Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Gujarati

(D) સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક તફાવત $\Delta$ એ $\Delta = \frac{n_1 - n_2}{n_1} = 0.88\% = 0.0088$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને $1 - \frac{n_2}{n_1} = 0.0088$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_2}{n_1} = 1 - 0.0088 = 0.9912$.
કોર-ક્લેડિંગ ઇન્ટરફેસ પર ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ એ $\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\theta_c = \sin^{-1}(0.9912)$.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા,$\theta_c \approx 82.4^\circ$ મળે છે.
કારણ કે $82.4^\circ$ એ વિકલ્પો $60^\circ, 75^\circ, 45^\circ$ માં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઈબર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
$TIR$ થવા માટે,પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવું જરૂરી છે.
તેથી,કોરનો વક્રીભવનાંક $(\mu_1)$ એ ક્લેડિંગના વક્રીભવનાંક $(\mu_2)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $\mu_1 > \mu_2$.
આ શરત એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે પ્રકાશ કોરની અંદર જ રહે,જેથી લીકેજ અને સિગ્નલનો વ્યય ન્યૂનતમ થાય.

(C) ઓપ્ટિકલ ફાઈબરમાં,પ્રકાશ તેના કોર (core) અને ક્લેડિંગ (cladding) વચ્ચેના આંતરપૃષ્ઠ પર વારંવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવીને મુસાફરી કરે છે. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે કોરનો વક્રીભવનાંક ક્લેડિંગ કરતા વધારે હોય છે અને પ્રકાશ આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય તે રીતે આપાત થાય છે.

(B) એક્સેપ્ટન્સ એંગલ $\theta_a$ એ મહત્તમ ખૂણો છે જે પ્રકાશનું કિરણ ઓપ્ટિકલ ફાઈબરની અક્ષ સાથે બનાવી શકે છે અને તેમ છતાં તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન દ્વારા કોરમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
એર-કોર ઈન્ટરફેસ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ કરતા: $1 \cdot \sin \theta_a = n_1 \cdot \sin \theta_r$,જ્યાં $\theta_r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $\theta_i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ જેટલો અથવા તેનાથી વધુ હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin \theta_c = n_2/n_1$.
કારણ કે $\theta_r + \theta_i = 90^\circ$,તેથી $\sin \theta_r = \cos \theta_i = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_i} = \sqrt{1 - (n_2/n_1)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin \theta_a = n_1 \cdot \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
તેથી,$\theta_a = \sin^{-1}\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.

(D) આપેલ છે: કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = \sqrt{2}$,હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu_a = 1$,અને આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$.
કાચ-હવા સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu_g \sin(i) = \mu_a \sin(r)$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} \sin(45^{\circ}) = 1 \cdot \sin(r)$.
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી: $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(r)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $1 = \sin(r)$,જેનો અર્થ છે કે $r = 90^{\circ}$.
વક્રીભવન કોણ $90^{\circ}$ હોવાથી,કિરણ કાચના બ્લોકની સપાટીને સ્પર્શીને (grazing) બહાર નીકળશે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે. હીરાનો વક્રીભવનાંક ખૂબ ઊંચો $(n \approx 2.42)$ હોય છે. આ ઊંચા વક્રીભવનાંકને કારણે,હીરા અને હવા વચ્ચેના આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ ખૂબ જ નાનો (આશરે $24.4^\circ$) હોય છે. જ્યારે પ્રકાશ કાપેલા હીરામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે વારંવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે કારણ કે આપાતકોણ ઘણીવાર આ નાના ક્રાંતિકોણ કરતા વધી જાય છે. આ વારંવાર થતા આંતરિક પરાવર્તનને કારણે હીરો ચમકે છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે તે લંબથી દૂર જાય છે.
જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હોય $(i < C)$,તો પ્રકાશ હવામાં વક્રીભવન પામે છે.
જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય $(i > C)$,તો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે અને પ્રકાશ પાણીમાં જ પાછો ફરે છે.
પુલની બહારની વ્યક્તિને સંકેત આપવા માટે,ડાઇવરે એ સુનિશ્ચિત કરવું જોઈએ કે પ્રકાશ હવામાં વક્રીભવન પામે,જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા થોડો ઓછો હોય.

(D) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને ક્રાંતિકોણ $C$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu$ જાંબલી રંગના પ્રકાશ માટે મહત્તમ હોવાથી (વિક્ષેપનને કારણે,$\mu_v > \mu_r$),$\sin C$ નું મૂલ્ય જાંબલી રંગ માટે ન્યૂનતમ બને છે.
પરિણામે,ક્રાંતિકોણ $C = \arcsin(1/\mu)$ જાંબલી રંગ માટે ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ તે માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $n = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બે માધ્યમો $x$ અને $y$ માટે,$y$ ની સાપેક્ષે $x$ નો સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $n_{xy} = \frac{n_x}{n_y} = \frac{\lambda_y}{\lambda_x}$ થાય છે.
અહીં $\lambda_x = 3500 \ \mathring{A}$ અને $\lambda_y = 7000 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવો જોઈએ,તેથી ઘટ્ટ માધ્યમ $x$ (નાની તરંગલંબાઈ) અને પાતળું માધ્યમ $y$ (મોટી તરંગલંબાઈ) છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\sin C = \frac{n_y}{n_x} = \frac{\lambda_x}{\lambda_y}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\sin C = \frac{3500}{7000} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$.

(C) જ્યારે માછલી પાણીની સપાટીની નીચેથી ઉપર જુએ છે,ત્યારે તે પ્રકાશના શંકુ દ્વારા બહારની આખી દુનિયા જોઈ શકે છે.
આ ઘટના હવામાંથી પાણીમાં આવતા પ્રકાશના કિરણોના વક્રીભવનને કારણે થાય છે.
સપાટી પરથી માછલીની આંખ સુધી પહોંચતા પ્રકાશના કિરણો ક્રાંતિકોણ $c$ દ્વારા મર્યાદિત હોય છે.
ક્રાંતિકોણ $c$ કરતા મોટા ખૂણે આપાત થતું કોઈપણ પ્રકાશનું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે અને બહારથી માછલી સુધી પહોંચતું નથી.
પ્રકાશના શંકુની ભૂમિતિ પરથી,માછલીની આંખ પર શંકુ દ્વારા બનતો કુલ કોણીય વિસ્તાર $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\theta = 2c$.
આપેલ છે કે ક્રાંતિકોણ $c = 49^\circ$,તેથી $\theta = 2 \times 49^\circ = 98^\circ$.

(B) શૂન્યાવકાશની સાપેક્ષમાં માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ અને ક્રાંતિકોણ $C$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu = \frac{1}{\sin C}$.
અહીં $C = 30^o$ આપેલ છે,તેથી $\mu = \frac{1}{\sin 30^o} = \frac{1}{0.5} = 2$.
માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v$ એ $v = \frac{c}{\mu}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે.
તેથી,$v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{2} = 1.5 \times 10^8 \ m/s$.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તન કોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ પરસ્પર લંબ છે,તેથી પરાવર્તન કોણ $r$,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$ અને વક્રીભવન કોણ $r'$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આમ,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જે સૂચવે છે કે $r' = 90^{\circ} - r$. કારણ કે $i = r$,તેથી $r' = 90^{\circ} - i$.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા,પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin r'}{\sin i}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $C$ એ વક્રીભવનાંક સાથે $\sin C = \frac{1}{\mu}$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$\sin C = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
આમ,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(\tan i)$ થશે.

(A) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > C$.
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા,આપણને $\sin i > \sin C$ મળે છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત અસમતામાં મૂકીએ.
તેથી,$\sin i > \frac{1}{\mu}$.
આ અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{\sin i} < \mu$ મળે છે.

(D) પ્રકાશનું સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$Air$ (હવા) ની સાપેક્ષમાં $Water$ (પાણી) એ ઘટ્ટ માધ્યમ છે.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશ $Water$ માંથી $Air$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે જો આપાતકોણનું મૂલ્ય ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય,તો સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન શક્ય છે.

(B) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન એ એક એવી ઘટના છે જેમાં આપાત કિરણ બે માધ્યમોની સપાટી પર સંપૂર્ણ પરાવર્તન અનુભવે છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે જરૂરી શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(i > i_c)$.
જ્યારે $i < i_c$ હોય,ત્યારે પ્રકાશ પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભવન પામે છે. જ્યારે $i = i_c$ હોય,ત્યારે પ્રકાશ સપાટીને સમાંતર $90^{\circ}$ ના ખૂણે વક્રીભવન પામે છે. જ્યારે $i > i_c$ હોય,ત્યારે પ્રકાશ પાછો ઘટ્ટ માધ્યમમાં પરાવર્તિત થાય છે,જેને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન કહેવામાં આવે છે.

(C) જ્યારે ડાઇવર પાણીની અંદરથી ઉપર જુએ છે,ત્યારે આકાશમાંથી આવતો પ્રકાશ પાણીમાં પ્રવેશે છે અને તેનું વક્રીભવન થાય છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટનાને કારણે,ડાઇવર આકાશને પ્રકાશના શંકુમાં જુએ છે.
આ શંકુનો અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો એ પાણી-હવા સપાટી માટેના ક્રાંતિકોણ $(C)$ જેટલો હોય છે.
ક્રાંતિકોણનું સૂત્ર $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ હવાના સાપેક્ષ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે $\mu = 4/3$,તેથી $\sin(C) = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
આમ,અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $C = \sin^{-1}(3/4)$ થાય છે.

(C) ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણ તરીકે કરવામાં આવે છે,જેના માટે પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભવનકોણ બરાબર $90^o$ હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે જેમ જેમ આપાતકોણ વધે છે,તેમ તેમ વક્રીભવનકોણ પણ વધે છે.
આપાતકોણના એક ચોક્કસ મૂલ્ય પર,જેને ક્રાંતિકોણ $(i_c)$ કહેવામાં આવે છે,વક્રીભૂત કિરણ બંને માધ્યમોની આંતર સપાટી પરથી પસાર થાય છે,જેનાથી વક્રીભવનકોણ $r = 90^o$ બને છે.

(D) ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{1}{\sin C}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે વક્રીભવનાંક $\mu = 2$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $2 = \frac{1}{\sin C}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin C = \frac{1}{2}$.
તેથી,$C = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.

(D) પાણીમાં રહેલો હવાનો પરપોટો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટનાને કારણે ચમકે છે.
જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધી જાય તો તેનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
હવાના પરપોટાની અંદર પ્રકાશની ઝડપ પાણી કરતા વધારે હોવાથી,પરપોટાની સપાટી પાણીમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો માટે પરાવર્તક સપાટી તરીકે કાર્ય કરે છે.
આના કારણે પ્રકાશ પરપોટા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,જેનાથી તે અમુક ખૂણેથી તેજસ્વી અથવા અરીસા જેવો દેખાય છે.

(C) ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $C = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ છે.
લાલ પ્રકાશ માટે,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu_{\lambda_1}}\right)$ અને પીળા પ્રકાશ માટે,$\theta' = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu_{\lambda_2}}\right)$ છે.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઓછી હોવાથી $(\lambda_2 < \lambda_1)$,પીળા પ્રકાશનો વક્રીભવનાંક લાલ પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે $(\mu_{\lambda_2} > \mu_{\lambda_1})$.
જેથી $\mu_{\lambda_2} > \mu_{\lambda_1}$ હોવાથી,$\frac{1}{\mu_{\lambda_2}} < \frac{1}{\mu_{\lambda_1}}$ થાય.
તેથી,$\theta' < \theta$. આમ,પીળા પ્રકાશ માટેનો ક્રાંતિકોણ $\theta$ કરતા ઓછો હશે.

(C) મૃગજળ એ ગરમ રણ અથવા ગરમ રસ્તાઓ પર જોવા મળતી એક દ્રશ્ય ભ્રમણા છે.
તે પ્રકાશના પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે થાય છે.
જેમ જેમ પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (જમીન પાસેની ઠંડી હવા) માંથી પાતળા માધ્યમ (ઉપરની ગરમ હવા) માં ગતિ કરે છે,તેમ હવાનો વક્રીભવનાંક સતત બદલાતો રહે છે.
જ્યારે આપાતકોણ હવાના સ્તરો વચ્ચેના ક્રાંતિકોણ કરતા વધી જાય છે,ત્યારે પ્રકાશનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે,જેનાથી દૂરની વસ્તુઓનું ઉલટું પ્રતિબિંબ રચાય છે.

(D) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $(i)$ એ ક્રાંતિકોણ $(C)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$i > C$
બંને બાજુ સાઈન લેતા,આપણને મળે $\sin i > \sin C$.
આપેલ છે કે $i = 45^\circ$,તેથી $\sin 45^\circ > \frac{1}{n}$.
કારણ કે $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અસમતા આ મુજબ બનશે: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $n > \sqrt{2}$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,આપણને $n > 1.414$ ની જરૂર છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $(a)$ $1.3 < 1.414$ (ખોટું).
વિકલ્પ $(b)$ $1.6 > 1.414$ (સાચું).
વિકલ્પ $(c)$ $1.5 > 1.414$ (સાચું).
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને $n$ માટે શક્ય મૂલ્યો છે.

(C) ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માં આપાતકોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેના માટે પાતળા માધ્યમ (હવા) માં વક્રીભૂતકોણ $90^{\circ}$ હોય છે.
આ ચોક્કસ આપાતકોણ પર,વક્રીભૂત કિરણ બંને માધ્યમો વચ્ચેની સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે,જે અસરકારક રીતે કાચ-હવાની સીમા પર ગતિ કરે છે.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન એ એક શક્તિશાળી પ્રક્રિયા છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ પ્રકાશને મર્યાદિત કરવા માટે થઈ શકે છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની સૌથી સામાન્ય એપ્લિકેશન ફાઇબર ઓપ્ટિક્સમાં છે.
ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ એક પાતળો,પારદર્શક ફાઇબર છે,જે સામાન્ય રીતે કાચ અથવા પ્લાસ્ટિકનો બનેલો હોય છે,જેનો ઉપયોગ પ્રકાશના પ્રસારણ માટે થાય છે.
જો પ્રકાશ કેબલના છેડે આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય તે રીતે આપાત થાય,તો પ્રકાશ વારંવાર થતા પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે કાચના તારની અંદર જ ફસાયેલો રહે છે.
આ રીતે,પ્રકાશ કેબલની લંબાઈ સાથે ખૂબ જ લાંબા અંતર (દસ કિલોમીટર) સુધી તીવ્રતાના નોંધપાત્ર ઘટાડા વિના ખૂબ જ ઝડપથી મુસાફરી કરે છે.

(A) ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માંથી પાતળા માધ્યમ (પાણી) માં જતા પ્રકાશના કિરણ માટે ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર: $\sin C = \frac{\mu_{\text{patlu}}}{\mu_{\text{ghatt}}}$.
અહીં,પાણીનો વક્રીભવનાંક (પાતળું માધ્યમ) $\mu_w = 4/3$ છે અને કાચનો વક્રીભવનાંક (ઘટ્ટ માધ્યમ) $\mu_g = 5/3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin C = \frac{4/3}{5/3} = \frac{4}{5}$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(4/5)$ થશે.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$Glass$ $(n \approx 1.5)$ એ $Water$ $(n \approx 1.33)$ ની સરખામણીમાં ઘટ્ટ માધ્યમ છે.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશ $Glass$ માંથી $Water$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન શક્ય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ હવામાં પ્રકાશનો વેગ છે અને $v$ એ માધ્યમમાં વેગ છે.
આપેલ છે કે $v = \frac{c}{2}$,તેથી $\mu = \frac{c}{c/2} = 2$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $c_{angle}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $\sin(c_{angle}) = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$c_{angle} = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.
તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે આપાતકોણ $30^o$ કે તેથી વધુ હોવો જોઈએ.

(C) ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માંથી પાતળા માધ્યમ (પાણી) માં જતા પ્રકાશના કિરણ માટે ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$sin(C) = \frac{\mu_{\text{પાતળું}}}{\mu_{\text{ઘટ્ટ}}}$
આપેલ છે:
કાચનો વક્રીભવનાંક, $\mu_g = 3/2$
પાણીનો વક્રીભવનાંક, $\mu_w = 4/3$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$sin(C) = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$
તેથી, $C = sin^{-1}(8/9)$.

(A) ક્રાંતિકોણ $C$ એ સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ હવાના સાપેક્ષમાં માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w \approx 1.33$ અને કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g \approx 1.50$ હોવાથી,આપણી પાસે $\mu_w < \mu_g$ છે.
કારણ કે $C = \arcsin(\frac{1}{\mu})$,તેથી નાનો વક્રીભવનાંક મોટા ક્રાંતિકોણ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$C_w > C_g$ થાય છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને ક્રાંતિકોણ $C$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = \frac{1}{\sin C}$.
અહીં આપેલ છે કે ક્રાંતિકોણ $C = 30^o$ છે.
સૂત્રમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{1}{\sin 30^o}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^o = 0.5$ અથવા $\frac{1}{2}$ થાય છે,તેથી:
$\mu = \frac{1}{1/2} = 2$.
આમ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $2$ છે.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ કાચ અથવા પ્લાસ્ટિકના પાતળા તાર છે જે પ્રકાશ માટે વેવગાઇડ તરીકે કાર્ય કરે છે।
તેઓ $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે।
કારણ કે તેઓ ન્યૂનતમ સિગ્નલ લોસ સાથે લાંબા અંતર સુધી મોટી માત્રામાં ડેટા ટ્રાન્સમિટ કરી શકે છે, તેથી તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ટેલિકોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં પ્રકાશના પલ્સના સ્વરૂપમાં માહિતી મોકલવા માટે થાય છે।
તેથી, ઓપ્ટિકલ ફાઇબર મૂળભૂત રીતે કોમ્યુનિકેશન ટેકનોલોજી સાથે સંબંધિત છે।

(D) $ (d) $ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે કિરણ એવા માધ્યમની સપાટી પર આપાત થાય જેનો વક્રીભવનાંક તે માધ્યમ કરતા ઓછો હોય જેમાં કિરણ ગતિ કરી રહ્યું છે.
હવાનો વક્રીભવનાંક $ 1.00029 $ છે અને હીરાનો વક્રીભવનાંક $ 2.42 $ હોવાથી,હીરા-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ હીરામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેના વિશિષ્ટ કટીંગને કારણે તે અનેકવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે,જે હીરાની ચમકનું મુખ્ય કારણ છે.

(D) આપેલ વિકલ્પ $D$ મુજબ,ગણતરી કરતા સમય $t = 3.85 \ \mu s$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે બીજા માધ્યમમાં વેગ $(v_2)$ એ પ્રથમ માધ્યમ $(v_1)$ કરતા બમણો છે,તેથી $v_2 = 2v_1$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\mu = c/v)$,વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1} = 2$ થાય.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય. અહીં,$\mu_1 > \mu_2$ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin C = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. આમ,$i > 30^o$.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે. ઓપ્ટિકલ ફાઈબર માહિતીને વિદ્યુત પ્રવાહને બદલે પ્રકાશના તરંગોના સ્વરૂપમાં પ્રસારિત કરે છે. તે ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થો (કાચ અથવા પ્લાસ્ટિક) ના બનેલા હોવાથી,તેઓ વીજળીનું વહન કરતા નથી. તેથી,તેઓ પાવર લાઇન અથવા રેડિયો ફ્રીક્વન્સી સિગ્નલ જેવા બાહ્ય સ્ત્રોતોમાંથી આવતા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક હસ્તક્ષેપ $(EMI)$ થી મુક્ત છે. વિધાન $A$,$B$,અને $D$ એ ઓપ્ટિકલ ફાઈબરની સાચી લાક્ષણિકતાઓ છે.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને ક્રાંતિકોણ $C$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu = 1/\sin(C)$.
અહીં આપેલ છે કે ક્રાંતિકોણ $C = 60^o$ છે.
સૂત્રમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા: $\mu = 1/\sin(60^o)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(60^o) = \sqrt{3}/2$,તેથી $\mu = 1 / (\sqrt{3}/2) = 2/\sqrt{3}$.
આમ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $2/\sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ છે કે હવા સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે. ક્રાંતિકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{1}{\sin \theta}$ .....$(i)$.
હવે,જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ હવામાંથી કાચમાં જાય છે,ત્યારે સ્નેલના નિયમ મુજબ $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
અહીં,આપાતકોણ $i = \theta$ છે,તેથી $\mu = \frac{\sin \theta}{\sin r}$.
$\sin r$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\sin r = \frac{\sin \theta}{\mu}$ .....$(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\mu$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sin r = \frac{\sin \theta}{(1/\sin \theta)} = \sin^2 \theta$.
કારણ કે $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\sin r = \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = \frac{1}{\mu^2}$.
આમ,વક્રીભવનકોણ $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu^2}\right)$ થશે.

(A) ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $C = \sin^{-1}(1/\mu)$ છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે,$\mu \propto 1/\lambda$).
પીળા,નારંગી અને લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હોવાથી,તેમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ ઓછો હશે.
પરિણામે,આ રંગો માટે ક્રાંતિકોણ $C$ નું મૂલ્ય લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હશે.
જો લીલો પ્રકાશ માત્ર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામતો હોય (એટલે કે આપાતકોણ એ લીલા પ્રકાશ માટેના ક્રાંતિકોણ જેટલો હોય),તો જે રંગો માટે ક્રાંતિકોણ વધારે છે (પીળો,નારંગી,લાલ),તેમના માટે આપાતકોણ તેમના સંબંધિત ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હશે.
તેથી,પીળા,નારંગી અને લાલ કિરણો વક્રીભવન પામીને હવામાં બહાર આવશે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $C = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{\mu }} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ક્રાંતિકોણ ${i_B} > {i_A}$,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભવનાંક ${\mu _B} < {\mu _A}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ $B$ એ પ્રકાશીય રીતે પાતળું માધ્યમ છે અને પદાર્થ $A$ એ પ્રકાશીય રીતે ઘટ્ટ માધ્યમ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે. તેથી,જ્યારે પ્રકાશ $A$ થી $B$ માં જાય ત્યારે તેનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થઈ શકે છે. આમ,વિધાન $(ii)$ સાચું છે.
હવે,$A$ અને $B$ વચ્ચેના સંપર્ક સપાટી માટેનો ક્રાંતિકોણ ${C_{AB}} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{{\mu _B}}}{{{\mu _A}}}} \right)$ છે.
કારણ કે $\sin {i_A} = \frac{1}{{{\mu _A}}}$ અને $\sin {i_B} = \frac{1}{{{\mu _B}}}$,તેથી ${\mu _A} = \frac{1}{{\sin {i_A}}}$ અને ${\mu _B} = \frac{1}{{\sin {i_B}}}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને ${C_{AB}} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{1/\sin {i_B}}}{{1/\sin {i_A}}}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin {i_A}}}{{\sin {i_B}}}} \right)$ મળે છે. આમ,વિધાન $(iv)$ પણ સાચું છે.

(B) બિંદુ $A$ પર,સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot \sin(45^{\circ}) = \mu \cdot \sin(r)$
$\sin(r) = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$ .....$(i)$
બિંદુ $B$ પર,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $i_1$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$i_1 = 90^{\circ} - r$.
લઘુત્તમ વક્રીભવનાંક માટે,આપણે $i_1 = C$ લઈએ,તેથી $\sin(90^{\circ} - r) = \sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
$\cos(r) = \frac{1}{\mu}$ .....$(ii)$
નિત્યસમ $\sin^2(r) + \cos^2(r) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{1}{\mu\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$3 = 2\mu^2$
$\mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(B) માધ્યમ $(ii)$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $(i)$ નો વક્રીભવનાંક નીચે મુજબ મળે છે: $_2\mu_1 = \frac{1}{\sin \theta}$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી,$\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1}$ થાય.
આ કિંમત ક્રાંતિકોણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{\sin \theta}$.
અહીં માધ્યમ $(i)$ માં ઝડપ $v_1 = v$ આપેલ છે,તેથી: $\frac{v_2}{v} = \frac{1}{\sin \theta}$.
આમ,માધ્યમ $(ii)$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v_2 = \frac{v}{\sin \theta}$ થશે.

(C) હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $v_1 = \frac{x}{t_1}$ છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v_2 = \frac{10x}{t_2}$ છે.
હવાની સાપેક્ષે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{v_1}{v_2} = \frac{x/t_1}{10x/t_2} = \frac{t_2}{10t_1}$ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે.
તેથી,$\sin C = \frac{1}{t_2 / (10t_1)} = \frac{10t_1}{t_2}$.
આમ,$C = \sin^{-1}\left(\frac{10t_1}{t_2}\right)$.

(A) હવાની સાપેક્ષમાં માધ્યમના ક્રાંતિકોણ $C$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
અહીં આપેલ છે કે ક્રાંતિકોણ $C = 45^o$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\sin 45^o = \frac{1}{\mu}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\mu}$.
આમ,$\mu = \sqrt{2}$.
ગણતરી કરતા,$\mu \approx 1.414$,જે આશરે $1.41$ થાય છે.

(C) એન્ડોસ્કોપ શરીરમાં પ્રકાશ મોકલવા અને બહાર લાવવા માટે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરનો ઉપયોગ કરે છે.
આ ઓપ્ટિકલ ફાઈબર $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ એટલે કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે।
જ્યારે પ્રકાશ ફાઈબરમાં ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે દાખલ થાય છે, ત્યારે તે તીવ્રતાના નોંધપાત્ર નુકસાન વિના ફાઈબરની લંબાઈ સાથે અનેક પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનો અનુભવે છે।
આનાથી ચિકિત્સક આંતરિક અંગોની સ્પષ્ટ છબીઓ જોઈ શકે છે।

(B) ક્રાંતિકોણ $C$ એ આપાતકોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જેના માટે વક્રીભૂતકોણ $90^o$ હોય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનના સંદર્ભમાં,જ્યારે કિરણ ક્રાંતિકોણે આપાત થાય છે,ત્યારે વક્રીભૂત કિરણ માધ્યમની સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂતકોણ $90^o$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં જણાવેલ છે કે લંબરૂપે આપાત થતું કિરણ $90^o$ ના ખૂણે પરાવર્તિત થાય છે. આ વાક્યરચના ભૌતિક રીતે અસ્પષ્ટ છે કારણ કે લંબ આપાતકોણનો અર્થ $0^o$ નો આપાતકોણ થાય છે.
આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત અર્થઘટન મુજબ જ્યાં ક્રાંતિકોણ પર વક્રીભવન $90^o$ થાય છે,તેથી ક્રાંતિકોણ $C$ એ સ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યાં વક્રીભૂતકોણ $90^o$ હોય.
તેથી,ક્રાંતિકોણનું મૂલ્ય $90^o$ છે.

(B) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
આ ઘટના થવા માટે બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવો જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ એ આપેલ માધ્યમોની જોડી માટે ક્રાંતિકોણ $(C)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
જ્યારે $i > C$ હોય,ત્યારે પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે ઘટ્ટ માધ્યમમાં પાછો ફેંકાય છે,જેને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન કહેવામાં આવે છે.

(D) બહારની દુનિયામાંથી આવતો પ્રકાશ પાણીમાં પ્રવેશે છે અને વક્રીભવન પામે છે. માછલી બહારની દુનિયાને પ્રકાશના એક વર્તુળાકાર શંકુમાં જુએ છે,જે ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વર્તુળાકાર ક્ષિતિજની ત્રિજ્યા $r$ એ સૂત્ર $r = h \tan(\theta_c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ માછલીની ઊંડાઈ છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ માટે $\sin(\theta_c) = \frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$ થાય.
નિત્યસમ $\tan(\theta_c) = \frac{\sin(\theta_c)}{\cos(\theta_c)} = \frac{\sin(\theta_c)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan(\theta_c) = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = 12 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \ cm$ મળે.