Combination of Lenses Questions in Hindi

(B) दूरी पर स्थित दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
यहाँ,$f_1$ उत्तल लेंस की फोकस दूरी (धनात्मक) है और $f_2$ अवतल लेंस की फोकस दूरी (ऋणात्मक) है।
जब लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो दूरी $d = 0$ हो जाती है।
सूत्र में $d = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
चूंकि $f_1 > 0$ और $f_2 < 0$,मान लीजिए $f_1 = f$ और $f_2 = -f'$ (जहाँ $f, f' > 0$ है)।
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f'}$
जब लेंसों को अलग स्थिति से संपर्क में लाया जाता है,तो $-\frac{d}{f_1 f_2}$ पद (जो ऋणात्मक था क्योंकि $f_1 f_2 < 0$) हट जाता है। परिणामस्वरूप,संयोजन की फोकस दूरी अलग स्थिति की तुलना में बढ़ जाती है।

(A) दूरी से अलग किए गए दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $(F)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
यहाँ $f_1 = 0.2 \,m$,$f_2 = 0.2 \,m$ और $d = 0.5 \,m$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} - \frac{0.5}{(0.2)(0.2)}$
$\frac{1}{F} = 5 + 5 - \frac{0.5}{0.04}$
$\frac{1}{F} = 10 - 12.5$
$\frac{1}{F} = -2.5$
अतः,$F = -\frac{1}{2.5} = -0.4 \,m$.

(D) जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
दिखाई गई तीनों स्थितियों में,हमारे पास दो समतल-उत्तल लेंस हैं,जिनमें से प्रत्येक की फोकस दूरी $f$ है। जब उन्हें संपर्क में रखा जाता है,तो यह संयोजन एक एकल लेंस प्रणाली के रूप में कार्य करता है।
स्थिति $(i)$: दोनों लेंस अपनी वक्र सतहों के साथ एक ही दिशा में संपर्क में हैं। प्रभावी फोकस दूरी $\frac{1}{F_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ है,इसलिए $F_1 = \frac{f}{2}$।
स्थिति $(ii)$: दोनों लेंस संपर्क में आकर एक द्वि-उत्तल लेंस बनाते हैं। प्रभावी फोकस दूरी $\frac{1}{F_2} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ है,इसलिए $F_2 = \frac{f}{2}$।
स्थिति $(iii)$: दोनों लेंस अपनी वक्र सतहों के साथ एक-दूसरे के सामने संपर्क में हैं। प्रभावी फोकस दूरी $\frac{1}{F_3} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ है,इसलिए $F_3 = \frac{f}{2}$।
अतः,उनकी प्रभावी फोकस दूरियों का अनुपात $F_1 : F_2 : F_3 = \frac{f}{2} : \frac{f}{2} : \frac{f}{2} = 1 : 1 : 1$ है।

(C) दिया गया है कि दो पतले लेंसों की शक्तियों का योग $P_1 + P_2 = 9 \text{ D}$ है।
जब उन्हें $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ की दूरी पर रखा जाता है,तो समतुल्य शक्ति $P$ का सूत्र है:
$P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{27}{5} = 9 - 0.2 \times P_1 P_2$
$5.4 = 9 - 0.2 \times P_1 P_2$
$0.2 \times P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$
हमारे पास $P_1 + P_2 = 9$ और $P_1 P_2 = 18$ है। द्विघात समीकरण $x^2 - (P_1+P_2)x + P_1 P_2 = 0$ का रूप $x^2 - 9x + 18 = 0$ हो जाता है।
इसे हल करने पर,$(x-3)(x-6) = 0$,अतः $x = 3$ या $x = 6$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,व्यक्तिगत शक्तियाँ $3 \text{ D}$ और $6 \text{ D}$ हैं।

(B) दिया गया है: उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_{1} = 30 \,cm$, अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_{2} = -20 \,cm$, और प्रारंभिक प्रतिबिंब का आकार $h_{o} = 2 \,cm$.
चूंकि वस्तु अनंत पर है, उत्तल लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब उसके फोकस पर बनता है, $v_{1} = 30 \,cm$.
अवतल लेंस को उत्तल लेंस से $26 \,cm$ की दूरी पर रखा गया है। अतः, उत्तल लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु का कार्य करता है।
अवतल लेंस से इस आभासी वस्तु की दूरी $u_{2} = v_{1} - 26 = 30 - 26 = 4 \,cm$ है।
अवतल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20}$.
$\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
अतः, $v_{2} = 5 \,cm$.
अवतल लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $m = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{5}{4} = 1.25$.
प्रतिबिंब का नया आकार $h_{i} = m \times h_{o} = 1.25 \times 2 \,cm = 2.5 \,cm$।

(C) संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की क्षमता $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P_1 = -1.75 D$ और $P_2 = +2.25 D$ दिया गया है।
इसलिए,$P = -1.75 + 2.25 = 0.5 D$।
फोकस दूरी $f$ और क्षमता $P$ के बीच संबंध $f = \frac{1}{P}$ (मीटर में) है।
$f = \frac{1}{0.5} = 2 \,m$।
चूंकि $1 \,m = 100 \,cm$,इसलिए $f = 2 \times 100 = 200 \,cm$।

(D) माना कि दो लेंसों की फोकस दूरियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं।
जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
यहाँ $F = 4 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{4}$।
इसे सरल करने पर $\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
हमें $f_1 + f_2 = 18 \ cm$ दिया गया है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{18}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$,जिससे $f_1 f_2 = 72 \ cm^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हमारे पास योग $f_1 + f_2 = 18$ और गुणनफल $f_1 f_2 = 72$ है।
ये मान द्विघात समीकरण $x^2 - 18x + 72 = 0$ के मूल हैं।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 6)(x - 12) = 0$।
अतः,लेंसों की फोकस दूरियाँ $6 \ cm$ और $12 \ cm$ हैं।
शक्ति $P$ फोकस दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(P = \frac{1}{f})$।
जिस लेंस की शक्ति कम होगी,उसकी फोकस दूरी अधिक होगी।
इसलिए,कम शक्ति वाले लेंस की फोकस दूरी $12 \ cm$ है।

(C) अवतल लेंस के लिए:
$u = -30 \ cm$,$f = -20 \ cm$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3-2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$
$v = -12 \ cm$ (प्रतिबिंब अवतल लेंस के बाईं ओर $12 \ cm$ पर बनता है)।
उत्तल लेंस के लिए:
अवतल लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब उत्तल लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है।
दोनों लेंसों के बीच की दूरी $5 \ cm$ है।
$u = -(12 + 5) = -17 \ cm$,$f = +10 \ cm$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-17} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{17} = \frac{17 - 10}{170} = \frac{7}{170}$
$v = \frac{170}{7} \approx 24.29 \ cm$ उत्तल लेंस के दाईं ओर।
चूंकि उत्तल लेंस अवतल लेंस के दाईं ओर $5 \ cm$ पर स्थित है,इसलिए अवतल लेंस से अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति $24.29 + 5 = 29.29 \ cm$ (दाईं ओर) होगी।

(C) दो लेंसों की प्रणाली से प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज के समानांतर बाहर निकलने के लिए, पहले लेंस का दूसरा मुख्य फोकस और दूसरे लेंस का पहला मुख्य फोकस एक ही बिंदु पर स्थित होना चाहिए。
मान लीजिए $L_1$ एक अपसारी लेंस है जिसकी फोकस दूरी $f_1 = -15 \,cm$ है और $L_2$ एक अभिसारी लेंस है जिसकी फोकस दूरी $f_2$ है。
$L_1$ पर आपतित समानांतर किरण पुंज इसके मुख्य फोकस $F_1$ से अपसरित होती हुई प्रतीत होती है, जो $L_1$ के बाईं ओर $15 \,cm$ की दूरी पर है。
किरणों के $L_2$ से समानांतर बाहर निकलने के लिए, $L_2$ पर आपतित किरणें इसके मुख्य फोकस $F_2$ से आती हुई प्रतीत होनी चाहिए, जो $L_2$ के बाईं ओर उसकी फोकस दूरी $f_2$ के बराबर दूरी पर स्थित है。
प्रणाली की ज्यामिति के अनुसार, दो लेंसों के बीच की दूरी $d = 40 \,cm$ है。
मुख्य फोकस $F_1$, $L_1$ के बाईं ओर $15 \,cm$ पर है। इसलिए, $L_2$ से $F_1$ की दूरी $15 \,cm + 40 \,cm = 55 \,cm$ है。
चूंकि किरणों के समानांतर बाहर निकलने के लिए $F_1$ और $F_2$ को एक ही बिंदु पर होना चाहिए, इसलिए अभिसारी लेंस की फोकस दूरी $f_2 = 55 \,cm$ होगी。

(A) $\mu_1$ अपवर्तनांक और $R$ वक्रता त्रिज्या वाले समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f_1$ है: $1/f_1 = (\mu_1 - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu_1 - 1)/R$.
$\mu_2$ अपवर्तनांक और $R$ वक्रता त्रिज्या वाले समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2$ है: $1/f_2 = (\mu_2 - 1)(-1/\infty - 1/R) = -(\mu_2 - 1)/R$.
जब दोनों लेंसों को जोड़ा जाता है,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$ है।
मान रखने पर: $1/F = (\mu_1 - 1)/R - (\mu_2 - 1)/R = (\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1)/R = (\mu_1 - \mu_2)/R$.
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $F = R/(\mu_1 - \mu_2)$ होगी।

(D) दिया गया है:
पहले लेंस की विक्षेपण क्षमता,$\omega_1 = 0.45$.
दूसरे लेंस की विक्षेपण क्षमता,$\omega_2 = 0.21$.
दूसरे लेंस (उत्तल) की फोकस दूरी,$f_2 = 84 \,cm$.
संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के अवर्णक संयोजन के लिए शर्त इस प्रकार है:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
$\Rightarrow \frac{\omega_1}{f_1} = -\frac{\omega_2}{f_2}$
$\Rightarrow \frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{f_1}{84} = -\frac{0.45}{0.21}$
$f_1 = -\frac{45}{21} \times 84$
$f_1 = -\frac{45}{1} \times 4$
$f_1 = -180 \,cm$
अतः,आवश्यक लेंस की फोकस दूरी $-180 \,cm$ है.

(B) दिया गया है कि लेंस की शक्ति $P_1 = -1.6 D$ और $P_2 = +2.1 D$ है।
जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की कुल शक्ति $P$ व्यक्तिगत शक्तियों के योग के बराबर होती है:
$P = P_1 + P_2 = -1.6 D + 2.1 D = 0.5 D$.
फोकस दूरी $f$ (मीटर में) और शक्ति $P$ (डायोप्टर में) के बीच का संबंध $P = \frac{1}{f(m)}$ है।
सेंटीमीटर में फोकस दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(cm) = \frac{100}{P(D)}$ का उपयोग करते हैं।
$P$ का मान रखने पर:
$f = \frac{100}{0.5} = 200 cm$.
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $200 cm$ है।

(A) कांच के स्लैब के लिए,तुल्य फोकस दूरी $F = \infty$ होती है।
$f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंसों के लिए जो $d$ दूरी पर स्थित हैं,तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
चूंकि संयोजन एक कांच के स्लैब के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F = \infty$ रखने पर,$\frac{1}{F} = 0$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$0 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$0 = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$\frac{d}{f_1 f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$
$d = f_1 + f_2$
अतः,लेंसों के बीच की दूरी $f_1 + f_2$ होनी चाहिए।

(C) दिया गया है: दो उत्तल लेंसों की फोकस दूरी $f_1 = 20 \,cm$ और $f_2 = 30 \,cm$ है।
जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$
$\frac{1}{F} = \frac{3 + 2}{60} = \frac{5}{60}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{12}$
अतः,$F = 12 \,cm$।

(C) उत्तल लेंस के लिए: वस्तु दूरी $u_1 = -8 \,cm$, फोकल लंबाई $f_1 = +4 \,cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{8}$, इसलिए $v_1 = +8 \,cm$। यह प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
अवतल लेंस के लिए: लेंसों के बीच की दूरी $d = 6 \,cm$ है। उत्तल लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब उसके पीछे $8 \,cm$ पर है, जो अवतल लेंस के पीछे $8 - 6 = 2 \,cm$ की दूरी पर है। अतः, अवतल लेंस के लिए $u_2 = +2 \,cm$ और $f_2 = -4 \,cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, इसलिए $v_2 = +4 \,cm$। इसका मतलब है कि अंतिम प्रतिबिंब अवतल लेंस के दाईं ओर $4 \,cm$ की दूरी पर बनता है।
वस्तु उत्तल लेंस के बाईं ओर $8 \,cm$ पर है। वस्तु और उत्तल लेंस के बीच की दूरी $8 \,cm$ है, लेंसों के बीच की दूरी $6 \,cm$ है, और अवतल लेंस तथा अंतिम प्रतिबिंब के बीच की दूरी $4 \,cm$ है। वस्तु और अंतिम प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी $8 + 6 + 4 = 18 \,cm$ है।

(B) दिया गया है: लेंस $A$ की फोकस दूरी $f_1 = 2 \,cm$. लेंस $B$ की फोकस दूरी $f_2 = 5 \,cm$. लेंसों के बीच की दूरी $d = 14 \,cm$. लेंस $A$ के लिए वस्तु की दूरी $u_1 = -3 \,cm$.
लेंस $A$ के लिए, लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$v_1 = 6 \,cm$.
लेंस $A$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब लेंस $B$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस $B$ से इस प्रतिबिंब की दूरी $u_2 = -(d - v_1) = -(14 - 6) = -8 \,cm$ है।
लेंस $B$ के लिए, लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-8} = \frac{1}{5}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{8 - 5}{40} = \frac{3}{40}$
$v_2 = \frac{40}{3} \,cm$.
लेंस $A$ से अंतिम प्रतिबिंब की दूरी, लेंसों के बीच की दूरी और लेंस $B$ से प्रतिबिंब की दूरी का योग है:
दूरी $= d + v_2 = 14 + \frac{40}{3} = \frac{42 + 40}{3} = \frac{82}{3} \,cm$.

(B) संपर्क में रखे गए तीन पतले लेंसों की संयुक्त फोकस दूरी $F$ का सूत्र है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_3}$।
यहाँ $F_1 = F_2 = F_3 = 3 \,cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{F} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \,cm^{-1}$।
अतः,प्रभावी फोकस दूरी $F = 1 \,cm$ है।
सामान्य समायोजन में एक सरल आवर्धक (या लेंस संयोजन) का आवर्धन $M = 1 + \frac{D}{F}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है।
यहाँ $D = 25 \,cm$ और $F = 1 \,cm$ है,इसलिए $M = 1 + \frac{25}{1} = 26$ प्राप्त होता है।

(A) दो पतले लेंसों के एक्रोमैटिक संयोजन के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$।
विक्षेपण क्षमता का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{4}{3}$,जिससे $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$ प्राप्त होता है।
संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
$F = 60 \ cm$ और $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$ रखने पर:
$\frac{1}{60} = \frac{1}{-(4/3)f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f_2} (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1}{f_2} (\frac{1}{4})$।
अतः,$f_2 = 60 \times \frac{1}{4} = 15 \ cm$।
इसलिए,$f_1 = -\frac{4}{3} \times 15 = -20 \ cm$।
अतः,लेंसों की फोकस दूरियाँ $-20 \ cm$ और $15 \ cm$ हैं।

(D) दिया गया है:
पहले लेंस की विक्षेपण क्षमता, $\omega_1 = 0.45$.
दूसरे लेंस की विक्षेपण क्षमता, $\omega_2 = 0.21$.
दूसरे लेंस की फोकस दूरी, $f_2 = 84 \,cm$.
संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के अवर्णक संयोजन के लिए शर्त है:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
$\frac{\omega_1}{f_1} = -\frac{\omega_2}{f_2}$
$\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$
मान रखने पर:
$f_1 = -f_2 \times \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)$
$f_1 = -84 \times \left( \frac{0.45}{0.21} \right)$
$f_1 = -84 \times \left( \frac{45}{21} \right)$
$f_1 = -84 \times \frac{15}{7}$
$f_1 = -12 \times 15 = -180 \,cm$.
अतः, लेंस की फोकस दूरी $-180 \,cm$ है.

(D) एक्रोमैटिक डबलट दो अलग-अलग सामग्रियों से बने लेंसों का एक संयोजन है जिसे क्रोमैटिक एबरेशन (वर्ण विपथन) को कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
एक्रोमैटिक डबलट के लिए,संयोजन के एक्रोमैटिक होने की शर्त समीकरण द्वारा दी जाती है:
$\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$
जहाँ $P_1$ और $P_2$ दो लेंसों की शक्तियाँ हैं और $\omega_1$ और $\omega_2$ उनकी संबंधित विक्षेपण शक्तियाँ (dispersive powers) हैं।
यह समीकरण दर्शाता है कि उनकी शक्तियों और विक्षेपण शक्तियों के गुणनफल का योग शून्य के बराबर होना चाहिए।

(C) सफेद प्रकाश में एक एकल लेंस द्वारा निर्मित वस्तु का प्रतिबिंब आमतौर पर रंगीन और धुंधला होता है क्योंकि लेंस की फोकस दूरी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के साथ बदलती रहती है। इस दोष को वर्ण विपथन (chromatic aberration) कहा जाता है।
लेंसों का एक्रोमैटिक संयोजन इस वर्ण विपथन को कम करने या समाप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
विभिन्न सामग्रियों के दो लेंसों (आमतौर पर क्राउन ग्लास का उत्तल लेंस और फ्लिंट ग्लास का अवतल लेंस) को जोड़कर,एक लेंस द्वारा उत्पन्न विक्षेपण को दूसरे लेंस द्वारा रद्द कर दिया जाता है।
इसलिए,परिणामी प्रतिबिंब वर्ण विपथन से मुक्त होता है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब की गुणवत्ता प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के साथ अपवर्तनांक के परिवर्तन से प्रभावित नहीं होती है।

(B) चित्र से,वस्तु $O$ लेंस $A$ से $30 \ cm$ की दूरी पर है। लेंस $B$,लेंस $A$ से $5 \ cm$ की दूरी पर है,और लेंस $C$,लेंस $B$ से $10 \ cm$ की दूरी पर है।
लेंस $A$ के लिए: $u_A = -30 \ cm, f_A = +10 \ cm$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_A} - \frac{1}{u_A} = \frac{1}{f_A}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_A} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v_A} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \Rightarrow v_A = 15 \ cm$।
लेंस $A$ द्वारा बना प्रतिबिंब लेंस $B$ के लिए वस्तु का कार्य करता है। लेंस $B$ से इस प्रतिबिंब की दूरी $u_B = +(v_A - 5) = +(15 - 5) = +10 \ cm$ है।
लेंस $B$ के लिए: $u_B = +10 \ cm, f_B = -10 \ cm$।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_B} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v_B} = 0 \Rightarrow v_B = \infty$।
लेंस $B$ से निकलने वाली किरणें समानांतर हैं,इसलिए वे लेंस $C$ के लिए अनंत पर स्थित वस्तु के रूप में कार्य करती हैं।
लेंस $C$ के लिए: $u_C = \infty, f_C = +30 \ cm$।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_C} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} \Rightarrow v_C = 30 \ cm$।
अंतिम प्रतिबिंब लेंस $C$ से $30 \ cm$ की दूरी पर बनता है। वस्तु से लेंस $C$ की कुल दूरी $30 + 5 + 10 = 45 \ cm$ है। अंतिम प्रतिबिंब लेंस $C$ से $30 \ cm$ पर है,इसलिए वस्तु से इसकी दूरी $45 + 30 = 75 \ cm$ होगी।

(D) प्रथम लेंस के लिए:
$f_1 = +10 \ cm, u_1 = -30 \ cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
अतः,$v_1 = +15 \ cm$.
यह प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है। पहले और दूसरे लेंस के बीच की दूरी $5 \ cm$ है,इसलिए दूसरे लेंस के लिए वस्तु दूरी $u_2 = +(15 - 5) = +10 \ cm$ होगी।
दूसरे लेंस के लिए $(f_2 = -10 \ cm)$:
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f_2} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{-10} + \frac{1}{10} = 0$.
अतः,$v_2 = \infty$.
दूसरे लेंस से निकलने वाली किरणें मुख्य अक्ष के समांतर होती हैं।
ये समांतर किरणें तीसरे लेंस $(f_3 = +30 \ cm)$ पर आपतित होती हैं। उत्तल लेंस पर आपतित समांतर किरणें उसके फोकस पर अभिसरित होती हैं।
इसलिए,अंतिम प्रतिबिंब तीसरे लेंस से $30 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) पहले लेंस के लिए:
लेंस सूत्र $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f_1 = 2 \ m$ और $u_1 = -4 \ m$ है:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-4} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow v_1 = 4 \ m$.
यह प्रतिबिंब पहले लेंस के दाईं ओर $4 \ m$ की दूरी पर बनता है।
दूसरे लेंस के लिए:
लेंसों के बीच की दूरी $3 \ m$ है। पहले लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है।
चूँकि प्रतिबिंब पहले लेंस के दाईं ओर $4 \ m$ पर है और दूसरा लेंस पहले लेंस से $3 \ m$ दाईं ओर है,इसलिए प्रतिबिंब दूसरे लेंस के दाईं ओर $1 \ m$ की दूरी पर है।
अतः,दूसरे लेंस के लिए वस्तु दूरी $u_2 = +1 \ m$ (आभासी वस्तु) होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f_2} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f_2 = 1 \ m$ और $u_2 = +1 \ m$ है:
$\frac{1}{1} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{1} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = 1 + 1 = 2 \Rightarrow v_2 = 0.5 \ m$.
अंतिम प्रतिबिंब दूसरे लेंस के दाईं ओर $0.5 \ m$ पर बनता है।
स्रोत से कुल दूरी $= 4 \ m$ (पहले लेंस तक) $+ 3 \ m$ (लेंसों के बीच) $+ 0.5 \ m$ (दूसरे लेंस से) $= 7.5 \ m$.

(D) पहली स्थिति के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए:
दिया गया है $f_1 = 10 \ cm$ और $u = -30 \ cm$.
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
अतः,$v = 15 \ cm$.
दूसरी स्थिति के लिए,जब अवतल लेंस को संपर्क में रखा जाता है,तो नई प्रतिबिंब दूरी $v' = v + 45 \ cm = 15 + 45 = 60 \ cm$ हो जाती है।
वस्तु दूरी $u = -30 \ cm$ समान रहती है।
माना $F$ संयोजन की फोकस दूरी है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
अतः,$F = 20 \ cm$.
संयोजन सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{10} + \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{f_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1-2}{20} = -\frac{1}{20}$.
इस प्रकार,$f_2 = -20 \ cm$.
अवतल लेंस की फोकस दूरी का परिमाण $20 \ cm$ है।

(D) पहले लेंस $L_1$ के लिए,वस्तु की दूरी $u_1 = -4f$ और फोकस दूरी $f_1 = f$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-4f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{4f} = \frac{3}{4f} \Rightarrow v_1 = \frac{4f}{3}$.
यह प्रतिबिंब दूसरे लेंस $L_2$ के लिए वस्तु का कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $d = \frac{f}{2}$ है।
दूसरे लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_2 = v_1 - d = \frac{4f}{3} - \frac{f}{2} = \frac{8f - 3f}{6} = \frac{5f}{6}$ है।
चूंकि वस्तु $L_2$ के बाईं ओर है,इसलिए $u_2 = -\frac{5f}{6}$ होगा।
$L_2$ के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर $(f_2 = f)$:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-5f/6} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{6}{5f} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f} - \frac{6}{5f} = \frac{5 - 6}{5f} = -\frac{1}{5f} \Rightarrow v_2 = -5f$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि अंतिम प्रतिबिंब $L_2$ के बाईं ओर $5f$ की दूरी पर बनता है।

(B) दिया गया संयोजन तीन लेंसों के संपर्क से बना है: दो समान समोत्तल कांच के लेंस ($L_1$ और $L_3$) और उनके बीच बना पानी का लेंस $(L_2)$।
मान लीजिए प्रत्येक कांच के लेंस की फोकस दूरी $f_1$ है और पानी के लेंस की फोकस दूरी $f_2$ है।
चूंकि लेंस संपर्क में हैं,इसलिए तुल्य फोकस दूरी $F$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$
चूंकि $L_1$ और $L_3$ समान हैं,$f_1 = f_3 = f$। पानी का लेंस $L_2$ एक अवतल लेंस है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_2$ ऋणात्मक है।
अतः,$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f} + \frac{1}{f_2}$।
मान लीजिए $R$ वक्रता त्रिज्या है। कांच के लेंस के लिए,$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1)(\frac{2}{R})$। पानी के लेंस के लिए,$\frac{1}{f_2} = -(\mu_w - 1)(\frac{2}{R})$।
चूंकि $\mu_g > \mu_w$,कांच के लेंस की शक्ति का परिमाण पानी के लेंस की शक्ति से अधिक है,जिसका अर्थ है $|\frac{1}{f}| > |\frac{1}{f_2}|$।
इसलिए,$\frac{1}{F} = \frac{2}{f} - |\frac{1}{f_2}|$। चूंकि $|\frac{1}{f_2}| > 0$,$\frac{1}{F} < \frac{2}{f}$,जिसका अर्थ है $F > \frac{f}{2}$।
साथ ही,चूंकि $\frac{1}{F} = \frac{2}{f} - |\frac{1}{f_2}|$,यह स्पष्ट है कि $\frac{1}{F} > \frac{1}{f}$ (क्योंकि हम $\frac{2}{f}$ से एक धनात्मक मान घटा रहे हैं लेकिन शुद्ध शक्ति अभी भी धनात्मक है और $\frac{2}{f}$ से कम है),इसलिए $F < f$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\frac{f}{2} < F < f$ प्राप्त होता है।

(A) लेंस की शक्ति $P = \frac{100}{f}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ फोकस दूरी $cm$ में है।
पहले लेंस के लिए,$P_1 = \frac{100}{20} = 5 \ D$।
दूसरे लेंस के लिए,$P_2 = \frac{100}{25} = 4 \ D$।
जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की प्रभावी शक्ति $P_{eff}$ उनकी व्यक्तिगत शक्तियों का योग होती है: $P_{eff} = P_1 + P_2$।
अतः,$P_{eff} = 5 \ D + 4 \ D = 9 \ D$।

(A) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
पहले समतल-उत्तल लेंस के लिए: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1)(\frac{1}{15} - \frac{1}{\infty}) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \ cm^{-1}$.
दूसरे समतल-उत्तल लेंस के लिए: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1)(\frac{1}{\infty} - (-\frac{1}{12})) = 0.2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$.
संयोजन की कुल फोकस दूरी $\frac{1}{f_{net}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$,इसलिए $f_{net} = 20 \ cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -30 \ cm$ और $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60 \ cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$ होगा।

(A) बिना अंतराल वाले संयुक्त लेंस के लिए: तुल्य फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} \ cm$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$F = -20 \ cm$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करते हुए,$u = -10 \ cm$ के साथ,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{-10} = -\frac{3}{20}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v_1 = -\frac{20}{3} \ cm$। आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u} = \frac{-20/3}{-10} = \frac{2}{3}$।
$d = 1 \ cm$ से अलग किए गए लेंसों के लिए: पहला लेंस (उत्तल) $v'$ पर एक प्रतिबिंब बनाता है जहाँ $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v'} = \frac{1}{10} \implies v' = 10 \ cm$। आवर्धन $m_{1}' = \frac{v'}{u} = \frac{10}{-10} = -1$। यह प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। अवतल लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी $u' = v' - d = 10 - 1 = 9 \ cm$ है। चूंकि यह लेंस के पीछे है,$u' = +9 \ cm$। अवतल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v''} - \frac{1}{9} = \frac{1}{-4} \implies \frac{1}{v''} = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{36} \implies v'' = -\frac{36}{5} \ cm$। आवर्धन $m_{2}' = \frac{v''}{u'} = \frac{-36/5}{9} = -\frac{4}{5}$। कुल आवर्धन $m_2 = m_{1}' \times m_{2}' = (-1) \times (-4/5) = 4/5$। अंत में,$\left|\frac{m_1}{m_2}\right| = \left|\frac{2/3}{4/5}\right| = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$।

(B) दो उत्तल लेंसों से बने बीम एक्सपेंडर (किरण पुंज विस्तारक) के लिए, आवर्धन $M$ आउटपुट बीम के व्यास और इनपुट बीम के व्यास के अनुपात द्वारा दिया जाता है, जो दोनों लेंसों की फोकस दूरी के अनुपात के बराबर भी होता है:
$M = \frac{D_{out}}{D_{in}} = \frac{f_2}{f_1}$
दिया गया है:
इनपुट व्यास $D_{in} = 2 \ mm$
आउटपुट व्यास $D_{out} = 14 \ mm$
पहले लेंस की फोकस दूरी $f_1 = 40 \ mm$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{14}{2} = \frac{f_2}{40}$
$7 = \frac{f_2}{40}$
$f_2 = 7 \times 40 = 280 \ mm$
अतः, दूसरे लेंस की फोकस दूरी $280 \ mm$ है।

(A) लेंस की शक्ति का सूत्र $P = \frac{1}{f(m)}$ है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी धनात्मक होती है,इसलिए $f_1 = +0.25 \text{ m}$। अतः,$P_1 = \frac{1}{0.25} = +4 \text{ D}$।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f_2 = -0.25 \text{ m}$। अतः,$P_2 = \frac{1}{-0.25} = -4 \text{ D}$।
संपर्क में रखे लेंसों के संयोजन की शक्ति उनकी व्यक्तिगत शक्तियों का बीजगणितीय योग होती है: $P = P_1 + P_2$।
मान रखने पर,$P = 4 \text{ D} + (-4 \text{ D}) = 0 \text{ D}$।

(B) जब दो पतले लेंस एक-दूसरे के संपर्क में रखे जाते हैं,तो समतुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{F} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ प्राप्त होता है।
लेंस की शक्ति $P$ को उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $P = \frac{1}{F}$।
अतः,संयोजन की समतुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ होगी।

(B) लेंस $P$ के लिए: $u_1 = -15 \text{ cm}$,$f_1 = 10 \text{ cm}$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \implies v_1 = 30 \text{ cm}$।
यह प्रतिबिंब लेंस $Q$ के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $15 \text{ cm}$ है। चूंकि प्रतिबिंब लेंस $P$ के दाईं ओर $30 \text{ cm}$ पर बनता है,इसलिए यह लेंस $Q$ के दाईं ओर $30 - 15 = 15 \text{ cm}$ की दूरी पर स्थित है। अतः,$u_2 = +15 \text{ cm}$।
लेंस $Q$ के लिए: $u_2 = +15 \text{ cm}$,$f_2 = 15 \text{ cm}$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{15} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{2}{15} \implies v_2 = 7.5 \text{ cm}$।
चूंकि $v_2 > 0$,प्रतिबिंब वास्तविक है और लेंस $Q$ के दाईं ओर $7.5 \text{ cm}$ पर बनता है।
कुल आवर्धन $M = m_1 \times m_2 = (v_1/u_1) \times (v_2/u_2) = (30/-15) \times (7.5/15) = -2 \times 0.5 = -1$। आवर्धन का परिमाण $1$ है,इसलिए प्रतिबिंब का आकार $AB$ के समान है।

(A) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों की प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
उत्तल लेंस के लिए $f_1 > 0$ और अवतल लेंस के लिए $f_2 < 0$ होता है। मान लीजिए $f_1 = f_{\text{convex}}$ और $f_2 = -|f_{\text{concave}}|$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_{\text{convex}}} - \frac{1}{|f_{\text{concave}}|} = \frac{|f_{\text{concave}}| - f_{\text{convex}}}{f_{\text{convex}} |f_{\text{concave}}|}$.
यदि $|f_{\text{concave}}| < f_{\text{convex}}$ है,तो $\frac{1}{F} < 0$ होगा,जिसका अर्थ है $F < 0$,यानी संयोजन अवतल लेंस की तरह व्यवहार करता है।
यदि $|f_{\text{concave}}| > f_{\text{convex}}$ है,तो $\frac{1}{F} > 0$ होगा,जिसका अर्थ है $F > 0$,यानी संयोजन उत्तल लेंस की तरह व्यवहार करता है।
इसलिए,यदि $|f_{\text{convex}}| > |f_{\text{concave}}|$ है तो संयोजन अवतल लेंस की तरह व्यवहार करता है।