Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ $40 \ days$ છે. $t$ સમય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = 20 \ days$ માટે,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{20}{40} = 0.5$ થાય.
બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.5} = N_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx 0.707 N_0$ છે.
ક્ષય પામેલો જથ્થો $N_0 - N = N_0 - 0.707 N_0 = 0.293 N_0$ છે,જે $29.3\%$ થાય છે.
$29.3\% \neq 25\%$ હોવાથી,વિધાન ખોટું છે.
કારણમાં આપેલું સૂત્ર રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો પ્રમાણભૂત નિયમ છે,જે સાચું છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે પરંતુ કારણ સાચું છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટીનું સૂત્ર $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે,$A$ એ અંતિમ એક્ટિવિટી છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે: $A_0 = 700 \; s^{-1}$,$A = 500 \; s^{-1}$,અને $t = 30 \; min$.
કિંમતો મૂકતા: $500 = 700 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{T_{1/2}}}$.
બંને બાજુ $700$ વડે ભાગતા: $\frac{5}{7} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{T_{1/2}}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(5/7) = \frac{30}{T_{1/2}} \ln(1/2)$.
$\ln(0.714) = \frac{30}{T_{1/2}} (-0.693)$.
$-0.337 = \frac{30}{T_{1/2}} (-0.693)$.
$T_{1/2} = \frac{30 \times 0.693}{0.337} \approx 61.69 \; min$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,અર્ધ-આયુષ્ય આશરે $62 \; min$ છે.

(D) અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 4.5 \times 10^{9} \text{ વર્ષ}$ છે.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $T_{1/2} = 4.5 \times 10^{9} \times 3.1536 \times 10^{7} \text{ s} \approx 1.42 \times 10^{17} \text{ s}$.
$1 \text{ g}$ $^{238}_{92}U$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = (\text{દળ} / \text{મોલર દળ}) \times N_A$ દ્વારા મળે છે.
$N = (1 / 238) \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.53 \times 10^{21} \text{ પરમાણુઓ}$.
એક્ટિવિટી $R = \lambda N = (0.693 / T_{1/2}) \times N$ છે.
$R = (0.693 \times 2.53 \times 10^{21}) / (1.42 \times 10^{17}) \text{ s}^{-1}$.
$R \approx 1.23 \times 10^{4} \text{ Bq}$.

(B) ટ્રિટિયમનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $12.5\; y$ છે.
કુલ વીતેલો સમય $t = 25\; y$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ નીચે મુજબ મળે છે: $n = t / T_{1/2} = 25 / 12.5 = 2$.
અક્ષયિત રહેલા નમૂનાનો ભાગ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N/N_0 = (1/2)^n$ છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ મળે છે.
આમ,$25\; y$ પછી શુદ્ધ ટ્રિટિયમના પ્રારંભિક નમૂનાનો $1/4$ ભાગ અક્ષયિત રહેશે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $\lambda = \frac{\ln 2}{T} \approx \frac{0.693}{T}$ છે.
$(a)$ આપેલ છે કે $\frac{A}{A_0} = 3.125\% = \frac{3.125}{100} = \frac{1}{32}$.
કારણ કે $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$,તેથી $e^{-\lambda t} = (\frac{1}{2})^5$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-\lambda t = 5 \ln(\frac{1}{2}) = -5 \ln 2$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $-\frac{\ln 2}{T} t = -5 \ln 2$.
આમ,$t = 5T$ વર્ષ.
$(b)$ આપેલ છે કે $\frac{A}{A_0} = 1\% = \frac{1}{100}$.
$e^{-\lambda t} = \frac{1}{100} \implies -\lambda t = \ln(10^{-2}) = -2 \ln 10$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\lambda} = \frac{2 \times 2.303}{0.693/T} = \frac{4.606}{0.693} T \approx 6.646T$ વર્ષ.

(C) જીવંત પદાર્થનો પ્રારંભિક વિભંજન દર $R = 15$ વિભંજન/મિનિટ છે.
મોહેંજોદારો સાઇટ પરથી મળેલા નમૂનાનો વિભંજન દર $R' = 9$ વિભંજન/મિનિટ છે.
$_{6}^{14}C$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5730$ વર્ષ છે.
વિભંજન અચળાંક $\lambda$ એ $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \text{ વર્ષ}^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેડિયોએક્ટિવ વિભંજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{R'}{R} = e^{-\lambda t}$,જ્યાં $t$ એ નમૂનાની ઉંમર છે.
$\frac{9}{15} = e^{-\lambda t} \implies 0.6 = e^{-\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(0.6) = -\lambda t$.
કારણ કે $\ln(0.6) \approx -0.5108$,તેથી $-0.5108 = -\lambda t$.
$t = \frac{0.5108}{\lambda} = \frac{0.5108 \times 5730}{0.693} \approx 4223.5 \text{ વર્ષ}$.
આમ,સિંધુ ખીણની સંસ્કૃતિની અંદાજિત ઉંમર $4223.5$ વર્ષ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતની પ્રબળતા $R = \frac{dN}{dt} = 8.0 \; mCi$ આપેલ છે.
$R = 8.0 \times 10^{-3} \times 3.7 \times 10^{10} \; \text{decays/s} = 29.6 \times 10^{7} \; \text{decays/s}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5.3 \; \text{વર્ષ} = 5.3 \times 365.25 \times 24 \times 3600 \; s \approx 1.67 \times 10^{8} \; s$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1.67 \times 10^{8}} \; s^{-1} \approx 4.15 \times 10^{-9} \; s^{-1}$.
સંબંધ $R = \lambda N$ નો ઉપયોગ કરતા, જરૂરી પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{R}{\lambda} = \frac{29.6 \times 10^{7}}{4.15 \times 10^{-9}} \approx 7.133 \times 10^{16} \; \text{પરમાણુઓ}$.
$_{27}^{60} Co$ નું મોલર દળ $60 \; g/mol$ છે. દળ $m = \frac{N \times M}{N_A}$, જ્યાં $N_A = 6.023 \times 10^{23} \; \text{પરમાણુઓ/મોલ}$.
$m = \frac{7.133 \times 10^{16} \times 60}{6.023 \times 10^{23}} \approx 7.106 \times 10^{-6} \; g$.

(A) $_{38}^{90} Sr$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 28$ વર્ષ છે.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર: $t_{1/2} = 28 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 8.83 \times 10^{8} \; s$.
આઇસોટોપનું દળ $m = 15 \; mg = 15 \times 10^{-3} \; g$.
$15 \; mg$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{m}{M} \times N_A$, જ્યાં $M = 90 \; g/mol$ અને $N_A = 6.023 \times 10^{23} \; \text{atoms/mol}$.
$N = \frac{15 \times 10^{-3}}{90} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 1.0038 \times 10^{20} \; \text{atoms}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{8.83 \times 10^{8}} \; s^{-1}$.
વિઘટન દર $R = \lambda N = \left( \frac{0.693}{8.83 \times 10^{8}} \right) \times (1.0038 \times 10^{20}) \approx 7.878 \times 10^{10} \; \text{atoms/s}$.

(D) ધારો કે $_{15}^{32} P$ અને $_{15}^{33} P$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અનુક્રમે $N_1$ અને $N_2$ છે. એક્ટિવિટી $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$A_2 / (A_1 + A_2) = 0.1$,જેનો અર્થ છે કે $A_2 = (1/9) A_1$.
$A = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ મૂકતા,આપણને $\frac{N_2}{T_2} = \frac{1}{9} \frac{N_1}{T_1}$ મળે છે,તેથી $N_2(0) = \frac{1}{9} \frac{T_2}{T_1} N_1(0) = \frac{1}{9} \frac{25.3}{14.3} N_1(0) \approx 0.1966 N_1(0)$.
$t$ સમય પછી,એક્ટિવિટી $A_1(t) = A_1(0) 2^{-t/T_1}$ અને $A_2(t) = A_2(0) 2^{-t/T_2}$ છે.
આપણે $A_2(t) / (A_1(t) + A_2(t)) = 0.9$ ઇચ્છીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $A_2(t) = 9 A_1(t)$.
એક્ટિવિટી માટેના સમીકરણો મૂકતા: $A_2(0) 2^{-t/T_2} = 9 A_1(0) 2^{-t/T_1}$.
$A_2(0) = (1/9) A_1(0)$ હોવાથી,$(1/9) A_1(0) 2^{-t/T_2} = 9 A_1(0) 2^{-t/T_1}$.
$2^{-t/T_2} / 2^{-t/T_1} = 81$,જેનો અર્થ છે $2^{t(1/T_1 - 1/T_2)} = 81$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $t(1/14.3 - 1/25.3) \log_{10} 2 = \log_{10} 81$.
$t(0.06993 - 0.03953) \times 0.3010 = 1.9085$.
$t(0.0304) \times 0.3010 = 1.9085 \implies t \approx 208.5 \ d$.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ રેડિયોએક્ટિવ નમૂનામાં,એકમ સમયમાં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તે નમૂનામાં હાજર કુલ ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે સમય $t$ પર નમૂનામાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ છે,અને નાના સમયગાળા $\Delta t$ માં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $\Delta N$ છે. નિયમ મુજબ:
$\frac{\Delta N}{\Delta t} \propto N$
સમય જતાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ ઘટતી હોવાથી,$N$ માં થતો ફેરફારનો દર ઋણ હોય છે. તેથી,આપણે લખી શકીએ:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક અથવા વિભંજન અચળાંક છે.
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dN}{N} = -\lambda dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = -\int_{0}^{t} \lambda dt$
$\ln(N) - \ln(N_0) = -\lambda t$
$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t$
બંને બાજુ એક્સપોનેન્શિયલ લેતા:
$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
આ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ છે,જ્યાં $N_0$ એ $t = 0$ સમયે ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.

(N/A) આલેખ પરથી નીચે મુજબની લાક્ષણિકતાઓ જોવા મળે છે:
$(1)$ રેડિયોએક્ટિવ નમૂનામાં અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમય સાથે $N = N_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમ મુજબ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. શરૂઆતમાં વિભંજન ઝડપથી થાય છે અને જેમ સમય પસાર થાય છે તેમ વિભંજનનો દર ઘટતો જાય છે. આ આલેખને ક્ષય વક્ર (decay curve) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$(2)$ આલેખ પરથી વિભંજનનો દર અને અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ નક્કી કરી શકાય છે.
$(3)$ જો ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ મોટો હોય,તો વિભંજનનો દર પણ મોટો હોય છે.
$(4)$ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના પ્રકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના,સંપૂર્ણ નમૂનાને ક્ષય થવા માટે અનંત સમય લાગે છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,વિઘટનનો દર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
અહીં,$dN$ એ $dt$ સમયગાળામાં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે,$N$ એ $t$ સમયે હાજર અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે,અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક અથવા રેડિયોએક્ટિવ અચળાંક છે.
$\lambda$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = -\frac{dN/dt}{N}$
વ્યાખ્યા: કોઈ ચોક્કસ સમયે વિઘટનના તત્કાલીન દર અને તે સમયે હાજર અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના ગુણોત્તરને ક્ષય અચળાંક કહેવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તેને રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ માટે એકમ સમય દીઠ ક્ષય થવાની સંભાવના તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનામાં એકમ સમય દીઠ વિભંજન પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાને વિભંજન દર અથવા રેડિયોએક્ટિવિટી $(R)$ કહે છે.
જો રેડિયોએક્ટિવ નમૂનામાં $t$ સમયે $N$ ન્યુક્લિયસ હોય, તો વિભંજન દર અથવા એક્ટિવિટી $R$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$R = -\frac{dN}{dt}$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે સમય જતાં રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યામાં ઘટાડો થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ, ક્ષયનો દર હાજર ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
તેથી, $R = \lambda N$, જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
રેડિયોએક્ટિવિટીના એકમો:
$1$. $SI$ એકમ બેકવેરલ $(Bq)$ છે, જ્યાં $1 \ Bq = 1 \ \text{વિભંજન પ્રતિ સેકન્ડ}$.
$2$. જૂનો એકમ ક્યુરી $(Ci)$ છે, જ્યાં $1 \ Ci = 3.7 \times 10^{10} \ Bq$.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવિટી માટેનો $SI$ એકમ બેકવેરલ $(Bq)$ છે,જેનું નામ રેડિયોએક્ટિવિટીના શોધક હેનરી બેકવેરલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે.
$(i)$ બેકવેરલ $(Bq)$: જે પદાર્થમાં પ્રતિ સેકન્ડ $1$ વિભંજન થાય છે,તેની એક્ટિવિટીને $1$ બેકવેરલ $(Bq)$ કહેવામાં આવે છે. $\therefore 1 \text{ } Bq = 1 \text{ decay/s}$.
$(ii)$ ક્યુરી $(Ci)$: જે પદાર્થમાં પ્રતિ સેકન્ડ $3.7 \times 10^{10}$ વિભંજન થાય છે,તેની એક્ટિવિટીને $1$ ક્યુરી $(Ci)$ કહેવામાં આવે છે. $\therefore 1 \text{ } Ci = 3.7 \times 10^{10} \text{ decay/s}$. વ્યવહારમાં તેના નાના એકમો વપરાય છે: $1 \text{ } mCi = 3.7 \times 10^{7} \text{ decay/s} = 10^{-3} \text{ } Ci$ અને $1 \text{ } \mu Ci = 3.7 \times 10^{4} \text{ decay/s} = 10^{-6} \text{ } Ci$. ક્યુરી એ જૂનો પ્રાયોગિક એકમ છે.
$(iii)$ રધરફોર્ડ $(rd)$: રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના જે જથ્થામાં પ્રતિ સેકન્ડ $10^{6}$ (દસ લાખ) ન્યુક્લિયસનું વિભંજન થાય છે,તેને રધરફોર્ડ $(rd)$ કહેવામાં આવે છે. $\therefore 1 \text{ } rd = 10^{6} \text{ decay/s}$.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય એટલે તે સમયગાળો જેમાં રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય છે.
ધારો કે $t = 0$ સમયે ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે. એક અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ પછી,ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ એ $N_0 / 2$ થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ:
$N = N_0 e^{-\lambda t}$
$N = N_0 / 2$ અને $t = T_{1/2}$ મુકતા:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2}$
$-\ln(2) = -\lambda T_{1/2}$
$\ln(2) = \lambda T_{1/2}$
$\ln(2) \approx 0.693$ હોવાથી:
$0.693 = \lambda T_{1/2}$
તેથી,સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$
આમ,રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું અર્ધ-આયુષ્ય તેના ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે અને તે નમૂનામાં હાજર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા પર આધારિત નથી.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું સરેરાશ આયુષ્ય એટલે તમામ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયસના આયુષ્યનો સરવાળો ભાગ્યા શરૂઆતમાં હાજર કુલ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા.
વૈકલ્પિક રીતે,તે સમયગાળો છે જે દરમિયાન રેડિયોએક્ટિવ તત્વના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તેની મૂળ સંખ્યાના $1/e$ ગણી થઈ જાય છે.
ધારો કે $\tau$ સરેરાશ આયુષ્ય છે. સરેરાશ આયુષ્ય અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N = N_0 e^{-\lambda t}$.
$dt$ સમયમાં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $dN = \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt$ છે.
તમામ $N_0$ ન્યુક્લિયસનું કુલ આયુષ્ય $\int_{0}^{\infty} t dN = \int_{0}^{\infty} t (\lambda N_0 e^{-\lambda t}) dt$ છે.
આમ,$\tau = \frac{1}{N_0} \int_{0}^{\infty} t \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt = \lambda \int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda^2}$.
તેથી,$\tau = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ હોવાથી,આપણને $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.44 T_{1/2}$ મળે છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ સમયે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના વિઘટનનો દર તે સમયે નમૂનામાં હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ હોય,તો ક્ષયનો દર નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
જ્યાં:
$1$. $\frac{dN}{dt}$ એ ક્ષયનો દર (એકમ સમય દીઠ વિઘટન) છે.
$2$. $\lambda$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો ક્ષય અચળાંક (અથવા વિઘટન અચળાંક) છે.
$3$. ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે સમય સાથે રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યામાં ઘટાડો થાય છે.
આ સમીકરણનું સંકલન કરતા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ મળે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$,જ્યાં $N_0$ એ $t = 0$ સમયે ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ સમયે $t$ પર અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ એ ઘાતાંકીય ક્ષય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = N_0 e^{-\lambda t}$
જ્યાં:
$N_0$ એ $t = 0$ સમયે રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે।
$N$ એ $t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે।
$\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક (અથવા વિભંજન અચળાંક) છે।
$t$ એ વીતેલો સમય છે।

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય વક્ર એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t)$ નો આલેખ છે. આ વક્ર પરથી આપણે નીચે મુજબની બાબતો મેળવી શકીએ છીએ:
$1$. અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$: તે સમય જ્યારે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા પ્રારંભિક સંખ્યા કરતા અડધી થઈ જાય છે.
$2$. ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$: તે વક્રના ઢાળ પરથી અથવા અર્ધ-આયુષ્યના સંબંધ $T_{1/2} = 0.693 / \lambda$ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
$3$. સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$: તે $\tau = 1 / \lambda$ સંબંધ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ એટલે તે સમયનો વ્યસ્ત, જે દરમિયાન રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના પરમાણુઓની સંખ્યા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $1/e$ (આશરે $36.8\%$) જેટલી ઘટી જાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે, તે રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ માટે પ્રતિ એકમ સમય દીઠ ક્ષય થવાની સંભાવના છે.
ગાણિતિક રીતે, તે $dN/dt = -\lambda N$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $dN/dt$ એ ક્ષયનો દર છે અને $N$ એ તે ક્ષણે હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંકનો $SI$ એકમ $\text{s}^{-1}$ (પ્રતિ સેકન્ડ) છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવિટીનો $SI$ એકમ $Becquerel$ $(Bq)$ છે.
એક $Becquerel$ એટલે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો એવો જથ્થો જેમાં દર સેકન્ડે એક ન્યુક્લિયસનું ક્ષય (decay) થાય છે.
ગાણિતિક રીતે, $1 \ Bq = 1 \ \text{disintegration per second} = 1 \ s^{-1}$.

(N/A) વ્યાખ્યા: રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ એટલે તે સમયગાળો કે જેમાં આપેલા નમૂનામાં રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય છે.
સૂત્ર: અર્ધ-આયુષ્ય અને ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$
જ્યાં:
$T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે,
$\lambda$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય અચળાંક છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું સરેરાશ આયુષ્ય (mean life) એટલે તમામ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસના કુલ આયુષ્ય અને શરૂઆતમાં હાજર રહેલા કુલ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર.
ગાણિતિક રીતે, તે ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ નો વ્યસ્ત છે.
જો $N_0$ એ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા હોય, તો સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\tau = \frac{1}{\lambda}$
તે અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ સાથે નીચેના સંબંધ દ્વારા પણ જોડાયેલું છે:
$\tau = \frac{T_{1/2}}{0.693} \approx 1.44 \times T_{1/2}$

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \frac{1}{\lambda}$.
અર્ધ-આયુષ્યના સૂત્રમાં $\lambda = \frac{1}{\tau}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T_{1/2} = 0.693 \times \tau$ અથવા $T_{1/2} = \ln(2) \tau$.

(N/A) સરેરાશ આયુષ્ય (અથવા સરેરાશ જીવનકાળ),જેને $\tau$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તમામ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસના કુલ આયુષ્ય અને શરૂઆતમાં હાજર રહેલા ન્યુક્લિયસની કુલ સંખ્યાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\tau = \frac{1}{\lambda}$
જ્યાં $\lambda$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો ક્ષય અચળાંક છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,ક્ષય દર $R$ (અથવા એક્ટિવિટી) નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \lambda N$
જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
જો આપણે ન્યુક્લિયસની સંખ્યામાં થતા ફેરફારનો દર ધ્યાનમાં લઈએ,તો તે નીચે મુજબ છે:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \frac{dN}{dt}$,$m = -\lambda$,$x = N$,અને $c = 0$ છે:
ક્ષય દર $(\frac{dN}{dt})$ વિરુદ્ધ સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $(N)$ નો આલેખ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે જેનો ઢાળ $-\lambda$ છે.
કારણ કે $N$ હંમેશા ધન હોય છે અને $\frac{dN}{dt}$ ઋણ હોય છે,તેથી આલેખ $4^{\text{થા}}$ ચરણમાં આવે છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $I = I_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે. સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને $\tau = \frac{1}{\lambda}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,કોઈપણ સમય $t_0$ પર,નમૂના $B$ ની એક્ટિવિટી $(I_B)$ એ નમૂના $A$ ની એક્ટિવિટી $(I_A)$ કરતા ઓછી છે,એટલે કે $I_B < I_A$.
બંને નમૂનાઓ સમાન પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $I_0$ થી શરૂ થાય છે,તેથી:
$I_A = I_0 e^{-\lambda_A t_0}$
$I_B = I_0 e^{-\lambda_B t_0}$
$I_B < I_A$ આપેલ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $e^{-\lambda_B t_0} < e^{-\lambda_A t_0}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\lambda_B t_0 < -\lambda_A t_0$
$\lambda_B > \lambda_A$
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ એ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\tau = \frac{1}{\lambda})$,મોટો ક્ષય અચળાંક ટૂંકા સરેરાશ આયુષ્ય સૂચવે છે.
તેથી,$\tau_B < \tau_A$.
આમ,નમૂના $B$ નું સરેરાશ આયુષ્ય ઓછું છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $I = I_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ સમય $t$ પરની સક્રિયતા છે,$I_0$ એ પ્રારંભિક સક્રિયતા છે,અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
અહીં $I = 12$ વિભંજન/મિનિટ/ગ્રામ,$I_0 = 16$ વિભંજન/મિનિટ/ગ્રામ,અને $T_{1/2} = 5760$ વર્ષ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5760} \text{ વર્ષ}^{-1}$.
ક્ષયના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$12 = 16 e^{-\lambda t}$
$\frac{12}{16} = e^{-\lambda t} \implies 0.75 = e^{-\lambda t}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(0.75) = -\lambda t$
$t = -\frac{\ln(0.75)}{\lambda} = -\frac{\ln(0.75) \times 5760}{0.693}$
કારણ કે $\ln(0.75) \approx -0.2877$:
$t = \frac{0.2877 \times 5760}{0.693} \approx 2391 \text{ વર્ષ}$.
આમ,વૃક્ષ આશરે $2391$ વર્ષ પહેલા મૃત્યુ પામ્યું હશે.

(N/A) $(i)$ આ કિસ્સામાં, $R$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક્સપોનેન્શિયલ ક્ષય વક્ર (exponential decay curve) મળે છે。
સમય $t = 0$ પર, $R_0 = 100 \text{ MBq}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $\tau_{1/2}$ એ સમય છે જ્યારે એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થાય છે, એટલે કે $R = \frac{R_0}{2} = 50 \text{ MBq}$.
આલેખ પરથી, $R = 50 \text{ MBq}$ માટે અનુરૂપ સમય $t = 0.66 \text{ h}$ છે。
તેથી, અર્ધ-આયુષ્ય $\tau_{1/2} = 0.66 \text{ h} = 0.66 \times 60 \text{ min} = 39.6 \text{ min} \approx 40 \text{ min}$.
$(ii)$ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ, $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = -\lambda t$.
આ $y = mx + c$ પ્રકારની સુરેખાનું સમીકરણ છે, જ્યાં $y = \ln \left( \frac{R}{R_0} \right)$, $x = t$, ઢાળ $m = -\lambda$ અને અંતઃખંડ $c = 0$ છે。
આ આલેખનો ઢાળ $-\lambda$ છે. ડેટા પોઈન્ટ્સ પરથી ઢાળની ગણતરી કરતા, આપણને $\lambda \approx 1.05 \text{ h}^{-1}$ મળે છે。
સંબંધ $\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{1.05} \approx 0.66 \text{ h}$ નો ઉપયોગ કરતા.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે,જેનું સમીકરણ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
આપેલ છે કે $t$ સમય પછી બાકી રહેલો અંશ $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{9}{16}$ છે,તેથી $e^{-\lambda t} = \frac{9}{16}$.
આપણે $\frac{t}{2}$ સમય પછી બાકી રહેલો અંશ $\frac{N(t/2)}{N_0}$ શોધવાનો છે.
$\frac{t}{2}$ સમય માટે ક્ષય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{N(t/2)}{N_0} = e^{-\lambda (t/2)} = (e^{-\lambda t})^{1/2}$.
જાણીતી કિંમત મૂકતા: $\frac{N(t/2)}{N_0} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

(A) જ્યારે કોઈ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ ક્ષય અચળાંકો ધરાવતી બે અલગ-અલગ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્ય માટેનો સંબંધ આ મુજબ લખી શકાય:
$\frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$
$\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$
અહીં $T_1 = 10 \ s$ અને $T_2 = 100 \ s$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{10 + 1}{100} = \frac{11}{100}$
$T_{\text{eff}} = \frac{100}{11} \approx 9.09 \ s$
આમ,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $9 \ s$ ની નજીક છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R = R_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln R = \ln R_{0} - \lambda t$ મળે છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આલેખ પરથી,દરેક પદાર્થ માટે ઢાળ $\lambda$ નીચે મુજબ છે:
$A$ માટે: $\lambda_{A} = \frac{6 - 0}{10 - 0} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
$B$ માટે: $\lambda_{B} = \frac{4 - 0}{5 - 0} = 0.8 = \frac{4}{5}$.
$C$ માટે: $\lambda_{C} = \frac{2 - 0}{5 - 0} = 0.4 = \frac{2}{5}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$T_{\frac{1}{2}}(A) : T_{\frac{1}{2}}(B) : T_{\frac{1}{2}}(C) = \frac{1}{\lambda_{A}} : \frac{1}{\lambda_{B}} : \frac{1}{\lambda_{C}} = \frac{5}{3} : \frac{5}{4} : \frac{5}{2}$.
છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(12)$ વડે ગુણતા,આપણને $20 : 15 : 30$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4 : 3 : 6$ થાય છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $(A)$ એ ક્ષયના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર છે: $A = \lambda N$.
અહીં,$\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે,જે અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
આપેલ છે:
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $(N)$ = $2.0 \times 10^{21}$
અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ = $1.4 \times 10^{17} \; s$
આ કિંમતોને એક્ટિવિટીના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = N \times \frac{0.693}{T_{1/2}}$
$A = (2.0 \times 10^{21}) \times \frac{0.693}{1.4 \times 10^{17}}$
$A = \frac{1.386}{1.4} \times 10^{4}$
$A \approx 0.99 \times 10^{4} \; Bq$
$A \approx 10^{4} \; Bq$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_{0} (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t_{1}$ પર,$1/3$ ભાગ ક્ષય પામ્યો છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N_{1} = N_{0} - (1/3)N_{0} = (2/3)N_{0}$ છે.
સમય $t_{2}$ પર,$2/3$ ભાગ ક્ષય પામ્યો છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N_{2} = N_{0} - (2/3)N_{0} = (1/3)N_{0}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $N_{2}/N_{1} = [(1/3)N_{0}] / [(2/3)N_{0}] = 1/2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $N_{2}/N_{1} = (1/2)^{(t_{2}-t_{1})/T_{1/2}}$,તેથી $(1/2)^{1} = (1/2)^{(t_{2}-t_{1})/20}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$(t_{2}-t_{1})/20 = 1$,જે આપે છે $t_{2}-t_{1} = 20 \ min$.

(A) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ આ મુજબ મળે છે: $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{69.3} = 0.01 \text{ hr}^{-1}$.
ધારો કે $t = 0$ સમયે સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
$t = 10 \text{ hr}$ સમયે સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = N_0 e^{-10\lambda}$ છે.
$t = 11 \text{ hr}$ સમયે સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = N_0 e^{-11\lambda}$ છે.
$t = 10 \text{ hr}$ અને $t = 11 \text{ hr}$ ની વચ્ચે ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $\Delta N = N_1 - N_2$ છે.
$t = 10 \text{ hr}$ સમયે હાજર જથ્થાના સંદર્ભમાં ક્ષયની ટકાવારી:
$\% \text{ decay} = \left( \frac{N_1 - N_2}{N_1} \right) \times 100$
$= \left( 1 - \frac{N_2}{N_1} \right) \times 100$
$= \left( 1 - \frac{N_0 e^{-11\lambda}}{N_0 e^{-10\lambda}} \right) \times 100$
$= (1 - e^{-\lambda}) \times 100$
અહીં $\lambda = 0.01$ હોવાથી,$e^{-\lambda} = e^{-0.01} \approx 1 - 0.01 = 0.99$.
$\% \text{ decay} = (1 - 0.99) \times 100 = 0.01 \times 100 = 1 \%$.

(C) ક્ષયનો દર રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$.
$1$ વર્ષના નાના સમયગાળા $dt = 1$ માટે,ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $\Delta N \approx \lambda N \Delta t$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે.
$\ln 2 \approx 0.7$ અને $T_{1/2} = 10^{33}$ વર્ષ લેતા:
$\Delta N = \frac{0.7}{10^{33}} \times (26 \times 10^{24}) \times 1$.
$\Delta N = 0.7 \times 26 \times 10^{-9} = 18.2 \times 10^{-9}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ ફોર્મેટ મુજબ,જવાબ $18.2 \times 10^{-7}$ ના સ્વરૂપમાં $18.2$ છે.

(A) $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો તત્વનો $99 \%$ ભાગ ક્ષય પામે,તો બાકી રહેલો જથ્થો $100 \% - 99 \% = 1 \%$ થાય.
તેથી,$N/N_0 = 1/100 = 0.01$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.01 = (1/2)^n$,જેનો અર્થ છે કે $2^n = 100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$ થાય છે.
જેમ કે $64 < 100 < 128$,તેથી $n$ ની કિંમત $6$ અને $7$ ની વચ્ચે આવે છે.
આમ,રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો $99 \%$ ભાગ $6$ અને $7$ અર્ધ-આયુષ્યની વચ્ચે ક્ષય પામશે.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R$ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$,જ્યાં $R_0$ એ $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે.
સમય $t_1$ માટે,એક્ટિવિટી $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ છે.
સમય $t_2$ માટે,એક્ટિવિટી $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_1}}{R_0 e^{-\lambda t_2}} = e^{-\lambda t_1 + \lambda t_2} = e^{\lambda(t_2 - t_1)}$.
તેથી,$R_1 = R_2 e^{\lambda(t_2 - t_1)}$.

(C) જ્યારે કોઈ રેડિયોએક્ટિવ નમૂનો બે સ્વતંત્ર ક્ષય પ્રક્રિયાઓમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{eq} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે.
તેથી,$\frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{T_{1/2}^{(1)}} + \frac{\ln 2}{T_{1/2}^{(2)}}$.
બંને બાજુ $\ln 2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{T_{1/2}} = \frac{1}{T_{1/2}^{(1)}} + \frac{1}{T_{1/2}^{(2)}}$.
આ સમીકરણને $T_{1/2}$ માટે ઉકેલતા:
$T_{1/2} = \frac{T_{1/2}^{(1)} T_{1/2}^{(2)}}{T_{1/2}^{(1)} + T_{1/2}^{(2)}}$.

(B) એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
પ્રથમ, અર્ધ-આયુષ્ય સમયને સેકન્ડમાં ફેરવો: $T_{1/2} = 2.7 \times 24 \times 3600 \, s = 233280 \, s$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{1.5 \times 10^{-3} \, g}{198 \, g/mol} \times 6 \times 10^{23} \, mol^{-1} \approx 4.545 \times 10^{18} \, atoms$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{233280 \, s} \approx 2.97 \times 10^{-6} \, s^{-1}$.
એક્ટિવિટી $A = \lambda N = (2.97 \times 10^{-6} \, s^{-1}) \times (4.545 \times 10^{18}) \approx 1.35 \times 10^{13} \, Bq$.
કારણ કે $1 \, Ci = 3.7 \times 10^{10} \, Bq$, તેથી ક્યુરીમાં એક્ટિવિટી $A = \frac{1.35 \times 10^{13}}{3.7 \times 10^{10}} \approx 365 \, Ci$ થાય.

(B) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$33\%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = N_0(1 - 0.33) = 0.67 N_0$ છે. તેથી,$0.67 = e^{-\lambda t_1}$,જે આપે છે $t_1 = -\frac{1}{\lambda} \ln(0.67)$.
$67\%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = N_0(1 - 0.67) = 0.33 N_0$ છે. તેથી,$0.33 = e^{-\lambda t_2}$,જે આપે છે $t_2 = -\frac{1}{\lambda} \ln(0.33)$.
સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = -\frac{1}{\lambda} (\ln(0.33) - \ln(0.67)) = \frac{1}{\lambda} \ln(\frac{0.67}{0.33})$.
કારણ કે $\frac{0.67}{0.33} \approx 2.03 \approx 2$,તેથી $\Delta t \approx \frac{\ln 2}{\lambda} = t_{1/2}$.
આપેલ છે કે $t_{1/2} = 20\, minutes$,તેથી સમયગાળો આશરે $20\, minutes$ છે.

(C) ધારો કે $X$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{x} = t$ છે અને $Y$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{y} = 2t$ છે.
$Y$ ના ત્રણ અર્ધ-આયુષ્ય સમય પછી,વીતેલો સમય $t_{total} = 3 \times T_{y} = 3 \times 2t = 6t$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N(t) = N_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$X$ અને $Y$ માટે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા:
$N_{1}' = N_{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{6t/t} = N_{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{N_{1}}{64}$
$N_{2}' = N_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{6t/2t} = N_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{N_{2}}{8}$
આપેલ છે કે $N_{1}' = N_{2}'$,તેથી:
$\frac{N_{1}}{64} = \frac{N_{2}}{8}$
$\frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{64}{8} = \frac{8}{1}$

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A(t) = A_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t_{1}$ પર,$A = A_{0} e^{-\lambda t_{1}}$ ... $(i)$
સમય $t_{2}$ પર,$\frac{A}{5} = A_{0} e^{-\lambda t_{2}}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A}{A/5} = \frac{A_{0} e^{-\lambda t_{1}}}{A_{0} e^{-\lambda t_{2}}}$
$5 = e^{\lambda(t_{2}-t_{1})}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln 5 = \lambda(t_{2}-t_{1})$
$\lambda = \frac{\ln 5}{t_{2}-t_{1}}$
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ એ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ નો વ્યસ્ત છે:
$\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{t_{2}-t_{1}}{\ln 5}$

(C) ક્ષય પ્રક્રિયાઓ $A \xrightarrow{\lambda} B$ અને $B \xrightarrow{\lambda} C$ છે.
$B$ પરમાણુઓની સંખ્યામાં થતા ફેરફારનો દર:
$\frac{dN_{B}}{dt} = \lambda N_{A} - \lambda N_{B}$
$N_{A}(t) = N_{A}(0) e^{-\lambda t}$ અને $N_{A}(0) = 2 N_{B}(0)$ હોવાથી, $N_{A}(t) = 2 N_{B}(0) e^{-\lambda t}$ મળે.
આ કિંમત દરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dN_{B}}{dt} = \lambda (2 N_{B}(0) e^{-\lambda t}) - \lambda N_{B}$
$\frac{dN_{B}}{dt} + \lambda N_{B} = 2 \lambda N_{B}(0) e^{-\lambda t}$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\lambda t}$ વડે ગુણતા:
$e^{\lambda t} \frac{dN_{B}}{dt} + \lambda N_{B} e^{\lambda t} = 2 \lambda N_{B}(0)$
$\frac{d}{dt} (N_{B} e^{\lambda t}) = 2 \lambda N_{B}(0)$
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$N_{B} e^{\lambda t} = 2 \lambda N_{B}(0) t + C$
$t=0$ સમયે, $N_{B} = N_{B}(0)$, તેથી $C = N_{B}(0)$.
$N_{B} e^{\lambda t} = N_{B}(0) (1 + 2 \lambda t)$
$N_{B}(t) = N_{B}(0) (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t}$
તેથી, $\frac{N_{B}(t)}{N_{B}(0)} = (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t}$.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે, $\frac{d}{dt} (\frac{N_{B}(t)}{N_{B}(0)}) = 0$ લેતા:
$2 \lambda e^{-\lambda t} - \lambda (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t} = 0$
$2 - 1 - 2 \lambda t = 0 \implies 1 = 2 \lambda t \implies t = \frac{1}{2 \lambda}$.
$t = \frac{1}{2 \lambda}$ સમયે, મૂલ્ય $(1 + 2 \lambda (\frac{1}{2 \lambda})) e^{-\lambda (\frac{1}{2 \lambda})} = 2 e^{-0.5} \approx 1.21$ મળે.
આ આકૃતિ $C$ માં દર્શાવેલ વર્તણૂક સાથે મેળ ખાય છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની સંખ્યા,$N_0 = 10^{10}$.
અર્ધ-આયુષ્ય,$T_{1/2} = 1 \text{ minute} = 60 \text{ seconds}$.
વિતેલો સમય,$t = 30 \text{ seconds}$.
કિંમતો મૂકતા:
$N = 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{60}}$
$N = 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}$
$N = \frac{10^{10}}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ નો ઉપયોગ કરતા:
$N = \frac{10^{10}}{1.414} \approx 7.07 \times 10^9 \approx 7 \times 10^9$.

(B) આપેલ છે કે $x$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $y$ ના સરેરાશ આયુષ્ય જેટલો છે:
$(t_{1/2})_x = (\tau)_y$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(t_{1/2})_x = \frac{\ln 2}{\lambda_x}$ અને $(\tau)_y = \frac{1}{\lambda_y}$,તેથી:
$\frac{\ln 2}{\lambda_x} = \frac{1}{\lambda_y} \Rightarrow \lambda_x = \lambda_y \ln 2 \approx 0.693 \lambda_y$.
આ દર્શાવે છે કે $\lambda_x < \lambda_y$.
શરૂઆતમાં,પરમાણુઓની સંખ્યા સમાન છે: $N_x = N_y = N_0$.
ક્ષય દર (એક્ટિવિટી) $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\lambda_x < \lambda_y$ અને $N_x = N_y$,તેથી $A_x < A_y$ થાય.
તેથી,તત્વ $y$ એ તત્વ $x$ કરતા ઝડપથી ક્ષય પામશે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A$ સૂત્ર $A = A_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_{0}$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $T_{H}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
અહીં $T_{H} = 100 \, hours$ અને $t = 150 \, hours$ આપેલ છે.
બાકી રહેતી એક્ટિવિટીનો અંશ $\frac{A}{A_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{150/100}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય $T_1 = 1400 \, \text{વર્ષ}$ અને $T_2 = 700 \, \text{વર્ષ}$ છે.
ક્ષય અચળાંકો $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{1400} \, year^{-1}$ અને $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{700} \, year^{-1}$ છે.
કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{net} = \lambda_1 + \lambda_2 = \ln 2 \left( \frac{1}{1400} + \frac{1}{700} \right) = \ln 2 \left( \frac{1+2}{1400} \right) = \frac{3 \ln 2}{1400} \, year^{-1}$ છે.
ધારો કે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે. આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $N(t) = \frac{N_0}{3}$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda_{net} t}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{N_0}{3} = N_0 e^{-\lambda_{net} t}$.
$\frac{1}{3} = e^{-\lambda_{net} t} \implies \ln(3) = \lambda_{net} t$.
કિંમતો મૂકતા: $1.1 = \left( \frac{3 \times 0.693}{1400} \right) t$.
$t = \frac{1.1 \times 1400}{3 \times 0.693} \approx \frac{1540}{2.079} \approx 740.7 \, \text{વર્ષ}$.
આમ, સમય આશરે $740 \, \text{વર્ષ}$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ મળે છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આલેખ પરથી,રેખા $(0, 6)$ અને $(40, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી ઢાળ $= \frac{0 - 6}{40 - 0} = -\frac{6}{40} = -0.15$ થાય.
આમ,$-\lambda = -0.15$,જે ક્ષય અચળાંક $\lambda = 0.15 \, \text{sec}^{-1}$ આપે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.15} = 4.62 \, \text{sec}$ થાય છે.