Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Gujarati

(B) જો તકતી ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ ને અનુરૂપ વિસ્તારને આવરી લે,તો પ્રકાશ બહાર આવતો અટકી જશે.
$h$ ઊંડાઈએ રહેલા બિંદુવત ઉદગમ માટે,તકતીની ત્રિજ્યા $r = h \tan \theta_c$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો $h = 4 \; m$ અને $\mu = 5/3$ મૂકતા:
$r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \; m$.
તકતીનો લઘુત્તમ વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \; m$ થાય.

(A) માધ્યમમાં $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં $h$ ઊંડાઈએ રહેલા અવલોકનકાર માટે વર્તુળાકાર ક્ષિતિજની ત્રિજ્યા $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણી માટે,વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $h = \sqrt{7} \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = 3 \ cm$.

(A) આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે સપાટી $AC$ અને $BC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થાય છે.
$TIR$ થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
અહીં,સપાટીઓ પર આપાતકોણ $45^{\circ}$ છે.
તેથી,$45^{\circ} > C$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,$\sin(45^{\circ}) > \sin(C)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu}$.
આના પરથી $\mu > \sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,વક્રીભવનાંકનું લઘુત્તમ મૂલ્ય $\mu_{least} = \sqrt{2}$ છે.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ સળિયાના છેડાની સપાટી પરનો આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભૂતકોણ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1 \cdot \sin \alpha = n \cdot \sin r$,તેથી $\sin r = \frac{\sin \alpha}{n}$.
પાર્શ્વ સપાટી પર,આપાતકોણ $i = 90^\circ - r$ છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{n}$.
તેથી,$i > C \implies \sin i > \sin C$.
$i = 90^\circ - r$ મૂકતા,આપણને $\sin(90^\circ - r) > \sin C$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\cos r > \frac{1}{n}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2 r > \frac{1}{n^2} \implies 1 - \sin^2 r > \frac{1}{n^2}$.
$\sin r = \frac{\sin \alpha}{n}$ મૂકતા,આપણને $1 - \frac{\sin^2 \alpha}{n^2} > \frac{1}{n^2}$ મળે છે.
ગોઠવતા $1 > \frac{1 + \sin^2 \alpha}{n^2}$,અથવા $n^2 > 1 + \sin^2 \alpha$ મળે છે.
આ શરત આપાતકોણ $\alpha$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $\sin^2 \alpha$ નું મહત્તમ મૂલ્ય લઈએ,જે $1$ છે (જ્યારે $\alpha = 90^\circ$).
તેથી,$n^2 > 1 + 1 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $n > \sqrt{2}$.

(A) કિરણ ફક્ત $CD$ સપાટીમાંથી બહાર આવે તે માટે,તેણે $AD$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવવું જોઈએ.
સપાટી $AB$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_2 \sin \alpha_{max} = n_1 \sin r_1 \implies \alpha_{max} = \sin^{-1} \left( \frac{n_1}{n_2} \sin r_1 \right) \dots (i)$
સપાટી $AD$ પર,આપાતકોણ $r_2$ છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{n_2}{n_1}$.
સપાટી $AD$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$r_1 + r_2 = 90^\circ$,તેથી $r_1 = 90^\circ - r_2$.
કિરણ $CD$ સુધી પહોંચે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $r_2 = C = \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$ લઈએ છીએ.
આમ,$r_1 = 90^\circ - \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \sin \left( 90^\circ - \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$
નિત્યસમ $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \cos \left( \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$.

(A) સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,સપાટી $AC$ પરનો આપાતકોણ $i$ એ કાચ અને પાણી વચ્ચેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$AB$ પર લંબરૂપે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ $AC$ સપાટી પર $i = \theta$ જેટલા ખૂણે આપાત થાય છે.
$AC$ પર $TIR$ માટે,આપણે $i > C$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin C$.
$i = \theta$ મૂકતા,આપણને $\sin \theta > \sin C$ મળે છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ એ $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_w = 4/3$ અને $\mu_g = 1.5 = 3/2$ છે.
આમ,$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$TIR$ થવા માટે,$\sin \theta > 8/9$ હોવું જોઈએ. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,શરત $\sin \theta \ge 8/9$ છે.

(B) પ્રિઝમ અને પ્રવાહી વચ્ચેના આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિક કોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,આંતરપૃષ્ઠ પરનો આપાતકોણ $\theta$ છે.
તેથી,શરત $\theta \ge C$ છે.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,આપણને $\sin \theta \ge \sin C$ મળે છે.
ક્રાંતિક કોણ $C$ એ $\sin C = \frac{\mu_{\text{liquid}}}{\mu_{\text{prism}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu_{\text{prism}} = 1.56$ અને $\mu_{\text{liquid}} = 1.32$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\sin C = \frac{1.32}{1.56} = \frac{132}{156} = \frac{11}{13}$.
આમ,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin \theta \ge \frac{11}{13}$ છે.

(B) પ્રકાશના કિરણનું કોર-ક્લેડિંગ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$i > c \Rightarrow \sin i > \sin c \Rightarrow \sin i > \frac{\mu_2}{\mu_1}$ ... $(1)$
હવા-કોર સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યાં હવાનો વક્રીભવનાંક $1$ છે:
$1 \cdot \sin \alpha = \mu_1 \cdot \sin r$ ... $(2)$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OBA$ માં,વક્રીભવનકોણ $r$ અને કોર-ક્લેડિંગ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$r + i = 90^\circ \Rightarrow r = 90^\circ - i$
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\sin \alpha = \mu_1 \sin(90^\circ - i) = \mu_1 \cos i$
$\cos i = \frac{\sin \alpha}{\mu_1}$
નિત્યસમ $\sin i = \sqrt{1 - \cos^2 i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin i = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \alpha}{\mu_1}\right)^2}$ ... $(3)$
સમીકરણ $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_1^2}} > \frac{\mu_2}{\mu_1}$
$1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_1^2} > \frac{\mu_2^2}{\mu_1^2}$
$1 - \frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} > \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_1^2}$
$\mu_1^2 - \mu_2^2 > \sin^2 \alpha$
$\sin \alpha < \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$
આમ,મહત્તમ ખૂણો $\alpha_{\text{max}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\alpha_{\text{max}} = \sin^{-1}\sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$

(B) આલેખ પરથી,ઢાળ (slope) $\text{slope} = \tan \left( \frac{2\pi}{10} \right) = \tan(36^o) = \frac{\sin r}{\sin i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\tan 36^o \approx \frac{3}{4}$,તેથી $\frac{\sin r}{\sin i} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,માધ્યમ $1$ ની સાપેક્ષમાં માધ્યમ $2$ નો વક્રીભવનાંક $_1\mu_2 = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{1}{\text{slope}} = \frac{4}{3}$ થાય છે.
જેથી $_1\mu_2 = \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{4}{3}$,જે સૂચવે છે કે $\mu_2 = \frac{4}{3}\mu_1$,એટલે કે $\mu_2 > \mu_1$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય. અહીં પ્રકાશ પાતળા માધ્યમ $(1)$ માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ $(2)$ માં જાય છે,તેથી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થઈ શકતું નથી.

(A) પ્રકાશનું કિરણ સમતલ સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે. કારણ કે કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,તેથી જ્યારે આપાતકોણ $(i)$ એ ક્રાંતિકોણ $(c)$ કરતા વધારે હોય,ત્યારે કિરણનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
$(1)$ જ્યારે $i < c$ હોય,ત્યારે વિચલન $\delta = r - i$ થાય,જ્યાં $\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i}{\sin r}$ છે.
આમ,$\delta = \sin^{-1}(\mu \sin i) - i$. આ એક અરેખીય સંબંધ છે જેમાં $i$ વધતા $\delta$ વધે છે. $\delta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\delta_1 = \frac{\pi}{2} - c$ છે,જે $i = c$ પર મળે છે.
$(2)$ જ્યારે $i > c$ હોય,ત્યારે કિરણ પરાવર્તિત થાય છે અને વિચલનકોણ $\delta = \pi - 2i$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $i$ વધવાની સાથે $\delta$ રેખીય રીતે ઘટે છે. $i = c$ પર $\delta_2 = \pi - 2c$ અને $i = \frac{\pi}{2}$ પર $\delta = 0$ થાય છે.
આ વર્તણૂકોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલો આલેખ $i < c$ માટે અરેખીય વધારો અને $i > c$ માટે રેખીય ઘટાડો યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ કાચ અથવા પ્લાસ્ટિકમાંથી બનેલો એક પાતળો, લવચીક અને પારદર્શક તંતુ છે જે ફાઇબરના બે છેડાઓ વચ્ચે પ્રકાશનું પ્રસારણ કરવા માટે વેવગાઇડ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તે $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ એટલે કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે પ્રકાશ ફાઇબરના કોર (ગર્ભ) માં ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે ખૂણે દાખલ થાય છે, ત્યારે તે કોર-ક્લેડિંગની સપાટી પર વારંવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે, જેના કારણે પ્રકાશ ન્યૂનતમ નુકસાન સાથે લાંબા અંતર સુધી મુસાફરી કરી શકે છે.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ કાચ અથવા પ્લાસ્ટિકમાંથી બનેલો પાતળો, લવચીક અને પારદર્શક તંતુ છે। તે પ્રકાશના સંકેતોને ખૂબ જ ઓછા નુકસાન સાથે લાંબા અંતર સુધી પ્રસારિત કરે છે। ઓપ્ટિકલ ફાઇબરની કાર્યપદ્ધતિનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ એટલે કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન છે। જ્યારે પ્રકાશ ફાઇબરના કોર (ગર્ભ) માં ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે દાખલ થાય છે, ત્યારે તે કોર અને ક્લેડિંગની સપાટી પર વારંવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે, જેના કારણે પ્રકાશ બહાર નીકળ્યા વગર ફાઇબરની અંદર આગળ વધે છે।

(B) એક્સેપ્ટન્સ એંગલ $\theta_a$ એ મહત્તમ કોણ છે કે જેના પર પ્રકાશ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરમાં પ્રવેશી શકે અને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન દ્વારા કોરમાં આગળ વધી શકે.
હવા-કોર ઇન્ટરફેસ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $n_0 \sin \theta_a = n_1 \sin \theta_r$,જ્યાં $n_0 = 1$ (હવા માટે).
કોર-ક્લેડિંગ ઇન્ટરફેસ પર,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે ક્રાંતિકોણની શરત $\sin \theta_c = n_2/n_1$ છે.
કારણ કે $\theta_r = 90^\circ - \theta_c$,તેથી $\sin \theta_r = \cos \theta_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_c} = \sqrt{1 - (n_2/n_1)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin \theta_a = n_1 \times \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
તેથી,$\theta_a = \sin^{-1}(\sqrt{n_1^2 - n_2^2})$.

(B) સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$,તેથી $i > i_c$ એટલે કે $45^{\circ} > i_c$.
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા,$\sin(45^{\circ}) > \sin(i_c)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(i_c) = \frac{1}{n}$,જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$ મળે છે.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાની બદલાય છે,તેથી $\sqrt{2} < n$ અથવા $n > \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સળિયાનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
સળિયાની દિવાલ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,દિવાલ પરનો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $i_c$ માટે,$\sin i_c = \frac{1}{\mu} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $i_c = 60^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r = 90^{\circ} - i_c = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$.
$\sin \theta = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \sin 30^{\circ} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(D) પ્રકાશ $AB$ સપાટી પર લંબરૂપે દાખલ થાય છે,તેથી તે $AC$ સપાટી સુધી વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે. $AC$ સપાટી પર આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે,આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(i > \theta_c)$,જ્યાં $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$.
આ શરત $\sin i > \sin \theta_c$ અથવા $\sin 45^{\circ} > \frac{1}{\mu}$ તરીકે લખી શકાય,જેનું સાદું રૂપ $\mu > \frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \sqrt{2} \approx 1.414$ થાય છે.
- લાલ પ્રકાશ માટે: $\mu_r = 1.39$. $1.39 < 1.414$ હોવાથી,લાલ પ્રકાશ પ્રિઝમમાંથી બહાર આવશે.
- લીલા પ્રકાશ માટે: $\mu_g = 1.44$. $1.44 > 1.414$ હોવાથી,લીલો પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
- ભૂરા પ્રકાશ માટે: $\mu_b = 1.47$. $1.47 > 1.414$ હોવાથી,ભૂરો પ્રકાશ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
તેથી,$AC$ સપાટી પરથી ફક્ત લાલ રંગનો પ્રકાશ બહાર આવશે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \frac{1}{\sin \theta_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta_c = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\mu = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{0.5} = 2$ મળે.
માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v$ અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{c}{\mu}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{3 \times 10^{8} \ m/s}{2} = 1.5 \times 10^{8} \ m/s$ થાય.

(A) આ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જો શિરોલંબ બાજુ $BC$ પર આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા વધારે હોય,તો પ્રકાશ તે બાજુમાંથી નિર્ગમન પામશે નહીં.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત: $i > \theta_c$ અથવા $\sin i > \sin \theta_c$.
$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,$\sin i > \frac{1}{\mu} \quad ......(i)$
નીચેની સપાટી પર બિંદુ $O$ પાસે સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $1 \times \sin \theta = \mu \sin r$.
$\triangle OPR$ માં,$r + 90^\circ + i = 180^\circ$,તેથી $r + i = 90^\circ$,એટલે કે $r = 90^\circ - i$.
તેથી,$\sin \theta = \mu \sin(90^\circ - i) = \mu \cos i$,જે આપણને $\cos i = \frac{\sin \theta}{\mu}$ આપે છે.
$\sin i = \sqrt{1 - \cos^2 i}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $\sin i = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \theta}{\mu}\right)^2} \quad ......(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{1 - \frac{\sin^2 \theta}{\mu^2}} > \frac{1}{\mu} \implies 1 - \frac{\sin^2 \theta}{\mu^2} > \frac{1}{\mu^2} \implies 1 > \frac{1 + \sin^2 \theta}{\mu^2}$.
$\mu^2 > 1 + \sin^2 \theta$.
બધા જ ખૂણાઓ $\theta$ માટે અક્ષરો અદ્રશ્ય રહે તે માટે,આપણે $\sin^2 \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ લઈએ છીએ.
$\mu^2 > 1 + 1 = 2 \implies \mu > \sqrt{2}$.
આમ,ન્યૂનત્તમ વક્રીભવનાંક $\mu_{\min} = \sqrt{2}$ છે.

(A) ક્રાંતિકોણ $i_c$ નું સૂત્ર $sin\,i_c = \frac{1}{\mu}$ છે.
જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે (કોશીના સમીકરણ મુજબ),તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધતા ક્રાંતિકોણ $i_c$ વધે છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઈનો ક્રમ: $\lambda_{\text{violet}} < \lambda_{\text{indigo}} < \lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}} < \lambda_{\text{yellow}} < \lambda_{\text{orange}} < \lambda_{\text{red}}$.
તેથી,ક્રાંતિકોણનો ક્રમ: $i_{c, \text{violet}} < i_{c, \text{indigo}} < i_{c, \text{blue}} < i_{c, \text{green}} < i_{c, \text{yellow}} < i_{c, \text{orange}} < i_{c, \text{red}}$.
જો લીલા પ્રકાશનું સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થતું હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે આપાતકોણ $i$ એ લીલા પ્રકાશના ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે છે $(i \ge i_{c, \text{green}})$.
જાંબલી,નીલો અને વાદળી રંગોના ક્રાંતિકોણ લીલા રંગ કરતા નાના હોવાથી,તેઓ પણ સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
લીલા કરતા વધુ તરંગલંબાઈ ધરાવતા રંગો (પીળો,નારંગી,લાલ) ના ક્રાંતિકોણ લીલા કરતા વધારે હોવાથી,તેઓ હવામાં વક્રીભવન પામશે.

(B) બહારની દુનિયાના પ્રકાશના કિરણો માછલી સુધી ત્યારે જ પહોંચે છે જો પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
આ સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળાકાર ક્ષિતિજની ત્રિજ્યા $r$ એ $r = h \tan(i_c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ માછલીની ઊંડાઈ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(i_c) = \frac{1}{\mu}$,જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
આમ,$\tan(i_c) = \frac{\sin(i_c)}{\cos(i_c)} = \frac{1/\mu}{\sqrt{1 - (1/\mu)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
આ કિંમતને $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ મળે છે.
અહીં $h = 12 \, cm$ અને $\mu = 4/3$ આપેલ છે,તેથી:
$r = \frac{12}{\sqrt{(4/3)^2 - 1}} = \frac{12}{\sqrt{16/9 - 1}} = \frac{12}{\sqrt{7/9}} = \frac{12 \times 3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \, cm$.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_{D} \sin i = \mu_{R} \sin r'$,જ્યાં $r'$ એ વક્રીભૂતકોણ છે.
તેથી,સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\mu_D}{\mu_R} = \frac{\sin r'}{\sin i} \dots (i)$.
પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ પરસ્પર લંબ હોવાથી,પરાવર્તનકોણ $(i)$,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$ અને વક્રીભૂતકોણ $(r')$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$i + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r' = 90^{\circ} - i$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\mu = \frac{\sin(90^{\circ} - i)}{\sin i} = \frac{\cos i}{\sin i} = \cot i$.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$\theta_c = \sin^{-1}(\frac{1}{\mu})$.
$\mu = \cot i$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\theta_c = \sin^{-1}(\frac{1}{\cot i}) = \sin^{-1}(\tan i)$.

(D) પ્રકાશનું પુંજ $AB$ બાજુ પર લંબ આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલિત થયા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
ધારો કે $A$ આગળ પ્રિઝમનો ખૂણો $\theta$ છે. $BC$ બાજુ પર આપાતકોણ $\theta$ થશે.
$BC$ બાજુ પર સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ કાચ-પાણીની સપાટી માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sin \theta > \sin C$.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}}$ છે.
અહીં $\mu_{\text{glass}} = 1.5 = 3/2$ અને $\mu_{\text{water}} = 4/3$ આપેલ છે.
તેથી,$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
આમ,સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$\sin \theta > 8/9$ હોવું જોઈએ.

(B) પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,બીજી સપાટી (સપાટી $BC$) પર આપાતકોણ $45^{\circ}$ છે.
આ સપાટી પર કિરણનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta_c \leq 45^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,જ્યાં $\mu$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu} \leq \sin 45^{\circ}$.
$\frac{1}{\mu} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\mu \geq \sqrt{2}$.
આમ,ન્યૂનતમ વક્રીભવનાંક $\sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ આકૃતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ માધ્યમ અને હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર $\theta$ ખૂણે આપાત થાય છે અને સપાટીને સમાંતર ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $(C)$ છે.
પ્રકાશના કિરણ,ઊભી ઊંડાઈ અને આડી લંબાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ $\sqrt{3} \ m$ છે અને પાયો $1 \ m$ છે.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
હવાની સાપેક્ષે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \frac{1}{\sin C} = \frac{1}{\sin \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ મળે છે.

(B) જ્યારે પ્રકાશ માધ્યમ $x$ થી માધ્યમ $y$ માં જાય ત્યારે ક્રાંતિકોણ $\theta$ માટેની શરત સ્નેલના નિયમ મુજબ છે: $\mu_x \sin \theta = \mu_y \sin 90^\circ$,જ્યાં $\mu_x$ અને $\mu_y$ એ માધ્યમોના વક્રીભવનાંક છે.
$\sin 90^\circ = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{\mu_y}{\mu_x} = \sin \theta$.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ તેના વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,$v = \frac{c}{\mu}$.
તેથી,માધ્યમ $y$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_y)$ એ માધ્યમ $x$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_x = v)$ સાથે વક્રીભવનાંકના ગુણોત્તર દ્વારા સંબંધિત છે: $v_y = v_x \times \frac{\mu_x}{\mu_y}$.
ગુણોત્તર $\frac{\mu_x}{\mu_y} = \frac{1}{\sin \theta}$ મૂકતા,આપણને $v_y = \frac{v}{\sin \theta}$ મળે છે.

(B) જો તકતીને એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે જેથી પાણી-હવા સપાટી પર આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ જેટલો અથવા તેનાથી વધારે હોય,તો પ્રકાશ બહાર આવતો અટકી જશે.
તકતીની ત્રિજ્યા $r$ એ $r = h \tan(i_c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 4 \, m$ છે.
$\sin(i_c) = 1/\mu$ હોવાથી,$\tan(i_c) = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \, m$.
તેથી,વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \, m$ થાય.

(B) આયનોસ્ફિયર એ પૃથ્વીના વાતાવરણનું આયનીકૃત સ્તર છે જેમાં સૂર્યના $UV$ કિરણોને કારણે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને આયનો હોય છે.
જ્યારે રેડિયો તરંગો આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતા બદલાવાને કારણે વક્રીભવનાંક બદલાય છે.
જેમ જેમ રેડિયો તરંગો આગળ વધે છે,તેમ તેમ તેમનું વક્રીભવન થાય છે અને અંતે તેઓ પૃથ્વીની સપાટી તરફ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
આ પ્રક્રિયા મૃગજળ (મરિચિકા) ની રચના જેવી જ છે,જ્યાં વાતાવરણમાં બદલાતા વક્રીભવનાંકને કારણે પ્રકાશનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બે માધ્યમો કે જેમના વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને $\mu_2$ $(\mu_1 > \mu_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેના ક્રાંતિકોણ $C$ માટેની શરત $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
$\mu \propto \frac{1}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ થાય.
અહીં $\lambda_x = 3500 \, \mathring{A}$ અને $\lambda_y = 7000 \, \mathring{A}$ આપેલ છે.
અહીં $\lambda_x < \lambda_y$ હોવાથી $\mu_x > \mu_y$ થાય,તેથી પ્રકાશ $x$ માંથી $y$ માં જાય છે.
$\sin C = \frac{\lambda_x}{\lambda_y} = \frac{3500}{7000} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$.

(A) સપાટી $AB$ માટે,આપાતકોણ $i = 0$ છે,તેથી વક્રીભવનકોણ $r = 0$ થાય. પ્રકાશ પ્રિઝમમાં વિચલન પામ્યા વગર દાખલ થાય છે.
સપાટી $AC$ માટે,આપાતકોણ $i = 45^\circ$ છે. જો $i > \theta_C$ હોય,તો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે,જ્યાં $\theta_C$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત: $\sin i > \sin \theta_C \implies \sin 45^\circ > \frac{1}{\mu} \implies \mu > \frac{1}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} \approx 1.41$.
આપેલ વક્રીભવનાંક: $\mu_R = 1.39$,$\mu_G = 1.44$ અને $\mu_B = 1.47$.
અહીં $\mu_R < 1.41$ હોવાથી,લાલ પ્રકાશ સપાટી $AC$ માંથી પારગમન પામશે.
$\mu_G > 1.41$ અને $\mu_B > 1.41$ હોવાથી,લીલો અને વાદળી બંને પ્રકાશ સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
તેથી,પ્રિઝમ લાલ રંગને લીલા અને વાદળી રંગથી અલગ કરે છે.

(C) કિરણ ગોળામાંથી બહાર ન આવે તે માટે,તેણે બિંદુ $B$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવવું જોઈએ.
બિંદુ $B$ પર,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ.
$\triangle OAB$ માં,$OA = OB$ (ગોળાની ત્રિજ્યાઓ) હોવાથી,$\angle OAB = \angle OBA = C$ થાય.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sin C = 1/\mu = 1/(3/2) = 2/3$.
બિંદુ $A$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin(\angle OAB) = \mu \cdot \sin C$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin i = (3/2) \cdot (2/3) = 1$.
તેથી,$i = 90^o$.

(B) પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,સપાટી $PQ$ પર આપાતકોણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,એટલે કે $\theta \geq C$.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ હોવાથી,$60^{\circ} \geq C$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,$\sin 60^{\circ} \geq \sin C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sqrt{3}}{2} \geq \frac{\mu_{liquid}}{1.5}$.
$\mu_{liquid} \leq 1.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.5 \times 0.866 = 1.299$.
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક આશરે $1.3$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.

(D) ધારો કે પાયા પાસેનો પ્રિઝમનો ખૂણો $\alpha$ છે. પ્રકાશનું કિરણ લંબ રૂપે પ્રવેશે છે,તેથી તે વિચલિત થયા વગર પાયાને સમાંતર ગતિ કરે છે.
કર્ણ પર,આપાતકોણ $i$ એ કર્ણના લંબ અને આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,કર્ણ અને પાયા વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. કર્ણના લંબ અને પાયા વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \alpha)$ છે.
કિરણ પાયાને સમાંતર હોવાથી,કર્ણ પર આપાતકોણ $i = (90^\circ - \alpha)$ થાય.
સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે.
તેથી,$i \ge C \implies (90^\circ - \alpha) \ge C$.
મર્યાદિત કિસ્સા માટે,$90^\circ - \alpha = C$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $\sin(90^\circ - \alpha) = \sin C$.
$\cos \alpha = \frac{1}{\mu}$.
તેથી,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$.

(D) આકૃતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ સિક્કાથી સપાટી સુધી ક્રાંતિકોણ $C$ પર મુસાફરી કરે છે. રચાયેલા ત્રિકોણનો પાયો $3 \, cm$ છે અને ઊંચાઈ $4 \, cm$ છે. કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, cm$ છે.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{5}$.
વળી,હવાના સાપેક્ષમાં પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{1}{\sin C} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \frac{c}{v}$,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ એ પ્રવાહીમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{5/3} = \frac{9 \times 10^8}{5} = 1.8 \times 10^8 \, m/s$.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > C$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin i > \sin C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{1}{n}$,જ્યાં $n$ એ હવાના સાપેક્ષમાં માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આ અસમતામાં કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin i > \frac{1}{n}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $n > \frac{1}{\sin i}$ થાય છે.
આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી:
$n > \frac{1}{\sin 45^{\circ}}$
$n > \frac{1}{1/\sqrt{2}}$
$n > \sqrt{2} \approx 1.414$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $1.50$ એ $1.414$ કરતા વધારે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) માધ્યમ $M_1$ નો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = c/v_1 = (3 \times 10^8) / (1.5 \times 10^8) = 2$ છે.
માધ્યમ $M_2$ નો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = c/v_2 = (3 \times 10^8) / (2.0 \times 10^8) = 1.5 = 3/2$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવો જોઈએ અને આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\sin C = \mu_2 / \mu_1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin C = (3/2) / 2 = 3/4$ મળે છે.
તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે $i \geq C$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\sin i \geq \sin C$.
આમ,$i \geq \sin^{-1}(3/4)$.

(D) તળાવની આભાસી અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ વચ્ચેનો તફાવત એ પ્રકાશના વક્રીભવનને કારણે થાય છે જ્યારે તે ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે. અન્ય ત્રણ ઘટનાઓ,એટલે કે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરનું કાર્ય,ગરમ ઉનાળાના દિવસોમાં મૃગજળની રચના અને હીરાની ચમક,આ બધી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની અસરો છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશનો કિરણપુંજ કાટકોણ પ્રિઝમ $ABC$ ની સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે સપાટી $AB$ પર કોઈ વક્રીભવન થતું નથી. પ્રકાશ સીધો પસાર થાય છે અને સપાટી $AC$ પર $i = 45^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,શરત $i > i_c$ છે,જ્યાં $i_c$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin i_c = \frac{1}{\mu}$. તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin i > \frac{1}{\mu}$ અથવા $\mu > \frac{1}{\sin i}$ છે.
અહીં $i = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$. આમ,શરત $\mu > \sqrt{2} \approx 1.414$ બને છે.
વક્રીભવનાંકની સરખામણી કરતા:
લાલ માટે: $\mu_{\text{red}} = 1.39 < 1.414$.
લીલા માટે: $\mu_{\text{green}} = 1.44 > 1.414$.
વાદળી માટે: $\mu_{\text{blue}} = 1.47 > 1.414$.
કારણ કે $\mu_{\text{red}} < 1.414$ છે,લાલ પ્રકાશ સપાટી $AC$ માંથી વક્રીભવન પામીને બહાર આવશે. કારણ કે $\mu_{\text{green}}$ અને $\mu_{\text{blue}}$ બંને $1.414$ કરતા વધારે છે,તેથી લીલો અને વાદળી બંને પ્રકાશ સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
તેથી,પ્રિઝમ લાલ રંગને લીલા અને વાદળી રંગોથી અલગ કરશે.

(A) પ્રકાશનું કિરણ પ્રવાહી (ઘટ્ટ માધ્યમ) માંથી હવા (પાતળા માધ્યમ) માં જાય છે. નિરીક્ષક ખૂણો $E$ જોઈ શકે છે,તેનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહીની સપાટીમાંથી બહાર આવતું કિરણ સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે,એટલે કે વક્રીભવન કોણ $90^{\circ}$ છે. આમ,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો છે.
ટાંકીની ભૂમિતિ પરથી,ઊંડાઈ $3 \ cm$ અને પહોળાઈ $4 \ cm$ છે. પ્રકાશના કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનો કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ cm$ છે.
આકૃતિ પરથી,$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \frac{1}{\sin C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\mu = \frac{1}{0.8} = \frac{5}{4} = 1.2$.

(C) સ્ત્રોત $S$ ઉપરથી દેખાય નહીં તે માટે,$S$ માંથી આવતા પ્રકાશના કિરણોનું પ્રવાહી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવું જોઈએ અથવા તે અપારદર્શક તકતી $D$ દ્વારા અવરોધાયેલા હોવા જોઈએ. સ્ત્રોત સંપૂર્ણપણે છુપાયેલો રહે તે માટેની શરત એ છે કે તકતીની ત્રિજ્યા $r$ એ સપાટી પર ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ દ્વારા બનતા પ્રકાશિત વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
પ્રકાશિત વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ મળે છે:
$r = h \tan \theta_c$
કારણ કે $\sin \theta_c = 1/\mu$,તેથી $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ થાય.
આમ,$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
અહીં $r = 1\, cm$ અને $\mu = 5/3$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$1 = \frac{h}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}}$
$1 = \frac{h}{\sqrt{25/9 - 1}}$
$1 = \frac{h}{\sqrt{16/9}}$
$1 = \frac{h}{4/3}$
$h = 4/3 = 1.33\, cm$.
તેથી,પ્રવાહીની મહત્તમ ઊંચાઈ $1.33\, cm$ છે.

(B) $PQ$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $\theta > C$.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રકાશ $PR$ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલિત થયા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે. $PQ$ સપાટી પર આપાતકોણ $\theta = 60^o$ છે.
$TIR$ માટે,આપણે $\theta > C$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $\sin \theta > \sin C$.
કારણ કે $\sin C = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$,તેથી $\sin 60^o > \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\mu_{liquid}}{1.5}$.
$\mu_{liquid} < 1.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5 \times 0.866 = 1.299$.
આમ,પ્રવાહીનો મહત્તમ વક્રીભવનાંક આશરે $1.3$ છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,ક્રાંતિકોણ $C$ એ $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\mu_1$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ છે અને $\mu_2$ એ પાતળું માધ્યમ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 6000 \, \mathring A$ અને $\lambda_2 = 4000 \, \mathring A$.
કારણ કે $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$,તેથી $\sin C = \frac{4000}{6000} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
આથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$ થશે.

(A) પ્રકાશનું કિરણ સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
તે સપાટી $BC$ પર $i = 90^o - \theta$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
પ્રકાશ સપાટી $BC$ ને ઓળંગે નહીં તે માટે,તેણે સપાટી $BC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ અનુભવવું જોઈએ.
$TIR$ માટેની શરત $i \geq \theta_c$ છે,જ્યાં $\theta_c$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $n_1 = 3/2$ છે અને સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $n_2 = 6/5$ છે.
ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{6/5}{3/2} = \frac{6}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{5}$.
આમ,$\theta_c = \sin^{-1}(4/5) = 53^o$.
શરત $i \geq \theta_c$ લાગુ પાડતા:
$90^o - \theta \geq 53^o$
$90^o - 53^o \geq \theta$
$\theta \leq 37^o$.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,કોઈપણ સ્તર $n$ માટે,$\mu_0 \sin i = \mu(n) \sin r_n$ થાય.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,વક્રીભૂતકોણ $r_n = 90^\circ$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sin r_n = 1$.
આમ,$\mu_0 \sin i = \mu(n)$.
આપેલ છે કે $i > 30^\circ$,તેથી $\sin i > \sin 30^\circ = 0.5$.
તેથી,$\mu(n) = \mu_0 \sin i > 0.5 \mu_0$.
$\mu(n)$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$\mu_0 - \frac{\mu_0}{4n - 18} > 0.5 \mu_0$
$1 - \frac{1}{4n - 18} > 0.5$
$0.5 > \frac{1}{4n - 18}$
$4n - 18 > 2$
$4n > 20$
$n > 5$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે વક્રીભવનાંક ઘટવો જોઈએ,તેથી $\mu(n) < \mu_0$ હોવું જોઈએ.
$\mu_0 - \frac{\mu_0}{4n - 18} < \mu_0 \implies \frac{\mu_0}{4n - 18} > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $4n - 18 > 0$,અથવા $n > 4.5$.
$n=5$ માટે,$\mu(5) = \mu_0 - \frac{\mu_0}{20-18} = 0.5 \mu_0$.
જેથી $\sin i > 0.5$ હોવાથી,$n=5$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરત સંતોષાય છે.

(B) આ બિંદુ $B$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનનો કિસ્સો છે.
વર્તુળની ભૂમિતિ પરથી,બિંદુ $B$ પર આપાતકોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સંકેત પરાવર્તન પછી $C$ પર પહોંચે તે માટે,$B$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવું જરૂરી છે. તેથી,આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
$\theta > \theta_C \Rightarrow 45^{\circ} > \theta_C \Rightarrow \sin 45^{\circ} > \sin \theta_C$
કારણ કે $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu} \Rightarrow \mu > \sqrt{2}$.
કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,તેથી $\mu = \frac{c}{v}$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $\frac{c}{v} > \sqrt{2} \Rightarrow v < \frac{c}{\sqrt{2}}$.
$v < \frac{3 \times 10^8}{1.414} \approx 2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $2.4 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ $2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$ કરતા વધારે છે,તેથી તે શક્ય નથી.

(A) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તન કોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ છે,તેથી $i + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જે સૂચવે છે કે $r' = 90^{\circ} - i = 90^{\circ} - r$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઘટ્ટ માધ્યમનો પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin r}{\sin(90^{\circ} - r)} = \frac{\sin r}{\cos r} = \tan r$ મળે છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે,$\sin C = \frac{1}{\mu}$ થાય.
તેથી,$C = \sin^{-1}(\frac{1}{\tan r}) = \sin^{-1}(\cot r)$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે લંબથી દૂર જાય છે.
ધારો કે આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભૂતકોણ $r$ છે.
વિચલન $\delta$ એ $\delta = r - i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વક્રીભવન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ $(i < C)$.
જેમ જેમ $i$ એ $C$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ વક્રીભૂતકોણ $r$ એ $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયનની નજીક પહોંચે છે.
આમ,મહત્તમ વિચલન $\delta_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $i$ એ $C$ કરતા સહેજ ઓછો હોય અને $r$ એ $\frac{\pi}{2}$ કરતા સહેજ ઓછો હોય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\delta_{max} = \frac{\pi}{2} - C$.

(C) ધારો કે સ્ત્રોતની ઊંડાઈ $h = 4 \ m$ છે. પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $n = 5/3$ છે.
બધા પ્રકાશને રોકવા માટે,ડિસ્કે ક્રાંતિકોણ $C$ ને અનુરૂપ વિસ્તારને આવરી લેવો આવશ્યક છે.
ક્રાંતિકોણ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $n \sin C = 1 \times \sin 90^{\circ}$
$\sin C = 1/n = 1 / (5/3) = 3/5$
ભૂમિતિ મુજબ,$\tan C = r / h$,જ્યાં $r$ એ ડિસ્કની ત્રિજ્યા છે.
$\sin C = 3/5$ હોવાથી,$\cos C = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$
તેથી,$\tan C = \sin C / \cos C = (3/5) / (4/5) = 3/4$
આમ,$r / h = 3/4 \Rightarrow r = (3/4) \times 4 = 3 \ m$
ડિસ્કનો વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \ m$ થાય.