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Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi
Class 12 Physics · Moving Charges and Magnetism · Biot-Savart's Law and its application
706+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 706 questions in Hindi
551
EasyMCQ
स्थिर धारा ले जाने वाले एक अनंत लंबे सीधे चालक से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र किस प्रकार परिवर्तित होता है?
A
$1/\sqrt{r}$
B
$1/r^{2}$
C
$1/r$
D
$1/r^{3}$
Solution
(C) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक अनंत लंबे सीधे धारावाही चालक से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
यहाँ,$\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है और $I$ चालक से बहने वाली स्थिर धारा है।
चूंकि $\mu_{0}$,$I$ और $2 \pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम देख सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,$B \propto \frac{1}{r}$.
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
यहाँ,$\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है और $I$ चालक से बहने वाली स्थिर धारा है।
चूंकि $\mu_{0}$,$I$ और $2 \pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम देख सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,$B \propto \frac{1}{r}$.
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DifficultMCQ
दिखाए गए लूप में,बिंदु $O$ पर चुंबकीय प्रेरण है
A
शून्य
B
$\frac{\mu_{0} I}{8}\left(\frac{R_{1}-R_{2}}{R_{1} R_{2}}\right)$
C
$\frac{\mu_{0} I}{8}\left(\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1} R_{2}}\right)$
D
$\frac{\mu_{0} I}{8}\left(\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right)$
Solution
(C) लूप $R_{1}$ और $R_{2}$ त्रिज्या के दो अर्ध-वृत्ताकार चापों और दो सीधे खंडों से बना है। सीधे खंड $O$ की ओर या $O$ से दूर इंगित करते हैं,इसलिए $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में उनका योगदान शून्य है।
केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ है।
यहाँ,दोनों चाप अर्ध-वृत्त हैं,इसलिए $\theta = \pi$ है।
$R_{1}$ त्रिज्या के चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{1}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{1}}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर)।
$R_{2}$ त्रिज्या के चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{2} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{2}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{2}}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर)।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = |B_{1} - B_{2}| = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} \right)$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{\mu_{0} I}{8} (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}})$ है।
केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ है।
यहाँ,दोनों चाप अर्ध-वृत्त हैं,इसलिए $\theta = \pi$ है।
$R_{1}$ त्रिज्या के चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{1}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{1}}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर)।
$R_{2}$ त्रिज्या के चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{2} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{2}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{2}}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर)।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = |B_{1} - B_{2}| = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} \right)$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{\mu_{0} I}{8} (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}})$ है।
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EasyMCQ
$R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार कुंडली में $i$ धारा प्रवाहित होने के कारण इसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ है। केंद्र से $R$ दूरी पर अक्ष पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$\frac{B}{2}$
B
$\frac{B}{4}$
C
$\frac{B}{\sqrt{8}}$
D
$\sqrt{8} \,B$
Solution
(C) $R$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है,इसलिए हम सूत्र में मान रखते हैं:
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2^{3/2} R^{3})}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i}{2 R \cdot 2^{3/2}}$
चूँकि $2^{3/2} = \sqrt{8}$,इसलिए:
$B_{axis} = \frac{B}{\sqrt{8}}$.
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है,इसलिए हम सूत्र में मान रखते हैं:
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2^{3/2} R^{3})}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i}{2 R \cdot 2^{3/2}}$
चूँकि $2^{3/2} = \sqrt{8}$,इसलिए:
$B_{axis} = \frac{B}{\sqrt{8}}$.
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MediumMCQ
दो मोटे तार और दो पतले तार,जो सभी समान पदार्थ और समान लंबाई के हैं,आकृति में दिखाए अनुसार $P, Q$ और $R$ तीन अलग-अलग तरीकों से एक वर्ग बनाते हैं। दिखाए गए सही कनेक्शन के साथ,लूप के केंद्र में धारा प्रवाह के कारण चुंबकीय क्षेत्र किस मामले में शून्य होगा?
A
$Q$ और $R$
B
केवल $P$
C
$P$ और $Q$
D
$P$ और $R$
Solution
(D) लूप के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है यदि धारा दो ऐसे रास्तों में विभाजित हो जाए कि दोनों रास्तों द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हों।
विन्यास $P$ में,दोनों रास्तों में एक मोटा और एक पतला तार होता है। चूंकि प्रत्येक रास्ते का कुल प्रतिरोध समान है,इसलिए धारा समान रूप से विभाजित होती है। इन दो सममित रास्तों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
विन्यास $R$ में,दोनों रास्ते भी सममित हैं,जिनमें से प्रत्येक एक मोटे और एक पतले तार के श्रेणी क्रम से बना है। इस प्रकार,धारा समान रूप से विभाजित होती है और केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
विन्यास $Q$ में,दो रास्ते क्रमशः दो मोटे तारों और दो पतले तारों से बने हैं। चूंकि प्रतिरोध अलग-अलग हैं,इसलिए धाराएं असमान हैं और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
इसलिए,$P$ और $R$ मामलों में केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
विन्यास $P$ में,दोनों रास्तों में एक मोटा और एक पतला तार होता है। चूंकि प्रत्येक रास्ते का कुल प्रतिरोध समान है,इसलिए धारा समान रूप से विभाजित होती है। इन दो सममित रास्तों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
विन्यास $R$ में,दोनों रास्ते भी सममित हैं,जिनमें से प्रत्येक एक मोटे और एक पतले तार के श्रेणी क्रम से बना है। इस प्रकार,धारा समान रूप से विभाजित होती है और केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
विन्यास $Q$ में,दो रास्ते क्रमशः दो मोटे तारों और दो पतले तारों से बने हैं। चूंकि प्रतिरोध अलग-अलग हैं,इसलिए धाराएं असमान हैं और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
इसलिए,$P$ और $R$ मामलों में केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
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DifficultMCQ
एक लूप से विद्युत धारा $i$ प्रवाहित हो रही है। धारा की दिशा और लूप का आकार चित्र में दर्शाए अनुसार है। लूप के केंद्र $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\frac{\mu_{0} i}{R}$ का कितना गुना है?
$(MA=R, MB=2 R, \angle DMA=90^{\circ})$
$(MA=R, MB=2 R, \angle DMA=90^{\circ})$
A
$\frac{5}{16}$,लेकिन कागज के तल के बाहर की ओर
B
$\frac{5}{16}$,लेकिन कागज के तल के अंदर की ओर
C
$\frac{7}{16}$,लेकिन कागज के तल के बाहर की ओर
D
$\frac{7}{16}$,लेकिन कागज के तल के अंदर की ओर
Solution
(D) लूप चार भागों से बनी है: दो त्रिज्यीय खंड ($AB$ और $CD$) और दो वृत्ताकार चाप ($DA$ और $BC$)।
$(i)$ त्रिज्यीय खंडों $AB$ और $CD$ के लिए,केंद्र $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि बिंदु $M$ धारा अवयवों की रेखा पर स्थित है।
(ii) $R$ त्रिज्या और $\theta_1 = 270^{\circ} = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन कोण वाली वृत्ताकार चाप $DA$ के लिए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i \theta_1}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4\pi R} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,दिशा कागज के तल के अंदर की ओर है।
(iii) $2R$ त्रिज्या और $\theta_2 = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन कोण वाली वृत्ताकार चाप $BC$ के लिए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i \theta_2}{4\pi (2R)} = \frac{\mu_0 i (\pi/2)}{8\pi R} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,दिशा कागज के तल के अंदर की ओर है।
(iv) $M$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{16R} = \frac{6\mu_0 i + \mu_0 i}{16R} = \frac{7\mu_0 i}{16R}$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित हैं,इसलिए परिणामी क्षेत्र $\frac{7}{16} \frac{\mu_0 i}{R}$ कागज के तल के अंदर की ओर होगा।
$(i)$ त्रिज्यीय खंडों $AB$ और $CD$ के लिए,केंद्र $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि बिंदु $M$ धारा अवयवों की रेखा पर स्थित है।
(ii) $R$ त्रिज्या और $\theta_1 = 270^{\circ} = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन कोण वाली वृत्ताकार चाप $DA$ के लिए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i \theta_1}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4\pi R} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,दिशा कागज के तल के अंदर की ओर है।
(iii) $2R$ त्रिज्या और $\theta_2 = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन कोण वाली वृत्ताकार चाप $BC$ के लिए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i \theta_2}{4\pi (2R)} = \frac{\mu_0 i (\pi/2)}{8\pi R} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,दिशा कागज के तल के अंदर की ओर है।
(iv) $M$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{16R} = \frac{6\mu_0 i + \mu_0 i}{16R} = \frac{7\mu_0 i}{16R}$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित हैं,इसलिए परिणामी क्षेत्र $\frac{7}{16} \frac{\mu_0 i}{R}$ कागज के तल के अंदर की ओर होगा।
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MediumMCQ
$PQ$ और $RS$ कुछ दूरी पर स्थित लंबे समानांतर चालक हैं। $M$ उनके बीच का मध्यबिंदु है (चित्र देखें)। $M$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ है। अब,$2 \text{ A}$ की धारा को बंद कर दिया जाता है। $M$ पर अब क्षेत्र कितना हो जाएगा?
A
$2 \text{ B}$
B
$B$
C
$\frac{B}{2}$
D
$3 \text{ B}$
Solution
(B) मान लीजिए कि प्रत्येक तार से $M$ की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले में,धाराएं $I_1 = 2 \text{ A}$ और $I_2 = 1 \text{ A}$ एक ही दिशा में हैं। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,इन तारों के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं।
$B_{PQ} = \frac{\mu_0 (2)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{\pi r}$
$B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$
$M$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{PQ} - B_{RS} = \frac{\mu_0}{\pi r} - \frac{\mu_0}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ है।
जब $2 \text{ A}$ की धारा बंद कर दी जाती है,तो केवल $I_2 = 1 \text{ A}$ की धारा शेष रहती है।
$M$ पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $B' = B$ प्राप्त होता है।
पहले मामले में,धाराएं $I_1 = 2 \text{ A}$ और $I_2 = 1 \text{ A}$ एक ही दिशा में हैं। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,इन तारों के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं।
$B_{PQ} = \frac{\mu_0 (2)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{\pi r}$
$B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$
$M$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{PQ} - B_{RS} = \frac{\mu_0}{\pi r} - \frac{\mu_0}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ है।
जब $2 \text{ A}$ की धारा बंद कर दी जाती है,तो केवल $I_2 = 1 \text{ A}$ की धारा शेष रहती है।
$M$ पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $B' = B$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$n$ फेरों वाली एक कुंडली को सर्पिल (spiral) के रूप में कसकर लपेटा गया है,जिसकी आंतरिक और बाहरी त्रिज्याएँ क्रमशः $a$ और $b$ हैं। जब कुंडली से $I$ धारा प्रवाहित की जाती है,तो इसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$\frac{\mu_{0} n I}{(b-a)} \log _{e} \frac{a}{b}$
B
$\frac{\mu_{0} n I}{2(b-a)}$
C
$\frac{2 \mu_{0} nI}{b}$
D
$\frac{\mu_{0} n I}{2(b-a)} \log _{e} \frac{b}{a}$
Solution
(D) सर्पिल कुंडली के केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई का एक सूक्ष्म अवयव (element) मानिए।
कुल फेरों की संख्या $= n$.
कुंडली की त्रिज्यीय चौड़ाई $(b - a)$ है।
प्रति इकाई त्रिज्यीय लंबाई में फेरों की संख्या $= \frac{n}{b - a}$.
$dr$ मोटाई के अवयव में फेरों की संख्या $dn = \frac{n}{b - a} dr$ होगी।
$r$ त्रिज्या वाले इस वृत्ताकार अवयव के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_{0} I dn}{2r}$ है।
$dn$ का मान रखने पर,$dB = \frac{\mu_{0} I}{2r} \left( \frac{n}{b - a} \right) dr$ प्राप्त होता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए,$r = a$ से $r = b$ तक समाकलन (integration) करने पर:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} [\log_{e} r]_{a}^{b}$.
$B = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \log_{e} \left( \frac{b}{a} \right)$.
कुल फेरों की संख्या $= n$.
कुंडली की त्रिज्यीय चौड़ाई $(b - a)$ है।
प्रति इकाई त्रिज्यीय लंबाई में फेरों की संख्या $= \frac{n}{b - a}$.
$dr$ मोटाई के अवयव में फेरों की संख्या $dn = \frac{n}{b - a} dr$ होगी।
$r$ त्रिज्या वाले इस वृत्ताकार अवयव के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_{0} I dn}{2r}$ है।
$dn$ का मान रखने पर,$dB = \frac{\mu_{0} I}{2r} \left( \frac{n}{b - a} \right) dr$ प्राप्त होता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए,$r = a$ से $r = b$ तक समाकलन (integration) करने पर:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} [\log_{e} r]_{a}^{b}$.
$B = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \log_{e} \left( \frac{b}{a} \right)$.
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MediumMCQ
$r$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार धारावाही चालक के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{c}$ है। केंद्र से $r$ दूरी पर इसकी अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{a}$ है। $B_{c} : B_{a}$ का मान क्या होगा?
A
$1 : \sqrt{2}$
B
$1 : 2\sqrt{2}$
C
$2\sqrt{2} : 1$
D
$\sqrt{2} : 1$
Solution
(C) $r$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{c} = \frac{\mu_{0} I}{2r}$
केंद्र से $x$ दूरी पर वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + x^{2})^{3/2}}$
यहाँ दिया गया है कि दूरी $x = r$,इसलिए $B_{a}$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2^{3/2} r^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot r} = \frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}$
अब,$B_{c} : B_{a}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{B_{c}}{B_{a}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2r}}{\frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}} = \frac{4\sqrt{2} r}{2r} = 2\sqrt{2}$
अतः,$B_{c} : B_{a}$ का अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।
$B_{c} = \frac{\mu_{0} I}{2r}$
केंद्र से $x$ दूरी पर वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + x^{2})^{3/2}}$
यहाँ दिया गया है कि दूरी $x = r$,इसलिए $B_{a}$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2^{3/2} r^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot r} = \frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}$
अब,$B_{c} : B_{a}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{B_{c}}{B_{a}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2r}}{\frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}} = \frac{4\sqrt{2} r}{2r} = 2\sqrt{2}$
अतः,$B_{c} : B_{a}$ का अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए गए आकार के चालक में धारा $I$ प्रवाहित हो रही है। मुड़े हुए भाग की त्रिज्या $r$ है और सीधे भागों की लंबाई बहुत अधिक है। केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र का मान क्या होगा?
A
$\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}\left(\frac{3 \pi}{2}+1\right)$
B
$\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}\left(\frac{3 \pi}{2}-1\right)$
C
$\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}\left(\frac{\pi}{2}+1\right)$
D
$\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$
Solution
(A) चालक तीन भागों से बना है: दो अर्ध-अनंत सीधे तार और $270^\circ$ (या $\frac{3\pi}{2}$ रेडियन) का एक वृत्ताकार चाप।
$1$. सीधे तार $(A)$ के लिए,बिंदु $O$ उसकी अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_A = 0$ है।
$2$. वृत्ताकार चाप $(B)$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I}{8 r}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर दिशा अंदर की ओर है।
$3$. सीधे तार $(C)$ के लिए,बिंदु $O$ तार से $r$ लंबवत दूरी पर है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_C = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है। इसकी दिशा भी अंदर की ओर है।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_A + B_B + B_C = 0 + \frac{3 \mu_0 I}{8 r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ को कॉमन लेने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left( \frac{3\pi}{2} + 1 \right)$ प्राप्त होता है।
$1$. सीधे तार $(A)$ के लिए,बिंदु $O$ उसकी अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_A = 0$ है।
$2$. वृत्ताकार चाप $(B)$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I}{8 r}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर दिशा अंदर की ओर है।
$3$. सीधे तार $(C)$ के लिए,बिंदु $O$ तार से $r$ लंबवत दूरी पर है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_C = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है। इसकी दिशा भी अंदर की ओर है।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_A + B_B + B_C = 0 + \frac{3 \mu_0 I}{8 r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ को कॉमन लेने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left( \frac{3\pi}{2} + 1 \right)$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
एक वृत्ताकार कुंडली जिसमें एक निश्चित धारा प्रवाहित हो रही है,अपने केंद्र पर $B_{0}$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। अब कुंडली को इस प्रकार पुनः लपेटा जाता है कि इसमें $3$ फेरे (turns) हो जाएं और इसमें से उतनी ही धारा प्रवाहित की जाती है। केंद्र पर नया चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$\frac{B_{0}}{9}$
B
$9 B_{0}$
C
$\frac{B_{0}}{3}$
D
$3 B_{0}$
Solution
(B) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$N=1$ फेरे के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_{0} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ है।
जब कुंडली को उसी तार की लंबाई का उपयोग करके $N' = 3$ फेरों के साथ पुनः लपेटा जाता है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{3}$ हो जाती है।
केंद्र पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_{0} N' I}{2 r'} = \frac{\mu_{0} (3) I}{2 (r/3)}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $B' = \frac{9 \mu_{0} I}{2 r} = 9 B_{0}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभ में,$N=1$ फेरे के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_{0} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ है।
जब कुंडली को उसी तार की लंबाई का उपयोग करके $N' = 3$ फेरों के साथ पुनः लपेटा जाता है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{3}$ हो जाती है।
केंद्र पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_{0} N' I}{2 r'} = \frac{\mu_{0} (3) I}{2 (r/3)}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $B' = \frac{9 \mu_{0} I}{2 r} = 9 B_{0}$ प्राप्त होता है।
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चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ और पारगम्यता $(\mu)$ के अनुपात की विमाएँ क्या हैं?
A
$[M^{0} L^{1} T^{0} A^{1}]$
B
$[M^{0} L^{-3} T^{0} A^{1}]$
C
$[M^{0} L^{1} T^{1} A^{-1}]$
D
$[M^{0} L^{2} T^{0} A^{1}]$
Solution
(A) चुंबकीय फ्लक्स,$\phi = B A$ $(1)$,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $A$ क्षेत्रफल है।
साथ ही,$B = \mu H$ $(2)$,जहाँ $\mu$ पारगम्यता (permeability) है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $\phi = (\mu H) A$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,अनुपात $\frac{\phi}{\mu} = H A$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^{2}]$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ को $\frac{\text{फेरों की संख्या} \times \text{धारा}}{\text{लंबाई}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसकी विमा $[L^{-1} A]$ है।
अतः,$\frac{\phi}{\mu}$ की विमा $[L^{-1} A] \times [L^{2}] = [L^{1} A]$ है।
$M, L, T, A$ के पदों में,यह $[M^{0} L^{1} T^{0} A^{1}]$ है।
साथ ही,$B = \mu H$ $(2)$,जहाँ $\mu$ पारगम्यता (permeability) है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $\phi = (\mu H) A$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,अनुपात $\frac{\phi}{\mu} = H A$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^{2}]$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ को $\frac{\text{फेरों की संख्या} \times \text{धारा}}{\text{लंबाई}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसकी विमा $[L^{-1} A]$ है।
अतः,$\frac{\phi}{\mu}$ की विमा $[L^{-1} A] \times [L^{2}] = [L^{1} A]$ है।
$M, L, T, A$ के पदों में,यह $[M^{0} L^{1} T^{0} A^{1}]$ है।
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MediumMCQ
$1 \ mm$ त्रिज्या वाले एक तार में $2 \ A$ की स्थिर धारा तार के अनुप्रस्थ काट पर समान रूप से प्रवाहित हो रही है। तो तार के केंद्र से $0.25 \ mm$ की दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा ($\mu T$ में)?
A
$100$
B
$200$
C
$300$
D
$400$
Solution
(A) $R$ त्रिज्या वाले तार में समान रूप से प्रवाहित धारा $I$ के लिए,केंद्र से $r$ दूरी $(r < R)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$।
दिए गए मान: $I = 2 \ A$,$R = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,$r = 0.25 \ mm = 0.25 \times 10^{-3} \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 2 \times (0.25 \times 10^{-3})}{2 \pi \times (10^{-3})^2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 0.25 \times 10^{-3}}{10^{-6}}$
$B = \frac{10^{-10}}{10^{-6}} = 10^{-4} \ T$
चूंकि $1 \ T = 10^6 \ \mu T$,इसलिए $B = 10^{-4} \times 10^6 \ \mu T = 100 \ \mu T$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $I = 2 \ A$,$R = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,$r = 0.25 \ mm = 0.25 \times 10^{-3} \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 2 \times (0.25 \times 10^{-3})}{2 \pi \times (10^{-3})^2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 0.25 \times 10^{-3}}{10^{-6}}$
$B = \frac{10^{-10}}{10^{-6}} = 10^{-4} \ T$
चूंकि $1 \ T = 10^6 \ \mu T$,इसलिए $B = 10^{-4} \times 10^6 \ \mu T = 100 \ \mu T$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$a$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट के एक लंबे सीधे तार में एक स्थिर धारा प्रवाहित हो रही है। धारा तार के अनुप्रस्थ काट पर समान रूप से वितरित है। तार के केंद्र से $0.5a$ और $1.5a$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात क्या है?
A
$1: 1$
B
$2: 3$
C
$1: 2$
D
$3: 4$
Solution
(D) त्रिज्या वाले और $I$ समान धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. $r_1 = 0.5a$ (अंदर) पर, $B_1 = \frac{\mu_0 I (0.5a)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$।
$4$. $r_2 = 1.5a$ (बाहर) पर, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (1.5a)} = \frac{\mu_0 I}{3 \pi a}$।
$5$. अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 3 \pi a} = \frac{3}{4}$ है।
$1$. तार के अंदर $(r < a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. $r_1 = 0.5a$ (अंदर) पर, $B_1 = \frac{\mu_0 I (0.5a)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$।
$4$. $r_2 = 1.5a$ (बाहर) पर, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (1.5a)} = \frac{\mu_0 I}{3 \pi a}$।
$5$. अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 3 \pi a} = \frac{3}{4}$ है।
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EasyMCQ
समानांतर चालकों और स्थिर धाराओं के लिए, न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार परिणाम हैं
A
बायो-सावर्ट का नियम और लोरेंत्ज़ बल
B
बायो-सावर्ट का नियम और एम्पीयर का नियम
C
एम्पीयर का नियम और लोरेंत्ज़ बल
D
लेंज़ का नियम और लोरेंत्ज़ बल
Solution
(A) जब दो समानांतर चालक स्थिर धाराओं का वहन करते हैं, तो प्रत्येक चालक अपने आसपास के स्थान में एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है, जिसे बायो-सावर्ट के नियम द्वारा वर्णित किया जाता है।
ये धाराएं फिर दूसरे चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के कारण एक चुंबकीय बल का अनुभव करती हैं, जिसे लोरेंत्ज़ बल नियम $(F = I \vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा वर्णित किया जाता है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, पहले चालक द्वारा दूसरे पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है, जो दूसरे चालक द्वारा पहले पर लगाए गए बल के विपरीत होता है।
इस प्रकार, बायो-सावर्ट का नियम और लोरेंत्ज़ बल का नियम मिलकर न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार समानांतर चालकों के बीच की परस्पर क्रिया को समझाते हैं।
ये धाराएं फिर दूसरे चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के कारण एक चुंबकीय बल का अनुभव करती हैं, जिसे लोरेंत्ज़ बल नियम $(F = I \vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा वर्णित किया जाता है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, पहले चालक द्वारा दूसरे पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है, जो दूसरे चालक द्वारा पहले पर लगाए गए बल के विपरीत होता है।
इस प्रकार, बायो-सावर्ट का नियम और लोरेंत्ज़ बल का नियम मिलकर न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार समानांतर चालकों के बीच की परस्पर क्रिया को समझाते हैं।
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EasyMCQ
किसी धारा अवयव (current element) के अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ . . . . . . होता है।
A
न्यूनतम
B
शून्य
C
न्यूनतम और अधिकतम के बीच बदलता है
D
बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है
Solution
(B) बायो-सावर्ट के नियम के अनुसार,धारा अवयव $idl$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का मान निम्न है:
$dB = \frac{\mu_0 i dl \sin(\theta)}{4 \pi r^2}$
जहाँ $\theta$ धारा अवयव $dl$ और स्थिति सदिश $r$ के बीच का कोण है।
धारा अवयव के अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,स्थिति सदिश धारा अवयव के साथ संरेख (collinear) होता है।
इसलिए,कोण $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ होता है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ और $\sin(180^\circ) = 0$ होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $dB$ शून्य हो जाता है।
$dB = \frac{\mu_0 i dl \sin(\theta)}{4 \pi r^2}$
जहाँ $\theta$ धारा अवयव $dl$ और स्थिति सदिश $r$ के बीच का कोण है।
धारा अवयव के अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,स्थिति सदिश धारा अवयव के साथ संरेख (collinear) होता है।
इसलिए,कोण $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ होता है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ और $\sin(180^\circ) = 0$ होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $dB$ शून्य हो जाता है।
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EasyMCQ
एक वृत्ताकार चालक में धारा के कारण चुंबकीय बल रेखाएं होती हैं
A
कुंडली के तल के समानांतर
B
केवल केंद्र पर कुंडली के तल के लंबवत
C
हर जगह कुंडली के तल के लंबवत
D
शून्य
Solution
(B) जब एक वृत्ताकार चालक से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,तार के पास चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं वृत्ताकार होती हैं।
जैसे-जैसे हम वृत्ताकार लूप के केंद्र की ओर बढ़ते हैं,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं सीधी और कुंडली की अक्ष के समानांतर होती जाती हैं।
वृत्ताकार कुंडली के ठीक केंद्र पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कुंडली के तल के लंबवत होती हैं।
इसलिए,सही विवरण यह है कि चुंबकीय बल रेखाएं केवल केंद्र पर ही कुंडली के तल के लंबवत होती हैं।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,तार के पास चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं वृत्ताकार होती हैं।
जैसे-जैसे हम वृत्ताकार लूप के केंद्र की ओर बढ़ते हैं,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं सीधी और कुंडली की अक्ष के समानांतर होती जाती हैं।
वृत्ताकार कुंडली के ठीक केंद्र पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कुंडली के तल के लंबवत होती हैं।
इसलिए,सही विवरण यह है कि चुंबकीय बल रेखाएं केवल केंद्र पर ही कुंडली के तल के लंबवत होती हैं।
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EasyMCQ
एक लंबा वक्र चालक $I$ धारा वहन करता है। तार पर लंबाई $dl$ का एक छोटा धारा अवयव,धारा अवयव से दूर एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यदि धारा अवयव और बिंदु के बीच का स्थिति सदिश $\vec{r}$ है,जो धारा अवयव के साथ $\theta$ कोण बनाता है,तो बिंदु पर प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र घनत्व $d\vec{B}$ क्या है? $(\mu_0 = \text{मुक्त स्थान की पारगम्यता})$:
A
$\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^3}$ (धारा अवयव $d\vec{l}$ के लंबवत)
B
$\frac{\mu_0 I \vec{r} \times d\vec{l}}{4 \pi r^3}$ (धारा अवयव $d\vec{l}$ के लंबवत)
C
$\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^2}$ (धारा अवयव और स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले तल के लंबवत)
D
$\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^3}$ (धारा अवयव और स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले तल के लंबवत)
Solution
(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक धारा अवयव $I d\vec{l}$ द्वारा स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
यहाँ,$d\vec{l}$ धारा अवयव सदिश है,$\vec{r}$ अवयव से बिंदु तक का स्थिति सदिश है,और $r$ स्थिति सदिश का परिमाण है।
$d\vec{B}$ की दिशा $d\vec{l} \times \vec{r}$ क्रॉस उत्पाद द्वारा निर्धारित की जाती है,जो $d\vec{l}$ और $\vec{r}$ दोनों को समाहित करने वाले तल के लंबवत होती है।
इसलिए,सही व्यंजक $\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^3}$ है।
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
यहाँ,$d\vec{l}$ धारा अवयव सदिश है,$\vec{r}$ अवयव से बिंदु तक का स्थिति सदिश है,और $r$ स्थिति सदिश का परिमाण है।
$d\vec{B}$ की दिशा $d\vec{l} \times \vec{r}$ क्रॉस उत्पाद द्वारा निर्धारित की जाती है,जो $d\vec{l}$ और $\vec{r}$ दोनों को समाहित करने वाले तल के लंबवत होती है।
इसलिए,सही व्यंजक $\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^3}$ है।
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EasyMCQ
$4 \ A$ की धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे पतले तार से $10 \ cm$ की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र है ($\mu T$ में)
A
$6$
B
$16$
C
$8$
D
$4$
Solution
(C) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 4 \ A$
$r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4}{2 \pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.1}$
$B = \frac{8 \times 10^{-7}}{0.1} = 80 \times 10^{-7} \ T = 8 \times 10^{-6} \ T$
चूंकि $1 \mu T = 10^{-6} \ T$, हमें प्राप्त होता है:
$B = 8 \mu T$
अतः, सही विकल्प $C$ है।
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 4 \ A$
$r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4}{2 \pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.1}$
$B = \frac{8 \times 10^{-7}}{0.1} = 80 \times 10^{-7} \ T = 8 \times 10^{-6} \ T$
चूंकि $1 \mu T = 10^{-6} \ T$, हमें प्राप्त होता है:
$B = 8 \mu T$
अतः, सही विकल्प $C$ है।
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MediumMCQ
$R$ त्रिज्या वाली धारावाही वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_c$ है और इसके केंद्र से $R$ दूरी पर इसकी अक्ष पर स्थित एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a$ है। $\frac{B_c}{B_a}$ का मान क्या है?
A
$\sqrt{2}$
B
$\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
C
$2 \sqrt{2}$
D
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
Solution
(C) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_c = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर कुंडली की अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है,इसलिए $B_a$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2^{3/2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{2 \cdot 2 \sqrt{2} R} = \frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}$.
अब,अनुपात $\frac{B_c}{B_a}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।
केंद्र से $x$ दूरी पर कुंडली की अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है,इसलिए $B_a$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2^{3/2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{2 \cdot 2 \sqrt{2} R} = \frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}$.
अब,अनुपात $\frac{B_c}{B_a}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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MediumMCQ
यदि $L$ लंबाई के एक तार में $i$ धारा प्रवाहित हो रही है और इसे चित्र में दिखाए अनुसार अर्धवृत्ताकार चाप के आकार में मोड़ा जाता है,तो चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$\frac{\pi \mu_{o} i}{4 L}$
B
$\frac{\pi^2 \mu_{o} i}{2 L}$
C
$\frac{\mu_{o} i}{2 L}$
D
$\frac{\mu_{o} i}{4 L}$
Solution
(A) तार की लंबाई $L$ है। जब इसे $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो चाप की लंबाई $L = \pi R$ होती है।
इसलिए,चाप की त्रिज्या $R = \frac{L}{\pi}$ है।
$i$ धारा ले जाने वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 R}$.
इस सूत्र में $R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 (L / \pi)} = \frac{\pi \mu_{o} i}{4 L}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।
इसलिए,चाप की त्रिज्या $R = \frac{L}{\pi}$ है।
$i$ धारा ले जाने वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 R}$.
इस सूत्र में $R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 (L / \pi)} = \frac{\pi \mu_{o} i}{4 L}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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MediumMCQ
$200$ फेरों और $20 \ cm$ त्रिज्या वाली एक कसकर लिपटी कुंडली में $5 \ A$ की धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र है:
A
$3.14 \times 10^{-3} \ T$
B
$3.14 \times 10^{-2} \ T$
C
$6.28 \times 10^{-4} \ T$
D
$6.28 \times 10^{-3} \ T$
Solution
(A) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 200$,त्रिज्या $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,और धारा $I = 5 \ A$ है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A) \times 200 \times 5}{2 \times 0.2 \ m}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 1000}{0.4}$
$B = \frac{12.566 \times 10^{-4}}{0.4}$
$B = 31.4159 \times 10^{-4} \ T = 3.14 \times 10^{-3} \ T$.
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A) \times 200 \times 5}{2 \times 0.2 \ m}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 1000}{0.4}$
$B = \frac{12.566 \times 10^{-4}}{0.4}$
$B = 31.4159 \times 10^{-4} \ T = 3.14 \times 10^{-3} \ T$.
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MediumMCQ
$2 \text{ cm}$ भुजा वाले एक नियमित षट्भुज के आकार के तार में $4 \text{ A}$ की धारा प्रवाहित हो रही है। षट्भुज के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$4 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$
B
$8 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$
C
$\sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$
D
$6 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$
Solution
(B) $2 \text{ cm}$ भुजा लंबाई $(a)$ वाले षट्भुज के केंद्र से उसकी किसी भी भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $r$ इस प्रकार है:
$r = \frac{a/2}{\tan 30^{\circ}} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} a}{2} = \sqrt{3} \text{ cm} = \sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
षट्भुज की एक भुजा के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ का सूत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
यहाँ,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ है,इसलिए:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \times 0.5) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$.
चूंकि षट्भुज में $6$ समान भुजाएँ होती हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = 6 \times 10^{-7} \times \frac{4}{\sqrt{3} \times 10^{-2}} = \frac{24 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$.
$r = \frac{a/2}{\tan 30^{\circ}} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} a}{2} = \sqrt{3} \text{ cm} = \sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
षट्भुज की एक भुजा के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ का सूत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
यहाँ,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ है,इसलिए:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \times 0.5) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$.
चूंकि षट्भुज में $6$ समान भुजाएँ होती हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = 6 \times 10^{-7} \times \frac{4}{\sqrt{3} \times 10^{-2}} = \frac{24 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$.
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DifficultMCQ
हाइड्रोजन परमाणु में,एक इलेक्ट्रॉन $0.47 \text{ Å}$ त्रिज्या की कक्षा में नाभिक के चारों ओर $6.6 \times 10^{15} \text{ rev/s}$ की गति से घूम रहा है। कक्षा के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र लगभग कितना होगा ($\text{ Wb m}^{-2}$ में)?
A
$0.14$
B
$1.4$
C
$14$
D
$140$
Solution
(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = 6.6 \times 10^{15} \text{ Hz}$,त्रिज्या $r = 0.47 \text{ Å} = 0.47 \times 10^{-10} \text{ m}$.
घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न समतुल्य धारा $I = qf = ef$ है।
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 10.56 \times 10^{-4} \text{ A}$.
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (10.56 \times 10^{-4} \text{ A})}{2 \times (0.47 \times 10^{-10} \text{ m})}$.
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 10.56 \times 10^{-4}}{0.47 \times 10^{-10}} \approx 14 \text{ Wb m}^{-2}$.
घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न समतुल्य धारा $I = qf = ef$ है।
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 10.56 \times 10^{-4} \text{ A}$.
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (10.56 \times 10^{-4} \text{ A})}{2 \times (0.47 \times 10^{-10} \text{ m})}$.
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 10.56 \times 10^{-4}}{0.47 \times 10^{-10}} \approx 14 \text{ Wb m}^{-2}$.
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EasyMCQ
$50 \text{ cm}$ और $40 \text{ cm}$ त्रिज्या वाली दो संकेंद्रित पतली वृत्ताकार रिंगों में से प्रत्येक में $3.5 \text{ A}$ की धारा विपरीत दिशाओं में बह रही है। यदि दोनों रिंग एक ही तल में हैं,तो उनके केंद्र पर दोनों रिंगों के कारण उत्पन्न कुल चुंबकीय क्षेत्र है
A
$11 \times 10^{-7} \text{ T}$
B
$22 \times 10^{-7} \text{ T}$
C
$17 \times 10^{-7} \text{ T}$
D
$8 \times 10^{-7} \text{ T}$
Solution
(A) दिया गया है: $r_1 = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$,$r_2 = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,$I = 3.5 \text{ A}$.
वृत्ताकार रिंग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों रिंगों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अंतर होगा:
$B_{net} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 I}{2r_1} - \frac{\mu_0 I}{2r_2} \right| = \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
मान रखने पर:
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3.5}{2} \left( \frac{1}{0.4} - \frac{1}{0.5} \right)$
$B_{net} = 2\pi \times 10^{-7} \times 3.5 \times (2.5 - 2.0)$
$B_{net} = 7\pi \times 10^{-7} \times 0.5 = 3.5\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$B_{net} \approx 3.5 \times 3.14 \times 10^{-7} \approx 10.99 \times 10^{-7} \text{ T} \approx 11 \times 10^{-7} \text{ T}$.
वृत्ताकार रिंग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों रिंगों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अंतर होगा:
$B_{net} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 I}{2r_1} - \frac{\mu_0 I}{2r_2} \right| = \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
मान रखने पर:
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3.5}{2} \left( \frac{1}{0.4} - \frac{1}{0.5} \right)$
$B_{net} = 2\pi \times 10^{-7} \times 3.5 \times (2.5 - 2.0)$
$B_{net} = 7\pi \times 10^{-7} \times 0.5 = 3.5\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$B_{net} \approx 3.5 \times 3.14 \times 10^{-7} \approx 10.99 \times 10^{-7} \text{ T} \approx 11 \times 10^{-7} \text{ T}$.
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EasyMCQ
दो लंबे सीधे समानांतर चालक $A$ और $B$ जिनमें क्रमशः $4.5 \ A$ और $8 \ A$ की धारा प्रवाहित हो रही है,हवा में $25 \ cm$ की दूरी पर स्थित हैं। चालक $A$ से $15 \ cm$ और चालक $B$ से $10 \ cm$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$2 \times 10^{-5} \ T$
B
$2 \times 10^{-4} \ T$
C
$10^{-5} \ T$
D
$10^{-4} \ T$
Solution
(C) दिया गया है: चालक $A$ में धारा,$I_1 = 4.5 \ A$. चालक $B$ में धारा,$I_2 = 8 \ A$. बिंदु $P$ की $A$ से दूरी,$r_1 = 15 \ cm = 0.15 \ m$. बिंदु $P$ की $B$ से दूरी,$r_2 = 10 \ cm = 0.10 \ m$.
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चालक $A$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ पृष्ठ के अंदर की ओर है,और चालक $B$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ पृष्ठ के बाहर की ओर है।
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4.5}{0.15} = 6 \times 10^{-6} \ T$ (अंदर की ओर)।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.10} = 16 \times 10^{-6} \ T$ (बाहर की ओर)।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_2 - B_1 = (16 - 6) \times 10^{-6} \ T = 10 \times 10^{-6} \ T = 10^{-5} \ T$.
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चालक $A$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ पृष्ठ के अंदर की ओर है,और चालक $B$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ पृष्ठ के बाहर की ओर है।
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4.5}{0.15} = 6 \times 10^{-6} \ T$ (अंदर की ओर)।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.10} = 16 \times 10^{-6} \ T$ (बाहर की ओर)।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_2 - B_1 = (16 - 6) \times 10^{-6} \ T = 10 \times 10^{-6} \ T = 10^{-5} \ T$.
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MediumMCQ
दो अनंत लंबाई के तार क्रमशः $8 \ A$ और $6 \ A$ की धारा ले जा रहे हैं और उन्हें क्रमशः $X$ और $Y$ अक्षों के अनुदिश रखा गया है। बिंदु $P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र होगा:
A
$\frac{7 \mu_0}{\pi d}$
B
$\frac{10 \mu_0}{\pi d}$
C
$\frac{14 \mu_0}{\pi d}$
D
$\frac{5 \mu_0}{\pi d}$
Solution
(D) $I$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबाई के तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$X$-अक्ष पर स्थित $I_1 = 6 \ A$ धारा वाले तार के लिए,$P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $Y$-अक्ष की दिशा में होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए)। अतः,$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{\mu_0 (6)}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$.
$Y$-अक्ष पर स्थित $I_2 = 8 \ A$ धारा वाले तार के लिए,$P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में होता है। अतः,$\vec{B}_2 = -\frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{\mu_0 (8)}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i}$.
$P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_P = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i} + \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_P = \sqrt{\left(-\frac{4 \mu_0}{\pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{\pi d}\right)^2} = \frac{\mu_0}{\pi d} \sqrt{16 + 9} = \frac{5 \mu_0}{\pi d}$ है।
$X$-अक्ष पर स्थित $I_1 = 6 \ A$ धारा वाले तार के लिए,$P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $Y$-अक्ष की दिशा में होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए)। अतः,$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{\mu_0 (6)}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$.
$Y$-अक्ष पर स्थित $I_2 = 8 \ A$ धारा वाले तार के लिए,$P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में होता है। अतः,$\vec{B}_2 = -\frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{\mu_0 (8)}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i}$.
$P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_P = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i} + \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_P = \sqrt{\left(-\frac{4 \mu_0}{\pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{\pi d}\right)^2} = \frac{\mu_0}{\pi d} \sqrt{16 + 9} = \frac{5 \mu_0}{\pi d}$ है।
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EasyMCQ
एक चालक में विद्युत धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है। चालक के नीचे एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा किस ओर होगी?
A
उत्तर
B
दक्षिण
C
पूर्व
D
पश्चिम
Solution
(B) दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को विद्युत धारा की दिशा (पूर्व से पश्चिम) में रखते हैं,तो आपकी उंगलियां चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा में मुड़ती हैं।
पूर्व से पश्चिम की ओर धारा ले जाने वाले एक क्षैतिज चालक के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं।
चालक के ठीक नीचे एक बिंदु पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखा की स्पर्शरेखा दक्षिण दिशा की ओर इंगित करती है।
पूर्व से पश्चिम की ओर धारा ले जाने वाले एक क्षैतिज चालक के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं।
चालक के ठीक नीचे एक बिंदु पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखा की स्पर्शरेखा दक्षिण दिशा की ओर इंगित करती है।
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EasyMCQ
एक तार को पहले $5$ फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली के रूप में मोड़ा जाता है और उसी तार को फिर $10$ फेरों वाली दूसरी वृत्ताकार कुंडली के रूप में मोड़ा जाता है। यदि दोनों कुंडलियों में समान धारा प्रवाहित की जाए,तो उनके केंद्रों पर चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात क्या होगा?
A
$1: 8$
B
$1: 1$
C
$1: 2$
D
$1: 4$
Solution
(D) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है। $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली कुंडली के लिए,$L = n(2\pi r)$,जिसका अर्थ है $r = \frac{L}{2\pi n}$.
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 n I}{2(L / 2\pi n)} = \frac{\mu_0 n^2 I \pi}{L}$.
चूंकि तार की लंबाई $L$ और धारा $I$ स्थिर हैं,इसलिए $B \propto n^2$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2$ होगा।
यहाँ $n_1 = 5$ और $n_2 = 10$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ है।
मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है। $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली कुंडली के लिए,$L = n(2\pi r)$,जिसका अर्थ है $r = \frac{L}{2\pi n}$.
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 n I}{2(L / 2\pi n)} = \frac{\mu_0 n^2 I \pi}{L}$.
चूंकि तार की लंबाई $L$ और धारा $I$ स्थिर हैं,इसलिए $B \propto n^2$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2$ होगा।
यहाँ $n_1 = 5$ और $n_2 = 10$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ है।
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EasyMCQ
$\text{0.1 m त्रिज्या वाले और 0.2 A की धारा प्रवाहित करने वाले एक वृत्ताकार तार के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता क्या होगी?}$
A
$2 \pi \times 10^{-7} \,T$
B
$\pi \times 10^{-7} \,T$
C
$10^{-7} \,T$
D
$4 \pi \times 10^{-7} \,T$
Solution
(D)
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ का सूत्र:
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$
दिए गए मान हैं: धारा $i = 0.2 \,A$ और त्रिज्या $r = 0.1 \,m$ है।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (0.2)}{2 \times (0.1)}$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.2}{0.2}$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \,T$
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ का सूत्र:
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$
दिए गए मान हैं: धारा $i = 0.2 \,A$ और त्रिज्या $r = 0.1 \,m$ है।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (0.2)}{2 \times (0.1)}$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.2}{0.2}$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \,T$
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EasyMCQ
$10 \,cm$ त्रिज्या और $2 \,A$ की धारा वहन करने वाली $100$ फेरों वाली एक कुंडली पर विचार करें। कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है
A
$3.14 \times 10^{-4} \,T$
B
$6.28 \times 10^{-4} \,T$
C
$12.56 \times 10^{-4} \,T$
D
$0$
Solution
(C) दिया गया है:
फेरों की संख्या,$n = 100$
त्रिज्या,$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
धारा,$I = 2 \,A$
निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-5} \times 2}{0.2}$
$B = \frac{8\pi \times 10^{-5}}{0.2} = 40\pi \times 10^{-5} = 4\pi \times 10^{-4} \,T$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$B = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \,T = 12.56 \times 10^{-4} \,T$
फेरों की संख्या,$n = 100$
त्रिज्या,$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
धारा,$I = 2 \,A$
निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-5} \times 2}{0.2}$
$B = \frac{8\pi \times 10^{-5}}{0.2} = 40\pi \times 10^{-5} = 4\pi \times 10^{-4} \,T$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$B = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \,T = 12.56 \times 10^{-4} \,T$
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EasyMCQ
$12 \,A$ की धारा ले जाने वाले एक सीधे तार को चित्र में दिखाए अनुसार $2 \,cm$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा गया है। तो चाप के केंद्र पर सीधे खंडों के कारण चुंबकीय क्षेत्र है
A
$12 \,T$
B
$6 \,T$
C
$24 \,T$
D
$0$
Solution
(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, धारा अवयव $i d\vec{l}$ के कारण $\vec{r}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
तार के सीधे खंडों के लिए, धारा अवयव $d\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ (जो अवयव से केंद्र $O$ की ओर इंगित करता है) संरेख (समानांतर या प्रति-समानांतर) होते हैं।
इसलिए, सदिश गुणनफल $d\vec{l} \times \vec{r} = 0$ होता है।
परिणामस्वरूप, सीधे खंडों के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
तार के सीधे खंडों के लिए, धारा अवयव $d\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ (जो अवयव से केंद्र $O$ की ओर इंगित करता है) संरेख (समानांतर या प्रति-समानांतर) होते हैं।
इसलिए, सदिश गुणनफल $d\vec{l} \times \vec{r} = 0$ होता है।
परिणामस्वरूप, सीधे खंडों के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
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EasyMCQ
एक लंबा धारावाही तार $r$ दूरी पर $1 \ T$ का चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। $(a)$ $\frac{r}{2}$,$(b)$ $2r$ और $(c)$ $3r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$(a)$ $2 \ T, (b) \frac{1}{2} \ T, (c) \frac{1}{3} \ T$
B
$(a)$ $3 \ T, (b) \frac{1}{3} \ T, (c) \frac{1}{6} \ T$
C
$(a)$ $\frac{3}{2} \ T, (b) \frac{1}{4} \ T, (c) \frac{1}{8} \ T$
D
$(a)$ $\frac{5}{2} \ T, (b) \frac{1}{2} \ T, (c) \frac{1}{3} \ T$
Solution
(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $B \propto \frac{1}{r}$ है।
दिया गया है कि $r$ दूरी पर $B = 1 \ T$ है।
$(a)$ $\frac{r}{2}$ दूरी पर:
$B_{\frac{r}{2}} = B \times \frac{r}{\frac{r}{2}} = 1 \times 2 = 2 \ T$.
$(b)$ $2r$ दूरी पर:
$B_{2r} = B \times \frac{r}{2r} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ T$.
$(c)$ $3r$ दूरी पर:
$B_{3r} = B \times \frac{r}{3r} = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \ T$.
अतः,मान $2 \ T, \frac{1}{2} \ T, \text{ और } \frac{1}{3} \ T$ हैं।
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $B \propto \frac{1}{r}$ है।
दिया गया है कि $r$ दूरी पर $B = 1 \ T$ है।
$(a)$ $\frac{r}{2}$ दूरी पर:
$B_{\frac{r}{2}} = B \times \frac{r}{\frac{r}{2}} = 1 \times 2 = 2 \ T$.
$(b)$ $2r$ दूरी पर:
$B_{2r} = B \times \frac{r}{2r} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ T$.
$(c)$ $3r$ दूरी पर:
$B_{3r} = B \times \frac{r}{3r} = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \ T$.
अतः,मान $2 \ T, \frac{1}{2} \ T, \text{ और } \frac{1}{3} \ T$ हैं।
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MediumMCQ
दो लंबे समानांतर सीधे धातु के तार $A$ और $B$ जिनमें क्रमशः $12 \,A$ और $36 \,A$ की धारा समान दिशा में बह रही है,$50 \,cm$ की दूरी पर स्थित हैं। तार $A$ के सापेक्ष वह बिंदु,जहाँ दोनों तारों के बीच धाराओं के कारण परिणामी चुंबकीय प्रेरण शून्य है,होगा ($\,cm$ में)
A
$90$
B
$7.5$
C
$28$
D
$12.5$
Solution
(D) मान लीजिए कि बिंदु $P$ तार $A$ से $r$ दूरी पर है जहाँ परिणामी चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए दोनों तारों द्वारा उनके बीच के बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
बिंदु $P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,तार $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए।
$B_A = B_B$
$\frac{\mu_0 i_1}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 i_2}{2 \pi (d - r)}$
जहाँ $i_1 = 12 \,A$,$i_2 = 36 \,A$,और $d = 50 \,cm = 0.5 \,m$ है।
$\frac{12}{r} = \frac{36}{0.5 - r}$
$\frac{1}{r} = \frac{3}{0.5 - r}$
$0.5 - r = 3r$
$4r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{4} = 0.125 \,m = 12.5 \,cm$
अतः,वह बिंदु तार $A$ से $12.5 \,cm$ की दूरी पर है।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए दोनों तारों द्वारा उनके बीच के बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
बिंदु $P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,तार $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए।
$B_A = B_B$
$\frac{\mu_0 i_1}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 i_2}{2 \pi (d - r)}$
जहाँ $i_1 = 12 \,A$,$i_2 = 36 \,A$,और $d = 50 \,cm = 0.5 \,m$ है।
$\frac{12}{r} = \frac{36}{0.5 - r}$
$\frac{1}{r} = \frac{3}{0.5 - r}$
$0.5 - r = 3r$
$4r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{4} = 0.125 \,m = 12.5 \,cm$
अतः,वह बिंदु तार $A$ से $12.5 \,cm$ की दूरी पर है।
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EasyMCQ
दो अनंत लंबाई के तार $(1 \text{ cm}, 1 \text{ cm})$ और $(1 \text{ cm}, -1 \text{ cm})$ पर रखे गए हैं,जिनमें से प्रत्येक में $1 \text{ A}$ की धारा $xy$-तल के लंबवत एक ही दिशा में बह रही है। मूल बिंदु पर इन धारावाही तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ है। यदि केवल एक तार उपस्थित होने पर क्षेत्र का परिमाण $B_0$ हो,तो $\frac{|B|}{B_0}$ का मान क्या है?
A
$\sqrt{2}$
B
$1$
C
$1 / \sqrt{2}$
D
$1 / 2 \sqrt{2}$
Solution
(A) तार $A(1, 1)$ और $B(1, -1)$ पर स्थित हैं। मूल बिंदु $O(0, 0)$ से प्रत्येक तार की दूरी $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ cm}$ है।
चूंकि दोनों तारों में धारा एक ही दिशा में ($xy$-तल के लंबवत) बह रही है,इसलिए मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश स्थिति सदिशों $OA$ और $OB$ के लंबवत होते हैं।
$OA$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $45^\circ$ और $OB$ का $-45^\circ$ है। तार $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_A$,$OA$ के लंबवत $135^\circ$ के कोण पर और तार $B$ के कारण $B_B$,$OB$ के लंबवत $45^\circ$ के कोण पर होता है।
$B_A$ और $B_B$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
एक तार के कारण क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $|B| = \sqrt{B_0^2 + B_0^2 + 2 B_0 B_0 \cos(90^\circ)} = \sqrt{2 B_0^2} = \sqrt{2} B_0$ है।
अतः,$\frac{|B|}{B_0} = \sqrt{2}$.
चूंकि दोनों तारों में धारा एक ही दिशा में ($xy$-तल के लंबवत) बह रही है,इसलिए मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश स्थिति सदिशों $OA$ और $OB$ के लंबवत होते हैं।
$OA$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $45^\circ$ और $OB$ का $-45^\circ$ है। तार $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_A$,$OA$ के लंबवत $135^\circ$ के कोण पर और तार $B$ के कारण $B_B$,$OB$ के लंबवत $45^\circ$ के कोण पर होता है।
$B_A$ और $B_B$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
एक तार के कारण क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $|B| = \sqrt{B_0^2 + B_0^2 + 2 B_0 B_0 \cos(90^\circ)} = \sqrt{2 B_0^2} = \sqrt{2} B_0$ है।
अतः,$\frac{|B|}{B_0} = \sqrt{2}$.
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DifficultMCQ
$+z$ दिशा में $1 \ A$ धारा ले जाने वाला एक अनंत लंबा तार $(1 \ cm, 1 \ cm)$ पर रखा गया है। $+x$ दिशा में $1 \ A$ धारा ले जाने वाला एक अन्य तार $y=1 \ cm$ पर रखा गया है। यदि मूल बिंदु पर इस विन्यास के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ है। मान लीजिए कि यदि केवल $(1 \ cm, 1 \ cm)$ पर तार मौजूद होता तो क्षेत्र का परिमाण $B_0$ होता,तो $\frac{B}{B_0}$ क्या है?
A
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\sqrt{2}\right)$
B
$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-1\right)$
C
$(\sqrt{2}, \sqrt{2},-\sqrt{2})$
D
$\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{2 \sqrt{2}},-\frac{1}{2}\right)$
Solution
(A) मूल बिंदु से तार $I$ की दूरी $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \ cm = \sqrt{2} \times 10^{-2} \ m$ है।
मूल बिंदु पर तार $I$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है। मान लीजिए $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$B_1$ की दिशा स्थिति सदिश $(1, 1)$ और धारा की दिशा $(+z)$ के लंबवत है। स्थिति के लिए इकाई सदिश $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है। क्षेत्र की दिशा $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \times \hat{k} = \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}}$ है। अतः,$\vec{B}_1 = B_0 \left( \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} \right)$ है।
$y = 1 \ cm$ पर $+x$ दिशा में धारा ले जाने वाले तार $II$ के लिए,दूरी $d_2 = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है। क्षेत्र का परिमाण $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d_2} = \sqrt{2} B_0$ है।
$y=1$ पर $+x$ दिशा में धारा के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए $B_2$ की दिशा $-\hat{k}$ है। अतः,$\vec{B}_2 = -\sqrt{2} B_0 \hat{k}$ है।
कुल क्षेत्र $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = B_0 \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} - \sqrt{2} \hat{k} \right)$ है।
इसलिए,$\frac{\vec{B}}{B_0} = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{2} \right)$ है।
मूल बिंदु पर तार $I$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है। मान लीजिए $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$B_1$ की दिशा स्थिति सदिश $(1, 1)$ और धारा की दिशा $(+z)$ के लंबवत है। स्थिति के लिए इकाई सदिश $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है। क्षेत्र की दिशा $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \times \hat{k} = \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}}$ है। अतः,$\vec{B}_1 = B_0 \left( \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} \right)$ है।
$y = 1 \ cm$ पर $+x$ दिशा में धारा ले जाने वाले तार $II$ के लिए,दूरी $d_2 = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है। क्षेत्र का परिमाण $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d_2} = \sqrt{2} B_0$ है।
$y=1$ पर $+x$ दिशा में धारा के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए $B_2$ की दिशा $-\hat{k}$ है। अतः,$\vec{B}_2 = -\sqrt{2} B_0 \hat{k}$ है।
कुल क्षेत्र $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = B_0 \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} - \sqrt{2} \hat{k} \right)$ है।
इसलिए,$\frac{\vec{B}}{B_0} = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{2} \right)$ है।
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MediumMCQ
$6 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले धारावाही वृत्ताकार लूप के कारण केंद्र से $8 \text{ cm}$ की दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $27 \mu \text{T}$ है। धारावाही लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा ($\mu \text{T}$ में)?
A
$75$
B
$125$
C
$150$
D
$250$
Solution
(B) $R$ त्रिज्या वाली धारावाही कुंडली के कारण उसके केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$
दिया है: $x = 8 \text{ cm} = 8 \times 10^{-2} \text{ m}$,$R = 6 \text{ cm} = 6 \times 10^{-2} \text{ m}$,और $B_{\text{axis}} = 27 \mu \text{T} = 27 \times 10^{-6} \text{ T}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (6 \times 10^{-2})^2}{2((8 \times 10^{-2})^2 + (6 \times 10^{-2})^2)^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(64 \times 10^{-4} + 36 \times 10^{-4})^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(100 \times 10^{-4})^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(10^{-2})^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2 \times 10^{-3}}$
$\mu_0 N I = \frac{27 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{36 \times 10^{-4}} = \frac{54 \times 10^{-9}}{36 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^{-5} \text{ T} \cdot \text{m}$.
अब,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ है।
$B_{\text{centre}} = \frac{1.5 \times 10^{-5}}{2 \times 6 \times 10^{-2}} = \frac{1.5 \times 10^{-5}}{12 \times 10^{-2}} = 0.125 \times 10^{-3} \text{ T} = 125 \mu \text{T}$.
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$
दिया है: $x = 8 \text{ cm} = 8 \times 10^{-2} \text{ m}$,$R = 6 \text{ cm} = 6 \times 10^{-2} \text{ m}$,और $B_{\text{axis}} = 27 \mu \text{T} = 27 \times 10^{-6} \text{ T}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (6 \times 10^{-2})^2}{2((8 \times 10^{-2})^2 + (6 \times 10^{-2})^2)^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(64 \times 10^{-4} + 36 \times 10^{-4})^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(100 \times 10^{-4})^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(10^{-2})^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2 \times 10^{-3}}$
$\mu_0 N I = \frac{27 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{36 \times 10^{-4}} = \frac{54 \times 10^{-9}}{36 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^{-5} \text{ T} \cdot \text{m}$.
अब,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ है।
$B_{\text{centre}} = \frac{1.5 \times 10^{-5}}{2 \times 6 \times 10^{-2}} = \frac{1.5 \times 10^{-5}}{12 \times 10^{-2}} = 0.125 \times 10^{-3} \text{ T} = 125 \mu \text{T}$.
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EasyMCQ
दो लंबे तार जिनमें $8 \,A$ और $6 \,A$ की धारा प्रवाहित हो रही है, उन्हें क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर रखा गया है। बिंदु $P(2, 4)$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण ज्ञात कीजिए। ($\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ लें)
A
$1 \times 10^{-6} \,T$
B
$2 \times 10^{-6} \,T$
C
$1 \times 10^{-7} \,T$
D
$2 \times 10^{-7} \,T$
Solution
(D) एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$x$-अक्ष पर स्थित $I_1 = 8 \,A$ धारा वाले तार के लिए, बिंदु $P(2, 4)$ की लंबवत दूरी $r_1 = 4$ इकाई है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ तल के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 8}{2\pi \times 4} = 4 \times 10^{-7} \,T$ (अंदर की ओर)।
$y$-अक्ष पर स्थित $I_2 = 6 \,A$ धारा वाले तार के लिए, बिंदु $P(2, 4)$ की लंबवत दूरी $r_2 = 2$ इकाई है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ तल के बाहर की ओर $(\odot)$ है।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 6}{2\pi \times 2} = 6 \times 10^{-7} \,T$ (बाहर की ओर)।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_2 - B_1| = |6 \times 10^{-7} - 4 \times 10^{-7}| = 2 \times 10^{-7} \,T$।
$x$-अक्ष पर स्थित $I_1 = 8 \,A$ धारा वाले तार के लिए, बिंदु $P(2, 4)$ की लंबवत दूरी $r_1 = 4$ इकाई है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ तल के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 8}{2\pi \times 4} = 4 \times 10^{-7} \,T$ (अंदर की ओर)।
$y$-अक्ष पर स्थित $I_2 = 6 \,A$ धारा वाले तार के लिए, बिंदु $P(2, 4)$ की लंबवत दूरी $r_2 = 2$ इकाई है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ तल के बाहर की ओर $(\odot)$ है।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 6}{2\pi \times 2} = 6 \times 10^{-7} \,T$ (बाहर की ओर)।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_2 - B_1| = |6 \times 10^{-7} - 4 \times 10^{-7}| = 2 \times 10^{-7} \,T$।
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DifficultMCQ
एक लंबा तार $X$-अक्ष के अनुदिश स्थित है और इसमें धनात्मक $x$-दिशा में $40 \, A$ की धारा प्रवाहित हो रही है। एक दूसरा लंबा तार $xy$-तल के लंबवत है, जो $(3.0 \, m) \hat{j}$ बिंदु से गुजरता है और धनात्मक $z$-दिशा में धारा प्रवाहित करता है। यदि बिंदु $(2.0 \, m) \hat{j}$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $R=5 \times 10^{-6} \, T$ है, तो दूसरे तार में धारा का मान ज्ञात कीजिए। (निर्वात की पारगम्यता, $\mu_0=4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$) ($A$ में)
A
$30$
B
$15$
C
$25$
D
$7.5$
Solution
(B) एक लंबे सीधे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P(0, 2, 0) \, m$ पर:
$1$. तार $A$ ($X$-अक्ष पर, $I_1 = 40 \, A$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र: तार से बिंदु $P$ की दूरी $d_1 = 2 \, m$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार क्षेत्र की दिशा $+z$-दिशा $(\hat{k})$ में है।
$B_1 = \frac{\mu_0 (40)}{2 \pi (2)} = \frac{20 \mu_0}{\pi} \, T$.
$2$. तार $B$ ($(0, 3, 0) \, m$ से गुजरने वाला, $Z$-अक्ष के समानांतर, धारा $I_2$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र: तार से बिंदु $P$ की दूरी $d_2 = |3 - 2| = 1 \, m$ है। क्षेत्र की दिशा $+x$-दिशा $(\hat{i})$ में है।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (1)} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi} \, T$.
चूंकि $B_1$ और $B_2$ परस्पर लंबवत हैं, परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $R = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
दिया गया है $R = 5 \times 10^{-6} \, T$ और $\frac{\mu_0}{2 \pi} = 2 \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$:
$R = \frac{\mu_0}{2 \pi} \sqrt{20^2 + I_2^2} = 2 \times 10^{-7} \sqrt{400 + I_2^2} = 5 \times 10^{-6}$.
$\sqrt{400 + I_2^2} = \frac{5 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-7}} = 25$.
$400 + I_2^2 = 625$.
$I_2^2 = 225 \Rightarrow I_2 = 15 \, A$.
बिंदु $P(0, 2, 0) \, m$ पर:
$1$. तार $A$ ($X$-अक्ष पर, $I_1 = 40 \, A$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र: तार से बिंदु $P$ की दूरी $d_1 = 2 \, m$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार क्षेत्र की दिशा $+z$-दिशा $(\hat{k})$ में है।
$B_1 = \frac{\mu_0 (40)}{2 \pi (2)} = \frac{20 \mu_0}{\pi} \, T$.
$2$. तार $B$ ($(0, 3, 0) \, m$ से गुजरने वाला, $Z$-अक्ष के समानांतर, धारा $I_2$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र: तार से बिंदु $P$ की दूरी $d_2 = |3 - 2| = 1 \, m$ है। क्षेत्र की दिशा $+x$-दिशा $(\hat{i})$ में है।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (1)} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi} \, T$.
चूंकि $B_1$ और $B_2$ परस्पर लंबवत हैं, परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $R = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
दिया गया है $R = 5 \times 10^{-6} \, T$ और $\frac{\mu_0}{2 \pi} = 2 \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$:
$R = \frac{\mu_0}{2 \pi} \sqrt{20^2 + I_2^2} = 2 \times 10^{-7} \sqrt{400 + I_2^2} = 5 \times 10^{-6}$.
$\sqrt{400 + I_2^2} = \frac{5 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-7}} = 25$.
$400 + I_2^2 = 625$.
$I_2^2 = 225 \Rightarrow I_2 = 15 \, A$.
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए गए धारावाही लूप के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है, जहाँ $O$ क्रमशः $1 \, cm$ और $2 \, cm$ त्रिज्या वाले दो वृत्ताकार भागों का केंद्र है। (धारा का मान $I = \frac{1.2}{\pi} \, A$ लें)
A
$10 \, nT$
B
$0.1 \, nT$
C
$100 \, \mu T$
D
$1 \, \mu T$
Solution
(D) सीधे तार के खंड $ab$ और $cd$ बिंदु $O$ पर कोई चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न नहीं करते हैं क्योंकि बिंदु $O$ इन तारों की अक्ष पर स्थित है।
चाप $bc$ (त्रिज्या $R_1 = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$) के लिए, $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ अंदर की ओर $(\otimes)$ है और इसे इस प्रकार दिया गया है:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R_1} \theta = \frac{10^{-7} \times I \times \theta}{R_1}$
$B_1 = \frac{10^{-7} \times (1.2 / \pi) \times (30^\circ \times \pi / 180^\circ)}{2 \times 10^{-2}} = \frac{10^{-7} \times 1.2 \times (1/6)}{2 \times 10^{-2}} = 10^{-6} \, T = 1000 \, nT$ (अंदर की ओर)।
चाप $ad$ (त्रिज्या $R_2 = 1 \, cm = 1 \times 10^{-2} \, m$) के लिए, $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ बाहर की ओर $(\odot)$ है और इसे इस प्रकार दिया गया है:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R_2} \theta = \frac{10^{-7} \times (1.2 / \pi) \times (30^\circ \times \pi / 180^\circ)}{1 \times 10^{-2}} = \frac{10^{-7} \times 1.2 \times (1/6)}{1 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-6} \, T = 2000 \, nT$ (बाहर की ओर)।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_2 - B_1 = 2000 \, nT - 1000 \, nT = 1000 \, nT = 1 \, \mu T$ है।
चाप $bc$ (त्रिज्या $R_1 = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$) के लिए, $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ अंदर की ओर $(\otimes)$ है और इसे इस प्रकार दिया गया है:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R_1} \theta = \frac{10^{-7} \times I \times \theta}{R_1}$
$B_1 = \frac{10^{-7} \times (1.2 / \pi) \times (30^\circ \times \pi / 180^\circ)}{2 \times 10^{-2}} = \frac{10^{-7} \times 1.2 \times (1/6)}{2 \times 10^{-2}} = 10^{-6} \, T = 1000 \, nT$ (अंदर की ओर)।
चाप $ad$ (त्रिज्या $R_2 = 1 \, cm = 1 \times 10^{-2} \, m$) के लिए, $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ बाहर की ओर $(\odot)$ है और इसे इस प्रकार दिया गया है:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R_2} \theta = \frac{10^{-7} \times (1.2 / \pi) \times (30^\circ \times \pi / 180^\circ)}{1 \times 10^{-2}} = \frac{10^{-7} \times 1.2 \times (1/6)}{1 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-6} \, T = 2000 \, nT$ (बाहर की ओर)।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_2 - B_1 = 2000 \, nT - 1000 \, nT = 1000 \, nT = 1 \, \mu T$ है।
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EasyMCQ
एक दी गई लंबाई के तार से बनी सिंगल-टर्न कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र '$B$' है। यदि उसी तार का उपयोग करके दो-टर्न वाली कुंडली बनाई जाए, तो उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$\frac{B}{4}$
B
$\frac{B}{2}$
C
$4B$
D
$2B$
Solution
(C) $n$ फेरों, $a$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n i}{2a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार की कुल लंबाई $L$ स्थिर है, $L = n(2\pi a)$।
एक फेरे के लिए $(n=1)$, $L = 2\pi a$, इसलिए $a = \frac{L}{2\pi}$।
दो फेरों के लिए $(n'=2)$, $L = 2(2\pi a')$, इसलिए $a' = \frac{L}{4\pi} = \frac{a}{2}$।
चूंकि $B \propto \frac{n}{a}$, हमारे पास $\frac{B'}{B} = \frac{n'}{n} \times \frac{a}{a'}$ है।
मान रखने पर, $\frac{B'}{B} = \frac{2}{1} \times \frac{a}{a/2} = 2 \times 2 = 4$।
अतः, $B' = 4B$।
चूंकि तार की कुल लंबाई $L$ स्थिर है, $L = n(2\pi a)$।
एक फेरे के लिए $(n=1)$, $L = 2\pi a$, इसलिए $a = \frac{L}{2\pi}$।
दो फेरों के लिए $(n'=2)$, $L = 2(2\pi a')$, इसलिए $a' = \frac{L}{4\pi} = \frac{a}{2}$।
चूंकि $B \propto \frac{n}{a}$, हमारे पास $\frac{B'}{B} = \frac{n'}{n} \times \frac{a}{a'}$ है।
मान रखने पर, $\frac{B'}{B} = \frac{2}{1} \times \frac{a}{a/2} = 2 \times 2 = 4$।
अतः, $B' = 4B$।
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MediumMCQ
$4 \pi \text{ cm}$ त्रिज्या वाली दो संकेंद्रित कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत रखी गई हैं। यदि कुंडलियों से प्रवाहित धारा क्रमशः $10 \text{ A}$ और $24 \text{ A}$ है,तो कुंडलियों के केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण क्या होगा?
A
$13 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$
B
$12 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$
C
$7 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$
D
$5 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$
Solution
(A) $r$ त्रिज्या वाली और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 4 \pi \text{ cm} = 4 \pi \times 10^{-2} \text{ m}$ दिया गया है।
पहली कुंडली के लिए जिसमें $i_1 = 10 \text{ A}$ धारा प्रवाहित हो रही है:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{8 \pi \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें $i_2 = 24 \text{ A}$ धारा प्रवाहित हो रही है:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 24}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 24}{8 \pi \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T} = 12 \times 10^{-5} \text{ T}$.
चूंकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$B = \sqrt{(5 \times 10^{-5})^2 + (12 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{25 + 144} \times 10^{-5} \text{ T} = \sqrt{169} \times 10^{-5} \text{ T} = 13 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$.
यहाँ $r = 4 \pi \text{ cm} = 4 \pi \times 10^{-2} \text{ m}$ दिया गया है।
पहली कुंडली के लिए जिसमें $i_1 = 10 \text{ A}$ धारा प्रवाहित हो रही है:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{8 \pi \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें $i_2 = 24 \text{ A}$ धारा प्रवाहित हो रही है:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 24}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 24}{8 \pi \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T} = 12 \times 10^{-5} \text{ T}$.
चूंकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$B = \sqrt{(5 \times 10^{-5})^2 + (12 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{25 + 144} \times 10^{-5} \text{ T} = \sqrt{169} \times 10^{-5} \text{ T} = 13 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$.
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MediumMCQ
$5 \ cm$ त्रिज्या वाले धारावाही वृत्ताकार लूप के केंद्र से $12 \ cm$ की दूरी पर अक्ष पर स्थित एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $250 \ \mu T$ है। लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा ($\mu T$ में)?
A
$2529$
B
$4394$
C
$1759$
D
$2908$
Solution
(B) दिया गया है: $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$r = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$B_{axis} = 250 \ \mu T$.
धारावाही वृत्ताकार लूप के अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$
$B_{centre}$ को $B_{axis}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I}{2R} \times \frac{2(R^2 + r^2)^{3/2}}{\mu_0 I R^2} = \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
मान रखने पर:
$B_{centre} = B_{axis} \times \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.05^2 + 0.12^2)^{3/2}}{0.05^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0025 + 0.0144)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0169)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.13)^3}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{0.002197}{0.000125} = 250 \ \mu T \times 17.576 = 4394 \ \mu T$.
धारावाही वृत्ताकार लूप के अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$
$B_{centre}$ को $B_{axis}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I}{2R} \times \frac{2(R^2 + r^2)^{3/2}}{\mu_0 I R^2} = \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
मान रखने पर:
$B_{centre} = B_{axis} \times \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.05^2 + 0.12^2)^{3/2}}{0.05^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0025 + 0.0144)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0169)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.13)^3}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{0.002197}{0.000125} = 250 \ \mu T \times 17.576 = 4394 \ \mu T$.
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DifficultMCQ
$1 \ m$ भुजा वाली एक वर्गाकार फ्रेम जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,अपने केंद्र पर $B$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। उसी धारा को वर्ग के समान परिधि वाली एक वृत्ताकार कुंडली से गुजारा जाता है। वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime}$ है। $\frac{B}{B^{\prime}}$ का अनुपात ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{8}{\pi^2}$
B
$\frac{16 \sqrt{2}}{\pi^2}$
C
$\frac{16}{\pi^2}$
D
$\frac{16}{\sqrt{3} \pi^2}$
Solution
(B) भुजा वाली वर्गाकार फ्रेम के लिए,केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र इसकी चार भुजाओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
प्रत्येक भुजा $a$ लंबाई के एक परिमित तार के रूप में कार्य करती है जो केंद्र से $r = a/2$ की लंबवत दूरी पर है।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ है।
चूंकि $4$ भुजाएं हैं,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए,परिधि वर्ग की परिधि के बराबर है,इसलिए $2 \pi R = 4 a$,जिससे $R = \frac{2 a}{\pi}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 (2 a / \pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{4 a}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B}{B^{\prime}} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I / \pi a}{\mu_0 \pi I / 4 a} = \frac{16 \sqrt{2}}{\pi^2}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक भुजा $a$ लंबाई के एक परिमित तार के रूप में कार्य करती है जो केंद्र से $r = a/2$ की लंबवत दूरी पर है।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ है।
चूंकि $4$ भुजाएं हैं,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए,परिधि वर्ग की परिधि के बराबर है,इसलिए $2 \pi R = 4 a$,जिससे $R = \frac{2 a}{\pi}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 (2 a / \pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{4 a}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B}{B^{\prime}} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I / \pi a}{\mu_0 \pi I / 4 a} = \frac{16 \sqrt{2}}{\pi^2}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
दो वृत्ताकार कुंडलियाँ $1$ और $2$ एक ही तार से बनाई गई हैं। पहली कुंडली की त्रिज्या दूसरी कुंडली की त्रिज्या से दोगुनी है। उनके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समान रहने के लिए उन पर लागू विभवांतर $V_1 / V_2$ का अनुपात क्या होगा?
A
$3$
B
$4$
C
$6$
D
$2$
Solution
(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों कुंडलियों के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समान है,इसलिए:
$\frac{\mu_0 I_1}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2(r)} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 2 \quad ...(i)$
चूंकि कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,उनका प्रतिरोध $R$ उनकी लंबाई $l$ के समानुपाती होता है $(R = \rho \frac{l}{A})$।
लंबाई $l_1 = 2\pi(2r) = 4\pi r$ और $l_2 = 2\pi(r) = 2\pi r$ है।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{4\pi r}{2\pi r} = 2 \quad ...(ii)$
ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,इसलिए $I = V/R$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{V_1/R_1}{V_2/R_2} = 2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2 \times \frac{R_1}{R_2}$
समीकरण $(ii)$ से अनुपात रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$.
यह दिया गया है कि दोनों कुंडलियों के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समान है,इसलिए:
$\frac{\mu_0 I_1}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2(r)} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 2 \quad ...(i)$
चूंकि कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,उनका प्रतिरोध $R$ उनकी लंबाई $l$ के समानुपाती होता है $(R = \rho \frac{l}{A})$।
लंबाई $l_1 = 2\pi(2r) = 4\pi r$ और $l_2 = 2\pi(r) = 2\pi r$ है।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{4\pi r}{2\pi r} = 2 \quad ...(ii)$
ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,इसलिए $I = V/R$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{V_1/R_1}{V_2/R_2} = 2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2 \times \frac{R_1}{R_2}$
समीकरण $(ii)$ से अनुपात रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$.
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार $r$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप में $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,जो केंद्र $O$ पर $\theta$ कोण अंतरित करती है। वृत्त के केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$
B
$\frac{2 \mu_0 I \sin \theta}{4 \pi r}$
C
$\frac{2 \mu_0 I \sin \theta}{2 r}$
D
$\frac{2 \mu_0 I \sin \theta}{4 r}$
Solution
(A) $I$ धारा ले जाने वाले एक पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार दिया जाता है:
$B_{loop} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण अंतरित करने वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$,चाप द्वारा अंतरित कोण के समानुपाती होता है।
चूंकि एक पूर्ण वृत्त $2\pi$ रेडियन का कोण अंतरित करता है,इसलिए $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र है:
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) B_{loop}$
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$
$B_{loop} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण अंतरित करने वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$,चाप द्वारा अंतरित कोण के समानुपाती होता है।
चूंकि एक पूर्ण वृत्त $2\pi$ रेडियन का कोण अंतरित करता है,इसलिए $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र है:
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) B_{loop}$
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$
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MediumMCQ
एक क्षैतिज ओवरहेड पावरलाइन जमीन से $5 \,m$ की ऊंचाई पर है और इसमें पूर्व से पश्चिम की ओर $150 \,A$ की धारा प्रवाहित हो रही है। इसके ठीक नीचे जमीन पर चुंबकीय क्षेत्र है
A
$6 \times 10^{-6} \,T$, $\text{दक्षिण की ओर}$
B
$6 \times 10^{-6} \,T$, $\text{पश्चिम की ओर}$
C
$7 \times 10^{-6} \,T$, $\text{पूर्व की ओर}$
D
$8 \times 10^{-7} \,T$, $\text{उत्तर की ओर}$
Solution
(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 150 \,A$
$r = 5 \,m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 150}{2 \pi \times 5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 30$
$B = 60 \times 10^{-7} \,T = 6 \times 10^{-6} \,T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार, यदि धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है, तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर गोलाकार होती हैं। तार के ठीक नीचे, चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $\text{दक्षिण की ओर}$ होती है।
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 150 \,A$
$r = 5 \,m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 150}{2 \pi \times 5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 30$
$B = 60 \times 10^{-7} \,T = 6 \times 10^{-6} \,T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार, यदि धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है, तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर गोलाकार होती हैं। तार के ठीक नीचे, चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $\text{दक्षिण की ओर}$ होती है।
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MediumMCQ
यदि $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर $R \sqrt{3}$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ है और कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है,तो $\frac{B_1}{B_2}$ का अनुपात किसके बराबर है?
A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{1}{8}$
C
$\frac{1}{4}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(B) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$ होता है।
यहाँ $r = R \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (R \sqrt{3})^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$.
कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
अब अनुपात लेने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 16R}{\mu_0 I / 2R} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
यहाँ $r = R \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (R \sqrt{3})^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$.
कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
अब अनुपात लेने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 16R}{\mu_0 I / 2R} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
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MediumMCQ
$r$ मीटर त्रिज्या वाले वृत्त में गतिमान एक आवेश $q$,प्रति सेकंड $n$ चक्कर लगाता है। वृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र है
A
$\frac{2 \pi q}{n r} \times 10^{-7} \text{ T}$
B
$\frac{2 \pi q}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$
C
$\frac{2 \pi n q}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$
D
$\frac{2 \pi q}{r} \text{ T}$
Solution
(C) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में $n$ आवृत्ति के साथ गति करने वाले आवेश $q$ के कारण उत्पन्न धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{q}{T} = qn$ (चूंकि $T = \frac{1}{n}$)
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
$I$ का मान और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (qn)}{2r}$
$B = \frac{2\pi nq}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।
$I = \frac{q}{T} = qn$ (चूंकि $T = \frac{1}{n}$)
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
$I$ का मान और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (qn)}{2r}$
$B = \frac{2\pi nq}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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View SolutionMoving Charges and Magnetism — Biot-Savart's Law and its application · Frequently Asked Questions
1Are these Moving Charges and Magnetism questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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