Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Gujarati

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં તરંગલંબાઈ $\lambda_a$ અને માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\lambda_a}{\lambda_m} = \frac{6000 \ Å}{4000 \ Å} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
ક્રાંતિકોણ $C$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\sin C = \frac{1}{\mu}$.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin C = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ:
$C = \sin ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ થાય.

(A) કિરણો પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તેઓ વિચલિત થયા વિના આગળ વધે છે અને કર્ણ પર $i = 45^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
બીજી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(i > C)$.
આપેલ ક્રાંતિકોણ $C_{red} = 46^{\circ}$,$C_{green} = 44^{\circ}$ અને $C_{blue} = 43^{\circ}$ છે.
લાલ પ્રકાશ માટે: $i = 45^{\circ} < C_{red} = 46^{\circ}$. તેથી,લાલ પ્રકાશ પ્રિઝમમાંથી બહાર આવશે.
લીલા પ્રકાશ માટે: $i = 45^{\circ} > C_{green} = 44^{\circ}$. તેથી,લીલો પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
વાદળી પ્રકાશ માટે: $i = 45^{\circ} > C_{blue} = 43^{\circ}$. તેથી,વાદળી પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
જેથી લીલો અને વાદળી પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે જ્યારે લાલ પ્રકાશ બહાર આવે છે,આ ગોઠવણી લાલ રંગને વાદળી અને લીલા રંગથી અલગ કરે છે.

(B) કાટકોણ સમદ્વિબાજુ પ્રિઝમની એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ વિચલન પામ્યા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
જ્યારે તે કર્ણ (hypotenuse) પાસે પહોંચે છે,ત્યારે આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ થાય છે.
કિરણ કર્ણને સ્પર્શીને જતું હોવાથી,વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ છે.
આમ,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો છે,તેથી $C = 45^{\circ}$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{1}{\sin C}$ છે.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$\mu = \frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$\mu \approx 1.414$.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તનકોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ છે,તેથી પરાવર્તનકોણ $r$,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$ અને વક્રીભવનકોણ $r'$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આમ,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$.
કારણ કે $r = i$,તેથી $i + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r' = 90^{\circ} - i$.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_r \sin i = \mu_d \sin r'$.
$r' = 90^{\circ} - i$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu_r \sin i = \mu_d \sin(90^{\circ} - i) = \mu_d \cos i$.
તેથી,$\frac{\mu_d}{\mu_r} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{\mu_r}{\mu_d}$.
આમ,$\sin C = \frac{1}{\tan i} = \cot i$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(\cot i)$ છે.

(B) હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$ છે.
$C = \sin^{-1}(0.667) \approx 41.8^{\circ} \approx 42^{\circ}$.
અહીં આપાતકોણ $i = 50^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ $C = 42^{\circ}$ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રકાશનું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનમાં,પરાવર્તન કોણ $r$ એ આપાતકોણ $i$ જેટલો જ હોય છે,તેથી $r = 50^{\circ}$.
વિચલન $\delta$ એ આપાત કિરણના મૂળ માર્ગ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ભૂમિતિ મુજબ,વિચલન $\delta = 180^{\circ} - (i + r) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ થાય.

(A) ધારો કે કાચના સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે. બિંદુ $A$ આગળ આપાતકોણ $i = 45^\circ$ છે. ધારો કે $A$ આગળ વક્રીભવન કોણ $r$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1 \cdot \sin(45^\circ) = \mu \cdot \sin(r)$,તેથી $\sin(r) = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$.
બિંદુ $B$ આગળ,આપાતકોણ $r' = 90^\circ - r$ છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
તેથી,$\sin(90^\circ - r) \ge \frac{1}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(r) \ge \frac{1}{\mu}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2(r) \ge \frac{1}{\mu^2}$,તેથી $1 - \sin^2(r) \ge \frac{1}{\mu^2}$.
$\sin^2(r) = \frac{1}{2\mu^2}$ મૂકતા,આપણને $1 - \frac{1}{2\mu^2} \ge \frac{1}{\mu^2}$ મળે છે,જેનું સાદુરૂપ આપતા $1 \ge \frac{3}{2\mu^2}$ મળે.
આમ,$\mu^2 \ge \frac{3}{2}$,અથવા $\mu \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$. લઘુત્તમ વક્રીભવનાંક $\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે. વક્રીભવન માટે વિચલનકોણ $\delta = |r - i|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભૂતકોણ છે.
અહીં $r > i$ હોવાથી,$\delta = r - i$.
જેમ $i$ વધે છે,તેમ $r$ પણ વધે છે. $i$ નું મહત્તમ મૂલ્ય ક્રાંતિકોણ $C$ છે,જ્યાં $r = 90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન થાય છે.
આમ,વક્રીભવન માટે મહત્તમ વિચલન $\delta_{\max} = \frac{\pi}{2} - C$ છે.
જો કે,જો આપાતકોણ $i$ એ $C$ કરતા વધી જાય,તો કિરણનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે. આ કિસ્સામાં,પરાવર્તનકોણ એ આપાતકોણ જેટલો જ હોય છે $(r = i)$.
પરાવર્તન માટે વિચલન $\delta = \pi - 2i$ છે.
પરાવર્તન માટે મહત્તમ વિચલન શોધવા માટે,આપણે $C < i < \frac{\pi}{2}$ ની શ્રેણી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. જેમ $i$ ઘટ્ટ માધ્યમની બાજુથી $C$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $\delta$ એ $\pi - 2C$ ની નજીક પહોંચે છે. આ કિસ્સામાં કિરણ માટે આ મહત્તમ શક્ય વિચલન છે.

(D) ક્રાંતિકોણ $i_c$ માટેનું સૂત્ર $\sin(i_c) = \frac{1}{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ હવા સાપેક્ષ પદાર્થનો વક્રીભવનાંક છે.
હીરા માટે,વક્રીભવનાંક $n \approx 2.42$ છે.
તેથી,$\sin(i_c) = \frac{1}{2.42} \approx 0.413$.
ઇન્વર્સ સાઇન લેતા,$i_c = \arcsin(0.413) \approx 24.4^{\circ}$ મળે છે.

(C) ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (કોશીના સંબંધ મુજબ: $n \approx A + \frac{B}{\lambda^2}$),તેથી જેમ તરંગલંબાઈ ઘટે તેમ વક્રીભવનાંક વધે છે.
લાલ પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ છે અને પીળા પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે. અહીં $\lambda_1 > \lambda_2$ હોવાથી,લાલ પ્રકાશનો વક્રીભવનાંક $(n_r)$ એ પીળા પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(n_y)$ કરતા ઓછો હશે.
તેથી,$n_r < n_y$.
સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{n}$ મુજબ,જો વક્રીભવનાંક વધારે હોય તો ક્રાંતિકોણ નાનો મળે.
આમ,પીળા પ્રકાશ માટેનો ક્રાંતિકોણ એ લાલ પ્રકાશના ક્રાંતિકોણ $(\theta)$ કરતા ઓછો હશે.

(A) ક્રાંતિકોણ $(i_c)$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણનું તે મૂલ્ય છે જેના માટે પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ $90^{\circ}$ થાય છે.
અહીં,ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 2$ અને પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1$ છે.
ક્રાંતિકોણ માટેનું સૂત્ર $\sin(i_c) = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin(i_c) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ થાય.

(C) ક્રાંતિકોણ $i_c$ એ આપાતકોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જેના માટે વક્રીભૂતકોણ $90^{\circ}$ હોય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
આપેલ છે,પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 2$ અને બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = \sqrt{3}$ છે.
ક્રાંતિકોણ માટેનું સૂત્ર $\sin i_c = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sin i_c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે,તેથી $i_c = 60^{\circ}$ થાય.

(C) હીરાનો વક્રીભવનાંક $\mu$ ખૂબ જ ઊંચો (આશરે $2.42$) હોય છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ સંબંધ $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી ઊંચા વક્રીભવનાંકને કારણે ક્રાંતિકોણ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ સારી રીતે કાપેલા હીરામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે આંતરિક સપાટીઓ પર ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે આપાત થાય છે.
આના પરિણામે હીરાની અંદર અનેકવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
પરિણામે,પ્રકાશ અંદર ફસાઈ જાય છે અને વારંવાર પરાવર્તિત થાય છે,જેના કારણે હીરો ચમકદાર દેખાય છે.

(A) પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક તેમના નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંકના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પાણીનો વક્રીભવનાંક,$\mu_w = \frac{4}{3}$.
કાચનો વક્રીભવનાંક,$\mu_g = \frac{5}{3}$.
પાણીની સાપેક્ષે કાચનો સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{5/3}{4/3} = \frac{5}{4}$ થાય.
ક્રાંતિકોણ $C$ ને $\sin C = \frac{1}{\mu}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin C = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ મળે છે.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ થશે.

(A) પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 2$ છે અને બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = \sqrt{2}$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય અને આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_C$ કરતા વધારે હોય.
ક્રાંતિકોણ $i_C$ નું સૂત્ર $\sin i_C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\sin i_C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i_C = 45^{\circ}$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > 45^{\circ}$.

(A) આ પ્રિઝમ $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ ખૂણા ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $AB$ સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તે વિચલિત થયા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
ત્યારબાદ તે કર્ણ સપાટી પર $i = 60^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
કર્ણ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > C$.
તેથી,$\sin(i) > \sin(C)$.
અહીં $i = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin(60^{\circ}) > \frac{\mu_l}{\mu_{\text{glass}}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\mu_l}{3/2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{2 \mu_l}{3}$.
$\mu_l < \frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,હવાના સાપેક્ષમાં પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $(n_{la})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n_{la} = \frac{\sin \theta}{\sin \alpha}$
વ્યાખ્યા મુજબ,ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ (પ્રવાહી) માં એવો આપાતકોણ છે જેના માટે પાતળા માધ્યમ (હવા) માં વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ થાય છે.
પ્રવાહીના સાપેક્ષમાં હવાનો વક્રીભવનાંક $(n_{al})$ છે:
$n_{al} = \frac{1}{n_{la}} = \frac{\sin \theta_c}{\sin 90^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી:
$\sin \theta_c = \frac{1}{n_{la}}$
$n_{la}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\sin \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\sin \theta}$

(D) ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ એ આપાતકોણ છે જેના માટે વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ થાય છે.
તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sin \theta_{c} = \frac{n_2}{n_1}$
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin \theta_{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\theta_{c} = 60^{\circ}$

(C) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.6$,$\mu_2 = 1.8$,$\mu_3 = 1.3$.
માધ્યમ $2$ અને $3$ વચ્ચેની આંતર સપાટી પર,કિરણ ક્રાંતિકોણ $C$ પર આપાત થાય છે. તેથી,$\sin C = \frac{\mu_3}{\mu_2} = \frac{1.3}{1.8}$.
ધારો કે $r$ એ માધ્યમ $2$ માં વક્રીભવનકોણ છે. કારણ કે કિરણ માધ્યમ $2$ અને $3$ ની આંતર સપાટી પર ક્રાંતિકોણે આપાત થાય છે,તેથી પ્રથમ આંતર સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો થશે (એટલે કે $r = C$).
માધ્યમ $1$ અને $2$ વચ્ચેની આંતર સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$
કારણ કે $r = C$,તેથી $\sin r = \sin C = \frac{1.3}{1.8}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.6 \times \sin \theta = 1.8 \times \left(\frac{1.3}{1.8}\right)$
$1.6 \times \sin \theta = 1.3$
$\sin \theta = \frac{1.3}{1.6} = \frac{13}{16}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{13}{16}\right)$

(C) સ્વીકૃતિ કોણ $\theta_a$ એ ઓપ્ટિકલ ફાઈબરના પ્રવેશદ્વાર પરનો મહત્તમ આપાતકોણ છે જેથી પ્રકાશ કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે.
કોર વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.5$ અને ક્લેડિંગ વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1.414$ ધરાવતા ઓપ્ટિકલ ફાઈબર માટે,સ્વીકૃતિ કોણ $\theta_a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sin \theta_a = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta_a = \sqrt{(1.5)^2 - (1.414)^2}$
$\sin \theta_a = \sqrt{2.25 - 1.999396} \approx \sqrt{0.2506} \approx 0.5006$
$\theta_a = \sin^{-1}(0.5006) \approx 30^{\circ}$
આમ,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરની ધરી સાથે આપાતકોણની શ્રેણી $0^{\circ}$ થી $30^{\circ}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે ઓપ્ટિકલ ફાઇબર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (કોર) માંથી પાતળા માધ્યમ (ક્લેડિંગ) માં ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા આપાતકોણે પ્રવેશે છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે કોરનો વક્રીભવનાંક હવા કરતા વધારે છે. જોકે તે સાચું છે કે કોરનો વક્રીભવનાંક હવા કરતા વધારે હોય છે,પરંતુ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરમાં $TIR$ માટેની શરત એ છે કે કોરનો વક્રીભવનાંક $(n_1)$ એ ક્લેડિંગના વક્રીભવનાંક $(n_2)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,માત્ર હવા કરતા નહીં.
તેથી,બંને વિધાનો તથ્યની દ્રષ્ટિએ સાચા હોવા છતાં,કારણ $(R)$ એ સમજાવતું નથી કે કોર-ક્લેડ ઇન્ટરફેસ પર $TIR$ શા માટે થાય છે. સાચી સમજૂતીમાં કોર અને ક્લેડિંગના વક્રીભવનાંક વચ્ચેના સંબંધનો ઉલ્લેખ હોવો જોઈએ.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઇબરનો ઉપયોગ આધુનિક કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં વ્યાપકપણે થાય છે કારણ કે તે ઉચ્ચ બેન્ડવિડ્થ અને ઓછો સિગ્નલ લોસ પ્રદાન કરે છે.
તેઓ કદમાં નાના,વજનમાં હલકા અને લવચીક હોય છે,જેના કારણે તેને ઇન્સ્ટોલ કરવા સરળ છે.
પ્રકાશના સિગ્નલો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે ફાઇબરની અંદર જ રહે છે,તેથી તેઓ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક હસ્તક્ષેપથી મુક્ત હોય છે,જે કોપર વાયરની તુલનામાં એક મોટો ફાયદો છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે ઓપ્ટિકલ ફાઇબરનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

(D) કર્ણ પર સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ પાયા $BC$ ને સમાંતર ગતિ કરે છે. આપાત કિરણ અને કર્ણના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો એ આપાતકોણ $i$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો પાયાનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો કર્ણ પરનો આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - \theta$ થાય.
સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i \geq C$,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
આમ,$90^{\circ} - \theta \geq C \Rightarrow \theta \leq 90^{\circ} - C$.
$\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $\theta = 90^{\circ} - C$ લઈએ છીએ.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $\cos \theta = \cos(90^{\circ} - C) = \sin C$.
કારણ કે $\sin C = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{\mu}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$.

(A) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમની સપાટી $AB$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશે છે,તેથી તે વિચલિત થયા વિના પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને સપાટી $AC$ પર આપાત થાય છે.
પ્રિઝમ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,સપાટી $AC$ પર આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - \theta$ છે.
સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta$ ના મહત્તમ મૂલ્ય માટે,આપણે $i = i_c$ લઈએ છીએ.
ક્રાંતિકોણની સ્થિતિ માટે સપાટી $AC$ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(i_c) = \frac{\mu_{\text{liquid}}}{\mu_{\text{glass}}}$
$i = 90^{\circ} - \theta$ અને આપેલ વક્રીભવનાંકની કિંમતો મૂકતા:
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \frac{1.2}{1.5}$
$\cos(\theta) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.8)$.

(C) આપેલ છે,ત્રિજ્યા $R=0.05 \ m = 5 \times 10^{-2} \ m$.
વક્રીભવનાંક $n=1.5$.
ક્રાંતિકોણ $c$ માટે,$\sin c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,જે કિરણ વક્ર સપાટી પર ક્રાંતિકોણ $c$ પર આપાત થાય છે તે સપાટીને સ્પર્શક તરીકે બહાર આવશે અને નળાકારની ધારથી $x$ અંતરે ટેબલ પર અથડાશે.
ત્રિજ્યા $R$ અને અંતર $(R+x)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કેન્દ્ર પરનો ખૂણો $c$ છે.
તેથી,$\cos c = \frac{R}{R+x}$.
$\sin c = \frac{2}{3}$ હોવાથી,$\cos c = \sqrt{1 - \sin^2 c} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
$\cos c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{R}{R+x}$.
$\sqrt{5}(R+x) = 3R$.
$x = R \left( \frac{3\sqrt{5}-5}{5} \right)$.
$R = 5 \times 10^{-2} \ m$ મૂકતા,$x = (3\sqrt{5}-5) \times 10^{-2} \ m$ મળે છે.

(C) જ્યારે ડ્રાઈવર પાણીની અંદર હોય છે,ત્યારે તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટનાને કારણે બહારની દુનિયાને પ્રકાશના શંકુ દ્વારા જુએ છે.
આ શંકુનો અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો પાણી-હવા ઈન્ટરફેસ માટેના ક્રાંતિકોણ $c$ જેટલો હોય છે.
ક્રાંતિકોણનું સૂત્ર $\sin c = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\sin c = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
તેથી,અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $c = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ છે.

(B) જ્યારે માછલી પાણીની સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ હોય,ત્યારે તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે બહારની દુનિયાને એક ગોળાકાર બારી દ્વારા જુએ છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ છે.
આપેલ છે: ઊંડાઈ $h = 12 \ m$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = 4/3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{12}{\sqrt{(4/3)^2 - 1}}$
$r = \frac{12}{\sqrt{16/9 - 1}}$
$r = \frac{12}{\sqrt{7/9}}$
$r = \frac{12 \times 3}{\sqrt{7}}$
$r = \frac{36}{\sqrt{7}} \ m$.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવો જોઈએ. અહીં,માધ્યમ $A$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_A = 2.4 \times 10^8 \ m/s)$ એ માધ્યમ $B$ $(v_B = 2.7 \times 10^8 \ m/s)$ કરતા ઓછી છે,તેથી માધ્યમ $A$ ઘટ્ટ છે.
ક્રાંતિકોણ $c$ પર,વક્રીભવન કોણ $90^\circ$ હોય છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\mu_A \sin c = \mu_B \sin 90^\circ$
$\mu = \frac{c_{light}}{v}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{c_{light}}{v_A} \sin c = \frac{c_{light}}{v_B} \times 1$
$\sin c = \frac{v_A}{v_B} = \frac{2.4 \times 10^8}{2.7 \times 10^8} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$
હવે,ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan c = \frac{\sin c}{\sqrt{1 - \sin^2 c}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan c = \frac{8/9}{\sqrt{1 - (8/9)^2}} = \frac{8/9}{\sqrt{1 - 64/81}} = \frac{8/9}{\sqrt{17/81}} = \frac{8}{\sqrt{17}}$
તેથી,$c = \tan^{-1}(\frac{8}{\sqrt{17}})$.