$(a)$ दो लेंसों के संयोजन की 'प्रभावी फोकस दूरी' ज्ञात कीजिए,जिसमें $30 \; cm$ फोकस दूरी वाला एक उत्तल लेंस और $20 \; cm$ फोकस दूरी वाला एक अवतल लेंस है,यदि उन्हें उनकी मुख्य अक्षों को संपाती रखते हुए $8.0 \; cm$ की दूरी पर रखा गया है। क्या उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि समांतर प्रकाश किरणें संयोजन के किस ओर से आपतित होती हैं? क्या इस प्रणाली के लिए प्रभावी फोकस दूरी की अवधारणा उपयोगी है?
$(b)$ उपरोक्त $(a)$ की व्यवस्था में उत्तल लेंस की ओर $1.5 \; cm$ आकार की एक वस्तु रखी गई है। वस्तु और उत्तल लेंस के बीच की दूरी $40 \; cm$ है। दो-लेंस प्रणाली द्वारा उत्पन्न आवर्धन और प्रतिबिंब का आकार ज्ञात कीजिए।

(N/A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी,$f_{1} = 30 \; cm$.
अवतल लेंस की फोकस दूरी,$f_{2} = -20 \; cm$.
दोनों लेंसों के बीच की दूरी,$d = 8.0 \; cm$.
$(a)$ जब समांतर प्रकाश किरणें पहले उत्तल लेंस पर आपतित होती हैं:
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u_{1}} = \frac{1}{f_{1}}$ में $u_{1} = -\infty$ रखने पर,$v_{1} = f_{1} = 30 \; cm$ प्राप्त होता है।
यह प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। दूरी $u_{2} = v_{1} - d = 30 - 8 = 22 \; cm$.
अवतल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{22} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{22} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{220}$.
अतः,$v_{2} = -220 \; cm$. समांतर किरणें संयोजन के केंद्र से $220 - 4 = 216 \; cm$ दूर एक बिंदु से अपसरित होती प्रतीत होती हैं।
जब समांतर किरणें पहले अवतल लेंस पर आपतित होती हैं:
$\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$ में $u_{2} = -\infty$ रखने पर,$v_{2} = f_{2} = -20 \; cm$ प्राप्त होता है।
यह प्रतिबिंब उत्तल लेंस के लिए वास्तविक वस्तु के रूप में कार्य करता है। दूरी $u_{1} = -(20 + 8) = -28 \; cm$.
उत्तल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{-28} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{28} = -\frac{1}{420}$.
अतः,$v_{1} = -420 \; cm$. समांतर किरणें केंद्र से $420 - 4 = 416 \; cm$ दूर एक बिंदु से अपसरित होती प्रतीत होती हैं।
चूंकि परिणाम भिन्न हैं,इसलिए इस प्रणाली के लिए प्रभावी फोकस दूरी की अवधारणा उपयोगी नहीं है।
$(b)$ उत्तल लेंस के लिए,$u_{1} = -40 \; cm, f_{1} = 30 \; cm$. $\frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{120} \implies v_{1} = 120 \; cm$.
आवर्धन $m_{1} = \frac{v_{1}}{u_{1}} = \frac{120}{-40} = -3$.
अवतल लेंस के लिए,$u_{2} = 120 - 8 = 112 \; cm, f_{2} = -20 \; cm$. $\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{112} = -\frac{92}{2240} \implies v_{2} \approx -24.35 \; cm$.
आवर्धन $m_{2} = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{-2240/92}{112} = -\frac{20}{92} \approx -0.217$.
कुल आवर्धन $m = m_{1} \times m_{2} = (-3) \times (-0.217) = 0.652$.
प्रतिबिंब का आकार $h_{2} = m \times h_{1} = 0.652 \times 1.5 = 0.978 \; cm \approx 0.98 \; cm$.