Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,અનંત લંબાઈના સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
અહીં,$\mu_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે અને $I$ એ વાહકમાંથી વહેતો સ્થિર પ્રવાહ છે.
આમ,$\mu_{0}$,$I$ અને $2 \pi$ અચળ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$B \propto \frac{1}{r}$.

(C) લૂપ $R_{1}$ અને $R_{2}$ ત્રિજ્યાના બે અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ અને બે સીધા વિભાગોની બનેલી છે. સીધા વિભાગો $O$ તરફ અથવા $O$ થી દૂર નિર્દેશ કરે છે,તેથી $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેમનું યોગદાન શૂન્ય છે.
કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો બનાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ છે.
અહીં,બંને ચાપ અર્ધ-વર્તુળ છે,તેથી $\theta = \pi$.
$R_{1}$ ત્રિજ્યાના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{1}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{1}}$ (પાનાની અંદરની તરફ).
$R_{2}$ ત્રિજ્યાના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{2}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{2}}$ (પાનાની બહારની તરફ).
$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = |B_{1} - B_{2}| = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} \right)$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{\mu_{0} I}{8} (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}})$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = R$ આપેલ હોવાથી,આપણે સૂત્રમાં કિંમત મૂકીએ:
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2^{3/2} R^{3})}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i}{2 R \cdot 2^{3/2}}$
કારણ કે $2^{3/2} = \sqrt{8}$,તેથી:
$B_{axis} = \frac{B}{\sqrt{8}}$.

(D) લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે જો વિદ્યુતપ્રવાહ બે એવા માર્ગોમાં વહેંચાય કે જેથી બંને માર્ગો દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય.
રચના $P$ માં,બંને માર્ગોમાં એક જાડો અને એક પાતળો તાર હોય છે. દરેક માર્ગનો કુલ અવરોધ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે. આ બે સપ્રમાણ માર્ગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
રચના $R$ માં,બંને માર્ગો પણ સપ્રમાણ છે,જેમાં દરેક એક જાડા અને એક પાતળા તારના શ્રેણી જોડાણથી બનેલા છે. આમ,વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે અને કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.
રચના $Q$ માં,બે માર્ગો અનુક્રમે બે જાડા તાર અને બે પાતળા તારના બનેલા છે. અવરોધ અલગ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ અસમાન હોય છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી.
તેથી,$P$ અને $R$ કિસ્સાઓમાં કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(D) લૂપ ચાર ભાગોની બનેલી છે: બે ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો ($AB$ અને $CD$) અને બે વર્તુળાકાર ચાપ ($DA$ અને $BC$).
$(i)$ ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો $AB$ અને $CD$ માટે,કેન્દ્ર $M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે બિંદુ $M$ એ પ્રવાહ ખંડોની રેખા પર આવેલું છે.
(ii) $R$ ત્રિજ્યા અને $\theta_1 = 270^{\circ} = \frac{3\pi}{2}$ રેડિયન ખૂણો ધરાવતી વર્તુળાકાર ચાપ $DA$ માટે,$M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i \theta_1}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4\pi R} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,દિશા કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે.
(iii) $2R$ ત્રિજ્યા અને $\theta_2 = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન ખૂણો ધરાવતી વર્તુળાકાર ચાપ $BC$ માટે,$M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i \theta_2}{4\pi (2R)} = \frac{\mu_0 i (\pi/2)}{8\pi R} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,દિશા કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે.
(iv) $M$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{16R} = \frac{6\mu_0 i + \mu_0 i}{16R} = \frac{7\mu_0 i}{16R}$ છે.
બંને ક્ષેત્રો કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોવાથી,પરિણામી ક્ષેત્ર $\frac{7}{16} \frac{\mu_0 i}{R}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હશે.

(B) ધારો કે $M$ નું દરેક તારથી અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે $I$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પ્રવાહો $I_1 = 2 \text{ A}$ અને $I_2 = 1 \text{ A}$ એક જ દિશામાં છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ તારને કારણે $M$ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$B_{PQ} = \frac{\mu_0 (2)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{\pi r}$
$B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$
$M$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{PQ} - B_{RS} = \frac{\mu_0}{\pi r} - \frac{\mu_0}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ છે.
જ્યારે $2 \text{ A}$ નો પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે માત્ર $I_2 = 1 \text{ A}$ નો પ્રવાહ બાકી રહે છે.
$M$ પરનું નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $B' = B$ મળે છે.

(D) સર્પાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈનો એક સૂક્ષ્મ ભાગ ધ્યાનમાં લો.
કુલ આંટાની સંખ્યા $= n$.
ગૂંચળાની ત્રિજ્યાની પહોળાઈ $(b - a)$ છે.
એકમ ત્રિજ્યા દીઠ આંટાની સંખ્યા $= \frac{n}{b - a}$.
$dr$ જાડાઈના ભાગમાં આંટાની સંખ્યા $dn = \frac{n}{b - a} dr$ થશે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આ વર્તુળાકાર ભાગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_{0} I dn}{2r}$ છે.
$dn$ ની કિંમત મૂકતા,$dB = \frac{\mu_{0} I}{2r} \left( \frac{n}{b - a} \right) dr$ મળે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે,$r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરતા:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} [\log_{e} r]_{a}^{b}$.
$B = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \log_{e} \left( \frac{b}{a} \right)$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{c} = \frac{\mu_{0} I}{2r}$
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + x^{2})^{3/2}}$
અહીં આપેલ છે કે અંતર $x = r$,તેથી $B_{a}$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(r^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(2^{3/2} r^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot r} = \frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}$
હવે,$B_{c} : B_{a}$ નો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{B_{c}}{B_{a}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2r}}{\frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2} r}} = \frac{4\sqrt{2} r}{2r} = 2\sqrt{2}$
તેથી,$B_{c} : B_{a}$ નો ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ થાય છે.

(A) વાહક ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને $270^\circ$ (અથવા $\frac{3\pi}{2}$ રેડિયન) નો વર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. સીધા તાર $(A)$ માટે,બિંદુ $O$ તેની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = 0$ છે.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપ $(B)$ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I}{8 r}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ તેની દિશા અંદરની તરફ છે.
$3$. સીધા તાર $(C)$ માટે,બિંદુ $O$ તારથી $r$ લંબ અંતરે છે. અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે. તેની દિશા પણ અંદરની તરફ છે.
$4$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_A + B_B + B_C = 0 + \frac{3 \mu_0 I}{8 r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left( \frac{3\pi}{2} + 1 \right)$ મળે છે.

(B) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$N=1$ આંટા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{0} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ છે.
જ્યારે ગૂંચળાને સમાન લંબાઈના તારનો ઉપયોગ કરીને $N' = 3$ આંટા થાય તે રીતે ફરીથી વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{3}$ થાય છે.
કેન્દ્ર પર નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_{0} N' I}{2 r'} = \frac{\mu_{0} (3) I}{2 (r/3)}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $B' = \frac{9 \mu_{0} I}{2 r} = 9 B_{0}$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi = B A$ $(1)$,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
વળી,$B = \mu H$ $(2)$,જ્યાં $\mu$ એ પરમિયેબિલિટી છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $\phi = (\mu H) A$ મળે છે.
ગોઠવણ કરતા,ગુણોત્તર $\frac{\phi}{\mu} = H A$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{2}]$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ને $\frac{\text{આંટાની સંખ્યા} \times \text{પ્રવાહ}}{\text{લંબાઈ}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1} A]$ છે.
તેથી,$\frac{\phi}{\mu}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1} A] \times [L^{2}] = [L^{1} A]$ થાય છે.
$M, L, T, A$ ના સ્વરૂપમાં,આ $[M^{0} L^{1} T^{0} A^{1}]$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તારમાં $I$ પ્રવાહ સમાન રીતે વહેતો હોય,તો કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r < R)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $I = 2 \ A$,$R = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,$r = 0.25 \ mm = 0.25 \times 10^{-3} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 2 \times (0.25 \times 10^{-3})}{2 \pi \times (10^{-3})^2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 0.25 \times 10^{-3}}{10^{-6}}$
$B = \frac{10^{-10}}{10^{-6}} = 10^{-4} \ T$
$1 \ T = 10^6 \ \mu T$ હોવાથી,$B = 10^{-4} \times 10^6 \ \mu T = 100 \ \mu T$ મળે છે.

(D) ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ જેટલો સમાન પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. $r_1 = 0.5a$ (અંદર) પર, $B_1 = \frac{\mu_0 I (0.5a)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
$4$. $r_2 = 1.5a$ (બહાર) પર, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (1.5a)} = \frac{\mu_0 I}{3 \pi a}$.
$5$. ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 3 \pi a} = \frac{3}{4}$ થાય છે.

(A) જ્યારે બે સમાંતર વાહકો સ્થાયી પ્રવાહ વહન કરે છે, ત્યારે દરેક વાહક તેની આસપાસની જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે, જે બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
ત્યારબાદ આ પ્રવાહો બીજા વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ચુંબકીય બળનો અનુભવ કરે છે, જે લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ $(F = I \vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પ્રથમ વાહક દ્વારા બીજા વાહક પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે જે બીજા વાહક દ્વારા પ્રથમ વાહક પર લાગતા બળની વિરુદ્ધ હોય છે.
આમ, બાયો-સાવર્ટનો નિયમ અને લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમનું સંયોજન ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર સમાંતર વાહકો વચ્ચેની આંતરક્રિયાને સમજાવે છે.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $idl$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ છે:
$dB = \frac{\mu_0 i dl \sin(\theta)}{4 \pi r^2}$
જ્યાં $\theta$ એ પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રવાહ ખંડની અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,સ્થાન સદિશ એ પ્રવાહ ખંડ સાથે એકરેખસ્થ (collinear) હોય છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થાય છે.
કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ અને $\sin(180^\circ) = 0$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ શૂન્ય થાય છે.

(B) જ્યારે વર્તુળાકાર વાહકમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,તારની નજીક ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વર્તુળાકાર હોય છે.
જેમ આપણે વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર તરફ જઈએ છીએ,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વધુ સીધી અને કોઈલની અક્ષને સમાંતર બનતી જાય છે.
વર્તુળાકાર કોઈલના બરાબર કેન્દ્ર પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે ચુંબકીય બળરેખાઓ માત્ર કેન્દ્ર પર જ કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$I d\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
અહીં,$d\vec{l}$ એ પ્રવાહ ખંડ સદિશ છે,$\vec{r}$ એ ખંડથી બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે,અને $r$ એ સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય છે.
$d\vec{B}$ ની દિશા $d\vec{l} \times \vec{r}$ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે $d\vec{l}$ અને $\vec{r}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^3}$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$I = 4 \ A$
$r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4}{2 \pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.1}$
$B = \frac{8 \times 10^{-7}}{0.1} = 80 \times 10^{-7} \ T = 8 \times 10^{-6} \ T$
કારણ કે $1 \mu T = 10^{-6} \ T$, તેથી:
$B = 8 \mu T$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_c = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગૂંચળાની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $x = R$ આપેલ છે,તેથી $B_a$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2^{3/2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{2 \cdot 2 \sqrt{2} R} = \frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{B_c}{B_a}$ શોધતા:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $L = \pi R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ચાપની ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{\pi}$ થાય.
$i$ પ્રવાહ ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 R}$.
આ સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 (L / \pi)} = \frac{\pi \mu_{o} i}{4 L}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 200$,ત્રિજ્યા $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \ A$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A) \times 200 \times 5}{2 \times 0.2 \ m}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 1000}{0.4}$
$B = \frac{12.566 \times 10^{-4}}{0.4}$
$B = 31.4159 \times 10^{-4} \ T = 3.14 \times 10^{-3} \ T$.

(B) $2 \text{ cm}$ બાજુ લંબાઈ $(a)$ ધરાવતા ષટ્કોણના કેન્દ્રથી તેની કોઈપણ બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r$ નીચે મુજબ મળે:
$r = \frac{a/2}{\tan 30^{\circ}} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} a}{2} = \sqrt{3} \text{ cm} = \sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
ષટ્કોણની એક બાજુને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
અહીં,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ હોવાથી:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \times 0.5) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$.
ષટ્કોણને $6$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = 6 \times 10^{-7} \times \frac{4}{\sqrt{3} \times 10^{-2}} = \frac{24 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$.

(C) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 6.6 \times 10^{15} \text{ Hz}$,ત્રિજ્યા $r = 0.47 \text{ Å} = 0.47 \times 10^{-10} \text{ m}$.
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf = ef$ છે.
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 10.56 \times 10^{-4} \text{ A}$.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (10.56 \times 10^{-4} \text{ A})}{2 \times (0.47 \times 10^{-10} \text{ m})}$.
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 10.56 \times 10^{-4}}{0.47 \times 10^{-10}} \approx 14 \text{ Wb m}^{-2}$.

(A) આપેલ છે: $r_1 = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$,$r_2 = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,$I = 3.5 \text{ A}$.
વર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને રીંગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો તફાવત હશે:
$B_{net} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 I}{2r_1} - \frac{\mu_0 I}{2r_2} \right| = \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3.5}{2} \left( \frac{1}{0.4} - \frac{1}{0.5} \right)$
$B_{net} = 2\pi \times 10^{-7} \times 3.5 \times (2.5 - 2.0)$
$B_{net} = 7\pi \times 10^{-7} \times 0.5 = 3.5\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$B_{net} \approx 3.5 \times 3.14 \times 10^{-7} \approx 10.99 \times 10^{-7} \text{ T} \approx 11 \times 10^{-7} \text{ T}$.

(C) આપેલ છે: વાહક $A$ માં પ્રવાહ,$I_1 = 4.5 \ A$. વાહક $B$ માં પ્રવાહ,$I_2 = 8 \ A$. બિંદુ $P$ નું $A$ થી અંતર,$r_1 = 15 \ cm = 0.15 \ m$. બિંદુ $P$ નું $B$ થી અંતર,$r_2 = 10 \ cm = 0.10 \ m$.
લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વાહક $A$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ પાનાની અંદરની તરફ છે,અને વાહક $B$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પાનાની બહારની તરફ છે.
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4.5}{0.15} = 6 \times 10^{-6} \ T$ (અંદરની તરફ).
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.10} = 16 \times 10^{-6} \ T$ (બહારની તરફ).
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_2 - B_1 = (16 - 6) \times 10^{-6} \ T = 10 \times 10^{-6} \ T = 10^{-5} \ T$.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અનંત લંબાઈના તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X$-અક્ષ પર રહેલા $I_1 = 6 \ A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે,$P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $Y$-અક્ષની દિશામાં હોય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા). તેથી,$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{\mu_0 (6)}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$.
$Y$-અક્ષ પર રહેલા $I_2 = 8 \ A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે,$P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઋણ $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે. તેથી,$\vec{B}_2 = -\frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{\mu_0 (8)}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i}$.
$P$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_P = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i} + \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_P = \sqrt{\left(-\frac{4 \mu_0}{\pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{\pi d}\right)^2} = \frac{\mu_0}{\pi d} \sqrt{16 + 9} = \frac{5 \mu_0}{\pi d}$ થાય.

(B) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં (પૂર્વથી પશ્ચિમ) રાખો,તો તમારી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વળે છે.
પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા આડા વાહક માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વાયરની આસપાસ સમકેન્દ્રી વર્તુળો બનાવે છે.
વાહકની બરાબર નીચેના બિંદુએ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાનો સ્પર્શક દક્ષિણ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(D) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે. $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે,$L = n(2\pi r)$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{L}{2\pi n}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 n I}{2(L / 2\pi n)} = \frac{\mu_0 n^2 I \pi}{L}$.
તારની લંબાઈ $L$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ હોવાથી,$B \propto n^2$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2$ થશે.
અહીં $n_1 = 5$ અને $n_2 = 10$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ થાય.

(D)
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ શોધવાનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$
અહીં આપેલ કિંમતો: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 0.2 \,A$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.1 \,m$ છે।
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ છે।
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (0.2)}{2 \times (0.1)}$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.2}{0.2}$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \,T$

(C) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા,$n = 100$
ત્રિજ્યા,$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2 \,A$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-5} \times 2}{0.2}$
$B = \frac{8\pi \times 10^{-5}}{0.2} = 40\pi \times 10^{-5} = 4\pi \times 10^{-4} \,T$
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$B = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \,T = 12.56 \times 10^{-4} \,T$

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, $i d\vec{l}$ વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડને કારણે $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુએ ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારના સીધા વિભાગો માટે, વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $d\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ (જે ખંડથી કેન્દ્ર $O$ તરફ જાય છે) એકરેખસ્થ (સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર) હોય છે.
તેથી, સદિશ ગુણાકાર $d\vec{l} \times \vec{r} = 0$ થાય છે.
પરિણામે, સીધા વિભાગોને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વડે $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
આપેલ છે કે $r$ અંતરે $B = 1 \ T$ છે.
$(a)$ $\frac{r}{2}$ અંતરે:
$B_{\frac{r}{2}} = B \times \frac{r}{\frac{r}{2}} = 1 \times 2 = 2 \ T$.
$(b)$ $2r$ અંતરે:
$B_{2r} = B \times \frac{r}{2r} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ T$.
$(c)$ $3r$ અંતરે:
$B_{3r} = B \times \frac{r}{3r} = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \ T$.
આમ,મૂલ્યો $2 \ T, \frac{1}{2} \ T, \text{ અને } \frac{1}{3} \ T$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ તાર $A$ થી $r$ અંતરે છે જ્યાં પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં છે,તેથી બંને તાર દ્વારા તેમની વચ્ચેના બિંદુએ ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
બિંદુ $P$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,તાર $A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ.
$B_A = B_B$
$\frac{\mu_0 i_1}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 i_2}{2 \pi (d - r)}$
જ્યાં $i_1 = 12 \,A$,$i_2 = 36 \,A$,અને $d = 50 \,cm = 0.5 \,m$ છે.
$\frac{12}{r} = \frac{36}{0.5 - r}$
$\frac{1}{r} = \frac{3}{0.5 - r}$
$0.5 - r = 3r$
$4r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{4} = 0.125 \,m = 12.5 \,cm$
આમ,આ બિંદુ તાર $A$ થી $12.5 \,cm$ ના અંતરે છે.

(A) તાર $A(1, 1)$ અને $B(1, -1)$ પર સ્થિત છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી દરેક તારનું અંતર $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ cm}$ છે.
બંને તારોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ એક જ દિશામાં ($xy$-સમતલને લંબ) વહેતો હોવાથી,ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો સ્થાન સદિશો $OA$ અને $OB$ ને લંબ હોય છે.
$OA$ નો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $45^\circ$ અને $OB$ નો $-45^\circ$ છે. તાર $A$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A$ એ $OA$ ને લંબ $135^\circ$ ના ખૂણે અને તાર $B$ ને કારણે $B_B$ એ $OB$ ને લંબ $45^\circ$ ના ખૂણે હોય છે.
$B_A$ અને $B_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
એક તારને કારણે ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|B| = \sqrt{B_0^2 + B_0^2 + 2 B_0 B_0 \cos(90^\circ)} = \sqrt{2 B_0^2} = \sqrt{2} B_0$ થાય.
તેથી,$\frac{|B|}{B_0} = \sqrt{2}$.

(A) ઉગમબિંદુથી તાર $I$ નું અંતર $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \ cm = \sqrt{2} \times 10^{-2} \ m$ છે.
ઉગમબિંદુ પર તાર $I$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે. ધારો કે $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B_1$ ની દિશા સ્થાન સદિશ $(1, 1)$ અને પ્રવાહની દિશા $(+z)$ ને લંબ છે. સ્થાન માટે એકમ સદિશ $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે. ક્ષેત્રની દિશા $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \times \hat{k} = \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}}$ છે. આમ,$\vec{B}_1 = B_0 \left( \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} \right)$.
$y = 1 \ cm$ પર $+x$ દિશામાં પ્રવાહ વહેતા તાર $II$ માટે,અંતર $d_2 = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ છે. ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d_2} = \sqrt{2} B_0$ છે.
$y=1$ પર $+x$ દિશામાં પ્રવાહ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા $B_2$ ની દિશા $-\hat{k}$ છે. આમ,$\vec{B}_2 = -\sqrt{2} B_0 \hat{k}$.
કુલ ક્ષેત્ર $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = B_0 \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} - \sqrt{2} \hat{k} \right)$ છે.
તેથી,$\frac{\vec{B}}{B_0} = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{2} \right)$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પ્રવાહધારિત કોઈલને કારણે તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$
આપેલ છે: $x = 8 \text{ cm} = 8 \times 10^{-2} \text{ m}$,$R = 6 \text{ cm} = 6 \times 10^{-2} \text{ m}$,અને $B_{\text{axis}} = 27 \mu \text{T} = 27 \times 10^{-6} \text{ T}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (6 \times 10^{-2})^2}{2((8 \times 10^{-2})^2 + (6 \times 10^{-2})^2)^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(64 \times 10^{-4} + 36 \times 10^{-4})^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(100 \times 10^{-4})^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2(10^{-2})^{3/2}}$
$27 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0 N I (36 \times 10^{-4})}{2 \times 10^{-3}}$
$\mu_0 N I = \frac{27 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{36 \times 10^{-4}} = \frac{54 \times 10^{-9}}{36 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^{-5} \text{ T} \cdot \text{m}$.
હવે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ છે.
$B_{\text{centre}} = \frac{1.5 \times 10^{-5}}{2 \times 6 \times 10^{-2}} = \frac{1.5 \times 10^{-5}}{12 \times 10^{-2}} = 0.125 \times 10^{-3} \text{ T} = 125 \mu \text{T}$.

(D) લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$x$-અક્ષ પર રહેલા $I_1 = 8 \,A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે, બિંદુ $P(2, 4)$ નું લંબ અંતર $r_1 = 4$ એકમ છે। જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે।
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 8}{2\pi \times 4} = 4 \times 10^{-7} \,T$ (અંદરની તરફ)।
$y$-અક્ષ પર રહેલા $I_2 = 6 \,A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે, બિંદુ $P(2, 4)$ નું લંબ અંતર $r_2 = 2$ એકમ છે। જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ સમતલની બહારની તરફ $(\odot)$ છે।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 6}{2\pi \times 2} = 6 \times 10^{-7} \,T$ (બહારની તરફ)।
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_2 - B_1| = |6 \times 10^{-7} - 4 \times 10^{-7}| = 2 \times 10^{-7} \,T$।

(B) લાંબા સીધા તારથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બિંદુ $P(0, 2, 0) \, m$ પર:
$1$. તાર $A$ ($X$-અક્ષ પર, $I_1 = 40 \, A$) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર: તારથી બિંદુ $P$ નું અંતર $d_1 = 2 \, m$ છે। જમણા હાથના નિયમ મુજબ ક્ષેત્રની દિશા $+z$-દિશા $(\hat{k})$ માં છે।
$B_1 = \frac{\mu_0 (40)}{2 \pi (2)} = \frac{20 \mu_0}{\pi} \, T$.
$2$. તાર $B$ ($(0, 3, 0) \, m$ માંથી પસાર થતો, $Z$-અક્ષને સમાંતર, પ્રવાહ $I_2$) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર: તારથી બિંદુ $P$ નું અંતર $d_2 = |3 - 2| = 1 \, m$ છે। ક્ષેત્રની દિશા $+x$-દિશા $(\hat{i})$ માં છે।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (1)} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi} \, T$.
$B_1$ અને $B_2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી, પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $R = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થાય।
આપેલ છે $R = 5 \times 10^{-6} \, T$ અને $\frac{\mu_0}{2 \pi} = 2 \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$:
$R = \frac{\mu_0}{2 \pi} \sqrt{20^2 + I_2^2} = 2 \times 10^{-7} \sqrt{400 + I_2^2} = 5 \times 10^{-6}$.
$\sqrt{400 + I_2^2} = \frac{5 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-7}} = 25$.
$400 + I_2^2 = 625$.
$I_2^2 = 225 \Rightarrow I_2 = 15 \, A$.

(D) સીધા તારના ભાગો $ab$ અને $cd$ બિંદુ $O$ પર કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતા નથી કારણ કે બિંદુ $O$ આ તારની અક્ષ પર આવેલું છે.
ચાપ $bc$ (ત્રિજ્યા $R_1 = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$) માટે, $O$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે અને તે નીચે મુજબ મળે છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R_1} \theta = \frac{10^{-7} \times I \times \theta}{R_1}$
$B_1 = \frac{10^{-7} \times (1.2 / \pi) \times (30^\circ \times \pi / 180^\circ)}{2 \times 10^{-2}} = \frac{10^{-7} \times 1.2 \times (1/6)}{2 \times 10^{-2}} = 10^{-6} \, T = 1000 \, nT$ (અંદરની તરફ).
ચાપ $ad$ (ત્રિજ્યા $R_2 = 1 \, cm = 1 \times 10^{-2} \, m$) માટે, $O$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ બહારની તરફ $(\odot)$ છે અને તે નીચે મુજબ મળે છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R_2} \theta = \frac{10^{-7} \times (1.2 / \pi) \times (30^\circ \times \pi / 180^\circ)}{1 \times 10^{-2}} = \frac{10^{-7} \times 1.2 \times (1/6)}{1 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-6} \, T = 2000 \, nT$ (બહારની તરફ).
$O$ આગળ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_2 - B_1 = 2000 \, nT - 1000 \, nT = 1000 \, nT = 1 \, \mu T$ થાય.

(C) $n$ આંટા, $a$ ત્રિજ્યા અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n i}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારની કુલ લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી, $L = n(2\pi a)$.
એક આંટા માટે $(n=1)$, $L = 2\pi a$, તેથી $a = \frac{L}{2\pi}$.
બે આંટા માટે $(n'=2)$, $L = 2(2\pi a')$, તેથી $a' = \frac{L}{4\pi} = \frac{a}{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B \propto \frac{n}{a}$ હોવાથી, $\frac{B'}{B} = \frac{n'}{n} \times \frac{a}{a'}$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{B'}{B} = \frac{2}{1} \times \frac{a}{a/2} = 2 \times 2 = 4$.
તેથી, $B' = 4B$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 4 \pi \text{ cm} = 4 \pi \times 10^{-2} \text{ m}$ આપેલ છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે જેમાં $i_1 = 10 \text{ A}$ પ્રવાહ વહે છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{8 \pi \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.
બીજી કોઈલ માટે જેમાં $i_2 = 24 \text{ A}$ પ્રવાહ વહે છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 24}{2 \times 4 \pi \times 10^{-2}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 24}{8 \pi \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T} = 12 \times 10^{-5} \text{ T}$.
કોઈલ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
$B = \sqrt{(5 \times 10^{-5})^2 + (12 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{25 + 144} \times 10^{-5} \text{ T} = \sqrt{169} \times 10^{-5} \text{ T} = 13 \times 10^{-5} \text{ Wb m}^{-2}$.

(B) આપેલ છે: $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$r = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$B_{axis} = 250 \ \mu T$.
પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$
$B_{centre}$ ને $B_{axis}$ વડે ભાગતા:
$\frac{B_{centre}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I}{2R} \times \frac{2(R^2 + r^2)^{3/2}}{\mu_0 I R^2} = \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{centre} = B_{axis} \times \frac{(R^2 + r^2)^{3/2}}{R^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.05^2 + 0.12^2)^{3/2}}{0.05^3}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0025 + 0.0144)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.0169)^{3/2}}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{(0.13)^3}{0.000125}$
$B_{centre} = 250 \ \mu T \times \frac{0.002197}{0.000125} = 250 \ \mu T \times 17.576 = 4394 \ \mu T$.

(B) બાજુ ધરાવતી ચોરસ ફ્રેમ માટે,કેન્દ્ર $O$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની ચાર બાજુઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
દરેક બાજુ $a$ લંબાઈના સીમિત તાર તરીકે વર્તે છે,જે કેન્દ્રથી $r = a/2$ ના લંબ અંતરે છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ છે.
ચોરસમાં $4$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_1 = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi a}$ થાય.
વર્તુળાકાર કોઈલ માટે,પરિમિતિ ચોરસની પરિમિતિ જેટલી છે,તેથી $2 \pi R = 4 a$,જે આપણને $R = \frac{2 a}{\pi}$ આપે છે.
વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^{\prime} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 (2 a / \pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{4 a}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B}{B^{\prime}} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_0 I / \pi a}{\mu_0 \pi I / 4 a} = \frac{16 \sqrt{2}}{\pi^2}$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને ગૂંચળા માટે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે,તેથી:
$\frac{\mu_0 I_1}{2(2r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2(r)} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 2 \quad ...(i)$
ગૂંચળા એક જ તારમાંથી બનેલા હોવાથી,તેમનો અવરોધ $R$ તેમની લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R = \rho \frac{l}{A})$.
લંબાઈઓ $l_1 = 2\pi(2r) = 4\pi r$ અને $l_2 = 2\pi(r) = 2\pi r$ છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{4\pi r}{2\pi r} = 2 \quad ...(ii)$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = IR$,તેથી $I = V/R$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{V_1/R_1}{V_2/R_2} = 2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2 \times \frac{R_1}{R_2}$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી ગુણોત્તર મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$.

(A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B_{loop} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
કેન્દ્ર પર $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ આંતરેલા ખૂણાના પ્રમાણમાં હોય છે.
આખું વર્તુળ $2\pi$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\theta$ ખૂણો આંતરતા ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) B_{loop}$
$B = \left( \frac{\theta}{2\pi} \right) \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$I = 150 \,A$
$r = 5 \,m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 150}{2 \pi \times 5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 30$
$B = 60 \times 10^{-7} \,T = 6 \times 10^{-6} \,T$
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ, જો વિદ્યુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વહેતો હોય, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તારની આસપાસ વર્તુળાકાર હોય છે. તારની બરાબર નીચે, ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\text{દક્ષિણ તરફ}$ હોય છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $r = R \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (R \sqrt{3})^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$.
કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
હવે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 16R}{\mu_0 I / 2R} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં $n$ આવૃત્તિ સાથે ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{q}{T} = qn$ (કારણ કે $T = \frac{1}{n}$)
વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
$I$ ની કિંમત અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (qn)}{2r}$
$B = \frac{2\pi nq}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.