Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(C) $n$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2\pi nir^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ આંટાની સંખ્યા $n$ અને ત્રિજ્યાના વર્ગ $r^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે,અને $(x^2 + r^2)^{3/2}$ પદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$B \propto \frac{nr^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 1 : 2$ અને ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતાનો ગુણોત્તર $B_1 : B_2 = 1 : 3$ છે.
બંને લૂપ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{i_1}{r_1} \times \frac{r_2}{i_2} = \frac{i_1}{i_2} \times \frac{r_2}{r_1}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{3} = \frac{i_1}{i_2} \times \frac{2}{1}$.
તેથી,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

(B) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$i = 2\,A$
$r = 5\,m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7}\,T\cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times i}{r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2}{5}$
$B = \frac{4 \times 10^{-7}}{5} = 0.8 \times 10^{-7}\,T = 8 \times 10^{-8}\,T$

(C) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{4r}$
આપેલ કિંમતો:
$i = 10\, A$
$r = 5\, cm = 5 \times 10^{-2}\, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.14159}{5} \times 10^{-4} = 0.6283 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-5}\, T$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો: પ્રવાહ $I = 2.0\,A$,ત્રિજ્યા $r = 0.0157\,m$,અને પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2.0}{2 \times 0.0157}$
અહીં $\pi \approx 3.14$ હોવાથી,$0.0157 = \frac{3.14}{200} = \frac{\pi}{200}$ થાય.
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times (\pi / 200)}$
$B = 4 \times 10^{-7} \times 2 \times 100 = 8 \times 10^{-5}\,Wb/m^2$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1$ ત્રિજ્યા અને $i_1$ પ્રવાહ ધરાવતા નાના લૂપ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ છે.
$r_2$ ત્રિજ્યા અને $i_2$ પ્રવાહ ધરાવતા મોટા લૂપ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}|$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B = \frac{1}{2} B_1$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{\mu_0}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}| = \frac{1}{2} (\frac{\mu_0 i_1}{2r_1})$.
$|\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}| = \frac{i_1}{2r_1}$.
આપેલ છે કે $r_2 = 2r_1$,તેથી $\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{2r_1} = \frac{i_1}{2r_1}$ (ધારી લઈએ કે $B_1 > B_2$).
$\frac{i_1}{2r_1} = \frac{i_2}{2r_1}$,જેનો અર્થ છે કે $i_1 = i_2$.
તેથી,$i_2/i_1 = 1$.

(B) ચોરસ લૂપને $P$ અને $S$ વચ્ચે બે સમાંતર માર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: એક માર્ગ સીધો $PS$ વિભાગ છે,અને બીજો માર્ગ $P-Q-R-S$ છે.
તાર સમાન હોવાથી,પ્રવાહ માર્ગોના અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાય છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,સીધા પ્રવાહધારિત તાર દ્વારા તેની અક્ષ પરના બિંદુ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$PQ$,$QR$,અને $RS$ વિભાગો માટે,ચોરસના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરી શકાય છે.
પ્રવાહના વિતરણની સપ્રમાણતા અને વિભાગોમાં પ્રવાહની દિશાઓને કારણે,$PQ$ વિભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $RS$ વિભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર દ્વારા રદ થાય છે.
$QR$ વિભાગ પણ એક ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે અન્ય વિભાગોની સંયુક્ત અસર દ્વારા રદ થાય છે અથવા ચોક્કસ ભૂમિતિને કારણે કેન્દ્રમાં શૂન્ય હોય છે.
ચોક્કસપણે,પ્રવાહધારિત લૂપના કોઈપણ વિભાગને કારણે કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર જ્યાં પ્રવાહ સપ્રમાણ બિંદુઓ પર પ્રવેશે છે અને બહાર નીકળે છે તે શૂન્ય છે કારણ કે લૂપના વિવિધ ભાગોમાંથી યોગદાન એકબીજાને રદ કરે છે.
તેથી,લૂપના કેન્દ્રમાં ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(B) લાંબા સીધા વિદ્યુત પ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
અહીં $r_1 = 5 \ cm$ પર $B_1 = B$ આપેલ છે અને આપણે $r_2 = 20 \ cm$ પર $B_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{r_1}{r_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_2}{B} = \frac{5 \ cm}{20 \ cm} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$B_2 = \frac{B}{4}$.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $n = 25$.
વ્યાસ $D = 10\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 5\, cm = 5 \times 10^{-2}\, m$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 4\, A$.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 25 \times 4}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{10 \times 10^{-2}}$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^3 = 4\pi \times 10^{-4}\, T$
$B \approx 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} = 12.566 \times 10^{-4} = 1.257 \times 10^{-3}\, T$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા $l$ લંબાઈના અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = Bil \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂલ્ય લેતા,$F = Bil$ મળે છે.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$B = \frac{F}{il}$ મળે છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = MLT^{-2}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[i] = A$ છે.
લંબાઈ $l$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[l] = L$ છે.
આ કિંમતો $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[B] = \frac{[F]}{[i][l]} = \frac{MLT^{-2}}{A \cdot L} = MT^{-2}A^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ કોઈલની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
પ્રથમ કોઈલ માટે જેની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
બીજી કોઈલ માટે જેની ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I}{4r}$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2r}}{\frac{\mu_0 I}{4r}} = \frac{4r}{2r} = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) અનંત લંબાઈના સીધા તારમાંથી વહેતા $i$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
આપેલ છે:
$i = 1 \, A$
$r = 1 \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1}{2\pi \times 1}$
$B = 2 \times 10^{-7} \, T$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે બંને તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. મધ્યબિંદુ દરેક તારથી $r = d/2$ અંતરે છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,અનંત લંબાઈના તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,મધ્યબિંદુએ પ્રથમ તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને બીજા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
બંને તાર માટે પ્રવાહ $I$ અને અંતર $r$ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન થશે: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)}$.
આ સદિશોના મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{Net} = B_1 - B_2 = 0$ થશે.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu_0 i}}{{2r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu_0 = 4\pi \times {10^{ - 7}}\,T\cdot m/A$,$r = 5\,cm = 5 \times {10^{ - 2}}\,m$,અને $B = B_H = 5 \times {10^{ - 5}}\,T$ આપેલ છે.
કોઈલના ચુંબકીય ક્ષેત્રને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક સાથે સરખાવતા:
$5 \times {10^{ - 5}} = \frac{{4\pi \times {{10}^{ - 7}} \times i}}{{2 \times 5 \times {{10}^{ - 2}}}}$
$5 \times {10^{ - 5}} = \frac{{2\pi \times {{10}^{ - 7}} \times i}}{{5 \times {{10}^{ - 2}}}}$
$i = \frac{{5 \times {{10}^{ - 5}} \times 5 \times {{10}^{ - 2}}}}{{2 \times 3.14 \times {{10}^{ - 7}}}}$
$i = \frac{{25 \times {{10}^{ - 7}}}}{{6.28 \times {{10}^{ - 7}}}} \approx 3.98\,A \approx 4\,A$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $N$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$
આપેલ કિંમતો:
$i = 0.1 \, A$
$N = 100$
$r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.1}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{10^{-1}}$
$B = 4\pi \times 10^{-5} \, T$

(A) $n$ આવૃત્તિ સાથે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા $e$ વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = q \times f = e \times n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
આ સૂત્રમાં $i = en$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 (en)}{2r} = \frac{\mu_0 ne}{2r}$.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીધા વિભાગો અને ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપ $AB$ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ એવા માર્ગે વહે છે કે જે બિંદુ $C$ ના સંદર્ભમાં જોતા,કાગળના સમતલની અંદરની તરફ જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
ચોક્કસપણે,જમણા હાથની આંગળીઓને વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ની દિશામાં વાળતા,અંગૂઠો બિંદુ $C$ પર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલને લંબ અને કાગળની અંદરની તરફ હોય છે.

(C) ધારો કે બે તાર $1$ અને $2$ છે,જેમાં સમાન દિશામાં $i$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. બિંદુ $P$ તેમની વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ છે,તેથી દરેક તારથી $P$ નું અંતર $r$ છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,તાર $1$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે,જે $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $2$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ છે,જે $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન છે અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,બિંદુ $P$ પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થશે.

(D) ચુંબકીય પરમિએબિલિટી $\mu$ ને સંબંધ $B = \mu H$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સોલેનોઇડના ઇન્ડક્ટન્સ માટેના સમીકરણ $L = \frac{\mu N^2 A}{l}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\mu = \frac{L \cdot l}{N^2 A}$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નો એકમ હેનરી $(H)$ છે,લંબાઈ $l$ નો એકમ મીટર $(m)$ છે,અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી,$\mu$ નો એકમ $\frac{H \cdot m}{m^2} = \text{હેનરી/મીટર}$ $(H/m)$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) લાંબા સીધા તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$.
આપેલ છે: $i = \pi \, A$,$B = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-5} = \frac{\mu_0 \times \pi}{2\pi r}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$5 \times 10^{-5} = \frac{\mu_0}{2r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{\mu_0}{2 \times 5 \times 10^{-5}} = \frac{\mu_0}{10 \times 10^{-5}} = \frac{\mu_0}{10^{-4}} = 10^4 \mu_0 \, m$.

(B) $n$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે. $n=1$ લૂપ માટે,$L = 2\pi r_1$,તેથી $r_1 = \frac{L}{2\pi}$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2r_1} = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ છે.
$n=3$ લૂપ માટે,નવી ત્રિજ્યા $r_2$ એ $L = 3(2\pi r_2)$ નું પાલન કરે છે,તેથી $r_2 = \frac{L}{6\pi} = \frac{r_1}{3}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (3) I}{2r_2} = \frac{3\mu_0 I}{2(r_1/3)} = 9 \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) = 9 B_1$ થશે.

(A) બાજુ લંબાઈ ધરાવતી ચોરસ ફ્રેમ $ABCD$ ધ્યાનમાં લો. જ્યારે વિકર્ણ (ધારો કે $A$ અને $C$) પર બેટરી જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $A$ પર પ્રવેશતો પ્રવાહ $I$ બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,$I/2$,જે $ABC$ અને $ADC$ માર્ગોમાંથી વહે છે.
$ABC$ માર્ગ માટે,$I/2$ પ્રવાહ $AB$ અને $BC$ વિભાગોમાંથી વહે છે. બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,કેન્દ્ર $O$ પર $AB$ વિભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની દિશામાં હોય છે. તેવી જ રીતે,$BC$ વિભાગને કારણે ક્ષેત્ર પણ અંદરની દિશામાં હોય છે.
$ADC$ માર્ગ માટે,$I/2$ પ્રવાહ $AD$ અને $DC$ વિભાગોમાંથી વહે છે. કેન્દ્ર $O$ પર $AD$ વિભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની દિશામાં હોય છે. તેવી જ રીતે,$DC$ વિભાગને કારણે ક્ષેત્ર પણ બહારની દિશામાં હોય છે.
વિભાગો સપ્રમાણ હોવાથી અને પ્રવાહો સમાન હોવાથી,$AB$ અને $BC$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (અંદરની તરફ) એ $AD$ અને $DC$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર (બહારની તરફ) દ્વારા સંપૂર્ણપણે નાબૂદ થાય છે.
તેથી,ચોરસના કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ છે.

(D) $I$ પ્રવાહ ધરાવતી $a$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_c = \frac{\mu_0 I}{2a}$ છે.
કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = a$ આપેલ છે,તેથી $a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I a^2}{2(2a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I a^2}{2(2\sqrt{2} a^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} a}$ થાય.
કેન્દ્ર પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને $a$ અંતરે આવેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 I / 2a}{\mu_0 I / 4\sqrt{2} a} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ મળે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપને કારણે તેના કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{loop}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2r}}$ છે,જે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ બહારની તરફની દિશામાં છે.
$r$ અંતરે રહેલા લાંબા સીધા તારને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{wire}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi r}}$ છે,જે પણ બહારની તરફની દિશામાં છે.
બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}}$ એ બંનેનો સરવાળો થશે:
$B_{\text{net}} = B_{\text{loop}} + B_{\text{wire}}$
$B_{\text{net}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2r}} + \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi r}}$
$B_{\text{net}} = \frac{{\mu _0 i}}{{2\pi r}}(\pi + 1)$

(C) નાના પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ ને કારણે $\vec{r}$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ એ બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનું ગાણિતિક સૂત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4r}$ છે.
આપેલ છે: $i = 10\,A$,$r = 20\,cm = 0.2\,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \times 0.2}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-6}}{0.2}$
$B = 5\pi \times 10^{-6}\,T = 5\pi \mu T$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $I$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $L$ લંબાઈનો સમાન તાર વાપરવામાં આવે,તો $n=1$ માટે,$L = 2\pi r_1$,તેથી $r_1 = \frac{L}{2\pi}$. આમ,$B = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$.
$n=2$ માટે,નવી ત્રિજ્યા $r_2$ એ $L = 2(2\pi r_2)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{r_1}{2}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B'$ એ $B' = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_2} = \frac{\mu_0 I}{r_2} = \frac{\mu_0 I}{r_1/2} = 2 \left( \frac{\mu_0 I}{r_1} \right) = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) = 4B$ થાય.
તેથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $4B$ છે.

(C) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 4 \times 10^{-4}\,T$ છે,જે વિદ્યુતપ્રવાહને સમાંતર છે.
લાંબા સીધા તાર દ્વારા $r = 2.0\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{I}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$B_2 = 2 \times 10^{-7} \times \frac{30}{2 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-4}\,T$.
ક્ષેત્ર $B_1$ વિદ્યુતપ્રવાહને સમાંતર હોવાથી અને ક્ષેત્ર $B_2$ (તારને કારણે) વિદ્યુતપ્રવાહને લંબ હોવાથી (જમણા હાથના નિયમ મુજબ),આ બંને ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(4 \times 10^{-4})^2 + (3 \times 10^{-4})^2} = \sqrt{16 \times 10^{-8} + 9 \times 10^{-8}} = \sqrt{25 \times 10^{-8}} = 5 \times 10^{-4}\,T$ થાય.

(B) $i$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
આપેલ છે:
$B = 0.5 \times 10^{-5} \, T$ (કારણ કે $1 \, Wb/m^2 = 1 \, T$)
$r = 5.0 \, cm = 5.0 \times 10^{-2} \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.5 \times 10^{-5} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times i}{2 \times 5.0 \times 10^{-2}}$
$0.5 \times 10^{-5} = \frac{2\pi \times 10^{-7} \times i}{5.0 \times 10^{-2}}$
$i = \frac{0.5 \times 10^{-5} \times 5.0 \times 10^{-2}}{2 \times 3.14 \times 10^{-7}}$
$i = \frac{2.5 \times 10^{-7}}{6.28 \times 10^{-7}}$
$i \approx 0.398 \, A \approx 0.4 \, A$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બાયો-સાવર્ટના નિયમના ઉપયોગ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
એક આંટા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલ માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દરેક આંટા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
તેથી,બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ થશે.

(A) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ગૂંચળાઓ સમાન હોવાથી અને તેમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોવાથી,દરેક ગૂંચળા દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હશે,ધારો કે તે $B$ છે.
$B_1 = B_2 = B = \frac{\mu_0 i}{2r}$.
ગૂંચળાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ $B_1$ અને $B_2$ ના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = B\sqrt{2}$.
આપણે એક ગૂંચળાને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{net})$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= \frac{B}{B_{net}} = \frac{B}{B\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(C) તાર ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: એક સીધો ઊભો તાર (ભાગ $1$),એક અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ (ભાગ $2$),અને એક સીધો આડો તાર (ભાગ $3$).
$1$. સીધા તાર (ભાગ $1$ અને ભાગ $3$) માટે,બિંદુ $O$ એ તારની અક્ષ પર આવેલું છે. તેથી,આ ભાગોને કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે ($B_1 = 0$ અને $B_3 = 0$).
$2$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ (ભાગ $2$) માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) = \frac{\mu_0 I}{4r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. જોકે,આપેલા વિકલ્પો સીધા વિભાગોના યોગદાનને સૂચવે છે. ભૂમિતિનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા,જો સીધા વિભાગોને કેન્દ્રથી શરૂ થતા અર્ધ-અનંત તાર તરીકે ગણવામાં આવે,તો અર્ધ-અનંત તારને કારણે ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે.
$4$. આમ,$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ અને એક સીધા વિભાગને કારણે ક્ષેત્રનો સરવાળો છે: $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{4r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$.

(A) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં (પૂર્વથી પશ્ચિમ) રાખો,તો તમારી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વળશે.
વાહકની ઉપરના બિંદુએ,આંગળીઓ ઉત્તર દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,વાહકની ઉપરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા ઉત્તર તરફ છે.

(A) વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{(r^2 + x^2)^{3/2}}{r^3} = \left( 1 + \frac{x^2}{r^2} \right)^{3/2}$ મળે.
અહીં $r = 3 \ cm$,$x = 4 \ cm$ અને $B_{axis} = 54 \ \mu T$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_{center}}{54} = \left( 1 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 \right)^{3/2} = \left( 1 + \frac{16}{9} \right)^{3/2} = \left( \frac{25}{9} \right)^{3/2} = \frac{125}{27}$.
તેથી,$B_{center} = 54 \times \frac{125}{27} = 2 \times 125 = 250 \ \mu T$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$B \propto \frac{1}{r}$.

(D) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં (દક્ષિણ) રાખો,તો તમારી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વળશે.
દક્ષિણ તરફ વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તારની આસપાસ સમકેન્દ્રી વર્તુળો બનાવે છે.
તારની ઉપરના ભાગમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા પશ્ચિમ તરફ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$ છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ પ્રવાહ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B \propto n \times i$.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = k(n_1 i_1)$ છે,જ્યાં $k = \frac{\mu_0}{2r}$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો પ્રવાહ $i_2 = 2i_1$ અને નવા આંટાની સંખ્યા $n_2 = \frac{n_1}{2}$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ આ મુજબ મળે: $B_2 = k(n_2 i_2) = k \left( \frac{n_1}{2} \times 2i_1 \right) = k(n_1 i_1) = B_1$.
તેથી,કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન રહેશે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2\pi i}{r}$ છે.
અહીં પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{e}{2\pi/\omega} = \frac{e\omega}{2\pi}$ હોવાથી, સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2\pi (e\omega / 2\pi)}{r} = 10^{-7} \cdot \frac{e\omega}{r}$.
આપેલ છે કે $B = 16 \, Wb/m^2$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$, અને $r = 1 \, Å = 10^{-10} \, m$:
$16 = 10^{-7} \cdot \frac{1.6 \times 10^{-19} \cdot \omega}{10^{-10}}$.
$16 = 10^{-7} \cdot 1.6 \times 10^{-9} \cdot \omega$.
$16 = 1.6 \times 10^{-16} \cdot \omega$.
$\omega = \frac{16}{1.6 \times 10^{-16}} = 10 \times 10^{16} = 10^{17} \, rad/s$.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$
આપેલ છે:
$i = 20 \, A$
$r = 20 \, cm = 0.2 \, m = 20 \times 10^{-2} \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 20}{20 \times 10^{-2}}$
$B = 10^{-7} \times \frac{40}{0.2} = 10^{-7} \times 200$
$B = 2 \times 10^{-5} \times 2 = 4 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2I}{r}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(B \propto I)$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r}$ કિંમતો મૂકતા,$B_{net} = \frac{\mu_0}{2r} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ મળે.
અહીં $r = 2\pi \, cm = 2\pi \times 10^{-2} \, m$,$i_1 = 3 \, A$,$i_2 = 4 \, A$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Wb/A \cdot m$ આપેલ છે.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} \sqrt{3^2 + 4^2}$.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4\pi \times 10^{-2}} \sqrt{9 + 16} = 10^{-5} \times \sqrt{25} = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.

(C) ધારો કે મધ્યબિંદુનું દરેક તારથી અંતર $r$ છે. લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$I$ પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે મધ્યબિંદુ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે,અને $2I$ પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ છે.
મધ્યબિંદુ પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બંને ક્ષેત્રોના મૂલ્યોનો તફાવત છે:
$B = \left| \frac{\mu_0 (2I)}{2\pi r} - \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right| = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.
જ્યારે $2I$ પ્રવાહ ધરાવતો તાર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યબિંદુ પર બાકી રહેતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર $I$ પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે હોય છે:
$B' = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B' = B$.

(D) લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ થી $2.5 \text{ m}$ અંતરે રહેલા $5 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 5}{2 \pi \times 2.5} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} \otimes$ (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ).
$2.5 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે,$P$ થી અંતર $5 \text{ m} - 2.5 \text{ m} = 2.5 \text{ m}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 2.5}{2 \pi \times 2.5} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \odot$ (કાગળના સમતલની બહારની તરફ).
$P$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} - \frac{\mu_0}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \otimes$.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ (ચુંબકીય બળરેખાઓ) ની દિશા જમણા હાથની હથેળીના નિયમ અથવા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જમણા હાથની હથેળીના નિયમ મુજબ,જો તમે વાહકને તમારા જમણા હાથમાં એવી રીતે પકડો કે તમારો અંગૂઠો વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં રહે,તો તમારી વળેલી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા દર્શાવે છે.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે આવેલા નાના પ્રવાહ ખંડ $Idl$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$
અહીં,$\theta$ એ પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને બિંદુ તરફ જતા સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ મહત્તમ હોવા માટે,પદ $\sin \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,ખંડ અને તે ખંડને બિંદુ સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોવો જોઈએ.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા $a$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $i = 5 \, A$,$a = 0.1 \, m$,અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 5}{0.1} = 10^{-5} \, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qvB \sin \theta$ છે. ઇલેક્ટ્રોન વાહકને સમાંતર ગતિ કરતો હોવાથી,વેગ સદિશ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin 90^\circ = 1$.
$F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (5 \times 10^6 \, m/s) \times (10^{-5} \, T) = 8 \times 10^{-18} \, N$.

(C) સદિશ રાશિ એ ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
$(a)$ ઘનતા એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે ફક્ત મૂલ્ય ધરાવે છે।
$(b)$ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B)$ એ અદિશ રાશિ છે, જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશના ડોટ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે।
$(c)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(\vec{B})$ એ સદિશ રાશિ છે કારણ કે તે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ મૂલ્ય અને ચોક્કસ દિશા બંને ધરાવે છે।
$(d)$ ચુંબકીય પોટેન્શિયલ એ અદિશ રાશિ છે।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}}{R^3} = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
આપેલ છે કે $B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$,તેથી $\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = 8$.
તેથી,$8 = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$2 = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = 1 + \frac{x^2}{R^2}$.
આનાથી $\frac{x^2}{R^2} = 3$ મળે છે,તેથી $x^2 = 3R^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = R\sqrt{3}$.

(A) ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 ni}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળાની અક્ષ પર $h$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 ni r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $B_2$ ને $B_2 = \frac{\mu_0 ni r^2}{2r^3(1 + h^2/r^2)^{3/2}} = B_1(1 + h^2/r^2)^{-3/2}$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેય $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = h^2/r^2$ અને $n = -3/2$ છે,આપણને $B_2 \approx B_1(1 - \frac{3}{2}\frac{h^2}{r^2})$ મળે છે.
આમ,આંશિક ઘટાડો $\frac{B_1 - B_2}{B_1} = 1 - \frac{B_2}{B_1} = 1 - (1 - \frac{3}{2}\frac{h^2}{r^2}) = \frac{3}{2}\frac{h^2}{r^2}$ થાય છે.