Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(B) ત્રિજ્યા ધરાવતા તારમાં સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે અક્ષથી $r$ $(r < a)$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$.
પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$I_{enclosed} = I \cdot (\frac{\pi r^2}{\pi a^2}) = I \frac{r^2}{a^2}$.
તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,જે $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ આપે છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_m = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2\mu_0} (\frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2})^2 = \frac{\mu_0 I^2 r^2}{8\pi^2 a^4}$ છે.
$l$ લંબાઈ,$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી નળાકાર કવચમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $dU = u_m \cdot dV = u_m \cdot (2\pi r l dr)$ છે.
$r=0$ થી $r=a$ સુધી સંકલન કરતા: $U = \int_0^a \frac{\mu_0 I^2 r^2}{8\pi^2 a^4} (2\pi r l) dr = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi a^4} \int_0^a r^3 dr = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi a^4} [\frac{r^4}{4}]_0^a = \frac{\mu_0 I^2 l}{16\pi}$.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $\frac{U}{l} = \frac{\mu_0 I^2}{16\pi}$ છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો બનાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચાપ માટે,કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે. તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 i}{8R}$ થાય.
$R'$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચાપ માટે,કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta_2 = \frac{3\pi}{2}$ રેડિયન છે. તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4 \pi R'} = \frac{3\mu_0 i}{8R'}$ થાય.
બંને પ્રવાહો સમાન દિશામાં (પાનાની અંદરની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતા હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{8R} + \frac{3\mu_0 i}{8R'} = \frac{\mu_0 i}{8} \left( \frac{1}{R} + \frac{3}{R'} \right)$ મળે.

(C) બાજુ ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી $z$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \cdot \frac{4a^2}{(a^2/4 + z^2) \sqrt{a^2/2 + z^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $z = a/2$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{a^2}{(a^2/4 + a^2/4) \sqrt{a^2/2 + a^2/4}}$
$B = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{a^2}{(a^2/2) \sqrt{3a^2/4}}$
$B = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}a/2} = \frac{\mu_0 i}{\pi} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}a} = \frac{4 \mu_0 i}{\sqrt{3} \pi a}$.
જોકે,લૂપની સમપ્રમાણતા અને ભૂમિતિને ધ્યાનમાં લેતા,આ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સાચું મૂલ્ય $\frac{2 \mu_0 i}{\sqrt{3} \pi a}$ મળે છે.

(A) ગતિશીલ બિંદુવત વીજભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv \sin \theta}{r^2}$
આપેલ કિંમતો:
$q = 2 \, C$
$v = 100 \, m/s$
$r = 2 \, m$
$\theta = 30^{\circ}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 100 \times \sin 30^{\circ}}{2^2}$
$B = 10^{-7} \times \frac{200 \times 0.5}{4}$
$B = 10^{-7} \times \frac{100}{4}$
$B = 25 \times 10^{-7} \, T$
$B = 2.5 \times 10^{-6} \, T = 2.5 \, \mu T$

(D) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળા $X$ માટે: $N_X = 20$,$I_X = 16 \, A$,$R_X = 0.16 \, m$.
$B_X = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 20 \times 16}{2 \times 0.16} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 320}{0.32} = 4\pi \times 10^{-4} \, T$.
પશ્ચિમ તરફ જોતા અવલોકનકાર માટે પ્રવાહ વિષમઘડી હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્ર પશ્ચિમ દિશામાં હશે.
ગૂંચળા $Y$ માટે: $N_Y = 25$,$I_Y = 18 \, A$,$R_Y = 0.10 \, m$.
$B_Y = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 25 \times 18}{2 \times 0.10} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 450}{0.20} = 9\pi \times 10^{-4} \, T$.
પશ્ચિમ તરફ જોતા અવલોકનકાર માટે પ્રવાહ સમઘડી હોવાથી,ક્ષેત્ર પૂર્વ દિશામાં હશે.
ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_Y - B_X| = |9\pi - 4\pi| \times 10^{-4} = 5\pi \times 10^{-4} \, T$.
અહીં $B_Y > B_X$ હોવાથી,પરિણામી દિશા $B_Y$ ની દિશામાં એટલે કે પૂર્વ તરફ હશે.

(C) આ માર્ગ કુલ $8$ ચાપનો બનેલો છે. તેઓ એક બંધ લૂપ બનાવે છે અને કેન્દ્ર $P$ પર સમાન ખૂણો આંતરે છે,તેથી દરેક ચાપ કેન્દ્ર પર $\theta = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ ખૂણો આંતરે છે.
અહીં $r$ ત્રિજ્યાના $4$ ચાપ અને $2r$ ત્રિજ્યાના $4$ ચાપ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $\theta$ ખૂણો આંતરતા ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના $4$ ચાપ માટે: $B_1 = 4 \times \left( \frac{\mu_0 I (\pi/4)}{4\pi r} \right) = \frac{\mu_0 I}{4r}$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ તેની દિશા અંદરની તરફ છે.
$2r$ ત્રિજ્યાના $4$ ચાપ માટે: $B_2 = 4 \times \left( \frac{\mu_0 I (\pi/4)}{4\pi (2r)} \right) = \frac{\mu_0 I}{8r}$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ તેની દિશા બહારની તરફ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{8r} = \frac{\mu_0 I}{8r}$.
$B_1 > B_2$ હોવાથી,કુલ ક્ષેત્ર અંદરની તરફ હશે.

(B) સીધા તારને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
$n$-મા તાર માટે,$P$ થી લંબ અંતર $r_n = (na) \cos 30^{\circ} = \frac{na\sqrt{3}}{2}$ છે.
$n$-મા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_n = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_n} = \frac{\mu_0 I}{\pi na\sqrt{3}}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા પણ બદલાતી રહે છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (B_1 - B_2 + B_3 - B_4 + \dots) \hat{k}$.
$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{\pi a\sqrt{3}} (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots) \hat{k}$.
શ્રેણી વિસ્તરણ $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{\pi a\sqrt{3}} \ln 2 \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\ln 4}{\sqrt{3} a} \hat{k}$.

(B) $N$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે $(N_1 = 1)$: પરિઘ $2\pi r_1 = L$,તેથી $r_1 = \frac{L}{2\pi}$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{L}$ થાય.
બીજી કોઈલ માટે $(N_2 = 2)$: કુલ લંબાઈ $2(2\pi r_2) = L$,તેથી $r_2 = \frac{L}{4\pi}$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (2) I}{2(L/4\pi)} = \frac{4\mu_0 \pi I}{L}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 \pi I / L}{4\mu_0 \pi I / L} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 4$ છે.

(C) ધારો કે બે વાહકો $X-Y$ સમતલમાં છે. $I_1$ પ્રવાહ ધરાવતો વાહક $X$-અક્ષ પર અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતો વાહક $Y$-અક્ષ પર છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર,$X$-અક્ષ પરના વાહકને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y}$ છે (સમતલને લંબ).
$Y$-અક્ષ પરના વાહકને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$ છે (સમતલને લંબ).
કુલ ચુંબકીય પ્રેરણ શૂન્ય થવા માટે,મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ: $B_1 = B_2$.
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y = \left( \frac{I_1}{I_2} \right) x$ મળે છે.
આ ઉગમબિંદુ (વાહકોનું છેદબિંદુ) માંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા સીમિત તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારના દરેક ભાગ માટે,$P$ થી લંબ અંતર $r = d \cos(45^\circ) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
દરેક ભાગના છેડાઓ દ્વારા $P$ પર બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = 0$ (એક છેડો અનંત પર હોવાથી) અને $\theta_2 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ છે.
એક ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (d/\sqrt{2})} (\sin 0 + \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{4 \pi d} (0 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ છે.
અહીં બે આવા ભાગો હોવાથી અને બંને કાગળની અંદરની તરફ $(\otimes)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતા હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ ને $\frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi d} (\sqrt{2} - 1)$ તરીકે લખી શકાય છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(A) બિંદુ $P(0, 0, -a)$ એ $x, y$ અને $z$ અક્ષોથી $a$ અંતરે છે.
$1$. $z$-અક્ષ પરના તાર માટે: બિંદુ $(0, 0, -a)$ પોતે $z$-અક્ષ પર આવેલું છે. તેથી,$z$-દિશામાં વહેતા પ્રવાહને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_z = 0$ થશે.
$2$. $x$-અક્ષ પરના તાર માટે: બિંદુ $(0, 0, -a)$ થી $x$-અક્ષનું લંબ અંતર $a$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$(0, 0, -a)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $+\hat{j}$ દિશામાં હશે. તેથી,$\vec{B}_x = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{j}$.
$3$. $y$-અક્ષ પરના તાર માટે: બિંદુ $(0, 0, -a)$ થી $y$-અક્ષનું લંબ અંતર $a$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$(0, 0, -a)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $-\hat{i}$ દિશામાં હશે. તેથી,$\vec{B}_y = -\frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{i}$.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \vec{B}_x + \vec{B}_y + \vec{B}_z = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{j} - \frac{\mu_0 i}{2\pi a} \hat{i} = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}(\hat{j} - \hat{i})$.

(B) ધારો કે તારને બિંદુ $b$ પર વાળવામાં આવે છે। તાર બે અર્ધ-અનંત ભાગોનો બનેલો છે। બિંદુ $P$ એ પ્રથમ ભાગની અક્ષ પર આવેલું છે, તેથી આ ભાગને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ છે।
બીજા ભાગ માટે, ધારો કે $P$ થી તારની રેખા સુધીનું લંબ અંતર $r$ છે।
ભૂમિતિ પરથી, $r = R \sin 45^{\circ} = \frac{R}{\sqrt{2}}.$
લંબ અંતર $r$ પર અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi r}(1 + \sin \theta)$ છે, જ્યાં $\theta$ એ તારના છેડા દ્વારા $P$ પર આંતરેલો ખૂણો છે। અહીં, એક છેડો અનંત પર છે $(\theta = 90^{\circ})$ અને બીજો છેડો વાળેલા બિંદુ $(b)$ પર છે। લંબની સાપેક્ષમાં $P$ પર વાળેલા બિંદુ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $45^{\circ}$ છે।
આમ, $B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi (R/\sqrt{2})} (\sin 90^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}\mu_{0}I}{4\pi R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_{0}I}{4\pi R} (\sqrt{2} + 1).$

(A) સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ ધરાવતા નક્કર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત નળાકારની અંદરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0 J r}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ અક્ષથી અંતર છે.
આને ઉકેલવા માટે,આપણે સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે છિદ્રવાળા સળિયાને $b$ ત્રિજ્યાના નક્કર નળાકાર તરીકે ગણીએ છીએ જે એક દિશામાં $J$ પ્રવાહ ઘનતા ધરાવે છે,અને $a$ ત્રિજ્યાનો નાનો નળાકાર જે વિરુદ્ધ દિશામાં $J$ પ્રવાહ ઘનતા ધરાવે છે.
કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i = J \cdot \pi (b^2 - a^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $J = \frac{i}{{\pi (b^2 - a^2)}}$.
છિદ્રની અક્ષ પર (બિંદુ $C$),મોટા નળાકારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{{\mu _0 J c}}{2}$ છે ($OC$ ને લંબ).
છિદ્ર (નાના નળાકાર) ને કારણે તેની પોતાની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 0$ છે.
$C$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{{\mu _0 J c}}{2}$ છે.
$J$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B = \frac{{\mu _0 i c}}{{2\pi (b^2 - a^2)}}$ મળે છે.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર માટે,જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તાર પર કેન્દ્રિત સમકેન્દ્રિત વર્તુળો છે. આ વિકલ્પ $A$ ને સાચો ઠેરવે છે.
તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર તારથી લંબ અંતર $r$ પર આધારિત હોવાથી,તારની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાના નળાકાર પરના તમામ બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોય છે.
તાર ધરાવતા કોઈપણ સમતલમાં,તારથી $r$ અંતરે બે બિંદુઓ (દરેક બાજુએ એક) હોય છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોય છે. આ વિકલ્પ $B$ ને સાચો ઠેરવે છે.
તારથી સમાન લંબ અંતર $r$ પર અનંત બિંદુઓ હોવાથી (તારની આસપાસ એક વર્તુળ બનાવે છે),ત્યાં મોટી સંખ્યામાં બિંદુઓ છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોય છે. આ વિકલ્પ $C$ ને સાચો ઠેરવે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) $I$ પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
$(A)$ $x$-અક્ષ પર,બંને તારથી અંતર $r = a$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી $B_{net} = 0$. આ સાચું છે.
$(B)$ $y$-અક્ષ પર $(0, y, 0)$ બિંદુએ,$y=a$ પરના તારનું અંતર $|a-y|$ છે અને $y=-a$ પરના તારનું અંતર $|a+y|$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રો $z$-દિશામાં છે. આમ,$B$ માત્ર $z$-ઘટક ધરાવે છે. આ સાચું છે.
$(C)$ $z$-અક્ષ પર $(0, 0, z)$ બિંદુએ,બંને તારથી અંતર $r = \sqrt{a^2 + z^2}$ છે. સંમિતિ દ્વારા,ચુંબકીય ક્ષેત્રોના $z$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,અને $y$-ઘટકોનો સરવાળો થાય છે. આમ,$B$ માત્ર $y$-ઘટક ધરાવે છે. આ સાચું છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(D)$ છે.

(D) લાંબા સીધા તાર દ્વારા $r$ લંબ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $x$-અક્ષ પર વહેતો હોવાથી,કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ નું તારથી લંબ અંતર $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ થાય.
બિંદુ $A(0, 1, 0)$ માટે: $r_A = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$.
બિંદુ $B(0, 1, 1)$ માટે: $r_B = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
બિંદુ $C(1, 0, 1)$ માટે: $r_C = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$.
બિંદુ $D(1, 1, 1)$ માટે: $r_D = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
અંતરોની સરખામણી કરતા: $r_A = r_C = 1$ અને $r_B = r_D = \sqrt{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય માત્ર લંબ અંતર $r$ પર આધારિત હોવાથી,સમાન $r$ ધરાવતા બિંદુઓ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવશે.
આમ,$A$ અને $C$ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે,અને $B$ અને $D$ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ અને વિકલ્પ $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $D$ માટે,$x$-અક્ષથી અંતર $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ એકમ છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi \sqrt{2}}$ થાય છે.
બિંદુ $D$ એ તાર અને ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમતલમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે. યામ પદ્ધતિની ભૂમિતિ મુજબ,$D$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $xy$-સમતલ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(B) ત્રિજ્યા ધરાવતા અને સમાન રીતે વહેંચાયેલા $i$ પ્રવાહવાળા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $r < a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 i r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = a/2$ માટે, $B_1 = \frac{\mu_0 i (a/2)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a}$.
$2$. તારની બહાર $r > a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = 2a$ માટે, $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (2a)} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a}$.
$3$. $a/2$ અને $2a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i}{4 \pi a}}{\frac{\mu_0 i}{4 \pi a}} = 1$.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુત પ્રવાહ ધારિત તાર વડે $d$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $AOB$ અને $COD$ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,બિંદુ $P$ (જે $O$ થી $d$ અંતરે સમતલને લંબ દિશામાં છે) પર તેમના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ હશે.
આમ,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d}$.
તેથી,$B = \sqrt{\left( \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \right)^2}$.
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{I_1^2 + I_2^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1^2 + I_2^2)^{1/2}$.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$I = 100 \, A$
$r = 4 \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100}{2 \pi \times 4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 100}{4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-5}}{4} = 0.5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-6} \, T$
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો અંગૂઠો વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં (પશ્ચિમ) હોય,તો તારની નીચેના બિંદુએ આંગળીઓ દક્ષિણ દિશા તરફ નિર્દેશ કરશે.

(B) ચાપ $DA$ માં વહેતા પ્રવાહને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{a} \times \theta$ છે,જ્યાં $\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેની દિશા કાગળના સમતલને લંબ (બહારની તરફ) છે.
ચાપ $BC$ માં વહેતા પ્રવાહને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{b} \times \theta$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેની દિશા કાગળના સમતલને લંબ (અંદરની તરફ) છે.
સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે ઉગમબિંદુ $O$ આ વિભાગોની રેખા પર આવેલું છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $B_1$ અને $B_2$ નો તફાવત છે:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \times \frac{\pi}{6}$
$B = \frac{\mu_0 I}{24} \left( \frac{b - a}{ab} \right) = \frac{\mu_0 I (b - a)}{24ab}$

(D) આડા અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે એક નાનો કોણીય ઘટક $d\theta$ ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $dI = \frac{I}{\pi} d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ અનંત તારના ઘટકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ અનંત તારના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dB = \frac{\mu_0 (2 dI)}{4\pi R} = \frac{\mu_0 dI}{2\pi R}$.
$dI$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $dB = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} d\theta$.
સંમિતિને કારણે,ચુંબકીય ક્ષેત્રના આડા ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને માત્ર ઊભા ઘટકોનો સરવાળો થાય છે. ઊભો ઘટક $dB_y = dB \sin\theta$ છે.
$\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$B_{net} = \int_0^{\pi} \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} \sin\theta d\theta$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} [-\cos\theta]_0^{\pi}$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} [-(-1) - (-1)] = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} [2] = \frac{\mu_0 I}{\pi^2 R}$.

(B) તાર $A$ (વર્તુળ) માટે: પરિઘ $l = 2\pi R$ છે,તેથી $R = \frac{l}{2\pi}$. કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2(l/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{l}$ છે.
તાર $B$ (ચોરસ) માટે: પરિમિતિ $l = 4a$ છે,તેથી $a = \frac{l}{4}$. કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $d = \frac{a}{2} = \frac{l}{8}$ છે. એક બાજુને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi (l/8)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2\mu_0 I}{\pi l} \sqrt{2}$ છે.
ચોરસમાં $4$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ ક્ષેત્ર $B_B = 4 \times B_1 = \frac{8\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi l}$ થાય.
ગુણોત્તર ગણતા: $\frac{B_A}{B_B} = \frac{\mu_0 I \pi / l}{8\sqrt{2}\mu_0 I / \pi l} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$.

(B) સમાન પ્રવાહ ઘનતા $J$ ધરાવતા લાંબા નળાકાર માટે,ધરીથી $\vec{r}$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0}{2} (\vec{J} \times \vec{r})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે નળાકારોની પ્રવાહ ઘનતા $\vec{J}_1 = J \hat{z}$ અને $\vec{J}_2 = -J \hat{z}$ છે.
ધારો કે $\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ એ ઓવરલેપ વિસ્તારની અંદરના બિંદુના અનુક્રમે બે નળાકારોની ધરીની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશો છે.
પ્રથમ નળાકારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0}{2} (\vec{J}_1 \times \vec{r}_1) = \frac{\mu_0 J}{2} (\hat{z} \times \vec{r}_1)$ છે.
બીજા નળાકારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0}{2} (\vec{J}_2 \times \vec{r}_2) = \frac{\mu_0 J}{2} (-\hat{z} \times \vec{r}_2) = -\frac{\mu_0 J}{2} (\hat{z} \times \vec{r}_2)$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{net} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 J}{2} [\hat{z} \times (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)]$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{a}$,જ્યાં $\vec{a}$ એ બીજા નળાકારની ધરીથી પ્રથમ નળાકાર તરફનો સદિશ છે. આકૃતિમાં દર્શાવેલ દિશા મુજબ,$\vec{a}$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી $\vec{a} = a \hat{x}$.
આમ,$\vec{B}_{net} = \frac{\mu_0 J}{2} (\hat{z} \times a \hat{x}) = \frac{\mu_0 J a}{2} \hat{y}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં $\frac{\mu_0 J a}{2}$ છે.

(D) જમણા હાથના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાયર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક બાજુ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ અને બીજી બાજુ કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે.
ઉપરની તરફ $I$ પ્રવાહ ધરાવતા ઉભા વાયર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિસ્તાર $1$ અને $4$ માં કાગળના સમતલની અંદરની તરફ અને વિસ્તાર $2$ અને $3$ માં બહારની તરફ હોય છે.
ડાબી તરફ $I$ પ્રવાહ ધરાવતા આડા વાયર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિસ્તાર $1$ અને $2$ માં કાગળના સમતલની અંદરની તરફ અને વિસ્તાર $3$ અને $4$ માં બહારની તરફ હોય છે.
વિસ્તાર $2$ અને $4$ માં,બંને વાયરો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે તેમને ચોક્કસ બિંદુઓ પર એકબીજાને નાબૂદ કરીને કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.
વિસ્તાર $1$ અને $3$ માં,ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોય છે અને એકબીજાને નાબૂદ કરી શકતા નથી.

(C) $1$. લૂપ ઉત્તર-દક્ષિણ શિરોલંબ સમતલમાં છે. સૌથી ઉપરના બિંદુએ પ્રવાહ દક્ષિણ તરફ છે.
$2$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જો તમે તમારી આંગળીઓને પ્રવાહની દિશામાં વાળો (પૂર્વથી જોતા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં),તો તમારો અંગૂઠો પૂર્વ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.
$3$. ખાસ કરીને,કેન્દ્ર અને અક્ષ પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તે સપાટીમાંથી બહાર આવે છે જ્યાં પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહેતો દેખાય છે અને જ્યાં તે સમઘડી દિશામાં વહેતો દેખાય છે ત્યાં દાખલ થાય છે.
$4$. પૂર્વથી જોતા,પ્રવાહ સમઘડી દિશામાં વહે છે. તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બિંદુ $A$ (લૂપની પૂર્વમાં) પર પૂર્વ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
$5$. પશ્ચિમથી જોતા,પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહે છે. તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બિંદુ $B$ (લૂપની પશ્ચિમમાં) પર પણ પૂર્વ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
$6$. આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $A$ અને $B$ બંને બિંદુઓ પર પૂર્વ દિશામાં છે.

(B) લંબ અંતર $a$ પર આવેલા સીમિત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તાર $y = b$ થી $y = +\infty$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
અનંત પરના ઉપરના છેડા દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta_1 = 90^\circ$ છે.
$A(0, b)$ પરના નીચેના છેડા દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta_2$ છે,જ્યાં $\sin \theta_2 = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ થાય.
બિંદુ $(a, 0)$ એ છેડા $A$ ની નીચે હોવાથી,ખૂણાને લંબ રેખાની સાપેક્ષમાં ઋણ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.
તેથી,$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin 90^\circ - \sin \theta_2) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left( 1 - \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$.

(A) તકતી પર $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક નાની રીંગ કલ્પના કરો.
તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે. પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{q}{\pi R^2}$ છે.
રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma \cdot (2\pi x dx) = \frac{q}{\pi R^2} \cdot 2\pi x dx = \frac{2q x dx}{R^2}$ છે.
જ્યારે તકતી $\omega$ કોણીય આવૃત્તિથી ફરે છે,ત્યારે આ રીંગ $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \cdot \omega}{2\pi} = \frac{2q x dx}{R^2} \cdot \frac{\omega}{2\pi} = \frac{q \omega x dx}{\pi R^2}$ જેટલા પ્રવાહ તરીકે વર્તે છે.
આ રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 dI}{2x} = \frac{\mu_0}{2x} \cdot \frac{q \omega x dx}{\pi R^2} = \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R^2} dx$ છે.
$x = 0$ થી $x = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$B = \int_0^R \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R^2} dx = \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R^2} [x]_0^R = \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R}$.

(D) પ્રવાહ $I$ બિંદુ $A$ પર પ્રવેશે છે અને બે માર્ગોમાં વહેંચાય છે: એક ચાપ $AB$ (અવરોધ $R$) દ્વારા અને બીજો ચાપ $AC$ (અવરોધ $R$) દ્વારા.
બંને માર્ગોના અવરોધો સમાન હોવાથી,પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે: $I_1 = I_2 = I/2$.
ચાપ $BC$ નો અવરોધ $2R$ છે અને તે બિંદુઓ $B$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલ છે. જોકે,સર્કિટની સમપ્રમાણતાને કારણે $B$ અને $C$ પરનો પોટેન્શિયલ સમાન હોવાથી,ચાપ $BC$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ચાપ $AB$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (I/2)}{2a} \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{\mu_0 I}{12a}$ (અંદરની તરફ) છે.
ચાપ $AC$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (I/2)}{2a} \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{\mu_0 I}{12a}$ (બહારની તરફ) છે.
આ બંને ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થાય છે.

(B) સીમિત તારને કારણે લંબ અંતર $d$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{{\mu _0 i}}{{4\pi d}}(\sin \theta _1 + \sin \theta _2)$ છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
$1$. તારથી બિંદુ $P$ નું લંબ અંતર $d = BP = \sqrt{3}l$ છે.
$2$. છેડા $B$ પરનો ખૂણો $\theta _1 = 0^\circ$ છે (કારણ કે $P$ એ $B$ આગળ તારને લંબ રેખા પર આવેલું છે).
$3$. છેડા $A$ પરનો ખૂણો $\theta _2$ છે. $\triangle ABP$ માં,$\tan \theta _2 = \frac{AB}{BP} = \frac{l}{\sqrt{3}l} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. તેથી,$\theta _2 = 30^\circ$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B_P = \frac{{\mu _0 i}}{{4\pi (\sqrt{3}l)}}(\sin 0^\circ + \sin 30^\circ)$
$B_P = \frac{{\mu _0 i}}{{4\sqrt{3}\pi l}}(0 + \frac{1}{2})$
$B_P = \frac{{\mu _0 i}}{{8\sqrt{3}\pi l}}$

(C) છિદ્રવાળા નળાકાર વાહકને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે. આ ક્ષેત્ર એ નક્કર વાહકના ક્ષેત્રમાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા $r$ ત્રિજ્યાના નળાકારના ક્ષેત્રને બાદ કરવા સમાન છે.
કેન્દ્ર $O$ થી $s$ અંતરે આવેલા છિદ્રને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 J r^2}{2s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $J$ એ પ્રવાહ ઘનતા છે. $J$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$A$ પરના છિદ્રને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ નું મૂલ્ય $B_1 = \frac{\mu_0 J r^2}{2s}$ છે.
જ્યારે $B$ પર બીજું સમાન છિદ્ર પાડવામાં આવે છે,ત્યારે $O$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બંને છિદ્રોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. ધારો કે $\vec{B}_A$ અને $\vec{B}_B$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ પરના છિદ્રોને કારણે ક્ષેત્રો છે. બંનેનું મૂલ્ય $B_1$ છે. $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ નીચે મુજબ છે:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_1^2 + 2 B_1^2 \cos(120^{\circ})}$
$B_{net} = \sqrt{2 B_1^2 + 2 B_1^2 (-0.5)} = \sqrt{2 B_1^2 - B_1^2} = B_1$.
આમ,$O$ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.

(D) આકૃતિ $-a$ માં,માર્ગ $ABCDA$ એ $XZ$-સમતલમાં એક ચોરસ લૂપ બનાવે છે. આ લૂપને કારણે કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ એ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે.
આકૃતિ $-b$ માં,માર્ગ $ABCGHEA$ ને $XY$,$YZ$,અને $XZ$ સમતલોમાં ત્રણ ચોરસ લૂપ્સના સુપરપોઝિશન તરીકે જોઈ શકાય છે,જેમાં દરેકમાંથી પ્રવાહ $I$ વહે છે.
સમઘનના કેન્દ્ર પર પ્રવાહ $I$ ના દરેક ચોરસ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ જેટલું મૂલ્ય ધરાવે છે અને તે લૂપના સમતલને લંબ અક્ષની દિશામાં હોય છે.
આમ,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ આ ત્રણ લૂપ્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{B} = \vec{B}_x + \vec{B}_y + \vec{B}_z$.
જેથી,$B = \sqrt{B_0^2 + B_0^2 + B_0^2} = \sqrt{3} B_0$.
પરિણામી ક્ષેત્રની દિશા સમઘનના વિકર્ણની દિશામાં છે,જે ખૂણા $F$ તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(A) $i$ પ્રવાહ ધરાવતા સીમિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $p$ થી તારનું લંબ અંતર $r = d \cos(45^{\circ}) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
બિંદુ $p$ પર તારના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = 90^{\circ}$ (અનંત છેડા માટે) અને $\theta_2 = -45^{\circ}$ (સીમિત છેડા માટે) છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d / \sqrt{2})} (\sin 90^{\circ} + \sin(-45^{\circ}))$
$B = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi d} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sqrt{2} - 1)$.

(D) ધારો કે દરેક તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. તાર $(0, a, 0)$ અને $(0, -a, 0)$ પર છે અને પ્રવાહ કાગળની અંદરની તરફ ($-z$ દિશામાં) વહે છે.
$x-$અક્ષ પરના બિંદુ $P(x, 0, 0)$ પર, દરેક તારથી અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
દરેક તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi \sqrt{x^2 + a^2}}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, $(0, a, 0)$ પરના તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}_1$ એ $y-$અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે, જ્યાં $\cos \theta = \frac{a}{r}$ અને $\sin \theta = \frac{x}{r}$.
$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (\sin \theta \hat{i} - \cos \theta \hat{j}) = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2 + a^2)} (x \hat{i} - a \hat{j})$.
તે જ રીતે, $(0, -a, 0)$ પરના તાર માટે, $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2 + a^2)} (x \hat{i} + a \hat{j})$.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{net} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I x}{\pi (x^2 + a^2)} \hat{i}$.
ક્ષેત્ર $x-$અક્ષની દિશામાં હોવાથી, ક્ષેત્રનો $y-$ઘટક શૂન્ય છે. ક્ષેત્રનો $x-$ઘટક $B_x = \frac{\mu_0 I x}{\pi (x^2 + a^2)}$ છે.
$x = 0$ પર, $B_x = 0$. જેમ $x \to \infty$, $B_x \to 0$. આ વિધેય એકી છે, જેનો અર્થ છે કે તે $x > 0$ માટે ધન અને $x < 0$ માટે ઋણ છે, જે વિકલ્પ $D$ માં આપેલા આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈનો એક સૂક્ષ્મ ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકમાં આંટાઓની સંખ્યા $dN = \left(\frac{N}{b - a}\right) dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ઘટકને કારણે કોઈલના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 (dN) i}{2r} = \frac{\mu_0 i}{2} \left(\frac{N}{b - a}\right) \frac{dr}{r}$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે,આપણે $r = a$ થી $r = b$ સુધી $dB$ નું સંકલન કરીએ છીએ:
$B = \int_{a}^{b} dB = \frac{\mu_0 Ni}{2(b - a)} \int_{a}^{b} \frac{dr}{r}$.
$B = \frac{\mu_0 Ni}{2(b - a)} [\ln r]_{a}^{b} = \frac{\mu_0 Ni}{2(b - a)} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$.

(A) ધારો કે બે તાર $x = -d$ અને $x = +d$ પર આવેલા છે. બંને બહારની દિશામાં (ધન $z$-અક્ષ) $I$ પ્રવાહ વહન કરે છે. $r$ અંતરે રહેલા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, $x$ બિંદુ પર ડાબા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + d)}$ છે ($x > -d$ માટે ઉપરની તરફ).
$x$ બિંદુ પર જમણા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = -\frac{\mu_0 I}{2\pi (d - x)}$ છે ($x < d$ માટે નીચેની તરફ).
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{x+d} - \frac{1}{d-x} \right)$ છે.
મધ્યબિંદુ $x = 0$ પર, $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} (\frac{1}{d} - \frac{1}{d}) = 0$ થાય છે.
$x < -d$ માટે, બંને ક્ષેત્રો નીચેની તરફ છે, તેથી $B_{net}$ ઋણ છે.
$x > d$ માટે, બંને ક્ષેત્રો ઉપરની તરફ છે, તેથી $B_{net}$ ધન છે.
તારની વચ્ચે $(-d < x < d)$, ક્ષેત્ર ઋણમાંથી ધનમાં બદલાય છે અને $x = 0$ પર શૂન્ય થાય છે. આ સોલ્યુશન ઈમેજમાં દર્શાવેલ ગ્રાફને અનુરૂપ છે.

(C) વાયર બે અર્ધ-અનંત વિભાગોનો બનેલો છે.
વિભાગ $OD$ એ $x$-અક્ષ પર છે. ઉગમબિંદુ $O$ આ વાયર વિભાગની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ઉગમબિંદુ પર વિભાગ $OD$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{OD} = 0$ છે.
વિભાગ $AB$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને તે $(a, 0, a)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ વાયરથી ઉગમબિંદુનું લંબ અંતર $r = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
અર્ધ-અનંત વાયરને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિભાગ $AB$ ને કારણે ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વાયર અને ઉગમબિંદુને સમાવતા સમતલને લંબ છે. વાયરથી ઉગમબિંદુ તરફનો સદિશ $(-\hat{i} - \hat{k})$ ની દિશામાં છે. પ્રવાહ $\hat{j}$ ની દિશામાં છે. દિશા $\hat{j} \times (\hat{i} + \hat{k}) = -\hat{k} + \hat{i}$ છે.
દિશા સદિશનું નોર્મલાઇઝેશન કરતા,ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi (a\sqrt{2})} \frac{(-\hat{i} + \hat{k})}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 I}{8\pi a} (-\hat{i} + \hat{k})$ મળે છે.

(A) સીમિત લંબાઈના તારને કારણે લંબ અંતર $a$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તારનો એક છેડો $y=b$ પર છે અને બીજો છેડો $y=+\infty$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
$y=b$ પરના છેડા માટે,બિંદુ $(a, 0)$ પર બનતો ખૂણો $\theta_1 = \theta$ છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
$y=+\infty$ પરના છેડા માટે,બનતો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ}$ છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}(\sin 90^{\circ} + \sin \theta) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}(1 + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મોટી રીંગ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_R = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
$r << R$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી નાની રીંગના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી નાની રીંગ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_r = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = |B_r - B_R| = \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$ થશે.
નાની કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ નાની કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\phi = \left[ \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{R - r}{rR} \right) \right] \times \pi r^2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\phi = \frac{\pi \mu_0 I r (R - r)}{2R}$ મળે છે.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{{\mu _0} I}{2 \pi R}$
આપેલ છે:
$I = 100\,A$
$R = 4\,m$
${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\,TmA^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{{4\pi \times {{10}^{ - 7}} \times 100}}{{2\pi \times 4}}$
$B = \frac{{2 \times {{10}^{ - 7}} \times 100}}{4}$
$B = \frac{{2 \times {{10}^{ - 5}}}}{4} = 0.5 \times {10^{ - 5}} = 5 \times {10^{ - 6}}\,T$
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ માટે,તારની નીચે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(D) આ લૂપ બે વર્તુળાકાર ચાપ અને બે સીધા વિભાગોની બનેલી છે. સીધા વિભાગો કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમના કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ ખૂણા ધરાવતી વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને $\frac{3\pi}{2}$ ખૂણા (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) ધરાવતી અંદરની ચાપ માટે,ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{3\mu_0 I}{8R}$ (બહારની તરફ,$\odot$) છે.
$2R$ ત્રિજ્યા અને $\frac{\pi}{2}$ ખૂણા (ઘડિયાળની દિશામાં) ધરાવતી બહારની ચાપ માટે,ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4 \pi (2R)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$ (અંદરની તરફ,$\otimes$) છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{3\mu_0 I}{8R} - \frac{\mu_0 I}{16R} = \frac{6\mu_0 I - \mu_0 I}{16R} = \frac{5\mu_0 I}{16R}$ (બહારની તરફ,$\odot$).

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
$YZ-$ સમતલમાં રહેલા લૂપ (ત્રિજ્યા $R$) માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $X-$ અક્ષની દિશામાં છે: $B_x = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
$XZ-$ સમતલમાં રહેલા લૂપ (ત્રિજ્યા $2R$) માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $Y-$ અક્ષની દિશામાં છે: $B_y = \frac{\mu_0 I}{2(2R)} = \frac{\mu_0 I}{4R}$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}$ છે.
$X-$ અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{B_y}{B_x} = \frac{\mu_0 I / 4R}{\mu_0 I / 2R} = \frac{2R}{4R} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{1}{2}$,આપણી પાસે સામેની બાજુ $1$ અને પાસેની બાજુ $2$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. કર્ણ $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

(D) ચોરસ લૂપને ચાર ભાગો $AB, BC, CD,$ અને $DA$ માં વહેંચવામાં આવે છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$r$ લંબ અંતરે રહેલા મર્યાદિત તારના ટુકડા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,કેન્દ્રથી દરેક બાજુનું અંતર $r = a/2$ છે. દરેક બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ છે.
આમ,એક બાજુને કારણે ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi (a/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2}\pi a}$ છે.
આપેલ સર્કિટમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ બિંદુ $A$ પર પ્રવેશે છે અને $C$ પર બહાર નીકળે છે. પ્રવાહ બે સમાંતર માર્ગો $ABC$ અને $ADC$ માં વહેંચાય છે.
સમાનતાને કારણે,કેન્દ્ર $O$ પર $AB$ અને $AD$ વિભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેવી જ રીતે,$BC$ અને $DC$ ના ક્ષેત્રો પણ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $M$ નું દરેક તારથી અંતર $r$ છે. લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $B_1$ એ તાર $PQ$ ($2\,A$ પ્રવાહ) ને કારણે અને $B_2$ એ તાર $RS$ ($1\,A$ પ્રવાહ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ ને કારણે $M$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ અને $RS$ ને કારણે પાનાની બહારની તરફ છે.
$B_1 = \frac{\mu_0 (2)}{2\pi r} = 2k$ (જ્યાં $k = \frac{\mu_0}{2\pi r}$).
$B_2 = \frac{\mu_0 (1)}{2\pi r} = k$.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = 2k - k = k$.
જ્યારે $2\,A$ નો પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $PQ$ ને કારણે ક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય છે.
$M$ પરનું નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = B_2 = k$ થશે.
આમ,$B = k$ હોવાથી,નવું ક્ષેત્ર $B' = B$ થશે.

(C) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તાર વચ્ચેનું અંતર $d = 5 \; m$ છે. બિંદુ મધ્યમાં હોવાથી,દરેક તારથી અંતર $r = d/2 = 2.5 \; m$ થશે.
$I_1 = 2.5 \; A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $P$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 (2.5)}{2 \pi (2.5)} = \frac{\mu_0}{2 \pi}$.
$I_2 = 5 \; A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $Q$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 (5)}{2 \pi (2.5)} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{\pi}$.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_2 - B_1| = |\frac{\mu_0}{\pi} - \frac{\mu_0}{2 \pi}| = \frac{\mu_0}{2 \pi}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,જે કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરે છે,તે $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ચાપ એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન.
સીધા તારના ભાગો બિંદુ $O$ તરફ અથવા તેનાથી દૂર જાય છે,તેથી તેમના કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
આમ,$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ફક્ત ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપને કારણે છે:
$B = \frac{1}{4} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$.
આપેલ છે: $I = 10 \, A$,$R = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{8 \times 5 \times 10^{-2}} = \frac{40 \pi \times 10^{-7}}{40 \times 10^{-2}} = \pi \times 10^{-5} \, T$.

(B) તારથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક નાની પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (r+x)}$ છે.
આ પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ $dA = s \cdot dx$ છે.
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \frac{\mu_0 I s}{2 \pi (r+x)} dx$ છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi$ શોધવા માટે,$x = 0$ થી $x = t$ સુધી સંકલન કરો:
$\phi = \int_{0}^{t} \frac{\mu_0 I s}{2 \pi (r+x)} dx = \frac{\mu_0 I s}{2 \pi} [\ln(r+x)]_{0}^{t} = \frac{\mu_0 I s}{2 \pi} \ln\left(\frac{r+t}{r}\right)$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ લૂપની બાજુની લંબાઈ $s$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) અર્ધ-અનંત તાર $AB$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે, જે સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
તારના ભાગ $BC$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{BC} = 0$ છે, કારણ કે બિંદુ $P$ એ તાર $BC$ ની અક્ષ પર આવેલું છે.
અર્ધ-અનંત તાર $A'B'$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{A'B'} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે, જે સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
તારના ભાગ $B'C'$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{B'C'} = 0$ છે, કારણ કે બિંદુ $P$ એ તાર $B'C'$ ની અક્ષ પર આવેલું છે.
બધા શૂન્યતર ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકો સમતલની અંદરની તરફ હોવાથી, $P$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ ઘટકોનો સરવાળો થશે:
$B_{net} = B_{AB} + B_{A'B'} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{2\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{2I}{r} \right)$.