}$. તેથી,$i \ge 45^{\circ}$.
હવે,બીજી સપાટી ($\mu_2$ અને $\mu_3$ વચ્ચે) પર $TIR$ થવા માટે,તે સપાટી પરનો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $c_2$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$\sin c_2 = \frac{\mu_3}{\mu_2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c_2 = 60^{\circ}$.
પ્રકાશનું કિરણ $\mu_2$ થી $\mu_3$ તરફ જતું હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ થશે (યુગ્મકોણ હોવાથી). તેથી,$i \ge 60^{\circ}$.
બંને શરતો સંતોષવા માટે,$i$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $60^{\circ}$ હોવું જોઈએ.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(i > C)$.
અહીં $i = 45^o$ આપેલ છે,તેથી $45^o > C$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\sin 45^o > \sin C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\sin 45^o > \frac{1}{\mu}$.
$\sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\mu > \sqrt{2}$ મળે છે.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,આપણે $\mu > 1.414$ ની જરૂર છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $\mu = 1.5$ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) ધારો કે પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે. પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \times \sin 45^{\circ} = \mu \times \sin(90^{\circ} - \theta)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}\mu}$
બીજી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ:
$\theta \geq C \Rightarrow \sin \theta \geq \sin C = \frac{1}{\mu}$
નિત્યસમ $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}\mu}\right)^2} \geq \frac{1}{\mu}$
$\sqrt{1 - \frac{1}{2\mu^2}} \geq \frac{1}{\mu}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 - \frac{1}{2\mu^2} \geq \frac{1}{\mu^2}$
$1 \geq \frac{1}{\mu^2} + \frac{1}{2\mu^2} = \frac{3}{2\mu^2}$
$\mu^2 \geq \frac{3}{2} \Rightarrow \mu \geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
આમ,લઘુત્તમ વક્રીભવનાંક $\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે પ્રકાશ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરના કોર (ગર્ભ) માં ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે ખૂણે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે કોર અને ક્લેડિંગની સપાટી પર વારંવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
આના કારણે પ્રકાશનો સંકેત તીવ્રતામાં ન્યૂનતમ ઘટાડા સાથે લાંબા અંતર સુધી ફાઇબર દ્વારા મુસાફરી કરી શકે છે.

(A) બહારની દુનિયાનો પ્રકાશ માછલી સુધી ત્યારે જ પહોંચે છે જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
$\mu = \frac{4}{3}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પાણી માટે,ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ એ $\sin \theta_{c} = \frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્નની ભૂમિતિ મુજબ,વર્તુળાકાર ક્ષિતિજની ત્રિજ્યા $R$ અને ઊંડાઈ $h = 12 \, cm$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = h \tan \theta_{c}$ છે.
$\sin \theta_{c} = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\cos \theta_{c} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_{c}} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ મળે.
તેથી,$\tan \theta_{c} = \frac{\sin \theta_{c}}{\cos \theta_{c}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
કિંમતો મૂકતા,$R = 12 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \, cm$ મળે.

(B) સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે,$i = 45^{\circ}$.
તેથી,$i > i_{c} \Rightarrow 45^{\circ} > i_{c}$.
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા,$\sin 45^{\circ} > \sin i_{c}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $\sin i_{c} = \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા,આપણને $\sin 45^{\circ} > \frac{1}{n}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી અસમતા $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$ બને છે.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે,તેથી $n > \sqrt{2}$.