Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, H/m$, અંતર $d = 20 \, cm = 0.2 \, m$, અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \sqrt{2} \, A$.
અર્ધ-અનંત તાર માટે, એક છેડાથી લંબ અંતર $d$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $1$ માટે, બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = 10^{-7} \times \frac{4 \sqrt{2}}{0.2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$ છે.
તાર $2$ માટે, બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = 10^{-7} \times \frac{4 \sqrt{2}}{0.2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ હોવાથી, બિંદુ $P$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(2 \sqrt{2} \times 10^{-6})^2 + (2 \sqrt{2} \times 10^{-6})^2}$
$B = \sqrt{8 \times 10^{-12} + 8 \times 10^{-12}} = \sqrt{16 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^{-6} \, T = 4 \, \mu T$.

(A) તકતીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈની એક પાતળી રીંગનો વિચાર કરો.
આ રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 dI}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભ્રમણ કરતી રીંગને કારણે પ્રવાહ $dI = \frac{dQ}{T} = \frac{dQ}{2\pi} \omega = \frac{\sigma(r) (2\pi r dr)}{2\pi} \omega = \sigma(r) \omega r dr$ છે.
$\sigma(r) = \sigma_0 \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right]$ મૂકતા,આપણને $dI = \sigma_0 \omega \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right] r dr$ મળે છે.
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે સંકલન કરતા:
$B = \int_0^R \frac{\mu_0}{2r} \sigma_0 \omega \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right] r dr = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega}{2} \int_0^R \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right] dr$.
$B = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega}{2} \left[ r + \frac{r^{\beta+1}}{R^\beta (\beta+1)} \right]_0^R = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega}{2} \left[ R + \frac{R}{\beta+1} \right] = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega R}{2} \left( \frac{\beta+2}{\beta+1} \right)$.
આપેલ છે કે $B = \frac{9}{10} \mu_0 \sigma_0 \omega R$,તેથી સરખાવતા:
$\frac{1}{2} \left( \frac{\beta+2}{\beta+1} \right) = \frac{9}{10} \Rightarrow \frac{\beta+2}{\beta+1} = \frac{9}{5}$.
$5\beta + 10 = 9\beta + 9 \Rightarrow 4\beta = 1 \Rightarrow \beta = \frac{1}{4}$.

(D) $R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(R_1^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $x = \sqrt{3} R_1$ છે.
તેથી,લૂપ $L_2$ ના કેન્દ્ર પર લૂપ $L_1$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(R_1^2 + (\sqrt{3} R_1)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(R_1^2 + 3 R_1^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(4 R_1^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(8 R_1^3)} = \frac{\mu_0 i}{16 R_1}$.
પોતાના પ્રવાહ $i$ ને કારણે લૂપ $L_2$ ના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 R_2}$ છે.
$L_2$ ના કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$B_1$ અને $B_2$ ના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ કારણ કે પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં છે:
$B_1 = B_2 \implies \frac{\mu_0 i}{16 R_1} = \frac{\mu_0 i}{2 R_2}$.
$R_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $R_2 = 8 R_1$ મળે છે.

(C) બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તારના ભાગો અને વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. સીધા તારના ભાગો બિંદુ $O$ ની દિશામાં અથવા તેનાથી દૂર એક જ રેખા પર છે,તેથી તેઓ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્ર $O$ પર $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે.
$3$. $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. $\theta = \frac{3\pi}{2}$ મૂકતા,આપણને $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left(\frac{3\pi}{2}\right)$ મળે છે.
$5$. $O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left(1 + \frac{3\pi}{2}\right)$ છે.

(D) બિંદુ $P$ પર $\theta_1$ અને $\theta_2$ ખૂણા બનાવતા મર્યાદિત વાયરના ટુકડાથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
$1$. $P$ થી વાયરનું લંબ અંતર $r = d \sin \alpha$ છે.
$2$. અનંત છેડા દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta_1 = 90^{\circ}$ છે,તેથી $\sin \theta_1 = \sin 90^{\circ} = 1$.
$3$. $O$ છેડા દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta_2 = (90^{\circ} - \alpha)$ છે,તેથી $\sin \theta_2 = \sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d \sin \alpha} (1 - \cos \alpha)$.

(B) એક છેડેથી લંબ અંતર $d$ પર આવેલા બિંદુ $O$ પર અર્ધ-અનંત સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 10 \,A$ અને લંબ અંતર $d = 0.5 \,cm = 0.5 \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-3} \,m$ છે.
એક સીધા વિભાગ માટે, $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે:
$B_1 = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10}{4 \pi \times (0.5 \times 10^{-2})} = \frac{10^{-6}}{0.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-4} \,T$.
બે સમાંતર વિભાગોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી, બિંદુ $O$ પર બંને વિભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોય છે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
તેથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times 10^{-4} + 2 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-4} \,T$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી એક સૂક્ષ્મ રીંગનો વિચાર કરો.
રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \sigma = (2\pi r dr) \sigma$ છે.
રીંગમાંથી વહેતો પ્રવાહ $di = \frac{dq}{T}$ છે,જ્યાં $T = \frac{2\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ છે.
તેથી,$di = \frac{\omega dq}{2\pi} = \frac{\omega (2\pi r dr) \sigma}{2\pi} = \omega r \sigma dr$.
આ સૂક્ષ્મ રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 (\omega r \sigma dr)}{2r} = \frac{\mu_0 \omega \sigma dr}{2}$ મળે છે.
$\sigma = \sigma_0 \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}\right)$ મૂકતા,$dB = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}\right) dr$ મળે.
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરીએ:
$B = \int_0^R \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}\right) dr = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left[ r + \frac{r^{3/2}}{\sqrt{R} \cdot (3/2)} \right]_0^R = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left[ r + \frac{2r^{3/2}}{3\sqrt{R}} \right]_0^R$.
સીમાઓ મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( R + \frac{2R^{3/2}}{3\sqrt{R}} \right) = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( R + \frac{2}{3}R \right) = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( \frac{5}{3}R \right) = \frac{5}{6} \mu_0 \omega \sigma_0 R$.
તેથી,$\frac{B}{\mu_0 \sigma_0 \omega R} = \frac{5}{6}$.

(C) ઓર્સ્ટેડના પ્રયોગ મુજબ,જ્યારે કોઈ વાહકમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ ગતિશીલ વિદ્યુતભાર (અથવા વિદ્યુતપ્રવાહ) વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે. જોકે,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારના કિસ્સામાં જ્યાં કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે,તેની આસપાસ મુખ્યત્વે ચુંબકીય ક્ષેત્ર જોવા મળે છે.

(A) લંબાઈના સીધા તાર માટે જેમાં $i$ પ્રવાહ વહે છે, લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે, મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર પર ખૂણાઓ $\phi_1 = \phi_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a / 2 \sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a}$ છે.
ત્રણેય બાજુઓને કારણે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 B_1 = \frac{9 \mu_0 i}{2 \pi a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1 \times (\sqrt{3} + \sqrt{3})}{4.5 \times 10^{-2} / 2 \sqrt{3}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3}}{4.5 \times 10^{-2}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 12}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$.

(D) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્રમાં $i$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n i}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. એક આંટા માટે $(n_1 = 1)$,પરિઘ $2 \pi r_1 = L$ થાય,તેથી $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B = \frac{\mu_0 (1) i}{2 r_1} = \frac{\mu_0 i}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે $(n_2 = n)$,ત્યારે દરેક આંટાનો નવો પરિઘ $2 \pi r_2 = \frac{L}{n}$ થાય,તેથી $r_2 = \frac{L}{2 \pi n}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 n i}{2 r_2} = \frac{\mu_0 n i}{2 (L / 2 \pi n)} = \frac{\mu_0 n i \pi n}{L} = n^2 \left( \frac{\mu_0 i \pi}{L} \right)$ થાય.
કૌંસમાં રહેલા પદ માટે $B$ મૂકતા,આપણને $B_2 = n^2 B$ મળે છે.

(C) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તાર અને વર્તુળાકાર લૂપને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. કેન્દ્ર $O$ થી $R$ અંતરે રહેલા લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ (બહારની દિશામાં,સમતલને લંબ).
$2$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ (બહારની દિશામાં,સમતલને લંબ).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (બહારની તરફ) હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ થશે:
$B = B_1 + B_2$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} + \frac{\mu_0 I}{2 R}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} (1 + \pi)$
આમ,ચુંબકીય પ્રેરણનું મૂલ્ય $\frac{\mu_0 I}{2 \pi R}(\pi+1)$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપનો પરિઘ $l = 2 \pi R$ હોવાથી,$R = \frac{l}{2 \pi}$ મળે.
આ કિંમત $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$B = \frac{\mu_0 I}{2(l / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{l}$ મળે.
જ્યારે $l$ લંબાઈના તે જ તારને બે આંટાવાળા લૂપમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r'$ ધારો.
તારની કુલ લંબાઈ $l = 2(2 \pi r')$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $r' = \frac{l}{4 \pi} = \frac{R}{2}$.
$N$ આંટા ધરાવતા કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = N \frac{\mu_0 I}{2r'}$ છે.
અહીં,$N = 2$ અને $r' = \frac{R}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$B' = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{2(R / 2)} = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{R} = 4 \cdot \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ મળે.
તેથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $4B$ થશે.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ક્ષેત્રોનો તફાવત હશે.
આપેલ છે: $N = 10$,$i_1 = 0.2 \ A$,$r_1 = 0.2 \ m$,$i_2 = 0.3 \ A$,$r_2 = 0.4 \ m$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0 N}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}|$
$B_{\text{net}} = \frac{10 \mu_0}{2} |\frac{0.2}{0.2} - \frac{0.3}{0.4}|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 |1 - 0.75|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 \times 0.25 = \frac{5}{4} \mu_0$.

(A) તાર $A$ માટે,વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ છે.
તાર $A$ ની લંબાઈ $40 \ cm$ આપેલ છે,તેથી પરિઘ $2\pi r = 40 \ cm$,એટલે કે $r = \frac{40}{2\pi}$.
તાર $B$ માટે,$r$ ત્રિજ્યાના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta$ હોય તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$ છે.
તાર $B$ ની લંબાઈ $30 \ cm$ છે,તેથી ચાપની લંબાઈ $s = r\theta = 30 \ cm$.
આમ,$\theta = \frac{30}{r} = \frac{30}{40/2\pi} = \frac{3}{2}\pi$.
$B_1 = B_2$ લેતા:
$\frac{\mu_0 i_1}{2r} = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$
$\frac{i_1}{2} = \frac{i_2 \theta}{4\pi} = \frac{i_2 (3\pi/2)}{4\pi} = \frac{3i_2}{8}$
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$.
તેથી,$i_1: i_2$ નો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ઝડપ $c$,પરમીએબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
આપેલ કિંમતો: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(C) $n$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $i$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય પ્રેરણ $B = \frac{\mu_0 n i}{2 R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $B \propto \frac{n}{R}$ હોવાથી,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{n_1}{n_2} \times \frac{R_2}{R_1}$ થાય.
પ્રથમ ગૂંચળા માટે,$n_1 = 1$ અને લંબાઈ $l = 2 \pi R_1$,તેથી $R_1 = \frac{l}{2 \pi}$.
બીજા ગૂંચળા માટે,$n_2 = 2$ અને લંબાઈ $l = 2 \times (2 \pi R_2)$,તેથી $R_2 = \frac{l}{4 \pi}$.
આમ,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l / 4 \pi}{l / 2 \pi} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $B_1: B_2 = 1: 4$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 30 \ A$,બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 4 \times 10^{-4} \ T$,અંતર $r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$.
સીધા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_2 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 30}{2 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-4} \ T$.
બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ તારને સમાંતર હોવાથી,તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ (જે તારની આસપાસના વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક છે) તે $B_1$ ને લંબ છે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B = \sqrt{(4 \times 10^{-4})^2 + (3 \times 10^{-4})^2} = \sqrt{16 \times 10^{-8} + 9 \times 10^{-8}} = \sqrt{25 \times 10^{-8}} = 5 \times 10^{-4} \ T$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.4 \text{ Å} = 0.4 \times 10^{-10} \text{ m}$,ઝડપ $v = 10^6 \text{ m/s}$,વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત પ્રવાહ $i$ રચે છે,જે $i = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$T = \frac{2\pi r}{v}$ હોવાથી,$i = \frac{qv}{2\pi r}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}} \times \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{8\pi \times 10^{-10}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = 10 \text{ T}$.

(C) ચોરસની એક બાજુ (દા.ત.,બાજુ $AB$) દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર મર્યાદિત લંબાઈના તાર માટેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$.
અહીં,કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $r = \frac{a}{2}$ છે,અને બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\phi_1 = 45^{\circ}$ અને $\phi_2 = 45^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$.
ચોરસમાં $4$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi a} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$ થશે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ ખૂણા ધરાવતી વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
પરિપથ $1$ માટે: ક્ષેત્ર $3r$ ત્રિજ્યાની મોટી ચાપ અને $r$ ત્રિજ્યાની નાની ચાપને કારણે છે. કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં આ બે ચાપમાં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,ક્ષેત્રોની બાદબાકી થાય છે: $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{\pi}{3r} - \frac{\pi}{r}) = \frac{\mu_0 I}{4} (\frac{1}{r} - \frac{1}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{6r}$.
પરિપથ $2$ માટે: ક્ષેત્ર $\pi/2$ ખૂણો આવરી લેતી $r$ અને $3r$ ત્રિજ્યાની બે ચાપને કારણે છે. ક્ષેત્રોની બાદબાકી થાય છે: $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{\pi/2}{r} - \frac{\pi/2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{8} (\frac{2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{12r}$.
પરિપથ $3$ માટે: ક્ષેત્ર $3\pi/2$ ખૂણો આવરી લેતી $r$ અને $3r$ ત્રિજ્યાની બે ચાપને કારણે છે. ક્ષેત્રોની બાદબાકી થાય છે: $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{3\pi/2}{r} - \frac{3\pi/2}{3r}) = \frac{3\mu_0 I}{8} (\frac{2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{4r}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $B_3 = 0.25 \frac{\mu_0 I}{r}$,$B_1 = 0.166 \frac{\mu_0 I}{r}$,$B_2 = 0.083 \frac{\mu_0 I}{r}$.
આમ,$B_3 > B_1 > B_2$.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 0.9 \,A$
ત્રિજ્યા,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.6\pi \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.6\pi \times 10^{-7}}{10^{-1}}$
$B = 3.6\pi \times 10^{-6} \,T$
$B = 36\pi \times 10^{-7} \,T$

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $(I)$: $r$ ત્રિજ્યાના લૂપ માટે,લંબાઈ $l_1 = 2\pi r$ છે. અવરોધ $R_1 = \rho \frac{l_1}{A} = \rho \frac{2\pi r}{A}$ છે. પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_1}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2r}$ છે.
કિસ્સો $(II)$: $2r$ ત્રિજ્યાના લૂપ માટે,લંબાઈ $l_2 = 2\pi(2r) = 2l_1$ છે. અવરોધ $R_2 = \rho \frac{l_2}{A} = 2R_1$ છે. પ્રવાહ $I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{V}{2R_1} = \frac{I_1}{2}$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2(2r)} = \frac{\mu_0 (I_1/2)}{4r} = \frac{1}{4} \left( \frac{\mu_0 I_1}{2r} \right) = \frac{B_1}{4}$ થાય.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $L$ લંબાઈના સીમિત તારના ટુકડા માટે,તેના લંબદ્વિભાજક પર $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બાયો-સાવર્ટના નિયમના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2})$
$L$ લંબાઈના ટુકડા માટે,$\sin \theta_{1} = \sin \theta_{2} = \frac{L/2}{\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}}}$.
આ કિંમત મૂકતા,$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \cdot \frac{L}{\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}}}$.
અહીં $r >> L$ હોવાથી,છેદમાં $\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}} \approx r$ લઈ શકાય.
તેથી,$B \approx \frac{\mu_{0} I L}{4 \pi r^{2}}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{1}{r^{2}}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે.

(D) સીધા વાહક તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ભૂમિતિ માટે,બિંદુ $P$ એ વાંકથી ખૂણાના દ્વિભાજક પર $d$ અંતરે છે. દરેક વાયર સેગમેન્ટથી $P$ નું લંબ અંતર $r = d \sin(60^{\circ}) = \frac{d \sqrt{3}}{2}$ છે.
બિંદુ $P$ પર વાયરના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણા $\theta_{1} = 90^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 30^{\circ}$ છે.
બે સમાન સેગમેન્ટ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} + \sin 30^{\circ})$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (d \sqrt{3} / 2)} \times (1 + 1/2)$
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$
$B_{\text{net}} = \frac{3 \mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \mu_{0} I}{2 \pi d}$.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $I \vec{dl}$ ને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d \vec{B}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \vec{r})}{r^3}$
કારણ કે $\vec{r} = r \hat{r}$,આપણે તેને $d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \hat{r})}{r^2}$ તરીકે પણ લખી શકીએ છીએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ સાચું સદિશ સ્વરૂપ દર્શાવે છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એક બિંદુએ દાખલ થાય છે અને વર્તુળાકાર તારના વ્યાસાંત વિરુદ્ધ બિંદુએથી બહાર નીકળે છે. આનાથી તાર બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વિભાજિત થાય છે,જેમાંથી દરેક $I/2$ જેટલો પ્રવાહ વહન કરે છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,વર્તુળના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે. અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I_{arc}}{4r}$ છે.
બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરે છે,તેથી તેમના દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો એક ચાપ કાગળની અંદરની તરફ જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન કરે,તો બીજી ચાપ કાગળની બહારની તરફ આવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,વર્તુળના કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B - B = 0$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = 0$ હોવાથી,કણ દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times 0) = 0$ થશે.

(C) ત્રીજા તાર પર કોઈ ચોખ્ખું ચુંબકીય બળ ન લાગે તે માટે,પ્રથમ અને બીજા તાર દ્વારા ત્રીજા તારના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અને બીજા તારમાં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેના વિસ્તારમાં તેમના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હશે અને તેમની બહારના વિસ્તારોમાં વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
ધારો કે ત્રીજો તાર પ્રથમ તારથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. જો તેને બે તાર વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર (નાના પ્રવાહ એટલે કે $1 \ A$ વાળા તારની બાજુએ) મૂકવામાં આવે,તો ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$B_1 = B_2$
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (0.1 + x)}$
આપેલ કિંમતો $I_1 = 1 \ A$ અને $I_2 = 2 \ A$ મૂકતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{0.1 + x}$
$0.1 + x = 2x$
$x = 0.1 \ m$
આમ,ત્રીજો તાર પ્રથમ તારથી $0.1 \ m$ અંતરે,બીજા તારથી દૂર મૂકવામાં આવ્યો છે.

(B) અનંત લંબાઈના તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તાર માટે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી અંતર $r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને પ્રવાહની દિશા $\hat{k}$ ને લંબ હોય છે.
બિંદુ $L(-1, 1)$ પરના તાર માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}_L = -\hat{i} + \hat{j}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_L$ એ $\vec{I} \times \vec{r}_L = \hat{k} \times (-\hat{i} + \hat{j}) = -\hat{j} - \hat{i}$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $M(-1, -1)$ પરના તાર માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}_M = -\hat{i} - \hat{j}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_M$ એ $\vec{I} \times \vec{r}_M = \hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{j} + \hat{i}$ ના પ્રમાણમાં છે.
બંને ક્ષેત્રોનો સરવાળો કરતા,$\hat{i}$ ઘટકો રદ થાય છે: $\vec{B}_{net} = \vec{B}_L + \vec{B}_M = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \times \sin(\theta) \hat{j}$,જ્યાં $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\vec{B}_{net} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi \sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \hat{j}$.

(D) પ્રવાહ ધારિત વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + d^{2})^{3/2}}$
જ્યારે સળિયાને $T$ આવર્તકાળ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{q}{T} = \frac{\lambda (2 \pi R)}{T}$
$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_{0} (2 \pi R \lambda / T) R^{2}}{2(R^{2} + d^{2})^{3/2}}$
$d >> R$ માટે,આપણે $(R^{2} + d^{2})^{3/2} \approx (d^{2})^{3/2} = d^{3}$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બને છે:
$B \approx \frac{\mu_{0} (2 \pi R \lambda) R^{2}}{2 T d^{3}} = \frac{\mu_{0} \pi \lambda}{T} \frac{R^{3}}{d^{3}}$
આને આપેલા સ્વરૂપ $B \propto \frac{R^{m}}{d^{n}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 3$ અને $n = 3$ મળે છે.

(C) તારથી બિંદુ $P$ સુધીના અંતર $r_1 = 3 \ m$ અને $r_2 = 4 \ m$ છે. તાર વચ્ચેનું અંતર $5 \ m$ છે. $3^2 + 4^2 = 5^2$ હોવાથી,બે તાર અને બિંદુ $P$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં $P$ પાસે કાટખૂણો છે.
પ્રથમ તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r_1} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi}$ છે.
બીજા તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r_2} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (4)} = \frac{\mu_0 I}{8 \pi}$ છે.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $\vec{B}_1$ અને $\vec{B}_2$ બિંદુ $P$ પર એકબીજાને લંબ છે કારણ કે ત્રિકોણ $P$ પાસે કાટકોણ છે. તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B = \sqrt{\left( \frac{\mu_0 I}{6 \pi} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0 I}{8 \pi} \right)^2} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{64}} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{16 + 9}{576}} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{25}{576}} = \frac{5}{24} \left( \frac{\mu_0 I}{\pi} \right)$.

(D) પ્રવાહ $I$ બિંદુ $A$ પર દાખલ થાય છે અને બે માર્ગોમાં વહેંચાય છે: એક $AB$ દ્વારા અને બીજો $AC$ દ્વારા। વાયર સમાન હોવાથી, માર્ગ $AB$ નો અવરોધ $R$ છે અને માર્ગ $AC$ નો અવરોધ $R$ છે।
$BC$ ના મધ્યબિંદુ (ધારો કે $M$) પર, $B$ થી $M$ અને $C$ થી $M$ સુધીનો પ્રવાહ ફરીથી ભેગો થઈને બહાર નીકળે છે।
સમબાજુ ત્રિકોણની સમપ્રમાણતા અને પ્રવાહના વિતરણને કારણે, મધ્યકેન્દ્ર $O$ પર સેગમેન્ટ $AB$ અને $BM$ માંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર, સેગમેન્ટ $AC$ અને $CM$ માંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે।
તેથી, મધ્યકેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{left} + B_{right} = 0$ થાય છે।

(B) $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $BC$ અને $B^{\prime} C^{\prime}$ વિભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$AB$ અને $A^{\prime} B^{\prime}$ વિભાગો $P$ ધરાવતી અક્ષ તરફ અને તેનાથી દૂર જાય છે,તેથી આ વિભાગોને કારણે $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે $P$ આ પ્રવાહ ઘટકોની રેખા પર આવેલું છે.
અર્ધ-અનંત તાર $BC$ માટે,છેડા $B$ થી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
તે જ રીતે,અર્ધ-અનંત તાર $B^{\prime} C^{\prime}$ માટે,છેડા $B^{\prime}$ થી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (કાગળની અંદરની તરફ) છે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left( \frac{2 I}{r} \right)$ થાય છે.

(D) સીમિત લંબાઈના સીધા તારને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $r = L/2$ છે.
દરેક બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = 45^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ છે.
ત્યાં $4$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total}$ એ એક બાજુને કારણે મળતા ક્ષેત્ર કરતા $4$ ગણું હશે:
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (\frac{2}{\sqrt{2}}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{\pi L} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 2 \right] = \frac{8 \mu_0 I}{2 \sqrt{2} \pi L} = \frac{4 \mu_0 I}{\sqrt{2} \pi L} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
e.m.u. (ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક યુનિટ) પદ્ધતિમાં,શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેથી $\frac{\mu_0}{4\pi} = 1$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે $B = \mu_0 H$ સંબંધ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $H = \frac{B}{\mu_0}$.
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ ને $H$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $H = \frac{\mu_0 I / 2r}{\mu_0} = \frac{I}{2r}$ મળે છે.
જોકે,e.m.u. પદ્ધતિમાં,પ્રવાહ $I$ ને એબએમ્પિયરમાં માપવામાં આવે છે અને વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું સૂત્ર $H = \frac{2\pi I}{r}$ ઓર્સ્ટેડ થાય છે.

(C) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 16 \ \mu T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $x = \sqrt{3}R$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2((\sqrt{3}R)^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(3R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(4R^2)^{3/2} = (2R)^3 = 8R^3$.
આમ,$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2 \times 8R^3} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right)$.
$B_{center} = 16 \ \mu T$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{axis} = \frac{1}{8} \times 16 \ \mu T = 2 \ \mu T$.

(C) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 4\sqrt{3} \text{ cm}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
કેન્દ્ર પર ખૂણાઓ દ્વારા બનતા ખૂણાઓ દરેક $60^{\circ}$ છે,તેથી $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-2}} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10^{-5} \times \sqrt{3} \text{ T}$ થાય.
ત્રણ બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = 3\sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$ થાય.
તેને $\alpha \times 10^{-5} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3\sqrt{3}$ મળે છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બંને લૂપ $P$ અને $Q$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $x = r$ છે.
તેથી,$O$ પાસે લૂપ $P$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_P)$ એ $B_P = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ છે.
$O$ થી જોતા $P$ માં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_P$ એ $P$ તરફ ( $Q$ થી દૂર) નિર્દેશિત થાય છે.
$O$ પાસે લૂપ $Q$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_Q)$ એ $B_Q = \frac{\mu_0 (4I) r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{4\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ છે.
$O$ થી જોતા $Q$ માં પ્રવાહ પણ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_Q$ એ $Q$ તરફ ($P$ થી દૂર) નિર્દેશિત થાય છે.
ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_Q - B_P = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} - \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} = \frac{3\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$,$Q$ તરફ.

(B) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા વિભાગો $AB$,$DE$ અને વર્તુળાકાર ચાપ $BCD$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેના છેડાથી $r$ અંતરે અર્ધ-અનંત તારને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ છે.
વિભાગ $AB$ માટે,$O$ પર ક્ષેત્ર $\vec{B}_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ છે.
વિભાગ $DE$ માટે,$O$ પર ક્ષેત્ર $\vec{B}_{DE} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ છે.
વર્તુળાકાર ચાપ $BCD$ માટે,ક્ષેત્ર $\vec{B}_{BCD} = -\frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k}$ છે.
આનો સરવાળો કરતા: $\vec{B}_O = \vec{B}_{AB} + \vec{B}_{DE} + \vec{B}_{BCD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k} - \frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \hat{k} - \frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (1 - \pi) \hat{k} = -\frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (\pi - 1) \hat{k}$.

(A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_c = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $x = 2\sqrt{2}R$ આપેલ છે,તેથી $(R^2+x^2)$ ની કિંમત:
$R^2 + x^2 = R^2 + (2\sqrt{2}R)^2 = R^2 + 8R^2 = 9R^2$.
આ કિંમતને $B_a$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(9R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(27R^3)} = \frac{\mu_0 I}{54R}$.
હવે,$B_c/B_a$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 I}{2R} \div \frac{\mu_0 I}{54R} = \frac{54}{2} = 27$.
તેથી,માંગેલ ગુણોત્તર $27:1$ છે.