Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $N_0 = 10^{20}$ એ રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.
ધારો કે $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
$n$-મા વર્ષમાં ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા એ તે વર્ષની શરૂઆતમાં અને અંતમાં પરમાણુઓની સંખ્યાનો તફાવત છે: $\Delta N_n = N(n-1) - N(n) = N_0 e^{-\lambda(n-1)} - N_0 e^{-\lambda n} = N_0 e^{-\lambda(n-1)}(1 - e^{-\lambda})$.
ત્રીજા વર્ષમાં ઉત્સર્જિત કણો અને બીજા વર્ષમાં ઉત્સર્જિત કણોનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta N_3}{\Delta N_2} = \frac{N_0 e^{-2\lambda}(1 - e^{-\lambda})}{N_0 e^{-\lambda}(1 - e^{-\lambda})} = e^{-\lambda} = 0.3$.
પ્રથમ વર્ષમાં ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $\Delta N_1 = N(0) - N(1) = N_0(1 - e^{-\lambda})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta N_1 = 10^{20}(1 - 0.3) = 10^{20}(0.7) = 7 \times 10^{19}$.

(C) જ્યારે કોઈ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ એકસાથે અનેક પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક એ વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો હોય છે.
તેથી,અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T$ એ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ સાથે $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.
આને અસરકારક ક્ષય અચળાંકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\ln 2}{T_{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\alpha}} + \frac{\ln 2}{T_{\beta}}$.
બંને બાજુ $\ln 2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{1}{T_{\alpha}} + \frac{1}{T_{\beta}}$ મળે છે.
$T_{eff}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T_{eff} = \frac{T_{\alpha}T_{\beta}}{T_{\alpha} + T_{\beta}}$ મળે છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે એક્ટિવિટી $A$ એ $A = A_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t/T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $A_0 = 1600 \ counts \ s^{-1}$ અને $t = 8 \ s$ સમયે $A = 100 \ counts \ s^{-1}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $100 = 1600 \times (1/2)^{8/T_{1/2}}$.
$1/16 = (1/2)^{8/T_{1/2}} \Rightarrow (1/2)^4 = (1/2)^{8/T_{1/2}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $4 = 8/T_{1/2} \Rightarrow T_{1/2} = 2 \ s$.
હવે,$t = 6 \ s$ માટે,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 6/2 = 3$.
$t = 6 \ s$ સમયે એક્ટિવિટી $A = A_0 \times (1/2)^n = 1600 \times (1/2)^3$.
$A = 1600 \times (1/8) = 200 \ counts \ s^{-1}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
નમૂના $A$ માટે: $R_A = \lambda_A N_A = 10\, mCi$ ... $(1)$
નમૂના $B$ માટે: $R_B = \lambda_B N_B = 20\, mCi$ ... $(2)$
આપેલ છે કે $N_A = 2 N_B$ ... $(3)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{\lambda_A N_A}{\lambda_B N_B} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
$N_A = 2 N_B$ મૂકતા: $\frac{\lambda_A (2 N_B)}{\lambda_B N_B} = \frac{1}{2} \implies 2 \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{1}{4}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{T_{1/2, A}}{T_{1/2, B}} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} = 4$.
આનો અર્થ એ છે કે $T_{1/2, A} = 4 \times T_{1/2, B}$.
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $C$ માં $20/5 = 4$ મળે છે,જે સાચું છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ પર,$R_{A,0} = R_{B,0} = R_0$ છે.
સમય $t$ પર એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર $\frac{R_B}{R_A} = \frac{R_0 e^{-\lambda_B t}}{R_0 e^{-\lambda_A t}} = e^{-(\lambda_B - \lambda_A)t}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ગુણોત્તર $e^{-3t}$ છે.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\lambda_B - \lambda_A = 3$ મળે છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $T_{A,1/2} = \ln 2$,તેથી $\lambda_A = \frac{\ln 2}{\ln 2} = 1$.
$\lambda_A$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda_B - 1 = 3 \Rightarrow \lambda_B = 4$.
કારણ કે $\lambda_B = \frac{\ln 2}{T_{B,1/2}}$,તેથી $4 = \frac{\ln 2}{T_{B,1/2}}$ મળે.
આમ,$T_{B,1/2} = \frac{\ln 2}{4}$ થાય.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ છે, જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $N(0) = 1600$ અને $N(8) = 100$.
$100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$4 = \frac{8}{T_{1/2}} \implies T_{1/2} = 2 \, s$.
હવે, $t = 6 \, s$ સમયે, પસાર થયેલ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{6}{2} = 3$ છે.
તેથી, કાઉન્ટ રેટ $N(6) = 1600 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1600}{8} = 200 \, \text{કાઉન્ટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(C) ધારો કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$t$ સમયે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A = N_0 e^{-10\lambda t}$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે,$t$ સમયે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_B = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{1}{e}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-9\lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $-9\lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{9\lambda}$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $N_A(t) = N_0 e^{-5\lambda t}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_A(t)}{N_B(t)} = \frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-4\lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ગુણોત્તર $(1/e)^2 = e^{-2}$ છે.
તેથી,$e^{-4\lambda t} = e^{-2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4\lambda t = -2$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{-2}{-4\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ બંને માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
ન્યુક્લિયસ $A$ માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2, A} = 10 \, min$. $t = 60 \, min$ પછી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_A = 60/10 = 6$.
ક્ષય પામ્યા વગરના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A = N_0 / 2^6 = N_0 / 64$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $D_A = N_0 - N_A = N_0(1 - 1/64) = 63N_0 / 64$.
ન્યુક્લિયસ $B$ માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2, B} = 20 \, min$. $t = 60 \, min$ પછી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_B = 60/20 = 3$.
ક્ષય પામ્યા વગરના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_B = N_0 / 2^3 = N_0 / 8$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $D_B = N_0 - N_B = N_0(1 - 1/8) = 7N_0 / 8$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $D_A / D_B = (63N_0 / 64) / (7N_0 / 8) = (63/64) \times (8/7) = 9/8$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R$ એ $R = N \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ હાજર રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T$ સાથે $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
સમય $T_1$ પર,એક્ટિવિટી $R_1 = N_1 \lambda$ છે,તેથી $N_1 = \frac{R_1}{\lambda} = \frac{R_1 T}{\ln 2}$.
સમય $T_2$ પર,એક્ટિવિટી $R_2 = N_2 \lambda$ છે,તેથી $N_2 = \frac{R_2}{\lambda} = \frac{R_2 T}{\ln 2}$.
$(T_2 - T_1)$ સમયગાળામાં વિઘટન પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા એ આ સમય દરમિયાન હાજર રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો તફાવત છે: $\Delta N = N_1 - N_2$.
$N_1$ અને $N_2$ માટેના સમીકરણો મૂકતા:
$\Delta N = \frac{R_1 T}{\ln 2} - \frac{R_2 T}{\ln 2} = \frac{T}{\ln 2} (R_1 - R_2)$.
અહીં $T$ અને $\ln 2$ અચળ હોવાથી,વિઘટન પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $(R_1 - R_2)$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ અથવા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $5\, days$ માં $10\%$ ક્ષય પામે છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો મૂળ જથ્થા $N_0$ ના $90\%$ છે.
તેથી,$\frac{N(5)}{N_0} = 0.90$.
આપણે લખી શકીએ $0.90 = (1/2)^{5/T_{1/2}}$.
આપણે $20\, days$ પછી બાકી રહેલો જથ્થો શોધવાનો છે,જે $N(20) = N_0 (1/2)^{20/T_{1/2}}$ છે.
આને $N(20) = N_0 [(1/2)^{5/T_{1/2}}]^4$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$(1/2)^{5/T_{1/2}} = 0.90$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$N(20) = N_0 (0.90)^4$.
$(0.90)^4 = 0.9 \times 0.9 \times 0.9 \times 0.9 = 0.6561$ ની ગણતરી કરતા.
તેથી,બાકી રહેલી ટકાવારી $0.6561 \times 100\% = 65.61\%$ છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આ મૂલ્ય આશરે $65\%$ છે.

(B) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલો જથ્થો $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20}$ છે.
સમય $t_1$ પર,$\frac{1}{4}$ ભાગનું ક્ષય થયું છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t_1) = N_0 - \frac{1}{4}N_0 = \frac{3}{4}N_0$ છે.
સમય $t_2$ પર,$\frac{3}{4}$ ભાગનું ક્ષય થયું છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t_2) = N_0 - \frac{3}{4}N_0 = \frac{1}{4}N_0$ છે.
ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = \frac{e^{-\lambda t_2}}{e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1/4 N_0}{3/4 N_0} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)} \Rightarrow \frac{1}{3} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(1/3) = -\lambda(t_2 - t_1) \Rightarrow \ln 3 = \lambda(t_2 - t_1)$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ મૂકતા: $\ln 3 = \frac{\ln 2}{20} (t_2 - t_1)$.
તેથી,$t_2 - t_1 = 20 \frac{\ln 3}{\ln 2} \, \text{min}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
આપેલ છે:
શરૂઆતની પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0 = 6.4 \times 10^{10}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 4 \text{ days}$.
કુલ સમય $t = 12 \text{ days}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}$
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3$
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \frac{1}{8}$
$N = 0.8 \times 10^{10}$ પરમાણુઓ.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે.
ધારો કે $t_1 = 280\, \text{દિવસ}$ પર $A_1 = 6000\, \text{dps}$ છે.
ધારો કે $t_2 = 280 + 140 = 420\, \text{દિવસ}$ પર $A_2 = 3000\, \text{dps}$ છે.
એક્ટિવિટી $140\, \text{દિવસમાં}$ $6000\, \text{dps}$ થી ઘટીને $3000\, \text{dps}$ થાય છે, તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 140\, \text{દિવસ}$ છે.
સંબંધ $A = A_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $t_1 = 280\, \text{દિવસ}$ ની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ શોધી શકીએ છીએ:
$6000 = A_0 (1/2)^{280/140}$
$6000 = A_0 (1/2)^2$
$6000 = A_0 / 4$
$A_0 = 6000 \times 4 = 24000\, \text{dps}$.

(C) ધારો કે $X$ અને $Y$ બંને માટે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય: $T_{1/2, X} = 1\, h$ અને $T_{1/2, Y} = 2\, h$.
$t = 2\, h$ સમય પછી,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા મળે છે.
$X$ માટે: $N_X = N_0 (1/2)^{2/1} = N_0 / 4$.
$Y$ માટે: $N_Y = N_0 (1/2)^{2/2} = N_0 / 2$.
એક્ટિવિટી $A = \lambda N$,જ્યાં $\lambda = \ln(2) / T_{1/2}$.
એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર: $\frac{A_X}{A_Y} = \frac{\lambda_X N_X}{\lambda_Y N_Y} = \frac{(\ln 2 / T_{1/2, X}) N_X}{(\ln 2 / T_{1/2, Y}) N_Y} = \frac{T_{1/2, Y}}{T_{1/2, X}} \times \frac{N_X}{N_Y}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{A_X}{A_Y} = \frac{2}{1} \times \frac{N_0/4}{N_0/2} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય એ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા છે જે સંપૂર્ણપણે ન્યુક્લિયસના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.
તે તાપમાન,દબાણ અથવા રાસાયણિક વાતાવરણ જેવા બાહ્ય ભૌતિક પરિબળોથી સ્વતંત્ર છે.
વિઘટનનો દર ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ દ્વારા નક્કી થાય છે $(R = \lambda N)$,અને $\lambda$ એ ચોક્કસ રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપની લાક્ષણિકતા છે,તેથી તેને બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ દ્વારા બદલી શકાતું નથી.
તેથી,કોઈપણ બાહ્ય માધ્યમ દ્વારા રેડિયોએક્ટિવ તત્વના નિશ્ચિત જથ્થાના વિઘટનનો દર વધારવો શક્ય નથી.

(D) ધારો કે $t$ સમય પછી $A_1$ અને $A_2$ નું પ્રમાણ સમાન થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે જથ્થો $N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_1$ માટે: $N_1 = 40 \times (1/2)^{t/20}$.
$A_2$ માટે: $N_2 = 160 \times (1/2)^{t/10}$.
$N_1 = N_2$ લેતા:
$40 \times (1/2)^{t/20} = 160 \times (1/2)^{t/10}$.
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા:
$(1/2)^{t/20} = 4 \times (1/2)^{t/10}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(1/2)^{t/20} / (1/2)^{t/10} = 4$.
$(1/2)^{(t/20 - t/10)} = 4$.
$(1/2)^{-t/20} = 4$.
$2^{t/20} = 2^2$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$t/20 = 2$,જે $t = 40 \, s$ આપે છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A(t)$ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$
જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.
આ સમીકરણ એ ઘાતાંકીય ક્ષય વિધેય (exponential decay function) દર્શાવે છે.
જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ એક્ટિવિટી $A(t)$ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય $\lambda N_0$ થી ઘટીને શૂન્ય તરફ જાય છે.
આપેલ આલેખને જોતા,વક્ર $B$ એ ઘાતાંકીય ક્ષય દર્શાવે છે,જે એક્ટિવિટી અને સમય વચ્ચેના ગાણિતિક સંબંધ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વક્ર $B$ છે.

(A) પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $R_0 = 1 \, \mu Ci = 10^{-6} \times 3.7 \times 10^{10} \, dps = 3.7 \times 10^4 \, dps$.
$t = 5 \, \text{કલાક}$ સમયે $1 \, cm^3$ નમૂનાની એક્ટિવિટી $r = \frac{296}{60} \, dps \approx 4.933 \, dps$ છે.
$t$ સમયે કુલ લોહીના કદ $V$ ની એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ સમાન રીતે મિશ્રિત હોવાથી,એકમ કદ દીઠ એક્ટિવિટી $r = \frac{R}{V}$ થાય.
તેથી,$V = \frac{R}{r} = \frac{R_0 e^{-\lambda t}}{r}$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{3.7 \times 10^4 \times 0.7927}{4.933} \approx 5945 \, cm^3$.
$1000 \, cm^3 = 1 \, L$ હોવાથી,કુલ કદ $V \approx 5.94 \, L$ થાય.

(D) સમય $t$ પર પ્રવૃત્તિ $A$ એ $A = A_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રવૃત્તિ મૂળના $3\%$ છે, તેથી $0.03 = (1/2)^n$.
લોગરીધમ લેતા, $\ln(0.03) = n \ln(0.5)$, જે $n = \ln(0.03) / \ln(0.5) \approx 5.06$ આપે છે.
આમ, ટ્રિટિયમના ક્ષય માટે વીતેલો સમય $t = n \times T_{1/2} = 5.06 \times 12.5 \text{ years} \approx 63.25 \text{ years}$ છે.
સંદર્ભ બોટલ પહેલેથી જ $7 \text{ years}$ જૂની હોવાથી, નમૂનાની કુલ ઉંમર $63.25 + 7 \approx 70.25 \text{ years}$ છે.
તેથી, નમૂનો આશરે $70 \text{ years}$ પહેલા તૈયાર કરવામાં આવ્યો હતો.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ એટલે કે અડધા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસના ક્ષય માટે જરૂરી સમય. તેનું સૂત્ર છે: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{\log_e 2}{\lambda}$.
સરેરાશ આયુષ્ય ($T_{av}$ અથવા $\tau$) એટલે કે બધા અણુઓના આયુષ્યનો સરવાળો ભાગ્યા અણુઓની કુલ સંખ્યા. તેનું સૂત્ર છે: $T_{av} = \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય અને સરેરાશ આયુષ્ય અનુક્રમે $\frac{\log_e 2}{\lambda}$ અને $\frac{1}{\lambda}$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના બાકી રહેલા ભાગ માટેનું સૂત્ર $\frac{N}{N_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{800} = 8$ ગણો.
હવે,$n$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકો:
$\frac{N}{N_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \frac{1}{256}$.
તેથી,$6400$ વર્ષ પછી બાકી રહેતો ભાગ $\frac{1}{256}$ છે.

(A) સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ સમાન છે.
ધારો કે સમય $t$ પર $X_1$ અને $X_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અનુક્રમે $N_1$ અને $N_2$ છે.
$N_1 = N_0 e^{-5\lambda t}$ અને $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$.
ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5\lambda t + \lambda t} = e^{-4\lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4\lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{4\lambda}$.

(B) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.
$t$ સમયમાં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસનો અંશ $x = \frac{N_0 - N_t}{N_0} = 1 - \frac{N_t}{N_0}$ છે.
આના પરથી,$t$ સમય પછી બાકી રહેતો અંશ $\frac{N_t}{N_0} = 1 - x$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$2t$ સમય પછી બાકી રહેતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{2t} = N_0 \left( \frac{N_t}{N_0} \right)^2$ છે.
$\frac{N_t}{N_0}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $N_{2t} = N_0 (1 - x)^2$ મળે છે.
$2t$ સમયમાં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસનો અંશ $\frac{N_0 - N_{2t}}{N_0} = 1 - \frac{N_{2t}}{N_0}$ દ્વારા મળે છે.
$N_{2t}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $1 - (1 - x)^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - 1 + 2x - x^2 = 2x - x^2$ મળે છે.

(B) $m \, g$ દળમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{m}{M_w} \times N_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેડિયોએક્ટિવિટી $R$ એ ક્ષયનો દર છે,જે $R = \lambda N$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવાય છે.
$N$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $R = \lambda \left( \frac{m}{M_w} \times N_A \right) = \left( \frac{N_A}{M_w} m \right) \lambda$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની સક્રિયતા $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક સક્રિયતા $A_0 = 8 \text{ counts}$ અને અંતિમ સક્રિયતા $A = 1 \text{ count}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = 8 \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{8}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$,તેથી $n = 3$ મળે છે.
કુલ સમય $t = 3 \text{ hours}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
તેથી,$3 = \frac{3}{T_{1/2}}$,જે આપણને $T_{1/2} = 1 \text{ hour}$ આપે છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે. $t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1$ સમયે,ક્ષય અંશ $\frac{1}{5}$ છે,તેથી બાકી રહેલો અંશ $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે. આમ,$N(t_1) = N_0 \frac{4}{5} = N_0 e^{-\lambda t_1}$.
$t_2$ સમયે,ક્ષય અંશ $\frac{4}{5}$ છે,તેથી બાકી રહેલો અંશ $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે. આમ,$N(t_2) = N_0 \frac{1}{5} = N_0 e^{-\lambda t_2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{N(t_1)}{N(t_2)} = \frac{4/5}{1/5} = 4 = \frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = e^{\lambda(t_2 - t_1)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln 4 = \lambda(t_2 - t_1)$.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = \frac{1}{\lambda}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{1}{\tau}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\ln 4 = \frac{t_2 - t_1}{\tau}$.
તેથી,$\tau = \frac{t_2 - t_1}{\ln 4}$.

(B) પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 20 \, min$ છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20}$ છે.
ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે.
$20\%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.80 N_0$ છે. આ માટે લાગતો સમય $t_1$ છે,જ્યાં $0.80 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1}$.
$80\%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.20 N_0$ છે. આ માટે લાગતો સમય $t_2$ છે,જ્યાં $0.20 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{0.80 N_0}{0.20 N_0} = \frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}}$
$4 = e^{\lambda(t_2 - t_1)}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln 4 = \lambda(t_2 - t_1)$
$2 \ln 2 = \left( \frac{\ln 2}{20} \right) (t_2 - t_1)$
$2 = \frac{t_2 - t_1}{20}$
$t_2 - t_1 = 40 \, min$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0(1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N(t)$ એ $t$ સમયે બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે,અને $T_{1/2} = 10$ દિવસ છે.
જો તત્વના $90\%$ ભાગનું વિઘટન થાય,તો બાકી રહેલો જથ્થો $N(t) = 10\%$ ઓફ $N_0 = 0.1 N_0$ છે.
આ કિંમતને ક્ષયના સમીકરણમાં મૂકતા: $0.1 N_0 = N_0(1/2)^{t/10}$.
$0.1 = (1/2)^{t/10}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log_{10}(0.1) = (t/10) \log_{10}(0.5)$.
$-1 = (t/10) \times (-0.3010)$.
$t/10 = 1 / 0.3010 \approx 3.322$.
$t \approx 33.22$ દિવસ.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,લાગતો સમય $33$ દિવસ છે.

(B) આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 20 \ min$. ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20} \ min^{-1}$ છે.
ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો છે.
સમય $t_1$ પર,$20\%$ ક્ષય થયો છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t_1) = 0.8 N_0$ છે. $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$0.8 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \implies e^{-\lambda t_1} = 0.8$.
સમય $t_2$ પર,$80\%$ ક્ષય થયો છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t_2) = 0.2 N_0$ છે. તેથી,$0.2 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \implies e^{-\lambda t_2} = 0.2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
$e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 4$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln 4 = 2 \ln 2$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\ln 2}{20} (t_2 - t_1) = 2 \ln 2$.
$t_2 - t_1 = 2 \times 20 = 40 \ min$.

(D) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.
સમય $t$ પર,વિઘટન પામેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $x$ છે.
તેથી,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $N(t)/N_0 = 1 - x$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N(t) = N_0(1/2)^{t/T}$.
તેથી,$1 - x = (1/2)^{t/T}$.
હવે,આપણે $t/2$ સમયમાં વિઘટન પામેલો અંશ શોધવો છે,જે $1 - N(t/2)/N_0$ છે.
$N(t/2)/N_0 = (1/2)^{(t/2)/T} = [(1/2)^{t/T}]^{1/2}$.
$1 - x = (1/2)^{t/T}$ મૂકતા,આપણને $N(t/2)/N_0 = \sqrt{1 - x}$ મળે છે.
$t/2$ સમયમાં વિઘટન પામતો અંશ $1 - N(t/2)/N_0 = 1 - \sqrt{1 - x}$ છે.

(A) ધારો કે ખડકમાં રહેલા રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ $x$ નું પ્રમાણ $N_x$ છે અને સ્થિર તત્વ $y$ નું પ્રમાણ $N_y$ છે.
ગુણોત્તર $N_x : N_y = 1 : 7$ આપેલ છે.
રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ એ બાકી રહેલા આઇસોટોપ અને ક્ષય પામેલા ઉત્પાદનનો સરવાળો છે:
$N_0 = N_x + N_y = 1 + 7 = 8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $N_x = N_0 \times (1/2)^n$, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$1 = 8 \times (1/2)^n \Rightarrow (1/2)^n = 1/8 = (1/2)^3$.
આમ, $n = 3$.
ખડકની ઉંમર $t$ એ $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 50$ વર્ષ છે.
$t = 3 \times 50 = 150$ $\text{વર્ષ}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R$ સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{R_0}{R} = e^{\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\lambda t = \log_e \left( \frac{R_0}{R} \right)$.
તેથી,ક્ષય અચળાંક $\lambda$ છે: $\lambda = \frac{1}{t} \log_e \left( \frac{R_0}{R} \right)$.
આપેલ કિંમતો છે: $R_0 = 5000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$,$R = 1250 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$,અને $t = 5 \text{ મિનિટ}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{1}{5} \log_e \left( \frac{5000}{1250} \right) = \frac{1}{5} \log_e (4)$.
કારણ કે $4 = 2^2$,આપણી પાસે છે:
$\lambda = \frac{1}{5} \log_e (2^2) = \frac{2}{5} \log_e 2$.
અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરતા: $\frac{2}{5} = 0.4$.
આમ,ક્ષય અચળાંક $\lambda = 0.4 \log_e 2 \text{ મિનિટ}^{-1}$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5\, \text{વર્ષ}$ છે.
કુલ વીતેલો સમય $t = 10\, \text{વર્ષ}$ છે.
પસાર થયેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = t / T_{1/2} = 10 / 5 = 2$ છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા અક્ષયિત ન્યુક્લિયસનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ મૂકતા, આપણને $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે મૂળ ન્યુક્લિયસના $1/4$ ભાગના ન્યુક્લિયસ અક્ષયિત રહે છે.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $1 - N/N_0 = 1 - 1/4 = 3/4$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે, આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ: $(3/4) \times 100\% = 75\%$.
તેથી, $10\, \text{વર્ષ}$ માં ન્યુક્લિયસના ક્ષય થવાની સંભાવના $75\%$ છે.

(B) વિકિરણની તીવ્રતા $I$ એ $I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ ના નિયમનું પાલન કરે છે, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 64 \times I_{\text{safe}}$, આપણે તે સમય શોધવો છે જ્યારે $I = I_{\text{safe}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\text{safe}} = 64 \times I_{\text{safe}} \times \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{64}$ મળે છે.
કારણ કે $64 = 2^6$, તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^6$, જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
કુલ સમય $t = n \times T_{1/2}$, જ્યાં $T_{1/2} = 2\, hours$.
તેથી, $t = 6 \times 2\, hours = 12\, hours$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $M = M_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ છે,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $M = 1 \; g$,$M_{0} = 256 \; g$,અને $T_{1/2} = 12.5 \; h$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = 256 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{256} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ મળે છે.
કારણ કે $256 = 2^{8}$,તેથી $\left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$.
તેથી,$n = 8$.
$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = n \times T_{1/2} = 8 \times 12.5 \; h = 100 \; h$ મળે છે.

(B) વિઘટનનો દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
ન્યુક્લિયસ $A$ માટે: $T_{1/2, A} = 1 \, min$,તેથી $\lambda_A = \frac{\ln 2}{1} = \ln 2 \, min^{-1}$.
ન્યુક્લિયસ $B$ માટે: $T_{1/2, B} = 2 \, min$,તેથી $\lambda_B = \frac{\ln 2}{2} \, min^{-1}$.
સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A(t) = 4N_0 e^{-\lambda_A t}$ અને $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda_B t}$ છે.
વિઘટનનો દર $R_A = \lambda_A N_A = \lambda_A (4N_0 e^{-\lambda_A t})$ અને $R_B = \lambda_B N_B = \lambda_B (N_0 e^{-\lambda_B t})$ છે.
$R_A = R_B$ લેતા:
$4 \lambda_A N_0 e^{-\lambda_A t} = \lambda_B N_0 e^{-\lambda_B t}$
$4 (\ln 2) e^{-(\ln 2) t} = \frac{\ln 2}{2} e^{-(\frac{\ln 2}{2}) t}$
$8 = \frac{e^{-(\frac{\ln 2}{2}) t}}{e^{-(\ln 2) t}} = e^{(\ln 2 - \frac{\ln 2}{2}) t} = e^{(\frac{\ln 2}{2}) t}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln 8 = \frac{\ln 2}{2} t$
$3 \ln 2 = \frac{\ln 2}{2} t$
$t = 6 \, min$.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = \frac{1}{\lambda}$ છે. $t = \tau$ સમયે,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = \frac{N_0}{e}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ છે. $t = 2T_{1/2}$ સમયે,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = N_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{N_0}{4}$ છે.
આ બે સમયગાળા વચ્ચે ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો તફાવત છે: $\Delta N = N_1 - N_2 = \frac{N_0}{e} - \frac{N_0}{4}$.

(A) આલેખ પરથી, $t = 0 \, hr$ સમયે, પ્રારંભિક ક્ષય દર $R_0 = 200 \, \text{decays/sec}$ છે।
$t = 2 \, hr$ સમયે, ક્ષય દર $R = 100 \, \text{decays/sec}$ છે।
ક્ષય દર $2 \, hr$ માં તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધો થઈ જાય છે, તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 2 \, hr$ છે।
કોઈપણ સમય $t$ પર ક્ષય દર $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$t = 8 \, hr$ માટે, $R = 200 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/2} = 200 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{200}{16} = \frac{25}{2} \, \text{decays/sec}$.

(C) ધારો કે $A_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર એક્ટિવિટી રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = A_0 e^{-\lambda t}$,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
સમય $t_1$ પર,એક્ટિવિટી $A_1 = A_0 e^{-\lambda t_1}$ છે.
સમય $t_2$ પર,એક્ટિવિટી $A_2 = A_0 e^{-\lambda t_2}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{A_2}{A_1} = \frac{A_0 e^{-\lambda t_2}}{A_0 e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}$.
સરેરાશ આયુષ્ય $T = \frac{1}{\lambda}$ હોવાથી,આપણે $\lambda = \frac{1}{T}$ મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,$\frac{A_2}{A_1} = e^{-(t_2 - t_1)/T} = e^{(t_1 - t_2)/T}$.
તેથી,$A_2 = A_1 e^{(t_1 - t_2)/T}$.

(D) આપેલ છે કે ${}^{66}Cu$ ના નમૂનાનો $\frac{7}{8}$ ભાગ $15 \ minutes$ માં ક્ષય પામે છે.
બાકી રહેલા નમૂનાનો ભાગ $N = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,તેથી અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 3$ છે.
સમય $t$,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $n = \frac{t}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 = \frac{15}{T}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય $T = \frac{15}{3} = 5 \ minutes$ થાય.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 3\, \text{દિવસ}$ માં, એક્ટિવિટી $R = R_0/3$ થાય છે:
$\frac{1}{3} = e^{-\lambda \times 3} = e^{-3\lambda}$ .........$(1)$
આપણે $t = 9\, \text{દિવસ}$ પછીની એક્ટિવિટી $R'$ શોધવાની છે:
$R' = R_0 e^{-\lambda \times 9} = R_0 (e^{-3\lambda})^3$
સમીકરણ $(1)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
$R' = R_0 \times (1/3)^3$
$R' = R_0 \times (1/27)$
તેથી, એક્ટિવિટી મૂળ મૂલ્યના $(1/27)$ ભાગ જેટલી થશે.

(D) ક્ષય દર (એક્ટિવિટી) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dN}{dt} = \lambda N$.
પ્રથમ, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1.2 \times 10^7 \, s$ નો ઉપયોગ કરીને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ની ગણતરી કરો:
$\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1.2 \times 10^7} \, s^{-1}$.
હવે, $\lambda$ અને $N = 4.0 \times 10^{15}$ પરમાણુઓની કિંમતોને ક્ષય દરના સૂત્રમાં મૂકો:
$\frac{dN}{dt} = \left( \frac{0.693}{1.2 \times 10^7} \right) \times (4.0 \times 10^{15})$
$\frac{dN}{dt} = \frac{0.693 \times 4.0}{1.2} \times 10^{15-7}$
$\frac{dN}{dt} = \frac{2.772}{1.2} \times 10^8$
$\frac{dN}{dt} = 2.31 \times 10^8 \, \text{atoms/s}$.
યોગ્ય સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં લેતા, ક્ષય દર $2.3 \times 10^8 \, \text{atoms/s}$ મળે છે.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
જ્યાં $N_0$ એ $t = 0$ સમયે રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
આ સમીકરણ ઘાતાંકીય ક્ષય વિધેય દર્શાવે છે,જે $y = a e^{-kx}$ સ્વરૂપમાં છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $N$ પ્રારંભિક મૂલ્ય $N_0$ થી ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે અને જેમ $t \to \infty$ થાય તેમ તે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે $N$-અક્ષ પરના ધન મૂલ્યથી શરૂ થતો ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C^{14}$ અને $C^{12}$ નો ગુણોત્તર મૂળ જથ્થાના એક-ચતુર્થાંશ છે,તેથી $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{4}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5700}$.
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$,આપણે ઘાતાંકોને સરખાવી શકીએ: $2 = \frac{t}{5700}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $t = 2 \times 5700 = 11400 \, years$.

(C) ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ માં થતો ફેરફારનો દર એ ઉત્પાદન દર અને ક્ષય દરનો તફાવત છે: $\frac{dN}{dt} = n - \lambda N$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dN}{n - \lambda N} = dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $t = 0$ $(N = N_0)$ થી $t = t$ $(N = N)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{n - \lambda N} = \int_{0}^{t} dt$.
આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{1}{\lambda} [\ln(n - \lambda N)]_{N_0}^{N} = t$.
$-\frac{1}{\lambda} \ln\left( \frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} \right) = t$.
$\ln\left( \frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} \right) = -\lambda t$.
$\frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} = e^{-\lambda t}$.
$n - \lambda N = (n - \lambda N_0) e^{-\lambda t}$.
$\lambda N = n - (n - \lambda N_0) e^{-\lambda t}$.
$N = \frac{n}{\lambda} - \left( \frac{n}{\lambda} - N_0 \right) e^{-\lambda t} = \frac{n}{\lambda} + \left( N_0 - \frac{n}{\lambda} \right) e^{-\lambda t}$.

(C) અશ્મિભૂત હાડકામાં ${}^{14}C$ અને ${}^{12}C$ નો ગુણોત્તર $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ આપેલ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
બંનેને સરખાવતા,$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$ મળે છે.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 4$ છે.
અશ્મિની ઉંમર $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 5730 \, years$ છે.
$t = 4 \times 5730 = 22920 \, years$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $t = 5 \, minutes$ સમયે,એક્ટિવિટી $N = N_0/e$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $N_0/e = N_0 e^{-\lambda(5)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-1} = e^{-5\lambda}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $5\lambda = 1$,તેથી $\lambda = 1/5 \, min^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સમય છે જે એક્ટિવિટીને તેના પ્રારંભિક મૂલ્યથી અડધી થવા માટે જરૂરી છે,જે $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 1/5$ મૂકતા,આપણને $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/5} = 5 \ln 2 \, minutes$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.