Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Gujarati

(A) કાચના પ્રિઝમ અને પાણી વચ્ચેની સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin \theta \geqslant \sin C$ છે.
ક્રાંતિકકોણ $C$ એ $\sin C = \frac{1}{{}_w\mu_g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં ${}_w\mu_g$ એ પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે,કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5 = 3/2$ અને પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 4/3$ છે.
તેથી,${}_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$.
આમ,$\sin C = \frac{1}{9/8} = \frac{8}{9}$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ $\sin \theta \geqslant \frac{8}{9}$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.

(D) પ્રિઝમ-પ્રવાહી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આપેલ આકૃતિમાં,કિરણ $i = 45^o$ ના આપાતકોણે સપાટી પર અથડાય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપણે $i \ge c$ ની જરૂર છે,તેથી $45^o \ge c$,અથવા $\sin 45^o \ge \sin c$.
કારણ કે $\sin c = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$,અને જો આપણે માની લઈએ કે પ્રિઝમ કાચનો છે જેનો વક્રીભવનાંક $\mu_{prism} \approx 1.5$ છે,તો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin 45^o \ge \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$ છે.
જો કે,પ્રશ્ન પ્રવાહીના એવા મહત્તમ વક્રીભવનાંક વિશે પૂછે છે કે જેથી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $c = 45^o$ હોય.
સંબંધ $\sin c = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\mu_{liquid} = \mu_{prism} \sin 45^o = 1.5 \times \frac{1}{\sqrt 2} \approx 1.06$ મળે છે.
વિધાનમાં જણાવેલ મૂલ્ય $\sqrt 2$ છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $2$ હોવાનું ધારે છે. આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત સંદર્ભને જોતા,વિધાન અને કારણ બંને તકનીકી રીતે ખોટા છે.

(C) આપેલ છે: હીરાનો હવાની સાપેક્ષમાં વક્રીભવનાંક $\mu_d = \sqrt{6}$. પ્રવાહીનો હવાની સાપેક્ષમાં વક્રીભવનાંક $\mu_l = \sqrt{3}$.
પ્રવાહીની સાપેક્ષમાં હીરાનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\mu_d}{\mu_l} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$ થાય.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ,$C = 45^{\circ}$ મળે.
અહીં આપેલ આપાતકોણ $i = 30^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ $C = 45^{\circ}$ કરતા ઓછો હોવાથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થશે નહીં. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
કારણ જણાવે છે કે $\mu = \frac{1}{\sin C}$,જે ક્રાંતિકોણ માટેનું સાચું સૂત્ર છે,જ્યાં $\mu$ એ પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષમાં ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે. તેથી,કારણ સાચું છે.

(C) પાણીમાં રહેલો હવાનો પરપોટો ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) અને પાતળા માધ્યમ (હવા) વચ્ચે ગોળાકાર લેન્સ જેવી સીમા તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે પ્રકાશના કિરણો પાણીમાંથી હવાના પરપોટા તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ આંતરપૃષ્ઠ પર ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે આપાત થાય છે.
આના પરિણામે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટના બને છે,જેના કારણે પરપોટો ચમકતો અથવા રૂપેરી દેખાય છે.
વક્રીભવન એ આ ઘટનાનું મુખ્ય કારણ નથી; તેના બદલે,તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે હીરાનો વક્રીભવનાંક $(n \approx 2.42)$ ખૂબ ઊંચો હોય છે,જેના પરિણામે તેનો ક્રાંતિકોણ $(C \approx 24.4^\circ)$ ખૂબ નાનો હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ હીરામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે આ નાના ક્રાંતિકોણને કારણે તે વારંવાર આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે,જેનાથી તે ખૂબ જ તેજસ્વી રીતે ચમકે છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે હીરાનું ચમકવું એ સૂર્યપ્રકાશના શોષણ સાથે સંબંધિત નથી,પરંતુ તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ની ઘટનાને કારણે છે.

(A) વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.
ઓપ્ટિકલ ફાઈબરમાં,કોરનો વ્યાસ નાનો રાખવામાં આવે છે જેથી ફાઈબરમાં પ્રવેશતા પ્રકાશના કિરણો કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે આપાત થાય.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,નાના વ્યાસવાળા કોર માટે,કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર આપાતકોણ $\angle A$ પ્રમાણમાં મોટો હોય છે.
મોટા વ્યાસવાળા કોર માટે,આપાતકોણ $\angle B$ નાનો હોય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત એ છે કે આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,તેથી નાનો કોર વ્યાસ પ્રકાશના કિરણો આ શરતને સંતોષે તેવી શક્યતા વધારે છે,જેનાથી ફાઈબર દ્વારા પ્રકાશનું કાર્યક્ષમ વહન સુનિશ્ચિત થાય છે.

(A) ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ નું સૂત્ર $\theta_c = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\mu} \right)$ છે.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$).
જાંબલી રંગની તરંગલંબાઈ દ્રશ્ય પ્રકાશમાં સૌથી ઓછી હોવાથી,જાંબલી રંગ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ સૌથી વધુ હોય છે.
જેમ કે $\theta_c = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\mu} \right)$,તેથી $\mu$ નું મૂલ્ય વધતા $\theta_c$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,જાંબલી રંગ માટે ક્રાંતિકોણ ન્યૂનતમ હોય છે. વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) વિધાન સાચું છે કારણ કે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરનો ઉપયોગ આધુનિક ટેલિકોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં હાઈ-સ્પીડ ડેટા ટ્રાન્સમિશન માટે વ્યાપકપણે થાય છે.
કારણ પણ સાચું છે કારણ કે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરની કામગીરી પાછળનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ની ઘટના છે.
જ્યારે પ્રકાશ ફાઈબરમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર અનેકવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે,જેનાથી સિગ્નલ તીવ્રતાના ન્યૂનતમ નુકસાન સાથે લાંબા અંતર સુધી મુસાફરી કરી શકે છે.
કારણ કે સિગ્નલોને નોંધપાત્ર ઘટાડા વિના લાંબા અંતર સુધી પ્રસારિત કરવાની ક્ષમતા સીધી રીતે $TIR$ ને કારણે છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ક્રાંતિકોણ $(i_c)$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના માટે પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભવનકોણ $90^o$ હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ક્રાંતિકોણ જેટલા આપાતકોણે ગતિ કરે છે,ત્યારે વક્રીભૂત કિરણ બંને માધ્યમોની આંતર સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે.
તેથી,વક્રીભવનકોણ $90^o$ છે.

(D) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\epsilon_r = 3$ અને સાપેક્ષ પરમીબિલિટી $\mu_r = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
તેથી,$\mu = \sqrt{3 \times \frac{4}{3}} = \sqrt{4} = 2$.
ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ એ $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$\sin \theta_C = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\theta_C = 30^{\circ}$ થાય.

(A) પ્રકાશનો સ્ત્રોત બધી દિશાઓમાં પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે,જે કુલ $4\pi$ સ્ટેરેડિયનનો ઘનકોણ આવરી લે છે.
પ્રકાશ પાણીની સપાટીમાંથી ત્યારે જ બહાર આવે છે જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
ક્રાંતિકોણ માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin\theta_c = 1 \sin 90^{\circ}$,જ્યાં $\mu = 4/3$.
$\sin\theta_c = 1 / (4/3) = 3/4$.
તેથી,$\cos\theta_c = \sqrt{1 - \sin^2\theta_c} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7}/4$.
બહાર આવતા પ્રકાશના શંકુ દ્વારા બનતો ઘનકોણ $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta_c)$ છે.
$\cos\theta_c$ ની કિંમત મૂકતા: $\Omega = 2\pi(1 - \sqrt{7}/4) = 2\pi(1 - 2.646/4) = 2\pi(1 - 0.6615) = 2\pi(0.3385) = 0.677\pi$.
બહાર આવતા પ્રકાશનો અંશ $\frac{\Omega}{4\pi} = \frac{0.677\pi}{4\pi} \approx 0.169$ છે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $0.169 \times 100 \approx 17\%$.

(B) પાણીમાં બલ્બની ઊંડાઈ $h = 80 \; cm = 0.8 \; m$ છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.33$ છે.
પ્રકાશ સપાટી પરથી ત્યારે જ બહાર નીકળી શકે જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય. ક્રાંતિકોણ પર વક્રીભવનકોણ $r = 90^{\circ}$ હોય છે.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin i_c = 1 \sin 90^{\circ} \implies \sin i_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.33} \approx 0.7519$.
ભૂમિતિ પરથી,સપાટી પરના વર્તુળાકાર વિસ્તારની ત્રિજ્યા $R = h \tan i_c$ દ્વારા મળે છે.
$\sin i_c = 0.7519$ હોવાથી,$\cos i_c = \sqrt{1 - \sin^2 i_c} = \sqrt{1 - (0.7519)^2} \approx 0.6593$ મળે.
તેથી,$\tan i_c = \frac{\sin i_c}{\cos i_c} = \frac{0.7519}{0.6593} \approx 1.1404$.
ત્રિજ્યા $R = 0.8 \times 1.1404 \approx 0.9123 \; m$.
વર્તુળાકાર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \times (0.9123)^2 \approx 3.14159 \times 0.8323 \approx 2.61 \; m^2$ થાય.

(N/A) કાચના ફાઈબરનો વક્રીભવનાંક,$\mu_{1} = 1.68$.
પાઈપના બહારના આવરણનો વક્રીભવનાંક,$\mu_{2} = 1.44$.
ધારો કે $i$ એ હવા-કોર સપાટી પર આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
ધારો કે $i'$ એ કોર-ક્લેડિંગ સપાટી પરનો આપાતકોણ છે.
કોર-ક્લેડિંગ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $i'$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$\sin i_c = \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{1.44}{1.68} \approx 0.8571$.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}(0.8571) \approx 59^{\circ}$.
$TIR$ માટે,$i' > 59^{\circ}$.
પ્રવેશ વખતે બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$r = 90^{\circ} - i'$.
કારણ કે $i' > 59^{\circ}$,$r < 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ}$.
હવા-કોર સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\frac{\sin i}{\sin r} = \mu_1 = 1.68$.
$\sin i = 1.68 \sin r$.
મહત્તમ $i$ માટે,$r = 31^{\circ}$.
$\sin i_{\max} = 1.68 \sin 31^{\circ} = 1.68 \times 0.515 = 0.8652$.
$i_{\max} = \sin^{-1}(0.8652) \approx 60^{\circ}$.
તેથી,આપાતકોણનો વિસ્તાર $0 < i < 60^{\circ}$ છે.
$(b)$ જો બહારનું આવરણ ન હોય,તો ક્લેડિંગ હવા છે,તેથી $\mu_2 = 1.0$.
$\sin i_c = \frac{1.0}{1.68} \approx 0.5952$.
$i_c = \sin^{-1}(0.5952) \approx 36.5^{\circ}$.
$TIR$ માટે,$i' > 36.5^{\circ}$.
$r < 90^{\circ} - 36.5^{\circ} = 53.5^{\circ}$.
$\sin i_{\max} = 1.68 \sin 53.5^{\circ} = 1.68 \times 0.8038 \approx 1.35$.
કારણ કે $\sin i$ ની કિંમત $1$ થી વધી શકે નહીં,તેથી $i_{\max} = 90^{\circ}$.
આમ,પાઈપમાં પ્રવેશતા તમામ કિરણો $TIR$ અનુભવશે.

(N/A) જ્યારે પ્રકાશ પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં આંતર સપાટી પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે આંશિક રીતે તે જ માધ્યમમાં પાછો પરાવર્તિત થાય છે અને આંશિક રીતે બીજા માધ્યમમાં વક્રીભૂત થાય છે. આ પરાવર્તનને આંતરિક પરાવર્તન કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે લંબથી દૂર જાય છે.
આકૃતિમાં,આપાત કિરણ $AO_{1}$ માટે,પ્રકાશ આંશિક રીતે પરાવર્તિત $(O_{1}C)$ થાય છે અને આંશિક રીતે પારગમન $(O_{1}B)$ અથવા વક્રીભૂત થાય છે.
વક્રીભવન કોણ $(r)$ એ આપાતકોણ $(i)$ કરતા મોટો હોય છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ વધે છે,તેમ વક્રીભવન કોણ પણ વધે છે,જ્યાં સુધી કિરણ $AO_{3}$ માટે,વક્રીભવન કોણ $\frac{\pi}{2}$ ન થાય.
વક્રીભૂત કિરણ લંબથી એટલું દૂર જાય છે કે તે બે માધ્યમો વચ્ચેની આંતર સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે. આ કિરણ $AO_{3}D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
જે આપાતકોણ માટે વક્રીભવન કોણ $\frac{\pi}{2}$ થાય છે,તે આપાતકોણને ક્રાંતિકોણ '$i_{C}$' કહેવામાં આવે છે.
ક્રાંતિકોણે આપાત થયા પછી મળતા વિચલિત કિરણને ક્રાંતિક કિરણ કહેવામાં આવે છે.
જો આપાતકોણને વધુ વધારવામાં આવે,દા.ત. કિરણ $AO_{4}$ માટે,તો વક્રીભવન શક્ય નથી અને આપાત કિરણ સંપૂર્ણપણે પરાવર્તિત થાય છે. આને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રકાશ સપાટી દ્વારા પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે સામાન્ય રીતે તેનો અમુક ભાગ પારગમિત થાય છે. તેથી,પરાવર્તિત કિરણ હંમેશા આપાત કિરણ કરતા ઓછી તીવ્રતા ધરાવે છે,પછી ભલે પરાવર્તક સપાટી ગમે તેટલી લીસી હોય. બીજી તરફ,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનમાં,પ્રકાશનું કોઈ પારગમન થતું નથી.

(N/A) $1$. ચોખ્ખા પાણીથી ભરેલું કાચનું બીકર લો. પાણીમાં થોડો સાબુ ઉમેરીને તેને હલાવો જેથી તે થોડું ડોળું થાય અને પ્રકાશના કિરણનો માર્ગ જોઈ શકાય.
$2$. લેસર પોઇન્ટરનો ઉપયોગ કરીને ડોળા પાણીમાંથી કિરણ પસાર કરો. પાણીની અંદર કિરણનો માર્ગ સ્પષ્ટ રીતે ચમકતો દેખાશે.
$3$. બીકરની નીચેથી કિરણને એવી રીતે આપાત કરો કે તે પાણીની ઉપરની સપાટી પર અથડાય. આ બિંદુએ,તેનું આંશિક પરાવર્તન (નીચે ટેબલ પર ટપકા તરીકે દેખાય છે) અને આંશિક વક્રીભવન (છત પર ટપકા તરીકે દેખાય છે) થાય છે,જે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.
$4$. હવે,લેસર કિરણને બીકરની એક બાજુથી એવી રીતે દિશામાન કરો કે તે પાણીની ઉપરની સપાટી પર વધુ ત્રાંસું અથડાય,જે આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવેલ છે. લેસર કિરણના ખૂણાને ત્યાં સુધી ગોઠવો જ્યાં સુધી પાણીની સપાટી ઉપરનું વક્રીભવન સંપૂર્ણપણે અદૃશ્ય થઈ જાય અને કિરણ સંપૂર્ણપણે પાણીમાં પાછું પરાવર્તિત થાય. આ ઘટનાને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન કહેવાય છે.
$5$. આ પાણીને લાંબી ટેસ્ટ ટ્યુબમાં રેડો અને આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ ઉપરથી લેસર પ્રકાશ આપાત કરો. લેસર કિરણની દિશા એવી રીતે ગોઠવો કે તે જ્યારે પણ ટ્યુબની દીવાલ સાથે અથડાય ત્યારે તેનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય. આ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરમાં વપરાતા સિદ્ધાંતને દર્શાવે છે.
નોંધ: લેસર કિરણમાં સીધું જોશો નહીં અને તેને કોઈના ચહેરા પર નિર્દેશિત કરવાનું ટાળો.

(D) કુલ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે અને આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય છે.
$1$. મૃગજળ: આ વિવિધ તાપમાન ધરાવતા હવાના સ્તરોમાં પ્રકાશના વક્રીભવનને કારણે થતી દ્રષ્ટિભ્રમણા છે,જે $TIR$ તરફ દોરી જાય છે.
$2$. પ્રિઝમ: પ્રિઝમને $TIR$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રકાશને $90^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ થી વિચલિત કરવા માટે કુલ પરાવર્તક પ્રિઝમ તરીકે ડિઝાઇન કરી શકાય છે.
$3$. હીરો: હીરાની ચમક તેની અંદર થતા પ્રકાશના બહુવિધ $TIR$ ને કારણે છે,કારણ કે તેનો ક્રાંતિકોણ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
$4$. ઓપ્ટિકલ ફાઇબર: આ તીવ્રતાના નોંધપાત્ર નુકસાન વિના લાંબા અંતર સુધી પ્રકાશના સંકેતોને પ્રસારિત કરવા માટે $TIR$ નો ઉપયોગ કરે છે.
તેથી,આપેલી તમામ ઘટનાઓ $TIR$ પર આધારિત છે.

ગરમ ઉનાળાના દિવસોમાં,જમીનની નજીકની હવા ઉપરના સ્તરોની હવા કરતા વધુ ગરમ થઈ જાય છે.
હવાનો વક્રીભવનાંક તેની ઘનતા સાથે વધે છે.
ગરમ હવા ઓછી ઘનતા ધરાવે છે અને ઠંડી હવા કરતા ઓછો વક્રીભવનાંક ધરાવે છે.
જો હવાના પ્રવાહો ઓછા હોય,એટલે કે હવા સ્થિર હોય,તો હવાના વિવિધ સ્તરોની પ્રકાશીય ઘનતા ઊંચાઈ સાથે વધે છે.
પરિણામે,ઝાડ જેવી ઊંચી વસ્તુમાંથી આવતો પ્રકાશ એવા માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે જેનો વક્રીભવનાંક જમીન તરફ ઘટતો જાય છે. આમ,આવી વસ્તુમાંથી આવતું પ્રકાશનું કિરણ ક્રમશઃ લંબથી દૂર જાય છે અને જો જમીન નજીકની હવા માટે આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધી જાય,તો તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
દૂરના અવલોકનકારને,પ્રકાશ જમીનની નીચે ક્યાંકથી આવતો હોય તેવું લાગે છે. અવલોકનકાર સ્વાભાવિક રીતે માની લે છે કે પ્રકાશ જમીન પરથી પરાવર્તિત થઈ રહ્યો છે,કદાચ ઊંચી વસ્તુની નજીક પાણીના ખાબોચિયા દ્વારા. દૂરની ઊંચી વસ્તુઓના આવા ઉલટા પ્રતિબિંબ અવલોકનકાર માટે દ્રષ્ટિભ્રમ પેદા કરે છે. આ ઘટનાને મૃગજળ કહેવામાં આવે છે.
આ પ્રકારનું મૃગજળ ખાસ કરીને ગરમ રણમાં સામાન્ય છે.
ગરમ ઉનાળાના દિવસે બસ કે કારમાં મુસાફરી કરતી વખતે,રસ્તાનો દૂરનો ભાગ,ખાસ કરીને હાઈવે પર,ભીનો દેખાય છે. પરંતુ,જ્યારે તમે તે જગ્યાએ પહોંચો છો ત્યારે તમને ભીનાશના કોઈ પુરાવા મળતા નથી. આ પણ મૃગજળને કારણે જ થાય છે.

(B) હીરા તેની અદભૂત ચમક માટે જાણીતા છે. તેમની ચમક મુખ્યત્વે તેમની અંદર થતા પ્રકાશના પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે હોય છે.
હીરા-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ $\left(\cong 24.4^{\circ}\right)$ ખૂબ જ નાનો છે. તેથી,એકવાર પ્રકાશ હીરામાં પ્રવેશ કરે,ત્યારે તેની અંદર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવાની સંભાવના ખૂબ વધારે હોય છે.
$\therefore$ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,
$\sin i_{c} = \frac{1}{n}$
$\therefore n = \frac{1}{\sin 24.4^{\circ}}$
$\therefore n = \frac{1}{0.4131}$
$\therefore n \approx 2.42$
હીરાનો વક્રીભવનાંક ખૂબ ઊંચો હોવાથી,ક્રાંતિકોણ ખૂબ નાનો હોય છે,જે પ્રકાશને અંદર ફસાઈને વારંવાર પરાવર્તિત થવા દે છે,જેના પરિણામે તેની લાક્ષણિક ચમક જોવા મળે છે.

(N/A) પ્રકાશને $90^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ ના ખૂણે વાળવા માટે રચાયેલ પ્રિઝમ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટનાનો ઉપયોગ કરે છે,જે આકૃતિ $(a)$ અને $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
આ કિસ્સાઓમાં,પ્રિઝમની સપાટી પર આપાતકોણ $45^{\circ}$ હોય છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,પ્રિઝમના દ્રવ્ય માટે ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ એ $45^{\circ}$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
આવા પ્રિઝમનો ઉપયોગ આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ,પ્રતિબિંબનું કદ બદલ્યા વિના તેને ઉલટાવવા માટે પણ થાય છે.

(N/A) સિદ્ધાંત: ઓપ્ટિકલ ફાઈબર સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટના પર આધારિત છે.
રચના: ઓપ્ટિકલ ફાઈબર ઉચ્ચ ગુણવત્તાવાળા સંયુક્ત કાચ અથવા ક્વાર્ટઝ ફાઈબરથી બનાવવામાં આવે છે. દરેક ફાઈબર એક કેન્દ્રિય કોર (core) અને તેની આસપાસના ક્લેડિંગ (cladding) થી બનેલું હોય છે. કોરના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક ક્લેડિંગ કરતા વધારે હોય છે.
કાર્ય: જ્યારે પ્રકાશના સ્વરૂપમાં સિગ્નલને ફાઈબરના એક છેડે યોગ્ય ખૂણે દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ફાઈબરની લંબાઈ દરમિયાન વારંવાર સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે અને અંતે બીજા છેડેથી બહાર આવે છે.
દરેક તબક્કે પ્રકાશ સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવતું હોવાથી,પ્રકાશ સિગ્નલની તીવ્રતામાં કોઈ નોંધપાત્ર ઘટાડો થતો નથી. ઓપ્ટિકલ ફાઈબર એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે આંતરિક સપાટીની એક બાજુએ પરાવર્તિત થયેલો પ્રકાશ બીજી બાજુએ ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે અથડાય. જો ફાઈબર વળેલું હોય તો પણ,પ્રકાશ તેની લંબાઈ સાથે સરળતાથી મુસાફરી કરી શકે છે. આમ,ઓપ્ટિકલ ફાઈબર એક ઓપ્ટિકલ પાઈપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ઉપયોગો: ઓપ્ટિકલ ફાઈબરના સમૂહનો અનેક હેતુઓ માટે ઉપયોગ કરી શકાય છે. જે ઉપકરણ એક પ્રકારની ઉર્જાનું બીજા પ્રકારમાં રૂપાંતર કરે છે તેને ટ્રાન્સડ્યુસર કહેવાય છે. ઓપ્ટિકલ ફાઈબરનો ઉપયોગ વિદ્યુત સિગ્નલોના પ્રસારણ અને ગ્રહણ માટે વ્યાપકપણે થાય છે,જેને યોગ્ય ટ્રાન્સડ્યુસર દ્વારા પ્રકાશમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ અન્નનળી,જઠર અને આંતરડા જેવા આંતરિક અંગોની તપાસ માટે 'લાઈટ પાઈપ' તરીકે પણ થાય છે. આ ઉપરાંત,તેનો ઉપયોગ સુશોભન લેમ્પમાં પણ થાય છે જ્યાં પ્રકાશ દરેક ફાઈબરના તળિયેથી મુસાફરી કરીને તેના છેડે પ્રકાશના ટપકા તરીકે દેખાય છે.

(N/A) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે નીચેની બે શરતો પૂરી થાય:
$1$. પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરતો હોવો જોઈએ.
$2$. ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણ $(i)$ એ આપેલ માધ્યમોની જોડ માટેના ક્રાંતિકોણ $(c)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(i > c)$.

(N/A) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન એ એવી ઘટના છે જેમાં ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જતું પ્રકાશનું કિરણ,જ્યારે આપાતકોણનું મૂલ્ય તે બે માધ્યમોની જોડ માટેના ક્રાંતિકોણ કરતા વધી જાય,ત્યારે તે જ ઘટ્ટ માધ્યમમાં પાછું પરાવર્તિત થાય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરતો:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પ્રકાશીય પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ નું મૂલ્ય આપેલ માધ્યમોની જોડ માટેના ક્રાંતિકોણ $(C)$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.

(N/A) ક્રાંતિકોણ એટલે ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણનું તેવું મૂલ્ય કે જેના માટે પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણનું મૂલ્ય $90^{\circ}$ થાય.
જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે જેમ જેમ આપાતકોણ વધે છે,તેમ તેમ વક્રીભૂતકોણ પણ વધે છે.
આપાતકોણના એક ચોક્કસ મૂલ્ય માટે,વક્રીભૂત કિરણ બંને માધ્યમોની આંતર સપાટી પરથી પસાર થાય છે,જેનાથી વક્રીભૂતકોણ $90^{\circ}$ બને છે. આપાતકોણના આ ચોક્કસ મૂલ્યને ક્રાંતિકોણ ($C$ અથવા $i_c$) કહેવામાં આવે છે.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
$TIR$ થવા માટે, પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવું જરૂરી છે.
તેથી, કોરનો વક્રીભવનાંક $(\mu_1)$ એ ક્લેડિંગના વક્રીભવનાંક $(\mu_2)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ, એટલે કે $\mu_1 > \mu_2$.

(N/A) ઓપ્ટિકલ ફાઈબરનો તબીબી ક્ષેત્રમાં એન્ડોસ્કોપી તરીકે ઓળખાતી તકનીક માટે વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.
$1$. એન્ડોસ્કોપ એ એક તબીબી સાધન છે જે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરના બંડલનું બનેલું હોય છે,જેને આંતરિક અવયવો જોવા માટે શરીરમાં દાખલ કરી શકાય છે.
$2$. આની પાછળનો સિદ્ધાંત $Total Internal Reflection$ $(TIR)$ એટલે કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન છે.
$3$. ફાઈબરનું એક બંડલ આંતરિક વિસ્તારને પ્રકાશિત કરવા માટે શરીરમાં પ્રકાશ લઈ જાય છે,જ્યારે બીજું બંડલ પરાવર્તિત પ્રકાશને ડૉક્ટરના આઈપીસ અથવા કેમેરા સુધી પાછું મોકલે છે.
$4$. આનાથી ડૉક્ટરો મોટા ચીરા પાડ્યા વગર જઠર,આંતરડા અથવા ફેફસાં જેવા આંતરિક ભાગોની તપાસ કરી શકે છે અને લઘુત્તમ આક્રમક સર્જરી કરી શકે છે.

(D) ધારો કે આપેલી તકતીનો જરૂરી લઘુત્તમ વ્યાસ $d$ છે. બિંદુવત પદાર્થ $O$ માંથી નીકળતા અને અંદરથી પાણીની સપાટી પર આપાત થતા પ્રકાશના કિરણો માટે,જો આપાતકોણ $i \geq C$ હોય,તો પાણીની બહારથી અવલોકન કરતા અવલોકનકારને પદાર્થ $O$ દેખાશે નહીં (જ્યાં $C$ એ પાણીથી હવા માટેનો ક્રાંતિકોણ છે).
ધારો કે આકૃતિમાં ખૂણો $i$ એ $C$ જેટલો છે.
ક્રાંતિકોણના સૂત્ર મુજબ:
$\sin C = \frac{1}{\mu}$
$i = C$ હોવાથી,$\sin i = \frac{1}{\mu}$ મળે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
$\tan i = \frac{d/2}{h}$
$\therefore \frac{d}{2} = h \tan i$
$\therefore d = 2h \tan i$ ... $(1)$
હવે,$\sin i = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,$\cos i$ શોધીએ:
$\cos i = \sqrt{1 - \sin^2 i} = \sqrt{1 - \frac{1}{\mu^2}} = \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$
તેથી,$\tan i = \frac{\sin i}{\cos i} = \frac{1/\mu}{\sqrt{\mu^2 - 1}/\mu} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$d = \frac{2h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક પ્રકાશનું કિરણ $\overrightarrow{PQ}$ જે ઘટ્ટ પારદર્શક માધ્યમની સપાટી $AB$ પર $i$ આપાતકોણે આપાત થાય છે તેમ ધારો. વક્રીભવન પછી,કિરણ $\overrightarrow{QR}$ પાતળા માધ્યમની સપાટી $AC$ પર $R$ બિંદુએ $\phi$ આપાતકોણે આપાત થાય છે. પ્રકાશ બહાર નીકળ્યા વગર માર્ગદર્શન પામે તે માટે,દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવું જોઈએ. આમ,આપણી શરત $\phi \geq C$ છે,જ્યાં $C$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\phi + r = 90^{\circ}$,તેથી $\phi = 90^{\circ} - r$.
$TIR$ માટેની શરત $\phi \geq C$ છે,જેનો અર્થ છે $\sin \phi \geq \sin C$.
$\phi = 90^{\circ} - r$ મૂકતા,આપણને $\sin(90^{\circ} - r) \geq \sin C$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\cos r \geq \frac{1}{\mu}$ થાય છે (કારણ કે $\sin C = \frac{1}{\mu}$).
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2 r \geq \frac{1}{\mu^2}$,અથવા $1 - \sin^2 r \geq \frac{1}{\mu^2}$.
$Q$ બિંદુએ સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\sin i = \mu \sin r$,તેથી $\sin r = \frac{\sin i}{\mu}$.
આ કિંમત મૂકતા,$1 - \frac{\sin^2 i}{\mu^2} \geq \frac{1}{\mu^2}$.
$\mu^2$ વડે ગુણતા,આપણને $\mu^2 - \sin^2 i \geq 1$,અથવા $\mu^2 \geq 1 + \sin^2 i$ મળે છે.
$\sin^2 i$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી ($i = 90^{\circ}$ પર),આ શરત તમામ $i$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી $\mu^2 \geq 1 + 1 = 2$,જેનો અર્થ છે $\mu \geq \sqrt{2}$.
આમ,$\mu \geq \sqrt{2}$ માટે,પ્રકાશ હંમેશા $TIR$ અનુભવશે અને માધ્યમની અંદર માર્ગદર્શન પામશે.

(C) ક્રાંતિકોણ $C$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\mu}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \sqrt{2}$.
માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v$ અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{c}{\mu}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{2}} \; m/s$ મળે છે.

(B) ધારો કે કાટકોણ પ્રિઝમ એ સમદ્વિબાજુ પ્રિઝમ છે,તેથી અન્ય બે ખૂણાઓ દરેક $45^{\circ}$ ના છે.
$\Rightarrow$ દરેક આપાત કિરણ સપાટી $PR$ પર $45^{\circ}$ ના આપાતકોણે આપાત થાય છે.
$\Rightarrow$ જો આપાતકોણ $i$ એ તે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ માટેના ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ કરતા ઓછો હોય,તો જ કિરણ સપાટી $PR$ માંથી બહાર આવશે.
$\Rightarrow$ ક્રાંતિકોણનું સૂત્ર $\theta_{C} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ છે.
$\Rightarrow$ લાલ કિરણ માટે: $\mu_{R} = 1.27$. $\theta_{C,R} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.27}\right) \approx 51.94^{\circ}$. $45^{\circ} < 51.94^{\circ}$ હોવાથી,લાલ કિરણ બહાર આવશે.
$\Rightarrow$ લીલા કિરણ માટે: $\mu_{G} = 1.42$. $\theta_{C,G} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.42}\right) \approx 44.76^{\circ}$. $45^{\circ} > 44.76^{\circ}$ હોવાથી,લીલું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે અને બહાર આવશે નહીં.
$\Rightarrow$ વાદળી કિરણ માટે: $\mu_{B} = 1.49$. $\theta_{C,B} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.49}\right) \approx 42.15^{\circ}$. $45^{\circ} > 42.15^{\circ}$ હોવાથી,વાદળી કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે અને બહાર આવશે નહીં.
$\Rightarrow$ તેથી,માત્ર લાલ કિરણ જ સપાટી $PR$ માંથી બહાર આવશે.

(A) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તનકોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $r = i$.
પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. એક સીધી રેખા પરના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$r + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ થાય.
$r = i$ મૂકતા,આપણને $i + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^{\prime} = 90^{\circ} - i$.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_1 \sin i = n_2 \sin r^{\prime}$,જ્યાં $n_1$ એ ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે અને $n_2$ એ પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
$r^{\prime} = 90^{\circ} - i$ મૂકતા,આપણને $n_1 \sin i = n_2 \sin(90^{\circ} - i) = n_2 \cos i$ મળે છે.
તેથી,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
ક્રાંતિકોણ $C$ એ $\sin C = \frac{n_2}{n_1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જેમ કે $\frac{n_2}{n_1} = \tan i$ અને $i = r$,તેથી $\sin C = \tan r$ થાય.
આમ,$C = \sin^{-1}(\tan r)$.

(C) હીરા-હવાના આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ નું સૂત્ર $\sin \theta_{C} = \frac{n_{air}}{n_{diamond}} = \frac{1}{2.42} \approx 0.4132$ છે.
ક્રાંતિકોણની ગણતરી કરતા: $\theta_{C} = \arcsin(0.4132) \approx 24.41^{\circ}$.
અહીં આપાતકોણ $\theta_{i} = 30^{\circ}$ છે.
જેથી $\theta_{i} > \theta_{C}$ $(30^{\circ} > 24.41^{\circ})$ હોવાથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,પ્રકાશનું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે અને હવામાં વક્રીભવન પામશે નહીં.

(B) બિંદુ $B$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $\theta^{\prime \prime}$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ. બિંદુ $B$ પર ગ્રેઝિંગ ઇમર્જન્સ (સપાટીને સમાંતર નિર્ગમન) માટેની શરત $\sin \theta^{\prime \prime} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$ છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\theta^{\prime} = 90^{\circ} - \theta^{\prime \prime}$ છે.
ઉપરની સપાટી પર બિંદુ $A$ પાસે સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \times \sin \theta = \mu \times \sin \theta^{\prime}$
$\sin \theta = \frac{4}{3} \times \sin(90^{\circ} - \theta^{\prime \prime})$
$\sin \theta = \frac{4}{3} \times \cos \theta^{\prime \prime}$
કારણ કે $\sin \theta^{\prime \prime} = \frac{3}{4}$,તેથી $\cos \theta^{\prime \prime} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta^{\prime \prime}} = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ મળે.
આ કિંમતને $\sin \theta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{4}{3} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{3}$
$\theta = \sin ^{-1} \left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)$.

(B) રીત $(i)$:
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં $n_1 = 1$ (હવા),$n_2 = \sqrt{3}$ (કાચ),અને $i = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$
$\sin r = \frac{1}{2} \implies r = 30^{\circ}$.
પરાવર્તિત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $i = 60^{\circ}$ છે.
વક્રીભૂત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $r = 30^{\circ}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - (i + r) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
રીત $(ii)$:
આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ એ બ્રુસ્ટરના ખૂણાની શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $\tan i_p = \mu = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $i_p = 60^{\circ}$.
બ્રુસ્ટરના ખૂણે,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોય છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જતા પ્રકાશ માટે ક્રાંતિકોણ $i_c$ નું સૂત્ર $\sin i_c = \frac{\mu_R}{\mu_D}$ છે,જ્યાં $\mu_R$ એ પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_D$ એ ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
$\mu \propto \frac{1}{v}$ હોવાથી,આપણને $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{v_D}{v_R}$ મળે છે.
અહીં $v_A = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $v_B = 2.0 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી માધ્યમ $A$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ $(D)$ છે અને માધ્યમ $B$ એ પાતળું માધ્યમ $(R)$ છે.
તેથી,$\sin i_c = \frac{v_A}{v_B} = \frac{1.5 \times 10^8}{2.0 \times 10^8} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4} = 0.750$.
આમ,$i_c = \sin^{-1}(0.750)$.

(D) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ માધ્યમ માટે: $\mu_{D} = \sqrt{1 \times 4} = 2$.
હવા માટે: $\mu_{R} = 1$.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ ની વ્યાખ્યા $\sin \theta_{C} = \frac{\mu_{R}}{\mu_{D}} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$\theta_{C} = 30^{\circ}$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i > \theta_{C}$,જેનો અર્થ છે કે $i > 30^{\circ}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$60^{\circ}$ એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે $30^{\circ}$ કરતા વધારે છે અને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરતનું પાલન કરે છે.

(C) ધારો કે $C$ એ ક્રાંતિકોણ (critical angle) છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,પાણીની સપાટી પરના વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળની ત્રિજ્યા $r$ એ $\tan C = \frac{r}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = \sqrt{7} \; m$ છે.
તેથી,$r = h \tan C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan C = \frac{\sin C}{\sqrt{1 - \sin^2 C}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan C = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{1 - 9/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{7} \times \frac{3}{\sqrt{7}} = 3 \; m$.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (3)^2 = 9 \pi \; m^2$ છે.
આને $x \pi \; m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(D) માધ્યમ $B$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_B)$ $1.5 \times 10^{10} \, cm/s$ છે અને માધ્યમ $A$ માં $(v_A)$ $2.0 \times 10^{10} \, cm/s$ છે.
અહીં $v_B < v_A$ હોવાથી,માધ્યમ $B$ એ માધ્યમ $A$ કરતા ઘટ્ટ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જતા પ્રકાશ માટે ક્રાંતિકોણ $i_c$ નું સૂત્ર $\sin i_c = \frac{n_r}{n_d} = \frac{v_d}{v_r}$ છે.
અહીં,$v_d = v_B = 1.5 \times 10^{10} \, cm/s$ અને $v_r = v_A = 2.0 \times 10^{10} \, cm/s$ છે.
$\sin i_c = \frac{1.5 \times 10^{10}}{2.0 \times 10^{10}} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
આમ,$\theta > \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V = \frac{c}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $n$ એ વક્રીભવનાંક છે.
$n = \frac{c}{V}$ હોવાથી,વક્રીભવનાંક એ પ્રકાશની ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ $(M_{1})$ માંથી પાતળા માધ્યમ $(M_{2})$ માં જવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ માટેની શરત $n_{1} \sin i_{c} = n_{2} \sin 90^{\circ}$ છે.
આમ,$\sin i_{c} = \frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$.
અહીં $V_{1} = 1.5 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $V_{2} = 2.0 \times 10^{8} \text{ m/s}$ આપેલ છે.
$\sin i_{c} = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2.0 \times 10^{8}} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4}$.
જો $\sin i_{c} = \frac{3}{4}$ હોય,તો સામેની બાજુ $3$ અને કર્ણ $4$ થાય.
પાસેની બાજુ $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ થાય.
તેથી,$\tan i_{c} = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
આમ,$i_{c} = \tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)$.

(A) આપેલ છે,$n_{L}=C_{A} n_{A}+(1-C_{A}) n_{B}$.
અહીં,$n_{A}=1.5$ અને $n_{B}=1.3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$n_{L} = C_{A}(1.5) + (1-C_{A})(1.3) = 1.3 + 0.2 C_{A}$.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ માટે પ્રિઝમ-પ્રવાહી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$n_{p} \sin \theta_{C} = n_{L} \sin 90^{\circ}$.
કારણ કે $n_{p} = 1.5$,તેથી:
$\sin \theta_{C} = \frac{n_{L}}{1.5} = \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5}$.
$\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5} \right)$.
જ્યારે $C_{A} = 0$ હોય,ત્યારે $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3}{1.5} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{13}{15} \right) \approx 60^{\circ}$.
જ્યારે $C_{A} = 1$ હોય,ત્યારે $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.5}{1.5} \right) = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.
જેમ $C_{A}$ એ $0$ થી $1$ સુધી વધે છે,તેમ $\theta_{C}$ એ $60^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે. વિધેય $\theta_{C} = \sin^{-1}(f(C_{A}))$ એ અરેખીય વધતું વિધેય છે. આલેખ $(A)$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2}$.
જ્યારે $\theta_{1} = \theta_{C}$ હોય,ત્યારે વક્રીભૂતકોણ $\theta_{2} = 90^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\sin \theta_{2} = 1$ અને $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}} = 0$. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચું છે.
જ્યારે $\theta_{1} > \theta_{C}$ હોય,ત્યારે $\sin \theta_{2} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin \theta_{1} > 1$ થાય છે. કારણ કે $\sin \theta_{2} > 1$ છે,તેથી $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}}$ કાલ્પનિક બને છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચું છે.
આપાતકોણ $\theta_{1}$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે,પરાવર્તિત કિરણ પરાવર્તનના નિયમનું પાલન કરે છે,તેથી $\theta_{1} = \theta_{3}$. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(d)$ ના સંદર્ભમાં,$\theta_{3}$ એ પરાવર્તનકોણ છે,જે હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે અને $\theta_{1}$ જેટલો જ હોય છે. તેથી,$\cos \theta_{3}$ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે,જે દર્શાવે છે કે વિકલ્પ $(d)$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ $x=0, x=a$ અને $y=0, y=b$ સમતલો દ્વારા બંધાયેલ છે. $y=0$ આગળ $\theta$ ખૂણે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં લંબ સાથે $r$ ખૂણે વક્રીભવન પામે છે.
કિરણ $y=b$ સુધી પહોંચે તે માટે,તેણે $x=a$ સીમા પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ અનુભવવું આવશ્યક છે. $x=a$ સીમા પર આપાતકોણ $(90^{\circ}-r)$ છે.
$x=a$ પર $TIR$ થવા માટે,આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = 1/n$ છે. તેથી,$\sin(90^{\circ}-r) \geq 1/n$,જેનું સાદું રૂપ $\cos r \geq 1/n$ અથવા $n \geq 1/\cos r$ થાય છે.
$y=0$ સીમા પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n = \sin \theta / \sin r$. કારણ કે $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી હોઈ શકે છે,તેથી સીમાંત કિસ્સો $\theta = 90^{\circ}$ પર મળે છે,જે $n = 1/\sin r$ અથવા $\sin r = 1/n$ આપે છે.
નિત્યસમ $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(1/n)^2 + (1/n)^2 = 1$ મળે છે,જે $2/n^2 = 1$ અથવા $n^2 = 2$ તરફ દોરી જાય છે. તેથી,ન્યૂનતમ વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{2}$ છે.

(D) ધારો કે આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r$ છે. પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\frac{\sin i}{\sin r} = \mu = \sqrt{3} \implies \sin i = \sqrt{3} \sin r \quad \dots(1)$
ગોળાના કેન્દ્ર અને વક્રીભવન/પરાવર્તનના બે બિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે કારણ કે બે બાજુઓ ગોળાની ત્રિજ્યા છે. પ્રથમ સપાટી પર વિચલનકોણ $(i - r)$ છે. બીજી સપાટી પર પરાવર્તનકોણ પણ $r$ છે.
આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ સમાંતર હોવાથી,કુલ વિચલન $\delta = 180^{\circ}$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ વક્રીભવન પર વિચલન $(i - r)$ છે.
આંતરિક પરાવર્તન પર વિચલન $(180^{\circ} - 2r)$ છે.
બીજા વક્રીભવન પર વિચલન $(i - r)$ છે.
કુલ વિચલન $\delta = (i - r) + (180^{\circ} - 2r) + (i - r) = 180^{\circ}$.
$2i - 4r + 180^{\circ} = 180^{\circ} \implies 2i = 4r \implies i = 2r$.
સમીકરણ $(1)$ માં $i = 2r$ મુકતા:
$\sin(2r) = \sqrt{3} \sin r$
$2 \sin r \cos r = \sqrt{3} \sin r$
$\sin r \neq 0$ હોવાથી,$\cos r = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$r = 30^{\circ}$.
$i = 2r$ હોવાથી,$i = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,આપાતકોણ $60^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે $R$ એ વર્તુળાકાર વિસ્તારની ત્રિજ્યા છે જેના દ્વારા બહારની વસ્તુઓ જોઈ શકાય છે.
ધારો કે $\theta$ એ પાણી-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$.
$\sin \theta$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{1 - 9/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
પ્રશ્નની ભૂમિતિ મુજબ,ડાઇવરની આંખો તળિયેથી $h$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી પાણીની સપાટીથી અંતર $(H-h)$ છે.
આમ,$\tan \theta = \frac{R}{H-h}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{R}{H-h} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
તેથી,$R = \frac{3(H-h)}{\sqrt{7}}$.

(B) પ્રકાશનું કિરણ દ્રવ્યમાંથી પસાર થાય તે માટે,આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવું જોઈએ નહીં. આ માટે ક્રાંતિકોણની શરતનું પાલન થવું જરૂરી છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની સીમાંત સ્થિતિ માટે,વક્રીભૂતકોણ $r = 90^{\circ}$ લેવામાં આવે છે.
અહીં,કાચનો વક્રીભવનાંક $n_1 = 1.5$ છે અને દ્રવ્યનો ન્યૂનતમ વક્રીભવનાંક $n_2 = 1.2$ છે.
તેથી,$\sin i_{\max} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.2}{1.5} = 0.8$.
આમ,$i_{\max} = \sin^{-1}(0.8) = 53.1^{\circ}$.

(B) પ્રકાશના ઉદગમને ઉપરથી અદ્રશ્ય રાખવા માટે,ઉદગમમાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણોએ પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવવું જોઈએ.
ધારો કે $r$ એ અપારદર્શક તકતીની ત્રિજ્યા છે. તકતીની ધાર સુધી પહોંચતા પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર ક્રાંતિકોણ $i_c$ જેટલા ખૂણે આપાત થવા જોઈએ.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,$\tan i_c = \frac{r}{h}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$\sin i_c = \frac{1}{\mu}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan i_c = \frac{\sin i_c}{\sqrt{1-\sin^2 i_c}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan i_c = \frac{1/\mu}{\sqrt{1-(1/\mu)^2}} = \frac{1/\mu}{\sqrt{(\mu^2-1)/\mu^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2-1}}$.
$\tan i_c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2-1}}$
તેથી,$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2-1}}$.

(D) સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$1$. પ્રથમ આંતરપૃષ્ઠ પર (માધ્યમ $1$ અને માધ્યમ $2$ ની વચ્ચે),પ્રકાશનું કિરણ લંબ તરફ વળે છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યારે કિરણ લંબ તરફ વળે છે,ત્યારે તે પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જાય છે. તેથી,$\mu_2 > \mu_1$.
$2$. બીજા આંતરપૃષ્ઠ પર (માધ્યમ $2$ અને માધ્યમ $3$ ની વચ્ચે),પ્રકાશનું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે,કારણ કે ત્રીજા માધ્યમમાં કોઈ પ્રકાશ પ્રવેશતો નથી. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે. તેથી,$\mu_2 > \mu_3$.
$3$. બીજા આંતરપૃષ્ઠ પર પ્રકાશનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થતું હોવાથી,આપાતકોણ એ માધ્યમોની જોડી $(2, 3)$ માટેના ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. આ સૂચવે છે કે માધ્યમ $2$ એ માધ્યમ $3$ કરતા પ્રકાશીય રીતે ઘટ્ટ છે. આ અવલોકનોને જોડતા,આપણને $\mu_2 > \mu_1$ અને $\mu_2 > \mu_3$ મળે છે. વધુમાં,પ્રથમ આંતરપૃષ્ઠ પર કિરણ લંબ તરફ વળતું હોવાથી અને બીજા આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થતું હોવાથી,માર્ગની ભૂમિતિને સંતોષવા માટે વક્રીભવનાંક $\mu_1$ એ $\mu_3$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. આમ,સાચો ક્રમ $\mu_3 < \mu_1 < \mu_2$ છે.

(A) પ્રાથમિક મેઘધનુષ્યના નિર્માણમાં નીચેના પગલાંઓ સામેલ છે:
$1$. જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ ગોળાકાર પાણીના ટીપામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન અને વિભાજન થાય છે.
$2$. ત્યારબાદ પ્રકાશ ટીપાની આંતરિક સપાટી સાથે અથડાય છે અને તેનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
$3$. અંતે,પ્રકાશ ટીપામાંથી બહાર નીકળે છે,જ્યાં તે પાણીમાંથી હવામાં પ્રવેશતી વખતે ફરીથી વક્રીભવન અનુભવે છે.
તેથી,પ્રક્રિયાઓનો સાચો ક્રમ છે: વક્રીભવન,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અને વક્રીભવન.
આ વિકલ્પ $(A)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) પ્રિઝમ સમદ્વિબાજુ છે અને $\angle Q = 120^{\circ}$ છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle P = \angle R = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$ થાય.
કિરણો સપાટી $PQ$ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તેઓ વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને સપાટી $PR$ પર $i = 30^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
કોઈ કિરણ સપાટી $PR$ માંથી બહાર નીકળે તે માટે,તેણે વક્રીભવનની શરત $n \sin i < 1$ (જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે) સંતોષવી પડે.
જો $n \sin i \geq 1$ હોય,તો સપાટી $PR$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
અહીં,$i = 30^{\circ}$ છે,તેથી $\sin i = 0.5$ થાય.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $n \times 0.5 \geq 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $n \geq 2$ હોવું જોઈએ.
કિરણ $1$ $(n=1.85)$ અને $2$ $(n=1.95)$ માટે,$n < 2$ હોવાથી,તેઓ સપાટી $PR$ માંથી વક્રીભવન પામીને બહાર નીકળે છે.
કિરણ $3$ $(n=2.05)$ અને $4$ $(n=2.15)$ માટે,$n > 2$ હોવાથી,તેઓ સપાટી $PR$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે અને સપાટી $QR$ તરફ જાય છે.
આ પરાવર્તિત કિરણો માટે સપાટી $QR$ પરનો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હોવાથી,કિરણ $3$ અને $4$ સપાટી $QR$ માંથી બહાર નીકળે છે.

(C) પ્રકાશનું કિરણ પાણીની સપાટીમાંથી ત્યારે જ બહાર નીકળશે જ્યારે આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
પાણી-હવા માટે ક્રાંતિકોણ $i_c$ નીચે મુજબ છે:
$\sin i_c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.33} \approx 0.7519$
$i_c = \sin^{-1}(0.7519) \approx 48.75^{\circ}$
લેસર ઊભી સમતલમાં ફરે છે. જ્યારે તેનો શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $-i_c$ અને $+i_c$ ની વચ્ચે હોય ત્યારે તે પાણીની સપાટીની બહાર પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરશે. આમ, પ્રકાશ બહાર નીકળે તે માટેનો કુલ કોણીય વિસ્તાર $2i_c$ છે.
લેસરની કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} \, \text{rad/s}$ છે.
પ્રકાશ બહાર નીકળે તે માટેનો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{\text{કોણીય વિસ્તાર}}{\omega} = \frac{2i_c}{\omega}$
$i_c$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા:
$i_c = 48.75^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \approx 0.8508 \, \text{rad}$
$t = \frac{2 \times 0.8508}{\frac{2\pi}{60}} = \frac{0.8508 \times 60}{\pi} \approx 16.25 \, s$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ $i_c \approx 50^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{2 \times 50}{360} \times 60 = \frac{100}{6} = 16.67 \, s$.

(A) જેમ $\theta$ વધે છે,તેમ આપાતકોણ $i = 90^\circ - \theta$ ઘટે છે.
શરૂઆતમાં,નાની $\theta$ કિંમતો માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે હોય છે,તેથી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થાય છે. પરાવર્તિત કિરણ સ્ક્રીન પર ધન ઊંચાઈ $x = h \tan \theta$ પર અથડાય છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી સ્ત્રોતનું અંતર છે. જેમ $\theta$ વધે છે,તેમ $x$ વધે છે.
જ્યારે $\theta$ એવી કિંમતે પહોંચે છે કે જેથી $i = i_c$ થાય,ત્યારે કિરણ સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે.
આ ક્રાંતિક કિંમત કરતા વધારે $\theta$ માટે,$i < i_c$ થાય છે,અને કિરણ કાચના સ્લેબમાંથી વક્રીભવન પામીને બહાર નીકળે છે. વક્રીભૂત કિરણ આડા અક્ષની નીચે સ્ક્રીન પર અથડાય છે,જેથી $x$ ઋણ બને છે. જેમ $\theta$ વધુ વધે છે,તેમ વક્રીભવનકોણ વધે છે,જેના કારણે ટપકું વધુ નીચે જાય છે અને $x$ વધુ ઋણ બને છે. આમ,સાચો આલેખ $A$ છે.